DE2810496C3 - Rekursives Digitalfilter - Google Patents

Description

Filterart

Tiefpaßfilter

Hochpaßfilter

Bandsperrfilter

A₀ = A₁

_ 2

— 2 + 2²~" B₁

k + 4-n " k + 4- π

2-2 2 + F, 2~" 1-2 2 +F₂ 2""

30

wobei

π eine ganze, positive Zahl,
Jt eine ganze, positive oder negative Zahl und
ei/e₂die Paarungen 0/4; -4/0; -2/2; 4/8 sein können,

daß vor dem Filtereingang ein Multiplizierer (194) liegt, der mittels eines Wahlschalters (1118) mit einem von zwei Koeffizientenregistern (2°, 2") verbindbar ist, und daß in der Leitung vom Ausgang der ersten Verzögerungsschaltung (13) zu einem Eingang der ersten Additionsschaltung (11) und zu einem Eingang der zweiten Additionsschaltung (19) je ein Multiplizierer (14, 151) mit dem Faktor Zwei liegt und

daß ein um Jti versetzter Ausgang der ersten Verzögerungsschaltung (13) über einen Vorzeichenspeicher (161) und einen Schalter (162) mit einem positiven Eingang der zweiten Additionsschaltung (19) und zwei weitere, um b, Jt₃ versetzte Ausgänge der ersten und zwei um A4, fc versetzte Ausgänge der zweiten Verzögerungsschaltung (16) über je einen Vorzeichenspeicher (152,154,181,182) und je einen Schalter (155, 156, 184, 185) mit je einem Eingang der ersten Additionsschaltung (11) verbunden sind.

2. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der beiden Multiplizierer (14, 151) ein Flip-Flop ist, der zwischen dem Ausgang der ersten Verzögerungsschaltung (13) und dem Eingang der entsprechenden Additionsschaltung (19, 11) Hegt

3. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Schalter (156,185) für

Werte Jt₃=O; A₅=λ-2 offen bzw. geschlossen und für

Werte k₃=n-2; Jt₅=O geschlossen bzw. offen und für

Werte Jt₃ = Ji-l;fe=n-1 bzw.

Jt₃=η - 2; Jt₅ = η - 3 geschlossen sind.

4. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Realisierung eines Tiefpaßverhaltens der Wahlschalter (1118) das Koeffizientenregister 2° mit dem Multiplizierer (194) verbindet und daß der Schalter (162) offen ist,

bei einem Dämpfungsfaktor ij=0 die Schalter (155, 184, 185) offen sind und der Schalter (156) geschlossen ist, bzw.

bei einem Dämpfungsfaktor η > 0 die Schalter (155, 184) geschlossen und die Schalter (156,185) je nach Wahl der Werte Jt₃, Jt₅ offen oder geschlossen sind.

5. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Realisierung eines Hochpaßverhaltens der Wahlschalter (1118) das Koeffizientenregister 2" mit dem Multiplizierer (194) verbindet und daß der Schalter (162) offen ist,

die Schalter (155,184) geschlossen und die Schalter (156,185) je nach Wahl der Werte Ar₃, Jt₅ offen oder geschlossen sind.

6. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Realisierung eines Bandsperrfilters der Wahlschalter (1118) das Koeffizientenregister 2" mit dem Multiplizierer (194) verbindet,

die Schalter (155, 162, 184) geschlossen und die Schalter (156, 185) je nach Wahl der Werte Jt₃, Jt₅ offen oder geschlossen sind.

Die Erfindung betrifft ein rekursives Digitalfilter nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1. Filter dieser Art sind bekannt (DE-AS 20 11 772). Sie können vorteilhaft analoge Filter wie Tiefpaßfilter, Hochpaßfilter oder Bandsperrfilter ersetzen, wenn die Grenzfrequenzen sehr niedrig sind. So sind analoge Tiefpaßfilter sehr aufwendig, sobald die Grenzfrequenzen unter 1 Hz liegen. Die für diese Frequenzen verfügbaren Schaltete-

mente sind nicht alterungsbeständig genug; außerdem sind sie teuer. Die numerischen Filter hingegen eignen sich gut zum Filtern von sehr niedrigen Frequenzen. Sie verstimmen sich nicht, und sie bieten für einen gegebenen Algorithmus einen definierten Phasengang. ϊ

Es ist bekannt, daß, wenn man ein Signal mit der Abtastfrequenz f_e abtasten will, das Signal keine Frequenzkomponenten aufweisen darf, die höher liegen als fJ2, um ein Überschwingen des Spektrums zu vermeiden. Man muß also vor der Abtastung des Signals ι ο und der numerischen Filterung eine analoge Filterung vornehmen, die die Komponenten des Signals, die größer sind als die Hälfte der Abtastfrequenz, aussieben. Im Beispiel einer analogen Tiefpaßfilterung 2. Ordnung mit einer Grenzfrequenz von 10 Hz und mit einer Flanke von — 40 dB/Dekade ergibt sich, daß man, um Frequenzkomponenten des Signals z. B. mit einer gegebenen Genauigkeit von 10-², 10~³ bzw. 10~⁴ numerisch zu filtern, in der analogen Vorfilterung die Frequenzen unterhalb 100 Hz, 300Hz bzw. 1000 Hz halten muß. Dies zwingt zu Abtastfrequenzen f_e von respektive 200 Hz, 600 Hz oder 2000 Hz.

Der Artikel von E. Haziza und J. Appel »Filterung in effektiver Zeit von in Windkanälen durchgeführten Messungen« (NT ONERA, 3/7146 PY) zeigt, in welchem Maße eine für die Erfassung und die Speicherung benutzte kleine Datenverarbeitungsanlage in der Lage ist, die erfaßten Signale in effektiver Zeit numerisch zu filtern. Das programmierte Filter ist ein rekursives Tiefpaßfilter 2. Ordnung, und die numerische Siebleistung der Datenverarbeitungsanlage in effektiver Zeit besteht aus 8 Meßbahnen, die 200mal in der Sekunde abgetastet werden. — Es ist offensichtlich, daß, wenn die gewünschte Genauigkeit groß ist (z. B. ΙΟ-⁴) und wenn die Zahl der zu filternder. Bahnen groß ist (einige Zehnerstellen), eine solche Anlage nicht mehr in der Lage ist, die numerische Filterung in effektiver Zeit auf klassische Art und Weise vorzunehmen.

Aufgabe der Erfindung ist es, die komplizierten und aufwendigen Multiplizierer in herkömmlichen rekursiven Digitalfiltern gänzlich zu vermeiden und allenfalls Multiplikationen mit dem Faktor 2" in verringerter Anzahl zu verwenden.

Dabei geht die Erfindung von der Überlegung aus, daß es eine wesentliche Vereinfachung der Multiplikationsvorgänge bedeuten würde, wenn es gelänge, die Koeffizienten der Filterfunktion, die bekanntlich die allgemeine Form

H(z) =

A₀ + A₁ -ζ'¹ + A₂-Z'²
\ - B₁-ζ'¹ + B₂- ζ~²

hat und die sich ihrerseits in der Form

1 + a 2. + ... + Qo —

anschreiben lassen, zu vereinfachen und in Potenzen von zwei darzustellen, denn dann läßt sich eine Multiplikation mit 2" zurückführen auf eine Bitverschiebung um η Stellen. Diese läßt sich mit Schieberegistern ausführen, die an Koeffizientenregister angeschlossen sind, welche die benötigten Potenzen von zwei enthalten, oder in einer entsprechend programmierten Datenverarbeitungsanlage.

Ausgehend hiervon besteht die Lösung der Aufgabe darin, daß die Koeffizienten in Abhängigkeit von der Filterart wie folgt gewählt sind:

Filterart

A₀ = A₂

Tiefpaßfilter

Hochpaßfilter

Bandsperrfilter

₂-n

T-n + l _ 2

-2 +

k + 4 — η k + 4 - n

2-2 2 + ,-, 2"" 1-2 2

π eine ganze, positive Zahl,

k eine ganze, positive oder negative Zahl und ει/82 die Paarungen 0/4; -4/0; -2/2; 4/8 sein können,

daß vor dem Filtereingang ein Multiplizierer liegt, der mittels eines Wahlschalters mit einem von zwei Koeffizientenregistern verbindbar ist, und daß in der Leitung vom Ausgang der ersten Verzögerungsschaltung zu einem Eingang der ersten Additionsschaltung und zu einem Eingang der zweiten Additionsschaltung je ein Multiplizierer mit dem Faktor Zwei liegt und daß ein um k\ versetzter Ausgang der ersten Verzögerungsschaltung über einen Vorzeichenspeicher und einen Schalter mit einem positiven Eingang der zweiten Additionsschaltung und zwei weitere, um k₂, k₃ versetzte Ausgänge der ersten und zwei um fo, fe versetzte Ausgänge der zweiten Verzögerungsschaltung über je einen Vorzeichenspeicher und je einen Schalter mit je einem Eingang der ersten Additionsschaltung verbunden sind.

Mit dieser Schaltungsanordnung können durch Wahl der Werte n,kund ε sowohl Tiefpaß- als auch Hochpaßals auch Bandsperrfilter als rekursive Digitalfilter verwirklicht werden. Die Zeit, die benötigt wird, um einen gefilterten Punkt zu errechnen, beträgt einige Hundert Nanosekunden und ermöglicht eine hohe Abtastfrequenz, was ein Überschwingen des Spektrums auf ein Minimum herabsetzt Die sehr kurze Rechenzeit gestattet ferner die Reihenschaltung von mehreren Filtern gleicher Art oder verschiedener Art, was wiederum ermöglicht, Übertragungsfunktionen mit allgemeinerem Verlauf zu erhalten, so daß sich Besse-, Legendre- oder Tchebyscheff-Filter realisieren lassen. Ausführungsformen dieser Filterarten sind Gegenstand der Unteransprüche.

Vor einer ausführlichen Beschreibung von Ausführun&sbeispielen soll zunächst die mathematische Grundlage der Erfindung am Beispiel eines rekursiven Tiefpaßfilters 2. Ordnung vom Butterworth-Typ behandelt werden.

Die analoge Übertragungsfunktion eines Tiefpaßfilters 2. Ordnung läßt sich wie folgt anschreiben:

H(p) =

(I)

wobei η der Dämpfungsfaktor und <u_c die analoge Winkelgrenzfrequenz ist. Durch entsprechende Umwandlung

P =

I I - z If ' I +z

(2)

mit At als Abtastzeit und z=^' erhält man die Übertragungsfunktion H(z)des Filters:

^A«

Mit Λ — ω,Δί werden die Koeffizienten Ao, Au und B₂ durch folgende Gleichungen bestimmt:

A₀ =

+Τ₍

Vλ²

.4, = 2A_C

A₂ = A_n

R _ ^2(l -*>

¹ ~ T+2,, λ + *²

B - ' -²''^Λ

O₂ — ~Γ"7-^—

+ 2 I₁ ,·» + Λ²

(3)

A₂, By

(4)

(4Ί

(5)

(6)

Wenn man E₀(Z) als die Ausgangsfunktion und E(z) als Eingangsfunktion des Filters in ζ bezeichnet, ist

E₀(Z)

(7)

Daraus leitet sich die Rekursionsbeziehung zu

£_,j_r) = R. F₁(Z)T"¹ - P₂FJ-)--² -+- A₀F._;(-)

(8)

Diese Beziehung (8) wird graphisch durch Blockschaltbild der Fig. 1 dargestellt In Fig. 1 wird die Eingangsfunktion E(z)\n dem Multiplikationsglied 1 mit dem Koeffizienten A» multipliziert, um Ai₃E(Z) zu erhalten, und in dem Multiplikationsglied 2 mit der Funktion z~\ um E{z)z~^x zu erhalten. Die Funktion E(z)z-¹ wird in dem Multiplikationsglied 3 mit dem Koeffizienten Ai multipliziert, um A\ E{z)z~ⁱ zu erhalten, und in dem Glied 4 mit der Funktion z-\ um E{z)z~² zu erhalten. Die Funktion E(z)z~² wird in dem Glied 5 mit dem Koeffizienten A₂ multipliziert um

² zu erhalten. Die Ausgangsfunktion
wird in dem Glied 6 mit z~' multipliziert, um Ej(z)z-' zu erhalten, was wiederum in den Gliedern 7 und 8 multipliziert wird, um respektive B\ E₀(Z) z~^] bzw. £Ό(^ z-²zu erhalten. Die Funktion E₀(Z) z~² wird in dem Glied 9 mit dem Koeffizienten ( — B₂) multipliziert, um die Funktion — B₂ E„(z)z-² zu erhalten. Das Additionsglied 10 addiert die fünf Funktionen, die den fünf Ausdrücken des rechten Gliedes der Gleichung (8) entsprechen, und liefert an seinem Ausgang die Ausgangsfunktion E₀(Z). Das Blockschaltbild der F i g. 1 wird als Direktstruktur bezeichnet, da es sich direkt aus der Übertragungsfunktion (3) ergibt. Diese bekannte Direktstruktur wird für einige bevorzugte Ausführungen von rekursiven Digitalfiltern 2. Ordnung mit Koeffizienten in reduzierten Kombinationen von Potenzen von zwei gemäß der Erfindung benutzt.

Setzt man in Gl. (7) eine Zwischenfunktion F(z) folgendermaßen ein:

H(Z) =

E„ (ζ)
TIz)

F(Z)
E, (ζ)

so kann man durch Umstellung der Gleichungen (3) und (9) zwei funktionell gekoppelte Beziehungen anschreiben:

E₁A=) = F(Z)A₁, + F(Z)A₁Z¹ +F(:)A₂z'²

(10)

F(Z) = Ei(z) + F(Z)B₁ z~^l - F(Z)B₂Z'² .

(H

Diese beiden funktionell gekoppelten Beziehungen (10) und (11) werden durch das Blockschaltbild der Fig.2 dargestellt, dessen Struktur als kanonische Struktur bezeichnet wird. In F i g. 2 wird die Eingangsfunktion E(z) direkt an ein Additionsglied 11 angelegt dessen Ausgang die Zwischenfunktion F(z) ergibt Diese Funktion F(z) wird in den Multiplikationsgliedern 12 bzw. 13 mit den Koeffizienten Aq und mit der Funktion z-' multipliziert um die Funktionen Ao F(z) bzw. F(z)z~^l zu erhalten. Die Funktion F(z)z~^y wird in den Gliedern 14,15 und 16 jeweils mit den Koeffizienten A\, B] und der Funktion z~' multipliziert um die Funktionen Ai F(z)z-\ B₁ F(z)z-i und Ffz)z~² zu erhalten. Die Funktion F(z) z~² wird in den Multiplikationsgliedern 17 und 18 mit den Koeffizienten A₂ bzw. (-B₂) multipliziert, um A₂ F(z) z~² bzw. — B₂ F(z) z~²zu erhalten. Das Additionsglied U addiert die drei Funktionen des rechten Gliedes der GL (il) und liefen an seinem Ausgang die Zwischenfunktion F(z) Ein weiteres Additionsglied 19 erhält die drei Funktionen des rechten Gliedes der GL (10) und liefert an seinem Ausgang die Ausgangsfunktion E₀(Z). Diese bekannte kanonische Struktur der F i g. 2 wird ebenfalls für einige bevorzugte Ausführungen von rekursiven Digitalfiltern 2. Ordnung benutzt

Wenn man die F i g. 1 und 2 vergleicht so stellt man fest, daß die kanonische Struktur der Fig.2 zwei Multiplikationsglieder mit z~^] anstatt vier und zwei Additionsglieder anstatt eines enthält

In der Praxis werden Filterausführungen, die auf den theoretischen Blockschaltbildern der Fig. 1 und 2 beruhen, die gleiche Anzahl von Multiplikatoren, nämlich fünf, enthalten, sowie vier Speicher und einen

Addierer im Falle der Direktstruktur (F i g. 1) bzw. zwei Speicher und zwei Addierer im Falle der kanonischen Struktur (Fig. 2), vgl. Tabelle I.

Tabelle 1

Direktstruktur

Kanonische
Struktur

Multiplikatoren

Addierer

Speicher

Die Direktstruktur (Fig. 1) und die kanonische Struktur (Fig.2) können beide parallel oder seriell ausgeführt werden. Die Zahl der benötigten Kreise zur Herstellung eines zusätzlichen Paralleladdierers ist jedoch viel größer als die Zahl der für die zwei zusätzlichen Eingangsspeicher der Direktstruktur benötigten Kreise. Demnach ist es vorteilhafter, eine Ausführung in paralleler Form mit Direktstruktur zu wählen, wenn man die Ausführungsgeschwindigkeit optimieren will.

Auf jeden Fall bedingt eine Ausführung in serieller Form eine kleinere Zahl an Komponenten als eine Ausführung in paralleler Form. Wenn man also die Zahl der benötigten Kreise klein halten will, bei Verlust an Geschwindigkeit, so ist eine Ausführung in serieller Form mit kanonischer Struktur vorteilhafter, weil bei dieser die Zah! der für einen zweiten Serienaddierer benötigten Kreise kleiner als die Zahl der für zwei zusätzliche Speicher benötigten Kreise ist

Im Falle einer Ausführung in serieller Form sind die Speicher Schieberegister und die Addierer Serienaddierer.

Es wird nunmehr untersucht, welches die besten Formen sind, die man den Koeffizienten der Rekursionsbeziehung geben muß, indem wir sie in Kombinationen von Potenzen von zwei in reduzierter Zahl zerlegen.

Die analoge Winkelgrenzfrequenz <a_c und die numerische Winkelgrenzfrequenz ων sind durch die Beziehung

= tg

Vl'_c I t

(12)

auf Grund der entsprechenden Umformung des Ausdrucks in GL (2) verbunden.
Für numerische Grenzfrequenzen

^{J c} -

2π

der Größenordnung von 1 Hz und Abtastfrequenzen

Die Gl. (12') zeigt, daß im Bereich der untersuchten

Frequenzen die Grenzfrequenz des numerischen Filters das Doppelte der Grenzfrequenz des entsprechenden analogen Filters beträgt und daß die Größe χ = ω_σΔί

ι sehr viel kleiner als Eins ist. Folglich ist der Koeffizient Ao aus Gl. (4) von der Größenordnung von λ², d. h. 10~⁵, während die Koeffizienten B₁ bzw. B₂ der Gl. (5) bzw. (6) nahe bei 2 bzw. 1 liegen.

Die Zeit zur Berechnung der Rekursionsbeziehung

κι gemäß Gl. (8) mit einer kleinen Datenverarbeitungsanlage ist für Koeffizienten dieser Größenordnung notgedrungen lang, von einigen Hundert Mikrosekunden, wobei eine elementare Rechenoperation mit Fließkomma eine Zeit von 35 \is beansprucht.

Ii Der Grundgedanke, auf welchem die Erfindung beruht, ist die Verkürzung der Berechnungszeit der Rekursionsbeziehung (8) oder der beiden gekoppelten Beziehungen (10) und (11) und insbesondere der für die Multiplikationen benötigten Zeit, wobei der Koeffizient

2(i Ao willkürlich gleich 2 -" mit großem η eingesetzt wird und die Werte von B\ und B₂ nach den Bedingungen für die Verstärkung des Filters und den Dämpfungsfaktor η festgelegt werden.

Die Bedingung für die Verstärkung des Filters bei der Frequenz Null wird durch Summieren der Koeffizienten des rechten Gliedes der Rekursionsbeziehung (8) erhalten:

4A₀ + B, - B₂ = 1 (13)

3d wobei diese Gleichung ausdrückt, daß die Verstärkung des Filters für eine Gleichstromkomponente des Signals gleich Eins ist. Andererseits findet man, indem man Gl.

(4) hinsichtlich A- auflöst und die Gl. (4) und (5)

kombiniert, die Beziehung B\ in Abhängigkeit von Ao und von η; dann erlaubt Gl. (13) B₂ in Funktion von Ao in Funktion von Ao und von η zu schreiben:

B₁ = A₀ J- 4 +

A₀

4,,² - 4^-1/Γ+(ι7—

M1'

(14)

B₂ = A₀

⁴'/²-t4-1/1"+('/² - IMo

(15)

Die Gl. (14) und (15) sind exakt; es war festgestellt worden, daß der Koeffizient Ao im Bereich der untersuchten Frequenzen in der Größenordnung von 10 -⁵ liegt, was ermöglicht, den Ausdruck

gleich Eins zu setzen, den Ausdruck

in (14) gleich ει und den Ausdruck 4 η² in (15) gleich 82. ει und E2 sind durch die Beziehung

ει-ε₂ 4

Jl verbunden und werden so gewählt, daß jede nur gleich

der Größenordnung 1000 Hz ist die Größe einer einzigen Potenz von zwei ist Unter diesen ^AL dann 3 - 10-3, ^ &_{e GL (12)} vereinfacht sich Annahmen treten für alle Werte des Dämpfungsfaktors 2 ' ij, die sich als Potenz von zwei ausdrücken:

to_c Jf ~

(12')

I₁ = 2¹^². k ganzzahlig. (16)

die Ausdrücke (14) und (15) in Form von Potenzen von

zwei auf, die nie mehr als drei Potenzen von zwei überschreiten.

Die Koeffizienten Ao, Au A2, B\ und B₂ eines erfindungsgemäßen Tiefpaßfilters 2. Ordnung sind dann gleich:

A₀ — 1

A₁ = 2~" ^{+ l} A₂ = 2'"

(17)

B₁ = 2~" J2"⁺¹ - 2 = 2~" I 2" - 2

η + 4 + k

+ _f,

B₂ =

η + 4 + It

Tabelle II
f, 0

ei

Jedes dieser Wertpaare (ει, 82) führt zu einem Dämpfungsfaktorwert η, der etwas vom theoretischen Wert η = 2^k'² der Gl. (16) abweicht. Dies ist der Tatsache zuzuschreiben, daß die Ausdrücke (17) von B₁ und S₂ genäherte Ausdrücke der Gl. (14) und (15) sind. Der Dämpfungsfaktor ist mit den Koeffizienten A₀ und B\ durch die Gleichung

2-B₁- 4A₀

verbunden, die man aus den Gl. (4) und (5) ableitet. Für is die in (17) vorgegebenen Werte Ao und Bi wird der reelle Dämpfungsfaktor des Filters wie folgt neu geschrieben:

wobei die verschiedenen Werte des Paares (ει, 62) in der folgenden Tabelle II angegeben sind:

,reell = ₇

2 + 2"⁺¹ - 2

+ 4 + k

-4 _2 4

4 0 2 8

Tabelle III zeigt die Werte der reellen Dämpfungsfaktoren für Filter mit den in Gl. (17) vorgegebenen

Wenn man n₂ gleich 4 η² wählen kann, so gibt es keine Faktoren für verschiedene Werte des theoretischen Näherung aus den Ausdrücken ει und 82 in der Dämpfungsfaktors 2^W2 sowie die verschiedenen Werte Berechnung von Bi und B₂. ?o des Paares (ει, 82) für n= 19 oder 20.

Tabelle III

ζ theoret.

20	— 00	0,00000
20	-2	0,50000
19	-1	0,70711
20	0	1,00000
19	1	1,41421
20	2	2,00000

/,reell	I1 reell	// reell	// reell
(fi, n) = (0,4)	(ε,, £j) = (-4,0)	(C1, C2) = (-2,2)	(ei, C2) = (4,8)
('/< 0)	0,00000	0/<0)	(,,<0)
0,49927	0,50024	0,49976	0,49829
0,70641	0,70779	0,70711	0,70503
1,00000	1,00097	1,00048	0,99902
1,41560	1,41699	1,41629	1,41421
2,00294	2,00392	2,00343	2,00196

Die in Tabelle III angegebenen Werte von k liefern die am häufigsten benutzten Dämpfungsfaktoren. Alle anderen Werte von k jedoch, die niedrigere oder höhere Dämpfungsfaktoren liefern, führen zu Filtern, die genau so leicht realisierbar sind. An Hand der Tabelle III kann man feststellen, daß die reellen Werte der Dämpfungsfaktoren für die verschiedenen Werte des Paares (ει, ε₂) praktisch gleich sind für n—19 oder 20. Solange n groß genug ist, um die Wahl des Paares (ει, ε₂) praktisch

A₀ = 2-"
A₁ = 2-⁺¹ A₂ = 2-

gleichgültig werden zu lassen, sind die Werte (0,4) oder (- 4,0) den Werten ( - 2,2) und (4,8) vorzuziehen, denn sie halten die Zahl der Potenzen von zwei in den Koeffizienten B\ oder B₂ klein. Wenn man einen Tiefpaß als rekursives Digitalfilter verwirklichen will, dessen Dämpfungsfaktor sehr nahe bei dem der Butterworth-FiIter liegt, η=1/^2, so lassen sich die Koeffizienten Ao, A,, Ai, B, und B₂ (GL 17) der Funktion in zder GL (3) fass die Auswahl (ει, ε₂)=(0,4) wie folgt neu anschreiben:

{n + 3 ι
2"⁺¹ - 2~2~ I

Indem man dies in Gl. (8) überträgt, schreibt sich die Rekursionsformel des rekursiven Tiefpaßfilters 2. Ordnung vom Typ Butterworth für eine Direktstruktur wie folgt:

2" 1·: =

ILLL - 2 ²

I ü+J.

\ 2" ~ 2 Xi

X,_₂

(21)

worin die χ/, x,_i, Af,_2 die abgetasteten Werte des analogen Eingangssignals in den Augenblicken iAt, (i—\)At, (i—2)at sind und worin y,, /,_i, y,-2 die zugehörigen gefilterten Werte sind. Die ganze Zahl η muß ungerade sein, damit die Potenz" ~tlebenfalls eine

ganze Zahl ist.

Ein rekursives Digitalfilter ist stetig, wenn alle Pole seiner Übertragungsfunktion H(z) im Innern des Einheitskreises liegen. Die beiden Pole der Übertragungsfunktion, die der Rekursionsformel (21) entsprechen, haben als Modul den Wert

ij + 2*- - 2 —

2Ac

2A₀

2A₀ + B₁ B₁

Die analoge Grenzfrequenz

f - J^L· - ^3c - 2.-7 -

η + I

2" - 2 2

(22)

1/2"-2—

(23)

15 ter 2. Ordnung untersucht. Wir werden nun zeigen, wie man von der Übertragungsfunktion in ζ eines Tiefpaßfilters 2. Ordnung die Übertragungsfunktionen in Z der entsprechenden Hochpaß- und Bandsperrfilter berechnen kann.

Wie F i g. 3 zeigt, läßt sich ein Hochpaßfilter mit der Übertragungsfunktion H(p) aus der Reihenschaltung eines Tiefpaßfilters mit der Übertragungsfunktion H\(p) und einer Winkelgrenzfrequenz wi_cund eines Filters mit der Übertragungsfunktion

20

und das nach Gl. (21) verwirklichte Filter ist stetig unabhängig von dem Wert n> 0, ganzzahlig.

Durch Umkehrung der Formeln (4) und (5) und unter Berücksichtigung der Werte von A₀ und von B\ erhält

25

30

35

die dem rekursiven Digitalfilter nach der Rekursionsformel (21) entspricht, ist dann gleich

45 H₂(P) =

P¹

"'2 c

mit G)2c=tüic entwickeln. Wenn man als Tiefpaßfilter ein Filter 2. Ordnung mit einem Koeffizienten in Potenzen von zwei wählt, so ist die Übertragungsfunktion H\(z) gegeben durch GL (3), worin die Koeffizienten Ao, A\, Ai, B\ und Bi durch die Ausdrücke (17) gegeben sind. Nach Gl.(22) ist die analoge Winkelfrequenz cui_c

(24)

/2" - 2'

Wenn man die Transformation (2) entsprechend auf die Funktion Hi(p) anwendet, so erhält man die Übertragungsfunktion des Hochpaßfilters

40 H(z) =

A₀

1 - 2r-' +

U»2c

Ir)² 1 - B₁Z-¹ + B₂z-

(25)

Wenn man den Koeffizienten j—_i—γ-π

macht, so bringt man einen kleinen Unterschied zwischen den beiden Winkelgrenzfrequenzen <H\_C und W₂C ein, denn dann ist

fe

(26)

Die Grenzfrequenz f_c ist also vom Wert der ganzen 50 ,„,_c

Zahl π abhängig und variiert im Prinzip diskontinuier- " 12" lieh. Sie ist jedoch proportional der Abtastfrequenz f_c; es

ist möglich, letztere leicht zu ändern, um die Nach Tabelle IV stellt man für ein Butterworth-Filter

Grenzfrequenz auf einen gewünschten Wert abzustim- (k= — 1) fest daß die Differenz zwischen den beiden

men. 55 Winkelgrenzfrequenzen gering ist sobald die ganze

Bis jetzt wurden Tiefpaßfilter als rekursive Digitalfil- ungerade Zahl π größer ist als 9. Tabelle IV

11 53

17

7%
1

. 3% 0.5

1,6%

(U5 0,8%

0,12

0,4%

0,06

0,2%

0,03

14

F ig. 4 zeigt qualitativ, daß, wenn tüideicht höher liegt Frequenz gleich der halben Abtastfrequenz, d.h. für

als iu2a die Verstärkung des Filters im Durchlaßbereich z=e>= — 1. Die Übertragungsfunktion H(z) für diesen

etwas höher ist als Null dB. Man berechnet den Wertz= -1 istgleich4(l+ßi
Maximalwert dieser Verstärkung g_m für eine analoge

- 2

(27)

Die Werte von g_m in dB sind in Tabelle IV für zienten Ao (ci)_2c Δt)~² in der Übertragungsfunktion (25

verschiedene Werte von π für ein Butterworth-Filter gleich Eins zu setzen.

(Ic= — 1) angegeben; man stellt fest, daß die Verstärkun- Die Rekursionsformel eines Butterworth-Hochpaßfii-

gen für n>15 sehr nahe bei Null dB sind.' Dies ters mit Koeffizienten in Potenz von zwei in

rechtfertigt die vorgeschlagene Näherung, den Koeffi- 15 Direktstruktur schreibt sich für die Wahl (ει, ε₂)=(0,4):

2" ν,- = \2"⁺¹ - 2 ² j j-,--, — V2" — 2 ² + 2²)₃>,-

',■_₂ + 2"(.V₁- - 2.W₁ +.Υ;-,).

(28)

Wie F i g. 5 zeigt, ist es möglich, daß ein Bandsperrfil- gungsfunktion Hi(p)mh einer Winkelgrenzfrequenz ωι ter mit der Übertragungsfunktion H(p) aus der und eines Filters mit der Übertragungsfunktion
Reihenschaltung eines Tiefpaßfilters mit der Übertra-

H₂ (P) = I + -^y

mit ü)2c=«^entwickeln. (17) und coi_cdurch die Gl. (24) gegeben sind.

Als Tiefpaßfilter wählt man ein Filter 2. Ordnung mit jo Wenn man die Transformation entsprechend auf die Koeffizienten in Potenz von zwei; H\(z) ist durch Gl. (3) Funktion Hi(p) anwendet, schreibt sich die Übertragegeben, worin die Koeffizienten durch die Ausdrücke gungsfunktion des Bandsperrfilters:

-('»2c .If)²

H(ζ) = A₀ 11 +

Man stellt die Bedingung A₀ (l + j^-

(30)

40 des Bandsperrfilters aus Gl. (29) zu

ι ²"⁺' -^2l

H(Z) =

⁽²⁹⁾

+ z'

. (31)

auf, die in 1. Ordnung in λ die gleiche ist wie die, die man 45
für das Hochpaßfilter aufgestellt hatte. Die Untersuchung und die Gültigkeit für diese Näherung sind genau Die Rekursionsbeziehung eines Bandsperrfilters von die gleichen wie im Falle des Hochpaßfilters. Typ Butterworth in Potenzen von zwei ist für die Wah Mit Gl. (30) ergibt sich die Übertragungsfunktion (29) (ει, 82)=(0,4) die folgende:

2"yi =

_, - t" - 2"2 + 2²

) yi-2

+ 2" x, - (2"⁺¹ - 2²Jx₁-! + 2"x,_₂ (32)

Die Rekursionsformeln (21), (28) und (32) wurden für 55 sionsformeln sind sehr ähnlich und differieren nur durcl

rekursive Digitalfilter 2. Ordnung des Typs Butterworth die Werte der Koeffizienten von Xi, λγ,·_ι und .v,_₂. Es is

mit Koeffizienten in Potenzen von zwei als Tiefpaß-, möglich, sie in eine einzige Rekursionsformel z\

Hochpaß- und Bandsperrfilter bestimmt. Diese Rekur- übertragen:

2"yi = (2ⁿ⁺¹ -2 ²" J j'i-i - (2"-2" "2"

-2" ^{+ 1} + 2²)

a = 1,έ>=0, c=0 für einen Tiefpaß, a = 0,i>= l,c=0für einen Hochpaß und a = 0, 6=1, c=l für ein Bandsperrfilter.

Die Verstärkung #0 bei der Frequenz Null ist dant 65 gleich

go = a + be, (34)

und die Verstärkung g_m bei der halben Abtastfrequen:

ist gleich

1+

— 2 ~2'~ + 2 "

Ii - 1

Formel (33), die die drei Rekursionsformeln (21), (28) spiel verallgemeinert die Rekursionsformeln (21·), (28) und (32) umfaßt, kann auf verschiedene Arten und (32) für von eins verschiedene Verstärkungen: parametrisiert werden. Das folgende Parameter-Bei-

_ I 2"-2 ^:

2²) y, -2 + 2" "}2"X₁ + (2"⁴' d + 2² c)X₁ , + 2"x,._, j (33')

worin q eine ganze Zahl ist
und mit

d= 1, e=0 für einen Tiefpaß,

d= — 1, e=0 für einen Hochpaß und

d= — 1, e= 1 für ein Bandsperrfilter.

Die Verstärkung g_t) bei der Frequenz Null ist dann

gleich

_{fti = 2}„ „_[2„ _{1(1 +}

(34')

und hat einen Wert 2« für einen Tiefpaß und 2«-" für ein Bandsperrfilter. Die Verstärkung g_m bei der halben 2(i Abtastfrequenz ist gleich

2""[2'(I - d) - 2 "c g„, = ,-■■„-

1 - 2"~2~ + 2""

(I -d) (l +

_n[_r

(35')

und ist, sobald η groß ist (n > 11), gleich 2«" für Hochpaß- und Bandsperrfilter. Dank einer solchen Parametrisierung der Formel (33') kann man die Rekursionsformel (21) für d= 1, e=0, g=0, die Rekursionsformel (28) für d= — 1, e=0, q=n und die Rekursionsformel (32) für d= — 1, e= 1, q=n finden. Wenn man q andere. Werte gibt, kann man Filter mit Verstärkungen, die von eins verschieden sind, realisieren.

Die Übertragungsfunktionen in ζ der Filter 2. Ordnung als Hochpaßfilter oder Bandsperrfilter schreiben sich stets in Form der Gl. (3), wobei die Koeffizienten B\ und B₂ durch die Ausdrücke in (17) gegeben sind, die Werte der Koeffizienten Ao, A\ und A₂ jedoch nicht mehr durch (17); sie sind für ein Hochpaßfilter

A₀ = 1

Ai = -2
A₁ = 1

(36)

und für ein Bandsperrfilter

A_n =

A₁ = -2 + 2²-

A, =

(37)

Vom praktischen Standpunkt aus werden die Werte von k, die gleich — 1 bzw. 0 sind und den theoretischen Dämpfungsfaktoren 1/^/2 bzw. 1 entsprechen, am häufigsten benutzt für solche Filter.

In der Tabelle V sind die Werte der Koeffizienten A₀, Ai, A₂, B] und B₂ der rekursiven Digitalfilter 2. Ordnung mit Koeffizienten in Potenzen von zwei für Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandsperrfilter mit einem theoretischen Dämpfungsfaktor 2^kn, deren Übertragungsfunktion in ζ durch Gl. (3) gegeben ist, zusammengestellt:

Tabelle V

Filterar!

A₁, = A₂

H₁

Ii₂

Tiefpaßfilter

Hochpaßfilter

Bandsperrfilter

2 - η + 1

_ 2

-2 + 2²-"

k +_4^jn_ I- - 4 ι.

2-2 2 + ,, 2~" 1-2 - + _l22~"

Die dem Paar (ει, 62) in Tabelle V zu gebenden Werte sind die aus Tabelle II. Die Parität von η muß so gewählt werden, daß n+A + k stets eine gerade Zahl ist. Bei einem Butterworth-Filter, für welches η- \\/2 und Zr= —1 ist, findet man

lh = 2

">" i ■ _ 1

und

B₁ = 2

π + 3

Für die Wahl des Paares (ει, ε2)=(0. +4) findet man die Rekursionsgleichungen (21), (28) und (32) wieder.
Im folgenden werden verschiedene Ausführungsfor-

mit X
mit A
mit J
mit y,

-1 um 1 Bit nach links versetzt

-2 nicht versetzt

-1 um 18 Bits nach links versetzt

ίο

men mit serieller Verarbeitung in kanonischer oder direkter Form anhand der Zeichnung näher beschrieben. In der Zeichnung zeigt

F i g. 1 das Blockschaltbild eines bekannten rekursiven Digitalfilters 2. Ordnung mit Direktstruktur;

F i g. 2 ein entsprechendes Blockschaltbild bei kanonischer Struktur;

F i g. 3 die Synthese eines Hochpaßfilters aus einem Tiefpaßfilter und einem Filter mit der Übertragungsfunktion fP/iuc²;

F i g. 4 den Amplitudeneingang des in F i g. 3 synthetisierten Hochpaßfilters, wenn die Grenzfrequenzen ca\_c und ü)2r leicht verschieden sind;

F i g. 5 die Synthese eines Bandsperrfilters aus einem Butterworth-Filter und einem Filter mit der Übertra- is gungsfunktion 1 + {βΙω_α ²;

Fig.6 das Berechnungsprinzip eines gefilterten Punktes für /7= 17 für eine Direktstruktur;

Fig.7 das Blockschaltbild eines Tiefpaßfilters 2. Ordnung mit Koeffizienten in Potenzen von zwei gemäß der Erfindung mit Direktstruktur;

F i g. 8 ein Ausführungsschema zu F i g. 6 mit Verdrahtung auf eine Omnibusleitung für Datenübertragung;

Fig.9 und 10 Amplituden- und Phasengang eines Tiefpaßfilters des Typs Butterworth für π =5, 11, 13, 15 und 17;

Fig. 11 und 12 den Amplitudengang der Hochpaß- und Bandsperrfilter für /1= 13;

Fig. 13 ein rekursives Digitalfilter 2. Ordnung mit jo kanonischer Struktur und serieller Verarbeitung als Tiefpaß nach Butterworth;

F i g. 14 eine Filterstruktur kanonischer Form, die es erlaubt, die Art des Filters, ob Hochpaß-, Tiefpaß- oder Bandsperrfilter, sowie den Dämpfungsfaktor η und die Näherungen für einzelne Glieder der Koeffizienten B\ und lh zu wählen;

Fig. 15 eine Cbersichtstabelle, in der die Werte der Parameter der Struktur des Filters gemäß Fig. 14 in Abhängigkeit von der Art des gewünschten Filters und seines Dämpfungsfaktors zusammengestellt sind.

Im folgenden werden Multiplikationsschaltungen kurz als Multiplizierer und Additionsschaltungen kurz als Addierer bezueichnet.

Die Fig. 1 bis 5 wurden bereits behandelt. Fig.6 -ti zeigt für ein rekursives Tiefpaßfilter 2. Ordnung vom Typ Butterworth mit Koeffizienten in Potenzen von zwei als Beispiel das Berechnungsprinzip eines gefilterten Punktes nach der Rekursionsbeziehung (21) für /J= 17. Die Werte von χι, χ/-ι, χ,-2, //-1 und y,-2 sind in fünf verschiedenen Speichern gespeichert. Es geht darum, x\ (Eingang des Filters)

50

\ um 10 Bits nach links versetzt und im

Vorzeichen gewechselt
mit y,2 um 18 Bits nach links versetzt und im

Vorzeichen gewechselt e>o

mit yi-2 um 10 Bits nach links versetzt
mit J7-2 um 2 Bits nach links versetzt und im Vorzeichen gewechselt

zu addieren. en

F i g. 7 zeigt das Blockschaltbild einer möglichen Verwirklichung dieses Tiefpaßfilters. Das gezählte Muster x, des abgetasteten Eingangssignals bei der Abtastfrequenz

trifft auf der Leitung HO ein und wird im Speicher M, gespeichert. Der vorhergehende Inhalt des Speichers Mi wird über die Leitung 111 zu dem Speicher M-1 übertragen und dessen früherer Inhalt über die Leitung 112 zu dem Speicher M,_2, so daß im Augenblick iAt die drei Speicher Mi, M,_i bzw. Λί,-2 die gezählten Muster Xi, Xi-1, Af,_2 des Eingangssignals enthalten. Das Muster x, wird über die Leitung 113 des Speichers M₁ einem Addierer Σ zugeführt Das Muster x, -1 wird über die Leitung 114 des Speichers M,_] einem Multiplizierer 115 zugeführt, der seinerseits mit einem Koeffizientenregister 116 des Wertes 2 verbunden ist. Der Multiplizierer 115 ist mit dem Addierer Σ über die Leitung 117 verbunden. Das Muster x,_₂ wird über die Leitung 118 dem Addierer Σ zugeführt Der Ausgang des Addierers Σ ist über die Leitung 119 mit einem Multiplizierer 120 verbunden, der seinerseits mit einem Koeffizientenregister 121 des Wertes 2~ⁿ verbunden ist Der Multiplizierer 120 ist über die Leitung 122 einerseits mit dem Ausgang des Filters und andererseits mit einem Speicher M', verbunden, der den Ausgangswert y, des Filters speichert. Die Übertragung des Inhalts des Speichers M,zu einem Speicher M',- 1 und dessen Inhalts zu einem Speicher M',_2 erfolgt über die Leitungen 123 bzw. 124. Somit enthält die Speicherbatterie M'„ Λ/',_, und M'i-2 im Augenblick iAt die gesamten drei Werte y_h y,-\ und y,_2. Der Speicher Λ/'/_ι ist über zwei Leitungen 125 bzw. 126 mit zwei Multiplizierern 127 und 128 verbunden. Der Multiplizierer 127 ist an ein Koeffizientenregister 129 mit Wert 2"⁺¹ angeschlossen und mit dem Addierer Σ über die Leitung 130 verbunden. Der Multiplizierer 128 ist an ein Koeffizientenregister 131 des Wertes

angeschlossen und über die Leitung 132 mit dem Addierer Σ verbunden. Auf gleiche Weise ist der Speicher M',-2 über die drei Leitungen 133,134 bzw. 135 mit drei Multiplizierern 136, 137 bzw. 138 verbunden. Der Multiplizierer 136 ist an ein Koeffizientenregister 139 des Wertes (-2") angeschlosser und über die Leitung 140 mit dem Addierer Σ verbunden. Der zweite Multiplizierer 137 ist an ein Koeffizientenregister 141 des Wertes

angeschlossen und über die Leitung 142 mit dem Addierer verbunden. Der dritte Multiplizierer 138 ist an ein Koeffizientenregister 143 des Wertes (-2²) angeschlossen und über die Leitung 144 mit dem Addierer Σ verbunden.

Das Schema der F i g. 7 berechnet die Rekursionsformel (21). Die sieben Multiplizierer 115, 120, 127, 128, 136,137 und 138, die jeder mit einem Koeffizientenregister versehen sind, können entsprechend verdrahtete Schieberegister sein; bekanntlich genügt es, wenn man den Inhalt rirc Speichers mit einem negativen Koeffizienten multipliziert, das Komplement dieses

Speichers mit dem Absolutwert des Koeffizienten (durch Verschieben) zu multiplizieren und dem Ergebnis 1 hinzuzufügen.

Bei einer anderen Ausführungsform des gleichen Filters sind die Multiplizierer und ihre Koeffizientenregister in entsprechender Verdrahtung durch eine Omnibusleitung 201 ersetzt, die die in den Speichern Mj, JWy-I, M'j, JWy-i und JW/_2 enthaltenen Daten zum Addierer Σ überträgt (F i g. 8). Diese Ausführungsform eliminiert die Multiplizierer und verkürzt die Berechnungszeit des gefilterten Signals.

Die gezählten Werte *„ χ,·_ι und *,_2 des Eingangssignals, die den Zeiten iAt, (i-\)At und (i-2)At entsprechen, werden in einer Kette aus drei Registern 202,203 und 204 mit jo 16 Bits gespeichert. Für jede Zeit Δ t verschiebt sich die Kette der at-Werte um eine Stelle, d. h. ν,- nimmt den Platz von *,·_ i, *,·_ ι den Platz von *,_ 2 ein. Das Register 202 ist mit der Omnibusleitung 201 über eine Leitung 213 verbunden, die die 16 Bits des Registers 202 ohne Verschiebung auf die Omnibusleitung schaltet. Eine Leitung 214 schaltet dh 16 Bits des Registers 203 mit einer Verschiebung um ein Bit nach links auf die Omnibusleitung 201, und eine Leitung 218 schaltet die 16 Bits des Registers 204 ohne Verschiebung auf die Omnibusleitung 201.

Die Werte 2^]7y_h 2^l7y,_i, 2'⁷y,-₂, die den gesiebten Werten y„y,-1,yi-₂ (für den Fall n= 17) und den Zeiten iAt, (i-\)At und (i-2)At entsprechen, sind in einer Kette aus drei Registern 205,206 und 207 von je 32 Bits gespeichert. Wie im Falle der Kette 202—204, die die gezählten Muster des Eingangssignals beinhaltet, verschiebt sich auch die Kette der Register 205,206 und 207 um eine Stelle für jede Zeit Δ t.

Der Ausgangswert y, des Filters ist gegeben durch die Bits von 17 bis 31 des Registers 205. Um den Übergang des Wertes 2"y,_, auf 2"+¹ y,_, zu erhalten, schaltet die Leitung 225 die 32 Bits des Registers 206 mit Verschiebung um ein Bit nach links auf die Omnibusleitung 201.

Um den Überfang des Wertes 2" y,_ 1 zum Wert

±2
"2 "

, und 2^? j'i_₂

1 - Vi-i

zu erhalten, was einer Verschiebung des Inhaltes des Registers 206 um 7 Bits nach rechts gleichkommt, schaltet die Leitung 226 die Bits 7 bis 31 des Registers 206 auf die Omnibusleitung. Desgleichen schalten die Leitungen 234 und 235 die Bits 7 bis 31 und 15 bis 31 des Registers 207 auf die Omnibusleitung, um den Übergang des Wertes 2" 7,-2 zu den beiden Werten dul kann auch ein Analog/Digital-Wandler 210 hinzugefügt werden, der mit einem Blocüerer und mit einem Taktgeber zur Erzeugung der Abtastfrequenz f.,. verbunden ist. Die Grenzfrequenz f_c des Filters kann damit auf den gewünschten Wert durch Auswahl des entsprechenden Wertes der Abtastfrequenz f_c eingestellt werden, wie in der Gl. (23) angegeben.

Der Vorteil der in der F i g. 8 beschriebenen Schaltung beruht darauf, daß die Umsetzung der Inhalte der verschiedenen Register auf die Omnibusleitung 201 ein für allemal verdrahtet ist und daß die dabei durchgeführten Multiplikationen keine Berechnungszeit benötigen. Die Berechnungszeit eines Filterpunktes beschränkt sich daher auf die für die Ausführung von sieben Additionen benötigte Zeit Alle Teile der Schaltung in F i g. 8 sind handelsübliche Standardbauteile. Was die Leistung angeht, so findet man im Handel Addierer-Subtrahierer, die eine Operation in 40 Nanosekunden ausführen. Die Berechnungszeit eines Punktes ist dann einschließlich der Übertragungszeit über die Omnibusleitung rund 500 Nanosekunden. Der Selbstkostenpreis eines solchen Moduls sollte konkurrenzfähig sein mit dem der analogen Filter mit niedriger Grenzfrequenz, die man auf dem Markt findet.

Die Fig. 9 bzw. 10 zeigen den Amplitudengang bzw. den Phasengang eines rekursiven Tiefpaßfilters 2. Ordnung des Typs Butterworth mit Koeffizienten in Potenzen von zwei für verschiedene Werte der ganzen, ungeraden Zahl n. Man erkennt, daß mit Ausnahme der für /7=5 erhaltenen Kurven der Verlauf der Kurven, die /7=11, 13, 15 und 17 entsprechen, gleich ist denen der klassischen Butterworth-Filter. Die Abweichung von /7 = 5 ist dem Umstand zuzuschreiben, daß für zu kleine Werte von η die Bedingung χ = ω_€Δί<\ nicht mehr eingehalten und die Gl. (12') nicht mehr gültig ist. Die Frequenzverformung der Gl. (12) auf Grund der Umformung (2) tritt in diesem Falle auf. Der Fall η — 5 ist jedoch praktisch uninteressant, da der Vorteil der Tiefpaßfilter gemäß der Erfindung hauptsächlich in seiner niedrigen Grenzfrequenz liegt. In Tabelle VI sind die Werte des Dämpfungsfaktors η und der numerischen Grenzfrequenz f'_c eines Tiefpaßfilters für die Werte /?= 11,13,15,17 und 19 angegeben.

zu erhalten. Die Leitung 233 schaltet die 32 Bits des Registers 207 ohne Verschiebung auf die Omnibusleitung 201. — Der Ausgang der Omnibuslcitung ist auf den Eingang eines Addierer-Subtrahierers 208 geschaltet, der mit einem Speicher von 32 Bits ausgestattet ist. Der Ausgang des Addierer-Subtrahierers 208 speist die 32-Bit-Kette 205,206 und 207. Ein Taktgeber 209 taktet die Übertragung der verschiedenen Daten, die in den Registern enthalten sind, nacheinander auf die Omnibusleitung und steuert den Addierer-Subtrahierer 208 nach dem Vorzeichen der Koeffizienten. Dem Filtermo

Tabelle	Vl	r, /,	ΙΟ"3	F1 in Hz für./;.
η			10"'	= ΙΟ3 Hz
		7,13	ΙΟ'3	7,13
11	0,696	3,63	10"'	3,63
13	0,701	1,77	ίο·'	1,77
15	0,704	0,88		0,88
17	0,706	0,44	0,44
19	0,7065

Man kann feststellen, daß der mit der exakten Formel (18) berechnete Dämpfungsfaktor η sehr nahe beim theoretischen Wert

^l 0,7071

11

eines Butterworth-Filters liegt. Die letzte Spalte der obigen Tabelle gibt die Werte der numerischen

Grenzfrequenz f\ für eine Abiastfrequenz von 1000 Hz an. Man stellt fest, daß f'_c um ungefähr die Hälfte abnimmt, wenn η zu n + 2 übergeht. Dies ist dem Umstand zuzuschreiben, daß der Koeffizient A in der Nähe von α² liegt, wenn η groß ist.

Fig. 11 bzw. 12 zeigen die Kurven des Amplitudenganges eines numerischen Hochpaßfilters bzw. eines Bandsperrfilters für n= 13.

Das beschriebene Vorgehen kann nicht nur auf die Synthese von rekursiven Tiefpaßfiltern 2. Ordnung des Typs Butterworth und auf Hochpaß- und Bandsperrfilter, sondern auch auf die Synthese von Filtern mit besonderen Eigenschaften, z. B. Bessel- oder Legendre-Filter, angewandt werden.

Dazu wird nun als Beispiel gezeigt, wie man von der Übertragungsfunktion in ρ eines Tiefpaßfilters 1. Ordnung ausgehend die Synthese von Filtern irgendeiner Ordnung ausführt. Dieses Beispiel führt zu sehr einfachen Lösungen.

Die Übertragungsfunktion eines Tiefpaßfilters 1. Ordnung schreibt sich

Hip) =

(38)

und, unter Anwendung der entsprechenden Umformung (2), ist die Funktion in ^gleich

Hiz) = C

C =

. 1

(39)

Λ + 1

D₁ = 1 - 2Γ.

Für et — ω₍- Δ t klein, setzt man C— 2 - " mit η groß; die Rekursionsbeziehung schreibt sich dann:

2" ν, = (2" - 2) y,-_, + .ν, + .ν, , (40)
Die \Vinkeigren7frequenz ist

Das so verwirklichte Tiefpaßfilter 1. Ordnung mit Koeffizient in Potenzen von zwei ist sehr einfach, da es nur drei Additionen benötigt zusätzlich zu den Verschiebungen, die die Multiplikationen ausführen und die man durch Verdrahtung herstellen kann. Die Serienschaltung von ?wei Moduln 1. Ordnung ergibt ein Filter 2. Ordnung, dessen Dämpfungsfaktor η gleich eins ist. Was die Berechnungsgeschwindigkeit angeht, so ist ein solches Filter etwas schneller als das beschriebene Filter 2. Ordnung von Butterworth, da es nur sechs Additionen benötigt anstatt sieben.

Vom Tiefpaßfilter 1. Ordnung ausgehend, das der Rekursionsbeziehung (40) untersteht, verwirklicht man, wie im beschriebenen Fall eines Filters 2. Ordnung, ein Hochpaßfilter, dessen Rekursionsformel sich folgendermaßen schreibt:

In einer besonders vorteilhaften Ausführungsform kann man in reeller Zeit die Eigenschaften des

benutzten Filters ändern. Man kann während eines plötzlichen Sprunges des zu filternden Signals die Grenzfrequenz eines Tiefpaßfilters erhöhen und anschließend sie auf einen kleineren Wert zurückführen, wenn das Signal wieder stabilisiert ist. Diese Betriebsari ist sehr interessant, wenn man eine Filterung auf einem umschalibaren Kanal durchführen will.

Wenn nötig, kann man dem Fütermodul einen Analog/Digital-Wandler beifügen (vgl. F i g. 8). Es kann auch ein Analogausgang vorgesehen werden, um das gefilterte Signal auf einem Oszillographen beobachten zu können.

Bei Tiefpässen kann man den Ausgabetakt der gefilterten Informationen dem Durchlaßbereich des Nutzsignals anpassen, was zu einer starken Verringerung der zu übertragenden Zahl an Daten führen kann.

Im folgenden werden Beispiele für rekursive Digitalfilter 2. Ordnung beschrieben, deren Übertragungsfunktion nach Gl. (3) die in Tabelle V angegebenen Koeffizienten hat und die in kanonischer Struktur gemäß Fig. 2 mit serieller Verarbeitung ausgeführt sind.

In Fig. 3 ist ein Tiefpaßfilter nach Butterworth zu sehen, für welches η = 1 /]/2, d. h. k= — 1, — das Paar (ει, ei) ist gleich (0,4) — gewählt ist. Die Übertragungsfunktion in ζ eines solchen Filters schreibt sich:

H Ir) ---

1-2-2"

I + 2 ζ '
1= '+(1-2

1 - „

+2

-)2

(43)

und die Beziehungen nach ClI. (10) und (1!) lauten:

+ (- 1 + 2'-i" - 2²") Fi-2 (45)

worin F_h F,-\ und F,-i die gezählten Werte in den Augenblicken iAt, (i—\)At und (i—2)At der durch einen Eingangsaddierer ausgegebenen Zwischensignale Fi sind. In F i g. 13 ist das Eingangssignal £/ an einen dei Eingänge eines Eingangsaddierers 11 angelegt, dessen

so Ausgang mit dem Eingang eines Schieberegisters 13 und dem Eingang eines Ausgangsaddierers 19 verbunden ist dessen Ausgang das Ausgangssignal 2" E₀ ausgibt. Wenn man das gefilterte Signal E₀ zu erhalten wünscht muD man einen nicht dargestellten Multiplizierer mit dem Faktor 2 -" arn Ausgang des Ausgangsaddierers anbringen.

Ein erster Ausgang des Schieberegisters 13 ist mil dem Eingang des Schieberegisters 16 verbunden unc ferner mit einem Multiplikator 14 und mit einen Multiplikationsglied 15. Der Multiplizierer 14 ist mil einem den Wert 2 enthaltenden Koeffizientenregistei verbunden, und sein Ausgang ist mit einem dei Eingänge des Ausgangsaddierers 19 verbunden. Eii zweiter Ausgang des Schieberegisters 13, der un

^6d ^- Bits gegenüber dem ersten Ausgang versetzt ist is

ebenfalls mit dem Multiplikationsglied 15 verbunden dessen Ausgang mit einem zweiten Eingang de

Eingangsaddierers 11 verbunden ist. Ein erster Ausgang des Schieberegisters 16 ist mit einem Eingang des Ausgangsaddierers 19 und mit einem weiteren Multiplikationsglied 18 verbunden. Zwei weitere Ausgänge des Schieberegisters " ~ 16, die um bzw. n-2 gegenüber

dem ersten Ausgang verschoben sind, sind ebenfalls auf das Multiplikationsglied 18 geschaltet, dessen Ausgang mit einem dritten Eingang des Eingangsaddierers 11 verbunden ist. Die Multiplikationsglieder 15 bzw. 18 bilden die Koeffizienten

3 - »ι

«, =2-2 2

(- W₂) = - I + 2^A1~ .

Das Multiplikationsglied 15 enthält einen Multiplizierer 151, der mit einem den Wert 2 enthaltenden Koeffizientenregister verbunden ist, einen Vorzeichenspeicher 152 und einen Serienaddierer 153. Da der Multiplizierer 151 mit dem ersten Ausgang des Schieberegisters 13 verbunden ist, führt er die Multiplikation mit dem Faktor F,-\ durch. Der Vorzeichenspeicher 152 erhält den zweiten Ausgang

des Schieberegisters 13, der um

Bits nach links

gegenüber dem ersten Ausgang versetzt ist und also das Signal

λ - η

2"Τ"

ausgibt. Er liegt mit diesem Ausgang in Reihe und speichert das Vorzeichen der im Schieberegister 13 enthaltenen Informationen in dem Augenblick, wo es an diesem Ausgang erscheint. Während des gesamten weiteren Ablaufs der Verschiebung wird dieses gespeicherte Vorzeichen zum Eingang des Serienaddierers 153 übertragen. Der Ausgang des Multiplikationsgliedes 15 gibt das Signal

■ 3 - η

2-2-2""

aus, führt also die Multiplikation von F,-\ mit dem Koeffizienten B\ aus.

In gleicher Weise enthält das Multiplikationsglied 18 zwei Vorzeichenspeicher 181 und 182 und einen Senenaddierer 183. Die Vorzeichenspeicher 181 bzw.

182 liegen in Reihe mit zwei um "-~~- bzw. n—2 Bits

versetzten Ausgängen des Schieberegisters iö und speichern wieder die Vorzeichen der Informationen, die in dem Augenblick, wo dieses Vorzeichen an den Ausgängen erscheint, im Register enthalten sind. Der Senenaddierer 183 erhält an seinen drei Eingängen die Signale

Fj^₂ , ΤΎ^ Fi-2 bzw. 2²-"F;-2
und gibt an seinem Ausgang das Signal

3-n

aus und hat so die Multiplikation mit (—5z) ausgeführt
Die Senenaddierer 153 und 183 können selbstverständlich dem Eingangsaddierer, der dann sechs Eingänge haben wird, integriert werden. Jeder der beiden Multiplizierer 14 und 151 kann ein einfacher Flip-Flop sein, der anfangs auf Null gestellt wird und zwischen dem Ausgang des Schieberegisters 13 und dem Eingang des entsprechenden Serienaddierers 19 bzw. 153 liegt. Die Ausführung nach F i g. 3 führt die Rekursionsbeziehung (44) im Ausgangsaddierer 19 und die Rekursionsbeziehung (45) im Eingangsaddierer 11 durch.

An Hand der Tabelle V kann man feststellen, daß es möglich ist, eine Universalstruktur herzustellen, aus der alle rekursiven Digitalfilter 2. Ordnung mit in der Tabelle V gegebenen Koeffizienten gebildet werden

ι ■) können.

Diese Universalstruktur ist in Fig. 14 dargestellt. Sie enthält einen Eingangsaddierer 11 mit sieben Eingängen und einen Ausgangsaddierer 19 mit vier Eingängen. Die Eingänge 1111 bis 1116 des Eingangsaddierers 11 haben

2(i die Eingänge +, —, +, —, + und -. Der Eingang 1117 ist entweder ein + Eingang oder ein — Eingang. Vor dem Eingang 1111, dem das Eingangssignal /T, zugeführt wird, liegt ein Multiplizierer 194, der mittels eines Wahlschalters 1118 mit zwei Stellungen entweder mit einem Koeffizientenregister 2° oder einem Koeffizientenregister 2" verbunden wird. In der Stellung 2° läßt der Schalter 1118 die Eingangsdaten E, durchgehen, ohne sie zu verändern, in der Stellung 2" erhält der Eingang 1111 des Eingangsaddierers 11 das Signal 2" Ej. Der Ausgang des Eingangsaddierers 11 ist mit dem Eingang 1191 eines Ausgangsaddierers 19 und mit dem Eingang des Schieberegisters 13 verbunden. Ein erster Ausgang des Schieberegisters 13 ist mit zwei Faktor-Zwei-Multiplizierern 14,151 und mit dem Eingang eines Schieberegisters 16 verbunden. Der Ausgang des Multiplizierers 14 ist mit dem Eingang 1193 des Ausgangsaddierers 19, der entweder ein + Eingang oder ein — Eingang ist, verbunden. Der Ausgang des Multiplizierers 151 ist mit dem Pluseingang 1115 des Eingangsaddierers 11 verbunden. Der Ausgang des Schieberegisters 16 ist mit dem Pluseingang 1194 des Ausgangsaddierers 19 und mit dem Minuseingang 1112 des Eingangsaddierers 11 verbunden. Drei um Jfci, fo bzw. fo versetzte Ausgänge des Schieberegisters 13 sind über die Vorzeichenspeicher 161,152 bzw. 154 und die Schalter 162,155 und 156 mit den Eingängen Plus 1192, Minus 1116 und Plus/Minus 1117 der Eingangs- und Ausgangsaddierer verbunden.

Desgleichen sind zwei um L·, bzw. k% versetzte Ausgänge des Schieberegisters 16 über Vorzeichenspeicher 181 bzw. 182 und Schalter 184 bzw. 185 mit den Eingängen Plus 1113 und Minus 1114 des Eingangsaddierers 11 verbunden. Der Ausgang des Ausgangsaddierers 19 ist mit einem Multiplizierer 195 verbunden, der das ausgegebene Signal mit 2~" multipliziert und das gefilterte Signal E-, liefert.

Die Beträge jti bis As der versetzten Ausgänge der Schieberegisters 13, 16 sowie die Stellungen der Schalter /,bis /5, die Stellung des Eingangsschalters 1118 und das Eingangszeichen 1117 des Eingangsaddierers und des Eingangs 1193 des Ausgangsaddierers sind in Fig. 15 für einige Filterarten und verschiedene Dämpfungskoeffizienten und Werte des Paares (ει, ε₂) wiedergegeben.

Grundsätzlich ist die Stellung des Eingangsschalters 1118 2° für die Tiefpaßfilter und 2" für die Hochpaß- und Bandsperrfilter. Das Vorzeichen des Eingangs 1193 des Ausgangsaddierers 19 ist Plus für Tiefpaßfilter und

Minus für die Hochpaß- und Bandsperrfilter.

Der Schalter 162(7'i) ist geöffnet für die Hoch- und Tiefpaßfilter und geschlossen für die Bandsperrfilter; für die letzteren ist der Wert von k\ stets gleich n—2.

Für die Festsetzung der anderen Parameter muß man die Parametrisierung von ß| und von (- ft) berücksichtigen:

* ^λ

(- Ii₁) = -1+2 ^k4 - 2~^kf

Wenn man diese Formeln mit denen der Tabelle V vergleicht, so kann man folgende Gleichungen aufstellen:

I·. = 2" *5

die gestatten, mit der Universalstruktur gemäß Fig. 14

ein Filter einer gegebenen Art und mit einem gegebenen Dämpfungsfaktor herzustellen.

Der Grundmodul in kanonischer Struktur läßt sich mittels üblicher Logikschaltungen, die im Handel erhältlich sind, ausführen. Sie enthalten praktisch nur zwei Schaltungsarten, nämlich Serienaddierer und Schieberegister.

Es ist zu beachten, daß die benutzten Schieberegister eine Minimallänge gleich n + p—2 haben, worin ρ die der Ausgangsdynamik des Filters entsprechende Bitzahl ist.

Die Erweiterung des Filters auf sehr niedrige Grenzfrequenzen kann einfach durch Verlängerung der beiden Schieberegister durchgeführt werden, wobei die Eingangs- und Ausgangsaddierer nicht verändert werden, was bei einer parallelen Verarbeitung nicht der Fall wäre. Dies ist neben dem geringeren Aufwand ein besonderer Vorteil der kanonischen Struktur mit serieller Verarbeitung.

Alle Ausführungen der beschriebenen Filterarten kanonischer Struktur werden durch geringe Schaltungsänderungen eines Grundmoduls erhalten, die nur einen geringen Verdrahtungsaufwand erfordern.

Hierzu 12BIaU Zeichnungen

Claims (2)

Patentansprüche:

1. Rekursives Digitalfilter

2. Ordnung mit einer ersten und einer zweiten Additionsschaltung, die jeweils einen Ausgang und eine Anzahl von Eingängen aufweisen und so aufgebaut sind, daß an dem entsprechenden Ausgang die Summe der Eingangssignale, multipliziert mit einem jedem Eingang zugeordneten Koeffizienten (A₀, A_u A₂, B\, B₂), erhalten wird, wobei der eine Eingang der ersten Additkmsschaltung den Eingang des Filters bildet und der Ausgang der zweiten Additionsschaltung seinen Ausgang bildet, und wobei der Ausgang der

10 ersten Additionsschaltung sowohl mit einem Eingang der zweiten Additionsschaltung als auch mit dem Eingang einer ersten aus zwei in Reihe geschalteten Verzögerungsschaltungen verbunden ist, deren Verzögerung gleich der Abtastperiode Tist und deren Ausgänge jeweils mit einem Eingang der zweiten Additionsschaltung verbunden sind, dadurch gekennzeichnet,
daß die Koeffizienten in Abhängigkeit von der Filterart wie folgt gewählt sind: