CN112904272B - 基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法 - Google Patents

基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，主要解决现有方法中多维信号结构化信息损失以及奈奎斯特不匹配的问题，其实现步骤是：构建三维互质立方阵列；三维互质立方阵列接收信号的张量建模；计算六维二阶互相关张量统计量；推导基于互相关张量维度合并变换的三维虚拟均匀立方阵列等价信号张量；基于三维虚拟均匀立方阵列的镜像增广构造四维虚拟域信号张量；通过虚拟域信号张量分解构造Kronecker积形式的信号与噪声子空间；基于三维空间谱搜索获得波达方向估计结果。本发明建立起三维互质立方阵列互相关张量统计量与多维虚拟域之间的关联性，实现了奈奎斯特匹配的波达方向估计，可用于目标定位。

Description

基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法
技术领域
本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及多维空间稀疏阵列虚拟域统计量的统计信号处理技术，具体是一种基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，可用于目标定位。
背景技术
互质阵列作为一种典型的系统化稀疏阵列架构，具备大孔径、高分辨率的优势，能够突破传统均匀阵列波达方向估计的性能瓶颈。由于互质阵列的阵元稀疏排布不满足奈奎斯特采样速率，为了实现奈奎斯特匹配的波达方向估计，常用做法是将互质阵列接收信号推导至二阶统计量模型，以构造增广的虚拟均匀阵列，并利用其对应的虚拟域等价信号实现角度信息提取。为了满足诸如雷达探测、5G通信、医疗成像等领域对三维空间目标测向精度的需求，具备更大立体孔径的三维互质立方阵列及其对应的虚拟域信号处理开始受到广泛关注。在传统面向互质线阵和互质面阵的波达方向估计方法中，通常的做法是将接收信号堆叠成矢量进行处理，通过矢量化二阶自相关统计量推导线性虚拟域等价信号，并引入空间平滑解决信源的可辨识问题，从而实现奈奎斯特匹配的波达方向估计。然而，将这种矢量化信号处理的方法简单扩展至三维互质立方阵列场景中，不仅将破坏多维接收信号的原始空间信息结构，且由矢量化信号推导得到的虚拟域信号模型存在线性尺度大、多维空间信息混叠难匹配等问题。
张量是一种多维的数据类型，可以用来保存复杂的多维信号信息；针对多维信号的特征分析，高阶奇异值分解、张量分解类方法为面向张量的信号处理提供了丰富的数学工具。近年来，张量模型已被广泛应用于阵列信号处理、图像信号处理、统计学等多个领域。因此，采用张量构造三维互质立方阵列接收信号，能够有效保留多维接收信号的原始结构信息，并在张量空间推广奈奎斯特匹配的虚拟域信号处理技术，为提升波达方向估计的性能提供重要的理论工具。然而，现有的张量方法还没有涉及到面向三维互质立方阵列虚拟域统计量的信号处理，且仍然延续传统基于自相关统计量的计算方法，然而，这种自相关统计方法无法将传统的线性虚拟域推导手段有效匹配至三维互质立方阵列场景。因此，如何基于三维互质立方阵列接收信号张量的统计特性分析设计多维虚拟域模型，以实现奈奎斯特匹配的波达方向估计，是当前亟待解决的一个重要问题。
发明内容
本发明的目的在于针对现有方法存在的多维信号结构化信息损失以及奈奎斯特不匹配问题，提出一种基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，为构建三维互质立方阵列多维虚拟域与互相关张量统计量关联，利用互相关虚拟域信号张量的结构化信息实现奈奎斯特匹配的波达方向估计提供了可行的思路和有效的解决方案。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，该方法包含以下步骤：
(1)接收端使用
Figure GDA0003447171450000021
个物理天线阵元，按照三维互质立方阵列的结构进行架构；其中，
Figure GDA0003447171450000022
以及
Figure GDA0003447171450000023
分别为一对互质整数；该三维互质立方阵列可分解为两个稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA0003447171450000024
和
Figure GDA0003447171450000025
(2)假设有K个来自
Figure GDA0003447171450000026
方向的远场窄带非相干信号源，则构成三维互质立方阵列的稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA0003447171450000027
的接收信号可通过一个四维张量
Figure GDA0003447171450000028
(T为采样快拍数)建模为：
Figure GDA0003447171450000029
其中，sk＝[sk,1,sk,2,…,sk,T]T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，(·)T表示转置操作，°表示矢量外积，
Figure GDA00034471714500000210
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure GDA00034471714500000211
和
Figure GDA00034471714500000212
分别为三维稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA0003447171450000031
在x轴、y轴和z轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure GDA0003447171450000032
的信号源，表示为：
Figure GDA0003447171450000033
Figure GDA0003447171450000034
Figure GDA0003447171450000035
其中，
Figure GDA0003447171450000036
和
Figure GDA0003447171450000037
Figure GDA0003447171450000038
分别表示
Figure GDA0003447171450000039
在x轴、y轴和z轴方向上第i1、i2和i3个物理天线阵元的实际位置，且
Figure GDA00034471714500000310
Figure GDA00034471714500000311
Figure GDA00034471714500000312
(3)基于两个三维稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA00034471714500000313
和
Figure GDA00034471714500000314
的四维接收信号张量
Figure GDA00034471714500000315
和
Figure GDA00034471714500000316
通过求它们的互相关统计量，得到涵盖六维空间信息的二阶互相关张量
Figure GDA00034471714500000317
Figure GDA00034471714500000318
其中，
Figure GDA00034471714500000319
表示第k个入射信号源的功率，
Figure GDA00034471714500000320
表示六维互相关噪声张量，＜·，·＞r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·)*表示共轭操作。这里，六维张量
Figure GDA00034471714500000321
仅在第(1，1，1，1，1，1)个位置上存在取值为
Figure GDA00034471714500000325
的元素，
Figure GDA00034471714500000326
表示噪声功率，而在其他位置上的元素取值均为0；
(4)互相关张量
Figure GDA00034471714500000322
的第1、4维度(通过导引矢量
Figure GDA00034471714500000323
和
Figure GDA00034471714500000324
表示)表征x轴方向的空间信息，第2、5维度(通过导引矢量
Figure GDA0003447171450000041
和
Figure GDA0003447171450000042
表示)表征y轴方向的空间信息，第3、6维度(通过导引矢量
Figure GDA0003447171450000043
和
Figure GDA0003447171450000044
表示)表征z轴方向的空间信息；为此，定义维度集合
Figure GDA0003447171450000045
和
Figure GDA0003447171450000046
则通过对互相关张量
Figure GDA0003447171450000047
进行维度合并的张量变换，得到一个虚拟域二阶等价信号张量
Figure GDA0003447171450000048
Figure GDA0003447171450000049
其中，
Figure GDA00034471714500000410
和
Figure GDA00034471714500000411
分别通过在指数项上形成差集数组，构造出沿着x轴、y轴和z轴方向的增广虚拟阵列，bx(μk)、by(vk)和bz(ωk)分别等价为虚拟阵列在x轴、y轴和z轴上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure GDA00034471714500000412
的信号源，
Figure GDA00034471714500000413
表示Kronecker积。因此，
Figure GDA00034471714500000414
对应一个增广的三维虚拟非均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000415
这里，为了简化推导过程，六维噪声张量
Figure GDA00034471714500000416
在关于
Figure GDA00034471714500000417
的理论建模步骤中省略；
Figure GDA00034471714500000418
中有一个包含
Figure GDA00034471714500000419
Figure GDA00034471714500000420
个虚拟阵元的三维均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000421
表示为：
Figure GDA00034471714500000422
三维均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000423
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500000424
可建模为：
Figure GDA00034471714500000425
其中，
Figure GDA00034471714500000426
Figure GDA00034471714500000427
Figure GDA00034471714500000428
Figure GDA0003447171450000051
和
Figure GDA0003447171450000052
Figure GDA0003447171450000053
分别为三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000054
在x轴、y轴和z轴上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure GDA0003447171450000055
的信号源；
(5)考虑三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000056
的镜像部分
Figure GDA0003447171450000057
表示为：
Figure GDA0003447171450000058
利用三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000059
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500000510
进行变换，可以得到三维镜像虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000511
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500000512
具体操作为：将三维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500000513
取共轭操作得到
Figure GDA00034471714500000514
对
Figure GDA00034471714500000515
中的元素沿着三个维度方向依次进行位置翻转，即可得到对应
Figure GDA00034471714500000516
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500000517
将三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000518
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500000519
和镜像虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000520
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500000521
在第四维度(即表征镜像变换信息的维度)上进行叠加，得到一个四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500000522
可建模为：
Figure GDA00034471714500000523
其中，
Figure GDA00034471714500000524
为三维空间镜像变换因子矢量；
(6)对四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500000525
进行CANDECOMP/PARACFAC分解，得到对应四维空间信息的因子矢量
Figure GDA00034471714500000526
以及c(μk，νk，ωk)，k＝1，2，...，K，通过它们的Kronecker积形式构造信号子空间
Figure GDA00034471714500000527
Figure GDA00034471714500000528
Figure GDA0003447171450000061
其中，orth(·)表示矩阵正交化操作，
Figure GDA0003447171450000062
Figure GDA0003447171450000063
用
Figure GDA0003447171450000064
表示噪声子空间，则Vn
Figure GDA0003447171450000065
可通过Vs得到：
Figure GDA0003447171450000066
其中，I表示单位矩阵；(·)H表示共轭转置操作；
(7)遍历二维波达方向
Figure GDA0003447171450000067
计算对应的参数
Figure GDA0003447171450000068
Figure GDA0003447171450000069
并构造对应三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500000610
的导引矢量
Figure GDA00034471714500000611
表示为：
Figure GDA00034471714500000612
这里，
Figure GDA00034471714500000613
Figure GDA00034471714500000614
三维空间谱
Figure GDA00034471714500000615
计算如下：
Figure GDA00034471714500000616
通过对三维空间谱
Figure GDA00034471714500000617
进行谱峰搜索，获得波达方向估计结果。
进一步地，步骤(1)所述的三维互质立方阵列结构可具体描述为：在直角坐标系上构造一对三维稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA00034471714500000618
和
Figure GDA00034471714500000619
其中
Figure GDA00034471714500000620
包含
Figure GDA00034471714500000621
Figure GDA00034471714500000622
个天线阵元，在x轴、y轴和z轴方向上的阵元间距分别为
Figure GDA00034471714500000623
和
Figure GDA00034471714500000624
其在直角坐标系中的位置为
Figure GDA00034471714500000625
Figure GDA00034471714500000626
Figure GDA00034471714500000627
包含
Figure GDA00034471714500000628
个天线阵元，在x轴、y轴和z轴方向上的阵元间距分别为
Figure GDA00034471714500000629
和
Figure GDA00034471714500000630
其在直角坐标系中的位置为
Figure GDA00034471714500000631
Figure GDA00034471714500000632
单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；将
Figure GDA00034471714500000633
和
Figure GDA00034471714500000634
按照直角坐标系(0，0，0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含
Figure GDA00034471714500000635
个物理天线阵元的三维互质立方阵列。
进一步地，步骤(3)所述三维互质立方阵列的二阶互相关张量统计量，在实际中，可通过计算接收信号张量
Figure GDA0003447171450000071
和
Figure GDA0003447171450000072
的T个采样快拍的互相关统计量估计得到：
Figure GDA0003447171450000073
进一步地，步骤(4)所述三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000074
的等价信号张量
Figure GDA0003447171450000075
可通过选取三维虚拟非均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000076
的等价信号张量
Figure GDA0003447171450000077
中与
Figure GDA0003447171450000078
中各虚拟阵元位置相对应的元素获得。
进一步地，步骤(6)中，通过对四维虚拟域信号张量
Figure GDA0003447171450000079
进行CANDECOMP/PARAFAC分解，得到因子矩阵
Figure GDA00034471714500000710
Figure GDA00034471714500000711
Figure GDA00034471714500000727
和＝[c(μ1，v1，ω1)，c(μ2，v2，ω2)，...，此时，四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500000712
的CANDECOMP/PARACFAC分解遵循唯一性条件如下：
Figure GDA00034471714500000713
其中，
Figure GDA00034471714500000714
表示矩阵的Kruskal秩，且
Figure GDA00034471714500000715
Figure GDA00034471714500000716
Figure GDA00034471714500000717
min(·)表示取最小值操作；在不引入空间平滑对所推导四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500000718
进行处理的前提下，上述CANDECOMP/PARACFAC分解的唯一性不等式成立，说明本发明所提方法无需空间平滑步骤即可有效提取信号源的角度信息。
进一步地，步骤(7)中，三维空间谱搜索获得波达方向估计结果的具体过程为：固定
Figure GDA00034471714500000719
的取值为0°，将
Figure GDA00034471714500000720
从-90°按照0.1°的间隔逐渐增加至90°，随后，将
Figure GDA00034471714500000721
从0°增加到0.1°，再次将
Figure GDA00034471714500000722
从-90°按照0.1°的间隔逐渐增加至90°，重复此过程，直至
Figure GDA00034471714500000723
增加至180°，在每个二维波达方向
Figure GDA00034471714500000724
上，计算对应的
Figure GDA00034471714500000725
从而在二维波达方向平面上构造三维空间谱；在二维波达方向平面上，搜索三维空间谱
Figure GDA00034471714500000726
的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个谱峰所对应的二维角度值，即为对应信号源的波达方向估计结果。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
(1)本发明通过张量表示三维互质立方阵列的多维接收信号，相比于传统矢量化信号的处理方法，所提方法有效保留了多维接收信号的原始结构化信息，并利用张量代数工具解构张量信号的空间信息和时间信息，避免了多维时空信息的混叠；
(2)本发明基于六维互相关张量统计量推导多维虚拟域等价信号张量，解决了传统基于自相关统计量的线性虚拟域推导方法在三维互质立方阵列场景中的失效问题，建立起互质张量信号与多维虚拟域之间的关联性，为实现奈奎斯特匹配的波达方向估计奠定了基础；
(3)本发明充分挖掘三维互质立方阵列虚拟域的可利用信息，通过三维虚拟均匀立方阵列的镜像增广构造可直接分解的四维虚拟域信号张量，无需引入空间平滑步骤即可实现信源的波达方向估计。
附图说明
图1是本发明的总体流程框图。
图2是本发明中三维互质立方阵列的结构示意图。
图3是本发明所推导三维虚拟均匀立方阵列结构示意图。
图4是传统基于矢量化信号处理方法的波达方向估计效果图。
图5是本发明所提方法的波达方向估计效果图。
具体实施方式
以下参照附图，对本发明的技术方案作进一步的详细说明。
为了解决现有方法存在的多维信号结构化信息损失以及奈奎斯特不匹配问题，本发明提出了一种基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，通过结合互相关张量统计分析、多维虚拟域张量空间推广、互相关虚拟域信号张量分解等手段，建立起三维互质立方阵列互相关张量统计量与虚拟域之间的关联性，以实现奈奎斯特匹配的二维波达方向估计。参照图1，本发明的实现步骤如下：
步骤1：构建三维互质立方阵列。在接收端使用
Figure GDA0003447171450000091
Figure GDA0003447171450000092
个物理天线阵元构建三维互质立方阵列，如图2所示：在直角坐标系上构造一对三维稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA0003447171450000093
和
Figure GDA0003447171450000094
其中
Figure GDA0003447171450000095
包含
Figure GDA0003447171450000096
个天线阵元，在x轴、y轴和z轴方向上的阵元间距分别为
Figure GDA0003447171450000097
和
Figure GDA0003447171450000098
其在直角坐标系中的位置为
Figure GDA0003447171450000099
Figure GDA00034471714500000910
Figure GDA00034471714500000911
包含
Figure GDA00034471714500000912
个天线阵元，在x轴、y轴和z轴方向上的阵元间距分别为
Figure GDA00034471714500000913
和
Figure GDA00034471714500000914
其在直角坐标系中的位置为
Figure GDA00034471714500000915
Figure GDA00034471714500000916
其中，
Figure GDA00034471714500000917
Figure GDA00034471714500000918
以及
Figure GDA00034471714500000919
分别为一对互质整数；单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；将
Figure GDA00034471714500000920
和
Figure GDA00034471714500000921
按照直角坐标系(0，0，0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含
Figure GDA00034471714500000922
1个物理天线阵元的三维互质立方阵列；
步骤2：三维互质立方阵列接收信号的张量建模。假设有K个来自
Figure GDA00034471714500000923
方向的远场窄带非相干信号源，将构成三维互质立方阵列的稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA00034471714500000924
在t时刻的采样快拍信号表示成一个涵盖三维空间信息的张量
Figure GDA00034471714500000925
并将T个采样快拍的接收信号张量
Figure GDA00034471714500000926
在第四个维度(即时间维度)进行叠加后，得到一个对应于稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA00034471714500000927
的四维接收信号张量
Figure GDA00034471714500000928
可建模为：
Figure GDA00034471714500000929
其中，sk＝[sk，1，sk，2，…，sk，T]T为对应第k个入射信号源的多快拍采样信号波形，(·)T表示转置操作，
Figure GDA00034471714500000931
表示矢量外积，
Figure GDA00034471714500000930
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure GDA0003447171450000101
和
Figure GDA0003447171450000102
分别为三维稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA0003447171450000103
在x轴、y轴和z轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure GDA0003447171450000104
的信号源，表示为：
Figure GDA0003447171450000105
Figure GDA0003447171450000106
Figure GDA0003447171450000107
其中，
Figure GDA0003447171450000108
和
Figure GDA0003447171450000109
Figure GDA00034471714500001010
分别表示
Figure GDA00034471714500001011
在x轴、y轴和z轴方向上第i1、i2和i3个物理天线阵元的实际位置，且
Figure GDA00034471714500001012
Figure GDA00034471714500001013
步骤3：计算六维二阶互相关张量统计量。由于两个子阵列
Figure GDA00034471714500001014
和
Figure GDA00034471714500001015
接收信号张量
Figure GDA00034471714500001016
和
Figure GDA00034471714500001017
的结构大小满足互质数特点，因此无法将
Figure GDA00034471714500001018
和
Figure GDA00034471714500001019
叠加成一个张量信号后计算其二阶自相关统计量，为此，通过求它们的互相关统计量，得到涵盖六维空间信息的二阶互相关张量
Figure GDA00034471714500001020
可计算为：
Figure GDA00034471714500001021
其中，
Figure GDA00034471714500001022
表示第k个入射信号源的功率，
Figure GDA00034471714500001023
表示六维互相关噪声张量，＜·，·＞r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·)*表示共轭操作。这里，六维张量
Figure GDA00034471714500001024
仅在第(1，1，1，1，1，1)个位置上存在取值为
Figure GDA0003447171450000111
的元素，
Figure GDA0003447171450000112
表示噪声功率，而在其他位置上的元素取值均为0。在实际中，对T个采样快拍的接收信号张量
Figure GDA0003447171450000113
和
Figure GDA0003447171450000114
通过求它们的互相关统计量，得到二阶采样互相关张量
Figure GDA0003447171450000115
Figure GDA0003447171450000116
步骤4：推导基于互相关张量维度合并变换的三维虚拟均匀立方阵列等价信号张量。由于互相关张量
Figure GDA0003447171450000117
中包含了分别对应两个稀疏均匀立方子阵列
Figure GDA0003447171450000118
和
Figure GDA0003447171450000119
的三维空间信息，通过合并
Figure GDA00034471714500001110
中表征同一方向空间信息的维度，可以使对应两个互质子阵列的导引矢量在指数项上形成差集数组，从而在三维空间中构造增广虚拟阵列。具体地，互相关张量
Figure GDA00034471714500001111
的第1、4维度(通过导引矢量
Figure GDA00034471714500001112
和
Figure GDA00034471714500001113
表示)表征x轴方向的空间信息，第2、5维度(通过导引矢量
Figure GDA00034471714500001114
和
Figure GDA00034471714500001115
表示)表征y轴方向的空间信息，第3、6维度(通过导引矢量
Figure GDA00034471714500001116
和
Figure GDA00034471714500001117
表示)表征z轴方向的空间信息；为此，定义维度集台
Figure GDA00034471714500001118
和
Figure GDA00034471714500001119
则通过对互相关张量
Figure GDA00034471714500001120
进行维度合并的张量变换，得到一个虚拟域二阶等价信号张量
Figure GDA00034471714500001121
Figure GDA00034471714500001122
其中，
Figure GDA00034471714500001123
和
Figure GDA00034471714500001124
分别通过在指数项上形成差集数组，构造出沿着x轴、y轴和z轴方向的增广虚拟阵列，bx(μk)、by(vk)和bz(ωk)分别等价为虚拟阵列在x轴、y轴和z轴上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure GDA00034471714500001125
的信号源，
Figure GDA00034471714500001126
表示Kronecker积。因此，
Figure GDA00034471714500001127
对应一个增广的三维虚拟非均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001128
这里，为了简化推导过程，六维噪声张量
Figure GDA00034471714500001129
在关于
Figure GDA00034471714500001130
的理论建模步骤中省略，然而，在实际中，由于使用采样互相关张量统计量
Figure GDA00034471714500001131
替代理论互相关张量统计量
Figure GDA0003447171450000121
被自然涵盖于互相关张量信号统计处理过程中；
Figure GDA0003447171450000122
中有一个包含
Figure GDA0003447171450000123
Figure GDA0003447171450000124
个虚拟阵元的三维均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000125
表示为：
Figure GDA0003447171450000126
三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000127
的等价信号张量
Figure GDA0003447171450000128
可通过选取
Figure GDA0003447171450000129
中与
Figure GDA00034471714500001210
中各虚拟阵元位置相对应的元素获得，可建模为：
Figure GDA00034471714500001211
其中，
Figure GDA00034471714500001212
Figure GDA00034471714500001213
Figure GDA00034471714500001214
Figure GDA00034471714500001215
和
Figure GDA00034471714500001216
Figure GDA00034471714500001217
分别为三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001218
在x轴、y轴和z轴上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure GDA00034471714500001219
的信号源；
步骤5：基于三维虚拟均匀立方阵列的镜像增广构造四维虚拟域信号张量。由于基于互相关张量维度合并变换得到的三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001220
不相对于坐标轴对称，为了增大虚拟阵列的有效孔径，考虑三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001224
的镜像部分
Figure GDA00034471714500001221
表示为：
Figure GDA00034471714500001222
为了得到镜像虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001223
的等价信号张量
Figure GDA0003447171450000131
可利用三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000132
的等价信号张量
Figure GDA0003447171450000133
进行变换，具体操作为：将三维虚拟域信号张量
Figure GDA0003447171450000134
取共轭操作得到
Figure GDA0003447171450000135
对
Figure GDA0003447171450000136
中的元素沿着三个维度方向依次进行位置翻转，即可得到对应
Figure GDA0003447171450000137
的等价信号张量
Figure GDA0003447171450000138
将三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA0003447171450000139
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500001310
和镜像虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001311
的等价信号张量
Figure GDA00034471714500001312
在第四维度(即表征镜像变换信息的维度)上进行叠加，得到一个四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500001313
可建模为：
Figure GDA00034471714500001314
其中，
Figure GDA00034471714500001315
为三维空间镜像变换因子矢量；
步骤6：通过虚拟域信号张量分解构造Kronecker积形式的信号与噪声子空间。对四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500001316
进行CANDECOMP/PARACFAC分解，得到对应四维空间信息的因子矢量
Figure GDA00034471714500001317
以及c(μk，νk，ωk)，k＝1，2，…，K，用
Figure GDA00034471714500001318
Figure GDA00034471714500001319
和C＝[c(μ1，ν1，ω1)，c(μ2，ν2，ω2)，…，c(μK，vK，ωK)]表示因子矩阵。此时，四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500001320
的CANDECOMP/PARACFAC分解遵循唯一性条件如下：
Figure GDA00034471714500001321
其中，
Figure GDA00034471714500001322
表示矩阵的Kruskal秩，且
Figure GDA00034471714500001323
Figure GDA00034471714500001324
Figure GDA00034471714500001325
min(·)表示取最小值操作；在不引入空间平滑对所推导四维虚拟域信号张量
Figure GDA00034471714500001326
进行处理的前提下，上述CANDECOMP/PARACFAC分解的唯一性不等式成立，说明本发明所提方法无需空间平滑步骤即可有效提取信号源的角度信息。进一步地，利用张量分解得到的因子矢量
Figure GDA00034471714500001427
以及c(μk，vk，ωk)，通过它们的Kronecker积形式构造信号子空间
Figure GDA0003447171450000141
Figure GDA0003447171450000142
其中，orth(·)表示矩阵正交化操作，
Figure GDA0003447171450000143
Figure GDA0003447171450000144
用
Figure GDA0003447171450000145
表示噪声子空间，则Vn
Figure GDA0003447171450000146
可通过Vs得到：
Figure GDA0003447171450000147
其中，I表示单位矩阵；(·)H表示共轭转置操作；
步骤7：基于三维空间谱搜索获得波达方向估计结果。遍历二维波达方向
Figure GDA0003447171450000148
计算对应的参数
Figure GDA0003447171450000149
Figure GDA00034471714500001410
并构造对应三维虚拟均匀立方阵列
Figure GDA00034471714500001411
的导引矢量
Figure GDA00034471714500001412
Figure GDA00034471714500001413
表示为：
Figure GDA00034471714500001414
这里，
Figure GDA00034471714500001415
三维空间谱
Figure GDA00034471714500001416
计算如下：
Figure GDA00034471714500001417
通过对三维空间谱
Figure GDA00034471714500001418
进行谱峰搜索，获取波达方向估计结果，具体过程为：固定
Figure GDA00034471714500001419
的取值为0°，将
Figure GDA00034471714500001420
从-90°按照0.1°的间隔逐渐增加至90°，随后，将
Figure GDA00034471714500001421
从0°增加到0.1°，再次将
Figure GDA00034471714500001422
从-90°按照0.1°的间隔逐渐增加至90°，重复此过程，直至
Figure GDA00034471714500001423
增加至180°，在每个二维波达方向
Figure GDA00034471714500001424
上，计算对应的
Figure GDA00034471714500001425
从而在二维波达方向平面上构造三维空间谱；在二维波达方向平面上，搜索三维空间谱
Figure GDA00034471714500001426
的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个谱峰所对应的二维角度，即为对应信号源的波达方向估计结果。
下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。
仿真实例：采用三维互质立方阵列接收入射信号，其参数选取为
Figure GDA0003447171450000151
即架构的三维互质立方阵列共包含
Figure GDA0003447171450000152
个物理阵元。假定有2个入射窄带信号，入射方向方位角和俯仰角分别是[25°,20°]和[45°,40°]；在SNR＝0dB条件下，采用800个采样快拍进行仿真实验。
传统基于矢量化信号处理的三维互质立方阵列波达方向估计方法估计结果如图4所示，其中x轴和y轴分别表示入射信号源的俯仰角和方位角；本发明所提出的基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法估计结果如图5所示。对比可以看出，本发明所提方法能够准确估计这2个入射信号源，而传统基于矢量化信号处理的方法无法有效分辨这2个入射信号源，体现了所提方法在波达方向估计分辨率性能上的优势。
综上所述，本发明建立起三维互质立方阵列多维虚拟域与互相关张量统计量之间的联系，通过互相关张量统计量变换推导得到虚拟域信号张量，构造保留了多维空间信息结构的互相关虚拟域张量表征；再者，通过构建虚拟域信号张量的信源辨识机理，无需引入空间平滑步骤即可确保信源的可辨识性；最后，通过虚拟域信号张量分解，实现了奈奎斯特匹配的波达方向估计。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，虽然本发明已以较佳实施例披露如上，然而并非用以限定本发明。任何熟悉本领域的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围情况下，都可利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出许多可能的变动和修饰，或修改为等同变化的等效实施例。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何的简单修改、等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。

Claims (6)

1.一种基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：
(1)接收端使用
Figure FDA0003447171440000011
个物理天线阵元，按照三维互质立方阵列的结构进行架构；其中，
Figure FDA0003447171440000012
以及
Figure FDA0003447171440000013
分别为一对互质整数；该三维互质立方阵列分解为两个稀疏均匀立方子阵列
Figure FDA0003447171440000014
和
Figure FDA0003447171440000015
(2)假设有K个来自
Figure FDA0003447171440000016
方向的远场窄带非相干信号源，θk,
Figure FDA0003447171440000017
分别为第k个入射信号源的方位角和俯仰角，k＝1,2,…,K，则构成三维互质立方阵列的稀疏均匀立方子阵列
Figure FDA0003447171440000018
的接收信号通过一个四维张量
Figure FDA0003447171440000019
T为采样快拍数建模为：
Figure FDA00034471714400000110
其中，sk＝[sk,1,sk,2,…,sk,T]T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，(·)T表示转置操作，
Figure FDA00034471714400000119
表示矢量外积，
Figure FDA00034471714400000111
为与各信号源相互独立的噪声张量，
Figure FDA00034471714400000112
和
Figure FDA00034471714400000113
分别为三维稀疏均匀立方子阵列
Figure FDA00034471714400000114
在x轴、y轴和z轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure FDA00034471714400000115
的信号源，表示为：
Figure FDA00034471714400000116
Figure FDA00034471714400000117
Figure FDA00034471714400000118
其中，
Figure FDA0003447171440000021
和
Figure FDA0003447171440000022
分别表示
Figure FDA0003447171440000023
在x轴、y轴和z轴方向上第i1、i2和i3个物理天线阵元的实际位置，
Figure FDA0003447171440000024
Figure FDA0003447171440000025
且
Figure FDA0003447171440000026
Figure FDA0003447171440000027
(3)基于两个三维稀疏均匀立方子阵列
Figure FDA0003447171440000028
和
Figure FDA0003447171440000029
的四维接收信号张量
Figure FDA00034471714400000210
和
Figure FDA00034471714400000211
通过求它们的互相关统计量，得到涵盖六维空间信息的二阶互相关张量
Figure FDA00034471714400000212
Figure FDA00034471714400000213
其中，
Figure FDA00034471714400000214
表示第k个入射信号源的功率，
Figure FDA00034471714400000215
表示六维互相关噪声张量，＜·,·＞r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·)*表示共轭操作；这里，六维张量
Figure FDA00034471714400000216
仅在第(1,1,1,1,1,1)个位置上存在取值为
Figure FDA00034471714400000217
的元素，
Figure FDA00034471714400000218
表示噪声功率，而在其他位置上的元素取值均为0；
(4)互相关张量
Figure FDA00034471714400000219
的第1、4维度表征x轴方向的空间信息，第2、5维度表征y轴方向的空间信息，第3、6维度表征z轴方向的空间信息；为此，定义维度集合
Figure FDA00034471714400000220
和
Figure FDA00034471714400000221
则通过对互相关张量
Figure FDA00034471714400000222
进行维度合并的张量变换，得到一个虚拟域二阶等价信号张量
Figure FDA00034471714400000223
Figure FDA00034471714400000224
其中，
Figure FDA00034471714400000225
和
Figure FDA00034471714400000226
分别通过在指数项上形成差集数组，构造出沿着x轴、y轴和z轴方向的增广虚拟阵列，bx(μk)、by(νk)和bz(ωk)分别等价为虚拟阵列在x轴、y轴和z轴上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure FDA0003447171440000031
的信号源，
Figure FDA0003447171440000032
表示Kronecker积；因此，
Figure FDA0003447171440000033
对应一个增广的三维虚拟非均匀立方阵列
Figure FDA0003447171440000034
Figure FDA0003447171440000035
中有一个包含
Figure FDA0003447171440000036
Figure FDA0003447171440000037
个虚拟阵元的三维均匀立方阵列
Figure FDA0003447171440000038
表示为：
Figure FDA0003447171440000039
单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；三维均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000310
的等价信号张量
Figure FDA00034471714400000311
建模为：
Figure FDA00034471714400000312
其中，
Figure FDA00034471714400000313
Figure FDA00034471714400000314
Figure FDA00034471714400000315
Figure FDA00034471714400000316
和
Figure FDA00034471714400000317
Figure FDA00034471714400000318
分别为三维虚拟均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000319
在x轴、y轴和z轴上的导引矢量，对应于来波方向为
Figure FDA00034471714400000320
的信号源；
(5)考虑三维虚拟均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000321
的镜像部分
Figure FDA00034471714400000322
表示为：
Figure FDA00034471714400000323
利用三维虚拟均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000324
的等价信号张量
Figure FDA00034471714400000325
进行变换，得到三维镜像虚拟均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000326
的等价信号张量
Figure FDA00034471714400000327
具体操作为：将三维虚拟域信号张量
Figure FDA00034471714400000328
取共轭操作得到
Figure FDA00034471714400000329
对
Figure FDA00034471714400000330
中的元素沿着三个维度方向依次进行位置翻转，即可得到对应
Figure FDA0003447171440000041
的等价信号张量
Figure FDA0003447171440000042
将三维虚拟均匀立方阵列
Figure FDA0003447171440000043
的等价信号张量
Figure FDA0003447171440000044
和镜像虚拟均匀立方阵列
Figure FDA0003447171440000045
的等价信号张量
Figure FDA0003447171440000046
在第四维度上进行叠加，得到一个四维虚拟域信号张量
Figure FDA0003447171440000047
建模为：
Figure FDA0003447171440000048
其中，
Figure FDA0003447171440000049
为三维空间镜像变换因子矢量；
(6)对四维虚拟域信号张量
Figure FDA00034471714400000410
进行CANDECOMP/PARACFAC分解，得到对应四维空间信息的因子矢量
Figure FDA00034471714400000411
以及c(μk,vk,ωk)，k＝1,2,…,K，通过它们的Kronecker积形式构造信号子空间
Figure FDA00034471714400000412
Figure FDA00034471714400000413
其中，orth(·)表示矩阵正交化操作，
Figure FDA00034471714400000414
Figure FDA00034471714400000415
用
Figure FDA00034471714400000416
表示噪声子空间，则
Figure FDA00034471714400000417
通过Vs得到：
Figure FDA00034471714400000418
其中，I表示单位矩阵；(·)H表示共轭转置操作；
(7)遍历二维波达方向
Figure FDA00034471714400000419
Figure FDA00034471714400000420
和
Figure FDA00034471714400000421
分别为在[-90°,90°]和[0°,180°]取值范围内遍历的方位角和俯仰角，计算对应的参数
Figure FDA00034471714400000422
Figure FDA00034471714400000423
并构造对应三维虚拟均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000424
的导引矢量
Figure FDA00034471714400000425
表示为：
Figure FDA00034471714400000426
这里，
Figure FDA00034471714400000427
Figure FDA00034471714400000428
为对应
Figure FDA00034471714400000429
的三维空间镜像变换因子矢量；三维空间谱
Figure FDA00034471714400000430
计算如下：
Figure FDA0003447171440000051
通过对三维空间谱
Figure FDA0003447171440000052
进行谱峰搜索，获得波达方向估计结果。
2.根据权利要求1所述的基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(1)所述的三维互质立方阵列结构具体描述为：在直角坐标系上构造一对三维稀疏均匀立方子阵列
Figure FDA0003447171440000053
和
Figure FDA0003447171440000054
其中
Figure FDA0003447171440000055
包含
Figure FDA0003447171440000056
Figure FDA0003447171440000057
个天线阵元，在x轴、y轴和z轴方向上的阵元间距分别为
Figure FDA0003447171440000058
Figure FDA0003447171440000059
和
Figure FDA00034471714400000510
其在直角坐标系中的位置为
Figure FDA00034471714400000511
Figure FDA00034471714400000512
Figure FDA00034471714400000529
Figure FDA00034471714400000513
包含
Figure FDA00034471714400000514
个天线阵元，在x轴、y轴和z轴方向上的阵元间距分别为
Figure FDA00034471714400000515
和
Figure FDA00034471714400000516
其在直角坐标系中的位置为
Figure FDA00034471714400000517
Figure FDA00034471714400000518
单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；将
Figure FDA00034471714400000519
和
Figure FDA00034471714400000520
按照直角坐标系(0,0,0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含
Figure FDA00034471714400000521
个物理天线阵元的三维互质立方阵列。
3.根据权利要求1所述的基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(3)所述三维互质立方阵列的二阶互相关张量统计量，在实际中，通过计算接收信号张量
Figure FDA00034471714400000522
和
Figure FDA00034471714400000523
的T个采样快拍的互相关统计量估计得到：
Figure FDA00034471714400000524
4.根据权利要求1所述的基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(4)所述三维虚拟均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000525
的等价信号张量
Figure FDA00034471714400000526
通过选取三维虚拟非均匀立方阵列
Figure FDA00034471714400000530
的等价信号张量
Figure FDA00034471714400000527
中与
Figure FDA00034471714400000528
中各虚拟阵元位置相对应的元素获得。
5.根据权利要求1所述的基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(6)中，通过对四维虚拟域信号张量
Figure FDA0003447171440000061
进行CANDECOMP/PARAFAC分解，得到因子矩阵
Figure FDA0003447171440000062
Figure FDA0003447171440000063
Figure FDA0003447171440000064
和C＝[c(μ1,v1,ω1),c(μ2,v2,ω2),…,c(μK,vK,ωK)]；此时，四维虚拟域信号张量
Figure FDA0003447171440000065
的CANDECOMP/PARACFAC分解遵循唯一性条件如下：
Figure FDA0003447171440000066
其中，
Figure FDA0003447171440000067
表示矩阵的Kruskal秩，且
Figure FDA0003447171440000068
Figure FDA0003447171440000069
Figure FDA00034471714400000610
min(·)表示取最小值操作；在不引入空间平滑对所推导四维虚拟域信号张量
Figure FDA00034471714400000611
进行处理的前提下，上述CANDECOMP/PARACFAC分解的唯一性不等式成立。
6.根据权利要求1所述的基于互相关张量的三维互质立方阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(7)中，三维空间谱搜索获得波达方向估计结果的具体过程为：固定
Figure FDA00034471714400000612
的取值为0°，将
Figure FDA00034471714400000613
从-90°按照0.1°的间隔逐渐增加至90°，随后，将
Figure FDA00034471714400000614
从0°增加到0.1°，再次将
Figure FDA00034471714400000615
从-90°按照0.1°的间隔逐渐增加至90°，重复此过程，直至
Figure FDA00034471714400000616
增加至180°，在每个二维波达方向
Figure FDA00034471714400000617
上，计算对应的
Figure FDA00034471714400000618
从而在二维波达方向平面上构造三维空间谱；在二维波达方向平面上，搜索三维空间谱
Figure FDA00034471714400000619
的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个谱峰所对应的二维角度值，即为对应信号源的波达方向估计结果。
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