DE2027303A1 - Filter mit frequenzabhangigen Ubertragungseigenschaften fur elektri sehe Analogsignale - Google Patents

Description

Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale

Die Erfindung bezieht sich auf ein Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale, die in Digitalform z.B. in PAM-Signalform, in PCM-Signalform oder als Pulsdeltamodulationssignal vorliegen. PAM-Signalform bedeutet in diesem Zusammenhang, da3 das Signal in Form von Abtastimpulsen des Analogsignals vorliegt, in deren Amplitude der zu verarbeitende Informationsgehalt gegeben ist, während PCM-Signalform bedeutet, daß der Informationsgehalt der einzelnen Abtastprobe des Analogsignals durch ein Codewort zum Ausdruck gebracht ist, welches nach den Grundsätzen derPulscodemodulation gestaltet ist. PuIsdeltamodulationsform bedeutet in diesem Zusammenhang, daß das Signal aus einer binären Impulsfolge besteht, die die Änderungen der Analogsignalabtastwerte überträgt. Auch Mischformen dieser Modulationen, wie Delta-PCM sind möglich und für die Erfindung in Betracht gezogen.

Bekanntlich sind die Übertragungseigenschaften von Filtern sehr empfindlich gegen Variationen der Koeffizienten ihrer Übertragungsfunktion. Während dieser Umstand für LC-Filter nur ein Berechnungsproblem darstellt (die Empfindlichkeit gegenüber Elemente-Variationen ist bei gewöhnlichen Abzweigfiltern ziemlich klein), stellt er beim Entwurf digitaler Filter ein Schwierigkeiten bereitendes Realisierungsproblem dar.

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Digitale Filter sind bisher derart gebaut worden, daß man Strukturen verwendete, deren Elemente--(Murfciplikator-) Werte unmittelbar von der gegebenen Übertragungsfunktion bestimmt sind (Lit. 1 bis 5). Bin offensichtlicher Vorteil einer solchen Prozedur ist die Tatsache, daß sie keine komplizierten* Realisierbarkeitetheorien oder längliche numerische Berechnungen erfordert, wie dies bei der Betriebsparameter-Synthese konventioneller LC-Filter der Fall ist. Der Vorteil muß jedoch durch den Nachteil erkauft werden, daß diese digitalen Filteratrukturen eine sehr hohe Empfindlichkeit ihrer Übertragungseigensohaften gegenüber Elementevariationen aufweisen. Im Falle einer digitalen Realisierung bedeutet dies nicht nur eine Abweichung der tatsächlichen Frequenzcharakteristik von der gewünschten infolge von Koeffizientenabrundung, sondern auch ein gewisses Geräusch infolge der bei den einzelnen Rechenschritten entstehenden Rundungsfehler (lit. bis 9).

Der Übliche Weg, diese Schwierigkeit zu. überwinden, besteht darin, die gegebene übertragungsfunktion zuerst zu faktorisleren und das Filter dementsprechend als eine einfache Kaskadenschaltung von Gliedern ersten und zweiten Grades zu realisieren.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die bei den bekannten Schaltungen der einleitend geschilderten Art vorhandenen Toleranzschwierigkeiten wenigstens auf ein erträgliches Ma.3 zu reduzieren. Dies läuft letztlich darauf hinaus, die Anzahl der in dem Filter, das auch häufig als Rechnerfilter bezeichnet wird, benötigten Multiplikationsstufen so gering wie möglich zu halten. Jede Multiplikation bringt

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nämlich eine Erhöhung der Stellenzahl, bezogen auf das jeweilige Ergebnis mit sich und will man nicht Multiplikatoren mit wirtschaftlich untragbaren Stellenzahlen verwenden, so ist man gezwungen, die Ergebnisoe entsprechend zu kürzen bzw. abzurunden, was letztlich einer Reduzierung der Genauigkeit des erzielten Ergebnisses bedeutet.

Gemäß der Erfindung wird bei einen» Filter mit frequenzabhangigen ÜbertregungBeigenschaften für elektrische Analogsignale, die in Digitalform vorliegen, diese Aufgabe dadurch gelöst, daß die Filtergrundschaltung einer üblichen LC-Schaltung für Analogsignale entspricht, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, daß die reaktiven Zweipolschaltelemente dieser Filtergrundschaltung (Induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungseletnente als laufzeitbehaftete Zweitorschaltungen, vorzugsweise in Abtastt-echnik, ausgebildet sind, daß die nichtreaktiven Zweipolschaltemente dieser Filtergrundschaltung (Leerlauf, Kurzschluß, Widerstand, widerstandsfreie und widerstandsbehaftete quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und die nicht-reaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Mehrtorschaltungen, vorzugsweise ebenfalls in Abtastttechnik, ausgebildet sind, und daß diese Eintor- und Kehrtorschaltungen über eine,Torwiderstandsanpassung zwischen den einzelnen Ein- und Hehrtoren ergebende Adapter als Filtergrundschaltung entsprechend zusammengeschaltet Bind.

Bei der Erfindung wird von einer völlig neuen Betrachtungsweise der Recnnerfliter ausgegangen, die es ermöglicht, Schaltungen anzuwenden, deren Toleranzempfindlichkeit wesentlich geringer ist als die der bisher verwendeten Schaltung. Vor allen sind dies die resistiv abgeschlossenen, sogenannten Abzweigschaltungen, die für Filter mit konzen-

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trierten Induktivitäten und Kapazitäten weit verbreitet sind· Man kann damit für Digitalfilter bzw, Reohnerfilter, die gute Sperrbereichunempfindlichkeit von Abzweigscha.ltungen erreichen, zusammen mit der guten Durehlaü-Uriempfindlichkeit, welche IC-Filter, die mit Widerständen abgesohlossen sind, bekanntlich infolge der Tatsache haben, daü ihre Betriebs·?' dämpfung niemals negativ werden kann. Durch die Erfindung wird es ermöglicht, digitale Filter entsprechend den Struk^ türen zu entwerfen, welche ffehr na—he denjenigen verwandt sind, die für die Realisierung sogen, Einheitselement-Filter verwendet werden. Da Filter dieses letztgenannten Typs in solcher Weise gebaut werden können, daß sie alle die oben-r genannten Erfordernisse erfüllen, gilt dasselbe auch für die entsprechenden digitalen Filter, Die Theorie der Eine heits-Element-Filter ist wohlbekannt und ähnlich der Theorie der klassischen LO-FiIter.

liin besonderer Vorteil der erfindungsgemäßen Flltersehal^· tungstechnik besteht weiterhin darin, daß auch Gyrator^n und Zirkulatoren in derselben Art und Weise und mit derselben Leichtigkeit realisiert werden können» wie reziproke Elemente! und da3 keine Beschränkung etwa dahingehend gegeben ist, daß, wie bisher üblich, nur Strukturen mit geerdeten Einheiteelementen verwendet werden können. Weiterhin ist der wesent« liehe vForteil gegeben, daß ein erfindungsgemäßes Rechner·^ filter eine wesentlich reduzierte Bitzahl, welche für die Berechnungskoeffizienten benutzt werden müssen, aufweist, im Vergleich zu bekannten RechneTfiltern.

Nachstehend wird die Erfindung anhand einer Ableitung der allgemeinen Theorie und anhand von Ausführungsbeispielen · näher erläutert. Die echaltungstechnieche Ausführung, vor allem der zur Anwendung kommenen Laufzeitglieder, Speicher, Addierer und Multiplizierer wird nicht niher behandelt _% da

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BAD ünriälNAL

diese an sich bekannt ist, z.B. durch die angegebenen Literaturstellen. Die Ausführungsbeispiele sind dabei auf die Zeichnung bezogen, deren Figureninhalt wie folgt ist.

fig. 1 Strom-Spannungs-Flußdiagramm für eine

Induktivität im ψ -Bereich. Fig. 2a Induktivität der Impedanz ψ R; Fig. 2b ihr stationäres Wellenflußdiagramm,

bestehend aus einerTransmittanz -1/z; , Fig. 2c ihr momentanes Wellenflußdiagramm, bestehend aus einer Verzögerung T und einen V^₃ Vorzeichen-Inverter. Fig. ;5a r. Kapazität der Impedanz R/Jp ; Fig. 3b ihr stationäres Wellenflußdiagramnj,

bestehend aus einer Iransinittanz 1/z; Fig. 3o ihr momentanes Wellenflußdiagramm,

bestehend aus einer Verzögerung T. Fig. 4a Widerstand R; Fig. 4b sein Wellenflußdiagramm, bestehend aus

einer Wellensenke. Fig. 5a leerlauf;
Fig. 5b sein WellenfIuSdiagramm. Fig. 6a Kurzschluß; Fig. 6b sein Wellenflußdiagramm. Fig. 7a Idealer Transformator vom Verhältnis -1/1; Fig.. 7b sein Wellenf lußdiagramm. Fig. 8a Gyrator mit Gyrationswiderstand R; FIg₄ 8b sein Wellenflußdiagramm. Fig_# 9a Dreitqr-Zirkulator mit Zirkulations-

■ : widerstand R; Fig. 9b sein Wellenflußdiagramm. Fig« 10a Einheitselement mit Verzögerung T/2

und Wellenwiderstand R; Fig, 10b sein Wellenflußdiagramm.

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BADOBlGiNAL

Fig. 11a Quelle mit Spannung e in Reihe mit

dem Widerstand R; ··-,·■'"-■

Pig. 11b und c zwei äquivalente Darstellungen

des zugehörigen Wellenflußdiagranims.

Fig. 12a Eine Spannungsquelle der Spannung β; Fig. 12b ihr Wellenflußdiagramro. Fig. 13a Sine Stromquelle vom Stjrom e/R; Fig. 13b ihr Wellenflußdiagrarom.

Fig. 14a Zusammenschaltung von zwei Toren mit Torwiderständen R-j bzw* R«?

Fig. 14b schematische Darstellung des zugehörigen Wellenzweltors (Zweitoradapter). ,

Fig. 15 Eine mögliche Realisierung des Zweitoradapter β von Flg. 14b, die nur einen Multi-* plizierer o& erfordert.

Fig. 16a Transformator mit übersetzungsverhältnis n/1 >Of

Fig. 16b seine Realisierung unter Verwendung dee Be-* Ziehung π = RjZRg.

Fig. 17a Parallelschaltung von η for en «it lor- =. j, widerstände« R₁, R₂, ..., bzw. R^; "'" ■

Fig. 17b schematiache Sarstellung des entepreohendtn ■ Wellen η-Tores (n-Tor-Paralleladapter).

Fig. 18 WellenfluSiiegraam, das einem JPreitor-Paralleladapter entspricht, bei dem Tor 3 das Abhängige 1&Έ ist. ; * ., .,

Fig. 19a Reihenschaltung von η Toiton mit Torwider- I·' ständen R₁, R₂, ..., bzw. R_Q;

Fig. 19b schematLeone Darstellung des entsprechend«« Wellen-n-f©reg (n-T ^r-Reihenadapter)·

Fig. 20 Ein WellenflußdiagraiDa) entsprechend Dreitorrelhenadapter, mit Tor 3 ale Tor. - - . ■ V*;_;"' :.;_'

Fig. 21a Ein Reitienresonanakreia;

Fig. 21b eine äquiTalente Schaltung alt zwei Ein·· heitseleiBenten; : . ■ \\- -.';. '_-

Flg. 21c das entspreohende

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BAD ORlQINAL

st t » ¥ 5:

Pig.	22a
Pig.	22b
Pig-	22c
Pig.	23a

Ein Parall-elresonanzkreis; eine äquivalente Schaltung davon mit zwei · Einheit selementen;
das zugehörige Wellenflußdiagramm. Ein unilaterales Allpaßglied erster Ordnung;
Pig. 23b das zugehörige Wellenzweitor.

Ein unilaterales Allpaßglied zweiter Ordnung;

das zugehörige Wellenzweitor. Ein abgeschlossener unilateraler Allpaß; das entsprechende Vellenflußdiagramm. Filter, bestehend aus einer Kette von drei Einheitselementen;
das entsprechende Wellenflußdiagramm. Bandpaßfilter, bestehend aus eineta Reaktanzzweitor in Kette mit drei Einheitselementen; die zugehörige Einheitselement-Abzweigstruktur;
Wellenflußdiagramn, abgeleitet aus Fig. 27b,

Wenn erforderlich, ,wird in den Zeichnungen der Torwiderstand entweder unter der unteren Torklemme oder wenigstens in ihrer Nachbarschaft angeschrieben·

Allgemeine Grundlagen

Betrachten wir zuerst ein gewöhnliches LC-Abzweig-Filter. Seine Übertragungsfunktion H(p), welche eine rationale Funktion der komplexen Frequenz-Variablen ρ ist, entspricht einer einzigen Differentialgleichung zwischen der Eingangs-, variablen χ und der Ausgangsvariablen y. Anstatt eine LC-Struktur zu verwenden, würde es theoretisch möglich sein,

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Fig.	24a
Fig.	24b
Fig.	25a
Fig.	25b
Fig.	26a
Fig.	26b
Fig.	27a
Fig.	27b
Fig>	27c

diese Differentialgleichung direkt auf einem Analogrechner zu realisieren, in welchem Fall die Koeffizienten von H(p) alle einer Multiplikation mit einer Konstanten entsprechen würden. In Wirklichkeit würde eine solche Prozedur völlig unpraktisch sein, da für gute filter die- Koeffizienten von H(p) mit extremer Genauigkeit "bekannt sein müssen, damit die Nullstellen und Pole von H(p) und damit das tatsächliche Übertragungsverhalten mit einer nur milden Genauigkeit bestimmt sind. Trotz dieser Schwierigkeit existieren aber bekanntlich geeignete IC-Filter, und zwar recht komplizierte. Dies ist dadurch begründet, daß bei den gewöhnlichen LC-FiItern in Abzweigstrüktur die Empfindlichkeiten gegenüber Element-Varlationen sehr viel kleiner sind. Mathematisch ist dies mit der Tatsache verknüpft, daß eine Abzweigstruktur nicht vollständig von einer einzigen Differentialgleichung beschrieben werden kann, sondern nur durch ein System von Differentialgleichungen, deren detaillierte Struktur nicht nur dem Eingangs/Aus-gangsverhalten entspricht, sondern auch die genaue Ippologie · des tatsächlichen Netzwerkes wiedergibt. Die geringe Tole·- ranzempfindlichkeit resistiv abgeschlossener Abzweigschaltungen bringt es auf diese Weise mit sich, daß die Empfind-r lichkeit gegenüber Variationen der Koeffizienten in dem oben erwähnten System von Differentialgleichungen sehr viel geringer ist als die Empfindlichkeit gegenüber Variationen der Koeffizienten in der Gesamt-Differentlalgleiehung, die man erhält, nachdem man alle internen Variablen eliminiert hat. Diese Besonderheiten sind natürlich auch eng mit der Tatsache verknüpft, daß Filterberechnungen sehr häufig mit einer großen Zahl von Stellen ausgeführt werden müssen, um zu einer Stellenzahl für die Elemente-Werte zu gelangen, ■ welche gerade innerhalb der Möglichkeiten der technplogischea Realisierbarkeit liegen.

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BAD

Für digitale Filter ist die Situation sehr ähnlich mit Ausnahme der Tatsache, daß das numerische Problem, das wir soeben beschrieben haben, auch ein Realisierungsproblem darstellt und zwar infolge des früher erwähnten Koeffizientenabbruchs und der Rundungsfehler-Fortpflanzung. Die Übertragungsfunktion H kann nun als eine rationale Funktion der Variablen z=e^p geschrieben werden wo F=1/T die Bstriebsfrequenz des Filters darstellt. Diese Übertragungsfunktion entspricht eine:· einzigen Differenzengleichung zwischen dec Eingangsund der Ausgangs-Variablen, Auch hier kann jedoch im hohen Grade eine Verbesserung erreicht werden, indem man die einzige Differenzgleichung in ein geeignetes System von Differenzengleichungen \ip.formt. Eine Möglichkeit, solches zu tun, entspricht der gewöhnlichen Faktorisierung von H un der nachfolgenden Realisierung mit Hilfe einer einfachen Kaskade von Gliedern niederer Ordnung. Das Verfahren, das beschrieben wird, entspricht dem Versuch, ein oystem von Differenzgleichungen zu finden, das in einer gewissen Weise ein klassisches abgeschlossenes Abzweigfilter strukturell imitiert. Die Analogie mit der obigen Diskussion des klassischen Filterentwurfsproblems zeigt, daß eine Lösung, die man auf diese Art erreicht, gewiß eine beträchtliche Verbesserung darstellen muß.

In jedem Falle wird man jedoch die Zahl

der Multiplizierer so klein wie möglich halten wegen ihrer relativ hohen Kosten, während Addierer großzügiger verwendet werden können.

Un; zu garantieren, daß eine Struktur als digitales Filter realisiert werden kann, muß immer die folgende Bedingung er-• füllt sein: Jede Rückkopplungaschleife, die in dem Signal-. flußdiagramin enthalten ist, das die Struktur beschreibt, muß wenigstens ein Verzögerungselement enthalten, d.h. sie darf , nicht verzögerungsfrei sein. Man überzeugt sich leicht, daß

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diese Regel immer erfüllt ist bei allen digitalen Filter-Strukturen, die bislang bekannt sind. Eine Verletzung dieser Regel würde bedeuten, daß es unmöglich wird, eine Folge zu finden, in der die verschiedenen Rechenschritte ausgeführt werden können.

Als Frequenzvariable, die geeignet ist, die Analogie mit der Theorie der Einheitselementfliter herzustellen, werden wir die "komplexe Frequenz" ψ einführen, die definiert ist durch

V = tanh (pT/2) = , (2.1)

1. + e ^px

und die auch z.B. in der Theorie der Netzwerke mit Resonanz-Übertrag verwendet wird. Für ρ = j Ar können wir also schreiben

φ= tan (ATT/2). (2.2)

Die Wahl von ¹^aIs Freq uenzvärlable scheint die einzig angemessene für unser Problem zu sein. Diese Wahl hat eine unmittelbare Konsequenz, die wir gleich diskutieren werden.

Wenn wir als Signalgrößen im Flußdiagramm die üblichen Spannungen und Ströme verwenden, wird es unmöglich, die soeben angegebene Regel einzuhalten, die die Rückkopplungsschleifen betrifft. Um dies zu zeigen, betrachten wir ein willkürliches Element, z.B. eine Induktivität; die zu realisierende Gleichung ist V = ^RI, wo R eine positive Konstante ist. Wegen (2.1) würde dies eine entsprechende Differenzgleichung

v(nT) + ν [(η-1)ϊ] = /i(nl)-i [(n-1)r]VR, (2.3) erfordern, die zeigt, daß die Berechnung von ν zum ZeIt-

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. - 11 - ■

punkt t=nl nicht nur die Kenntnis von ν und i im vorangegangenen Abtastzeitpunkt erfordert, sondern auch im gegenwärtigen Zeitpunkt. Also würde jedes Plußdiagramm, das Gl. (2.3) darstellt, z.B. das in Fig. 1 gezeigte, einen verzögerungsfreien Pfad enthalten, der vom Eingang zum Ausgang führt. Dasselbe gilt für das Strotfspannunge- oder Spannungsstromflußdiagramm aller anderen Elemente. Also würde die Verbindung von Elementen unweigerlich zu verzögerungsfreien Rückkopplungsschleifen führen und auf diese Weise jede physikalische Ausführung unmöglich machen.

Es stellt sich heraus, daß dieses Dilemma vermieden werden kann, indem man alle Signalflußdiagramme nicht auf Spannungen und Ströme gründet, sondern auf Wellengrößen. Dabei kann man gleichgültigerweise Spannungs- oder Stromwellen verwenden. Wir verwenden hier eine Beschreibung durch Spannungswellen. Wie wir kurz in dem Unterabschnitt "Zusammenschaltung von Toren/Einfache Änderung des Referenzwiderstandes" diskutieren werden, würde die Verwendung von Leistungswellen weniger angemessen sein, da dies eine größere Anzahl erforderlicher Multiplizierer zur Folge hätte. Wenn Wellen verwendet werden, werden wir gewöhnlich von Wellenflußdiagrammen sprechen, anstelle von Signalflußdiagrammen. Ebeneo bezeichnen wir die Filter, die wir hier beschreiben, in angemessener Weise als Wellendigitalfilter. Ein Wellenflußdiagramm, welches die obenerwähnte Regel erfüllt, werden wir realisierbar nennen; andernfalls soll es unrealisierbar genannt werden.

Wie wir später sehen werden, erfordern Wellendigitalfilter gewöhnlich zwei verschiedene Folgen von Zeitpunkten, zu denen das Filter operativ ist. Diese beiden Folgen gehen durch Zeitverecbiebung um ein Intervall Ϊ/2 ineinander über. In Jedem Fall wird es oft notwendig sein, Differenzgleichungen zu schreiben, ohne anzunehmen, daß einer der Pulse -

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der Zeitfolge zur Zeit t=0 auftritt. In der Diskussion der Elemente und Quellen, die im nächsten Abschnitt durchgeführt ist, wird deshalb eine allgemeine Zeitvariable t verwendet, d.h. es wird kein Bezug genommen auf irgend pinen besonderen Zeitpunkt, zu dem ein Puls auftritt.

Elemente und Quellen

In diesem Abschnitt werden wir Wellenflußdiagramme für verschiedene Elemente und Quellen,- die verwendet werden, ableiten. Wenn immer es möglich ist, werden die erforderlichen Wellengroßen mit Hilfe eines J?orwiderstandes definiert werden, der gleich ist der Widerstandskonstanten R, die in der Definition des Elementes oder der Quelle, die wir betrachten, auftritt. Auf diese Art und Weise werden die Wellengleichungen die Konstante R nicht mehr enthalten. Wir werden in den Abschnitten "Zusammenschaltung von Toren" und "Realisierung von Schaltungen" sehen, welche Konsequenzen dies hat, wenn Elemente und Quellen verbunden werden, um die gegebenen Pilterdiagramme zu erhalten.

Induktivitäten

Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die wir realisieren wollen, ist (Fig. 2a)

V -^RI ^l (3.1)

wo R eine positive Konstante ist. Wenn wir Gl. (2.1) benutzen, kann 61. (3.1) geschrieben werden

B = - -I A, (3.2)

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- 13 wo ζ wie gewöhnlich definiert ist durch

z= eP^T (5.3)

.und wo

A= MI und B = V-RI (3.4a,b)

die einfallende bzw. die reflektierte Welle sind. Die momentanen Werte a = a(t) und b = b(t) dieser Wellen sind mit den Müuientanwerten der Spannung ν = v(t) und des Stroms i(t)«i verbunden durch .

a = v+Ri, b ~ v-Ri (3.5a,b)

Also ist die Differenzgleichung für a und b gegeben durch

b(t) = -a(t-T); (3.6)

a = A β*¹, b = B e*^T . (3.7)

Wo A und B angenommenerweise Konstanten sind, ist die stationäre lösung (3.6) in der Tat durch (3.2) gegeben. Die Wellenflußdiagramme, die (3.2) und (3.6) entsprechen, sind Welleneintore, die in Fig. 2b bzw. 2c dargestellt sind. Das erste besteht aus einer Transmittanz (Übertragungsfunktion), die gleich -1/z ist. und das zweite besteht aus einer Verzögerungszeit T zusammen mit einem Vorzeioheninverter.

Kapazität

Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die realisiert werden soll, ist (Fig. 3a)

V = |l, (3.8)

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BAD

wo R eine positive Konstante ist. Kit (2.1), (3.3) trad der Definition (3.4) kann (3.8) geschrieben werden

B=Ia. (3.9)

Also ist die Differenzgleichung für die momentanen Wellengrößen, welche in 6-1. (3.5) definiert sind₉ gegeben durch

b(t) = a(t-T); (3.10)

Diese Gleichung reduziert sich auf Gl. (3»9K wenn wir tob (3.7) Gebrauch machen= Die Wellenflußdiagramme sind die in Fig. 3b und 3c gezeigten Welleneintore; sie bestehen aus den Transmittanzen 1/z bzw-, einer Verzögerung T. .

Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten

Aus Gründen der Einfachheit werden wir alle Gleichungen,, die sich auf aleniente mit frequ.enzu.nabhängigera "/erhalten beziehen, nur für momentane Größen schreiben. Es ist augenscheinlich, daß die entsprechenden Gleichungen für stationäre Grüßen gleiche Struktur haben.

Widerstand

Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist (Fig. 4a)

ν = Ri ·

d.h. indem wir Gl. (3.5) benützen,

b = Ο (3,11)

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109851/0534 - ' "■■ '."■"" ' ;

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- 1 «3 -

Das zugehörige Wellenflußdiagratmn besteht also aus einer V/eilensenke; wir stellen es dar wie in Pig. 4b gezeigt»

Leerlauf

Wir haben i = 0 (Fig. 5a). Nach Wahl einer willkürlichen positiven Konstante R und indem wir Gl. (3-5) benutzen, erhalten wir '

■ b =■ a. ' (3.12)

Das Wellenflußdiagranm ist also eine einfache Verbindung (Fig. 5b).

Kurzschluß

Wir haben ν = 0 (Fig. 6a). Aiso erhalten wir, nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R gewählt haben und Gl. (3.5) verwenden

b = -a. (3.13)

Das Wellenflußdiagramm besteht also aus eine« Vorzeicheninverter (Fig. 6b).

Idealer Transforaator mit dem Übersetzungsverhältnis —1/1" Die Gleichungen, die zu realisieren sind (Fig. 7a), sind

Also erhalten wir, nachdem wir eine willkürliche positive VFA 9/647/0003 - 16 -

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- 16 Konstante R grwlhlt haben und die Definitionen

a_k - v_k + IU_k, b_k = v_k - Ri_k. (3.Ha,Td)

k = 1,2, (3.14c)

verwenden,

b| = -E₁, bg = -a₂ (3.15a.,b)

Das Wellenflußdia.gratnin ist also ein Wellenzweitor (Pig. 7b).

Gyrator

Die Gleichungen, die realisiert werden müssen, sind (Fig. 8a)

V₁ = -Ri₂, V₂ = Ri₁, (3.16-a,b).

wo der Gyrationswiderstand R eine positive Konstante ist. Mit der Definition (3.14) erhalten wir

b₁ = -a₂, b₂ = a^ (3.17a,b)

Das entsprechende Wellenzweitor ist in Fig. 8b gezeigt. )

Zirkulator

Wir betrachten zunächst den Dreitorzirkulator von Fig. 9a, dessen Zirkulationswiderstand R eine positive Konstante ist. Mit den Definitionen (3-14a,b) und mit k = 1, 2 und 3 haben wir

b., - a"₅, b₂ = H₁, b₅ = a₂. (3.18a,

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Das Wellenflußdiagrarora ist jetzt das Wellendreitor, das in Fig. 9b gezeigt ist. Es ist offenkundig, daß dieses Ergebnis einfach auf n-forsirkulatoren erweitert werden kann, in welchem Falle (3.1b) verallgemeinert werden muß auf die Gleichungen

^b1 ^{= a}n' ^h2 ^{= a}1' '"> ^bn ^{= a}n-1 *

Einheitselement .

Die stationären Spannungsstrombeziehungen, die realisiert werden sollen, sind (Fig. 10a)

-B₁ = A₂ e-P'^f/2, B₂ = A₁ e "^pT/2 (3.19a,b)

^Ak ⁼ \^{+ RI}k' ^Bk ⁼ \ - ^RIk (3.20a,b)

k = 1, 2. (3.20o)

Also sind die Differenzgleichungen für die Momentanwerte der Wellen, die in Gl. (3.14) definiert sind, gegeben durch

b₁ (t) = a₂(t-T/2), b₂(t) = a^t-T/2) (3.21a,b) mit

wo A und B, Konstanten sind, ist die stationäre Lösung von (3.2T) in der Tat durch (3-19) gegeben. Das (momentane) Wellenflußdiagramm ist jetzt das Wellenzweitor, das in ■ Fig. 10b gezeigt ist. Das stationäre Wellenflußdiagramm ist ähnlich, mit dem Unterschied, daß die Verzögerungen T/2

-1/2
durch die Transmittanzen ζ ' ersetzt sind.

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Im Symbol gem. Pig. 10a ist die Verzögerung T/2 des Einheitselements explizit angedeutet. Wir werden im folgenden dies unterlassen, da eine Verwechslungsmöglichkeit nicht besteht*

Quellen ,

Wir werden wieder unsere Betrachtungen auf momentane Größen beschränken, wie wir es in dem Unterabschnitt "Widerstand" getan haben.

Resistive Quelle

Es genügt, eine Spannungsquelle der Spannung e.= e(t) mit einem Serieninnenwiderstand R zu betrachten (Fig. 11a). Die Gleichung, die zu realisieren ist, lautet

e = ν + Ri,
d.h. indem wir Gl. (3.5) benützen

a = e.

Also ist das We11enflußdiagramm eine Wellenquelle; wir stellen sie dar, wie in Fig. 11b oder c gezeigt.

Die Lage ist etwas weniger einfach im Falle einer reinen Spannungsquelle, die innenwiderstandslos ist. Die Gleichung, die zu realisieren ist,ist in diesem Fall ν = e = e(t); also haben wir, nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R gewählt haben und die Definiijon (3.5) benützen,

a =. 2e - b.
7ΡΛ 9/6Λ7/ΟΟΟ5 - 19 -

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Das ent^PiWQli^öde Wellenflußcliagraimn besteht aus einer We 11 etiqu^lle 2e, ein em Addierer und einem Vorzeicheninverter (Fig. 12b).

Für eine innenleitwertlose Stromquelle (Fig. 13) erhält man in ähnlicher Weise

a = 2e » D, ·

wo die Intensität der Stromquelle gleich e/R gewählt worden ist. Das entsprechende Wellenflußdiagranitn ist in Fig. 13b gezeigt.

ZusammenBchaltungen von Toren

-Schaltungen- entstehen im Prinzip durch Verbindungen der Tore von !.'lementen und Quellen. Dabei entsteht eine Schwierigkeit in den Wellenflußdiagrammen, da in den meisten diskutierten Fallen nach Abschnitt "Elemente und Quellen" der Torwiderstand R nicht willkürlich ist, sondern durch das Hement oder durch die Quelle, zu der das Tor gehört, bestimmt ist. Aus diesem Grunde müssen wir eine Möglichkeit haben, den Torwiderstand zu ändern, wenn wir Tore zusammenschalten. Dies wird erreicht mit Hilfe der verschiedenen Adapter, die wir sogleich diskutieren werden.

■fcint'ache ..nderung des Referenzwiderstandes

Wir betrachten zwei Tore 1 und 2 mit Torwiderständen R.. und Rt Die 'wellen sind mit den Strömen und Spannungen durch die Gleichungen

^ak = ^vk ⁴ Vk' \ = ^vk - Vk (4.1a,b)

k - 1f2 verbunden. (4.1c)

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Wenn diese Tcre einfach verbunden werden (Fig. 14a), haben wir

ν-, = v₂, I₁ =~i₂ (4.2a,b)

Nach Elimination von v·^ und i, aus den Gleichungen (4.1) und (4.2) erhalten wir auf diese Weise

I)₁ = a₂ +#(a₂ - a>,), .b₂ = a-j +*(a₂ - a₁) (4.3a,b)

A= (K₁-H₂)Z(R₁ fR₂). (4.4)

Diese Gleichungen definieren ein Wellenzweitor, das wir einen Zwei tor-Adapter nennen. Wir stellen es schetnatisch dar, wie in Fig. 14b gezeigt. Das Symbol innerhalb des Kastens bezieht sich auf den Umstand, daß sich in Fig. 14a in gewisser Weise sowohl auf eine Parallel- als auch auf eine Serienverbindung bezieht (vgl. Fig. 17 und 19). Entsprechend Gl. (4.3) kann ein detailliertes Wellenflußdiagramm, das diesem Zweitor-Adapter entspricht, gezeichnet werden, wie in Fig. 15. Dieses Wellenflußdiagramm erfordert nur einen Multiplizierer mit dem Faktor & . Es enthält einen Pfad, der von a* nach b.. führt und auch einen Pfad, der von a₂ zu b₂ führt, aber keine Rückkopplungsschleife. Indem wir Gl. (4.3) in eine äquivalente Form umsetzen, können wir andere äquivalente Wellenflußdiagramme erhalten. Jedoch enthalten nicht alle von diesen nur einen Multiplizierer. Gleichung (4.4) zeigt, daß für R₁> 0 und R₂> 0 der Betrag |oLJ<1 ist. Andererseits gilt R₁ZE₂>0, wenn die letzte Ungleichung erfüllt ist, wie man aus der Gleichung

R₁ZR₂ = (1 +αΟ/Ο-βΟ.

ersehen kann. Daraus folgt, daß wir dann stets R₂>0 haben, sobald R₁ > 0 ist und umgekehrt.

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BAD ORIGINAL

Die gerade zur Diskussion stehende Verbindung erlaubt es uns auch, den Vorteil deutlich zu machen, de' aus der verwendung von Spnnnungs- oder Streikwellen anstelle' von LeiatungswelJen resultiert, in der Tat würde eine allgemeine Darstellung der Streugleichungen gem. Gl. (4.3) l'o-i ;endermaßen zu schreiben sein

b., = ^₁₁S₁ -.- ^i3t/-]₂ ^a2' ^b2 ⁼ ^21⁸I ⁺ °^22^a2 (4.5a,b)

wo die btreukoeffizjenten untereinander durch die linearen ■Beziehungen

miteinander verbunden -sind.

Wenn wir Leistungswellen verwendet hätten, könnten wir auch noch Gleichungen wie (4.5) schreiben, aber die Streukoeffizienten würden dann miteinander durch die Beziehungen verknüpft sein:

Da der erste dieser Ausdrücke nicht linear ist, würde es also nicht möglich sein, ein Wellenflußdiagramm von Gl. (4.5) anzugeben, das nur einen einzigen Multiplizierer erfordern würde. .

Als einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir die Realisierung eines Transformators mit dem Windungsverhältnis n/1 (fig. 16a). Wenn wir versuchen würden, dies auf unmittelbarem Wpge zu tun, wie wir es für die anderen Elemente im Abschnitt "Elemente und Quellen" getan haben, würden wir zwei Multiplizierer brauchen. Tatsächlich aber kann ein solcher Transformator als eine Kaskade zweier Gyratoren realisiert werden, die die Gyrafcionswlderstände R₁ bzw. R₂ haben, dergestalt, daf3 η = R./Rp. Auf diese Weise erhalten wir das

^cJ/647/OOO'5 ~ 2Ί -

10'5

¹ ί ! !

, 3

BAD ORIGINAL

Wellenflußdiagranm, der Fig. 16b, wobei wir von dein Ergebnis von Fig. β Gebrauch gen,acht haben und wo einer der Widerstände R₁ und Hp willkürlich gewählt werden kann. Um in Übereinstimmung zu sein mit unserer Annahme R>0, die wir im Zusammenhang mit Fig. 8 gemacht haben, müssen wir jetzt annehmen, daß η>O ist; jedoch kann das entsprechende Resultat für n<0 auf einfache Weise mit Hilfe von Fig. 7 erhalten werden.

Parallelschaltung

Wir betrachten η fore 1, 2, ... ., η, mit den Torwiderständen R R₂ ... bzw. R . Die Wellen stehen mit den Spannungen und Strömen gemäß Gl. (4.1a,b) in Beziehung, nur bedeutet jetzt

Wenn diese Tore parallelgeschaltet werden (Fig. 17a), gilt

V₁ = v₂ = ... - v_n, I₁ + i₂ t- ... f- i_n = O (4.6a,b)

Wenn wir die v. und i. aus den Gl. (4.1a,b) und (4*6) eli- , minieren, erhalten wir

JL

^bk ^{= a}o - ^ak' ^ao ⁼> <*k^ak» (4.7a,b)

k=1

Diese 3-leichungen definieren ein Wellen-n-Tor_r. das wir einen Parallel-Adapter oder genauer einen n-'for-Parallel-Adapter nennen. Wir stellen ihn schematisch, wie in Fig. 17b gezeigt, dar, wobei sich die beiden parallelen Linien innerhalb des Kastena auf die taralleleohaltung beziehen.

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BAD ORIGINAL

Wenn wir Gleichung (4.7) als solche verwenden würden, würden wir zusammen η Multiplizierer gebrauchen. Tatsächlich "hab-en. wir

OT₁ + vx₂ 4 ... > *_n -- 2, (4.9)

so da.? eines der ä_v, sagen wir & , eliminiert werden kann.

JC Tl

Auf diese Weise kann Gl. (4.7b) geschrieben werden

n-1 .

«_v(a,-a.„), (4.10)

k-1

so da'3 wir nur noch n-1 Multiplizierer brauchen; Tor η wird dann ein abhängiges Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der d(, gleich sind, d.h. wenn einige von den Ii, gleich sind. Der Faktor 2, der in Gi. (4.10) erscheint, erfordert keinen besonderen Multiplizierer, da eine Multiplikation mit zwei ein sehr elementarer Prozeß ist. Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagratmn für η = 3 gegeben, das entsprechend den Gleichungen (4.7a) und (4.10) in Fig. 18 dargestellt ist. Für jedes k = 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von a^ ausgeht und noch b, führt, aber es enthält keine Rückkopplungsschleife; diese Schluifolgerungen bleiben offensichtlich gültig für willkürliche Werte von n.

Wenn die Werte G^ gegebene positive Konstanten sind, stellt es sich heraus, daß alle flL ebenfalls positiv sind und Gl. (4.9) gehorchen. Umgekehrt, wenn alle &, und eines der G., sagen wir G-. ', gegeben sind, kann das übrigbleibende G, berechnet werden mit Hilfe der Beziehung

die auf einfache Weise aus Gl. (4.8) hergeleitet werden kann.

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BAD ORIGINAL

Wenn also G ' ebenso wie die Werte οί_Λ , #' ...χ _Λ positive gegebene Konstanten sind, und wenn. oi , das sich aus 01. (4.9) herleiten l.'ißt, ebenfalls positiv ist, dann stellt sich heraus, daß alle G₁, positiv sind.

Wenn das Tor η ein abhängiges Tor ist, wie.wir angenommen haben, so ist der Koeffizient OC inplizit bestimmt durch die übrigen OU₅. durch die Gl. (4-3). D.h. wenn die Summe dieser verbleibenden Größen <X, nahe bei 2 liegt, d.h. wenn oi klein ist, kann er auf diese Weise nur mit einem großen Fehler bestimmt werden. Um die höchstmögliche Genauigkeit zu gewährleisten, sollte man deshalb als abhängiges Tor dasjenige wählen, dessen entsprechender Faktor CC. am größten ist.

Reihenschaltung;

Wir betrachten η Tore, wie in dem Unterabschnitt 4.2, aber wir schalten sie jetzt in Reihe (siehe Fig. 19a). Wir haben dann

i.. = ip = · · · = i_nf ν. + Vp -ι- ... ⁴"V=0. (4.11a,b)

Wenn wir die v, und i. aus den Gl. (4.1a,b) und (4.11) eliminieren, erhalten wir

n_

^bk = ^ak * ^ßk^ao' ^eo = Z_ ^ak (4.)

k=1

= 2 R^(R₁+R₂ ... + R_n). (4.135

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BAD ORiGiNAL

Diese Gleichungen definieren ein Wellen-n-Tor, das wir einen Ueihen-Adapfcer oder präziser, ein¹ n-Tor-Reihen-Adapter nennen. Wir stellen es schematisch dar ,,wie in Fig. 19h gezeigt. Das Symbol innerhalb des Kastens bezieht sich auf die Reihenschaltung.

Wenn wir Gl. (4.12) als solche verwenden würden, wurden wir wieder zusammen η Multiplizierer brauchen. In der Tat haben wir die Beziehung

B₁ + Q₂ + ... t■ ß_n = 2, (4-14)

so daß eine der Größen ß, , sagen wir ß_Q, eliminiert werden kann. Dies kann z.B. dadurch geschehen, daß wir Gl. (4.12) für die Indexwerte k = 1,2 ..., n-1 benützen und dann den Wert b mit Hilfe des Ausdruckes, den wir von (4.12) und (4.14) ableiten können,

n-1 .

^bn = "^ao * Y. ¹V
k=1

berechnen; das Tor η wird dann wieder das abhängige Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der ß^. gleich sind, d.h. wenn einige der R, gleich sind, für die ß, können ähnliche Bemerkungen gemacht werden, wie für die 0t_k am Ende' des Unterabschnittes "Parallelschaltung".

Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagratnm für n=3, das den Gl. (4.12a) und (4.15) entspricht, in Fig. 20 dargestellt. Für jedes te = 1,2,3 enthält es eiraes Pfad, der von a^ nach b, führt, alber es enthält feelae

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1ÖS8S1/0534 ■■ . .^.original

Ruckkopplungssclileife; diese Schlußfolgerungen bleiben offensichtlich auch gültig für "beliebige Werte von n.

Man überzeugt sich leicht, daß für η = 2 der Parallel- und der Reihen-Adapter äquivalent dem Adapter sind, der im Unterabschnitt "Einfache inderung des Referenzwiderstandes" diskutiert worden ist.

Realisierung von Schaltungen Allgemeine Grundlagen

In den Abschnitten "Elemente und Quellen" und "Zusammenschaltung von Toren" haben wir gesehen, wie verschiedene Typen von Elementen, quellen und Adaptern gebaut werden können, die als Bausteine für die zu realisierendenWellen™ flußdiagramme dienen. Beim Zusammenschalten dieser Bausteine müssen die folgenden Grundsätze "beachtet werden ι

1. Die Bausteine müssen Tor für Tor ztisaramengeschaltet werden, d.h. die zwei Wellenklemmen eines Wellentores müssen verbunden werden mit den zwei WellenkleBimen von genau einem anderen Wellentor.

2. Für jedes Paar von Wellenklenraen, die verbunden sind, müssen die entsprechende!* Wellen kompmtiTbel SeIn₉ d.h, sie müssen in die gleiche Richtung fließen» ~ . ■ ■

3. Die Regel, die in

erwähnt ist, muß !beachtet WtXAeB₅ OL₀Is₀ Has ε ©suit !©rend© Wellenfliißdiagraii© fflttß realieierlöai'

FM 9/647/ΘΟΟ3

BAD OBiQiMAL

Die ersten beiden dieser Grundsätze können offensichtlich relativ einfach befolgt werden. Der dritte hat jedoch weitreichende Konsequenzen. In der Tat haben wir gesehen, daß für jedes Tor eines Adapters stets ein innerer Pfad existiert, der von der einfallenden Welle zu der reflektierten Welle führt. Daraus folgt, daß wir ein Wellentor eines Adapters sicherlich immer mit irgendeinem der Welleneintore verbinden können, die in Fig. 2c, 3c, 4b oder 11c dargestellt sind, aber niemals mit den Zweitoren, die in den i'ig. 5b, 6b, 12b oder 13b dargestellt sind. In ähnlicher Weise können wir immer mit einem solchen Tor eines der Wellenzweitore, die in fig. 10b dargestellt sind, verbinden, aber niemals einen anderen Adapter. Schließlich sind Wellenzweitore und Yieltore, wie die in den Fig. 7b, 8b und 9b nur bedingt akzeptabel, d.h. sie verursachen nicht von vornherein das Auftreten verzögerungsfreier Rückkopplungsschleifen, sondern tun es nur in dem Falle, daß sie nicht geeignet an den verbleibenden Toren abgeschlossen sind. Aus dieser Diskussion können
wir den Schluß ziehen, daß innerhalb der Theorie, die wir hier gegeben haben, zwei aufeinanderfolgende Adapter stete in der einen oder anderenWeise durch ein Wellenzweitor, das einem Kinheitseleuient entspricht, getrennt werden müssen. Um die Konsequenzen dieser Schlußfolgerung zu prüfen, werden wir im Unterabschnitt "Realisierung von Reaktanzen" die
Realisierung von Reaktanz-Eintoren studieren und in den
Unterabschnitten "Realisierung von Allpaßschaltungen" und "Realisierung von FiIterschaltungen" die Realisierung von Reaktanz-Zweitoren.

Wa immer ee möglich ist,und insbesondere in allen Wellenflaßdlagrammen, werden wir ausschließlich momentane Wellengroßen wie a_k und b_fc benützen. Es ist klar, daß wir gleicherweise die komplexen Wellenamplituden A-. und IL verwenden

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10S851/0S34 bad

können, aber dann seilte eine Verzögerung T ersetzt werden

-1 -uT

durch eine Übertragungsfunktion ζ = e^ , und eine Verzögerung T/2 3ollte ersetzt werden durch eine Übertragungs-

-1 /⁹
funktion ζ .

Realisierung von Reaktanzen Reihenresonanzkreis

Wir nehmen an, daß der in JFig. 21 dargestellte Reihenkreis ) 7\x realisieren sei. Wenn er Bestandteil einerReihenschaltung ist, für die ein Reihenadapter benutzt werden kann, dann gibt es keinerlei Probleme: Wir haben einfache zwei der Wellentore dieses Adapters durch Welleneintore abzuschließen, die einer Induktivität der Impedanz R'γ und bzw. einer Kapazität der Impedanz R"/'^ entsprechen. Wenn jedoch der Reihenresonanzkreis ,'■einen Querzweig geschaltet werden soll, was häufig geschieht, ist eine solche Realisierungsmethode nicht anwendbar, da sie eine unmittelbare Verbindung eines Reihenadapters mit einem Paralleladapter erfordern würde.

Diese Schwierigkeit kann vermieden werden, indem man von der Äquivalenz eines Reihenresonanzkreises mit der Ketten- * schaltung zweier Einheitselemente Gebrauch macht, die an dem Ausgangstor 4 (Fig. 21b) leerlaufen. Die charakteristischen Widerstände R₁ und R₂ dieser Einheitselemente hängen mit den Größen R¹ und R" über die Beziehungen

R₁ = R« + R", R₂ = (R'+R'OR'VR¹; (5.1a,b)

zusammen. Die Wellen a.^, Ia₁, a₂ und b₂ sind für einen Tor-

wiaerstand R₁ definiert, während die Wellen a^, D₅ und a^

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BAD UHiGlNAt

und b _A für einen Torwiderstand R₀ definiert sind. Infolgedessen muß im Wellenflußdiagramm entsprechend Fig. 21b ein Sweitor-Adapter benützt werden, um von R₁ zu R₂ überzugehen. Indem wir die Ergebnisse der Pig. 5, 10 und 14 verwenden und annehmen, daß die Wellen a. und b,, für einen Torwiderstand "-i..- definiert bleiben, erhalten wir also ein Wellenflußdiagramm, wie in Fig. 21c dargestellt. Es erfordert also nur einen Multiplizierer, der entsprechende Parameter &. ist durch Gl. (4.4.) gegeben, d.h. wegen Gl. (5.1), durch

^= (R'-TO/dl'+R"). (5.2)

Das Wellenflußdiagramm von Fig. 21c kann offensichtlich nicht nur für die Realisierung von Querzweigen verwendet werden, sondern auch in einer.'jeden Reihenanordnung. Es ist zwar richtig, daß es eine Rückkopplungsschleife enthält, aber dies macht es nicht unrealisierbar, da diese Schleife eine Verzögerung T umfaßt. Darüberhinaus Ist eine jede zusätzliche Rückkopplungsschleife, die durch die Verbindung der Fig. 21c mit irgendeinem anderen Wellentor entsteht, ebenfalls zulässig, da sie notwendigerweise die beiden Verzögerungen T/2 enthält.

Parallelresonanzkreis

Das Problem, einen Parallelresonanzkreis zu. realisieren, ist in einem gewissen Sinne dual zu dem eben diskutierten Problem. Wir können uns deshalb hier sehr kurz ausdrücken und einfach auf Fig. 22 verweisen, die ohne weitere Erklärung verständlich sein dürfte. Die resultierenden Schlußfolgerungen sind dieselben. Man bemerke jedoch, daß die Gin- (5.1) ersetzt werden müssen durch die Gleichungen

R₁ ■= RW/U't-R"), Et₂ = R"²/(R'+R")f VPA 9/647/0003 - 30 -

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obwohl Jl. (^c^.2) gültig bleibt.

Willkürliche Reaktanzen

Wie an sich bekannt, kann jede beliebige Reaktanz vom Grade η realisiert werden mit Hilfe einer entweder leerlaufenden oder kurzgeschlossenen Kette von η Einheitselementen. Indem wie die krgebnisse der Fig. 21 und 22 verallgemeinern, können wir leicht einsehen, daß ein Wellenflußdiagramm, das einer solchen Kette entspricht, stets mit Hilfe von n-1 Zweitoradaptern realisiert werden kann, also n-1 Multiplizierer erfordert. Ein solches W^llenflußdiagramm enthält stets n-1 Rückkopplungsschleifen, von denen alle die Regel von Anschnitt "Allgemeine Grundlagen" erfüllen. D~rüberhinaus bleibt es richtig, daß das Eingangswellentor willkürlich verbunden werden kann mit irgendeinem weiteren Wellentor, ohne diese Regel zu verletzen.

Realisierung von Allpaßschaltungen

Ein unilaterales Allpaßglied vom ersten Grade kann stets mit Hilfe eines Dreitor-Zirkulätors zusammen mit einer Kapazität oder einer Induktivität realisiert werden. Es genügt, wenn wir den ersten dieser beiden Fälle betrachten (Fig. 25a). Indem wir die Ergebnisse der Pig, 3 und 9 benützen, erhalten wir unmittelbar das entsprechende V/ellenzweitor, das in Fig. 23b dargestellt ist; es enthält einen Zweitoradapfcer, erfordert also nur einen Multiplizierer.

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Kin unilaterales Allpnßglied zweiter Ordnung kann in ähnlicher Weise realisiert werden, indem wir z.B. von dem Resultat nach Fig. 21 Gebrauch machen. Dies führt zu dem Ergebnis gemäß Fig. 24, wo R₁ und R₂ durch die Gl. (5.1) gegeben sind. Es ist klar, daß die gleiche Prozedur verwendet werden kann für die Realisierung unilateraler Allpaßglieder beliebigen Grades, indein man entsprechende Reaktanzen höheren Grades verwendet. Schließlich können bilaterale Allpaßglieder stets erhalten werden, indem man Viertor-Zirkulatoren anstelle von Dreitor-Zirkulatoren verwendet.

Einen Allpaß beliebigen Grades kann man auch dadurch erhalten, daß man Glieder erster und zweiter Ordnung in Kette schaltet. Da alle einzelnen Glieder den gleichen Zirkulationswiderstand haben müssen, sind in diesem Falle keine Adapter zwischen den Gliedern erforderlich. Schließlich gilt folgendes: Wenn der zu realisierende Allpaß unilateral ist, und wenn wir mit ihm eine Quelle verbinden mit einem Widerstand R, und auch einen Lastwiderstand, ebenfalls vom Widerstand R, dann zeigen die Ergebnisse nach den Fig. 11 und 4, daß kein Signal in den Rückwärtspfad fließt, so daß dieser einfach vernachlässigt werden kann. Ein Beispiel zeigt Fig. 25, wo R^ und R₂ wieder durch Gl. (5.1) gegeben s-ind.

Realisierung von Filterschaltungen

Von der Theorie der Mikrowellenleitungsfilter ist es bekannt, daß man stets Filter auf die Weise realisieren kann, daß man eine gewisse Zahl von Einheitselementen mit verschiedenem Wellenwiderstand in Kette schaltet. Solche Filter führen immer zu realisierbaren Wellenflußdiagrammen. Wenn η die Zahl der

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Kinheitse]emente ist, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer n+1. Ein Beispiel zeigt Fig. 26.

Von besonderem Interesse sind in der Mikrowellentheorie allgemeinere Filter, die von einem Reaktanz-Zweitor in Kette nit einer genügend großen Zahl von Einheitselementen abgeleitet werden können. Indem man von den Äquivalenzrransforuiationen nach Kuroda und Levy Gebrauch macht, können soiche Strukturen in neue, andere Kettenstrukturen transformiert werden, die wir in folgendem Einheitselement-Abzweigstrukturen nennen, in denen .Einheitselemente, mit entweder Längs- oder Wuerreaktanzen abwechseln. Iatsächlich interessiert man sich im Bereich der Mikrowellenschaltungen aus technologischen Gründen in erster Linie für solche Unterklassen dieser Strukturen, in denen nur Querreaktanzen auftreten. In unserem Falle existiert jedoch keine solche Beschränkung, da, wie wir im Abschnitt "Zusammenschaltung von T'.ren"' gesehen haben, es ebenso einfach ist, Reihenschaltungen nachzubilden, wie Parallelschaltungen. Mit anderen Worten, jede Einheitselement-Abzweigstruktur führt zu einem realisierbaren Wellenflußdiagramm. Ein Beispiel entsprechend einem Bandpaßfilter ist in Fig. 27 gezeigt, R₇ und R. sind dabei durch Gleichungen entsprechend Gl. (5.1) gegeben.

Wenn wir mit m die Zahl der reaktiven !Elemente und mit η die Zahl der Finheitselemente in der Einheitselement-Abzweigstruktur bezeichnen, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer m+n+1. Die Tatsache, daß wir auf diese Weise für jedes Einheitselement einen Multiplizierer aufwenden müssen, bedeutet jedoch nicht, daß dieser Aufwand zu keinen» Filter effekt führt, tatsächlich können wir beim Entwurf des ursprünglichen Filters stets vollen Gebrauch von den Filtereigenschaften machen, die den Einheitselementen inhärent sind (vgl. Flg. 26). Die Zahl u+n+1 ist

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BAD

gewöhnlich auch gleich der Zahl der unabhängigen Koeffizienten in der Übertragungsfunktion (i'ransraittanz) des Netzwerkes. In diesem Sinne können wir sagen, daß die Zahl der Multiplizierer kanonisch ist.

Zu beachten ist, daß es keineswegs notwendig ist, zuerst explizit die zuerst genannte Struktur zu entwerfen, von der die Einheitselement-Abzweigstruktur abgeleitet worden ist. In der Tat kann der Syntheseprozeß in solcher Weise geführt werden, daß die zuletzt genannte Struktur unmittelbar erhalten wird.

Zusätzliche Bemerkungen

1.. Da ein Einheitselement zwei Verzögerungen T/2 erfordert, während eine Induktivität oder eine.Kapazität nur eine Verzögerung T erfordert, mag es scheinen, daß ein Einheitseleroent aufwendiger zu realisieren ist. Tatsächlich muß jedoch eine Verzögerung T immer durch eine Kettenschaltung zweier Verzögerungen von der Größe T/2 realisiert werden, um eine Zwischenspeicherung möglich zu machen; dies ist notwendig, da der Einschreib- und Leseprozeß nicht gleichzeitig für ein einzelnen Speicherelement durchgeführt werden kann. Bei einem Einheitselement fällt jedoch der Schreib- und Leseprozeß niemals zusammen, da diese Prozesse immer einen zeitlichen Abstand T/2 haben; daher ist eine Unterteilung der Verzögerung T/2 nicht erforderlich. Wir schließen aus dieser Tatsache, daß für ein digitales Filter, das m reaktive Elemente und η Einheitselemente enthält, die Zahl der Verzögerungen T/2 (d.h. die Zahl der Speicherelemente), die erforderlich sind, gleich 2(m+n) ist.

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'j ^:- 3 3 b 1 / Q δ 3 4

2. Im Abschnitt "Zusammenschaltung von Toren" haben wir gesehen, daß die Widerstände positiv bleiben, solange die Größen Ct, Af, , ß, gewisse sehr unkritische Bedingungen erfüllen. Aus diesem Grunde bleiben die Schaltungen stets passiv, mit Ausnahme bei extremen Abweichungen der Multiplizierer; insbesondere kann die Schaltung normalerweise nicht instabil werden, und die sehr geringe Empfindlichkeit gegenüber Eletnentevariationen, die in der Einleitung diskutiert worden ist, bleibt normalerweise erhalten.

3. Bisher haben wir stets vorausgesetzt, daß die Widerstandsparameter, die den verschiedenen Elementen entsprechen, stets- positiv sind, Tatsächlich aber bleiben die verschiedenen Gleichungen, die wir abgeleitet haben, gültig, selbst wenn irgendeine Zahl dieser Widerstände negativ ist. Es ist allerdings richtig, daß in diesem Fall unser Argument, das die geringe Durchlaßbereichsempfindlicnkelt garantiert, nicht notwendigerweise gültig ist. Es ist jedoch auch bekannt, daß in LC-Strukturen, insbesondere in LC-Abzweigstrukturen, negative Elemente erscheinen dürfen, die, sofern ihre Werte innerhalb gewisser Grenzen bleiben, die Gesamtstruktur passiv erhalten. Zu bemerken ist, daß Ungleichungen, wie

die früher stets gültig waren, keineswegs gültig sein müssen, wenn einige der R, negativ sind, und das gleiche gilt offensichtlich auch für die Schlußfolgerunges, die wir aus diesen Ungleichungen abgeleitet haben.

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4. Da ein Einheitseletnent einen Multiplizierer und zwei Verzögerungen 1/2 erfordert, ebenso wie eine Induktivität ode^ eine Kapazität, sind seine Kosten im wesentlichen die gleichen. Es ist jedoch bekannt, daß das Piltervermögen eines in Kette geschalteten Einheitselements geringer ist als das eines quer- oder längsgeschalteten reaktiven Elementes. Aus diesem Grunde wird man interessiert sein, den Multiplizierer eines Einheitselementes möglichst einsparen zu können, ohne, die Verzögerungen aufzugeben, da diese notwendig sind, um das Signaldlußdiagramm realisierbar zu machen. Dieses Ziel kann erreicht werden, indem man den Wellenwiderstand eines Einheitseleroentes mit einem der anderen Widerstände gleichsetzt, die zu den angrenzenden Adaptern gehören. Wir haben in den Unterabschnitten "Parallelschaltung" und'Serienschaltung¹¹ in der Tat schon gesehen, daß es ein solches Vorgehen immer erlaubt, die Zahl der Multiplizierer, die erforderlich sind, zu reduzieren. Es ist natürlich richtig, daß dies darauf hinausläuft, auf die Filtereigenschaften des Einheitselementes vollständig zu verzichten, aber ein solches Vorge—hen kann trotzdem wirtschaftlich sein. Es ist ebenso richtig, daß die klassischen Filterentwurfsmethoden in diesem Fall nicht mehr ohne weiteres angewendet werden können, da solche Methoden in der Praxis niemals von sich aus die erforderlichen Nebenbedingungen liefern. A_us diesem Grunde wird man eine geeignete Optimierung im Entwurfaverfahren vornehmen müssen.

5. Ober die Elemente, die wir in dem Abschnitt "Elemente und Quellen studiert haben, hinaus ist es auch möglich,

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quasi-reziproke Leitungen (QUARL'a) und die zugehörigen gyrierenden und zirkulierenden Bauelemente zu realisieren, die aus der Resonanzübertragungstheorie bekannt sind. Es scheint jedoch, daß uns dies keinen Vorteil bringen würde, da der Gyrator und der Zirkulator, die im Unterabschnitt "Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten" behandelt worden sind, uns bereits größere Flexibilität bieten, doch kommt es auf den Einzelfall an.

6. Um ein digitales Filter zu realisieren, das ein LC-Filter nachbildet, mag man an das folgende Verfahren denken, das augenscheinlich viel einfacher ist als das oben beschriebene. Wir gehen von einem gegebenen abgeschlossenen verlustlosen Zweitor aus, das m Induktivitäten und Kapazitäten enthält und dazu eine gewisse Zahl nichtreaktiver Elemente. Wenn wir diese Induktivitäten und Kapazitäten entfernen, ebenso wie auch die Abschlüsse, dann bleibt ein frequenzunabhängiges (m+2) Tor übrig. Jedem Tor ordnen wir als Dorwiderstand den Widerstand des entsprechenden Elementes oder der entsprechenden Quelle zu. Dann drücken wir die m+2 reflektierten Wellen durch die m+2 einfallenden Wellen aus¹. Dadurch ist ein (m+2)-Toradapter bestimmt, der im allgemeinen weder vom Parallelnoch vom Reihentyp ist. Nichtsdestoweniger enthält dieser keine inneren Rückkopplungsschleifen, so daß wir ein realisierbares WellenflußdiagraiDiD erhalten» indem wir seine Wellentore mit den Welleneintoren der einzelnen Elemente und der Quellen verbinden. Ein offensichtlicher Nachteil besteht jedoch darin, daß der (m+2)-Toradapter im allgemeinen die große Zahl von (m+2) Multiplizierer erfordert. Trotzdem kann ein solches Vorgehen nützlich sein, um kleinere Untereinheiten einer größeren Struktur

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■ zu synthetisieren. Ira Prinzip kann dieses Verfahren auch angewendet werden, wenn das Zweitor auch Widerstände enthält, obwohl dieser Fall von geringen?r]praktischer Bedeutung ist.

7, Alle Zweitore, die wir "bisher behandelt haben, betreffen Filter, die auf beiden Seiten resistiv abgeschlossen sind. Es sollte jedoch klar werden, daß dieselben Grundsätze auch angewendet werden können, utn digitale Filter zu entwerfen, die klassische Leerlauf- oder Kurzschlußfilter nachbilden.

8. Digitale Wellenfilter können in gleicher Weise wie konventionelle Filter in entsprechende digitale N-Pfad-Filter transformiert werden, indem man zu jeder Verzögerung T/2 eine Verzögerung (N-1)T/2 addiert, während zur gleichen Zeit die Taktfrequenz des Filters gleich F = 1/T bleibt.

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VPA 9/647/0003 - 39-

109851/0534 bad originai!

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14 Patentansprüche
27 Figuren

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Claims (1)

1. Patentansprüche

   M J Filter rait frequenzabhängigen Übertragungseigensuhaften für elektrische Analogsignale, die in Digitalforni vorliegen, dadurch gekennzeichnet, daß die Filtergrundschaltung einer üblichen LC-Schaltung für Analogsignale entspricht, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, daß· die reaktiven Zweipolschaltelemente dieser Filtergrundschaltung (Induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungseletnente als laufzeitbehaftete Zweitorschaltungen, vorzugsweise in Abtasttechnik, aus-gebildet sind, daß die nichtreaktiven Zweipolschalteleniente dieser Filtergrundschaltung (leerlauf, Kurzschluß, Widerstand, widerstandsfreie und widerstandsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und die nicht-reaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Kehrtorschaltungen, vorzugsweise ebenfalls in . Abtasttechnik, ausgebildet sind, und daß diese Eintor- und Mehrtorschaltungen über,eine Porwiderstandsanpassung zwischen den einzelnen Ein- und Mehrtoren ergebende Adapter der FiItergrundscha.ltung entsprechend zusammengeschaltet sind.

   2. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Induktivität wirkende laufzeitbehaftete Eintorschaltung aus der Reihenschaltung eines Speichergliedes und eines Vorzeicheninverters besteht (Fig. 2).

   3. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Kapazität wirkende laufzeitbehaftete Zweipolschaltung aus einem Speicherglied besteht (Fig. 3).

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   4.' filter nach Anspruch Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Leitungselement wirkende laufzeitbehaftete Zweitorschaltung aus zwei Übertragungswegen gegensinniger übertragungsrichtung besteht und in jedem der beiden Übertragungswege ein Speicherglied mit einer Speicherzeit eingeschaltet ist, die der Hälfte der geforderten Geaamtlaufzeit entspricht (Pig. 10). . ·

   5. Filter nach Anspruch 1, d a d u r c h gekennzeichnet, daß die als Widerstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Absorber ausgebildet ist (Fig. 4).

   6. Filter nach Anspruch 1, dadurch g e k e η η ζ e i c h η e t , daß die als Leerlauf wirkende laufseitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der in ihn eingespeiste Wellen pbasengleich reflektiert (Fig. 5).

   7. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kurzschluß wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der einen Vorzeicheninverter für am Zweipol reflek tierte Wellen enthält (Fig. 6).

   6. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , dafl die als Gyrator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung als Zwaitorschaltung ausgebildet ist, "bei der in den Übertragungsweg für reflektierte Wellen ein Vorzeioheninverter eingeschaltet ist (Pig. 8).

   9. Pilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Zirkulator wirkende '. ι MehrpοIsohaltung eine wenigstens drei Tore aufweisende

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   Mehrtorschaltung ist, bei der eine derartige Reihenschaltung derAnschlußklemmen der einzelnen Tore vorgesehen ist, daß der für die Welleneinspeisung in ein Tor maßgebliche Anschluß in den Anschluß des nächsten Tores übergeht ₉ aus dem in diesem Tor Wellen austreten (Fig« 9).

   10. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet j daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Übersetzungsverhältnisses von -1/1 aus einer Zweitorschaltung besteht, bei der in die beiden Übertragungswege (für hinlaufende und rücklaufende Wellen) jeweils ein Yorzeioheninverter eingeschaltet ist (Figo 7)

   11. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Transformator wirfeende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Spannungsübersetzungsverhältnisses von n/1 aus zwei Zweitorschaltungen besteht, von denen jeder in einer Übertragungsrichtung einen Yorzeicheninverter enthält und die über einen Zweitoradapter in Kette geschaltet sind, dessen Torwiderstände dem geforderten Spannuingsübersetzungs» verhältnis entsprechen (Fig. 16)»

   12. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß der Adapter sie Zweitoradapter ausgebildet ist, bei dem die einspeisenden Anschlüsse jedes I'ores mit einem gemeinsamen Addierer verbunden sind unter Einfügung eines Vorzeicheninverters in eine dieser Zuleitungen, daß mit 3@dem der "beides Einspeiaungsaaschlisse Je ein weiterer Addierer veijbunäQB ist_s deaess ale zusätzliche Einspeisung der Ausgang Se®- geijeiiigaiB@B Addierers unter Zwischenschaltung ©ittes ilultiplisier@ge · zugeführt ist, und daß die Ausgangsaaeohlüs

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   weiteren Addierer die Ausspeisungskletomen der beiden Tore bilden (Fig. 15).

   H. Filter nach Anspruch 1, d a d u r c h gekennzeichnet i daß der Adapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist,mit n-1 Multiplizierern (n = Anzahl lore) und in Parallelschaltung (Fig, 18).

   14. Filter nach Anspruch 1,dadurch gekennzeichnet, daß der /dapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist,mit. n-2 Multiplizierern (n = Anzahl Tore) und in Serienschaltung (Fig. 20).

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