DE494493C - Maschine zum Integrieren von Differentialgleichungen zweiter Ordnung - Google Patents

Maschine zum Integrieren von Differentialgleichungen zweiter Ordnung

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DE494493C
DE494493C DET33728D DET0033728D DE494493C DE 494493 C DE494493 C DE 494493C DE T33728 D DET33728 D DE T33728D DE T0033728 D DET0033728 D DE T0033728D DE 494493 C DE494493 C DE 494493C
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    • BPERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B43WRITING OR DRAWING IMPLEMENTS; BUREAU ACCESSORIES
    • B43LARTICLES FOR WRITING OR DRAWING UPON; WRITING OR DRAWING AIDS; ACCESSORIES FOR WRITING OR DRAWING
    • B43L13/00Drawing instruments, or writing or drawing appliances or accessories not otherwise provided for
    • B43L13/001Mathematical drawing instruments

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  • Vibration Prevention Devices (AREA)

Description

  • Maschine zum Integrieren von Differentialgleichungen zweiter Ordnung Differentialgleichungen zweiter Ordnung können, auch wenn sie nicht von vornherein zum Zwecke der Lösung einer Aufgabe der Mechanik aufgestellt sind, doch immer mechanisch gedeutet werden. Sie sagen dann aus, daß Massen nach bestimmten Gesetzen beschleunigt werden.
  • Der Erfindungsgedanke besteht darin, daß man auf eine der Beizahl des Gliedes zweiter Ordnung entsprechende - am besten umlaufende - Masse, entsprechend den durch die Differentialgleichung ausgedrückten Gesetzen, Kräfte wirken und die unter dem Einfluß dieser Kräfte sich abspielende Bewegung der Masse auf einem Papierstreifen aufzeichnen läßt oder in sonstwie geeigneter Weise erkennbar macht.
  • Die den Gegenstand der Erfindung bildende -Maschine soll zunächst in einer Ausführungsform beschrieben werden, die zur Lösung einer einfachen Differentialgleichung ausreicht.
  • Die zu integrierende Differentialgleichung sei z. B. die der Bewegung eines physischen Pendels unter dem Einfluß der Schwere und des Dämpfungswiderstandes des Mittels, in dein das Pendel schwingt. Für den Fall kleiner Schwingungen lautet sie: Hierin bedeuten: J das Trägheitsmoment des Pendels, bezogen auf den Aufhängungspunkt, rf den Anschlag, gerechnet von der Ruhelage, Fit seine Masse, g die Erdbeschleunigung, r- den Abstand des Schwerpunktes des Pendels von seinem Aufhängungspunkt, h den Dämpfungsbeiwert.
  • Die für das Integrieren der obigen Gleichung :bestimmte Maschine ist in der Abb. i im Grundriß und in den Abb.2 und 3 in Teilquerschnitten (A-B bzw. C-D der Abb. i) dargestellt, Auf einer Wellea, die in den Lagern b und c läuft, ist eine Schwungmasse in, befestigt. Mittels der Schnecke d, des Schneckenrades e, des Stirnrades f und der Zahnstange g wird der Schreibstift lt bewegt, so daß .dieser in einem geeigneten Maßstab auf der durch ein Uhrwerk in gleichförmige Umdrehung i ersetzten Schreibtrommel i das Ergebnis der Integration, also cp in Funktion der Zeit, aufzeichnen kann. Der etwa von einem Leonardsatz gespeiste Elektromotor j treibt mittels der Zahnräder h, l und it die Welle a an und setzt damit die Schwungmasse m, in umlaufende Bewegung.
  • Das Zahnrad L (Abb. i und 2) ist in dem gabelförmig gestalteten einen Ende eines Waagebalkens o gelagert, welcher auf einer Achse r sitzt und mit seinem anderen Ende zwischen zwei Kontakten p und q (Abb. 2) frei spielen kann. . Auf der Achse r ist außerdem ein Arm s (Abb. i und 3) befestigt, an dem eine Feder t angreift, deren anderes Ende an einem seitlichen Arm einer Gleitschiene v befestigt ist, die durch einen von der Zahnstange g angetriebenen Seilzug 2t in zwei Führungen verschiebbar ist. Solange der Waagebalken o zwischen den -Kontakten p und q frei spielt, wird die Massem" da die Zusammendrückung der Feder t proportional cp ist, bei entsprechender Wahl der Übersetzungen durch den Elektromotor über die Zahnräder k, L und n entsprechend dem ersten Gliede m g t' cp der Pendelgleichung beschleunigt.
  • Daß der Waagebalken o zwischen den Kontakten p und q frei spielt, wird dabei wie folgt erreicht: Wenn der Motor j nicht genau das vorgeschriebene Drehmoment liefert, legt sich der Waagebalken o gegen den einen oder den anderen der Kontakte p, q an; hierdurch wird ein (nicht dargestellter) Relaismotor in dem Sinne in . Tätigkeit gesetzt, daß er die Erregung der Dynamo des Leonardsatzes verstärkt oder schwächt, was weiter zur Folge hat, .daß das Drehmoment des Motors j vergrößert oder verkleinert wird. Dementsprechend entfernt sich :der Waagebalken jeweils von :dem Kontakt, an dem er vorher zum Anliegen gekommen war. Dieser Vorgang soll an der Hand von Abb. 4 im folgenden näher erläutert werden.
  • Wie bereits ausgeführt wurde, besteht die elektrische Anlage, .die den Strom für den Elektromotor j liefert, aus einem sogenannten Leonardsatz L. Die Stromstärke in den Feldwicklungen F der Dynamo des Leonardsatzes L wird durch den Regler R mittels des Steuermotors C beeinflußt. Dieser Motor erhält in dem: einen oder anderen Sinne seinen Strom durch Vermittlung des Steuerrelais E, das wiederum durch den Kontaktgeber o, p, q (s. auch Abb. i und z) betätigt wird. Beim Schließen des einen oder anderen Kontaktes o, p bzw. o, q wird der Motor C über das Steuerrelais E in dem einen oder anderen Drehsinn zum Lacifen gebracht; dadurch wird der Nebenschlußregler R der Leonarddynamo entsprechend verstellt. Der Motor j erhält so eine höhere oder niedrigere Spannung, läuft also schneller oder langsamer.
  • Zur Berücksichtigung des zweiten Gliedes der Pendelgleichung k ist die folgende Einrichtung vorgesehen: Auf der Welle a (Abb. i) ist eine aus gut leitendem Metall b; stellende Scheibe w befestigt, welche von den Polen eines Magneten x umfaßt wird. Wenn sich diese Scheibe dreht, werden in ihr Wirbelströme erzeugt, die eine der Winkelgeschwindigkeit der Welle a proportionale Bremswirkung ausüben.
  • Im ganzen wird also die Masse mi, entsprechend den durch die Differentialgleichung gegebenen Bedingungen, in Abhängigkeit von ihrem Drehwinkel und von der Winkelgeschwindigkeit beschleunigt. Demnach zeichnet der Schreibstift h auf dem Papier der Schreibtrommel i eine Kurve auf, die den Winkelausschlag cp in Abhängigkeit von der Zeit darstellt. Diese Kurve hat etwa das in Abb. 5 dargestellte Aussehen.
  • Es mag hier gleich bemerkt werden, daß, wenn die Rückwirkung des Druckes der Feder t (Abb. i) auf die Bewegung der Schwungmasse na, aus irgendwelchen Gründen sehr klein gehalten werden muß, die Anspannung der Feder t zweckmäßig nicht durch den Seilzug ic erfolgt, sondern über einen nicht dargestellten Relaismotor bewirkt werden kann.
  • Besitzt die zu lösende Differentialgleichung mehr als die beiden angegebenen Glieder, so sind, entsprechend den .durch die Differentialgleichung zum Ausdruck gebrachten Gesetzen, weitere Mechanismen erforderlich, die diese in der Schreibtrommel zur Berücksichtigung kommen lassen.
  • Lautet also z. B. die zu integrierende deDifferentialgleichung nicht wie oben als einfaches Beispiel angenommen: sondern: so ist die Anordnung in dem Sinne abzuändern, daß die Federt nicht proportional zu cp, sondern proportional zu sin cp zusammengedrückt wird. Dies kann z. B. dadurch erreicht werden, daß .die Feder mittels eines in Abb. 6 dargestellten Kurbelschleifengetriebes gespannt wird.
  • Weist die zu lösende Gleichung noch ein Glied A # sin a t auf, lautet sie also so kann auch das hinzugekommene Glied A # sin u t durch einen solchen Kurbelschleifenmechanismus, der, unabhängig von der Bewegung der Masse na" etwa durch ein nicht besonders dargestelltes Uhrwerk angetrieben wird, zur Einwirkung auf en Antrieb der Masse in, gebracht werden. Dies kann so geschehen, daß .die durch die gleichmäßig umlaufende Kurbel angetriebene Kurbelschleife eine Feder abwechselnd zusammendrückt und auseinanderzieht, die auf einen zweiten auf der Welle r befestigten Hebel (in der Zeichnung nicht dargestellt) einwirkt. Der Antriebsmotor überträgt dann ein der aIgebraischen Summe dieser Federdrücke entsprechendesDrehmoment. AuchdieGleichung: kann also in verhältnismäßig einfacher Weise maschinell integriert werden. Durch entsprechendes Hinzufügen von weiteren geeigneten Einrichtungen können auch noch andere Gesetze berücksichtigt -,v, erden. Insbesondere können mit der Maschine grundsätzlich, wie schon das zweite Beispiel zeigt, auch nichtlineare Gleichungen, die der rechnerischen Behandlung schon recht große Schwierigkeiten bereiten, in einfacher Weise integriert werden.
  • Bisher ist eine Ausführungsform der Maschine beschrieben worden, die für die Lösung nur einer einzelnen Differentialgleichung bestimmt ist. Die Maschine kann aber auch leicht so ausgebildet werden, daß mit ihr zwei oder mehrtheoretisch beliebig vielegekoppelte (simultane) Differentialgleichungen gelöst werden können. Es ist zu diesem Zweck nur nötig; so viel Schwungmassen ml, m. usw. vorzusehen, wie gekoppelte Gleichungen vorhanden sind, und die durch die einzelnen Glieder der Gleichungen bedingten Einrichtungen für den Antrieb und für die Kopplung der Bewegung der Massen, was gleichbedeutend ist mit »Kopplung der Gleichungen«, vorzusehen.
  • Das Wesen der Kopplung von Differentialgleichungen besteht darin, daß in einer Gleichung nicht nur eine abhängig Veränderliche, sondern zwei oder mehr vorkommen. Je nachdem nun in einer derartigen Gleichung für eine Veränderliche x eine andere Veränderliche in der Form v oder oder vor- kommt, spricht man von Kraft-, Reibungs-oder Beschleunigungskopplung.
  • Handelt es sich um eine Kopplung der ersten Art, d. h. also um eine Kraftkopplung, und kommt demgemäß in der Gleichung für die zu der Veränderlichen y gehörige Masse ein Glied a _x vor, so ist ein der Bewegung x der zu s gehörigen Masse entsprechender Federdruck auf das Tränsmissionsdynamotneter der Masse, die zu y gehört, zu übertragen. Dies kann in einfacher Weise dadurch erreicht werden, daß beispielsweise ein durch die x-Massein, angetriebener Seilzug nicht auf eine den Antrieb der x-Masse, sondern auf eine den Antrieb der _v-Masse in, beeinflussende Feder einwirkt.
  • Der Einfluß eines Gliedes von der Form (Reibungskopplung) kann auf eine andere Masse, beispielsweise die zu der Bewegung x gehörige, in der in Abb. 7 veranschaulichten Weise übertragen werden. Die Scheibe 7v_, in der die die Bewegung der Massein.. (die zu der Veränderlichen y gehören möge) dämpfenden Wirbelströme erzeugt werden, wird von der Welle, auf der die Masse in. sitzt, nicht wie bei dem zuerst beschriebenen Ausführungsbeispiel (Abb. i) unmittelbar, sondern durch Vermittlung der Zahnräder i, 2 und 3, von denen das Zahnrad 2 an einem um .eine Achse 5 schwingenden Waagebalken 4 befestigt ist, angetrieben. Dadurch, daß die Bewegung der Massem. durch Wirbelströme gebremst wird, würde der Waagebalken .l. an dem einen oder dem anderen der beiden Kontakte 6 oder 7 (s. Abb. 8) zum Anliegen kommen, wenn nicht ein Motor 8 durch Schließen des einen oder anderen Kontaktes 6 bzw. 7 in dem Sinne zum Anspringen gebracht würde, daß er über ein Schnekkengetriebe i o, i i und eine im Muttergewinde des Schneckenrades i i verschiebbare Schraubenspindel 12 eine am Waagebalken d. angreifende Feder anspannte oder nachließe, immer in dem Sinne, daß der Waagebalken q. frei zwischen den Kontakten6, 7 spielt. Durch die Größe der Spannung der Feder 9 wird also die Größe des die Bewegung der Masse in., dämpfenden Momentes gemessen, ebenso durch die der Federspannung proportionale Zahl der Umdrehungen des Elektromotors 8 von einer bestimmten Nullage aus. Es ergibt sich so - nebenbei bemerkt - die Möglichkeit einer laufenden Aufzeichnung des Wertes in Abhängigkeit von der Zeit. Wird derselbe Elektromotor8 (s.Abb.8) benutzt, um eine rechts von der Spindel 12 angeordnete, nicht dargestellte Feder zu spannen und diese Feder mittels eines ebenfalls nicht dargestellten Hebels zur Wirkung auf eine andere Masse gebracht, so ist damit die Kopplung mittels des Reibungsgliedes erreicht. Damit die Spannungen der beiden von der Spindel 12 wechselweise verlängerten und zusammengedrückten Federn einander proportional sind, .ist nur nötig, daß beide Federn bei einer bestimmten Stellung der Spindel 12 gleichzeitig spannungslos sind.
  • In ähnlicher, aber etwas verwickelterer Weise kann die Berücksichtigung und insbesondere die Kopplung von Gliedern der Form erreicht, d. h. also die dritte Art der Kopplung, die Beschleunigungskopplung, bewerkstelligt werden. Zu diesem Zweck wird das Zahnrad 2 der Abb. 8 nicht mehr unmittelbar, sondern unter Vermittlung eines Hebels 14 (Abb. 9) an dem Hebel .I aufgehängt. Indem man das schon beschriebene Verfahren anwendet, kann man so das gesamte Drehmoment messen, welches das Rädchen 2 überträgt, Wenn die Bewegung der Schwungmasse nicht gedämpft, die Beschleunigung also proportional dem allein vorhandenen beschleunigenden Moment ist, welches durch das Rad 2 übertragen wird, ist ohne weiteres ersichtlich, .daß das durch das Rädchen 2 übertragene Drehmoment die Beschleunigung der angetriebenen Masse mißt, die dann in analoger Weise, wie für Glieder der Form beschrieben ist, auf andere Massen übertragen werden kann.
  • Sollte auf die Masse, die einer Gleichung entspricht, außer dem treibenden auch noch ein dämpfendes, also verzögerndes Moment wirken, so muß dieses mechanisch von dem soeben mittels des Hebels 1.4 (Abb. 9) ermittelten abgezogen werden, bevor die Differenz auf andere Massen zur Einwirkung kommt, denn es soll nicht .das durch das Rad 2 übertragene beschleunigte Moment, sondern die Beschleunigung selber unter Berücksichtigung der negativen durch die Dämpfung erzeugten Beschleunigung gemessen werden. Dies kann wie folgt ausgeführt werden: Der Hebel 14 wird durch mittels eines Elektromotors 18 bewirktes Anspannen oder \achlassen einer Feder 15 zwischen zwei Kontakten 16, 17 spielend gehalten. Derselbe Elektromotor 18 spannt bzw. entspannt eine gleiche auf einen andern Hebel i9 wirkende Feder 2o: Auf denselben Hebel i9 wirkt aber noch eine entsprechend dem Glied durch einen .durch zwei kleine Schlangenlinien angedeuteten Motor betätigte Feder 13 in dem durch die Gleichung vorgeschriebenen Sinn. Wenn nun durch einen weiteren auf der Zeichnung ebenfalls durch zwei kleine Schlangenlinien angedeuteten Motor 24. der Hebel 19 zwischen seinen Kontakten 21 und 22 spielend gehalten- wird, so m.ißt die Spannung der Feder 23 - die gesamte Beschleunigung der Masse, die nun auch weiter auf andere Massen übertragen werden kann.
  • Ein anderer Weg, die Beschleunigung einer Masse zu messen, wäre, sie zu unterteilen und zwischen den beiden Massen eine Feder anzubringen. Durch deren Spannung würde dann, wenn durch geeignete selbsttätige Vachspannungsmechanismen dafür gesorgt wird, !das sich die Lage der Teilmassen zueinander nicht ändert, die Beschleunigung der Teilmasse und damit die beider zusammengehöriger Massen gemessen und weiter verwertet werden können.
  • Es ist oben beschrieben worden, wie die Dämpfung der Bewegung einer Masse zustande kommt und wie eine Reibungskopplung von der Form in der Maschine verwirklicht wird. Außer Dämpfungsgli.edern von der Form kommen jedoch auch solche von anderer Form, z. B. von der Form vor. Diese werden wie folgt berücksichtia@t. Zunächst -entsteht, wenn der Einfachheit ihrer Verwirklichung wegen die Dämpfung durch elektrische Wirbelströme beibehalten wird, statt des dämpfenden Momentes hl . ein solches von der Form Dieses kann eliminiert werden, indem es in derselben Weise, wie oben gezeigt, gemessen und in derselben Größe, aber im treibenden Sinne, in den Antriebsmechanismus zurückübertragen wird. Dann wird die Masse nicht mehr durch .ein Dämpfungsglied von der Form beeinflußt, seine Größe ist aber durch die Züsammendrückung einer Feder gemessen. Derselbe Elektromotor, welcher nun durch Anspannen einer Feder die Größe der zu eliminierenden Dämpfung mißt, spannt durch einen geeigneten Mechanismus, beispielsweise durch den in Abb. 7 dargestellten Kürvenscheibenantrieb, eine Feder 13 dem Gesetz oder noch allgemeiner entsprechend. Wird diese Feder auf .den Antrieb der Masse, auf die die Dämpfung ausgeübt werden soll, und zwar in hemmendem Sinne, zur Wirkung gebracht, so ist diese Masse, wie gewünscht, gedämpft. Je nach Bedarf kann die Wirkung auch auf eine andere Masse ausgeübt, also Kopplung erreicht werden.

Claims (7)

  1. PATEPNTANSL'RÜCIIL: i. Maschine zum Integrieren von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, dadurch gekennzeichnet, d,aß die der Beizahl des zweiten Differentialquotienten entsprechende Masse durch Kräfte oder Momente, :die den durch die Differentialgleichung gegebenen Gesetzen entsprechen, beschleunigt und der Weg der Masse als Funktion der Zeit aufgezeichnet oder sonstwie erkennbar gemacht wird.
  2. 2. Integriermaschine nach Anspruch i, dadurch gekennzeichnet, daß der Antrieb der Masse .durch die als Festwerte gegebenen oder von der Zeit oder von dem von der Masse zurückgelegten Wege abhängigen Kräfte durch einen Motor über ein durch .die genannten Kräfte geregeltes Dynamometer (Abb. q.) erfolgt, während die etwa zu berücksichtigende Dämpfung durch eine von der Masse angetriebene elektrische Wirbelstrombremse erfolgt (Abb. i und io). 3.
  3. IntegrIermaschine nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß zwecks Regelung des Dynamometers durch die zu übertragenden Kräfte das unter dem Einfluß der zu übertragenden Kräfte bewegliche Glied zwischen so angeordneten elektrischen Kontakten spielt, daß der treibende Motor beim Schließen eines Kontaktes je nach Bedarf schneller oder langsamer läuft. .I.
  4. Integriermaschine nach Anspruch 2. dadurch gekennzeichnet, daß der Antrieb der Bremse über ein Dynamometer erfolgt, dessen bewegliches Glied zwischen zwei Kontakten spielend gehalten wird, indem durch Schließen des einen oder anderen Kontaktes der Elektromotor veranlaßt wird, eine Feder so zu belasten, daß der Kontakt wieder unterbrochen wird, so claß durch die Federspanming oder die Federlänge das dämpfende Moment und damit auch die Geschwindigkeit der Masse gemessen wird. j.
  5. Integriermaschine nach Anspruch 2 his 4., dadurch gekennzeichnet, daß mehrere Massen vorgesehen sind, damit gekoppelte -simultane -Differentialgleichungen g elöst werden können, wobei auch die der Kopplung entsprechende gegenseitige Be-Z, der Massen erreicht wird (Abb. to).
  6. 6. Integriermaschine nach Anspruch 2 und 3, dadurch gekennzeichnet, daß zwecks Einführung eines anderen als des seiner Einfachheit wegen im allgemeinen bevorzugten linearen Dämpfungsgesetzes der zum Messen der Dämpfung vorgesehene Motor einerseits noch das im Antrieb der Masse liegende Dynamometer in dem Sinne beeinflußt, daß die durch die Wirbelstrombremse entstehende Dämpfung wieder ausgeschaltet wird, andererseits ein Mechanismus betätigt wind, der die beabsichtigte Dämpfung durch Beeinflussung des Antriebsmechanismus herbeiführt (Abb. ; bis 9).
  7. 7. Integriermaschine nach Anspruch 5. dadurch gekennzeichnet, daß zwecks Berücksichtigung eines Kopplungsgliedes von der Form in dem Antrieb der entsprechenden Masse ein Dynamometer eingeschaltet ist, welches die gesamte Beschleunigung dieser Masse zu messen gestattet und gleichzeitig so eingerichtet ist, daß die Wirkung dieses Gliedes auf diejenige Gleichung, mit der es zu koppeln ist, übertragen werden kann.
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