CN111624545B - 基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法 - Google Patents

基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法 Download PDF

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CN111624545B CN202010370072.0A CN202010370072A CN111624545B CN 111624545 B CN111624545 B CN 111624545B CN 202010370072 A CN202010370072 A CN 202010370072A CN 111624545 B CN111624545 B CN 111624545B
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    • G01S3/00—Direction-finders for determining the direction from which infrasonic, sonic, ultrasonic, or electromagnetic waves, or particle emission, not having a directional significance, are being received
    • G01S3/02—Direction-finders for determining the direction from which infrasonic, sonic, ultrasonic, or electromagnetic waves, or particle emission, not having a directional significance, are being received using radio waves
    • G01S3/14—Systems for determining direction or deviation from predetermined direction
    • G01S3/143—Systems for determining direction or deviation from predetermined direction by vectorial combination of signals derived from differently oriented antennae

Abstract

本发明公开了一种基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，主要解决现有方法中多维空间结构信息丢失和自由度损失的问题，其实现步骤是：构建互质面阵；互质面阵接收信号的张量建模；推导基于张量信号互相关统计量变换的互质面阵虚拟域二阶等价信号；构造互质面阵虚拟域三维张量信号；基于虚拟域张量维度扩展策略构造五维虚拟域张量；形成包含三维空间信息的结构化虚拟域张量；通过结构化虚拟域张量CANDECOMP/PARACFAC分解得到二维波达方向估计。本发明基于互质面阵张量信号的统计分析，构建结构化虚拟域张量信号处理框架，在保证分辨率和估计精度等性能的基础上，实现欠定条件下的多信源二维波达方向估计，可用于多目标定位。

Description

基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估 计方法
技术领域
本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及基于稀疏面阵虚拟域二阶统计量的统计信号处理技术，具体是一种基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，可用于多目标定位。
背景技术
互质阵列作为一种典型的系统化稀疏阵列架构，能够突破传统均匀阵列自由度受限的瓶颈。为了增加自由度，常用做法是将互质阵列接收信号推导至虚拟域以实现阵列的增广，并利用其对应的二阶虚拟域等价接收信号进行统计处理。为了提升二维波达方向估计的自由度，互质面阵及其对应的二维虚拟域信号处理开始受到广泛关注。在传统基于互质面阵的二维波达方向估计方法中，通常的做法是将具有多维空间结构信息的接收信号进行相关统计量平均化处理，通过矢量化推导二阶虚拟域等价接收信号，并将一维波达方向估计方法推广至二维/高维信号场景，通过进一步的统计处理实现波达方向估计。上述做法不仅破坏了互质面阵原始接收信号的多维空间信息结构，且由矢量化推导得到的虚拟域模型存在线性尺度大、虚拟域结构化信息丢失等问题。
张量是一种多维的数据类型，可以用来保存复杂的多维信号信息；针对多维信号的特征分析，高阶奇异值分解、张量分解类方法为面向张量的信号处理提供了丰富的数学工具。近年来，张量模型已被广泛应用于阵列信号处理、图像信号处理、统计学等多个领域。因此，采用张量构造互质面阵接收信号及其虚拟域等价信号，能够有效保留信号的多维结构信息，为提升波达方向估计的性能提供了重要的理论工具。与此同时，将高阶奇异值分解和张量分解等方法推广至虚拟域，有望实现波达方向估计在分辨率、估计精度和自由度等综合性能上的突破。然而，现有方法普遍还没有涉及到互质面阵虚拟域张量空间的讨论，且没有利用互质面阵的二维虚拟域特性。因此，基于互质面阵张量信号模型设计自由度提升的二维波达方向估计方法，以实现欠定条件下的精确波达方向估计，是当前亟待解决的一个重要问题。
发明内容
本发明的目的在于针对现有方法存在的自由度损失问题，提出一种基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，为构建互质面阵二维虚拟域与张量空间关联，充分挖掘二维虚拟域的结构信息，并利用虚拟域张量结构化构造和虚拟域张量分解等手段实现欠定条件下的二维波达方向估计提供了可行的思路和有效的解决方案。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，该方法包含以下步骤：
(1)接收端使用4MxMy+NxNy-1个物理天线阵元，按照互质面阵的结构进行架构；其中，Mx、Nx以及My、Ny分别为一对互质整数，且Mx<Nx，My<Ny；该互质面阵可分解为两个稀疏均匀子阵列
Figure BDA0002477571550000021
和
Figure BDA0002477571550000022
(2)假设有K个来自
Figure BDA0002477571550000023
方向的远场窄带非相干信号源，则互质面阵的稀疏均匀子阵列
Figure BDA0002477571550000024
接收信号用一个三维张量
Figure BDA0002477571550000025
Figure BDA0002477571550000026
(L为采样快拍数)表示为：
Figure BDA0002477571550000027
其中，sk＝[sk，1，sk，2，…，sk，L]T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，[·]T表示转置操作，
Figure BDA00024775715500000218
表示矢量外积，
Figure BDA0002477571550000028
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure BDA0002477571550000029
和
Figure BDA00024775715500000210
分别为
Figure BDA00024775715500000211
在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure BDA00024775715500000212
的信号源，表示为：
Figure BDA00024775715500000213
Figure BDA00024775715500000214
其中，
Figure BDA00024775715500000215
和
Figure BDA00024775715500000216
分别表示稀疏子阵列
Figure BDA00024775715500000217
中在x轴和y轴方向上第i1和i2个物理天线阵元的实际位置，且
Figure BDA0002477571550000031
Figure BDA0002477571550000032
稀疏均匀子阵列
Figure BDA0002477571550000033
的接收信号用另一个三维张量
Figure BDA0002477571550000034
表示：
Figure BDA0002477571550000035
其中，
Figure BDA0002477571550000036
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure BDA0002477571550000037
和
Figure BDA0002477571550000038
分别为
Figure BDA0002477571550000039
在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure BDA00024775715500000310
的信号源，表示为：
Figure BDA00024775715500000311
Figure BDA00024775715500000312
其中，
Figure BDA00024775715500000313
和
Figure BDA00024775715500000314
分别表示稀疏子阵列
Figure BDA00024775715500000315
中在 x轴和y轴方向上第i3和i4个物理天线阵元的实际位置，且
Figure BDA00024775715500000316
求得三维张量信号
Figure BDA00024775715500000317
和
Figure BDA00024775715500000318
的二阶互相关张量
Figure BDA00024775715500000319
Figure BDA00024775715500000320
这里，
Figure BDA00024775715500000321
和
Figure BDA00024775715500000322
分别表示
Figure BDA00024775715500000323
和
Figure BDA00024775715500000324
左第三维度(即快拍维度)方向上的第l 个切片，(·)*表示共轭操作；
(3)由互相关张量
Figure BDA00024775715500000325
得到一个增广的非均匀虚拟域面阵
Figure BDA00024775715500000326
其中各虚拟阵元的位置表示为：
Figure BDA00024775715500000327
其中，单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2。
Figure BDA00024775715500000328
中有一个包含(MxNx+Mx+Nx-1)×(MyNy+My+Ny-1)个虚拟阵元、x轴分布为 (-Nx+1)d到(MxNx+Mx-1)d、y轴分布为(-Ny+1)d到(MyNy+My-1)d 的虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000329
表示为：
Figure BDA00024775715500000330
定义维度集合
Figure BDA0002477571550000041
和
Figure BDA0002477571550000042
通过对互相关张量
Figure BDA0002477571550000043
的理想值
Figure BDA0002477571550000044
(无噪声场景)进行PARAFAC分解的模
Figure BDA0002477571550000045
展开，可获得增广虚拟域面阵
Figure BDA0002477571550000046
的等价接收信号
Figure BDA0002477571550000047
其理想建模为：
Figure BDA0002477571550000048
其中，
Figure BDA0002477571550000049
Figure BDA00024775715500000410
是对应于
Figure BDA00024775715500000411
方向的增广虚拟域面阵
Figure BDA00024775715500000412
在x轴和y轴上的导引矢量，
Figure BDA00024775715500000413
表示第k个入射信号源的功率，这里，
Figure BDA00024775715500000414
表示克罗内克积。通过选取U中与
Figure BDA00024775715500000415
中各虚拟阵元位置相对应的元素，可获得虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000416
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500000417
可建模为：
Figure BDA00024775715500000418
其中，
Figure BDA00024775715500000419
Figure BDA00024775715500000420
和
Figure BDA00024775715500000421
Figure BDA00024775715500000422
为对应于
Figure BDA00024775715500000423
方向的虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000424
在x轴和y轴上的导引矢量；
(4)考虑虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000438
的镜像部分
Figure BDA00024775715500000425
表示为：
Figure BDA00024775715500000426
利用虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000427
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500000428
中的元素进行变换，可得到镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000429
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500000430
表示为：
Figure BDA00024775715500000431
其中，
Figure BDA00024775715500000432
和
Figure BDA00024775715500000433
分别为对虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000434
进行镜像变换时在x轴和y轴两个方向上的空间变换因子。
将虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000435
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500000436
和镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000437
的等价接收信号
Figure BDA0002477571550000051
在第三维度上进行叠加，得到一个互质面阵虚拟域的三维张量信号
Figure BDA0002477571550000052
表示为：
Figure BDA0002477571550000053
其中，
Figure BDA0002477571550000054
为空间镜像变换因子矢量；
(5)在虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000055
中，分别沿x轴和y轴方向每隔一个阵元取一个大小为Px×Py子阵列，则可以将虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000056
分割成Lx×Ly个互相部分重叠的均匀子阵列；将上述子阵列表示为
Figure BDA0002477571550000057
则
Figure BDA0002477571550000058
中阵元的位置表示为：
Figure BDA0002477571550000059
根据子阵列
Figure BDA00024775715500000510
对应虚拟域张量信号
Figure BDA00024775715500000511
中相应位置元素，得到虚拟域子阵列
Figure BDA00024775715500000512
的张量信号
Figure BDA00024775715500000513
Figure BDA00024775715500000514
其中，
Figure BDA00024775715500000515
Figure BDA00024775715500000516
和
Figure BDA00024775715500000517
Figure BDA00024775715500000518
为对应于
Figure BDA00024775715500000519
方向的虚拟域子阵列
Figure BDA00024775715500000520
在x轴和y轴上的导引矢量。经过上述操作，一共得到Lx×Ly个维度均为Px×Py×2的三维张量
Figure BDA00024775715500000521
将这些三维张量
Figure BDA00024775715500000522
中具有相同sy索引下标的张量在第四维度进行扩展叠加，得到Ly个维度为Px×Py×2×Lx的四维张量；进一步地，将这Ly个四维张量在第五维度进行扩展叠加，得到一个五维的虚拟域张量
Figure BDA00024775715500000523
表示为：
Figure BDA00024775715500000524
其中，
Figure BDA0002477571550000061
Figure BDA0002477571550000062
为虚拟域张量维度扩展构造过程中分别对应x轴和y轴方向的空间平移因子矢量；
(6)定义维度集合
Figure BDA0002477571550000063
通过五维虚拟域张量
Figure BDA0002477571550000064
的PARAFAC分解的模
Figure BDA0002477571550000065
展开，将五维虚拟域张量
Figure BDA0002477571550000066
向第1、2维度合并成一个维度，同时将其第4、5维度合并成一个维度，并保留第3维度，从而得到三维结构化虚拟域张量
Figure BDA0002477571550000067
Figure BDA0002477571550000068
其中，
Figure BDA0002477571550000069
(7)对三维结构化虚拟域张量
Figure BDA00024775715500000610
差行CANDECOMP/PARACFAC分解，得到欠定条件下的二维波达方向估计闭式解。
进一步地，步骤(1)所述的互质面阵结构可具体描述为：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀平面子阵列
Figure BDA00024775715500000611
和
Figure BDA00024775715500000612
其中
Figure BDA00024775715500000613
包含2Mx×2My个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为Nxd和Nyd，其在xoy上的位置坐标为{(Nxdmx，Nydmy)，mx＝0，1，...，2Mx-1，my＝0，1，...，2My-1}；
Figure BDA00024775715500000614
包含Nx×Ny个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为Mxd和Myd，其在xoy上的位置坐标为{(Mxdnx，Mydny)，nx＝0，1，...，Nx-1，ny＝ 0，1，...，Ny-1}；这里，Mx、Nx以及My、Ny分别为一对互质整数，且Mx＜Nx， My＜Ny；将
Figure BDA00024775715500000615
和
Figure BDA00024775715500000616
陵照坐标系(0，0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4MxMy+NxNy-1个物理天线阵元的互质面阵。
进一步地，步骤(3)所述的互相关张量
Figure BDA00024775715500000617
可理想建模(无噪声场景)为：
Figure BDA00024775715500000618
互相关张量
Figure BDA00024775715500000619
中
Figure BDA00024775715500000620
等价于沿着x轴的一个增广虚拟域，
Figure BDA00024775715500000621
等价于沿着y轴的一个增广虚拟域，从而得到增广的非均匀虚拟域面阵
Figure BDA00024775715500000622
进一步地，步骤(4)所述的虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000623
的镜像部分
Figure BDA00024775715500000624
对应的等价接收信号，可通过虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000071
的等价接收信号
Figure BDA0002477571550000072
的空间变换得到，具体操作为：将
Figure BDA0002477571550000073
取共轭操作得到
Figure BDA0002477571550000074
对
Figure BDA0002477571550000075
中的元素依次进行左右翻转和上下翻转，即可得到对应镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000076
的等价接收信号
Figure BDA0002477571550000077
进一步地，步骤(4)所述通过将虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000078
的等价接收信号
Figure BDA0002477571550000079
和镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500000710
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500000711
在第三维度上进行叠加，得到一个虚拟域三维张量信号
Figure BDA00024775715500000712
可通过CANDECOMP/PARACFAC分解对
Figure BDA00024775715500000713
进行特征提取，在非欠定条件下实现二维波达方向估计。
进一步地，步骤(7)中，通过对三维结构化虚拟域张量
Figure BDA00024775715500000714
进行 CANDECOMP/PARAFAC分解，得到三个因子矩阵，
Figure BDA00024775715500000715
Figure BDA00024775715500000716
其中，
Figure BDA00024775715500000717
为各入射角度
Figure BDA00024775715500000718
的估计值；将因子矩阵G中的第2行元素除以第1行元素，得到
Figure BDA00024775715500000719
将因子矩阵 G中的第Px+1行元素除以第1行元素，得到
Figure BDA00024775715500000720
对因子矩阵F也进行类似的参数提取操作后，将从G和F中分别提取的参数进行平均和取对数处理后，从而得到
Figure BDA00024775715500000721
则二维波达方向估计
Figure BDA00024775715500000722
的闭式解为：
Figure BDA00024775715500000723
Figure BDA00024775715500000724
上述步骤中，CANDECOMP/PARAFAC分解遵循以下唯一性条件：
Figure BDA00024775715500000725
其中，
Figure BDA00024775715500000726
表示矩阵的Kruskal秩，且
Figure BDA00024775715500000727
Figure BDA00024775715500000728
min(·)表示取最小值操作。
根据上述不等式，可以获得最优的Px和Py值，从而得到K的理论最大值，即在保证满足唯一性分解条件下求得可分辨信源个数K的理论上限值；这里，K的值超过互质面阵的实际物理阵元总个数4MxMy+NxNy-1。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
(1)本发明通过张量表示互质面阵实际接收信号，不同于传统矩阵类方法将二维空间信息进行矢量化表征，并将快拍信息进行平均得到相关统计量进行信号处理的技术路线。本发明将快拍信息在第三维度上进行叠加，并通过张量信号的互相关统计分析得到包含四维空间信息的互相关张量，保存了原始多维信号的空间结构信息；
(2)本发明基于四维互相关张量推导虚拟域统计量，并通过将互相关张量中表征相同方向虚拟域信息的维度进行合并，从而推导得到虚拟域等价接收信号，克服了传统矩阵类方法所推导的虚拟域等价信号存在空间结构信息丢失、线性尺度过大等问题；
(3)本发明在虚拟域等价接收信号构建的基础上，在虚拟域进一步构建三维张量信号，从而建立起二维虚拟域与张量空间的联系，为利用张量分解获得二维波达方向估计闭式解提供了理论前提，同时也为结构化虚拟域张量的构造及自由度的提升奠定了基础；
(4)本发明通过虚拟域张量信号的维度扩展及结构化虚拟域张量构造，有效提升了张量信号处理方法的自由度性能，实现了欠定条件下的二维波达方向估计。
附图说明
图1是本发明的总体流程框图。
图2是本发明中互质面阵的结构示意图。
图3是本发明所推导增广虚拟域面阵结构示意图。
图4是本发明所提互质面阵虚拟域张量信号的维度扩展过程示意图。
图5是本发明所提方法的多信源波达方向估计效果图。
具体实施方式
以下参照附图，对本发明的技术方案作进一步的详细说明。
为了解决现有张量方法存在的自由度性能损失问题，本发明提出了一种基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，通过结合张量统计特性分析、虚拟域张量信号构造、虚拟域张量分解等手段，建立起互质面阵虚拟域与张量信号二阶统计量之间的联系，以实现欠定条件下的二维波达方向估计。参照图1，本发明的实现步骤如下：
步骤1：构建互质面阵。在接收端使用4MxMy+NxNy-1个物理天线阵元构建互质面阵，如图2所示：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀平面子阵列
Figure BDA0002477571550000091
和
Figure BDA0002477571550000092
其中
Figure BDA0002477571550000093
包含2Mx×2My个天线阵元，在x轴方向上和少轴方向上的阵元间距分别为Nxd和Nyd，其在xoy上的位置坐标为{(Nxdmx，Nydmy)，mx＝ 0，1，...，2Mx-1，my＝0，1，...，2My-1}；
Figure BDA0002477571550000094
包含Nx×Ny个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为Mxd和Myd，其在xoy上的位置坐标为{(Mxdnx，Mydny)，nx＝0，1，...，Nx-1，ny＝0，1，...，Ny-1}；Mx、Nx以及My、Ny分别为一对互质整数，且Mx＜Nx，My＜Ny；单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；将
Figure BDA0002477571550000095
和
Figure BDA0002477571550000096
陵照坐标系(0，0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4MxMy+NxNy-1个物理天线阵元的互质面阵；
步骤2：互质面阵接收信号的张量建模。假设有K个来自
Figure BDA0002477571550000097
亏向的远场窄带非相干信号源，将互质面阵中稀疏均匀子阵列
Figure BDA0002477571550000098
的各采样快拍信号在第三个维度进行叠加后，可以得到一个三维张量信号
Figure BDA0002477571550000099
(L为采样快拍个数)，可建模为：
Figure BDA00024775715500000910
其中，sk＝[sk，1，sk，2，...，sk，L]T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，[·]T表示转置操作，
Figure BDA00024775715500000918
表示矢量外积，
Figure BDA00024775715500000911
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure BDA00024775715500000912
和
Figure BDA00024775715500000913
分别为
Figure BDA00024775715500000914
左x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure BDA00024775715500000915
的信号源，表示为：
Figure BDA00024775715500000916
Figure BDA00024775715500000917
其中，
Figure BDA0002477571550000101
和
Figure BDA0002477571550000102
分别表示稀疏子阵列
Figure BDA0002477571550000103
在 x轴和y轴方向上第i1和i2个物理天线阵元的实际位置，且
Figure BDA0002477571550000104
Figure BDA0002477571550000105
类似地，稀疏均匀子阵列
Figure BDA0002477571550000106
的接收信号可用另一个三维张量
Figure BDA0002477571550000107
表示：
Figure BDA0002477571550000108
其中，
Figure BDA0002477571550000109
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure BDA00024775715500001010
和
Figure BDA00024775715500001011
分别为
Figure BDA00024775715500001012
在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure BDA00024775715500001013
的信号源，表示为：
Figure BDA00024775715500001014
Figure BDA00024775715500001015
其中，
Figure BDA00024775715500001016
和
Figure BDA00024775715500001017
分别表示稀疏子阵列
Figure BDA00024775715500001018
在x 轴和y轴方向上第i3和i4个物理天线阵元的实际位置，且
Figure BDA00024775715500001019
利用稀疏子阵列
Figure BDA00024775715500001020
和
Figure BDA00024775715500001021
实际采样得到的三维张量信号
Figure BDA00024775715500001022
和
Figure BDA00024775715500001023
通过求它们的互相关统计量，得到具有四维空间信息的二阶互相关张量
Figure BDA00024775715500001024
Figure BDA00024775715500001025
这里，x1(l)和x2(l)分别表示x1和x2在第三维度(即快拍维度)方向上的第l 个切片，(·)*表示共轭操作；
步骤3：推导基于张量信号互相关统计量变换的互质面阵虚拟域二阶等价信号。互质面阵两个子阵列接收张量信号的互相关张量
Figure BDA00024775715500001026
可理想建模(无噪声场景) 为：
Figure BDA00024775715500001027
其中，
Figure BDA00024775715500001028
表示第k个入射信号源的功率；此时，互相关张量
Figure BDA00024775715500001029
中
Figure BDA00024775715500001030
Figure BDA00024775715500001031
等价于沿着x轴的一个增广虚拟域，
Figure BDA00024775715500001032
等价于沿着y轴的一个增广虚拟域，从而得到一个增广的非均匀虚拟域面阵
Figure BDA00024775715500001128
如图3所示，其中各虚拟阵元的位置表示为：
Figure BDA0002477571550000111
Figure BDA0002477571550000112
中有一个包含
Figure BDA0002477571550000113
个虚拟阵元，且 x轴分布为(-Nx+1)d到(MxNx+Mx-1)d、y轴分布为(-Ny+1)d到 (MyNy+My-1)d的均匀面阵
Figure BDA00024775715500001129
如图3虚线框中所示，具体表示为:
Figure BDA0002477571550000114
为了得到对应于增广虚拟域面阵
Figure BDA0002477571550000115
的等价接收信号，需要将互相关张量
Figure BDA0002477571550000116
中表征x轴方向空间信息的第1、3维度合并为一个维度，将表征y轴方向空间信息的第2、4维度合并为另一个维度。张量的维度合并可通过其PARAFAC分解的模展开操作实现，以一个四维张量
Figure BDA0002477571550000117
为例，定义维度集合
Figure BDA0002477571550000118
和
Figure BDA0002477571550000119
则
Figure BDA00024775715500001110
的PARAFAC分解的模
Figure BDA00024775715500001111
展开操作如下：
Figure BDA00024775715500001112
其中，张量下标表示张量PARAFAC分解的模展开操作；
Figure BDA00024775715500001113
和
Figure BDA00024775715500001114
分别表示展开后两个维度的因子矢量；这里，
Figure BDA00024775715500001115
表示克罗内克积。因此，定义维度集合
Figure BDA00024775715500001116
和
Figure BDA00024775715500001117
则通过对互相关张量
Figure BDA00024775715500001118
进行 PARAFAC分解的模
Figure BDA00024775715500001119
展开，可获得增广虚拟域面阵
Figure BDA00024775715500001120
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500001121
Figure BDA00024775715500001122
其中，
Figure BDA00024775715500001123
Figure BDA00024775715500001124
是对应于
Figure BDA00024775715500001125
方向的增广虚拟域面阵
Figure BDA00024775715500001126
在x轴和y轴上的导引矢量；基于上述推导，虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001127
的等价接收信号
Figure BDA0002477571550000121
可通过选取U中与
Figure BDA0002477571550000122
中各虚拟阵元位置相对应的元素获得，可建模为：
Figure BDA0002477571550000123
其中，
Figure BDA0002477571550000124
Figure BDA0002477571550000125
和
Figure BDA0002477571550000126
Figure BDA0002477571550000127
为对应于
Figure BDA0002477571550000128
方向的虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000129
在x轴和y轴上的导引矢量；
步骤4：构造互质面阵虚拟域三维张量信号。为了增大虚拟域面阵的有效孔径并进一步提升自由度，考虑虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001210
的镜像部分
Figure BDA00024775715500001211
表示为：
Figure BDA00024775715500001212
为了得到镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001213
的等价接收信号，可利用虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001214
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500001215
进行变换，具体操作为：将
Figure BDA00024775715500001216
取共轭操作得到
Figure BDA00024775715500001217
对
Figure BDA00024775715500001218
中的元素依次进行左右翻转和上下翻转，即可得到对应镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001219
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500001220
表示为：
Figure BDA00024775715500001221
其中，
Figure BDA00024775715500001222
和
Figure BDA00024775715500001223
分别为对虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001224
进行镜像变换时在x轴和y轴两个方向上的空间变换因子。
将虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001225
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500001226
和镜像虚拟域均匀面阵
Figure BDA00024775715500001227
的等价接收信号
Figure BDA00024775715500001228
在第三维度上进行叠加，得到一个互质面阵虚拟域的三维张量信号
Figure BDA00024775715500001229
其结构如图4所示，表示为：
Figure BDA00024775715500001230
其中，
Figure BDA0002477571550000131
为空间镜像变换因子矢量；
步骤5：基于虚拟域张量维度扩展策略构造五维虚拟域张量。如图4所示，在虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000132
中，分别沿x轴和y轴方向每隔一个阵元取一个大小为Px×Py子阵列，则可以将虚拟域均匀面阵
Figure BDA0002477571550000133
分割成Lx×Ly个互相部分重叠的均匀子阵列，Lx、Ly、Px、Py之间满足以下关系：
Px+Lx-1＝MxNx+Mx+Nx-1，
Py+Ly-1＝MyNy+My+Ny-1.
将上述子阵列表示为
Figure BDA0002477571550000134
则
Figure BDA0002477571550000135
中阵元的位置表示为：
Figure BDA0002477571550000136
根据子阵列
Figure BDA0002477571550000137
对应虚拟域张量信号
Figure BDA0002477571550000138
中相应位置元素，得到虚拟域子阵列
Figure BDA0002477571550000139
的张量信号
Figure BDA00024775715500001310
Figure BDA00024775715500001311
其中，
Figure BDA00024775715500001312
Figure BDA00024775715500001313
和
Figure BDA00024775715500001314
Figure BDA00024775715500001315
为对应于
Figure BDA00024775715500001316
方向的虚拟域子阵列
Figure BDA00024775715500001317
在x轴和y轴上的导引矢量。经过上述操作，一共得到Lx＝Ly个维度均为Px×Py×2的三维张量
Figure BDA00024775715500001318
为了对虚拟域张量进行维度扩展，首先将这些三维张量
Figure BDA00024775715500001319
中具有相同sy索引下标的张量在第四维度进行扩展叠加，从而得到Ly个维度为Px×Py×2×Lx的四维张量；进一步地，将这Ly个四维张量在第五维度进一步扩展叠加，得到一个五维的虚拟域张量
Figure BDA00024775715500001320
表示为：
Figure BDA0002477571550000141
其中，
Figure BDA0002477571550000142
Figure BDA0002477571550000143
为虚拟域张量维度扩展构造过程中分别对应x轴和y轴方向的空间平移因子矢量；
步骤6：形成包含三维空间信息的结构化虚拟域张量。为了得到结构化的虚拟域张量，将经过维度扩展的五维虚拟域张量
Figure BDA0002477571550000144
沿着表征空间角度域信息的第1、 2维度进行合并，同时沿着表征空间平移因子信息的第4、5维度进行合并，并保留表征空间镜像变换信息的第3维度；具体操作为：定义维度集合
Figure BDA0002477571550000145
Figure BDA0002477571550000146
则通过
Figure BDA0002477571550000147
的PARAFAC分解的模
Figure BDA0002477571550000148
展开，可得到三维结构化虚拟域张量
Figure BDA0002477571550000149
Figure BDA00024775715500001410
其中，
Figure BDA00024775715500001411
结构化虚拟域张量
Figure BDA00024775715500001412
的三个维度分别表征空间角度域信息，空间镜像变换信息，以及空间平移因子信息；
步骤7：通过结构化虚拟域张量的CANDECOMP/PARAFAC分解得到二维波达方向估计。通过对三维结构化虚拟域张量
Figure BDA00024775715500001413
进行CANDECOMP/ PARAFAC分解，得到三个因子矩阵，
Figure BDA00024775715500001414
Figure BDA00024775715500001415
其中，
Figure BDA00024775715500001416
为各入射角度
Figure BDA00024775715500001417
的估计值；将因子矩阵G中的第2行元素除以第1行元素，得到
Figure BDA00024775715500001418
将因子矩阵 G中的第Px+1行元素除以第1行元素，得到
Figure BDA00024775715500001419
对因子矩阵F也进行类似的参数提取操作后，将从G和F中分别提取的参数进行平均和取对数处理后，从而得到
Figure BDA00024775715500001420
则二维波达方向估计
Figure BDA00024775715500001421
的闭式解为：
Figure BDA00024775715500001422
Figure BDA0002477571550000151
上述步骤中，CANDECOMP/PARAFAC分解遵循以下的唯一性条件：
Figure BDA0002477571550000152
其中，
Figure BDA0002477571550000153
表示矩阵的Kruskal秩，且
Figure BDA0002477571550000154
Figure BDA0002477571550000155
min(·)表示取最小值操作。
根据上述不等式，可以获得最优的Px和Py值，从而得到K的理论最大值，即在保证满足唯一性分解条件下求得可分辨信源个数K的理论上限值；这里，由于结构化虚拟域张量的构建与处理，K的值超过互质面阵的实际物理阵元总个数 4MxMy+NxNy-1，说明波达方向估计的自由度性能得到了提升。
下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。
仿真实例：采用互质面阵接收入射信号，其参数选取为Mx＝2，My＝3，Nx＝3，Ny＝4，即架构的互质面阵共包含4MxMy+NxNy-1＝35个物理阵元。假定入射窄带信号个数为50，且入射方向方位角均匀分布于[-65°，-5°]∪ [5°，65°]，俯仰角均匀分布于[5°，65°]这一空间角度域范围内；采用500个无噪采样快拍进行仿真实验。
本发明所提出的基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法估计结果如图5所示，其中x轴和y轴分别表示入射信号源的俯仰角和方位角。可以看出，本发明所提方法能够有效分辨这50个入射信号源。而对于传统采用均匀面阵的波达方向估计方法，利用35个物理天线阵元最多只能分辨 34个入射信号，上述结果表明本发明所提方法实现了自由度的增加。
综上所述，本发明充分考虑了互质面阵二维虚拟域与张量信号之间的联系，通过张量信号二阶统计量分析推导得到虚拟域等价信号，保留了原始接收信号和虚拟域的空间结构信息；再者，建立起虚拟域张量维度扩展和结构化虚拟域张量的构造机理，为实现最大化可识别的信源个数奠定了理论基础；最后，本发明通过对结构化虚拟域张量进行多维特征提取，形成了二维波达方向估计的闭式解，并实现了其在自由度性能上的突破。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，虽然本发明已以较佳实施例披露如上，然而并非用以限定本发明。任何熟悉本领域的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围情况下，都可利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出许多可能的变动和修饰，或修改为等同变化的等效实施例。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何的简单修改、等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。

Claims (6)

1.一种基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：
(1)接收端使用4MxMy+NxNy-1个物理天线阵元，按照互质面阵的结构进行架构；其中，Mx、Nx以及My、Ny分别为一对互质整数，且Mx＜Nx，My＜Ny；该互质面阵可分解为两个稀疏均匀子阵列
Figure FDA0003756235130000011
和
Figure FDA0003756235130000012
(2)假设有K个来自
Figure FDA0003756235130000013
方向的远场窄带非相干信号源，则互质面阵的稀疏均匀子阵列
Figure FDA0003756235130000014
接收信号用一个三维张量
Figure FDA0003756235130000015
Figure FDA0003756235130000016
L为采样快拍数，表示为：
Figure FDA0003756235130000017
其中，sk＝[sk,1,sk,2,…,sk,L]T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，[·]T表示转置操作，
Figure FDA0003756235130000018
表示矢量外积，
Figure FDA0003756235130000019
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure FDA00037562351300000110
和
Figure FDA00037562351300000111
分别为
Figure FDA00037562351300000128
在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure FDA00037562351300000112
的信号源，表示为：
Figure FDA00037562351300000113
Figure FDA00037562351300000114
其中，
Figure FDA00037562351300000115
和
Figure FDA00037562351300000116
分别表示稀疏均匀子阵列
Figure FDA00037562351300000117
中在x轴和y轴方向上第i1和i2个物理天线阵元的实际位置，且
Figure FDA00037562351300000118
Figure FDA00037562351300000119
稀疏均匀子阵列
Figure FDA00037562351300000120
的接收信号用另一个三维张量
Figure FDA00037562351300000121
表示：
Figure FDA00037562351300000122
其中，
Figure FDA00037562351300000123
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure FDA00037562351300000124
和
Figure FDA00037562351300000125
分别为
Figure FDA00037562351300000126
在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure FDA00037562351300000127
的信号源，表示为：
Figure FDA0003756235130000021
Figure FDA0003756235130000022
其中，
Figure FDA0003756235130000023
和
Figure FDA0003756235130000024
分别表示稀疏均匀子阵列
Figure FDA0003756235130000025
中在x轴和y轴方向上第i3和i4个物理天线阵元的实际位置，且
Figure FDA0003756235130000026
Figure FDA0003756235130000027
求得三维张量信号
Figure FDA0003756235130000028
和
Figure FDA0003756235130000029
的二阶互相关张量
Figure FDA00037562351300000210
Figure FDA00037562351300000211
其中，
Figure FDA00037562351300000212
和
Figure FDA00037562351300000213
分别表示
Figure FDA00037562351300000214
和
Figure FDA00037562351300000215
在第三维度，即快拍维度，方向上的第l个切片，(·)*表示共轭操作；
(3)由互相关张量
Figure FDA00037562351300000216
得到一个增广的非均匀虚拟域面阵
Figure FDA00037562351300000217
其中各虚拟阵元的位置表示为：
Figure FDA00037562351300000218
其中，单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；
Figure FDA00037562351300000219
中有一个包含(MxNx+Mx+Nx-1)×(MyNy+My+Ny-1)个虚拟阵元、x轴分布为(-Nx+1)d到(MxNx+Mx-1)d、y轴分布为(-Ny+1)d到(MyNy+My-1)d的虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000220
表示为：
Figure FDA00037562351300000221
定义维度集合
Figure FDA00037562351300000222
和
Figure FDA00037562351300000223
通过对互相关张量
Figure FDA00037562351300000224
的理想值
Figure FDA00037562351300000225
进行PARAFAC分解的模
Figure FDA00037562351300000226
展开，可获得增广的非均匀虚拟域面阵
Figure FDA00037562351300000227
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000228
其理想建模为：
Figure FDA00037562351300000229
其中，
Figure FDA00037562351300000230
Figure FDA00037562351300000231
是对应于
Figure FDA00037562351300000232
方向的增广的非均匀虚拟域面阵
Figure FDA00037562351300000233
在x轴和y轴上的导引矢量，
Figure FDA0003756235130000031
表示第k个入射信号源的功率，
Figure FDA0003756235130000032
表示克罗内克积；通过选取U中与
Figure FDA0003756235130000033
中各虚拟阵元位置相对应的元素，可获得虚拟域均匀面阵
Figure FDA0003756235130000034
的等价接收信号
Figure FDA0003756235130000035
可建模为：
Figure FDA0003756235130000036
其中，
Figure FDA0003756235130000037
Figure FDA0003756235130000038
和
Figure FDA0003756235130000039
Figure FDA00037562351300000310
为对应于
Figure FDA00037562351300000311
方向的虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000312
在x轴和y轴上的导引矢量；
(4)考虑虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000313
的镜像部分
Figure FDA00037562351300000314
表示为：
Figure FDA00037562351300000315
利用虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000316
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000317
中的元素进行变换，可得到镜像虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000318
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000319
表示为：
Figure FDA00037562351300000320
其中，
Figure FDA00037562351300000321
和
Figure FDA00037562351300000322
分别为对虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000323
进行镜像变换时在x轴和y轴两个方向上的空间变换因子；
将虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000324
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000325
和镜像虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000326
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000327
在第三维度上进行叠加，得到一个互质面阵虚拟域的三维张量信号
Figure FDA00037562351300000328
表示为：
Figure FDA00037562351300000329
其中，
Figure FDA00037562351300000330
为空间镜像变换因子矢量；
(5)在虚拟域均匀面阵
Figure FDA0003756235130000041
中，分别沿x轴和y轴方向每隔一个阵元取一个大小为Px×Py子阵列，则可以将虚拟域均匀面阵
Figure FDA0003756235130000042
分割成Lx×Ly个互相部分重叠的均匀子阵列；将上述虚拟域子阵列表示为
Figure FDA0003756235130000043
Figure FDA0003756235130000044
则
Figure FDA0003756235130000045
中阵元的位置表示为：
Figure FDA0003756235130000046
根据子阵列
Figure FDA0003756235130000047
对应互质面阵虚拟域的三维张量信号
Figure FDA0003756235130000048
中相应位置元素，得到虚拟域子阵列
Figure FDA0003756235130000049
的三维张量信号
Figure FDA00037562351300000410
Figure FDA00037562351300000411
其中，
Figure FDA00037562351300000412
Figure FDA00037562351300000413
和
Figure FDA00037562351300000414
Figure FDA00037562351300000415
为对应于
Figure FDA00037562351300000416
方向的虚拟域子阵列
Figure FDA00037562351300000417
在x轴和y轴上的导引矢量；经过上述操作，一共得到Lx×Ly个维度均为Px×Py×2的三维张量信号
Figure FDA00037562351300000418
将这些三维张量信号
Figure FDA00037562351300000419
中具有相同sy索引下标的张量在第四维度进行扩展叠加，得到Ly个维度为Px×Py×2×Lx的四维张量；将这Ly个四维张量在第五维度进行扩展叠加，得到一个五维虚拟域张量
Figure FDA00037562351300000420
表示为：
Figure FDA00037562351300000421
其中，
Figure FDA00037562351300000422
Figure FDA00037562351300000423
为虚拟域张量维度扩展构造过程中分别对应x轴和y轴方向的空间平移因子矢量；
(6)定义维度集合
Figure FDA00037562351300000424
通过五维虚拟域张量
Figure FDA00037562351300000425
的PARAFAC分解的模
Figure FDA00037562351300000426
展开，将五维虚拟域张量
Figure FDA00037562351300000427
的第1、2维度合并成一个维度，同时将其第4、5维度合并成一个维度，并保留第3维度，从而得到三维结构化虚拟域张量
Figure FDA0003756235130000051
Figure FDA0003756235130000052
其中，
Figure FDA0003756235130000053
(7)对三维结构化虚拟域张量
Figure FDA0003756235130000054
进行CANDECOMP/PARACFAC分解，得到欠定条件下的二维波达方向估计闭式解。
2.根据权利要求1所述的基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(1)所述的互质面阵结构可具体描述为：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀子阵列
Figure FDA0003756235130000055
和
Figure FDA0003756235130000056
其中
Figure FDA0003756235130000057
包含2Mx×2My个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为Nxd和Nyd，其在xoy上的位置坐标为{(Nxdmx，Nydmy)，mx＝0，1，...，2Mx-1，my＝0，1，...，2My-1}；
Figure FDA0003756235130000058
包含Nx×Ny个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为Mxd和Myd，其在xoy上的位置坐标为{(Mxdnx，Mydny)，nx＝0，1，...，Nx-1，ny＝0，1，...，Ny-1}；Mx、Nx以及My、Ny分别为一对互质整数，且Mx＜Nx，My＜Ny；将
Figure FDA0003756235130000059
和
Figure FDA00037562351300000510
按照坐标系(0，0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4MxMy+NxNy-1个物理天线阵元的互质面阵。
3.根据权利要求1所述的基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(3)所述的互相关张量
Figure FDA00037562351300000511
可理想建模为：
Figure FDA00037562351300000512
互相关张量
Figure FDA00037562351300000513
中
Figure FDA00037562351300000514
等价于沿着x轴的一个增广虚拟域，
Figure FDA00037562351300000515
等价于沿着y轴的一个增广虚拟域，从而得到增广的非均匀虚拟域面阵
Figure FDA00037562351300000516
4.根据权利要求1所述的基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(4)所述的虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000517
的镜像部分
Figure FDA00037562351300000518
对应的等价接收信号，可通过虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000519
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000520
的空间变换得到，具体操作为：将
Figure FDA00037562351300000521
取共轭操作得到
Figure FDA00037562351300000522
对
Figure FDA00037562351300000523
中的元素依次进行左右翻转和上下翻转，即可得到对应镜像虚拟域均匀面阵
Figure FDA00037562351300000524
的等价接收信号
Figure FDA00037562351300000525
5.根据权利要求1所述的基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(4)所述通过将虚拟域均匀面阵
Figure FDA0003756235130000061
的等价接收信号
Figure FDA0003756235130000062
和镜像虚拟域均匀面阵
Figure FDA0003756235130000063
的等价接收信号
Figure FDA0003756235130000064
在第三维度上进行叠加，得到一个互质面阵虚拟域的三维张量信号
Figure FDA0003756235130000065
可通过CANDECOMP/PARACFAC分解对
Figure FDA0003756235130000066
进行特征提取，在非欠定条件下实现二维波达方向估计。
6.根据权利要求1所述的基于结构化虚拟域张量信号处理的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(7)中，通过对三维结构化虚拟域张量
Figure FDA0003756235130000067
进行CANDECOMP/PARAFAC分解，得到三个因子矩阵，
Figure FDA0003756235130000068
Figure FDA0003756235130000069
其中，
Figure FDA00037562351300000610
为各入射角度
Figure FDA00037562351300000611
的估计值；将因子矩阵G中的第2行元素除以第1行元素，得到
Figure FDA00037562351300000612
将因子矩阵G中的第Px+1行元素除以第1行元素，得到
Figure FDA00037562351300000613
对因子矩阵F也进行类似的参数提取操作后，将从G和F中分别提取的参数进行平均和取对数处理后，从而得到
Figure FDA00037562351300000614
则二维波达方向估计
Figure FDA00037562351300000615
的闭式解为：
Figure FDA00037562351300000616
Figure FDA00037562351300000617
上述步骤中，CANDECOMP/PARAFAC分解遵循以下唯一性条件：
Figure FDA00037562351300000618
其中，
Figure FDA00037562351300000619
表示矩阵的Kruskal秩，且
Figure FDA00037562351300000620
Figure FDA00037562351300000621
min(·)表示取最小值操作；
根据上述不等式，可以获得最优的Px和Py值，从而得到K的理论最大值，即在保证满足唯一性分解条件下求得可分辨信源个数K的理论上限值；这里，K的值超过互质面阵的实际物理阵元总个数4MxMy+NxNy-1。
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