DE4210217C2

DE4210217C2 - Verfahren zum Bau einer optimierten Magnetspulenanordnung

Info

Publication number: DE4210217C2
Application number: DE4210217A
Authority: DE
Inventors: Hartmut Dipl Phys Schmidt; Michael Dr Ing Dr Westphal
Original assignee: Bruker Analytische Messtechnik GmbH
Current assignee: Bruker Biospin GmbH
Priority date: 1992-03-28
Filing date: 1992-03-28
Publication date: 1994-03-24
Anticipated expiration: 2012-03-29
Also published as: EP0563647B1; DE69315873T2; EP0563647A1; DE69315873D1; US5323135A; DE4210217A1

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Herstellung einer Magnetspulenanordnung mit einer oder mehreren strom durchflossenen Magnetspulen, welche elektrisch leitende Ab schnitte aufweisen, wobei die elektrisch leitenden Abschnitte auf einem oder mehreren koaxialen Zylindern oder parallelen Flächen angeordnet sind, wo sie eine quasi-kontinuierliche Verteilung der Stromdichte j und dadurch in einem innerhalb der Magnetspulenanordnung befindlichen Meßvolumen ein Magnet feld B mit vorgegebener Feldverteilung erzeugen können, und wobei die Magnetspulenanordnung verglichen mit allen möglichen Spulenanordnungen auf den koaxialen Zylindern bzw. Flächen zur Erzeugung dieser Feldverteilung eine minimale Induktivität L besitzt.

Ein solches Verfahren ist beispielsweise aus der EP 03 20 285 A1 bekannt.

Magnetspulenanordnungen der genannten Art finden in immer stärkerem Maße auf dem Gebiet der Kernspinresonanz (NMR)-Tech nik zur Erzeugung von Magnetfeldern oder magnetischen Gradien tenfeldern Anwendung. Sie können aber auch in anderen Gebieten der Technik eingesetzt werden. Eine der Hauptforderungen an die Eigenschaften dieser Magnetspulenanordnungen besteht da rin, daß mit der Magnetspulenanordnung möglichst genau eine vorgegebene Magnetfeldverteilung erzeugt werden soll, wobei die Induktivität L der Magnetspulen möglichst klein sein soll und wobei auch noch andere technische Randbedingungen, wie beispielsweise eine optimale Abschirmung des Außenraumes gegen das in der Magnetspulenanordnung erzeugte Magnetfeld und eine möglichst geringe Oszillation der von den stromdurchflossenen Magnetspulen erzeugten Stromdichteverteilung eingehalten wer den sollen.

In der genannten Druckschrift EP 03 20 285 A1 ist ein Algo rithmus zur Berechnung der Geometriedaten einer solchen Mag netspulenanordnung beschrieben, der es gestattet, bei Vorgabe der gewünschten Magnetfeldverteilung, die hier allerdings nur unscharf durch die Vorgabe singulärer Feldpunkte definiert ist, die Stromdichte für Haupt- und Abschirmspule so zu be rechnen, daß bei perfektem Abschirmeffekt die Induktivität L minimal ist. Der offenbarte Algorithmus ist nicht auf Gradientensysteme beschränkt, sondern prinzipiell auf alle Spulensysteme anwendbar. Außerhalb der eingangs festgelegten Feldpunkte kann allerdings das von dem Magnetspulensystem er zeugte resultierende Feld an jedem Ort erst nach Berechnung der Stromdichten ausgerechnet und damit dann auch der ent sprechende Feldfehler bestimmt werden.

Durch die Vorgabe lediglich singulärer Feldpunkte ist bei dieser Vorgehensweise der damit verbundene globale Feldfehler a priori in keiner Weise definiert. Zwischen den singulären Feldpunkten kann das Magnetfeld oszillieren. Eine an fängliche Definition des gewünschten Magnetfeldes inklusive definierter zulässiger Feldfehler wäre nur durch Vorgabe des globalen Feldes, oder aber durch ein intelligentes, gezieltes Auswahlsystem geometrisch genau definierter Feldpunkte, deren relationale Geometrie auf den Einzelfall anzupassen wäre, mög lich. Ein solches Auswahlsystem ist aber in der genannten Druckschrift EP 03 20 285 A1 nicht beschrieben. Nach den An gaben der Beschreibung kann das offenbarte Verfahren bezüglich der anzustrebenden Magnetfeldverteilung mit definiert zuläs sigen maximalen Fehlern nur als "Trial and Error"-Verfahren bezeichnet werden.

Bedingt durch den geschilderten "Einbahnstraßen"-Algorithmus besteht nach dem bekannten Verfahren keine unmittelbare Ein flußmöglichkeit auf die Variation der Stromdichteverteilung. Gegen eine allzu stark ozillierende Stromdichteverteilung mit mehrfacher Stromumkehr, also mehrfachem Vorzeichenwechsel der Windungsrichtungen innerhalb der Spule, soll gemäß dem bekann ten Verfahren eine Glättungsfunktion ("apodising function") angewendet werden. Diese vorsichtige Glättung funktioniert allerdings nur außerhalb des in der Druckschrift angeführten Algorithmus für minimale Induktivität etc. Ebenso wie der oben angesprochene Feldfehler kann bei diesem Verfahren eine technisch realisierbare Stromdichteverteilung auch wieder nur durch "Trial and Error" gefunden werden. Explizit beschrieben wird ein solches Verfahren oder ein entsprechender Parameter satz für geglättete Abschirm-Spulen mit minimaler Induktivität in der genannten Druckschrift allerdings nicht. Andererseits bedeutet aber jede vom oszillierenden, theoretisch gewonnenen Ergebnis abweichende Stromdichteverteilung rückwirkend auch eine nur ungenügende Realisierung der Feldverteilung des vor gegebenen Zielfeldes, des Abschirmeffekts und der minimalen Induktivität.

Aus alledem ergibt sich, daß dem bekannten Verfahren jegliche Möglichkeit einer unmittelbaren Kopplung von global zulässigen Feldfehlern und den restlichen Eigenschaften der zu berechnen den Magnetspulenanordnung fehlt. Damit gibt es auch keine praktikable Möglichkeit, jedes gewünschte Magnetspulensystem auf die eine Konfiguration minimaler Fehler zu optimieren. Außerdem sind die nach dem bekannten Verfahren berechneten, stark oszillierenden Stromdichteverteilungen entweder gar nicht oder nur bedingt technisch realisierbar. Damit sind aber auch die mathematisch an die jeweilige Stromdichteverteilung (mit oder ohne Oszillationen) gekoppelten Eigenschaften wie minimale Induktivität, maximale Abschirmung etc. ebenfalls nur bedingt realisierbar.

Aufgabe der Erfindung ist es daher, ein Verfahren der eingangs genannten Art vorzustellen, das technisch möglichst einfach umzusetzende Ergebnisse liefert, wobei zusätzlich zur ge forderten Minimierung der Induktivität L unter vorgebbaren Randbedingungen auch zusätzliche technisch relevante Parameter der Magnetspulenanordnung unabhängig voneinander optimiert werden können.

Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß dadurch gelöst, daß die Anordnung der elektrisch leitenden Abschnitte so gewählt wird, daß sich bei Stromfluß durch die Magnetspulen eine be stimmte Stromverteilung ergibt, die durch folgende Schritte ermittelt wird:

a) Entwicklung der Feldverteilung der z-Komponente B_z des Magnetfeldes B in eine Reihe mit den Koeffizien ten C_n,m;
b) Definition eines maximalen zulässigen Feldfehlers ΔB^max innerhalb des Meßvolumens oder eines Teilvolumens als Funktion f₁ der Koeffizienten C_n,m;
c) Festlegung eines zulässigen Wertebereiches (L^min, L^max) für die Induktivität L;
d) Definition mindestens eines weiteren technisch relevanten Parameters der Magnetspulenanordnung als Funktion f₂, f₃, . . . usw. der Koeffizienten C_n,m;
e) Festlegung eines zulässigen Wertebereiches (f₂ ^min, f₂ ^max), (f₃ ^min, f₃ ^max), . . . usw. für den mindestens einen weiteren Parameter f₂, f₃, . . . .;
f) Setzen von vorgebbaren Werten für einen Teil der Koeffizienten C_n,m;
g) Berechnung von kontinuierlichen Stromdichten j auf den koaxialen Zylindern bzw. Flächen mit diesen Werten;
h) Berechnung der Induktivität L mit diesen Werten;
i) Berechnung einer endlichen Anzahl weiterer Koeffizienten C_n,m mit steigenden Indizes n,m;
j) Berechnung der Feldverteilung des Magnetfeldes B im Meßvolumen oder einem Teilvolumen und Bestimmung des Feldfehlers ΔB = f₁ (C_n,m);
k) Berechnung des mindestens einen weiteren Parameters f₂ (C_n,m), f₃ (C_n,m), . . . usw. mit diesen Werten;
l) Vergleich des berechneten Feldfehlers ΔB_z mit dem zulässigen Maximalwert ΔB_z ^max, der berechneten Induk tivität L mit den Bereichsgrenzen des zulässigen Wertebereiches (L^min, L^max) und der berechneten weite ren Parameter f₂, f₃, . . . usw. mit den Bereichsgren zen der zulässigen Wertebereiche (f₂ ^min, f₂ ^max), (f₃ ^min, f₃ ^max), . . . usw.;
m) bei Einhaltung aller zulässigen Grenzwerte: entweder
- m1) Akzeptieren des Ergebnisses und Umsetzung der kontinuierlichen Strom dichten j in eine technisch reali sierbare quasi-kontinuierliche Strom verteilung; oder
- m2) Wiederholung der Schritte a) bis l) mit eingeschränkten zulässigen Grenz werten und/oder einem erweiterten Satz von gesetzten Koeffizienten C_n,m nach f);
n) bei Überschreiten von mindestens einem zulässigen Grenzwert:
- n1) Setzen neuer Werte für die vorgegebenen Koeffizienten C_n,m von Hand oder mit Hilfe eines an sich bekannten Optimierungsalgorithmus unter Berücksichtigung der Abweichungen der berechne ten Werte von den zulässigen Grenzwerten;
- n2) Wiederholung der Schritte g) bis m), ggf. bis n).

Mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens gelingt es, die optimalen Geometriedaten für eine Magnetspulenanordnung die eine bestimmte gewünschte Magnetfeldverteilung erzeugen kann, wobei andere wichtige Parameter wie z. B. Induktivität, Strom dichteoszillationen, Abschirmeffekt etc. ebenfalls optimiert werden, zu berechnen und technisch umzusetzen. Hauptvorteil des erfindungsgemäßen Verfahrens ist die hohe Flexibilität, die der Anwender des Verfahrens durch die Möglichkeit einer a-priori-Definition von Schranken für technisch relevante Parameter, deren Variation im Verfahrensablauf und die an fängliche Vorgabe der angestrebten Induktivität gewinnt. Das Ergebnis der Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens ist in jedem Fall eine technisch besonders einfach zu realisierende Magnetspulenanordnung, die die theoretisch möglichen Optima (Maxima bzw. Minima) innerhalb des mehrdimensionalen Problems sucht und berechnet, z. B. den theoretisch kleinstmöglichen Linearitätsfehler bei Fixierung aller anderen Parameter.

Ausgehend von einem akzeptierten Ergebnis des erfindungsge mäßen Verfahrens werden bei einer Ausführungsform im Schritt m2) die zulässigen Grenzwerte so oft eingeschränkt und/oder der Satz von berücksichtigten Koeffizienten C_n,m so oft er weitert, bis sich die Ergebnisse bei weiterer Einschränkung der Grenzwerte nicht mehr signifikant ändern. Dadurch wird das erzielte Ergebnis mit vertretbarem Aufwand nochmals wesentlich verbessert.

Bei einer bevorzugten Ausführungsform wird der Feldfehler ΔB_z, die Induktivität L oder einer der weiteren technisch rele vanten Parameter durch sukzessive Einschränkung der zulässigen Grenzwerte für diesen Parameter in Schritt m2) so oft, bis sich keine Lösung mehr ergibt, gezielt optimiert.

Vorzugsweise werden in Schritt f) zwischen 4 und 6 Koeffizien ten C_n,m fest vorgegeben, insbesondere die Koeffizienten C_1,0 oder C_1,1. Der Koeffizient C_1,0 ist in der Nomenklatur der Reihen entwicklung der Feldverteilung des Magnetfeldes nichts anderes als die Stärke eines magnetischen Gradientenfeldes in z-Rich tung. Der Koeffizient C_1,1 gibt die Gradientenstärke in x- bzw. y-Richtung an.

Um Rechenaufwand zu sparen werden bei einer bevorzugten Aus führungsform in Schritt i) weniger als 10 weitere Koeffizien ten C_n,m berechnet. Dies reicht in der Regel aus, um einen Feld verlauf zu erhalten, der an den realen weitestgehend angenä hert ist.

Besonders bevorzugt ist eine Ausführungsform des erfindungs gemäßen Verfahrens, bei der in Schritt a) die Feldverteilung des Magnetfeldes B nach Kugelflächenfunktionen entwickelt wird. Überraschenderweise hat sich gerade die Reihenent wicklung nach Kugelflächenfunktionen als besonders wirksam und mathematisch einfach erwiesen, obwohl doch die Symmetrie der Spulenanordnung eher zylindrisch ist, so daß man zunächst an die Verwendung von Zylinderkoordinaten als einfachste mathema tische Beschreibung des Systems denken würde.

Um einen maximalen Abschirmeffekt zu erhalten, wird bei einer weiteren bevorzugten Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens in den Schritten a) bzw. b) die Stärke des Magnet feldes B radial außerhalb des äußersten Zylinders bzw. außer halb der jeweils äußersten parallelen Fläche auf Null gesetzt.

Üblicherweise werden abgeschirmte Magnetspulensysteme durch zwei ineinander verschachtelte, koaxial angeordnete Magnet spulen realisiert. Demzufolge werden bei einer weiteren Aus führungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens die elektrisch leitenden Abschnitte der Magnetspulen auf zwei koaxialen Zylindern mit den Radien a bzw. b angeordnet.

Bevorzugt ist weiterhin eine Ausführungsform des erfindungs gemäßen Verfahrens, bei der in Schritt d) als weiterer Para meter eine zu den räumlichen Oszillationen der Stromdichte j proportionale Größe, insbesondere der Betrag der zweiten Ableitung der Stromdichte j nach dem Ort in z-Richtung | d²j/dz² | gewählt wird.

Bevorzugt ist auch eine Ausführungsform, bei der im Schritt d) als weiterer Parameter eine von der axialen Länge l der Mag netspulenanordnung in z-Richtung abhängige Größe, insbesondere das Integral des Betrages der Stromdichte j vom Magnetspulen ende bei l bis z = ∞:

gewählt wird.

Fertigungstechnisch besonders einfach ist eine Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens, bei der die elektrisch lei tenden Abschnitte aus flächigem, leitfähigem Material geringer Dicke, insbesondere aus Blech gefertigt werden. Die aus flächigem, leitfähigem Material hergestellten Spulenteile können die angestrebte oszillationsarme Stromdichteverteilung im Gegensatz zu einer aus Drähten bestehenden Leiteranordnung wesentlich besser realisieren.

Vorzugsweise werden die elektrisch leitenden Abschnitte ent lang vorberechneter Positionen durch Nuten konstanter und im Vergleich zu den leitenden Abschnitten geringer Breite ge trennt.

Das Ausschneiden der entsprechenden Magnetspulenteile aus dem flächigen Material geschieht am einfachsten bei einer Variante des Verfahrens, bei der die elektrisch leitenden Abschnitte aus plattenförmigem Material, insbesondere aus Kupferblech, gefertigt, insbesondere in Wasserstrahltechnik geschnitten werden. Falls die leitenden Abschnitte auf Zylinderflächen liegen sollten, müssen die ausgeschnittenen Blechteile an schließend auf den gewünschten Radius gebogen werden. Damit ist für die Einzelspule eine optimale Reproduktion der berech neten Stromdichteverteilung gewährleistet.

X- bzw. Y-Gradientenspulensysteme bestehen jedoch i.a. aus jeweils vier identischen Einzelspulen, die axial und azimutal symmetrisch angeordnet sind. Um die erforderliche hohe Ge nauigkeit der Reproduktion der Symmetrie dieser Spulensysteme einzuhalten, werden bei einer bevorzugten Variante des er findungsgemäßen Verfahrens die elektrisch leitenden Abschnitte aus röhrenförmigem Material, insbesondere aus zylindrischen Kupferrohren, gefertigt.

Vorzugsweise werden die Abschnitte in Laserstrahltechnik aus den Rohren geschnitten, wobei insbesondere mehrere Magnet spulen der Anordnung, vorzugsweise zwei oder vier, gleich zeitig aus einem Rohr gefertigt werden.

Um eine Fixierung der Form der ausgeschnittenen Spulenteile zu erreichen, sowie zum Zwecke der elektrischen Isolation werden bei einer Ausführungsform die elektrisch leitenden Abschnitte, nachdem sie aus dem flächigen, leitfähigen Material heraus geschnitten worden sind, verharzt.

In den Rahmen der Erfindung fällt auch eine Magnetspulen anordnung, die nach einem der oben beschriebenen erfindungsge mäßen Verfahren hergestellt worden ist.

Insbesondere für einlagige Magnetspulen ist die Anwendung der erfindungsgemäßen Verfahrensvarianten besonders günstig, weil damit im Gegensatz zu mehrlagigen Magnetspulen kontinuierliche Stromdichteverteilungen optimal angenähert werden können.

Bevorzugt sind Ausführungsformen der erfindungsgemäßen Magnet spulenanordnung, bei denen die Magnetspulen Gradientenspulen zur Erzeugung eines magnetischen Gradientenfeldes sind.

Bei einer besonders bevorzugten Ausführungsform sind die Magnetspulen abgeschirmte Gradientenspulen, insbesondere für supraleitende Magnete für die Kernspinresonanz (NMR)-Tomo graphie.

Die Erfindung wird im folgenden anhand der in der Zeichnung dargestellten Ausführungsbeispiele näher beschrieben und er läutert. Die der Beschreibung und der Zeichnung zu entnehmen den Merkmale können bei anderen Ausführungsformen der Er findung einzeln, für sich oder zu mehreren in beliebiger Kom bination Anwendung finden. Es zeigen:

Fig. 1 Φ-Komponenten der Stromdichteamplituden über der Raumrichtung z berechnet nach Formel 7

a) C_1,1; b) C_3,1; c) C_5,1; d) C_7,1;

Fig. 2 den Zusammenhang zwischen integrierter Stromdichte und zugehöriger Leiteranordnung über der Raum koordinate z;

Fig. 3 die wahren Stromdichte-Amplituden bei Φ = 0 über der Raumkoordinate z für

a) ein klassisches System mit C_3,1 = C_5,1 = 0, wobei die ersten aus Symmetriegründen nicht-verschwindenden Beiträge extern zu Null gesetzt sind;
b) ein System, das mit einem gegenüber dem Verfahren nach der EP 03 20 285 A1 verbesserten Rechenver fahren berechnet wurde, und das unter allen mög lichen Kombinationen C_n,m mit identischer Induktivität L den geringsten Feldfehler ΔB_z aufweist;
c) ein nach dem erfindungsgemäßen Verfahren berech netes System mit geglätteter Stromdichtekurve;

Fig. 4a-c die zu den Stromdichteamplituden der Fig. 3a-c kor respondierenden Gradientenspulen, genauer, die Lage der stromdurchflossenen Leiterelemente;

Fig. 5a-c die zu den Stromdichteamplituden der Fig. 3a-c kor respondierenden Abbildungen eines Strichgitters durch Spulen der Formen von Fig. 4a-c;

Fig. 6 für jeweils eine Gradientenspule bzw. eine Abschirm spule die Amplituden bei Φ = 0 der Φ-Komponenten

a) der in z-Richtung integrierten Stromdichten;
b) der nicht-integrierten Stromdichten über der z-Richtung.

Fig. 7 die über der z-Richtung aufgetragene Umfangslage der stromdurchflossenen Leiter für

a) eine x-Gradientenspule
b) die zugehörige Abschirmspule; und

Fig. 8 die Abbildung eines Strichgitters in z-Richtung bei einer NMR-Aufnahme mit einer erfindungsgemäßen Mag netspule (x-Gradientenspule).

Das der Erfindung zugrunde liegende Entwicklungsziel ist eine Magnetspulenanordnung, die im konkreten Fall aus zwei ko axialen, einlagigen zylindrischen Spulen, einer inneren Haupt spule und einer äußeren Abschirmspule mit definierten Spulen raten a <b besteht und die folgenden Eigenschaften aufweist:

1. Die Spulenanordnung soll eine definierte "monochroma tische" Feldverteilung mit minimalen Feldfehlern in einem definierten, inneren, zentralen Volumen erzeugen. Bezogen auf die unten diskutierte Entwicklung der Feldverteilung nach Kugelflächenfunktionen (Gleichung 1) bedeutet mono chromatisch, daß im wesentlichen ein einziger, beliebiger Koeffizient C_n,m das Zielfeld bestimmt. Alle anderen Feld anteile sind unerwünschte Feldfehler und daher zu mini mieren.
2. Als Ergebnis soll eine vollständige Abschirmung des Spu lenfeldes im Außenbereich und damit eine Eliminierung orts- und zeitabhängiger Störfelder aufgrund von Wirbel strömen erzielt werden. Störfelder werden von den zeit lich veränderlichen Feldern der Spulen in metallischen Strukturen, die die Spulen umschließen, beispielsweise Strahlungsschilde bei supraleitenden Spulenanordnungen, induziert.
3. Die gewünschte Magnetspulenanordnung soll eine minimale Induktivität L aufweisen und damit hohe potentielle Schaltgeschwindigkeiten von elektromagnetischen Wechsel feldern ermöglichen.
4. Außerdem ist ein minimaler lokaler ohm′scher Widerstand der Spulenanordnung und damit eine lediglich geringe, durch die ohm′schen Verluste hervorgerufene lokale Er wärmung des Systems erwünscht.
5. Eine weitere Anforderung an die erfindungsgemäße Magnet spulenanordnung besteht in dem Merkmal einer möglichst geringen Oszillation der Stromdichte in den Spulen. Mathematische Feldformulierungen gestatten lediglich die optimierte Berechnung einer stetig-differenzierbaren Ortsfunktion der Stromdichteverteilung, nicht jedoch die Berechnung der technisch allein realisierbaren diskreten Einzeldraht-Stromportionierung. Ein Entwicklungsziel auf dem Weg zur vorliegenden Erfindung war daher die Berech nung einer "diskretisierbaren", auf Einzeldrähte über tragbaren Stromdichteverteilung, die lediglich Strom dichteoszillationen erzeugt, welche wesentlich lang welliger sind als der Abstand zweier benachbarter Leiter.
Ein grundlegendes Unterscheidungsmerkmal der im folgenden beschriebenen "STREAMLINE"-Spulen von klassischen Spulen ist eine möglichst flächige Verteilung der Stromdichte. Mathematisch bedeutet dies eine beliebige Erhöhung der Orts-Freiheitsgrade der Stromdichte, z. B. gegenüber klas sischen Sattelspulen, die nun durch Variation der mit diesen Freiheitsgraden gekoppelten Geometrie eine paral lele Optimierung von mehreren Eigenschaften wie Indukti vität L, Widerstand R, Feldfehler ΔB_z usw. erlauben. Ande rerseits führt in praktisch jedem Fall eine rein mathema tische Optimierung ("Minimierung zu Null" im Unterschied zu "kleiner als eine vorgegebene Schranke") zwar zu ma thematisch exakten Ergebnisfunktionen, aber nur selten zu technisch realisierbaren Modellen. Analytisch können in der Regel nur Gleichungssysteme, nicht jedoch Unglei chungssysteme exakt gelöst werden. Im Fall der "STREAM LINE"-Spulen führt die Minimierung der Induktivität allein, also ohne "bremsende" Randbedingungen, zu starken Oszillationen der Stromdichte, wie sie beispielsweise auch in der EP 03 20 285 A1 beschrieben sind. Solche wild oszillierenden Stromdichten sind aber nur sehr bedingt mit diskreten Einzelleitern zu reproduzieren.
6. Daher sollte schließlich bei der erfindungsgemäßen Magnetspulenanordnung die Stromdichteverteilung durch flächige Einzelleiter diskretisiert werden. Gegenüber einer Draht-Diskretisierung, die einer Näherung durch Treppenfunktionen entspricht, ist eine flächige Vertei lung der flächigen Stromdichte die bessere technische Näherung. Nicht Draht von konstantem Querschnitt wird in die STREAMLINE-Position gebracht, sondern flächige Kupferplatten werden entlang der STREAMLINE-Positionen in Leiterbahnen getrennt. Unter der hier sicherlich gültigen Annahme einer weitgehend konstanten Stromdichteverteilung innerhalb jedes diskreten Einzelleiters ist die Näherung einer mathematisch berechneten, kontinuierlichen Strom dichteverteilung auch durch diskrete, flächige Einzel leiter nahezu perfekt, wenn die Stromdichteoszillationen schlimmstenfalls langwellig auftreten.
Bei annähernd konstanter Stromdichteverteilung ist die flächige Diskretisierung nicht nur hinsichtlich der besten Übereinstimmung mit dem theoretischen Modell opti mal, sondern auch hinsichtlich einer Minimierung des lokalen ohm′schen Widerstandes. Bei ungleichmäßiger Leiterverteilung (entsprechend einer variablen Strom dichte) gibt es Gebiete mit überdurchschnittlich breiten Leiterbahnen und überdurchschnittlich schmalen Leiter bahnen, die daher einen hohen lokalen Widerstand aufwei sen und somit bei Stromfluß überdurchschnittlich stark lokal erhitzt werden. Dieses Problem entfällt bei einer gleichmäßigen Verteilung der Stromdichte.

Im folgenden werden die physikalischen Grundlagen der Formeln für die Stromdichte j, die Induktivität L und das Magnetfeld B_z diskutiert, die zu einer Reihe von Gleichungen führen, welche in dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Herstellung einer Magnetspulenanordnung Anwendung finden.

In einem quellfreien Volumen vom Radius R kann jedes beliebige Magnetfeld durch die folgende Reihenentwicklung nach Kugel flächenfunktionen beschrieben werden:

Dabei sind P_n,m (cos (R)) die Legendre-Funktionen, wobei R <a <b und a bzw. b die Radien zweier koaxialer, ein lagiger, zylindrischer Spulen bedeuten.

Die Koeffizienten C_n,m charakterisieren das Feld zusammen mit den Phasenwinkeln α_m vollständig.

Durch freie Wahl einer beliebigen, endlichen Zahl N von Ko effizienten

C_n(s),m (2)

mit s = 1, 2, . . ., N fortlaufend und m = m_set fest können parallel und unabhängig voneinander die diesen Ko effizienten zugeordneten Φ-Komponenten j_Φ (Φ, z) (A/m) der Spu lenstromdichte in Abhängigkeit von Φ und z, die Induktivität L und alle restlichen, nicht gesetzten Koeffizienten C_m,m berech net werden.

Die Formeln gewährleisten für jeden beliebigen Satz von Ko effizienten, daß die zugeordnete Induktivität minimal ist und außerhalb der Abschirmspule im Radius b das von der Spulen anordung erzeugte Magnetfeld vollständig verschwindet. Mit b→ ∞ wird das unabgeschirmte System definiert.

Als Hilfsvariable wird die auf den diskreten Spulenstrom I (A) normierte Stromdichte f_Φ (Φ, z) (m^-1) definiert:

f_Φ (Φ, z) = j_Φ (Φ, z)/I.

Für die innere Spule mit dem Radius a (m) gilt dann:

Für die äußere Abschirmspule mit dem Radius b (m) gilt:

Die Induktivität L der Spulenanordnung bestimmt sich dann zu

Für alle Feldkoeffizienten, gesetzte wie berechnete, gilt:

Mit den Normstromdichten

und

sowie folgenden Abkürzungen:

mit den Elementen einer symmetrischen N×N Matrix (µ)

Für den Zielkoeffizienten C_1,1, der einen monochromen X- bzw. Y- Gradienten beschreibt, sind in Fig. 1 einige der relevanten Norm-Stromdichten, nämlich die Φ-Komponenten der Stromdichte amplituden über z, zugeordnet den gesetzten Koeffizienten C_1,1; C_3,1; C_5,1 und C_7,1 dargestellt. Die Summen-Stromdichten der beiden Spulen mit Radien a und b erhält man als Superposition nach Gleichung (3) bzw. (4). Beiträge zu den Stromdichten liefern allein die gesetzten Koeffizienten.

Die Stromdichten schließen sowohl eine Abschirmung des Magnet feldes B nach außen als auch die minimale, nicht nur geringe Induktivität L der Spulenanordnung ein. Im Unterschied zu den obengenannten Verfahren nach dem Stand der Technik können ne ben minimaler Induktivität auch zusätzliche Randbedingungen analytisch eingeführt werden, vorzugsweise der minimale Feld fehler ΔB und eine oszillationsarme Stromdichte.

Die einfachen Formeln der Gleichungen (2) bis (6) sind be sonders gut geeignet für schnelle numerische Optimierungs routinen. Ein wesentlicher Fortschritt der Erfindung gegenüber Verfahren nach dem Stand der Technik wird durch das im Anhang gezeigte Optimierungsdiagramm deutlich. Danach werden in einem ersten Schritt die gewünschten Randbedingungen, wie Induktivi tät L, Feldverteilung des Magnetfeldes B_z, Stromdichte oszillationen und Spulenlänge l eingegeben. In einem zweiten Schritt werden dann die Koeffizienten nach Gleichung (2) ein gegeben. Sodann erfolgt eine parallele Berechnung der Strom dichte j nach den Gleichungen (3) und (4), der Induktivität L nach Gleichung (5) sowie des Magnetfeldes B_z nach den Glei chungen (1) und (6). Schließlich werden die errechneten Werte mit den vorgegebenen Randbedingungen für Feldfehler, Induk tivität, Stromdichteverteilung, Oszillationen und Spulenlänge verglichen. Erfüllen die erhaltenen Lösungen die Randbe dingungen, so endet das Programm; werden die Randbedingungen nicht erfüllt, so kann ein neuer Programmlauf im zweiten Schritt bei der Eingabe der Koeffizientenmenge erfolgen.

Im folgenden soll auf die Definition des Feldfehlers ΔB_z näher eingegangen werden:

Nach Gleichung (1) ist das Feld B vollständig definiert; mit den Kugelkoordinaten (R, R, Φ) und kartesischen Koordinaten (x, y, z) gilt

x = R · sin (R) · cos (Φ).

Ein idealer monochromatischer X-Gradient ist definiert durch

B_z (R, R, Φ) = C_1,1 · x

Nach Gleichung (1) entspricht dies dem Term n = m = 1 und α_m = 0:

b = C_1,1 · R¹ · P₁ ¹ [cos (R)] · cos (Φ)
= C_1,1 · R¹ · sin (R) · cos (Φ)
= C_1,1 · x.

Demzufolge liefern alle anderen C_n,m Fehlerbeiträge. Der Ko effizient C_1,1 erzeugt also den X-Gradienten dB_z/dx (bzw. den Y-Gradienten dB_z/dy). Alle anderen C_n,m wie beispielsweise der Koeffizient C_3,1, der den Dritte-Ordnung-Gradienten d³B_z/dx³ er zeugt, tragen zum Feldfehler ΔB bei.

Durch eine geeignete Auswahl der Spulensymmetrie fallen alle geraden Ordnungen der Koeffizienten C_n,m in n heraus, so daß nur Terme mit m = 1 und n = ungerade übrig bleiben.

Spulensysteme dieses Grundtyps bestehen im allgemeinen aus vier symmetrisch angeordneten, identischen Einzelspulen. Sie sind axial symmetrisch bezüglich z = 0 und azimutal antisym metrisch bezüglich Φ = 180°. Für das Gesamtsystem verschwinden wegen des zu cos (Φ) proportionalen azimutalen Stromdichtever laufes alle Koeffizienten mit m ≠ 1 und alle Koeffizienten mit geraden n infolge der gewählten axialen und azimutalen Symme trie.

Allein aus Symmetriegründen existieren daher nur folgende Feldbeiträge: B_1,1, B_3,1, B_5,1, . . . etc.

B_1,1 ist der Zielbeitrag während alle anderen Beiträge unerwünschte Fehler sind.

Der Gesamtfehler ist für dieses System an jedem Ort (R, R, Φ) definiert durch

ΔB_z (R, R, Φ) = Σ_{n=3,5, . .} C_n,1 · Rⁿ · P_n ¹ [cos (R)] · cos (Φ).

Sowohl das Zielfeld B_1,1 als auch der Gesamtabsolutfehler ΔB_z variieren mit cos (Φ). Es genügt daher, die Fehlerbeiträge in der Ebene (R, Φ, R = 0) zu untersuchen, da sie den relativen Fehler im gesamten Volumen repräsentieren.

Als Randbedingungen des numerischen Optimierungsverfahrens ist für den tolerablen Fehlerbeitrag im interessierenden Feld volumen (= Meßvolumen) eine Zahl (und keine Funktion!) vorzu geben. Dies kann z. B. das Volumenintegral der Feldfehler in Relation zum Volumenintegral des linearen Gradienten sein, was allerdings eine numerisch zeitraubende Operation ergibt, die für praktische Zwecke ungeeignet ist.

Falls das interessierende Meßvolumen eine Kugel mit Radius R ist, genügt die Berechnung der Feldfehler auf der Kugelober fläche bzw. entlang dem Kreisumfang mit Radius R in der Ebene Φ = 0. Als numerisches Maß für den Fehler genügt in vielen Fällen die Peak-Peak-Differenz.

Es sei aber ausdrücklich betont, daß für jede spezifische An wendung des zu optimierenden Spulensystems, welches durch Zielfeld, interessierendes Feldvolumen (Kugel, Zylinder, Scheibe etc.) und spezifischer dreidimensionaler Fehlerfunk tion definiert ist, eine geeignete Randbedingung für den Feld fehler formuliert werden kann, so daß das berechnete Spulen system den Vorgaben optimal folgt.

Als Beispiel für die Randbedingung eines numerischen Feld fehlers F (Peak-Peak) kann daher

F = Max [f (R)] - Min [f(R)] mit
f (R) = Σ_{n=3,5, . .} C_n,1 · Rⁿ · P_n ¹ [cos (R)]

angegeben werden.

Die Stromdichten j und die daraus gebildeten Hilfsfunktionen f_Φ (Φ, z) sind nach den Gleichungen (3) und (4) definiert. Ein Maß für Stromdichteoszillationen in der z-Richtung und damit über die Kontinuitätsgleichung auch in Φ-Richtung sind die Amplituden der zweiten Ableitungen von Gleichung (3) und (4) nach z. Als numerisches Maß, das als Randbedingung für die numerische Optimierung geeignet ist, kann z. B. wiederum die Peak-Peak-Differenz der zweiten Ableitung gewählt werden.

Als numerische Randbedingung für eine maximal zulässige Spulenlänge l wählt man zweckmäßiger eine geeignete obere Schranke für das Integral der Stromdichte von 1 bis "unendlich".

Wie aus der obigen Diskussion deutlich wird, ist eine oszilla tionsarme Stromdichteverteilung jeder stark oszillierenden Verteilung überlegen. Die beste flächige Reproduktion der flächigen Stromverteilung ist dadurch zu erzielen, daß aus Kupferplatten CNC-gesteuert Nuten konstanter Breite so geschnitten werden, daß die streamline-förmigen Leiter übrig bleiben.

Fig. 2 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen integrierter Stromdichte und entsprechender Leiteranordnung, falls die Stromdichte azimutal mit cos Φ variiert. Nach oben aufgetragen ist dabei das z-Integral der Φ-Komponente der Stromdichte bei Φ = 0 über der z-Achse, während nach unten die entsprechenden Windungen der felderzeugenden Spule (eigentlich Halbspule) aufgetragen sind, wobei die Windungsabstände jeweils 5 Strom einheiten auf der nach oben aufgetragenen Strom-Skala entspre chen.

Die Hilfsformel zur Berechnung der in Fig. 2 nach unten aufge tragenen Nutenpositionen = Spulenradius _* Φ_n (z) der n-ten Nut lautet:

Da die Nuten zur Sicherheit gegen Kurzschlüsse ein Minimum von etwa 1 mm nicht unterschreiten sollten, ist gerade bei den in teressantesten Systemen aus Spulen mit vielen, dann aber schmalen Leiterbahnen (starkes Feld) wesentlich, daß die Lei terverteilung homogen ist. Das bedeutet, daß die Stromdichte konstant sein muß, da sonst die schmalen Leiterbahnen aus ohm′schen Gründen nicht mehr zu realisieren sind. Es sollte also ein maximaler Packfaktor erzielt werden. Der zunächst denkbare Ausweg, dieses Problem durch stärkere Kupferplatten, also radiale Verstärkung der Spulen zu lösen, funktioniert deswegen nicht, weil dadurch implizit das Radienverhältnis a/b der koaxialen Spulen steigt und die Systemeigenschaften sich mit hohen Potenzen dieses Verhältnisses dramatisch verschlechtert.

Das Entwicklungsziel einer Maximierung des minimalen Leiter querschnitts der Spulen bei gleichzeitig bestmöglicher Repro duktion der berechneten Stromdichte und radial möglichst ge ringer Ausdehnung der Spulen wird durch mehrere, unabhängige Schritte und Verfahren gelöst: Rechnerische Reduktion der Stromdichteoszillation in z-Richtung als Vorraussetzung äqui distant breiter Leiterbahnen in z-Richtung; flächige Reproduk tion der Stromdichte mit möglichst schmalen Isolationsnuten zwischen möglichst äquidistanten Leiterbahnen durch CNC- Schneideverfahren aus flächigem Vollmaterial; blasenfreie und rißfreie elektrische Isolierung benachbarter Leiterbahnen, flächige Formstabilisierung der Leiterbahn-Nut-Spiralen, sowie Formstabilisierung der zu rundenden Platten in radialer Richtung durch (radial) möglichst dünne Isolationsschichten (2/10 mm) per Vakuumverguß und Heißpreßverfahren geeigneter Harzkombinationen, die sowohl elektrisch isolieren, als auch durch angepaßte, mechanische Belastbarkeit dachziegelartige, radiale Verdickungen der Leiter-Nut-Platten während des Rundungsverfahrens zu Zylindern unterbinden.

Nach dem Schneiden der Nuten werden die Platten verharzt und anschließend auf den gewünschten Radius gebogen. Damit ist für die Einzelspule eine optimale Reproduktion der gewünschten Stromdichteverteilung gewährleistet.

X- bzw. Y-Gradientenspulensysteme bestehen i.a. aus vier bzw. zwei identischen Einzelspulen, die axial und azimutal symme trisch angeordnet sind. Neben der Reproduktion der Strom dichteverteilung in der Einzelspule ist hier auch die genaue Reproduktion der Symmetrie von mindestens gleicher Bedeutung.

Bei kleineren 4-Spulen-Systemen werden daher von vorn herein jeweils zwei axial symmetrische Spulen gleichzeitig aus einer Kupferplatte geschnitten. Damit ist diese Symmetrie von vornherein CNC-genau. Die Spulen können im allgemeinen mit der bekannten Wasserstrahltechnik aus den Kupferplatten ge schnitten werden.

Optimal ist ein CNC-Schnitt aller vier Einzelspulen eines Systems, nämlich der jeweils vier Einzelspulen für die innere Gradientenspule und der vier Einzelspulen für die äußere Ab schirmspule, aus einem einzigen Kupferhohlzylinder. Dann bleibt nur noch die koaxiale und die axiale Symmetrie der bei den Zylinder extern zu justieren. In diesem Falle empfiehlt sich die Technik des LASER-Schneidens.

In Fig. 3a bis c werden die wahren Stromdichteverteilungen über der Z-Richtung von drei Magnetspulensystemen für einen tesseralen, abgeschirmten Gradienten verglichen. Die Spulen systeme haben jeweils identische Gradientenstärken, identische Abmessungen und identische, bezüglich der Randbedingungen minimale Induktivität.

Fig. 3a zeigt die Ergebnisse für ein klassisches System mit C_3,1 = C_5,1 = 0. Die ersten aus Symmetriegründen nicht ver schwindenden Beiträge wurden extern zu Null gesetzt. Man er kennt extrem starke Schwankungen der Stromdichteamplituden im interessierenden Feldbereich innerhalb des Meßvolumens.

Die in Fig. 3b gezeigten Ergebnisse stammen aus einem Rechen verfahren, das ausgehend von dem in der EP 03 20 285 A1 be schriebenen Verfahren noch Verbesserungen aufweist, so daß unter all den möglichen Kombinationen C_n,m mit identischer In duktivität L und identischen anderen Randbedingungen eine Spulenanordnung mit minimalem Fehler herauskommt. Die sich da durch ergebenden Stromdichteoszillationen sind bereits deut lich geringer als die in der Lösung nach Fig. 3a.

In Fig. 3c schließlich ist das Ergebnis aus dem erfindungsge mäßen Optimierungsverfahren mit nahezu glatter Stromdichte kurve aufgetragen. Bei identischer Induktivität L und identi schen übrigen Randbedingungen wird eine gegenüber den anderen Verfahren wesentlich bessere Glättung der Stromdichte erzielt, während der Linearitätsfehler nur unbedeutend anwächst.

In Fig. 4a bis c werden die zu den Stromdichteamplituden der Fig. 3a bis c korrespondierenden Gradientenspulen, genauer, die Lage der stromdurchflossenen Leiterelemente gezeigt.

In Fig. 5a bis c werden die zu den Stromdichteamplituden der Fig. 3a bis c korrespondierenden Abbildungen eines Strich gitters durch Spulen der Formen von Fig. 4a bis c gezeigt.

Im folgenden wird ein vollständiger und typischer Datensatz für die Berechnung eines abgeschirmten tesseralen Gradienten systemes (X bzw. Y) mit "oszillationsarmer" Stromdichte, mini malem Linearitätsfehler bei gegebener Induktivität L, die un ter Berücksichtigung aller Randbedingungen selbst minimal ist, und ohne Längenbegrenzung der Spulen angegeben:

DATENSATZ:

- Radius der Gradientenspule a = 0,4 m
- Radius der Abschirmspule b = 0,6 m
- Gradientenstärke C_1,1 = 5mGauss/(m _* A)
- Induktivität L = 0,512 mH
- Linearitätsfehler (Peak-Peak) von 8,6 % auf einer Kugel oberfläche mit Radius r = (2/3)_*a
- Gesetzte Koeffizienten:
C_01,1 = +.5000E-04  T/(m¹ _*A)
C_03,1 = -.1638E-04  T/(m³ _*A)
C_05,1 = -.6487E-04  T/(m⁵ _*A)
C_07,1 = +.8384E-04  T/(m⁷ _*A)
C_09,1 = -.1348E-03  T/(m⁹ _*A)
C_11,1 = +.6056E-03  T/(m¹¹ _*A)
C_13,1 = -.8313E-03  T/(m¹³ _*A)
C_15,1 = -.4535E-02  T/(m¹⁵ _*A)
C_17,1 = +.3578E-01  T/(m¹⁷ _*A).

Die Ergebnisse der Rechnungen sind graphisch in Fig. 6 bis Fig. 8 dargestellt.

Fig. 6a zeigt die Amplituden der Φ-Komponenten der in z-Rich tung integrierten Stromdichten der Gradientenspule (G) bzw. der Abschirmspule (A) während Fig. 6b die entsprechenden Stromdichten selbst zeigt, also die Ableitungen der in Fig. 6a dargestellten Kurven nach z.

In Fig. 7 ist die berechnete NMR-Abbildung eines Strich gitters mit einem Strichabstand von 2,5 cm durch die berechnete erfindungsgemäße x-Gradientenspule gezeigt.

Fig. 8a zeigt die Lage der stromdurchflossenen Leiterelemente einer Gradientenspule, genauer gesagt den Umfang U eines ab gewickelten Zylinderabschnittes einer Halbspule mit Radius a = 0,4 m über der z-Richtung. Fig. 8b schließlich zeigt ent sprechend die Lage der stromdurchflossenen Leiterelemente der dazugehörigen Abschirmspule mit Radius b = 0,6 m.

Claims

1. Verfahren zur Herstellung einer Magnetspulenanordnung mit einer oder mehreren stromdurchflossenen Magnetspulen, welche elektrisch leitende Abschnitte aufweisen, wobei die elektrisch leitenden Abschnitte auf einem oder mehreren koaxialen Zylindern oder parallelen Flächen angeordnet sind, wo sie eine quasi-kontinuierliche Verteilung der Stromdichte j und dadurch in einem innerhalb der Magnetspulenanordnung befindlichen Meßvolumen ein Magnetfeld B mit vorgegebener Feldverteilung erzeugen können, und wobei die Magnetspulenanordnung verglichen mit allen möglichen Spulenanordnungen auf den koaxialen Zylindern bzw. Flächen zur Erzeugung dieser Feldverteilung eine minimale Induktivität L besitzt,
dadurch gekennzeichnet,
daß die Anordnung der elektrisch leitenden Abschnitte so gewählt wird, daß sich bei Stromfluß durch die Magnetspulen eine bestimmte Stromverteilung ergibt, die durch folgende Schritte ermittelt wird:

a) Entwicklung der Feldverteilung der z-Komponente B_z des Magnetfeldes B in eine Reihe mit den Koeffizienten C_n,m;
b) Definition eines maximalen zulässigen Feldfehlers ΔB_z ^max innerhalb des Meßvolumens oder eines Teilvolumens als Funktion f₁ der Koeffizienten C_n,m;
c) Festlegung eines zulässigen Wertebereiches (L^min, L^max) für die Induktivität L;
d) ggf. Definition eines oder mehrerer weiterer technisch relevanter Parameter der Magnetspulenanordnung als Funktion f₂, f₃, . . . usw. der Koeffizienten C_n,m;
e) Festlegung zulässiger Wertebereiche (f₂ ^min, f₂ ^max), (f₃ ^min, f₃ ^max), . . . usw. für die weiteren Parameter f₂, f₃, . . .;
f) Setzen von vorgebbaren festen Werten für einen Teil der Koeffizienten C_n,m;
g) Berechnung von kontinuierlichen Stromdichten j auf den koaxialen Zylindern bzw. Flächen mit diesen Werten;
h) Berechnung der Induktivität L mit diesen Werten;
i) Berechnung einer endlichen Anzahl weiterer Koeffizienten C_n,m mit steigenden Indizes n,m;
j) Berechnung der Feldverteilung des Magnetfeldes B_z im Meßvolumen oder einem Teilvolumen und Bestimmung des Feldfehlers ΔB_z = f₁ (C_n,m);
k) ggf. Berechnung der weiteren Parameter f₂ (C_n,m), f₃ (C_n,m), . . . usw. mit diesen Werten;
l) Vergleich des berechneten Feldfehlers ΔB_z mit dem zulässigen Maximalwert ΔB_z ^max, der berechneten Induktivität L mit den Bereichsgrenzen des zulässigen Wertebereiches (L^min, L^max) und der berechneten weiteren Parameter f₂, f₃, . . . usw. mit den Bereichsgrenzen der zulässigen Wertebereiche (f₂ ^min, f₂ ^max), (f₃ ^min, f₃ ^max), . . . usw.;
m) bei Einhaltung aller zulässigen Grenzwerte: entweder:
- m1) Akzeptieren des Ergebnisses und Umsetzung der kontinuierlichen Stromdichten j in eine technisch realisierbare quasi-kontinuierliche Stromverteilung; oder
- m2) Wiederholung der Schritte a) bis l) mit eingeschränkten zulässigen Grenzwerten und/oder einem erweiterten Satz von gesetzten Koeffizienten C_n,m nach f);
n) bei Überschreitung von mindestens einem zulässigen Grenzwert:
- n1) Setzen neuer Werte für die vorgegebenen Koeffizienten C_n,m von Hand oder mit Hilfe eines an sich bekannten Optimierungsalgorithmus unter Berücksichtigung der Abweichungen der berechneten Werte von den zulässigen Grenzwerten;
- n2) Wiederholung der Schritte g) bis m), ggf. bis n).

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt m2) die zulässigen Grenzwerte so oft eingeschränkt werden und/oder der Satz von berücksichtigten Koeffizienten C_n,m so oft erweitert wird, bis sich die Ergebnisse bei weiterer Einschränkung der Grenzwerte nicht mehr signifikant ändern.

3. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß der Feldfehler ΔB_z, die Induktivität L oder einer der weiteren technisch relevanten Parameter durch sukzessive Einschränkung der zulässigen Grenzwerte für diesen Parameter in Schritt m2) so oft, bis sich keine Lösung mehr ergibt, gezielt optimiert wird.

4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt f) zwischen 4 und 6 Koeffizienten C_n,m fest vorgegeben werden.

5. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt f) die Koeffizienten C_1,0 oder C_1,1 fest vorgegeben werden.

6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt i) weniger als 10 weitere Koeffizienten C_n,m berechnet werden.

7. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt a) die Feldverteilung des Magnetfeldes B_z nach Kugelflächenfunktionen entwickelt wird.

8. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in den Schritten a) bzw. b) die Stärke des Magnetfeldes B_z radial außerhalb des äußersten Zylinders bzw. außerhalb der jeweils äußersten parallelen Fläche auf Null gesetzt wird.

9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die elektrisch leitenden Abschnitte der Magnetspulen auf zwei koaxialen Zylindern mit den Radien a bzw. b angeordnet werden.

10. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt d) als weiterer Parameter eine zu den räumlichen Oszillationen der Stromdichte j proportionale Größe gewählt wird.

11. Verfahren nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, daß als weiterer Parameter der Betrag der zweiten Ableitung der Stromdichte j nach dem Ort in z-Richtung | d²j/dz² | gewählt wird.

12. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß in Schritt d) als weiterer Parameter eine von der axialen Länge l der Magnetspulenanordnung in z-Richtung abhängige Größe gewählt wird.

13. Verfahren nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, daß als weiterer Parameter das Integral des Betrages der Stromdichte j vom Magnetspulenende bei l bis z = ∞: gewählt wird.

14. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die elektrisch leitenden Abschnitte aus flächigem, leitfähigem Material geringer Dicke, insbesondere aus Blech gefertigt werden.

15. Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die elektrisch leitenden Abschnitte entlang vorberechneter Positionen durch Nuten konstanter und im Vergleich zu den leitenden Abschnitten geringer Breite getrennt werden.

16. Verfahren nach Anspruch 14 oder 15, dadurch gekennzeichnet, daß die elektrisch leitenden Abschnitte aus plattenförmigem Material, insbesondere aus Kupferblech gefertigt, insbesondere in Wasserstrahltechnik geschnitten werden.

17. Verfahren nach Anspruch 14 oder 15, dadurch gekennzeichnet, daß die elektrisch leitenden Abschnitte aus röhrenförmigem Material, insbesondere aus zylindrischen Kupferrohren gefertigt, insbesondere in Laserstrahltechnik geschnitten werden.

18. Verfahren nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß mehrere Magnetspulen der Anordnung, vorzugsweise zwei oder vier, gleichzeitig aus einem Rohr gefertigt werden.

19. Verfahren nach einem der Ansprüche 15 bis 18, dadurch gekennzeichnet, daß die elektrisch leitenden Abschnitte, nachdem sie aus dem flächigen, leitfähigen Material herausgeschnitten worden sind, verharzt werden.

20. Magnetspulenanordnung, hergestellt nach einem Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche.

21. Magnetspulenanordnung nach Anspruch 20, dadurch gekennzeichnet, daß die Magnetspulen einlagig sind.

22. Magnetspulenanordnung nach einem der Ansprüche 20 oder 21, dadurch gekennzeichnet, daß die Magnetspulen Gradientenspulen zur Erzeugung eines magnetischen Gradientenfeldes sind.

23. Magnetspulenanordnung nach Anspruch 22, dadurch gekennzeichnet, daß die Magnetspulen abgeschirmte Gradientenspulen, insbesondere für supraleitende Magneten für die Kernspinresonanz (NMR)-Tomographie sind.