DE3020767A1 - Schaltungsanordnung zur multiplikation zweier ganzer zahlen - Google Patents

Description

-If-

Beschreibung

Die Erfindung betrifft eine Schaltungsanordnung zur Durchführung einer Multiplikation mit dualen Moduln der im Oberbegriff des Patentanspruches angegebenen Art. Derartige Multiplikationssysteme werden u.a. als Grundbausteine digitaler elektronischer Rechenanlagen eingesetzt.

Bei den meisten herkömmlichen Multiplikationssystemen oder Multiplizierer, wie sie in Rechenanlagen verwendet werden, wird die Multiplikation unter Steuerung einer Folge von Zeittaktimpulsen vorgenommen. Diese Multiplizierer haben eine relativ niedrige Rechengeschwindigkeit, da eine Vielzahl von Rechenschritten nacheinander ausgeführt werden, wobei die Aufmerksamkeit darauf gerichtet ist, die verschiedenen Überläufe oder Überträge zu berücksichtigen, die während des Ablaufs der Rechenschritte entstehen. Möchte man hierbei die Frequenz dieser Zeittaktimpulse, die den Ablauf steuern und seine Geschwindigkeit bestimmen, erhöhen, so ergeben sich sehr komplizierte Schaltungen.

Es ist nun auch bekannt, logarithmische Transformationen zur Berechnung eines Produktes einer Vielzahl von Zahlen zu verwenden. Ein Multiplizierer unter Verwendung logarithmischer Transformationen ist in der Lage, die Anzahl der Rechenschritte zu reduzieren und damit die Rechengeschwindigkeit zu erhöhen. Dabei tritt jedoch unvermeidbar ein Rundungsfehler auf, weil die meisten der logarithmischen Transformierten nicht ganze Zahlen sind. Ein Multiplizierer unter Verwendung logarithmischer Transformationen wird sehr aufwendig, wenn man den Versuch unternimmt, die Rundungsfehler kleiner zu machen.

030049/098S

3020787

Demgemäß ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung eine Schaltungsanordnung der eingangs genannten Art derart weiter zu bilden, daß sie mit hoher Geschwindigkeit arbeiten kann, ohne Rundungsfehler arbeitet und dennoch in ihrem Aufbau einfach ist.

Diese Aufgabe wird durch die im Kennzeichen des Patentanspruches 1 angegebenen Merkmale gelöst. Die Erfindung betrifft ferner verschiedene vorteilhafte Weiterbildungen.

Bei dem Multiplikationssystem ist vorgesehen, daß die erste und die zweite positive ganze Zahl, die miteinander multipliziert werden sollen, jeweils auf der Basis einer vorbestimmten Wurzel durch eine vorbestimmte gerade Anzahl von h-Ziffern dargestellt werden. Diese gerade Anzahl h sollte derart bestimmt sein, daß die h-te Potenz der Wurzel plus eins eine Primzahl wird. Andererseits verwendet ein bekanntes Dual-Modul-Multiplikationssystem für eine derartige Berechnung positive ganze Zahlen, die im binären oder dezimalen Zahlensystem vorliegen, unter Verwendung eines ersten Restes, welcher mit dem Ergebnis der Multiplikation bezüglich eines ersten Moduls kongruent ist, welch erster Modul gleich einer Primzahl ist, sowie ferner unter Verwendung eines zweiten Restes, der mit dem Ergebnis der Multiplikation bezüglich eines zweiten Moduls kongruent ist, der gleich der Primzahl weniger eins ist. Bei einem Multiplikationssystem, für welches die Erfindung anwendbar ist, werden die Ergebnisse der Multiplikationen und sowohl der erste als auch der zweite Rest auf der Basis der Wurzel durch 2h- und h-Ziffern dargestellt. Selbst wenn eine positive ganze Zahl bspw. lediglich (h - 1) Ziffern in der üblichen Darstellung in einem auf der Wurzel basierenden Zahlensystem hat, ist es möglich, die ganze Zahl unter Berücksichtigung von

030049/0965

3020787

h-Ziffern darzustellen, wobei eine Null als signifikanteste oder höchste Ziffer der Darstellung in h-Ziffern verwendet wird. Andererseits ist es möglich, eine ganze Zahl, die gleich oder größer als die Primzahl ist, durch eine andere ganze Zahl darzustellen, die mit der infrage stehenden ganzen Zahl bezüglich eines Moduls kongruent ist, der gleich der h-ten Potenz der Wurzel ist. Dies ist der zweite Modul. Das steht nicht im Widerspruch damit, daß der erste Rest modulo der Primzahl berechnet wird.

Das bekannte Dual-Modul-Multiplikationssystem enthält eine erste Schalteinheit, in der aus den beiden miteinander zu multiplizierenden ganzen Zahlen ein erster Rest abgeleitet wird mit Hilfe der in der Zahlentheorie geläufigen Tatsache, daß aufeinanderfolgende ganze Zahlen, deren Gesamtzahl gleich der Primzahl weniger eins ist, mit Potenzen einer vorbestimmten Primitivwurzel der Primzahl kongruent sind, und zwar modulo eines Moduls, der gleich der Primzahl ist, wenn die Exponenten für die entsprechenden ganzen Zahlen durch aufeinanderfolgende ganze Zahlen gegeben sind, die ihrer Anzahl nach wiederum gleich der Primzahl weniger eins sind. Dieses bekannte Dual-Modul-Multiplikationssystem weist ferner eine zweite Schalteinheit auf, um aus den beiden miteinander zu multiplizierenden positiven ganzen Zahlen einen zweiten Rest abzuleiten. Ferner ist dann eine dritte Schalteinheit vorgesehen, die eine Kombination der beiden Reste vornimmt und daraus das Ergebnis der Multiplikation ableitet.

Allgemein gesprochen ist nun die zweite Schalteinheit bei einem Dual-Modul-Multiplikationssystem gemäß der Erfindung derart ausgebildet, daß sie die ersten und zweiten positiven ganzen Zahlen in den zweiten Rest umsetzt, ohne daß die oben erwähnte bekannte Tatsache aus der Zahlentheorie berücksichtigt werden muß. Diese zweite Schalteinheit erreicht dies mit Hilfe

030049/0965

partieller Multiplizierer, die drei partielle Produkte mit je h-Ziffern berechnen und diese Ergebnisse dann so miteinander kombinieren, daß sich der zweite Rest ergibt.

Ausführungsbeispxele der Erfindung und ihrer vorteilhaften Weiterbildungen werden im folgenden anhand der beigefügten Zeichnungen beschrieben. Es stellen dar:

Fig. 1 ein Blockschaltbild eines Dual-Modul-Multiplikationssystems, bei welchem die Erfindung anwendbar ist;

Fig. 2 ein Blockschaltbild eines ersten Ausführungsbeispiels sowie Einzelheiten des darin verwendeten ersten Subsystems;

Fig. 3 ein Blockschaltbild des in Figur 2 verwendeten

zweiten Subsystems;

Fig. H ein Blockschaltbild des in Figur 2 eingesetzten

dritten Subsystems;

Fig. 5 ein Blockschaltbild eines zweiten Ausführungs

beispiels .

030049/096S

Zum besseren Verständnis der bevorzugten Ausführungsbeispiele der Erfindung werden im folgenden einige grundsätzliche Aussagen der Zahlentheorie dargestellt:

Sofern im folgenden von Zahlen die Rede ist handelt es sich, soweit nichts anderes besonders erwähnt wird, um positive ganze Zahlen. Wenn zwischen a, b, k, und m, die folgende Gleichung

a=r+kxm(k=0, 1, 2 , ...)

für eine vorbestimmte Zahl m gilt, dann sagt man, a und r seien kongruent modulo m; diese Beziehung wird wie folgt beschrieben:

a = r (mod m).

Der Modul m ist in dem Zahlensystem von großer Bedeutung, mit dem sich der Aufbau der Rechenschaltung gemäß der Erfindung befasst.

In der Gleichung nennt man r den Rest von a modulo m. r ist eine ganze Zahl kleiner m, die in der Zahlentheorie 0 ausschließt, jedoch bei den Ausführungsbeispielen der Erfindung 0 einschließt als spezifische Zahl im Bedarfsfall. Zum Beispiel gilt 9=2 (mod 7), 15 = 1 (mod 7).

Für einen bestimmten Modul m gibt es eine Gruppe aller Reste (1, 2, 3, ..., m-1). Diese Gruppe nennt man Restklasse (modulo m) und bezeichnet sie mit Z. Beispielsweise ist für m = 4 die Restklasse Z = (1, 2, 3).

Entfernt man aus der Restklasse die Zahlen, die nicht relativ prim (oder: koprim) zum Modul sind, so erhält man die reduzierte Restklasse R. Mit anderen Worten: Aus der Restklasse Z

030049/0985

3020787

(mod m) erhält man die reduzierte Restklasse R (mod m), wenn man alle Reste, die mit dem Modul m einen gemeinsamen Teiler haben, entfernt. Im vorhergehenden Beispiel ist R = (1, 3), also ungleich Z.

Ist der Modul eine Primzahl, dann ist die reduzierte Restklasse gleich der Restklasse; ansonsten unterscheiden sie sich.

Die Euler'sehe Funktion P(m) ist gleich der Anzahl ganzer Zahlen in der reduzierten Restklasse, d.h. gleich der Anzahl von ganzen Zahlen, die relativ prim zum Modul sind. Ist also der Modul m eine Primzahl, dann ist die Euler'sehe Funktion P(m) gleich der gesamten Anzahl der ganzen Zahlen, die kleiner als m sind, also P(m) = m - 1.

Als Fermat'sche Zahl bezeichnet man F = 2 + 1. Sie ist eine Primzahl für h = 2^k und k = 4.

Für k = 3 und h = 8 ist die Fermat'sche Zahl 2⁸ + 1 = 257. Verwendet man sie als Modul, so ist die Restklasse Z gleich der reduzierten Restklasse R gegeben durch:

Z(mod 257) = R(mod 257) = 1, 2, 3, ..., 255, 256.

Die Elemente 1 bis 25 5 können in einem Komputer durch 8 Bits dargestellt werden, das am weitesten rechts stehende Element jedoch nicht. Man nimmt daher eine Modifikation vor, in dem die Klasse um ein Element verschoben wird. 0 wird als Element auf der äußersten linken Seite hinzugefügt; rechts wird 25 6 weggelassen. Dann erhält man eine modifizierte reduzierte Restklasse wie folgt:

R'(mod 257) = o, 1, 2, 3, ..., 254, 255.

Alle ganzen Zahlen in dieser modifizierten Restklasse können durch Binärzahlen der Länge von 8 Bit dargestellt werden.

030049/09S5

3020787

Für eine Primzahl gibt es zumindest eine Primitivwurzel. Eine solche vorausgewählte Primitivwurzel sei mit g bezeichnet. Dann gilt nach Euler

;^P(n0 = 1 (mod m) (1)

z.B.: g²⁵⁶ = 1 (mod 257).

Es sei nun X und Y jeweils eine erste und eine zweite ganze Zahl zwischen 1 (einschließlich) und einer anderen ganzen Zahl (m-1) (ausschließlich). Dabei sei m der Modul gemäß Gleichung (1). In anderen Worten: die erste bzw. die zweite ganze Zahl X und Y sind aus aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ausgewählt, die insgesamt die Anzahl (m-1) oder die Primzahl m weniger 1 haben. Mit Hilfe der vorbestimmten Primitivwurzel g kann man schreiben:

g = X (mod m) J

f (2) g^y = Y (mod m) J

Dabei sind χ und y ein erster und ein zweiter Exponent. Die zu dieser Potenz erhobene Primitivwurzel g stellt unter Zugrundelegung dieser Beziehung die beiden angegebenen ganzen Zahlen X₃ Y der insgesamt (m-1) aufeinanderfolgenden Zahlen dar.

Dabei wird jeder dieser Exponenten χ bzw. y gleich 0_s wenn die gemäß Gleichung (2) zuordenbare Zahl X bzw. Y gleich 1 wird. Daher gehören die Exponenten χ oder y zu einer modifizierten Restklasse R¹ (mod m). Eine derartige modifizierte Restklasse R¹ wird als Exponentenrestklasse E (mod m) bezeichnet. Nimmt man an, daß der erste Exponent χ kleiner als der zweite Exponent y ist, so kann man ohne Verlust an

030049/098S

Allgemeinheit sagen, daß die Exponentenrestklasse E (mod m) eine Gruppe aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist, die wie folgt angegeben werden kann:

E (mod m) = |"0,l, ..., x, ..., y, ·.·, m-2j (2')

Man kann die Folge von ganzen Zahlen, zu der die erste bzw. die zweite ganze Zahl X bzw. Y gehört, als reduzierte Restklasse R (mod m) auffassen, in der die aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen in einer bestimmten Ordnung angeordnet sind, bspw.:

R (mo dm) = Jl, g, ·.·, X, ···, Y, ···, J /

Dabei stellt J einen Rest dar, der der (m-2)-ten Potenz der Primitivwurzel g modulo m kongruent ist. In jedem Fall lässt sich zwischen den der Anzahl nach (m-1) Exponenten nach Gleichung (2¹) und den ebenfalls der Anzahl nach (m-1) ganzen Zahlen gemäß Gleichung (2") eine 1-zu-l-Beziehung herstellen, auf die später noch zurückgegriffen wird.

Ferner gilt für MuHiplikationen bei Geltung der Kongruenzbeziehungen nach Gleichung (2):

^x χ g^y = X χ Y (mod m). (3)

Eine Summe zweier Exponenten (x+y) modulo (m-1) gehört stets zu der Exponentenrestklasse E (mod m). Ein Produkt der genannten ersten und zweiten ganzen Zahlen (X χ Y) modulo m gehört stets zu der reduzierten Restklasse R (mod m). Die Kongruenzbeziehung nach Gleichung (3) kann daher wie folgt umgeschrieben werden:

_gx₊y (mod Dn-I]) _ _{χ χ γ}

030049/0965

Diese Kongruenzbeziehung zeigt, daß das Produkt zweier Reste (XxY) modulo m in einer 1-zu-l-Beziehung zu der Summe der entsprechenden Exponenten (x+y) modulo (m-1) steht.

Der Kürze der Darstellung halber bezeichne man den Rest des Produktes (X χ Y) modulo m mit s und den Rest der Summe (x+y) modulo (m-1) mit r , also

X χ Y = r (mod m)

und χ + y = s (mod [m-1] ).

Die Reste r und s werden im folgenden als Produktrest und als Exponentensummenrest bezeichnet. DieExponenten χ und y werden in der Mathematik als Exponentialtransformierte bezeichnet. Diese beschriebenen Zusammenhänge werden im folgenden als 1-zu-l-Beziehung bezeichnet.

Man kann nun eine beliebige positive ganze Zahl N als ein Polynom einer natürlichen Zahl q (q ungleich 1) folgendermaßen darstellen:

N = a_nqⁿ + S_n^q¹¹"¹ + ... + a^q¹ + a_Qq⁰ . U)

Diese Gleichung zeigt die Tatsache, daß die ganze Zahl N durch eine Permutation von (n+1) Ziffernsymbolen dargestellt werden kann, die die ganze Zahl N auf der Basis einer vorbestimmten Wurzel q darstellen. Es ist offensichtlich, daß die ganze Zahl N mit einem Rest r modulo q kongruent ist, wobei h nun irgendeine positive ganze Zahl ist, die kleiner ist als der größte Exponent η nach Gleichung U). Der Rest r wird dargestellt durch die h niedrigeren Ziffern (a_h ^, ^ah-2^s ··*> ^al» ^a0^ ^^er (ⁿ⁺D Ziffern auf der Basis der Wurzel q. Diese

030049/0965

h niedrigeren Ziffern werden mit L, (N) bezeichnet. Anders ausgedrückt:

N = r (mod q^h) (5)

wobei r = L, (N)₁

Beispielsweise sei eine ganze Zahl N 75 6 34. Als Wurzel q sei 10 ausgewählt. Die Reste r sind L₃(75634) bzw. 634, L₂(75634) bzw. 34 und L₁ (756 34·) bzw. 4 , wenn man die 3.-ten, 2.-ten oder die l.-te Potenz (en) der Zahl 10 als Moduln q verwendet. In Form von Kongruenzbeziehungen ausgedrückt heißt das:

75634 = 634 (mod 10³), 75634 = 34 (mod 10²), 75634 = 4 (mod 10).

Im binären System wählt man 2 als Wurzel q aus. Dann ist die ganze Zahl N eine Permutation von binären Symbolen, wie 0 und Die Anzahl dieser Symbole ist (n+1). Diese Permutation kann man allgemein darstellen durch (b , b _.. , ..., b. , b.,). Die ganze Zahl N ist kongruent mit einem Rest r modulo einer ganzen Zahl 2 des binären Systems. Der Rest r ist durch die h niedrigeren Ziffern L, (N) oder durch (^H_1-1) ^bh-2' ·*"» ^bi' ^bo^ ^der S^anzen Zahl N gegeben. Insbesondere gilt:

N = r (mod 2^h). (5* )

Ή ο

Dabei ist r = L, (N). Wählt man als Modul 2 beispielsweise 2 , dann kann man den Rest r durch 8 Ziffern auch dann darstellen, wenn man mehr als 8 Ziffern (b , ^₁, ..., b_Q) zur Darstellung der ganzen Zahl N notwendig braucht. Die 8 niedrigeren Ziffern

O Q

Lg(N) bilden so eine Restklasse Z (mod 2 ) aus 2 Elementen,

030049/0965

die einer modifizierten Restklasse R' modulo 25 7 äquivalent ist.

Im folgenden wird nun unter Ausnutzung der bisher abgeleiteten Zusammenhänge ein Dual-Modul-Multiplikationssystem beschrieben, das auf der Basis des binären Zahlensystem betrieben wird und als ersten Modul (2 + 1) und als zweiten Modul 2 verwendet, wobei der erste Modul (2 +1) eine Primzahl sein muß. Es werden miteinander ganze Zahlen X und Y multipliziert. Sie sind jeweils durch eine vorbestimmte gerade Anzahl von h Ziffern gegeben. Das Symbol h wird nun in einem etwas anderen Sinne wie seither verwendet. Das Produkt oder Ergebnis der Multiplikation XY wird durch 2h Ziffern dargestellt. Der erste Modul (2^h + 1) wird dann eine Primzahl, wenn die Zahl k, die gemäß h = 2 die Zahl h definiert, nicht größer als vier ist.

Das Multiplikationssystem arbeitet mit einem ersten Produktrest r .., der dem Produkt λΥ modulo (2 + 1) kongruent ist, sowie mit einem zweiten Produktrest r ₂j der dem Produktrest XY modulo 2 kongruent ist. Der erste Produktrest r ₁ ist ein Element der modifizierten Restklasse R' (mod [2 + fj ). Beide Produktreste r ₁ und r „ sind durch h Ziffern gegeben. Es gelten folgende Kongruenzbeziehungen:

XY = V₁ (mod [2^h + l] )

und XY = r ₂ (mod q ).

Diesen Beziehungen ist äquivalent:

XY = A(2^h + 1) +

und XY = B-2^h + r ₂.

030049/0965

Dabei sind A und B erste und zweite Quotienten, die man erhält, wenn man das Produkt XY durch die Moduln (2 +1) und 2 dividiert. Ein Vergleich der beiden Gleichungen (7) zeigt, daß der erste Quotient A kleiner als der zweite Quotient B ist. Es ergibt sich daher eine Differenz (B-A), die eine positive ganze Zahl ist. Setzt man die erste und die zweite Gleichung in (7) gleich und ordnet die Terme anders, so ergibt sich

^B = ^rp2 - ^rpl ^{+ (B} - ^A)'^2h-

Daher gilt:

A = r ₂ - r (mod 2^h). (8)

Setzt man die Kongruenzbeziehung (8) in die erste der Gleichungen (7) ein, so folgt daraus:

^XY = _P2 ^ιί}

r In ⁽⁹⁾

^(rp2 * ^r _PlL^mod

Diese Gleichung ist die grundlegende Gleichung für das Binärsystem. Die Kongruenzbeziehung (8) und die Grundgleichung (9) sind an sich vom mathematischen Standpunkt her ungewöhnlich. Sie sind jedoch äußerst geeignet zur digitalen Durchführung der Multiplikation. Insbesondere zeigt die Grundgleichung (9) die Tatsache, daß man das durch 2h Ziffern gebildete Produkt XY ohne Aufrundefehler aus dem ersten durch h Ziffern gebildeten Produktrest r _Λ modulo (2 +1) und dem zweiten ebenfalls durch h Ziffern gebildeten Produktrest r „ modulo 2 ableiten kann.

030049/0965

Die Kongruenzbeziehung (8) ist folgender Beziehung äquivalent:

^{A = r}p2 - ^rpl>

sofern ^γ·_ο2'^>γό1 ^1s^» ^unc^

A =

(10)

sofern r ₀<r _Λ ist. Für h = 8 ist 2 = 100000000.

p2 pl

Gleichung (10) zeigt also, daß an der Stelle der (h+l)-ten Ziffer, gezählt von der am wenigsten signifikanten oder niedrigsten Ziffer des 2h Ziffern aufweisenden Produktes XY, ein Übertrag lediglich dann auftritt, wenn der zweite Rest r „ kleiner als der erste Rest r ₁ ist. Auf jeden Fall erhält man die h niedrigeren Ziffern des Produktes XY aus dem zweiten und dem dritten Term auf der rechten Seite der Grundgleichung (9) wie folgt:

V^XY) - ^(rp2 - V ^{+ r} _Pl = ^rp2· ⁽¹¹⁾

Gleichung (11) entspricht der Kongruenzbeziehung nach Gleichung ( 5 · ).

Man erhält also die h niedrigeren Ziffern des Produktes, somit L, (XY) nach Gleichung (11). Die Grundgleichung (9) wird nun dazu benützt, die h höheren Ziffern des Produktes, also H, (XY) abzuleiten. Insbesondere wird der erste Term auf der rechten Seite der Grundgleichung (9) unter Berücksichtigung der Tatsache berechnet, daß von den übrigen beiden Termen ein Übertrag entsteht. Die (h+l)-te Ziffer, an deren Stelle der Übertrag auftritt, ist innerhalb des h-Ziffer aufweisenden höheren Teiles Η^(ΧΥ) die am wenigsten signifikante Ziffer und ist gleich 1.

030.049/0368

Die h höheren Ziffern des Produktes H, (XY) sind daher durch die folgenden Gleichungen gegeben:

^Hh^(XY) = ^rp2 - ^rpl ^{(mod 2} >'

r (12 )

sofern r „ > r , xst, und

^Hh^(XY) = ^rp2 - ^rpl ^{(mod 2h) + 1 J}

sofern r « < r .. ist. Die Gleichungen (12) zeigen, daß die

Berechnung der höheren Ziffern H,(XY) mit Hilfe eines h-

Ziffern-Addierers und eines Rechners, der ein Komplement bildet, leicht durchführbar ist.

Die dargestellten Grundsätze sind stets anwendbar, unabhängig davon, ob die ganzen Zahlen X und Y, die Produkte XY, die Produktreste r . und r 2 in einem binären Zahlensystem dargestellt sind oder nicht.

Wenn die ersten und zweiten ganzen Zahlen X und Y mit ersten und zweiten Resten X¹ und Y' bezüglich eines gemeinsamen Moduls m kongruent sind, wenn also gilt:

X=X' (mod m)

(13)

und Y=Y¹ (mod m),

dann erhält man das Produkt XY wie in Gleichung (3) wie folgt:

X χ Y = X^r χ Y' (mod m). (1

Wenn eine ganze Zahl r gleichzeitig der Kongruenzbeziehung (13) genügt, so kann die Kongruenzbeziehung (14) wie folgt umgeschrieben werden:

X χ Y = r (mod m). (15)

030049/0985

_ ₁₈ _ 3020787

Die ganze Zahl r ist der Produktrest modulo m. Die Kongruenzbeziehung (15) zeigt, daß lediglich ein Produktrest r_p existiert, der einem Produkt XY entspricht.

Um das Produkt XY zu berechnen, wird zunächst eine Rechnung durchgeführt, um den ersten h Ziffern aufweisende Produktrest r _± abzuleiten, der dem Produkt XY bezüglich eines Moduls (q^h + 1), der eine Primzahl ist, kongruent ist. Ferner wird ein zweiter h Ziffern aufweisender Produktrest r ₂ abgeleitet, der dem Produkt XY bezüglich eines zweiten Moduls q kongruent ist, der gleich der genannten Primzahl weniger 1 ist. Die Kongruenzbeziehungen lauten a-lso:

XY = V₁ (mod [q^h

'. (16) und XY r r₂ (mod q^h).

Die Beziehung zwischen dem Produkt und den ersten und zweiten Produktresten r . und r₂ wird durch eine grundlegende Gleichung für allgemeine Zahlensysteme wie folgt angegeben:

^{= (r}p2 ~ ^rpl

^(rp2 - ^rpl [>dq^h]) + r_pl. (17)

Wie im Falle der Gleichung (11) liefert hier der zweite Produktrest r ₂ die h niedrigeren Ziffern des Produktes, also L(XY). Die h höheren Ziffern, also H, (XY) werden von der grundlegenden Gleichung (17) unter Berücksichtigung eines Übertrags q im allgemeinen Zahlensystem abgeleitet.

030 049/0965

302076?

Figur 1 zeigt nun in allgemeiner Form ein Dual-Modul-Multiplikationssystem. Dabei erfolgt die Beschreibung zur Berechnung des Produktes XY der ganzen Zahlen X und Y noch im allgemeinen Zahlensystem. Wie bereits beschrieben, wird jede ganze Zahl X oder Y auf der Basis einer vorbestimmten Wurzel q des Zahlensystems durch eine vorbestimmte gerade Anzahl von h Ziffern gegeben. Das Produkt XY hat dann 2h Ziffern. Die gerade Zahl h wird so bestimmt, daß die Summe der h-ten Potenz der Wurzel q plus 1, also (q + 1) eine Primzahl ist, die zumindest eine Primitivwurzel aufweist.

Die beiden miteinander zu multiplizierenden ganzen Zahlen X und Y werden von einer äußeren (nicht gezeigten) Einrichtung, bspw. weiteren Teilen eines Komputers, zugeliefert, vorzugsweise in der Form erster und zweiter binärer Signale. Lediglich der Einfachheit der Beschreibung halber werden also im folgenden für diese Signale dieselben Symbole, wie X und Y, verwendet wie für die Größen, die durch diese Signale dargestellt werden. Gleichzeitig wird mit diesen Symbolen auch auf die dargestellten Größen selbst Bezug genommen. Die beiden ganzen Zahlen X und Y werden in einem ersten Register 11 bzw. einem zweiten Register 12 gespeichert.

In dem ersten Subsystem 16 erfolgt eine Verarbeitung der beiden ganzen Zahlen X und Y in einen ersten Produktrest ^₁, kongruent mit dem Produkt XY bezüglich eines ersten Moduls, der gleich einer Primzahl ist, die ihrerseits wieder durch den Ausdruck (q +1) gegeben wird. Während dieser Verarbeitung durch das Subsystem 16 macht man von der an Hand der Kongruenzbeziehungen gemäß Gleichung (2) bis (2") dargestellten 1-zu-l-Beziehung Gebrauch. Dies wird später noch im Laufe der Beschreibung anhand einiger Beispiele dargestellt werden. Der erste Produktrest r ., hat h Ziffern bei einer Darstellung auf der Basis der Wurzel q.

30049/0985

302076?

Ferner ist ein zweites Subsystem 17 vorgesehen, das aus den beiden ganzen Zahlen X und Y einen zweiten Produktrest r ₂ ableitet, der mit dem Produkt XY kongruent ist bezüglich eines zweiten Moduls, der gleich der genannten Primzahl weniger q ist. Der zweite Produktrest r „ wird auf der Basis der Wurzel q ebenfalls durch h-Ziffern dargestellt. Gemäß der vorliegenden Erfindung ist es nun möglich, den Produktrest r ρ ohne Verwendung der bekannten Tatsache zu berechnen. Einzelheiten der Berechnungen werden weiter unten beschrieben.

Die beiden Produktreste r ₁ und r „ gelangen dann an ein drittes Subsystem 18 und werden dort in ein Ergebnis PR umgesetzt, daß dem ersten Ausdruck der rechten Seite der grundlegenden Gleichung (17) für ein allgemeines Zahlensystem entspricht, wobei der Übertrag mitberücksichtigt wird. Ein Beispiel eines solchen dritten Subsystem 18 wird weiter unten noch beschrieben werden. Das Ergebnis PR hat h Ziffern, sofern es auf der Basis der Wurzel q dargestellt wird. Schließlich ordnet ein 2h-Ziffern-Register 19 das Ergebnis PR und den zweiten Produktrest r „ so, daß das Ergebnis PR die h höheren Ziffern des Produktes XY, also H, (XY) und der zweite Produktrest r „ die h niedrigeren Ziffern des Produktes XY, also L,(XY) darstellt. Das dritte Subsystem 18 und das 2h-Ziffern-Register 19 wirken somit zusammen als Kombinationsschaltung zur Kombination der beiden Produktreste r ,. und r „ in ein Produkt XY entsprechend Gleichung (17).

Figur 2 zeigt ein erstes Ausführungsbeispiel eines Dual-Modul-Multip likations systems , wie es allgemein in Figur 1 dargestellt worden ist. Dabei wird als Wurzel 9 die Zahl 2 ausgewählt. Da jetzt die ganzen Zahlen X und Y im binären Zahlensystem dargestellt sind, ist die Anzahl der Ziffern für jede

030049/0905

30207S7

ganze Zahl gleich der Anzahl von Bits eines binären Signals, das diese ganze Zahl darstellt. Die vorbestimmte geraae Anzahl h der Ziffern jeder der ganzen Zahlen X und Y sollte eine vorbestimmte der Zahlen 4, 8 und 16 sein, damit die h-te Potenz der Wurzel 2 plus eins, also (2 +1) eine Primzahl ist. Im folgenden wird als vorbestimmte gerade Zahl h die Zahl 8 verwendet. Es ergeben sich also die beiden Moduln (q^h + 1) und q zu 257 bzw. 256. Es ist möglich, die Zahl 10 als voraus gewählte Primitivwurzel g eier Primzahl 25 7 zu verwenden.

Das erste Subsystem weist bei diesem Ausführungsbeispiel erste und zweite Transformationsschaltungen 21 bzw. 2 2 auf. Die erste Transformationsschaltung 21 dient dazu, die erste ganze Zahl X, die im Register 11 gespeichert ist, in eine erste Exponententransformierte χ umzusetzen; entsprechend wird in der zweiten Transformationsschaltung 22 die zweite ganze Zahl Y in eine zweite Exponententransformierte y umgesetzt. Wie im Zusammenhang mit der Kongruenzbeziehung (2) erläutert, sind die ersten und zweiten Exponententransformierten χ und y die Exponenten der Primitivwurzel 10.

Tabelle 1 gibt nun die 1-zu-l-Beziehung der ganzen Zahlen X bzw. Y zu den entsprechenden ersten und zweiten Exponententransformierten χ und y an.

030049/096$

Tabelle 1

Kest . 1	Lxponenl 0	26	86	51	31	76	27
2	80	27	5	52	166	77	127
3	87	28	131	53	63	78	173
4	160	29	242	54	85	79	122
5	177	30	88	55	77	80.	241
6	167	31	62	56	211	81	92
7	227	32	144	57	210	82	197
8	240	33	243	58	66	83	25
9	174	34	24	59	26	84	218
10	1	35	148	60	168	85	121
11	156	36	78	61	230	86	169
12	247	37	109	62	142	87	73
13	6	38	203	63	145	88	140
14	51	39	93	64	224	89	170
15	8	40	161	65	183	90	175
16	64	41	117	66	67	91	233
17	200	42	138	67	252	92	36
18	254	43	89	68	104	93	149
19	123	44	60	69	219	94	11
20	81	45	95	70	228	95	44
21	58	46	212	71	101	96	231
22	236	47	187	72	158	97	193
23	132	48	151	73	244	98	22
24	71	49	198	74	189	99	74
25	98	50	178	75	185	100	2

030049/0985

Forts. Tab. 1

Rest	Exponent	Rest	Exponent	Rest	Exponent	Rest	Exponent
101	125	126	225	151	15	176	220
102	111	127	135	152	107	177	113
103	79	128	48	153	118	178	25O
104	246	129	176	154	207	179	45
105	235	I30	7	155	239	180	255
106	.143	131	97	156	253	181	155
107	137	132	147	157	130	182	57
108	165	133	94	158	202	183	61
109	141	134	76	159	150	I84	116
110	157	135	182	160	65	185	30
111	196	136	I84	161	103	186	229
112	35	137	120	162	172	187	100
113	110	138	43	163	139	188	91
114	34	139	234	I64	21	189	232
115	53	140	52	165	I64	190	124
116	146	141	18	166	105	191	195
117	180	I42	181	167	47	192	55
118	106	143	162	168	42	193	96
119	171	144	238	169	12	194	17
120	248	145	163	170	201	195	14
121	56	146	68	171	41	196	102
122	54	147	29	172	249	197	40
123	204	148	13	173	90	198	154
124	222	149	37	174	153	199	194
125	19	150	9	175	69	200	82

030049/0965

3Q2Q767

2. Forts. Tab. 1

Rest	Exponent	Rest	Exponent	Rest	Exponent	Rest	Exponent
201	83	215	10	229	3	243	179
202	205	216	24S	230	133	244	134
203	213	217	33	231	214	245	119
204	191	218	221	232	226	246	28
205	38	219	75	233	199	247	129
206	159	220	237	234	4	248	46
207	50	221	206	235	108	249	112
208	70	222	20	236	186	250	99
209	23	223	152	237	209	251	39
210	59	224	115	238	251	252	49
211	84	225	16	239	126	253	32
212	223	226	190	240	72	254	215
213	188	227	216	24I	192	255	208
214	217	228	114	242	136

Die Tabelle ergibt also die Umsetzung der ganzen Zahlen X und Y in die Exponententransformierten χ und y. Beispielsweise ist 10° = 1, 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 257 χ 3 + 229, 10⁴ = 257 χ 38 + 234, 10⁵ = 257 χ 389 + 27, 10⁶ = 257 χ 3891 + 13, 10⁷ = 257 χ 38910 + 130, 10⁸ = 257 χ 389105 + 15, ... . Da die Kongruenzbeziehung (2) durch Reste modulo 257 gegeben sind, sind die ersten und zweiten ganzen Zahlen X und Y in Tabelle 1 unter der Überschrift "Rest" aufgeführt und liegen zwischen 1 und 255, beide Werte einschließ/lieh.

030049/0965

302078?

Wie oben beschrieben, muß entweder die erste oder die zweite ganze Zahl X bzw. Y dem Multiplikationssystem bezüglich des zweiten Moduls 256 eingegeben werden, wenn die ganze Zahl X bzw. Y größer oder gleich dem zweiten Moaul 256 ist. Obzwar in Tabelle 1 nicht eingegeben, ist z.B. 1O¹²⁸ = 257 χ 3 89105 05836 57587 54863 81322 95719 84435 79766 53696 49805 44747 08171 20622 56809 33852 14007 78210 11673 15175 09727 62645 91439 68871 59533 07392 + 256. Daher wird der "Exponent" 12 8, wenn die ganze Zahl X oder Y kongruent mit 0 modulo 2 56 ist.

Jede der Transformationsschaltungen kann als Festwertspeicher (Nur-Lese-Speicher;ROM) ausgebildet sein. Er weist eine Vielzahl von Adressen auf, an denen die Werte der "Exponenten" an den Stellen gespeichert sind, deren Adressen durch die "Reste" angegeben werden. Jede der ganzen Zahlen X und Y und der Exponententransformierten χ und y werden jeweils durch ein 8-Bit binäres Signal angegeben.

Das erste Subsystem 16 weist ferner einen Addierer 26 auf, der eine Addition modulo 2 56, also bezüglich des zweiten Moduls durchführt. An ihn gelangen die beiden Exponententransformierten χ und y. Daraus berechnet der Addierer 2 6 den Exponentensummenrest s entsprechend der zweiten der Kongruenzbeziehungen gemäß Gleichung (3). Eine dritte Transformationsschaltung 2 8 transformiert dann den Exponentensummenrest s in einen ersten Produktrest r ., gemäß der Kongruenzbeziehung (3¹). Obwohl der erste Produktrest r -, mit dem Produkt XY modulo 25 7 kongruent sein sollte, wie im Zusammenhang mit Gleichung (6) beschrieben, wird dieser erste Produktrest r . bezüglich des zweiten Moduls 256 angegeben. Dies findet deshalb statt, weil es erlaubt ist, lediglich einen Teil der 1-zu-l-Beziehung nach Gleichung (2) zu verwenden .

030049/0985

- 26 - 30207S?

Die dritte Transformationsschaltung 28 kann ebenfalls wieder durch einen Festwertspeicher (ROM) verwirklicht werden, wie dies auch bei den ersten beiden Transformationsschaltungen 21 und 22 der Fall ist. Die Adresse dieses Festwertspeichers wird dann durch einen in Tabelle 1 angegebenen "Exponenten" bezeichnet. An der Speicherstelle ist dann ein Wert gespeichert, der einem zugeordneten "Rest" gemäß Tabelle 1 entspricht. Es sollte jedoch vorgesehen sein, daß der Festwertspeicher zum Beispiel durch 12 8 (binär: 1000 0000) angesteuert werden kann und dann eine 0 (binär: 0000 0000) als ersten Produktrest r , abgibt, da der Exponentensummenrest gleich 12 8 werden kann.

Wie im vorstehenden beschrieben, dient das zweite Subsystem 17 dazu, die ersten und zweiten ganzen Zahlen X und Y in einen zweiten Produktrest r ₂ modulo 25 6 umzusetzen. Der zweite Produktrest r „ hat acht Ziffern oder Bits und stellt damit die acht niedrigeren Ziffern oder Bits des Produktes XY, also Lg(XY) zur Verfugung.

Figur 3 zeigt nun ein Subsystem 17 in Verbindung mit den beiden Registern 11 und 12, die bereits erwähnt worden sind. Sie sind gemäß Figur 3 so aufgebaut, daß sie je zwei Sektoren für jeweils die vier höheren und die vier niedrigeren Ziffern oder Bits der ganzen Zahlen X oder Y aufweisen. Die niedrigeren und die höheren Ziffern der ersten ganzen Zahl X werden mit X_n bzw. X₁ bezeichnet; die niedrigeren und höheren Bits der zweiten ganzen Zahl Y werden entsprechend mit Yq bzw. Y. be-Leichnet. Eine Folge von acht Bits wird - wie bekannt - als ein Byte bezeichnet. Die Hälfte eines Byte wird im folgenden als Nibbel bezeichnet. Jedes Nibbel stellt also in einem hexadezimalen System, das durch die hexadezimalen Symbole 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F gebildet wird_;eine Zahl mit einer Ziffer dar. Die Symbole A und B haben in diesem Zusammenhang keinen Zusammenhang mit ihrer Verwendung in Gleichung (7).

030049/0965

OHHiINAL INSHfcClED

302076?

Die ersten und zweiten ganzen Zahlen X und Y sind nun wie folgt gegeben:

X = X₁ ' 2⁴ + X_Q und Y = Y₁ · 2⁴ + Y₀.

Symbolisch kann man diese Gleichungen durch X = (X₁, Xq) und Y = (Y., 5 Yq) darstellen. Das Produkt XY ist nun gegeben durch:

XY = X₁Y₁ · 2⁸

+ (X₁Y₀ + XqY₁)' 2⁴ + X₀Y₀, (18)

dabei sind XqYq j ^n^l ^un<^ ^Xl^Y0 ^e"*"^{n ers}"*^:es» ^e^ⁿ zweites bzw. ein drittes partielles Produkt.

Auf der rechten Seite von Gleichung (18) ergibt die Kombination des zweiten und des dritten Terms den zweiten Produktrest ^₂' sofern man den Übertrag einmal für einen Augenblick außer Betracht lässt. Man kann ebenfalls sehen, daß der zweite Produktrest r 2 in höhere und niedrigere Nibbel ^₂H ^{xmd r}ü2L ^fol8^en~ dermaßen teilbar ist:

^rp2 ^{= (r}p2H, ^rp2L⁾

- ^rp2H ^{l r}p2L* ^{K }}

Wie in Gleichung (19) kann man nun auch schreiben:

^X0^Y0 ^{= P}1H ^{# 2}^ + P_1L>

^X0^Yl = ^P2H ' ²' ^{+ P}2L * ²^ >⁽²⁰⁾ und X₁Y₀ = P_3H · 2⁸ + P_3L · 2⁴, J

030049/0985

3Q20767

dabei sind P_1H5 P₂H ^{und P}3H ^d^^{e noneren} Nibbel des ersten, des zweiten bzw. des dritten partiellen Produktes X_Y„, XqY. und X^Yq· P-it» ^P2L ^{und P}3L ^s^-^nd ^ie entsprechenden niedrigeren Nibbel derselben. Setzt man Gleichung (20) in Gleichung (18) ein, so ergibt sich:

XY = X₁Y₁ · 2

^(P2H^P2L ^{+ P}3H^P3L⁾ ' ²" ^{+ P}1H^P1L'

oder XY = (X₁Y₁ + P_2H +

^(P1H ^{+ P}2L ^{+ P}3L>

Der zweite Produktrest r ₂ wird durch die zweiten und dritten Terms auf der rechten Seite von Gleichung (21) angegeben. Ein Vergleich von Gleichung (19) und Gleichung (21) ergibt:

^rp2L " ^P1L

und r _o„ = Ρ... + P₀₁. + P_OT (mod 2 ). f (22)

pzti ±ri /Li oi_i

Aus Gleichung (22) wird klar, daß man innerhalb der drei Produkte XqYq, XqY₁ und X₁Y₀ lediglich die vier Nibbel P_1L, ^P1H' ^P?L ^{und P}3T t^|rauch't3 ^um den zweiten Produktrest r ₂ zu berechnen.

Gemäß Figur 3 weist nun das zweite Subsystem 17 einen ersten, einen zweiten und einen dritten partiellen Multiplizierer 31, 32 bzw. 33 auf. Im ersten partiellen Multiplizierer 31 werden der niedrigere Nibbel X„ der ersten ganzen Zahl X mit dem niedrigeren Nibbel Y₀ der zweiten ganzen Zahl Y multipliziert.

030049/0965

302Q76?

Am Ausgang werden getrennt das niedrigere und das höhere Nibbel P., bzw. P.,, des ersten partiellen Produktes XqYq zur Verfügung gestellt. Der niedrigere Nibbel P.-, wird auf Leitung 35 abgegeben. Der zweite partielle Multiplizierer 32 multipliziert den niedrigeren Nibbel X„ mit dem höheren Nibbel Y. der zweiten ganzen Zahl Y, so daß getrennt das niedrigere und das höhere Nibbel P_2T und P-u des zweiten partiellen Produktes X_nY₁ zur Verfügung stehen. Wie bereits ausgeführt, braucht man jeaoch zur Berechnung lediglich das niedrigere Nibbel P_2f· Entsprechend ist lediglich nur eine diesem zugeordnete Ausgangs leitung eingezeichnet. Der dritte partielle Multiplizierer 33 multipliziert das höhere Nibbel X. der ersten ganzen Zahl X mit dem niedrigeren Nibbel Y₀, so daß man getrennt das niedrigere und das höhere Nibbel P₃₁ bzw. P„_H des dritten partiellen Produktes XjYq erhält. In der weiteren Berechnung benötigt man lediglich das niedrigere Nibbel Pot 3 so daß auch wieder nur die diesem zugeordnete Aus gangsleitung in Figur 3 eingezeichnet ist.

Die drei Multiplizierer 31 bis 33 können wiederum durch einen Festwertspeicher (ROM) gebildet werden, dessen Adressen wiederum durch zwei Adressensignale bezeichnet werden, die dem entsprechenden Nibbel der beiden miteinander zu multiplizierenden ganzen Zahlen X und Y bezeichnen. An der derart bezeichneten Speicherstelle ist dann ein Paar Nibbel gespeichert, das das entsprechende partielle Produkt ergibt. Auf diese Weise wird dieses partielle Produkt ausgelesen, wenn diese entsprechende Adresse angesteuert wird. Obwohl es leicht durchführbar ist, diese Produkte im hexadezimalen System zu berechnen ist dies in der folgenden Tabelle 2 angegeben, um dem Fachmann die Möglichkeit zu geben, einen derartigen Festwertspeicher ohne weiteres zu realisieren. In Tabelle 2 ist jedes Paar Nibbel der ersten miteinander zu multiplizierenden ganzen Zahlen X und Y als "Multiplikant" bzw. "Multiplikator" angegeben. Die dann auszulesenden niedrigeren oder höheren Nibbel sind dann lediglich zusammen als "Produkt" angegeben.

n?nna 9/0965

302076?

	M1 tor	Produkt	M1	Tabelle	2	M't.	M1 tor	Proaukt
M't.	0	00	1	t. M'tor	Proaukt	3	2	06
O	1	00	1	9	09	3	3	09
O	2	00	1	A	OA	O	4	OC
O	3	00	1	B	OB	3	5	OF
O	4	00	1	C	OC	3	6	12
O	5	00	1	D	OD	3	7	15
O	6	00	1	£	OE	3	8	18
O	7	00	Z	F	OF	3	9	IB
O	8	00	2	0	OO	3	A	IE
O	9	00	2	1	02	3	B	21
O	A	00	2	2	04	3	C	24
O	B	00	2	3	06	3	D	27
O	C	00	2	4	08	3	E	2A
O	D	00	2	5	OA	3	F	2D
O	E	00	2	6	OC	4	0	00
O	F	00	2	7	OE	4	1	04
O	0	00	2	8	10	4	2	08
1	1	01	2	9	12	4	3	OC
1	2	02	2	A	14	4	4	10
1	3	03	2	B	16	4	S	14
1	4	04	2	C	18	4	6	18
1	5	05	2	D	IA	4	7	IC
1	6	06	2	E	IC	4	8	20
1	7	07	3	F	IE	4	9	24
1	8	08	3	0	OO	4	A	28
1			1	03

G 3 η π /.

302Q767

Forts	. Tab.	2	Produkt	M't.	M1 tor	Proaukt	M't.	M' tor	Proaukt
M't.	M'tor	2C	6	4	18	7	D	SB
4	B	30	6	5	IE	7	E	62
4	C	34	6	6	24	7	F	69
4	0	38	6	7	2A	8	0	00
4	E	3C	6	8	30	8	1	08
4	F	00	6	9	36	8	2	10
5	0	05	6	A	3C	8	3	18
5	1	OA	6	B	42	8	4	20
5	2	OF	6	C	48	8.	5	28
5	3	14	6 ·	D	4E	8	6	30
5	4	19	6	E	54	8	7	38
5	5	IE	6	F	5A	8	8	40
5	6	23	7	0	00	8	9	48
5	7	28	7	1	01	8	A	50
5	8	2D	7	2	OE	8	B	58
5	9	32	7	3	15	8	C	60
5	A	37	7	4	IC	8	D	68
5	B	3C	7	5	23	8	E	70
5	C	41	7	6	2A	8	F	78
5	D	46	7	7	31	9	0	00
5	E	4B	7	8	38	9	1	09
5	F	00	7	9	3F	9	2	12
6	0	06	7	A	46	9	3	IB
6	1	OC	7	B	AD	9	4	24
6	2	12	7	C	54	9	5	2Ώ
6	3

030049/0966

2. Forts. Tab. 2

M1 t.	M1 tor	Produkt	M't.	M'tor	Proaukt	M't.	M' tor	Proaukt
9	6	36	A	F	96	C	8	60
9	7	3F	B	0	00	C	9	6C
9	8	48	B	1	OB	C	A	78
9	9	51	B	2	16	C	B	84
9	A	5A	B	3	21	C	C	90
9	B	63	B	4	2C	C	D	9C
9	C	6C	B	5	37	C	E	A8
9	D	75	B	6	42	C	F	B4
9	E	7E	B	7	4D	D	0	00
9	F	87	B .	8	58	D	1	OD
A	0	00	B	9	63	D	2	IA
A	1	OA	B	A	OE	D	3	27
A	2	14	B	B	79	D	4	34
A	3	IE	B	C	84	D	5	41
A	4	28	B	0	8F	D	6	4E
A	5	32	B	E	9A	O	7	5B
A	6	3C	B	F	A5	D	8	68
A	7	46	C	0	00	D	9	75
A	8	50	C	1	OC	D	A	82
A	9	5A	C	2	18	D	B	8F
A	A	64	C	3	24	D	C	9C
A	B	6E	C	4	30	D	D	A9
A	C	78	C	5	3C	D	E	B6
A	D	82	C	6	48	D	F	C3
A	E	8C	C	7	54	E	0	00

030049/09Bi

Das zweite Subsystem 17 enthält ferner einen ersten Addierer 36 (mod 2 ). Dieser berechnet die Summe des ersten und des zweiten Terms (P..,, + P_OT ) auf der rechten Seite der zweiten

h/2 Gleichung (22). Ein zweiter Addierer 37 (mod 2 ) berechnet den höheren ixlibbel r „,., wie er durch ciie zweite der Glei-

^p n/2

chungen (22) gegeben ist. Jeder eier beiden Adaierer (moa 2 ) kann jeweils durch einen einfachen 4-Bit-Adaierer gebilaet werden. Der höhere Hibbel r „. gelangt auf eine weitere Leitun.r 38. Man erhält also den zweiten Produktrest r _? auf aen Leitungen 3b und 38, die in Figur 2 noch durch eine einzige mit der Bezeichnung r „ versehe]
Subsystems 17) gezeichnet sind.

mit der Bezeichnung r „ versehene Leitung (Ausgang aes zweiten

Figur 4 zeigt nun das dritte Subsystem IS. In diesem wird aas Ergebnis PR, d.h. die h höheren Ziffern oder Bits des Produktes XY, d.h. Η,(ΧΥ) nach Gleichungen (12) berechnet. Das dritte Subsystem 18 enthält eine erste Komplementiereinrichtung 41. An diese gelangt der erste Produktrest r ., so daß in dieser Komplementiereinrichtung 41 daraus das Komplement r . abgeleitet wird, das bei der Substraktion nach Gleichung (12) benötigt wird. Dieses eine Komplement r ₁ wird dadurch erzeugt, daß alle Bits des ersten Produktrestes r ₁ invertiert werden. Dieses eine Komplement r ₁ und der zweite Produktrest r ₉ gelangen an

^h
einen ersten Addierer (mod 2 ) 42. An dem Addierer 42 ist eine Eingangsklemme 4 3 für ein Übertrags-Bit und eine Ausgangsklemme 44 für ein C'bertrags-Bit vorgesehen. Die Eingangsklemme wird stets auf den logischen 'Wert "1" durch eine geeignete Signal- oder Potentialquelle gehalten. Der logische Wert "1" erscheint an der Ausgangsklemme 44 für den Übertrag, wenn in dem ersten Addierer 42 (mod 2 ) ein Übertrag oder Überlauf stattfindet. Der Addierer 42 dient als Subtrahierer, um den ersten Produktrest r . von dem zweiten Produktrest r _? abzuziehen.

Insbesondere berechnet der erste Addierer 42 eine Summe

— h

(r₂+r.+l) modulo 2 ; dies erfolgt durch den Einsatz des den logischen Wert "1" entsprechenden Pegels an der Eingangsklemme 43 für den Übertrag, die stets auf diesem Wert gehalten

030049/0965

302076?

wird. So entsteht die Summe (mod 2 ). Lediglich wenn die Summe 2 oder 256 überschreitet, entsteht an der Übertrags-Aus gangsklemme 44 der Wert einer logischen "1".

Geht man nochmals zu den Gleichungen (12) zurück, so ergibt sich: die h höheren Ziffern Ges Produktes, also K, (XY) wird gegeben durch die Addition der Einheit 1 zur Differenz (r 2 - r .), sofern ein Übertrag stattfindet. Ansonsten werden die h höheren Ziffern H, (XY) durch die Differenz alleine gegeben. Das bedeutet, daß der an der Aus gangs klemme 44 aufscheinende übertrag bei der Berechnung der h höheren Ziffern H, (XY) berücksichtigt werden muß. Betrachtet man die Schalteinheit 41 und 42, so tritt ein Übertrag dann auf, wenn der zweite Produktrest r „ größer als der erste Produktrest r . ist; er tritt nicht auf, wenn der zweite Produktrest r ., kleiner als der erste Produktrest r ,, ist.

.L,in einfaches Beispiel wird aiese Umstände erhellen. Die beiden ersten Produktreste r _Λ und r _n seien in Dezimalzahlen 5 bzw.

_ Pi P²
2. Das Komplement r . ergibt sich binär als "1010". Die Summe (r ₂ + r ₁ + 1) ist gleich "01101". Kein Überlauf tritt auf. Wenn r . = 2 und r ,, = 5 ist, dann ist das Komplement r . "1101". Die Summe (r „ + r _Λ + 1) wird "10011". Unter diesen

p2 pl

Umständen erscheint also ein Überlauf.

Das dritte Subsystem 18 weist ferner einen zweiten Addierer (mod 2 ) 45 auf mit einer Summanden-Eingangsklemme 46, einer weiteren Summanden-Eingangsklemme 47 und einer Übertrags-Bit-Eingangsklemme 48. Die Summanden-Eingangsklemme 46 wird stets auf dem Wert "0" gehalten. Der erste Addierer 42 gibt nun an die andere Summanden-Eingangsklemme 47 die Summe (mod 2 ) ab. Eine zweite Komplementiereinrichtung 49 ist zwischen der Übertrags -Ausgangsklemme 44 des ersten Addierers 42 und der Übertrags-Eingangsklemme 48 des zweiten Addierers 45 angebracht, um auf diese Weise an die letztgenannte Eingangsklemme 48

030049/096S

- 3b -

lediglich dann ein Übertrags-Signal abzugeben, wenn der zweite Produktrest r „ kleiner als der erste Produktrest r . ist. Das Übertrags-Signal gelangt nicht an den zweiten Addierer 45, wenn im ersten Addierer 42 ein Überlauf stattfindet.

Der zweite Addierer (mod 2 ) 45 gibt das Berechnungsresultat PR entsprechend der ersten der Gleichungen (12) ab, wenn an seiner Übertrags-Eingangsklemme 48 ein Signal mit dem logischen Wert "0" anliegt. Liegt dort ein Signal mit dem logischen Wert "1" an, so ist das von dem Addierer 45 abgegebene Resultat PR dasjenige, das der zweiten der Gleichungen (12) entspricht. Daraus folgt somit, daß die h höheren Ziffern H, (XY) durcn diese einfache Kombination zweiter Addierer (mod 2 ) 42 und und die beiden Komplementiereinrichtungen 41 und 49 abgeleitet werden können.

Wie sich nun wiederum aus Figur 2 ergibt, ist das für 2h Ziffern ausgelegte Register 19 dazu eingerichtet, das Ergebnis PR und den zweiten Produktrest r _? so zu arrangieren, daß sich das Produkt XY ergibt. Das Ergebnis PR und der zweite Proauktrest r .. werden verwendet als jeweils die h höhei geren Bit-Hälften des gesamten Produktes XY.

r .. werden verwendet als jeweils die h höheren und die h niedri-

Im zweiten Subsystem 17 (Figur 3), das mit dem Modul 2 arbeitet, kann man die Entsprechung zwischen den Exponenten und aen allgemeinen ganzen Zahlen in der gleichen Art und Weise wie im ersten Subsystem 16 einsetzen. Die Multiplikation sollte jedoch auf ungerade Zahlen beschränkt werden, wenn diese Entsprechung im zweiten Subsystem eingesetzt wird. Dies ist deshalb so, weil der zweite Modul 2 für das zweite Subsystem 17 keine Primzahl ist und aus diesem Grunde die Anzahl der Exponenten, die durch die Euler'sehe Funktion P(m) dargestellt wird, auf die Hälfte des zweiten Moduls 2 reduziert wird. Im Gegensatz dazu kann das zweite Subsystem 16 den zweiten Produkt-

030049/09ÖS

rest ₉ selbst dann ableiten, wenn sowohl die erste ganze Zahl X als auch die zweite ganze Zahl Y keine ungerade Zahl sind.

Das Multiplikationssystem gemäß der Erfindung kann asynchron betrieben werden ohne jegliche Art von Zeiteinsteil- oder Zeittaktschaltung, da es eine Kombination statischer Bauelemente darstellt. Da alle ganzen Zahlen, die bei der Multiplikation verwendet werden, in entsprechende Exponenten der ganzen Zahlen überführt werden, findet kein Rundungsfehler statt.

Ein herkömmlicher Feld-Multiplizierer weist eine Vielzahl von Addierstufen auf und wird durch eine Folge von Zeittaktimpulsen gesteuert. Der herkömmliche Multiplizierer ist daher relativ langsam wegen der Notwendigkeit der Vorwärtsübertragung des Übertrags und des sich daraus ergebenden Verzögerungseffektes selbst dann, wenn man eine relativ komplizierte Schaltung zur Voraussage des Übertrags im Multiplizierer verwendet.

Bei dem Multiplikationssystem gemäß der Erfindung ist die zur Berechnung erforderliche Zeit T abhängig von der Zugriffszeit T jedes Festwertspeichers und einer Verzögerungszeit T , jedes Addierers. Da das Produkt über zwei Festwertspeicher und drei Addierer abgeleitet wird, erhält man die Berechnungszeit T ungefähr durch folgende Gleichung:

T = 2T + 3T ,. m ac ad

Ist T = 50 ns und T ·, = 10 ns, dann beträgt die Berechnungs· ac ac.

zeit ungefähr 130 ns.

030049/0905

- 37 - 302078?

Es sei nun die erste ganze Zahl X gleich 2 34 und die zweite ganze Zahl Y gleich 175. Die beiden Transformationsschaltungen 21 und 22 übersetzen die Zahlen 2 34 und 175 in die Zahlen 4 und 69 gemäß Tabelle 1. Der Addierer (mod 2 ) 28 addiert nun 4 und 69 und gibt so die Zahl 73 als Exponentensumme (mod 256) ab. Angesteuert durch 73, leitet die dritte Transformationsschaltung 28, die eine inverse Transformation vornimmt, die Zahl B7 als den ersten Produktrest r . gemäß Tabelle 1 ab. Obwohl der Wert 87 sich von dem tatsächlichen Produkt XY, gebildet aus aen Zahlen 234 und 175, unterscheidet, dient es dazu, die obere Hälfte des tatsächlichen Produktes X und Y, das in binärer Form durch 16 Bits dargestellt wird, zu bestimmen. Der erste Produktrest r ., wird auf diese Weise schnell abgeleitet. Hier ist der Wert von 87 im dezimalen System in binärer Form gleich "01010111".

Für das zweite Subsystem 17 wird jedes der 8-Bit-Signale, die die ganzen Zahlen 2 34 und 175 darstellen, als eine hexadezimale Zahl mit 2-Ziffern betrachtet. Insbesondere ist das erste binäre Signal "11101010" und stellt die erste ganze Zahl 2 34 dar; es wird in den höheren Nibbel "1110" und in den niedrigeren Nibbel "1010" aufgeteilt. Diese beiden Nibbel "1110" und "1010" repräsentieren zwei hexadezimale Zahlen von je einer Ziffer, und zwar die hexadezimalen Zahlen "E" bzw. "A". Die erste ganze Zahl 234 ist nun die Zahl "EA" im hexadezimalen System. Ebenso ergibt die zweite ganze Zahl 175 im hexadezimalen System eine andere Zahl, nämlich die Zahl "AF". Der Klarheit der weiteren Beschreibung halber wird eine Markierung (H) jeweils im Zusammenhang mit einer Zahl verwendet, die im hexadezimalen Zahlensystem geschrieben ist, aber lediglich durch zwei Dezimalziffern aargestellt wird. Die höheren Nibbel X₁, Y₁ und die niedrigeren Nibbel X_Q und Y_Q sind:

Xl	= E,
xo	= A,
Yl	= A,
Yo	= F.

030049/0965

302076?

Tabelle 2 zeigt daß:

X₀Y₀ = A · F = 96(H),

X₀Y₁ = A · A = 64(H), und X₁Y₀ = E · F = D2.

Daher ist:

P1H	= 9,
P1L	= 6,
P2L

und P_QT =2.

Aus Gleichungen (22) folgt:

^rp2L = ^P1L = ⁶ und r_p2H = P₁₁₁ + P_2L + P_3L (mod 16)

=9+4+2 (mod 16) = F.

Da die höheren Nibbel r „„ und die niedrigeren Nibbel des zweiten Produktrestes r ₂ "1111" bzw. "0110" in binärer Form sind, ist der zweite Produktrest r „ durch "11110110" gegeben.

Der erste Produktrest 87 und der zweite Produktrest F6 gelangen an das dritte Subsystem 18. Der erste Produktrest r , ist 5 7CH). Das Komplement r ist A8. Die Summe (F6 + A8 + 1)

8 ^

modulo 2 wird im ersten Addierer 42 berechnet und ist gleich 9F. Da der zweite Produktrest F6 größer als der erste Produktrest 57(H) ist, gelangt kein Übertrags-Bit-Signal an den zweiten Addierer 45. Das Resultat PR, das sich als Ergebnis dieser Berechnung darstellt, ist daher 9F.

0300A9/0985

302076?

Das Ergebnis der Multiplikation XY wird daher dadurch erhalten, daß man lediglich das Ergebnis PR und den zweiten Produktrest r _ in der Form 9FF6 anordnet. Die Zahl 9FF6 ist im Dezimalsystem die Zahl 40950.

Es sei nun angenommen, daß die vorbestimmte gerade Zahl h einen mehr allgemeinen Wert hat. Das erste Subsystem 16 erzeugt dann den ersten Produktrest r _Λ unter Verwendung des

h P

ersten Moduls (2 + 1).

Was das zweite Subsystem 17 angeht, so werden die Gleichungen (20) umgeschrieben, so daß sich die ersten bis dritten partiellen Produkte folgendermaßen ergeben:

^X0^Y0 = ^P1H * ^{2h/2 + P}1L>

^X0^Yl = ^P2H ' ^{2h + P}2L * ^2h/2' und X₁Y₀ = P_3H - 2^h ₊ P_3L - 2^h/2.

Die untere Hälfte r „_T und die höhere Hälfte r _ou des zweiten

p2L p2n

Produktrestes r „ erhält man wie folgt:

^rp2L ^{= P}1L und r_p2H = P_{111 +} P_{2L +} P_3L (mod 2^h/2).

Der zweite Produktrest r „ stellt die h niedrigeren Ziffern des Produktes dar, also L, (XY).

030049/0965

3020787

Das zweite Ausführungsbeispiel ist in Figur 5 dargestellt. Dieses Dual-Multiplikationssystem berechnet das Produkt XY zweier positiver ganzer Zahlen X und Y, die im dezimalen System mit der vorausgewählten Wurzel 10 gegeben sind. Gleiche Einheiten wie in den Figuren 2 bis 4 sind mit gleichen ßezugszeichen versehen. Es sei angenommen, daß als vorbestimmte gerade Zahl h die Zahl 2 ausgewählt wird. Vorzugsweise werden die Signale in BCD-kodierter Form (binär kodiert dezimal) angegeben, wobei jede Ziffer durch vier Bits dargestellt wirci. Der erste Modul (q¹ + 1) und der zweite Modul q ist 101 bzw. 100. Die Primzahl 101 hat 2 als Primitivwurzel.

Das erste Subsystem 16 besteht aus einer ersten Transformationsschaltung 21' und einer zweiten Transformationsschaltung 22'. Bei Ansteuerung durch die erste ganze Zahl X gibt die erste Transformationsschaltung 21' eine erste Exponententransformierte χ ab. Bei Ansteuerung durch die zweite ganze Zahl Y gibt die zweite Transformationsschaltung 22' entsprechend eine zweite Exponententransformierte y ab. Die beiden Transformationsschaltungen 21' oder 22' können jeweils - analog dem ersten Ausführungsbeispiel - durch einen Festwertspeicher (ROM) gebildet werden, dessen Adresse durch die ganzen Zahlen χ oder y angegeben wird, an welcher Adresse dann die entsprechenden Exponententransformierten χ oder y gespeichert sind, die dann bei der Ansteuerung durch die ganzen Zahlen X, Y ausgelesen werden. Die Beziehung zwischen X, Y und x, y ist in der nachfolgenden Tabelle 3 angegeben. Diese gleicht der Tabelle 1 bis auf die Tatsache, daß 2⁵⁰ = 100 (mod 101) darin aufgeführt ist.

030049/0965

	Exponent	Rest	Tabelle 3	Rest ]	Exponent	Rest	Exponent
Rest	100	26	Exponent	51	99	76	98
1	1	27	67	52	68	77	22
2	69	28	7	53	23	78	36
3	2	29	11	54	8	79	64
4	24	30	91	55	37	80	28
5	70	31	94	56	12	81	76
6	9	32	84	57	65	82	46
7	3	33	5	58	92	83	89
8	38	34	82	59	29	84	80
9	25	35	3α	60	95	85	54
10	13	36	33	61	77	86	43
11	71	37	40	62	85	87	60
12	66	38	56	63	47	88	16
13	10	39	97	64	6	89	21
14	93	40	35	65	90	90	63
15	4	41	27	66	83	91	75
16	30	42	45	67	81	92	88
17	39	43	79	68	32	93	53
18	96	44	42	69	55	94	59
19	26	45	15	70	34	95	20
20	78	46	62	71	44	96	74
21	14	47	87	72	41	97	52
22	86	48	58	73	61	98	19
23	72	49	73	74	57	99	51
24	48	50	18	75	17	100	50
25		03	49		965 INSPECTED
		0049/0! ORiGiNAL

Das erste Subsystem 16 enthält ferner einen 2-Ziffern-BCD-Addierer 26', der modulo 100 arbeitet. An diesen Addierer gelangen die erste und die zweite Exponententransformierte χ bzw. y. Der Addierer 26' berechnet den Exponentensummenrest s . Eine dritte Transformationsschaltung 28' transformiert den Exponentensummenrest s in einen ersten Produktrest r ... Die dritte Trans formations schaltung 28' kann wiederum durch einen Festwertspeicher ROM verwirklicht weraen. Vorzugsweise liefert er direkt das Komplement des ersten Produktrestes, somit r ..

Das zweite Subsystem 17 arbeitet mit dem zweiten Modul 100 und dient lediglich dazu, den zweiten Produktrest r „ aus den ersten und zweiten ganzen Zahlen X und Y gemäß der Beziehung XY = r 2 (mod 100) abzuleiten. Wie innerhalb des gestrichelten Rechteckes in Figur 5 dargestellt, werden den ganzen Zahlen X und Y in niedrigere Hälften X_n und Y_n, die weniger signifi-

0
kanten Ziffern (zugeordnet 10 )darstellen, und in höhere Hälften X₁ und Y₁, die die signifikantesten Ziffern (zugeordnet

1
10 ) darstellen, aufgeteilt. Wie in den Gleichungen (20) werden die ersten bis dritten partiellen Produkte durch die folgenden Beziehungen gegeben:

^X0^Y0 ^{= P}1H · ^{101 + P}1L'

Vl = ^P2H ' ^{102 + P}2L ' ^10l> und X₁Y₀ = P_3H · 10² ₊ P_3L · 10¹.

Entsprechend Gleichung (22) ergibt sich:

^rp2 = ^(P1H ^{+ P}2L ^{+ P}3L

030049/096.5

ORiGiNAL INSPECTED

Das zweite Subsystem enthält dann ferner erste bis dritte partielle Multiplizierer 31', 32' und 33'. Jeder partielle Multiplizierer 31', 32' und 33' kann wieder durch einen Festwertspeicher in der beschriebenen Art und Weise gebildet werden. Der erste partielle Multiplizierer 31' liefert auf die Leitung 35' die niedrigere Hälfte r _OT des zweiten Produkt-

P /.Li

restes r „. Erste und zweite 1-Ziffern-BCD-Addierer (mod 10) 36' und 37' liefern schließlich auf Leitung 38' die höhere Hälfte

r „_tr des zweiten Produktrestes r „.
pZii ■ p2

Für das dritte Subsystem 18 ergeben sich den Gleichungen (12) entsprechenden Gleichungen folgendermaßen:

H₂(XY) = r₂ - V₁ (mod 100), wenn r „ > r , , und: \ (23)

H₂(XY) = r ₂ - T₁ (mod 100) + 1,

wenn r_p2 < r_pl-

Das dritte Subsystem 18 weist einen ersten 2-Ziffern-BCD-Addierer 4-2' auf, der mit einer Übertrags-Ausgangsklemme IM-¹ versehen ist. Liegt an diesem Addierer 42' das Komplement des ersten Produktrestes, somit r ., ferner der zweite Produktrest r_D2s sowie an der Eingangsklemme für den Obertrag ein Signal vom logischen Wert "1" an, so berechnet der Addierer 42' die Summe (r ₂ + r . + 1) modulo 100. Wie im Zusammenhang mit Figur 4 beschrieben, tritt ein Oberlauf nur dann auf, wenn der zweite Produktrest r „ größer als der erste Produktrest r , ist.

pi

An die Summe (^₂ + ? λ + D modulo 100 gelangt dann an einen zweiten 2-Ziffern-BCD-Addierer 45', der eine Übertrags-Eingangsklemme 48' hat. Ferner ist zwischen der Übertrags-Ausgangsklemme 44' und der Übertrags-Eingangsklemme 48' eine Komplementiereinrichtung 49' vorgesehen. Der zweite Addierer 45' gibt ein

030049/0965

Ergebnis PR ab, das die höhere Hälfte H₂(XY) gemäß Gleichung (23) darstellt.

Es sei nun beispielsweise die erste Zahl X gleich 90 und die zweite Zahl Y gleich 75. Im ersten Subsystem werden dann als erste und zweite Exponententransformierte χ bzw. y die Zahlen 6 3 bzw. 17 ausgelesen. Der Exponentensummenrest s wird SO. Der erste Produktrest r . stellt die Zahl 8H dar. Das Komplement r ist durch 99 - 8M- = 15 gegeben.

Für das zweite Subsystem 17 ergeben sich die höheren bzw. niedrigeren Hälften der ganzen Zahlen X,. , Y.,, X~, und Y„ wie folgt:

X₁ = 9,

X₀ = 0,

Y₁ = 7,

und Y₀ = 5.

Die ersten bis dritten partiellen Produkte nehmen folgende Werte an:

X₀Y₀ = 00,

X₀Y₁ = 00,

und X₁Y₀ =

Die Hälften der entsprechenden partiellen Produkte, die für die weiteren Berechnungen notwendig sind, sind:

^P1L = ° ^P1H = °

^P2L = ° und P_3L = 5

030049/0965

302076?

Die oberen und unteren Hälften des zweiten Produktrestes, also r_p2H und r_p2L sind:

= ^P1H ^{+ P}2L ^{+ P}3L ^{(mod 10)} = ⁵

und r_p2L = P_iL = 0.

Der zweite Produktrest r , ist somit (5, 0) oder 50.

In dem dritten Subsystem 18 berechnet der erste Addierer (mod 100) die Summe (r „ + r ₁ + 1) modulo 100 wie folgt:

50+15+1 (mod 100) = 66.

Da der zweite Produktrest 50 kleiner als der erste Produktrest 84 ist, ergibt sich das Ergebnis PR oder die höhere Hälfte H₂( des Produktes in Ziffern wie folgt:

r ₂ - r ^ + 1 (mod 100) =66+1 (mod 100) = 67.

Das 2h-Ziffern-Register 19 wird mit dem Ergebnis PR und mit dem zweiten Produktrest r ₂ geladen, also mit den beiden Zahlen (6 7, 50), das heißt also mit der Zahl 6 750.

Das anhand von Figur 5 beschriebene Dual-Modul-Multiplikationssystem kann ebenfalls asynchron betrieben werden. Es ist auch als Baustein in einer größeren Multipliziereinheit verwendbar.

Das anhand der Figuren 2 bis 4 beschriebene Multiplikationssystem kann derart modifiziert werden, daß es in einem beliebigen Zahlensystem mit einer Wurzel q betrieben werden kann. Die ganzen

030049/0965

- 1+6 -

302076?

Zahlen müssen durch h-Ziffern unter Verwendung der Wurzel q dargestellt werden, wobei h eine gerade Zahl sein muß. Das erste Subsystem 16 leitet einen ersten Produktrest r ^ modulo (q + 1) ab; das zweite Subsystem 17 leitet einen zweiten Produktrest r _o modulo q ab. Ein Addierer (mod q ), ein

P h/2

erster und ein zweiter Addierer (mod q ), und erste sowie zweite Addierer (mod q ) können anstelle des ersten Addierers (mod 2 ) 26, des ersten und des zweiten Addierers(mod 2 ) und 3 7 und des ersten und des zweiten Addierers (mod 2)4-2 und 45 substituiert werden.

- Ende der Beschreibung -

030049/0985

Leerseite

Claims (5)

1. PATENTANWÄLTE ^ Π ? Π 7 R

   DREISS & FUHLENDORF

   Uwe DREiss SCHICKSTR.
2. 2, D - 7ΟΟΟ STUTTGART 1

   Dr. jur., Dipl.-Ing., M. Sc. TF (0711) 24 57 34

   JÖRN FUHLENDORF _TG UDEPAT

   Dipi.-tng. TX 7-22247 udpad

   Ί
   DREISS & FUHLENDORF. SCHICKSTR. 2. D - 7000 STUTTGART 1

   Anmelder: Priorität:

   Aisuke Katayama 1. Juni 19 79

   2-4 7, Kawamotomutsumicho No. 6 749 5

   Akita-shi Japan Akita / Japan

   Amtl. Akt. Z. Ihr Zeichen Mein Zeichen Datum Off. Ser. No. Your Ref. My Ref. Date Ni-1887 3Ο.ί

   Titel: Schaltungsanordnung zur Multiplikation zweier ganzer Zahlen

   Patentansprüche

   Schaltungsanordnung zur Multiplikation einer ersten ganzen Zahl (X) mit einer zweiten ganzen Zahl (Y), die beide auf der Bais einer bestimmten Wurzel (9) durch eine bestimmte gerade Anzahl (h) Ziffern gegeben sind, die derart bestimmt ist, daß die h-te Potenz der Wurzel plus eins (q + 1) eine Primzahl ist, bei der ein erster Rest (r ^) berechnet wird, der mit dem Ergebnis der Multiplikation modulo eines ersten Moduls kongruent ist, welcher gleich der Primzahl ist, und ferner ein zweiter Rest berechnet wird, der mit dem Ergebnis der Multiplikation modulo eines zweiten Moduls kongruent ist, welcher gleich der Primzahl weniger eins ist, und bei der die Darstellung des ersten Restes durch 2h Ziffern und des ersten Restes durch h Ziffern erfolgt, und bei der eine erste Schalteinheit (16) den ersten Rest ableitet derart, daß aufeinanderfolgende ganze Zahlen, deren Anzahl gleich der Primzahl minus 1 ist, mit Potenzen einer Primitivwurzel der

   Ö30049/096S

   Dresdner Bank Stuttgart 1919 854 (BLZ 6OO 8OO 0O), Postscheckkonto Stuttgart 507 71-705

   ORIGINAL INSPECTED

   Primzahl modulo dieser Primzahl kongruent sind, wenn die Exponenten der entsprechenden Potenzen durch aufeinanderfolgende ganze Zahlen gegeben sind, deren Anzahl gleich der Primzahl minus 1 ist, und bei der eine zweite Schaltungseinheit aus den ganzen Zahlen (X, Y) den zweiten Rest (r ₂) ableitet, und eine dritte Schalteinheit die beiden Reste in das Ergebnis des MultiplikationsVorgangs umsetzt, dadurch gekennzeichnet, daß die zweite Schalteinheit (17) partielle Multiplizierer (31 - 33) zur Berechnung der folgenden drei partiellen Produkte mit je h Ziffern aufweist:

   (a) des Produktes (X_nY,.) der niedrigeren Hälfte der Ziffern der ersten positiven ganzen Zahl mit der niedrigeren Hälfte der Ziffern der zweiten ganzen Zahl;

   (b) des Produktes (X_nY₁) der niedrigeren Hälfte der Ziffern der ersten positiven ganzen Zahl mit der höheren Hälfte der Ziffern der zweiten positiven ganzen Zahl; und

   (c) des Produktes (X.. Y_n) der höheren Hälfte der Ziffern der ersten positiven ganzen Zahl mit aer niedrigeren Hälfte der Ziffern der zweiten positiven ganzen Zahl;

   sowie dadurch, daß die partiellen Produkte in weiteren Schaltungen (35 - 38), die Bestandteil der zweiten Schalteinheit sind, in einen Teil (r „) des zu berechnenden Ergebnisses umgesetzt werden.

   Schaltungsanordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die dritte Schalteinheit (18, 19) den genannten ersten Rest (r ,) und den genannten zweiten Rest (r ~) i^{n e}i-ⁿ Teilergebnis (PR) mit h Ziffern umsetzt, und ein Register (19), das mit der dritten Schalteinheit (18) und mit der Schalteinheit (17) verbunden ist, das von der zweiten Schalteinheit

   030049/0985 BAO ORIGINAL

   - 3 - 3010787

   berechnete Teilergebnis (PR) mit dem zweiten Rest (r „)
   zum Ergebnis der Multiplikation derart zusammensetzt, das
   genannte Teilergebnis (PR) den höheren h Ziffern-Teil und
   der genannte zweite Rest (r ₂) den niedrigeren h Ziffern-Teil des Multiplikationsergebnisses bildet.
3. 3. Schaltungsanordnung nach Anspruch 2, aadurch gekennzeichnet, daß q = 2 und h = 4, 8 oder 16 ist.
4. M-. Multiplikationssystem nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die partielle Multiplizierer (31 - 33) jeweils die
   höheren und die niedrigeren Hälften der Ziffern der partiellen h Ziffern aufweisenden Produkte getrennt zur Verfügung
   stellen und die weiteren Schaltungen der zweiten Schalteinheit (17) Addierer (36, 37) aufweisen, die die Summe der
   höheren Hälfte (P_1fI) der Ziffern des ersten partiellen Produktes (XqYq), der niedrigeren Hälfte (P₂T^ ^{des zwe}i^ten
   partiellen Produktes (XqY.) und der niedrigeren Hälfte (P-^t) des dritten partiellen Produktes (X₁Yq) bilden und die Summe (r _ti ) sowie die vom ersten partiellen Multiplizierer (31)
   zur Verfügung gestellte untere Hälfte (P_1L) des ersten
   partiellen Produktes (XqYq) auf entsprechenden Leitungen (35, 38) zu je als die höhere (r „,,) und niedrigere (r ~τ ) Hälfte des zweiten Restes (r „) mit je h/2 Ziffern geordnet abgegeben werden.
5. 5. Schaltungsanordnung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß q = 10 und h = 2 ist.

   - Ende der Ansprüche -

   030049/0985