DE235975C - - Google Patents

Description

KAISERLICHES

PATENTAMT.

Die vorliegende Erfindung betrifft eine kreisförmige Rechenvorrichtung, welche ähnlich wie ein logarithmischer Rechenstab die Ausführung verschiedener Rechnungsarten, wie z. B. Multiplikationen oder Divisionen, gestattet. Diese Rechenvorrichtung unterscheidet sich indessen von den bekannten kreisförmigen Rechenscheiben dadurch, daß die logarithmischen Einteilungen, welche die Numeri darstellen, unmittelbar auf einer logarithmischen Spirale (Gleichung r = α e^m '") ausgeführt sind. Dadurch wird der bedeutende Vorteil erzielt, daß alle Ablesungen (sowohl des Resultats als auch der einzelnen Faktoren) auf gleich großen Einteilungen geschehen, so daß eine Zahl mit derselben Leichtigkeit in dem Intervalle 9-10 wie in dem Intervalle 1-2 abzulesen ist. Ferner aber gibt die Erfindung eine neue Lösung des Problems der Flächenberechnung nach Karten, indem man eine Fläche allein mittels der bestimmenden, mittels des Zirkels abzugreifenden Maße berechnen kann, ohne daß man zuerst die Zirkelöffnung auf einem Maßstab abzulesen braucht. Es gibt zwar bereits kreisförmige Rechenscheiben mit logarithmischen Einteilungen auf Spiralen, diese sind aber zu anderen Zwecken da und sind auch keine logarithmischen Spiralen. Die mit der Anwendung der logarithmischen Spirale verbundenen Vorteile werden damit deswegen nicht erreicht.

Die Erfindung ist auf der Zeichnung dargestellt, und zwar in Fig. 1 in der Aufsicht und in Fig. 2 im Querschnitt. Die Rechenscheibe besteht im wesentlichen aus einer ebenen, unteren Scheibe B und einer darüber drehbaren ebenen Scheibe C, welche .mit einer eingeteilten logarithmischen Spirale S versehen ist. Die Scheibe C wird einerseits von der logarithmischen Spirale und andererseits vom Radius vector begrenzt. Die Umdrehungsachse 0 geht durch den Pol der Spirale. Die ebene Unterlage B ist mit verschiedenen Kennlinien und Zahlen versehen, vor allem mit der Ablesungslinie A, welche durch den Mittelpunkt 0 geht. Wenn die Spiralscheibe C, die zweckmäßig aus durchsichtigem Zelluloid ausgeführt ist, um den Mittelpunkt 0 in der dem Uhrzeiger entgegengesetzten Richtung — der positiven Umlaufrichtung — gedreht wird, wird man nach und nach auf der Spirale 5 über der Ablesungslinie die Zahlen 1, 2, 3 ... 9, 10 ablesen können. Die Ablesungslinie A dient gewöhnlich als Ausgangslinie des Rechnens, immer aber zum Ablesen des Resultats. Auf der Scheibe B befindet sich ferner der eingeteilte Kreis L — Logarithmenkreis —, welcher den Mittelpunkt O hat, während die Linie A der Radius ist. Die Peripherie dieses Kreises ist in zehn gleich große Teile geteilt, die mit Kennziffern 1, 2, 3 .. . 9, ο versehen sind, wobei der Nullpunkt auf die Ablesungslinie A fällt; jeder dieser Teile ist nach dem Dezimalsystem weiter eingeteilt. Der Kreis L wird nur gebraucht, wenn die Scheibe als Logarithmentafel benutzt werden soll.

D bezeichnet einen Zeiger oder eine Zeigerscheibe, die sich wie Scheibe C um den Mittel-

punkt O drehen kann, wobei die geradlinige Kante R stets Radius vector für die Spirale bleibt. Auf D können Konstante angegeben werden, welche während des Rechnens benutzt werden, z. B. π, oder auch trigonometrische Zahlen.

Schließlich bezeichnet E ein Zahnrad mit sechs oder mehreren Zähnen, das in der Verlängerung der Ablesungslinie angebracht ist.

Die Zähne, welche auf die Zahlen o, -j- i, +2 usw. sowie auch ~ 2, --1 zeigen, werden von einem Zapfen T auf der Spiralscheibe bewegt, so daß der besonders bezeichnete Indexzahn die Anzahl der Umdrehungen angeben kann.

Da die Zeichnung nur eine ' schematische Darstellung der Vorrichtung geben soll, ist zu beachten, daß sowohl Einteilungen als Zahlen und Kennlinien in größerer Anzahl als gezeichnet angebracht werden können, je nach Verwendungszweck und Umfang des Apparates. .

Die Theorie der Rechenscheibe ist folgende: Die logarithmische Spirale hat in Polarkoordinaten die Gleichung

r = α e^m'!',

wo r den Radius vector bezeichnet, φ den Winkel von der Polarachse bis zum Radius vector, während α und m willkürliche Konstanten sind. Setzt man a = 1 und gibt m den Wert

log nat 10

2 7Γ

so bekommt die Gleichung für die Spirale die Form

log nat 10

oder weil e =. io'°8^e und log nat 10 —' -.-

r =

,2 η .

Die Spirale S ist für die Werte von r = 1, ■ ψ = ο bis ν = 10, ψ = 2 π konstruiert und die Radii vectores 1, 2, 3 ... 10 sind auf dem Spiralbogen mit den entsprechenden Zahlen bezeichnet. Da der Spiralbogen in demselben Verhältnis wie der Radius vector wächst, müssen diese Einteilungen gleich lang werden, also der Bogen 1-2 gleich 2-3 usw. gleich dem Bogen 9-10.

Dasselbe muß auch der Fall sein bei den

„ Zehntelteilungeh dieser Intervalle usw.

Der mathematische Beweis dafür, daß der Bogen s bei der logarithmischen Spirale in demselben Verhältnis wie der Radius vector ν wächst, ist durch Differentiation zu erlangen:

r '■=. e^m'i' gibt dr =■ m

d φ = m r d ψ.

Nun ist

d s — Yd τ-² -f r² d φ²

OT²

= dr

und da

pro

- zeigt, daß die

r_ia,

eine Konstante ist, müssen also s und r
portional sein. ·

Die Gleichung log r

logarithmische Spirale einen gleichzeitigen Ausdrück für die Numeri und ihre Logarithmen gibt, indem die verschiedenen Radii vectores r die Numeri darstellen, während ihre Logarithmen durch die entsprechenden Winkel φ dargestellt sind. Der Wert von m ist so gewählt, daß die Einheit des Logarithmus (log 10) bei 2 7Γ oder einer ganzen Umdrehung dargestellt ist. Radius vector 10, bezeichnet mit r
fällt also (wie T₁) auf die Polarachse.

Von den verschiedenen Weisen, in denen die eingeteilte logarithmische Spirale sich zu logarithmischem Rechnen anwenden läßt, ist bei der auf der Zeichnung dargestellten Ausführungsform die Drehung um den Pol gegen die festliegende Ablesungslinie A gewählt.

Die praktische Anwendung ist danach leicht zu verstehen:

In ihrer Ausgangsstellung — vor Beginn des Rechnens — denke man sich die Spiralscheibe C so gedreht, daß r₁₀ auf die Ablesungslinie A fällt, während das Zählrad auf 0 eingestellt ist. Wird die Spiralscheibe C nun von dieser Stellung aus dem Uhrzeiger entgegen gedreht, so wird der Winkel φ, um den r₁₀ sich auf jeder Stelle gedreht hat, den Logarithmus der Zahl r ausdrücken, welche gleichzeitig auf der Spirale S über der Ablesungslinie A abzulesen ist. Dreht man die Scheibe C mehr als eine Umdrehung (2 π), so wird das Zählrad, indem r₁₀ die Linie A passiert, einen Zahn vorwärts gehen und + 1 zeigen; die Zahlen auf der Spirale bedeuten jetzt Zehner usw. Bei fortgesetzten Drehungen in positiver und negativer Umlaufrichtung wird Multiplikation und Division ausgeführt, indem die Winkel (die Logarithmen) unter Vermittlung des Zeigers R addiert und subtrahiert werden.

Zur weiteren Erläuterung der Einrichtung und Benutzung der Vorrichtung werden im folgenden einzelne Beispiele angeführt.

Numeri und Logarithmen:

Der Logarithmus einer Zahl zwischen ι und io entsteht, wie oben gezeigt, indem man die Zahl über die Ablesungslinie A einstellt ; der Logarithmus (Mantisse) kann dann unmittelbar mittels r_1Q auf dem Logarithmenkreis L abgelesen werden. Da der ganze Umkreis (log ίο = ι) dezimal geteilt ist, wird r₁₀ also stets auf den Einteilungen des Logarithmenkreises die Mantisse angeben. Man bekommt den Logarithmus einer jeden beliebigen Zahl α χ ίο — ", wo α zwischen ι und io liegt, indem man die Spirale auf α und das Zählrad auf +_ η einstellt, so daß das Zählrad die Charakteristik des Logarithmus angibt. Die Genauigkeit des Ablesens könnte, da die Einteilungen sowohl auf der Ablesungsspirale als auch auf dem Logarithmenkreis die An-Wendung von Nonius und Lupe gestatten, vergrößert werden, und es steht somit der Anwendung der Vorrichtung als bequeme Logarithmentabelle für drei- bis vierziffrige Zahlen nichts entgegen.

Multiplikation und Division:

Man stellt die Maschine auf einen Dezimalbruch -j- ein, indem man 1. die Spiralscheibe dreht, bis die Ziffern der Zahl auf der Spirale S über der Ablesungslinie A abzulesen sind, sowie 2., indem man den Platz des Kommas mittels des Zählrades E angibt.

Sollen zwei Zahlen α und b miteinander multipliziert werden, stellt man erst auf a, wie angegeben, ein, wobei r₁₀ von der Ausgangslinie A aus sich um den Winkel log a gedreht hat. Diese Stellung von r_w wird vermittels des beweglichen Zeigers D festgehalten, indem die Zeigerkante R dazu gebracht wird, y_]0 zu decken. Log b bekommt man nun, indem man in positiver Umlaufrichtung weiter dreht, bis die Zahl b auf der Spirale bei R abzulesen ist. Dann hat r₁₀ sich im ganzen um log a -j- log b = log a b gedreht, d. h. das Produkt a b wird auf der Spirale über A abgelesen. Soll mit einer dritten Zahl c dividiert werden, muß r_1Q in der entgegengesetzten Richtung (der negativen Umlaufrichtung) einen Winkel = log c gedreht werden; dies geschieht, indem die Zeigerkante R auf c gestellt und die Spirale in der negativen Umlaufrichtung gedreht wird, bis r₁₀ auf dieselbe Stelle fällt, also R deckt. Das Resultat a · b: c ist nun unmittelbar auf der Spirale über A in Verbindung mit dem Zählrad abzulesen. Bei einem Faktor oder Divisor kleiner als 1 oder größer als 10 muß das Zählrad beim Rechnen nach den bekannten Regeln für Dezimalrechnungen (siehe unter »Zahlen und Logarithmen«) mitgenommen werden.

Beispiel: 732 : 3,2 · 66.

Die Spirale wird auf 732 gestellt (das Zählrad auf -f- 2); ferner wird R auf 3,2 eingestellt und die Spirale wird gedreht (negative Umlaufrichtung), bis r₁₀ auf R fällt; darauf wird die Spirale in positiver Umlaufrichtung gedreht, bis 6,6 auf R abzulesen ist, und gleichzeitig wird das Zählrad einen Zahn vorwärts gedreht (66 ~- 6,6 ¹⁰⁺ '). Das Resultat 15100 ist unmittelbar, wie vorher, abzulesen (das Zählrad zeigt 4).

Potenzerhebung
und Wurzelausziehung.

3 „

Beispiel: j/318² = 318³.

Die Spirale wird auf 318 eingestellt; der auf der Logarithmenteilung abgelesene Logarithmus

2,502 wird mit — multipliziert, was 1,668

gibt; r₁₀ wird auf diesen Logarithmus auf L eingestellt, und das Resultat 46,6 ist über A auf der Spirale abzulesen.

Reduktion;
trigonometrische Funktionen.'

Die bei verschiedenen Berechnungen allgemein benutzten Konstanten — Verhältniszahlen, trigonometrische Funktionen usw. — können natürlich in die Rechnung einbegriffen werden, indem sie mit Merkzeichen auf den Spiralbogen an den Stellen, die ihren Zahlenwert bezeichnen, angegeben werden; so kann ζ. Β. /τ bei 3,14 angegeben werden. Indes kann dieselbe logarithmische Drehung auf verschiedene Weisen entstehen: Trägt man it z. B. auf der Kante R (von D) ab, so daß die Strecke von 0 bis π — 3,14 T₁ ist, so wird man mit π multiplizieren können, indem man die Spiralscheibe r_1Q von R aus dreht, bis der Spiralbogen den π-Strich deckt.

Zur Verwandlung von preußischen Fuß in Meter kann derselbe Strich dienen, wenn man mit 10 dividiert (1 Fuß — 0,314 m), jedoch läßt sich diese und jede andere. derartige Reduktion besser durch besondere Reduktionsradien auf der Scheibe B machen. So ist der Meterradius M entstanden, indem man r_i0 dreht, bis man auf A 3,18 abliest. Da im = 3,18 Fuß, werden beim Drehen der Spiralscheibe also immer gleichzeitig auf M die Meter und auf A die Fuß abgelesen.

Ebenso ist die Sinuslinie, bezeichnet mit »Sin (-=- 2)«, entstanden, indem man r₁₀ dreht, bis man auf der Spirale sin i° — 0,0175 abliest, und sie wird angewandt, um sin für kleine Winkel zu finden. Für kleine Winkel ist sin nämlich proportional mit den Winkeln: sin 3° z.B. =3 χ sin i°. sin 3⁰ (= 5,23 χ 10 ^{: 2})

ist also auf A abzulesen, wenn 3
Sinuslinie abzulesen ist usw.

Arealberechnung.

auf der

Zu diesem Ende muß die Achse O mit einer kegelförmigen Vertiefung versehen sein, um die Zirkelspitze leichter einsetzen zu können. Zur Unterlage (Scheibe B) genügt das Papier der Zeichnung, und der Zeiger D wird gar nicht benutzt. Die Ablesungslinie A und das Zählrad E sind dagegen zu brauchen. Da die Logarithmen (Drehungen) vermittels der Radii vectores (r) gefunden werden, welche die Numeri proportional darstellen — indem z. B.

¹S »10 = 10Xc₁; /3,7 = 3,7 X r_x usw. —, zeigt die Vorrichtung die Eigentümlichkeit, daß man mit solchen Längen wie mit reinen Zahlen rechnen kann. Dieselbe Drehung, welche entsteht, wenn man z. B. auf 3,7 einstellt, entsteht, wenn man 3,7 χ r_x von O aus an A entlang abgreift und C dreht, bis das bezeichnete Stück Radius vector in der Spirale wird. Die Berechnung eines Rechtecks mit den Seiten α und b, in demselben Maßstab wie die Spirale (Einheit = ^₁) gezeichnet, geschieht ganz, einfach dadurch, daß man α in den Zirkel nimmt, die eine Zirkelspitze in den Pol setzt, die andere in die Ablesungslinie und die Spirale in- positiver Umlaufrichtung dreht, bis sie anstößt; darauf wird b in derselben Weise an r₁₀ entlang abgegriffen und die Spirale in positiver Umlaufrichtung weiter gedreht, bis sie anstößt. Das Resultat ist unmittelbar auf der Ablesungslinie und dem Zählrad abzulesen.

Falls die Karte in einem anderen Maßstab gezeichnet ist, zeigen sich alle Flächenräume mit einer Konstanten k² multipliziert, welche von diesem Maßstab abhängt (k αχ kb = /e² a b).

k ist das Verhältnis zwischen den Einheiten der Karte und denen der Spirale. Um die richtigen Resultate zu erhalten, muß man also mit dieser Konstanten dividieren, oder — was dasselbe ist — man kann das Rechnen von einer besonderen Ausgangslinie aus, welche in der Praxis vermittels des Maßstabs der Zeichnung leicht zu finden ist, beginnen.

Für kombinierte Aufgaben, wobei es sich außer um gegebene Streckenlängen (aus den Zeichnungen) auch um bestimmte, oft vorkommende Zahlfaktoren handelt — z. B. bei Wärmetransmissionsberechnung —, zeigt dieselbe Ausführungsform sich vorzüglich geeignet, indem die letztgenannten Faktoren mit Kennzeichen an r₁₀ entlang angegeben werden (ähnlich wie π auf R) und somit auch in der Rechnung allein mittels der Zirkelspitze mitgenommen werden.

Auf diese Weise werden somit kombinierte Aufgaben außerordentlich leicht berechnet, ohne daß man ein einziges Maß oder eine Zahl ■— außer dem Resultat — abzulesen braucht.

Bei der Ausführungsform, welche obenstehend beschrieben ist, rechnet man stets durch Drehen der Spiralscheibe C im Verhältnis zur festliegenden Ablesungslinie A, jedoch kann die Berechnung natürlich ebensogut geschehen, wenn die Ablesungslinie (die Scheibe B) sich im Verhältnis zur festliegenden Spirale dreht. In diesem Fall muß das Zählrad E in der Verlängerung von r₁₀ angebracht und von einem in der Verlängerung der Ablesungslinie angebrachten Zapfen bewegt werden.

Ebenfalls kann der Logarithmenkreis L anstatt auf der Scheibe B auf der Spiralscheibe C eingetragen werden. In diesem Falle sind die Zehnteilungsziffern o, 1, 2 . . . 9, mit ο auf r_w, und in derselben Umlaufrichtung wie die Spiralziffern anzugeben, so daß Zahlen und Logarithmen über demselben Radius vector A abzulesen sind.

Schließlich kann die Genauigkeit der Rechenscheibe dadurch bedeutend vergrößert werden, daß man den Wert von ni so wählt, daß der Einheit des Logarithmus (log 10) mehrere Umdrehungen, z. B. 20 π entsprechen ; doch die einzelnen Logarithmen (Drehungen) werden dadurch schwieriger zu addieren und zu subtrahieren.

Claims (1)

1. Patent-Anspruch :

   Logarithmische Rechen.vorrichtung, dadurch gekennzeichnet, daß über einer mit Ableselinie (A) und Kreisteilung (L) versehenen Scheibe (B) eine zweite Scheibe (C) drehbar ist, welche einerseits durch einen Radius (r₁₀) und andererseits durch eine logarithmische, gleichmäßig eingeteilte Spirale (S) begrenzt ist, deren Pol mit der Drehachse zusammenfällt.

   Hierzu 1 Blatt Zeichnungen.