CN112269172B - 一种基于张量结构的嵌套mimo雷达角度估计方法和装置 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计方法，包括：建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模型；向量化回波信号模型的协方差矩阵；并根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型；对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张量模型；根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联合估计。本发明结合嵌套MIMO雷达虚拟回波信号模型，利用空间平滑理论重构三阶张量模型，引入复平行因子PARAFAC算法进行DOD和DOA联合估计，提高了估计精度。
Description
技术领域
本发明涉及张量分解技术领域，更具体的涉及一种基于张量结构的嵌套 MIMO雷达角度估计方法和装置。
背景技术
近年来，国内外专家学者陆续开展了基于张量分解的信号处理方法研究。 Lim LH等从张量秩、唯一性、存在性和一致性角度丰富完善了张量压缩感知算 法理论基础，但尚未开展相关求解方法研究；为进一步促进张量分解发展和应 用，2015年，Cichocki A等从规范多元张量分解(Canonical Polyadic Decomposition, CPD)、Tucker分解等角度举例分析了张量应用于信号处理的重要优势，并结 合CS算法建立了高阶和矢量化稀疏恢复模型；2017年，Sidiropoulos N D、 Lathauwer L D等联名发表文章“Tensor Decompositionfor Signal Processing and Machine Learning”，从预处理、运算量等角度深入总结说明了张量分解应用于 阵列信号处理的重要优势和意义。
针对传统阵列，现有文献利用空间平滑理论建立三阶张量模型，随后利用 高阶奇异值分解建立张量ESPRIT模型，有效提高了测向性能；Rao W等利用互 相关张量从提高自由度角度提出了基于CPD的均匀面阵二维DOA估计方法， 该方法通过高阶张量模型重置有效提高了自由度和检测目标个数；现有文献针 对单基地MIMO雷达建立了基于张量分解的联合发射阵列插值和波束空间设 计的DOA估计方法，该方法通过阵列匹配实现了输出信噪比提升，并采用高阶SVD分解实现了角度估计性能提升。针对矢量传感器阵列，李阳博士结合极 化敏感电磁矢量天线阵列的多维信息结构，根据空间平滑和参数分离理论系统 研究了平行因子(Parallel Factor,PARAFAC)方法在多参数估计和抑制阵元互耦方面的性能优势；高宇飞博士根据张量分解的多线性结构利用CPD和Tucker 分别开展了非相干信源和相干信源角度估计问题研究，针对电磁矢量传感器全 极化波参数估计提出一种块因子张量分解模型。针对稀疏阵列，现有文献提出 了基于CPD的分置MIMO(multiple inputmultiple output)雷达近场源目标定位和参数估计方法，该方法可实现角度的自动配对且适用于任意阵列几何；现有文 献提出一种基于张量分解的互质阵双基地MIMO雷达到达方向(Direction of Arrival，DOA)、出发方向(Direction of Departure，DOD)和多普勒频率联合 估计，但尚未涉及张量分解理论的深度扩展；张小飞等提出一种基于快速收敛 三线性分解的互质面阵二维DOA估计方法，该算法首先采用PM算法估计初值， 随后采用PARAFAC方法提高角度估计精度，但相对于传统子空间类算法具有较高运算量。
嵌套阵能够通过增大子阵阵元间距实现自由度提升。将嵌套阵应用于双基 地MIMO雷达能够通过虚拟阵元扩展增大自由度，但由于虚拟回波信号模型为 单快拍结构，传统的子空间类算法因目标协方差矩阵秩亏而失效，压缩感知类 算法具有较大的运算量，而张量分解能够通过引入“高阶结构”提升参数估计 性能。为此，本发明基于张量分解开展嵌套MIMO雷达DOD和DOA联合估计 算法研究。
发明内容
本发明实施例提供一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计方法和 装置，用以解决上述背景技术中提出的问题。
本发明实施例提供一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计方法，包 括：建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模型；
向量化回波信号模型的协方差矩阵；并根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟 单快拍回波信号模型；
对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进行空间平 滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张 量模型；
根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联合估计。
进一步地，所述回波信号模型，如下：
其中，和θk分别为第k个目标的出发方向DOD和到达方向DOA， k＝1,…,K； Ar＝[ar(θ1),…,ar(θK)]；/>为发射阵列的方向矢 量，为接收阵列的方向矢量； s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T，sk(t)为第k个目标的反射系数，t为信号快拍；n(t)为 高斯白噪声矢量，其元素的均值为0，方差为σ2；/>为Khatri-Rao积，/>为 Kronecker积，T表示矩阵转置。
进一步地，所述向量化回波信号模型的协方差矩阵，具体包括：
根据回波信号模型，确定回波信号的协方差矩阵：
R＝E[x(t)xH(t)]＝ARsAH+σ2IMN
当快拍数为L时，协方差矩阵近似为：
向量化近似后的协方差矩阵：
其中，为目标协方差矩阵，/>为第k个 目标的信号能量，H为共轭转置，diag[·]表示对角矩阵，E[·]为期望运算；/> *为共轭运算，vec(·)表示矩阵矢量化。
进一步地，所述根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型， 具体包括：
根据嵌套阵虚拟阵元分布理论，确定向量化后协方差矩阵z中的虚拟阵元 均为连续结构，并分别从DOD和DOA两个维度选取虚拟连续阵元，以二维 结构依次排列，建立虚拟单快拍回波信号模型
其中，双基地嵌套MIMO雷达发射阵列和接收阵列均由传统嵌套阵组成， 发射阵列阵元数为M＝M1+M2，接收阵列阵元数为N＝N1+N2；c为维矢量， 第/>行元素为1，其余位置元素为0，/>并且
虚拟单快拍回波信号模型的发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，对应阵 元数分别为/>和/>
进一步地，所述对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵 列，进行空间平滑，构建四阶张量模型，具体包括：
将发射阵列分为Qt个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qt，即 Qt＝M2(M1+1)；将接收阵列分为Qr个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qr，即 Qr＝N2(N1+1)；则第qtqr个空间分集矢量表示为：
根据上述可知，矢量的维度为QtQr×1；设/> 则/>的第/>个值可表示为：
根据高阶张量定义和性质，标量视为四阶张量/>的第/>个变量值，则根据上式得四阶张量/>为：
其中， qt＝1,…,Qt，qr＝1,…,Qr，/>是由矩阵Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由矩阵Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声 矢量；/>为对应的噪声标量；/>是由Bt的后Qt行组成 的子矩阵，/>是由Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应 的噪声张量，⊙表示张量积(外积)。
进一步地，所述通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张量模型， 具体包括：
将张量因子和/>合并，将四阶张量/>转化为三阶张量/>即为：
根据上式中张量模型假设/> 则张量/>重新表示为：
其中，为对应的三阶噪声张量。
进一步地，所述根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和 DOA联合估计，具体包括：
对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解，估算矩阵
采用最小均方LS算法，结合矩阵估计角度/>及采用最小均方LS算 法，结合矩阵/>估计角度/>
进一步地，所述对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解，估算 矩阵具体包括：
对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解
直至收敛为止；其中，表示伪逆运算，Q(1)、Q(2)、Q(3)分别为张量/>的模-1、 模-2、模-3展开数据；/>分别为与张量/>的模-1、模-2、模-3对应的 展开数据。
进一步地，所述采用最小均方LS算法，结合矩阵估计角度/>具体包 括：
设
根据上式建立的LS拟合公式为：
且
由上式得矢量的解为：
由上式得：
其中，angle(·)表示取相角运算；为对应的估计矢量，/>为待估计 矢量。
本发明实施例还提供一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计装置， 包括：
回波信号模型建立模块，用于建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模 型；
虚拟单快拍回波信号模型建立模块，用于向量化回波信号模型的协方差矩 阵；并根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型；
三阶张量模型建立模块，用于对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列 和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并， 将四阶张量模型降维为三阶张量模型；
联合估计模块，用于根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD 和DOA联合估计。
本发明实施例提供一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计方法和 装置，与现有技术相比，其有益效果如下：
本发明结合嵌套MIMO雷达虚拟回波信号模型，利用空间平滑理论重构三 阶张量模型，引入复平行因子PARAFAC算法进行DOD和DOA联合估计，提高 了估计精度。具体地，建立嵌套MIMO雷达回波信号模型，从“和差联合阵列”角度系统分析了DOD和DOA联合估计条件下的虚拟阵元扩展，分析了与传统 MIMO雷达的结构区别和高自由度优势；利用空间平滑算法建立四阶张量模型， 并通过因子合并将其重构为三阶张量模型，引入复平行因子PARAFAC算法进行 DOD和DOA联合估计，比传统算法具有更高的估计精度和角度分辨率。
附图说明
图1为本发明实施例提供的双基地嵌套MIMO雷达虚拟阵元扩展示意图；
图2为本发明实施例提供的RMSE随SNR的变化关系图；
图3为本发明实施例提供的RMSE随快拍数的变化关系图；
图4a为本发明实施例提供的嵌套MIMO雷达ALS估计角度散点图；
图4b为本发明实施例提供的嵌套MIMO雷达FBSS空间谱等高线图；
图4c为本发明实施例提供的传统MIMO雷达空间谱等高线图；
图5为本发明实施例提供的一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计 方法流程图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清 楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是 全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造 性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
参见图5，本发明实施例提供一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估 计方法，该方法包括：
步骤S1，建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模型。
步骤S2，向量化回波信号模型的协方差矩阵；并根据虚拟连续阵元分布， 建立虚拟单快拍回波信号模型。
步骤S3，对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进 行空间平滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并，将四阶张量模型降维 为三阶张量模型。
步骤S4，根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联 合估计。
对于上述步骤S1～S4的具体分析如下：
对于步骤S1：建立双基地嵌套MIMO雷达
假设双基地嵌套MIMO雷达发射和接收阵列由传统嵌套阵组成，发射阵 列阵元数为M＝M1+M2，接收阵列阵元数为N＝N1+N2，单位阵元间距设为λ/2， λ为信号波长。则发射和接收阵列的阵元位置集合和/>为：
假设存在K个远场不相干目标，和θk分别为第k个目标的DOD和DOA， k＝1,…,K。则匹配滤波后的回波信号模型可表示为：
其中， Ar＝[ar(θ1),…,ar(θK)]，/>为发射阵列的方向矢量，为接收阵列的方向矢量； s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T，sk(t)为第k个目标的反射系数，t为信号快拍；n(t)为 高斯白噪声矢量，其元素的均值为0，方差为σ2；/>为Khatri-Rao积，/>为 Kronecker积，T表示矩阵转置。
对于步骤S2：建立虚拟回波信号模型
由式(2)可得回波信号的协方差矩阵为：
R＝E[x(t)xH(t)]＝ARsAH+σ2IMN (3)
其中，为目标协方差矩阵，/>为第k个 目标的信号能量，H为共轭转置，diag[·]表示对角矩阵，E[·]为期望运算。实际 上，当快拍数为L时，其样本协方差矩阵通常近似为/>
协方差矩阵R向量化后可得：
其中， *为共轭运算，vec(·)表示矩阵矢量化。
根据嵌套阵虚拟阵元分布理论，数据矢量z中的虚拟阵元均为连续结构。 为此，可分别从DOD和DOA两个维度选取虚拟连续阵元并以二维结构依次 排列，建立新的观测矢量为：
式中，c为/>维矢量，其第/>行 元素为1，其余位置元素为0，且
其中：
则观测矢量可等效为单快拍条件下虚拟回波信号模型，其中，发射和接 收阵列都为均匀线阵，对应阵元数分别为/>和/> 图1给出了实际物理阵元与虚拟阵元的空间分布。因此，相 比于传统MIMO雷达，嵌套MIMO雷达能够通过增大发射和接收阵元间距实现虚拟孔径有效扩展，因而具有更好的测向性能。
对于步骤S3：构建高阶张量模型
由式(5)可知，观测矢量的虚拟发射和接收阵列阵元个数分别为/>和/>首先，将发射阵列分为Qt个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qt，即Qt＝M2(M1+1)。同理，将接收阵列分为Qr个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为 Qr，即Qr＝N2(N1+1)。则第qtqr个空间分集矢量可表示为：
其中， qt＝1,…,Qt，qr＝1,…,Qr，/>是由矩阵Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由矩阵Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声 矢量。
根据式(9)可知，矢量的维度为QtQr×1。设/> 则/>的第/>个值可表示为：
式中，为对应的噪声标量。结合高阶张量定义和性质，标量/>可视为四阶张量/>的第/>个变量值。则根据式(10)可得张 量/>为：
其中，是由Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声张量， ⊙表示张量积(外积)。
根据式(11)，将张量因子和/>合并，可将四阶张量/>转化为 三阶张量/>即为：
式中，为对应的三阶噪声张量。
根据式(12)中张量模型可假设/> 则张量/>可重新表示为：
对于步骤S4，DOD和DOA联合估计
采用PARAFAC算法求解，则可迭代如下变量求解：
直至收敛为止。其中，表示伪逆运算，Q(1)、Q(2)、Q(3)分别为张量/>的 模-1、模-2、模-3展开数据。由此可估计出的矩阵/>
现采用最小均方(LS)算法利用矩阵估计角度/>设
式中，angle(·)表示取相角运算。根据式(17)可建立LS拟合公式为：
式中，为对应的估计矢量，/>为待估计矢量，且
由式(19)可得矢量的解为：
由(20)式可得：
同理，可采用LS算法结合矩阵估计角度/>
实验结果说明
假设双基地嵌套MIMO雷达发射和接收阵元数分别为M1＝2，M2＝3， N1＝2，N2＝3，即M＝N＝5。估计角度的RMSE计算式为(200次蒙特卡洛仿 真实验)。传统双基地MIMO雷达发射和接收阵列均为均匀线阵，其自由度 为MN＝25。嵌套MIMO雷达发射和接收阵列均为二阶嵌套阵，空间平滑后其 自由度为QtQr＝81，其中，因此，嵌套MIMO雷达比传统MIMO 雷达具有更高的自由度，因而能够检测更多的目标。
实验1：均方误差(RMSE)
图2给出了RMSE随SNR的变化关系，其中，快拍数为200，SNR为[-15dB, 5dB]，信源位置为和/>搜索步 长为0.01°；图3给出了RMSE随快拍数的变化关系，SNR为0dB，搜索步长 为0.01°。由图2～3可知，由于形成更多的虚拟连续阵元，嵌套MIMO雷达比 传统MIMO雷达具有更高的估计精度。相比于前后向空间平滑算法(FBSS)， 张量分解能够利用不同子阵的结构信息，因而具有更高的估计精度，尤其是低 信噪比条件。由于空间平滑算法存在孔径损失，在低SNR范围内，其估计性 能与CRB相距较远。
实验2：角度分辨力
图4给出了不同MIMO雷达角度分辨率对比示意图，其中，SNR为5dB， 快拍数为500，邻近目标空间位置为和/>红色圆圈 表示真实目标方向。从图4可以看出，嵌套MIMO雷达(ALS和FBSS)能够 成功分辨上述两个邻近目标，而传统MIMO雷达无法分辨。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种基于张量结构的嵌套MIMO 雷达角度估计装置，该装置包括：
回波信号模型建立模块，用于建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模 型。
虚拟单快拍回波信号模型建立模块，用于向量化回波信号模型的协方差矩 阵；并根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型。
三阶张量模型建立模块，用于对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列 和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并， 将四阶张量模型降维为三阶张量模型。
联合估计模块，用于根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD 和DOA联合估计。
上述技术方案为本发明实施例提供的一种基于张量结构的嵌套MIMO雷 达角度估计装置，由于该装置解决技术问题的原理与一种基于张量结构的嵌套 MIMO雷达角度估计方法相似，因此该装置的实施可以参见方法的实施，重复 之处不再赘述。
以上公开的仅为本发明的几个具体实施例，本领域的技术人员可以对本发 明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围，但是，本发明实施例并 非局限于此，任何本领域的技术人员能思之的变化都应落入本发明的保护范围 内。
Claims (2)
1.一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计方法，其特征在于，包括：
建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模型；
向量化回波信号模型的协方差矩阵；并根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型；
对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张量模型；
根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联合估计；
所述回波信号模型，如下：
其中，和θk分别为第k个目标的出发方向DOD和到达方向DOA，k＝1,…,K；Ar＝[ar(θ1),…,ar(θK)]；/>为发射阵列的方向矢量，/>为接收阵列的方向矢量；s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T，sk(t)为第k个目标的反射系数，t为信号快拍；n(t)为高斯白噪声矢量，其元素的均值为0，方差为σ2；/>为Khatri-Rao积，/>为Kronecker积，T表示矩阵转置；
所述向量化回波信号模型的协方差矩阵，具体包括：
根据回波信号模型，确定回波信号的协方差矩阵：
R＝E[x(t)xH(t)]＝ARsAH+σ2IMN
当快拍数为L时，协方差矩阵近似为：
向量化近似后的协方差矩阵：
其中，为目标协方差矩阵，/>为第k个目标的信号能量，H为共轭转置，diag[·]表示对角矩阵，E[·]为期望运算；/> *为共轭运算，vec(·)表示矩阵矢量化；
所述根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型，具体包括：
根据嵌套阵虚拟阵元分布理论，确定向量化后协方差矩阵z中的虚拟阵元均为连续结构，并分别从DOD和DOA两个维度选取虚拟连续阵元，以二维结构依次排列，建立虚拟单快拍回波信号模型
其中，双基地嵌套MIMO雷达发射阵列和接收阵列均由传统嵌套阵组成，发射阵列阵元数为M＝M1+M2，接收阵列阵元数为N＝N1+N2；c为维矢量，第/>行元素为1，其余位置元素为0，/>并且
虚拟单快拍回波信号模型的发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，对应阵元数分别为和/>
所述对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型，具体包括：
将发射阵列分为Qt个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qt，即Qt＝M2(M1+1)；将接收阵列分为Qr个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qr，即Qr＝N2(N1+1)；则第qtqr个空间分集矢量表示为：
根据上述可知，矢量的维度为QtQr×1；设/>则/>的第个值可表示为：
根据高阶张量定义和性质，标量视为四阶张量/>的第/>个变量值，则根据上式得四阶张量/>为：
其中，qt＝1,…,Qt，qr＝1,…,Qr，/>是由矩阵Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由矩阵Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声矢量；/>为对应的噪声标量；是由Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声张量，⊙表示张量积或外积；
所述通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张量模型，具体包括：
将张量因子和/>合并，将四阶张量/>转化为三阶张量/>即为：
根据上式中张量模型假设/> 则张量/>重新表示为：
其中，为对应的三阶噪声张量；
所述根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联合估计，具体包括：
对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解，估算矩阵
采用最小均方LS算法，结合矩阵估计角度/>及采用最小均方LS算法，结合矩阵/>估计角度/>
所述对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解，估算矩阵 具体包括：
对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解
直至收敛为止；其中，表示伪逆运算，Q(1)、Q(2)、Q(3)分别为张量/>的模-1、模-2、模-3展开数据；/>分别为与张量/>的模-1、模-2、模-3对应的展开数据；
所述采用最小均方LS算法，结合矩阵估计角度/>具体包括：
设
根据上式建立的LS拟合公式为：
且
由上式得矢量的解为：
由上式得：
其中，angle(·)表示取相角运算；为对应的估计矢量，/>为待估计矢量。
2.一种基于张量结构的嵌套MIMO雷达角度估计装置，其特征在于，包括：
回波信号模型建立模块，用于建立双基地嵌套MIMO雷达的回波信号模型；
虚拟单快拍回波信号模型建立模块，用于向量化回波信号模型的协方差矩阵；并根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型；
三阶张量模型建立模块，用于对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型；并通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张量模型；
联合估计模块，用于根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联合估计；
所述回波信号模型，如下：
其中，和θk分别为第k个目标的出发方向DOD和到达方向DOA，k＝1,…,K； 为发射阵列的方向矢量，为接收阵列的方向矢量；s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T，sk(t)为第k个目标的反射系数，t为信号快拍；n(t)为高斯白噪声矢量，其元素的均值为0，方差为σ2；/>为Khatri-Rao积，/>为Kronecker积，T表示矩阵转置；
所述向量化回波信号模型的协方差矩阵，具体包括：
根据回波信号模型，确定回波信号的协方差矩阵：
R＝E[x(t)xH(t)]＝ARsAH+σ2IMN
当快拍数为L时，协方差矩阵近似为：
向量化近似后的协方差矩阵：
其中，为目标协方差矩阵，/>为第k个目标的信号能量，H为共轭转置，diag[·]表示对角矩阵，E[·]为期望运算；/> *为共轭运算，vec(·)表示矩阵矢量化；
所述根据虚拟连续阵元分布，建立虚拟单快拍回波信号模型，具体包括：
根据嵌套阵虚拟阵元分布理论，确定向量化后协方差矩阵z中的虚拟阵元均为连续结构，并分别从DOD和DOA两个维度选取虚拟连续阵元，以二维结构依次排列，建立虚拟单快拍回波信号模型
其中，双基地嵌套MIMO雷达发射阵列和接收阵列均由传统嵌套阵组成，发射阵列阵元数为M＝M1+M2，接收阵列阵元数为N＝N1+N2；c为维矢量，第/>行元素为1，其余位置元素为0，/>并且
虚拟单快拍回波信号模型的发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，对应阵元数分别为和/>
所述对虚拟单快拍回波信号模型的虚拟发射阵列和虚拟接收阵列，进行空间平滑，构建四阶张量模型，具体包括：
将发射阵列分为Qt个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qt，即Qt＝M2(M1+1)；将接收阵列分为Qr个前向平滑子阵，每个子阵阵元数为Qr，即Qr＝N2(N1+1)；则第qtqr个空间分集矢量表示为：
根据上述可知，矢量的维度为QtQr×1；设/>则/>的第个值可表示为：
根据高阶张量定义和性质，标量视为四阶张量/>的第/>个变量值，则根据上式得四阶张量/>为：
其中，qt＝1,…,Qt，qr＝1,…,Qr，/>是由矩阵Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由矩阵Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声矢量；/>为对应的噪声标量；是由Bt的后Qt行组成的子矩阵，/>是由Br的后Qr行组成的子矩阵，/>为对应的噪声张量，⊙表示张量积或外积；
所述通过张量因子合并，将四阶张量模型降维为三阶张量模型，具体包括：
将张量因子和/>合并，将四阶张量/>转化为三阶张量/>即为：
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所述根据三维张量模型，采用复平行因子算法，进行DOD和DOA联合估计，具体包括：
对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解，估算矩阵采用最小均方LS算法，结合矩阵/>估计角度/>及采用最小均方LS算法，结合矩阵/>估计角度/>
所述对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解，估算矩阵 具体包括：
对三维张量模型中的变量B1、B2、H进行迭代求解
直至收敛为止；其中，表示伪逆运算，Q(1)、Q(2)、Q(3)分别为张量/>的模-1、模-2、模-3展开数据；/>分别为与张量/>的模-1、模-2、模-3对应的展开数据；
所述采用最小均方LS算法，结合矩阵估计角度/>具体包括：
设
根据上式建立的LS拟合公式为：
且
由上式得矢量的解为：
由上式得：
其中，angle(·)表示取相角运算；为对应的估计矢量，/>为待估计矢量。
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