CN104931931A - 互耦条件下基于张量实值子空间的双基地mimo雷达角度估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于双基地MIMO雷达系统技术领域，具体涉及一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法。本发明包括：发射阵列发射相互正交的相位编码信号；在三阶测量张量中提取一个子张量以消除未知互耦的影响；将子张量转换成为实值的，并利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间；利用实值信号子空间实现对未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计。本发明考虑了接收数据固有的多维结构，利用HOSVD技术比传统SVD/EVD方法更有效地抑制了噪声，角度估计性能得以提高，本发明比相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法都具有更好的角度估计性能。

Description

互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法

技术领域

本发明属于双基地MIMO雷达系统技术领域，具体涉及一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法。

背景技术

角度估计问题在阵列处理应用中是最基本的方面，对于传统阵列处理，例如单输入多输出(SIMO)结构，人们已经提出了许多角度估计技术。最近，一种新型阵列处理结构，多输入多输出(MIMO)雷达，为参数估计提供了新视点，尤其是对联合波离方向(DOD)和波达方向(DOA)的估计。MIMO雷达可以分为两类，统计MIMO雷达和相干MIMO雷达。统计MIMO雷达由彼此分离的天线组成，但是相干MIMO雷达由紧密共置的发射和接收天线组成。文章研究的是相干MIMO雷达。

最近几年里，波离方向(DOD)和波达方向(DOA)估计问题在具有紧密共置天线的双基地MIMO雷达中吸引越来越多的关注，对于这个问题人们已经提出了很多算法。一种基于Capon估计量的二维空间搜索技术(EURASIP Journal on Advances in Signal Processing，2008，Article ID 283483，8pp)被提出来估计DOD和DOA，且能够自动正确地匹配。然而，由于二维空间搜索，涉及到了高计算量。为了避免空间搜索过程，在双基地MIMO雷达的发射阵列和接收阵列应用了旋转不变技术(ESPRIT)对信号参数进行估计，然后DOD和DOA通过两个独立的ESPRITs获得。因此，这需要附加匹配过程。一种不需要匹配的ESPRIT算法(Electronics Letters，2008，44(24)：1422-1423)，和另外一种方法(Electronics Letters，2008，44(12)：770-771)比具有更低的计算复杂度且提供了相似的角度估计性能。此外，利用非圆信号的特点，人们提出了共轭ESPRIT(C-ESPRIT)(Signal processing，2013，93：2070-2075)和酉共轭ESPRIT算法(IEICE Transations on Electronics，2012，96(1)：124-126)，比基于ESPRIT的方法提供更好的角度估计性能。另一方面，考虑到在发射阵列和接收阵列都存在的互耦影响，以上所提的算法中角度估计准确度均大大降低。为了解决这一问题，人们提出了相似MUSIC算法(Signal processing，2012，92(2)：527-522)和相似ESPRIT算法(Signal processing，2012，92(12)：3039-3048)对双基地MIMO雷达的角度和互耦进行估计。然而，上述提到的所有方法都需要将接收数据堆积到一个特殊结构的矩阵中，忽略了接收数据固有的高维结构。然后信号子空间或者噪声子空间通过协方差矩阵的特征值分解(EVD)或者接收数据的奇异值分解(SVD)估计出来。多SVD技术(Signal processing，2013，93(7)：2003-2009)根据双基地MIMO雷达接收数据的多维结构分别估计DOD和DOA，比传统ESPRIT算法提供更好的角度估计，尤其在低SNR区域和有限快拍情况下，但是其角度估计算法不适用互耦的存在。

发明内容

本发明的目的在于克服上述方法的缺陷，提出一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法。

本发明的目的是这样实现的：

互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法，包括如下步骤：

(1)发射阵列发射相互正交的相位编码信号，接收端进行匹配滤波处理后获得接收数据，并根据接收数据固有的多维结构，构造一个三阶测量张量信号模型；

(2)利用互耦矩阵具有的带状对称Toeplitz结构特点，在三阶测量张量中提取一个子张量以消除未知互耦的影响；

(3)通过前后空间平滑均值和酉变换技术，将子张量转换成为实值的，并利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间；

(4)根据实值信号子空间和实值导向矩阵由相同的子空间生成，利用实值信号子空间实现对未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计。

所述步骤(1)包括如下步骤：

(1.1)根据未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达系统的结构可知，接收阵列的输出为

X(t_l)＝[C_rA_r]Σ_l[C_tA_t]^TS+W(t_l)  l＝1,2,...,L

其中C_t和C_r分别是发射和接收阵列的互耦矩阵，是第l个脉冲周期的接收数据。A_r＝[a_r(θ₁),…,a_r(θ_P)]和分别是接收和发射导向矩阵，a_r(θ_p)和a_t(θ_p)分别是接收和发射导向矢量，Σ_l＝diag(c_l)由组成，和 是RCS衰减系数和目标多普勒频率，W是白噪声与目标不相关；

(1.2)利用发射波的正交性，匹配滤波器的输出为

Y(t_l)＝[C_rA_r]Σ[C_tA_t]^T+N(t_l)  l＝1,2,...,L

其中N＝(1/J)WS^H，(1/J)SS^H＝I_M；

(1.3)沿着三维不同方向堆栈矩阵Y(t_l)(l＝1,2,...,L)构建N×M×L测量张量利用张量的矩阵展开技术，有

式中

所述步骤(2)包括如下步骤：

(2.1)利用互耦矩阵C_r和C_t的结构特点，定义两个选择矩阵为

J₁＝[0_(M-2K)×K I_{(M-2K)×(M-2K)} 0_(M-2K)×K]；

J₂＝[0_(N-2K)×K I_{(N-2K)×(N-2K)} 0_(N-2K)×K]；

将Y(t_l)(l＝1,2,...,L)的左边和右边分别乘以选择矩阵J₂和J₁，有

$\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)=J_{2}Y\left(t_l\right)J_1,l=1,2,\mathrm{...},L;$

对于中的每个元素是恒量；

$\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)={\stackrel{\‾}{A}}_r\stackrel{\‾}{\Σ}{\stackrel{\‾}{A}}_t^T+\stackrel{\‾}{N}\left(t_l\right)& l=1,2,\mathrm{...},L\end{array}$

其中和分别是A_r和A_t的前和行， $\stackrel{\‾}{\Σ}=diag(\[{\mathrm{v\β}}_1{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},{\mathrm{v\β}}_2{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},\mathrm{...},{\mathrm{v\β}}_p{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l}\]);$

(2.3)对测量张量进行线性变换，基于n模张量矩阵积，从测量张量中提取一个,测量子张量：

所述步骤(3)包括如下步骤：

(3.1)对子张量应用前后空间平滑均值技术

其中表示沿着第n模和的连结，Π_n是反对角元素为1其他为0的n×n交换矩阵，获得实值张量如下，

其中U_2K+1是酉矩阵，通过去除U_2K+1的中心行和列可获得U_2K，U_2K+1定义为

$U_{2K+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}{I}_K& 0& {\mathrm{jI}}_K\\ 0^T& \sqrt{2}& 0^T\\ {\Π}_K& 0& -j{\Π}_K\end{array}\right]$

(3.2)利用缩减的HOSVD定义的实值子空间张量：

其中是简化的核心张量，E_si(i＝1,2,3)包含E_i的前P个主要奇异向量，和是酉矩阵，分别由的i模矩阵展开 的左奇异向量组成，将代入公式(11)，有

基于模积的性质，实值信号子空间如下

其中

所述步骤(4)包括如下步骤：

(4.1)实值信号子空间E_s和实值导向矩阵由相同的子空间生成，即 其中T是满秩矩阵；

(4.2)二维酉MUSIC算法，构造空间峰值搜索函数以估计DOD和DOA，如下所示

其中和分别由和的前和个元素构成， $F_n=I_{\stackrel{\‾}{N}\×\stackrel{\‾}{M}}-E_{s0}{E}_{s0}^H$ 且E_s0是E_s的正交基，通过搜索公式的空间峰值获得DOD和DOA并且能够自动匹配；

(4.3)酉ESPRIT算法：实值信号子空间E_s可分为四部分，存在以下旋转不变等式

Γ₂E_s＝Γ₂E_sψ_t,Γ₄E_s＝Γ₃E_sψ_r

其中Γ₁和Γ₂分别是的实部和虚部且 Γ₃和Γ₄是的实部和虚部且 ψ_t＝ΥΦ_tΥ^-1和ψ_r＝ΥΦ_rΥ^-1是旋转不变矩阵， 利用最小二乘或总体最小二乘算法估计出ψ_t和ψ_r，按如下所示的方法进行匹配

ψ_t+jψ_r＝Υ(Φ_t+jΦ_r)Υ^-1

Φ_t和Φ_r从ψ_t+jψ_r的奇异值实虚部分获得，DOD和DOA可自动匹配，推导得

其中Υ_tp和Υ_rp分别是Φ_t和Φ_r的第p个对角元素。

本发明的有益效果在于：

1、本发明考虑了接收数据固有的多维结构，利用HOSVD技术比传统SVD/EVD方法更有效地抑制了噪声，角度估计性能得以提高，本发明比相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法都具有更好的角度估计性能；

2、本发明利用了接收数据的多维结构和前后空间平滑均值技术，本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)比相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法具有更低的SNR临界值；

3、本发明由于以上所提技术的应用，在较低脉冲情况下，本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)的角度估计性能优于相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法；

4、本发明解决了相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法存在不适用于相干目标等缺点，本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)对于相干目标是有效的且提供精确的角度估计性能。

附图说明

图1是本发明的整体框架图

图2不同算法互耦条件下K＝1时角度估计的均方根误差和信噪比的关系

图3不同算法互耦条件下K＝2时角度估计的均方根误差和信噪比的关系

图4不同算法互耦条件下K＝1时目标分辨成功概率和信噪比的关系

图5不同算法互耦条件下K＝1时角度估计的均方根误差和脉冲的关系

图6不同算法互耦条件下K＝1时对于两个相干目标角度估计的均方根误差

具体实施方案

下面结合波达方向估计的框架图对本发明做更详细的描述

本发明提供一种未知互耦误差条件下基于张量实值子空间的双基地多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)雷达联合波离方向(Direction of departure，简称DOD)和波达方向(Direction of arrival，简称DOA)估计方法，主要是为了解决目前双基地MIMO雷达系统中的角度估计方法存在不适用于互耦存在和相干目标，忽略了接收数据固有的高维结构以及估计精度不理想等缺点。首先利用均匀线性阵列互耦矩阵的特殊结构从张量数据中提取消除了互耦影响后的子张量。然后构造从实值张量中获得的信号子空间以估计DOD和DOA。其过程为：获得双基地MIMO雷达系统的接收信号，根据接收数据固有的多维结构，构造三阶测量张量信号模型；然后利用互耦矩阵(MCM)带状对称Toeplitz结构的特点，在三阶测量张量中提取一个子张量以消除未知互耦的影响；通过前后空间平滑均值和酉变换技术，将子张量转换成为实值的，并利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间；最后根据实值信号子空间和实值导向矩阵由相同的子空间生成，结合实值子空间方法，实现对双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计。与未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达现有的相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法相比，本发明具有更好的角度估计性能和更低的SNR临 界值，在小脉冲情况下，本发明的角度估计性能也优于相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法，并且能够很好地适用于相干目标。

本发明利用经过匹配滤波器后接收数据固有的多维结构，构造一个三阶测量张量信号模型；然后利用互耦矩阵(MCM)的特殊结构，在三阶测量张量中提取一个没有互耦影响的子张量，并且通过前后空间平滑均值和酉变换将子张量转换为实值的；最后利用高阶SVD(HOSVD)张量分解技术估计实值信号子空间。结合基于实值子空间的方法，例如酉MUSIC和酉ESPRIT，DOD和DOA能够被估计出来，其中DOD和DOA是自动匹配的。与未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达现有的相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法相比，本发明具有更好的角度估计性能和更低的SNR临界值，在小脉冲情况下，比相似MUSIC和相似ESPRIT算法都提供更好的角度估计，并且能够很好地适用于相干目标。本发明DOA估计方法主要包括以下几个方面：

1、根据未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达系统的结构和匹配滤波处理后获得接收数据固有的多维结构，构造三阶测量张量信号模型。

定义1：(矩阵展开)。定义一个张量张量的n模矩阵展开表示为 的第(i₁,i₂,…,i_N)个元素映射到的第(i_n,j)个元素，其中并且  $J_k={\Π}_{m=1,m\≠n}^{k-1}{I}_m.$

定义2：(n模张量矩阵积)：与一个矩阵的n模积为其中

定义3：(模积的性能)。模积的性能如下所示：

考虑一个具有M个发射天线和N个接收天线的窄带双基地多输入多输出(MIMO)雷达系统。发射阵列和接收阵列都是由空间距为半个波长的均匀线性阵列(ULA)构成。在发射阵列，M个发射天线用来发射M个正交窄带波其中J是每个脉冲周期的样本数。假设所有目标均为远场点散射体，并且假设在感兴趣的相同距离库内有P个不相关目标。第P个目标的波离方向(DOD)和波达方向(DOA)分别表示为和θ_P。考虑在发射阵列和接收阵列都具有互耦误差的影响，同时假设发射阵列和接收阵列互耦系数的非零个数 均为K+1且{M,N}＞2K。发射阵列和接收阵列的互耦矩阵为带状对称Toeplitz矩阵，表示为

C_t＝toeplitz{[c_t0,c_t1,…,c_tK,0,…,0]}

                       (3) 

C_r＝toeplitz{[c_r0,c_r1,…,c_rK,0,…,0]}

其中c_iK,(i＝r,t,k＝0,1,...,K)是互耦系数，其与两个元素的距离相关并且满足0＜|c_tK|＜...＜|c_t1|＜|c_t0|＝1。接收阵列的输出为

X(t_l)＝[C_rA_r]Σ_l[C_tA_t]^TS+W(t_l)  l＝1,2,...,L       (4) 

其中是第l个脉冲周期的接收数据，L是脉冲个数。A_r＝[a_r(θ₁),…,a_r(θ_P)]和 分别是接收导向矩阵和发射导向矩阵。  $a_r\left({\mathrm{\θ}}_p\right)={\[1,e^{{\mathrm{j\πsin\θ}}_p},\mathrm{...},e^{j\mathrm{\π}(N-1){\mathrm{sin\θ}}_p}\]}^T$ 和分别是接收导向矢量和发射导向矢量，其中p＝1,2,...,P。Σ_l＝diag(c_l)由组成， 和分别是RCS衰减系数和目标的多普勒频率。W为白噪声且与目标不相关。利用发射波的正交性，表示为(1/J)SS^H＝I_M，将公式(4)与(1/J)S^H相乘，则匹配滤波器的输出为

Y(t_l)＝[C_rA_r]Σ[C_tA_t]^T+N(t_l)  l＝1,2,...,L     (5) 

其中N＝(1/J)WS^H。基于定义1中张量的矩阵展开，公式(5)中每个脉冲的接收数据矩阵可以认为是沿着脉冲方向(三维)的一部分。然后沿着三维不同方向堆栈矩阵Y(t_l)(l＝1,2,...,L)以构建N×M×L测量张量对张量利用矩阵展开技术，有

其中

2、利用互耦矩阵具有的带状对称Toeplitz结构特点，在三阶测量张量中提取一个子张量以消除未知互耦的影响。

利用公式(3)中互耦矩阵C_r和C_t的结构特点，定义两个选择矩阵为

J₁＝[0_(M-2K)×K I_{(M-2K)×(M-2K)} 0_(M-2K)×K]      (7a) 

J₂＝[0_(N-2K)×K I_{(N-2K)×(N-2K)} 0_(N-2K)×K]   (7b)

然后将Y(t_l)(l＝1,2,...,L)的左边和右边分别乘以选择矩阵J₂和J₁，有

$\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)=J_{2}Y\left(t_l\right)J_1,l=1,2,\mathrm{...},L---\left(8\right)$

的第个元素表示如下

其中 $1\≤\stackrel{\‾}{n}\≤\stackrel{\‾}{N}=N-2K,1\≤\stackrel{\‾}{m}\≤\stackrel{\‾}{M}=M-2K.s_{p,l}={\mathrm{\β}}_p{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},v_{rp}={\mathrm{\Σ}}_{k=-K}^K{c}_{r\left|k\right|}{e}^{j\mathrm{\π}(k+K)sin\left({\mathrm{\θ}}_p\right)},$ 以及根据公式(9)可以得出结论对于中的每个元素是恒量，即通过公式(8)中的线性变换互耦影响可以消除。因此公式(8)可以重新写为

$\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)={\stackrel{\‾}{A}}_r\stackrel{\‾}{\Σ}{\stackrel{\‾}{A}}_t^T+\stackrel{\‾}{N}\left(t_l\right)& l=1,2,\mathrm{...},L\end{array}---\left(10\right)$

其中和分别是A_r和A_t的前和行。 $\stackrel{\‾}{\Σ}=diag(\[{\mathrm{v\β}}_1{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},{\mathrm{v\β}}_2{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},\mathrm{...},{\mathrm{v\β}}_p{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l}\]).$ 公式(8)中的操作仅考虑了测量张量的一部分。现在对测量张量进行线性变换。根据定义2，从测量张量中提取一个新的测量子张量，表示如下

利用公式(11)中的操作，沿着脉冲方向的每一部分对应着(10)中Y(t_l)(l＝1,2,...,L)的数据。因此，在互耦存在情况下测量子张量数据是稳健的。

3、通过前后空间平滑均值和酉变换技术，将子张量转换成为实值的，并利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间。

利用前后空间平滑均值和酉变换技术，将子张量转换成为实值的，如下所示

对子张量应用前后平滑均值技术，有

其中表示沿着第n模和的连结，Π_n是反对角元素为1其他为0的n×n交换矩阵。利用前后平滑均值技术后，张量是中心Hermitian矩阵，并且通过酉变换能够转换成一系列实值张量。获得实值张量如下

其中U_2K+1是酉矩阵，定义为

$U_{2K+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}{I}_K& 0& {\mathrm{jI}}_K\\ 0^T& \sqrt{2}& 0^T\\ {\Π}_K& 0& -j{\Π}_K\end{array}\right]---\left(14\right)$

通过去除中心行和中心列，U_2K容易从U_2K+1中获得。

利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间，如下所示

给出的HOSVD如下

其中是核心张量。和是酉矩阵，分别由的i模矩阵展开的左奇异向量组成。由于张量的秩为P，可以利用 缩减的HOSVD定义的实值子空间张量，如下所示

其中是简化的核心张量，E_si(i＝1,2,3)包含E_i的前P个主要奇异向量。将代入公式(16)，根据公式(1)，有

基于公式(2)，实值信号子空间如下所示

其中

4、根据实值信号子空间和实值导向矩阵由相同的子空间生成，利用实值信号子空间实现对未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计。

实值信号子空间和实值导向矩阵由相同的子空间生成，如下所示

由于Z的SVD可以表示为然后将代入公式(18)，有

$E_s=(E_{s2}{E}_{s2}^H\⊗E_{s1}{E}_{s1}^H)V_{3s}^{*}{\mathrm{\Λ}}_{3s}---\left(19\right)$

根据公式(16)—(19)可以得出结论，实值E_s1和E_s2生成相同的信号子空间，即实值发射导向矩阵和实值接收导向矩阵此外，实值信号子空间可以表示为其中T₁是满秩矩阵。信号子空间和导向矩阵间的已知特性为  $E_{s1}{E}_{s1}^H={\hat{A}}_r{\left({\hat{A}}_r^H{\hat{A}}_r\right)}^{-1}{\hat{A}}_r^H$ 和 $E_{s2}{E}_{s2}^H={\hat{A}}_t{\left({\hat{A}}_t^H{\hat{A}}_t\right)}^{-1}{\hat{A}}_t^H.$ 因此，将代入公式(19)，如下所示

由于T₁和Λ_3s都是满秩矩阵，故T＝T₁Λ_3s也是满秩矩阵，因此实值信号子空间E_s和实值导向矩阵由相同的子空间生成，即其中T是满秩矩阵。由此得出结论，通过结合实值子空间方法例如酉MUSIC和酉ESPRIT，实值信号子空间E_s可以用来估计DOD和DOA。

利用实值信号子空间实现对未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计，如下所示

基于二维酉MUSIC的算法：利用实值噪声子空间和实值导向矢量的正交特性，构造一个二维酉MUSIC空间峰值搜索函数以估计DOD和DOA，如下所示

其中和分别由和a_r(θ)的前和个元素构成。 $F_n=I_{\stackrel{\‾}{N}\×\stackrel{\‾}{M}}-E_{s0}{E}_{s0}^H,$ 其中E_s0是E_s的正交基。然后通过搜索公式(21)的空间峰值可以获得DOD和DOA并且能够自动匹配。

基于酉ESPRIT的算法：为了应用酉ESPRIT算法对DOD和DOA进行估计，实值信号子空间E_s可以分为四部分，且存在以下旋转不变性等式

Γ₂E_s＝Γ₂E_sψ_t,Γ₄E_s＝Γ₃E_sψ_r      (22) 

其中和并且 和  ${\mathrm{\Γ}}_4=lm\left\{(U_{\stackrel{\‾}{M}}\⊗U_{\stackrel{\‾}{N}-1})J_4^{\mathrm{\θ}}(U_{\stackrel{\‾}{N}}\⊗U_{\stackrel{\‾}{N}})\right\}$ 并且 $J_4^{\mathrm{\θ}}=I_{\stackrel{\‾}{M}}\⊗\[0_{(\stackrel{\‾}{N}-1)\×1},I_{(\stackrel{\‾}{N}-1)\×(\stackrel{\‾}{N}-1)}\].$ ψ_t＝ΥΦ_tΥ^-1和ψ_r＝ΥΦ_rΥ^-1分别是包含DOD和DOA信息的旋转不变矩阵，其中 以及Φ_r＝diag([tan(πsinθ₁/2)，tan(πsinθ₂/2)，...，tan(πsinθ_p/2)])然后通过利用公式(22)中的最小二乘(LS)或者总体最小二乘(TLS)算法能够估计出ψ_t和ψ_r。为了避免匹配操作过程，可以利用如下匹配方法

ψ_t+jψ_r＝Υ(Φ_t+jΦ_r)Υ^-1      (23) 

对角矩阵Φ_t和Φ_r能够从ψ_t+jψ_r的奇异值实虚部分获得。然后DOD和DOA能够自动匹配，推导出DOD和DOA为

其中Υ_tp和Υ_rp分别是Φ_t和Φ_r的第p个对角元素。

步骤一、建立未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达的接收信号模型。

定义4：(矩阵展开)。定义一个张量张量的n模矩阵展开表示为 的第(i₁,i₂,…,i_N)个元素映射到的第(i_n,j)个元素，其中并且  $J_k={\Π}_{m=1,m\≠n}^{k-1}{I}_m.$

定义5：(n模张量矩阵积)：与一个矩阵的n模积表示为 其中

定义6：(模积的性能)。模积的性能如下所示：

考虑一个具有M个发射天线和N个接收天线的窄带双基地多输入多输出(MIMO)雷达系统。发射阵列和接收阵列都是由空间距为半个波长的均匀线性阵列(ULA)构成。在发射阵列，M个发射天线用来发射M个正交窄带波其中J是每个脉冲周期的样本数。假设所有目标均为远场点散射体，并且假设在感兴趣的相同距离库内有P个不相关目标。第P个目标的波离方向(DOD)和波达方向(DOA)分别表示为和θ_P。考虑在发射阵列和接收阵列都具有互耦误差的影响，同时假设发射阵列和接收阵列互耦系数的非零个数均为K+1且{M,N}＞2K。发射阵列和接收阵列的互耦矩阵为带状对称Toeplitz矩阵，表示为

C_t＝toeplitz{[c_t0,c_t1,…,c_tK,0,…,0]}

                 (27) 

C_r＝toeplitz{[c_r0,c_r1,…,c_rK,0,…,0]}

其中c_iK,(i＝r,t,k＝0,1,...,K)是互耦系数，其与两个元素的距离相关并且满足0＜|c_tK|＜...＜|c_t1|＜|c_t0|＝1。接收阵列的输出为

X(t_l)＝[C_rA_r]Σ_l[C_tA_t]^TS+W(t_l)  l＝1,2,...,L     (28) 

其中是第l个脉冲周期的接收数据，L是脉冲个数。A_r＝[a_r(θ₁),…,a_r(θ_P)]和 分别是接收导向矩阵和发射导向矩阵。  $a_r\left({\mathrm{\θ}}_p\right)={\[1,e^{{\mathrm{j\πsin\θ}}_p},\mathrm{...},e^{j\mathrm{\π}(N-1){\mathrm{sin\θ}}_p}\]}^T$ 和分别是接收导向矢量和发射导向矢量，其中p＝1,2,...,P。Σ_l＝diag(c_l)由组成， 和分别是RCS衰减系数和目标的多普勒频率。W是时间和空间白噪声且与目标不相关。利用发射波的正交性，表示为(1/J)SS^H＝I_M，将公式(28)与(1/J)S^H相乘，则匹配滤波器的输出为

Y(t_l)＝[C_rA_r]Σ[C_tA_t]^T+N(t_l)  l＝1,2,...,L    (29) 

其中N＝(1/J)WS^H。

步骤二、根据未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达系统的结构和匹配滤波处理后获得接收数据固有的多维结构，构造三阶测量张量信号模型。

基于定义4中张量的矩阵展开，公式(29)中每个脉冲的接收数据矩阵可以认为是沿着脉冲方向(三维)的一部分。然后沿着三维不同方向堆栈矩阵Y(tl)(l＝1,2,...,L)以构建N×M×L测量张量利用张量的矩阵展开技术，有

其中

步骤三、利用互耦矩阵具有的带状对称Toeplitz结构特点，在三阶测量张量中提取一个子张量以消除未知互耦的影响。

利用公式(27)中互耦矩阵C_r和C_t的结构特点，定义两个选择矩阵为

J₁＝[0_(M-2K)×K I_{(M-2K)×(M-2K)} 0_(M-2K)×K]        (31a) 

J₂＝[0_(N-2K)×K I_{(N-2K)×(N-2K)} 0_(N-2K)×K]        (31b) 

然后将Y(t_l)(l＝1,2,...,L)的左边和右边分别乘以选择矩阵J₂和J₁，有

$\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)=J_{2}Y\left(t_l\right)J_1,l=1,2,\mathrm{...},L---\left(32\right)$

的第个元素表示如下

其中 $1\≤\stackrel{\‾}{n}\≤\stackrel{\‾}{N}=N-2K,1\≤\stackrel{\‾}{m}\≤\stackrel{\‾}{M}=M-2K.s_{p,l}={\mathrm{\β}}_p{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},v_{rp}={\mathrm{\Σ}}_{k=-K}^K{c}_{r\left|k\right|}{e}^{j\mathrm{\π}(k+K)sin\left({\mathrm{\θ}}_p\right)},$ 以及根据公式(33)可以得出结论对于中的每个元素是恒量，即通过公式(32)中的线性变换互耦影响可以消除。因此公 式(32)可以重新写为

$\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)={\stackrel{\‾}{A}}_r\stackrel{\‾}{\Σ}{\stackrel{\‾}{A}}_t^T+\stackrel{\‾}{N}\left(t_l\right)& l=1,2,\mathrm{...},L\end{array}---\left(34\right)$

其中和分别是A_r和A_t的前和行。 $\stackrel{\‾}{\Σ}=diag(\[{\mathrm{v\β}}_1{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},{\mathrm{v\β}}_2{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l},\mathrm{...},{\mathrm{v\β}}_p{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{dp}l}\]).$ 公式(32)中的操作仅考虑了测量张量的一部分。现在对测量张量进行线性变换。根据定义5，从测量张量中提取一个新的测量子张量，表示如下

利用公式(35)中的操作，沿着脉冲方向的每一部分对应着(34)中Y(t_l)(l＝1,2,...,L)的数据。因此，在互耦存在情况下测量子张量数据是稳健的。

步骤四、利用前后空间平滑均值和酉变换技术，将子张量转换成为实值的。

对子张量应用前后空间平滑均值技术，有

其中表示沿着第n模和的连结，Π_n是反对角元素为1其他为0的n×n交换矩阵。利用前后平滑均值技术后，张量是中心Hermitian矩阵，并且通过酉变换能够转换成一系列实值张量。获得实值张量如下所示

其中U_2K+1是酉矩阵，通过去除U_2K+1的中心行和列可获得U_2K。U_2K+1定义为

$U_{2K+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}{I}_K& 0& {\mathrm{jI}}_K\\ 0^T& \sqrt{2}& 0^T\\ {\Π}_K& 0& -j{\Π}_K\end{array}\right]---\left(38\right)$

步骤五、利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间。

给出的HOSVD如下

其中是核心张量。和是酉矩阵，分别由的i模矩阵展开的左奇异向量组成。由于张量的秩为P，可以利用 缩减的HOSVD定义的实值子空间张量，如下所示

其中是简化的核心张量，E_si(i＝1,2,3)包含E_i的前P个主要奇异向量。将代入公式(40)，根据公式(25)，有

基于公式(26)，实值信号子空间如下所示

其中

步骤六、根据实值信号子空间和实值导向矩阵由相同的子空间生成，利用实值信号子空间实现对未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计。

由于Z的SVD可以表示为然后将代入公式(42)，有

$E_s=(E_{s2}{E}_{s2}^H\⊗E_{s1}{E}_{s1}^H)U_{3s}^{*}{\mathrm{\Λ}}_{3s}---\left(43\right)$

根据公式(40)—(43)可以得出结论，实值E_s1和E_s2生成相同的信号子空间，即实值发射导向矩阵和实值接收导向矩阵此外，实值信号子空间可以表示为其中T₁是满秩矩阵。信号子空间和导向矩阵间的已知特性为  $E_{s1}{E}_{s1}^H={\hat{A}}_r{\left({\hat{A}}_r^H{\hat{A}}_r\right)}^{-1}{\hat{A}}_r^H$ 和 $E_{s2}{E}_{s2}^H={\hat{A}}_t{\left({\hat{A}}_t^H{\hat{A}}_t\right)}^{-1}{\hat{A}}_t^H.$ 因此，将代入公式(43)，如下所示

由于T₁和Λ_3s都是满秩矩阵，故T＝T₁Λ_3s也是满秩矩阵，因此实值信号子空间E_s和实值导向矩阵由相同的子空间生成，即其中T是满秩矩阵。由此可以得出结论，通过结合实值子空间方法例如酉MUSIC和酉ESPRIT，实值信号子空间E_s可以用来估计DOD和DOA。具体方法如下。

基于二维酉MUSIC的算法：利用实值噪声子空间和实值导向矢量的正交特性，构造一个二维酉MUSIC空间峰值搜索函数以估计DOD和DOA，如下所示

其中和分别由和a_r(θ)的前和个元素构成。 $F_n=I_{\stackrel{\‾}{N}\×\stackrel{\‾}{M}}-E_{s0}{E}_{s0}^H,$ 其中E_s0是E_s的正交基。然后通过搜索公式(45)的空间峰值可以获得DOD和DOA并且能够自 动匹配。

基于酉ESPRIT的算法：为了应用酉ESPRIT算法对DOD和DOA进行估计，实值信号子空间E_s可以分为四部分，且存在以下旋转不变性等式

Γ₂E_s＝Γ₂E_sψ_t,Γ₄E_s＝Γ₃E_sψ_r       (46) 

其中和并且 和  ${\mathrm{\Γ}}_4=Im\left\{(U_{\stackrel{\‾}{M}}\⊗U_{\stackrel{\‾}{N}-1})J_4^{\mathrm{\θ}}(U_{\stackrel{\‾}{M}}\⊗U_{\stackrel{\‾}{N}})\right\}$ 并且 $J_4^{\mathrm{\θ}}=I_{\stackrel{\‾}{M}}\⊗\[0_{(\stackrel{\‾}{N}-1)\×1},I_{(\stackrel{\‾}{N}-1)\×(\stackrel{\‾}{N}-1)}\].$ ψ_t＝ΥΦ_tΥ^-1和ψ_r＝ΥΦ_rΥ^-1分别是包含DOD和DOA信息的旋转不变矩阵，其中 以及Φ_r＝diag([tan(πsinθ₁/2),tan(πsinθ₂/2),...,tan(πsinθ_p/2)])。然后通过利用公式(46)中的最小二乘(LS)或者总体最小二乘(TLS)算法能够估计出ψt和ψr。为了避免匹配操作过程，可以利用如下的匹配方法

ψ_t+jψ_r＝Υ(Φ_t+jΦ_r)Υ^-1       (47) 

对角矩阵Φ_t和Φ_r能够从ψ_t+jψ_r的奇异值实虚部分获得。然后DOD和DOA能够自动匹配，推导得DOD和DOA分别为

其中Υ_tp和Υ_rp分别是Φ_t和Φ_r的第p个对角元素。

本发明的效果可通过以下仿真说明：

(一)运算复杂度分析：

对于一个M×N复矩阵，缩减的SVD到秩为K的计算复杂度为O(MNK)。另外，由于两个复值矩阵乘法的计算复杂度通常是两个实值矩阵乘法的四倍，因此实值操作后的计算复杂度减少了大约75％。本发明中，信号子空间E_s通过实值子张量矩阵展开的三个缩减SVD能够估计出来。本发明的计算复杂度是基于矩阵的子空间方法(例如相似ESPRIT)需要估计复值信号子空间。因此，本发明和基于矩阵的子空间方法具有相似的计算复杂度。

(二)仿真条件与内容：

我们实现一些数值仿真来验证本发明的有效性和优点。将本发明与相似MUSIC算法和 相似ESPRIT算法进行了对比。以下仿真中假设一个窄带双基地MIMO雷达，发射天线M＝8且接收天线N＝10。在发射端，第m个发射波是的第m行，其中H_J是J×J矩阵并且J＝256。仿真大多数情况中，假设不相关目标数是P＝3，三个目标坐落于 均方根误差(RMSE)用来评估角度估计性能，按如下公式计算

其中和分别是第i次Monte Carlo试验和DOAθ_p的估计。Q是Monte Carlo试验次数。信噪比(SNR)定义为 $SNR=10{\log }_{10}\left({\mathrm{\Σ}}_{l=1}^L\right||\[C_r{A}_r\]{\mathrm{\Σ}}_l{\[C_t{A}_t\]}^{T}s|{|}_F^2/{\mathrm{\Σ}}_{l=1}^L\left|\right|W\left(t_l\right)\left|{|}_F^2\right).$ 基于MUSIC方法的空间网格为0.001°并且在以下仿真中选取Q＝200。

(三)仿真结果：

1、不同算法互耦条件下K＝1和2时角度估计的均方根误差和信噪比的关系

第一个仿真中，我们首先研究了以下两种情况时角度估计性能的RMSE：(1)K＝1，[c_t0，c_t1]＝[1,0.2+j0.0061]且[c_r0，c_r1]＝[1,0.15+j0.0251]。(2)K＝2，[c_t0，c_t1,c_t2]＝[1,0.7+j0.002,0.2+j0.06]且[c_t0，c_t1,c_t2]＝[1,0.6+j0.0121,0.15+j0.0251]。脉冲数是L＝50。图2展示了第一种情况下不同方法RMSE与SNR的关系，图3展示了情况(2)时不同方法RMSE与SNR的关系。图2和图3证明了本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)比相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法都具有更好的角度估计性能。原因是本发明考虑了接收数据的多维结构和前后空间平滑均值技术，这比SVD/EVD技术更好地抑制了噪声。此外，可以看出在情况(1)下高SNR区域相似MUSIC算法比相似ESPRIT算法提供更好的角度估计性能。但是由于角度模糊在情况(2)下失效。

2、不同算法互耦条件下K＝1时目标分辨成功概率和信噪比的关系

第二个仿真考虑不同方法的分辨成功概率，L＝50且在情况(1)下设置互耦。当所有目标DOD和DOA的绝对值在0.1°以内时，我们可以认为所有目标被分辨成功。如图4所示，在高SNR区域所有方法能够100％成功探测。每一个方法的成功分辨概率在某一点上开始下降，定义为SNR临界值。可以看出，本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)比相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法具有更低的SNR临界值。这是本发明精确度得以提高的直接结果。

3、不同算法互耦条件下K＝1时角度估计的均方根误差和脉冲的关系

第三个仿真评估不同方法的RMSE与脉冲的关系，其中SNR＝5dB且在情况(1)下设置互 耦。由图5可见，在较低脉冲情况下本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)比相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法都具有更好的角度估计性能。在更大脉冲数时，本发明(基于酉ESPRIT)和相似ESPRIT算法提供几乎相同的性能，并且相似MUSIC算法比基于酉MUSIC的算法具有稍好的角度估计性能。然而，相似MUSIC算法只对非零互耦系数的个数小时有效，这在第一个仿真中可以看出。

4、不同算法互耦条件下K＝1时对于两个相干目标角度估计的均方根误差

第四个仿真考虑对于两个相干目标不同方法的角度估计性能，其中L＝50，前两个目标是相干的但是和第三个目标不相关，并且在情况(1)下设置互耦。由图6可知，对于两个相干目标，相似MUSIC算法和相似ESPRIT算法都失效。然而，本发明(基于酉MUSIC和酉ESPRIT)是有效的且提供精确的角度估计性能。

Claims (5)

1.互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)发射阵列发射相互正交的相位编码信号，接收端进行匹配滤波处理后获得接收数据，并根据接收数据固有的多维结构，构造一个三阶测量张量信号模型；

(2)利用互耦矩阵具有的带状对称Toeplitz结构特点，在三阶测量张量中提取一个子张量以消除未知互耦的影响；

(3)通过前后空间平滑均值和酉变换技术，将子张量转换成为实值的，并利用高阶奇异值分解构造实值信号子空间；

(4)根据实值信号子空间和实值导向矩阵由相同的子空间生成，利用实值信号子空间实现对未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达中目标联合DOD和DOA的估计。

2.根据权利要求1所述的一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法，其特征在于：所述步骤(1)包括如下步骤：

(1.1)根据未知互耦误差条件下双基地MIMO雷达系统的结构可知，接收阵列的输出为

X(t_l)＝[C_rA_r]Σ_l[C_tA_t]^TS+W(t_l)l＝1,2,...,L

其中C_t和C_r分别是发射和接收阵列的互耦矩阵，是第l个脉冲周期的接收数据。A_r＝[a_r(θ₁),…,a_r(θ_P)]和分别是接收和发射导向矩阵，a_r(θ_p)和a_t(θ_p)分别是接收和发射导向矢量，Σ_l＝diag(c_l)由组成，和是RCS衰减系数和目标多普勒频率，W是白噪声与目标不相关；

(1.2)利用发射波的正交性，匹配滤波器的输出为

Y(t_l)＝[C_rA_r]Σ[C_tA_t]^T+N(t_l)l＝1,2,...,L

其中N＝(1/J)WS^H，(1/J)SS^H＝I_M；

(1.3)沿着三维不同方向堆栈矩阵Y(t_l)(l＝1,2,...,L)构建N×M×L测量张量利用张量的矩阵展开技术，有

式中

3.根据权利要求1所述的一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法，其特征在于：所述步骤(2)包括如下步骤：

(2.1)利用互耦矩阵C_r和C_t的结构特点，定义两个选择矩阵为

J₁＝[0_(M-2K)×K I_{(M-2K)×(M-2K)} 0_(M-2K)×K]；

J₂＝[0_(N-2K)×K I_{(N-2K)×(N-2K)} 0_(N-2K)×K]；

将Y(t_l)(l＝1,2,...,L)的左边和右边分别乘以选择矩阵J₂和J₁，有

$\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)=J_{2}Y\left(t_l\right)J_1,l=\mathrm{1,2},...,L;$

对于中的每个元素是恒量；

$\stackrel{\‾}{Y}\left(t_l\right)={\stackrel{\‾}{A}}_r\stackrel{\‾}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\‾}{A}}_t^T+\stackrel{\‾}{N}\left(t_l\right),l=\mathrm{1,2},...,L$

其中和分别是A_r和A_t的前和行， $\stackrel{\‾}{\mathrm{\Σ}}=\mathrm{diag}\left(\right[v{\mathrm{\β}}_1{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{dp}}l},v{\mathrm{\β}}_2{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{dp}}l},...,v{\mathrm{\β}}_p{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{dp}}l}\left]\right);$

(2.3)对测量张量进行线性变换，基于n模张量矩阵积，从测量张量中提取一个,测量子张量：

4.根据权利要求1所述的一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法，其特征在于：所述步骤(3)包括如下步骤：

(3.1)对子张量应用前后空间平滑均值技术

其中表示沿着第n模和的连结，Π_n是反对角元素为1其他为0的n×n交换矩阵，获得实值张量如下，

其中U_2K+1是酉矩阵，通过去除U_2K+1的中心行和列可获得U_2K，U_2K+1定义为

$U_{2K+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}{I}_K& 0& j{I}_K\\ 0^T& \sqrt{2}& 0^T\\ {\mathrm{\Π}}_K& 0& -j{\mathrm{\Π}}_K\end{array}\right]$

(3.2)利用缩减的HOSVD定义的实值子空间张量：

其中是简化的核心张量，E_si(i＝1,2,3)包含E_i的前P个主要奇异向量， 和是酉矩阵，分别由的i模矩阵展开的左奇异向量组成，将代入公式(11)，有

基于模积的性质，实值信号子空间如下

其中

5.根据权利要求1所述的一种互耦条件下基于张量实值子空间的双基地MIMO雷达角度估计方法，其特征在于：所述步骤(4)包括如下步骤：

(4.1)实值信号子空间E_s和实值导向矩阵由相同的子空间生成，即其中T是满秩矩阵；

(4.2)二维酉MUSIC算法，构造空间峰值搜索函数以估计DOD和DOA，如下所示

其中和分别由和的前和个元素构成， $F_n=I_{\stackrel{\‾}{N}\×\stackrel{\‾}{M}}-E_{s0}{E}_{s0}^H$ 且E_s0是E_s的正交基，通过搜索公式的空间峰值获得DOD和DOA并且能够自动匹配；

(4.3)酉ESPRIT算法：实值信号子空间E_s可分为四部分，存在以下旋转不变等式

Γ₂E_s＝Γ₂E_sψ_t,Γ₄E_s＝Γ₃E_sψ_r

其中Γ₁和Γ₂分别是的实部和虚部且Γ₃和Γ₄是的实部和虚部且ψ_t＝ΥΦ_tΥ^-1和ψ_r＝ΥΦ_rΥ^-1是旋转不变矩阵，Φ_r＝diag([tan(πsinθ₁/2),...,tan(πsinθ_p/2)])，利用最小二乘或总体最小二乘算法估计出ψ_t和ψ_r，按如下所示的方法进行匹配

ψ_t+jψ_r＝Υ(Φ_t+jΦ_r)Υ^-1

Φ_t和Φ_r从ψ_t+jψ_r的奇异值实虚部分获得，DOD和DOA可自动匹配，推导得

其中Υ_tp和Υ_rp分别是Φ_t和Φ_r的第p个对角元素。