WO2021068494A1 - 基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，主要解决现有方法中信号多维信息丢失和空间谱分辨度、精确度受限的问题，其实现步骤是：构建平面互质阵列；平面互质阵列接收信号张量建模；推导基于平面互质阵列二阶互相关张量的虚拟域等价信号；构造虚拟域均匀面阵的等价接收信号；推导虚拟域平滑信号的四阶自相关张量；基于虚拟域自相关张量的多维特征提取实现信号与噪声子空间分类；基于虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计。该方法基于平面互质阵列虚拟域张量统计量的多维特征提取，实现基于张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计，可用于无源探测和目标定位。

Description

基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法 技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及基于平面互质阵列张量信号的统计信号处理技术，具体是一种基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，可用于无源探测和空间定位。

背景技术

平面互质阵列作为一种具有系统化架构的二维稀疏阵列，具有大孔径、高分辨的特点，相较于传统均匀阵列，能够实现二维波达方向估计在估计精度、分辨度等综合性能上的突破；与此同时，通过构造二维虚拟域，能够在虚拟域均匀面阵上进行符合奈奎斯特匹配条件的信号处理，从而解决平面互质阵列的信号失配问题。基于虚拟域信号构造平面互质阵列空间谱，进而通过二维谱峰搜索，可以得到精确的二维波达方向估计。以此为思路，传统的方法通常将具有二维空间结构信息的入射信号用矢量进行表示，并以时间平均的方式计算多采样信号的二阶统计量，进而通过矢量化推导虚拟域二阶等价信号。然而，以矢量方式表示的平面互质阵列接收信号及其虚拟域等价信号不仅丢失了原始信号的多维空间结构信息，且随着数据量增大，容易造成维度灾难，因此以此为基础构造空间谱并得到二维波达方向估计在精确度、分辨度等性能上仍存在缺陷。

为了解决上述问题，基于张量空间谱搜索的平面互质阵列二维波达方向估计方法开始受到关注。张量作为一种高维的数据结构，可以保存信号的原始多维信息；同时，高阶奇异值分解、张量分解等多维代数理论也为张量信号的多维特征提取提供了丰富的分析工具。因此，张量信号模型能够充分利用平面互质阵列入射信号的多维空间结构信息。然而，现有方法仍然是基于实际接收张量信号进行处理，并没有利用平面互质阵列的二维虚拟域进行张量空间谱构造， 没有解决平面互质阵列信号失配的问题，导致精确度受损；且生成的谱峰分辨度低，易产生相互混叠。因此，现有方法在精确度和分辨度性能上仍存在较大的提升空间。

发明内容

本发明的目的在于针对上述方法中存在的信号多维空间结构信息丢失和空间谱分辨度、精度性能受限问题，提出一种基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，为建立平面互质阵列张量信号统计量和虚拟域空间谱联系，搭建虚拟域张量空间谱搜索架构，实现高分辨、高精度的二维波达方向估计提供了可行的思路和有效的解决方案。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：一种基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，包含以下步骤：

(1)接收端使用4M _xM _y+N _xN _y-1个物理天线阵元，按照平面互质阵列的结构进行架构；其中，M _x、N _x以及M _y、N _y分别为一对互质整数，且M _x<N _x，M _y<N _y；该平面互质阵列可分解为两个稀疏均匀子阵列

和

(2)假设有K个来自

方向的远场窄带非相干信号源，将平面互质阵列稀疏子阵列

的接收信号用一个三维张量信号

(L为采样快拍数)表示为：

其中，s _k＝[s _k,1,s _k,2,…,s _k,L] ^T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，[·] ^T表示转置操作，ο表示矢量外积，

为与各信号源相互独立的噪声张量，

和

分别为

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源，表示为：

其中，

及

分别表示稀疏子阵列

在 x轴和y轴方向上第i ₁和i ₂个物理天线阵元的实际位置，且

稀疏子阵列

的接收信号可用另一个三维张量

表示为：

其中，

为与各信号源相互独立的噪声张量，

和

分别为稀疏子阵列

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源，表示为：

其中，

及

分别表示稀疏子阵列

在x轴和y轴方向上第i ₃和i ₄个物理天线阵元的实际位置，且

计算子阵列

和

的接收张量信号x ₁和x ₂的二阶互相关张量

表示为：

这里，x ₁(l)和x ₂(l)分别表示x ₁和x ₂在第三维度(即快拍维度)方向上的第l个切片，(·) ^*表示共轭操作；

(3)由互相关张量

得到一个增广的非均匀虚拟域面阵

其中各虚拟阵元的位置表示为：

其中，单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2。定义维度集合

和

则通过对互相关张量

的理想值

(无噪声场景)进行PARAFAC分解的模

展开，可获得增广虚拟域面阵

的等价接收信号

的理想表示为：

其中，

和

是增广虚拟域面阵

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源；

表示第k个入射信号源的功率；这里，

表示克罗内克积；张量下标表示张量的PARAFAC分解的模展开操作；

(4)

中包含一个x轴分布为(-N _x+1)d到(M _xN _x+M _x-1)d、y轴分布为(-N _y+1)d到(M _yN _y+M _y-1)d的虚拟域均匀面阵

中共有D _x×D _y个虚拟阵元，其中D _x＝M _xN _x+M _x+N _x-1，D _y＝M _yN _y+M _y+N _y-1，

表示为：

通过选取虚拟域等价接收信号V中与

各虚拟阵元位置相对应的元素，获取虚拟域均匀面阵

的等价接收信号

将其表示为：

其中，

和

为虚拟域均匀面阵

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源；

(5)在虚拟域均匀面阵

中，分别沿x轴和y轴方向每隔一个阵元取一个大小为Y ₁×Y ₂的子阵列，则可以将虚拟域均匀面阵

分割成L ₁×L ₂个互相部分重叠的均匀子阵列。将上述子阵列表示为

g ₁＝1,2,…,L ₁，g ₂＝1,2,…,L ₂，根据子阵列

对应虚拟域信号

中相应位置元素，得到虚拟域子阵列

的等价信号

其中，

和

为对应于

方向的虚拟域子阵列

在x轴和y轴上的导引矢量。经过上述操作，一共得到L ₁×L ₂个维度均为Y ₁×Y ₂的虚拟域子阵信号

对这L ₁×L ₂个虚拟域子阵信号

求平均值，得到一个虚拟域平滑信号

对该虚拟域信号

求得其四阶自相关张量

表示为：

(6)对四阶自相关张量v进行CANDECOMP/PARACFAC分解以提取多维特征，得到结果表示如下：

其中，

和

为CANDECOMP/PARACFAC分解得到的两组正交因子矢量，分别表示x轴和y轴方向上的空间信息，

和

为因子矩阵；取

张成的空间，记作

作为信号子空间，用一个张量

表示该信号子空间，其中

表示

沿着第三维度的第k个切片，表示为：

为了得到噪声子空间，对因子矩阵C _x和C _y求其正交补；C _x的正交补记为

C _y的正交补记为

其中min(·)表示取最小值操作；则取

作为噪声子空间，用张量

表示该噪声子空间，

表示

沿着第三维度的第h个切片，表示为：

(7)定义用于谱峰搜索的二维波达方向

构造对应虚拟域均匀面阵

的导引信息

表示为：

使用基于CANDECOMP/PARACFAC分解得到的噪声子空间构造张量空间谱函数

表示如下：

其中，<× _{Q}>表示两个张量沿着第Q维度的模{Q}缩并操作，要求两个张量的第Q维度的大小相同；‖·‖ _F表示Frobenius范数；

和

沿着第1，2维度的模{1,2}缩并操作得到一个矢量

得到空间谱函数

之后，可以构造出对应二维搜索波达方向的空间谱，随后通过搜索谱峰所在位置对应的二维波达方向，即为入射信源的二维波达方向估计。

进一步地，步骤(1)所述的平面互质阵列结构可具体描述为：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀平面子阵列

和

其中

包含2M _x×2M _y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为N _xd和N _yd，其在xoy上的位置坐标为{(N _xdm _x,N _ydm _y),m _x＝0,1,...,2M _x-1,m _y＝0,1,...,2M _y-1}；

包含N _x×N _y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为M _xd和M _yd，其在xoy上的位置坐标为{(M _xdn _x,M _ydn _y),n _x＝0,1,...,N _x-1,n _y＝0,1,...,N _y-1}；这里，M _x、N _x以及M _y、N _y分别为一对互质整数，且M _x<N _x，M _y<N _y；将

和

按照(0,0)坐标处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4M _xM _y+N _xN _y-1个物理天线阵元的互质面阵。

进一步地，步骤(3)所述的互相关张量

可理想(无噪声场景)建模为：

此时，

中

等价于沿着x轴的一个增广虚拟域，

等价于沿着y轴的一个增广虚拟域，从而可以得到非均匀虚拟域面阵

进一步地，步骤(5)所述的虚拟域均匀面阵

的等价信号

中保存了虚拟域面阵的空间结构信息，然而，由于

可以视作一个单快拍的虚拟域信号，其统计量往往存在秩亏问题。因此，基于二维空间平滑的思想对虚拟域信号

进行处理，构造多个等效快拍虚拟域子阵信号，对这些虚拟域子阵信号进行求和平均后，求其四阶自相关张量。子阵列

中阵元的位置表示为：

通过子阵列

对应选取虚拟域信号

中相应位置元素，得到虚拟域子阵列

的等价信号

进一步地，步骤(6)所述的提取虚拟域四阶自相关张量的多维特征以实现信号与噪声子空间分类，除了通过CANDECOMP/PARACFAC分解，还可以通过高阶奇异值分解实现，具体表示为：

其中，× _Q表示张量与矩阵沿着第Q维度的模Q内积；

表示包含高阶奇异值的核张量，

和

表示对应v四个维度的奇异矩阵。将D _x的前K列和后Y ₁-K列分开为信号子空间

和噪声子空间

类似地，将D _y的前K列和后Y ₂-K列分开为信号子空间

和噪声子空间

进一步地，步骤(7)中得到空间谱函数

之后进行二维谱峰搜索的具体步骤为：以a°为步长逐渐分别增加

的值，二维波达方向

的搜索起点为(-90°,0°)，终点为(90°,180°)；每个

可以对应计算出一个

的空间谱值，从而可以构造出一个对应于

的空间谱。空间谱中存在K个峰值，该K个峰值所对应的

的值，即为信源的二维波达方向估计。

进一步地，步骤(7)中所述的张量空间谱构造还可以使用基于高阶奇异值分解得到的噪声子空间实现，表示为

其中，(·) ^H表示共轭转置操作。同样地，得到空间谱函数

之后，按照上述的二维谱峰搜索过程，即可得到信源的二维波达方向估计。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)本发明通过张量表示平面互质实际接收信号，不同于传统方法将二维空间信息进行矢量化表征，并将快拍信息进行平均得到二阶统计量，本发明将各采样快拍信号在第三维度上叠加，并利用包含四维空间信息的二阶互相关张量进行空间谱估计，保留了平面互质阵列实际入射信号的多维空间结构信息；

(2)本发明通过虚拟域等价信号的张量统计量分析构建虚拟域信号的子空间分类思路，为张量空间谱的构造提供了理论基础，从而解决了平面互质阵列信号失配的问题，实现了符合奈奎斯特匹配条件的虚拟域张量空间谱构造；

(3)本发明采用张量CANDECOMP/PARACFAC分解和高阶奇异值分解的方式对虚拟域信号的四阶自相关张量进行多维特征提取，从而建立起虚拟域模型与信号、噪声子空间之间的联系，为实现高精度、高分辨度的张量空间谱提供了基础。

附图说明

图1是本发明的总体流程框图。

图2是本发明中平面互质阵列的结构示意图。

图3是本发明所推导增广虚拟域面阵结构示意图。

图4是本发明所构造张量空间谱示意图。

具体实施方式

以下参照附图，对本发明的技术方案作进一步的详细说明。

为了解决现有方法存在的信号多维空间结构信息丢失和空间谱分辨度、精度性能受限问题，本发明提供了一种基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法。通过对平面互质阵列接收张量信号进行统计分析，构造具有虚拟域面阵空间结构信息的虚拟域等价信号；基于虚拟域 信号张量统计量的多维特征分析手段，建立虚拟域模型与张量空间谱之间的联系，从而在虚拟域上实现符合奈奎斯特匹配条件的基于张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法。参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤1：构建平面互质阵列。在接收端使用4M _xM _y+N _xN _y-1个物理天线阵元构建平面互质阵列，如图2所示：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀平面子阵列

和

其中

包含2M _x×2M _y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为N _xd和N _yd，其在xoy上的位置坐标为{(N _xdm _x,N _ydm _y),m _x＝0,1,...,2M _x-1,m _y＝0,1,...,2M _y-1}；

包含N _x×N _u个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为M _xd和M _yd，其在xoy上的位置坐标为{(M _xdn _x,M _ydn _y),n _x＝0,1,...,N _x-1,n _y＝0,1,...,N _y-1}；这里，M _x、N _x以及M _y、N _y分别为一对互质整数，且M _x<N _x，M _y<N _y；单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；将

和

按照(0,0)坐标处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4M _xM _y+N _xN _y-1个物理天线阵元的平面互质阵列；

步骤2：平面互质阵列接收信号张量建模。假设有K个来自

方向的远场窄带非相干信号源，将平面互质阵列稀疏子阵列

的各采样快拍信号在第三维度进行叠加，得到一个三维张量信号

(L为采样快拍数)，表示为：

其中，s _k＝[s _k,1,s _k,2,…,s _k,L] ^T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，[·] ^T表示转置操作，ο表示矢量外积，

为与各信号源相互独立的噪声张量，

和

分别为

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源，表示为：

其中，

及

分别表示稀疏子阵列

在x轴和y轴方向上第i ₁和i ₂个物理天线阵元的实际位置，且

类似地，稀疏子阵列

的接收信号可用另一个三维张量

表示为：

其中，

为与各信号源相互独立的噪声张量，

和

分别为稀疏子阵列

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源，表示为：

其中，

及

分别表示稀疏子阵列

在x轴和y轴方向上第i ₃和i ₄个物理天线阵元的实际位置，且

计算子阵列

和

的接收张量信号x ₁和x ₂的互相关统计量，得到一个具有四维空间信息的二阶互相关张量

表示为：

这里，x ₁(l)和x ₂(l)分别表示x ₁和x ₂在第三维度(即快拍维度)方向上的第l个切片，(·) ^*表示共轭操作；

步骤3：推导基于平面互质阵列二阶互相关张量的虚拟域等价信号。平面互质阵列两个子阵列接收张量信号的二阶互相关张量

可理想建模(无噪声场景)为：

其中，

表示第k个入射信号源的功率；此时，

中

等 价于沿着x轴的一个增广虚拟域，

等价于沿着y轴的一个增广虚拟域，从而可以得到一个增广的非均匀虚拟域面阵

如图3所示，其中各虚拟阵元的位置表示为：

为了得到对应于增广虚拟域面阵

的等价接收信号，将互相关张量

中表征x轴方向空间信息的第1、3维度合并成一个维度，将表征y轴方向空间信息的第2、4维度合并成另一个维度。张量的维度合并可通过其PARAFAC分解的模展开操作实现，具体地，定义维度集合

和

则通过对互相关张量

进行PARAFAC分解的模

展开，可获得增广虚拟域面阵

的等价接收信号

表示为：

其中，

和

是增广虚拟域面阵

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源；这里，

表示克罗内克积；

步骤4：构造虚拟域均匀面阵的等价接收信号。增广虚拟域面阵

中包含一个x轴分布为(-N _x+1)d到(M _xN _x+M _x-1)d、y轴分布为(-N _y+1)d到(M _yN _y+M _y-1)d的虚拟域均匀面阵

中共有D _x×D _y个虚拟阵元，其中D _x＝M _xN _x+M _x+N _x-1，D _y＝M _yN _y+M _y+N _y-1；虚拟域均匀面阵

的结构如图3中虚线框内所示，表示为：

通过选取非均匀虚拟域面阵

的等价接收信号V中与

各虚拟阵元位置相对应的元素，可以获取虚拟域均匀面阵

的等价接收信号

其中，

和

为虚拟域均匀面阵

在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

的信号源；

步骤5：推导虚拟域平滑信号的四阶自相关张量。由上述步骤得到虚拟域均匀面阵

的等价信号

虚拟域信号

中保存了虚拟域面阵的空间结构信息，然而，由于

可以视作一个单快拍的虚拟域信号，其统计量往往存在秩亏问题。因此，基于二维空间平滑的思想对虚拟域信号

进行处理，构造多个等效快拍虚拟域子阵信号，对这些虚拟域子阵信号进行求和平均后，求其四阶自相关张量。具体做法为，在虚拟域均匀面阵

中，分别沿x轴和y轴方向每隔一个阵元取一个大小为Y ₁×Y ₂的子阵列，则可以将虚拟域均匀面阵

分割成L ₁×L ₂个互相部分重叠的均匀子阵列，L ₁、L ₂、Y ₁、Y ₂之间满足以下关系：

Y ₁+L ₁-1＝M _xN _x+M _x+N _x-1,

Y ₂+L ₂-1＝M _yN _y+M _y+N _y-1.

将上述子阵列表示为

g ₁＝1,2,…,L ₁，g ₂＝1,2,…,L ₂，则

中阵元的位置表示为：

根据子阵列

对应虚拟域信号

中相应位置元素，得到虚拟域子阵列

的等价信号

其中，

和

为对应于

方向的虚 拟域子阵列

在x轴和y轴上的导引矢量。经过上述操作，一共得到L ₁×L ₂个维度均为Y ₁×Y ₂的虚拟域子阵信号

对这L ₁×L ₂个虚拟域子阵信号

求平均值，得到一个虚拟域平滑信号

对该虚拟域信号

求得其四阶自相关张量

表示为：

步骤6：基于虚拟域四阶自相关张量的多维特征提取实现信号与噪声子空间分类。为了构建基于子空间分类思想的张量空间谱，对四阶自相关张量v进行CANDECOMP/PARACFAC分解以提取多维特征，得到结果表示如下：

其中，

和

为CANDECOMP/PARACFAC分解得到的两组正交因子矢量，分别表示x轴和y轴方向的空间信息，

和

为因子矩阵；取

张成的空间，记作

作为信号子空间，用一个张量

表示该信号子空间，其中

表示

沿着第三维度的第k个切片，表示为：

为了得到噪声子空间，需要对因子矩阵C _x和C _y求其正交补；C _x的正交补记为

C _y的正交补记为

其中min(·)表示取最小值操作；则取

作为噪声子空间，用张量

表示该噪声子空间，

表示

沿着第三维度的第h个切片，表示为：

除了使用张量分解提取虚拟域自相关张量的多维特征，还可以通过高阶奇 异值分解，具体表示为：

其中，× _Q表示张量与矩阵沿着第Q维度的模Q内积；

表示包含高阶奇异值的核张量，

和

表示对应v四个维度的奇异矩阵。将D _x的前K列和后Y ₁-K列分开为信号子空间

和噪声子空间

类似地，将D _y的前K列和后Y ₂-K列分开为信号子空间

和噪声子空间

步骤7：基于虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计。定义用于谱峰搜索的二维波达方向

构造对应虚拟域均匀面阵

的导引信息

表示为：

使用基于CANDECOMP/PARACFAC分解得到的噪声子空间构造张量空间谱函数

表示如下：

其中，<× _{Q}>表示两个张量沿着第Q维度的模{Q}缩并操作，要求两个张量的第Q维度的大小相同；‖·‖ _F表示Frobenius范数；

和

沿着第1，2维度的模{1,2}缩并操作得到一个矢量

得到空间谱函数

之后，通过二维谱峰搜索得到二维波达方向估计结果，具体步骤为：以搜索步长a°逐渐分别增加

的值，二维波达方向

的搜索起点为(-90°,0°)，终点为(90°,180°)；每个

可以对应计算出一个

的空间谱值，从而可以构造出一个对应于

的空间谱。空间谱中存在K个峰值，该K个峰值位置所对应的

的值，即为信源的二维波达方向估计。

基于高阶奇异值分解得到的噪声子空间构造张量空间谱函数

表示为：

其中，(·) ^H表示共轭转置操作。同样地，得到空间谱函数

之后，按照上述的二维谱峰搜索方式，即可得到信源的二维波达方向估计。

下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。

仿真实例：采用互质阵列接收入射信号，其参数选取为M _x＝2，M _y＝2，N _x＝3，N _y＝3，即架构的互质阵列共包含4M _xM _y+N _xN _y-1＝24个物理阵元。假定入射窄带信号个数为1，且入射方向方位角和仰角分别为[45°,50°]；采用L＝500个采样快拍及10dB的输入信噪比进行仿真实验。

本发明所提出的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法的空间谱如图4所示。可以看出，本发明所提方法能够有效地构造出二维空间谱，其中对应入射信源的二维波达方向位置存在一个精尖的谱峰，该谱峰所对应的x轴和y轴的值即为入射信源的俯仰角和方位角。

综上所述，本发明充分考虑了平面互质阵列信号的多维结构信息，利用张量信号建模，构造具有虚拟域面阵空间结构信息的虚拟域等价信号，并通过分析其张量统计特性，构建起基于虚拟域自相关张量多维特征提取的子空间分类思路，建立起平面互质阵列虚拟域模型与张量空间谱之间的联系，解决了平面互质阵列的信号失配问题；同时，本发明通过利用张量分解和高阶奇异值分解两种张量特征提取手段，提出了高精度、高分辨度张量空间谱的构造机理，相较于现有方法，在空间谱的分辨度和二维波达方向估计精度性能上取得了突破。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，虽然本发明已以较佳实施例披露如上，然而并非用以限定本发明。任何熟悉本领域的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围情况下，都可利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出许多可能的变动和修饰，或修改为等同变化的等效实施例。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何的简单修改、等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。

Claims (7)

1. 一种基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：

   (1)接收端使用4M _xM _y+N _xN _y-1个物理天线阵元，按照平面互质阵列的结构进行架构；其中，M _x、N _x以及M _y、N _y分别为一对互质整数，且M _x<N _x，M _y<N _y；该平面互质阵列可分解为两个稀疏均匀子阵列

   

   和

   

   (2)假设有K个来自

   

   方向的远场窄带非相干信号源，将平面互质阵列稀疏子阵列

   

   的接收信号用一个三维张量信号

   

   (L为采样快拍数)表示为：

   

   其中，s _k＝[s _k,1,s _k,2,…,s _k,L] ^T为对应第k个入射信源的多快拍采样信号波形，

   

   表示转置操作，ο表示矢量外积，

   

   为与各信号源相互独立的噪声张量，

   

   和

   

   分别为

   

   在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

   

   的信号源，表示为：

   

   

   其中，

   

   及

   

   分别表示稀疏子阵列

   

   在x轴和y轴方向上第i ₁和i ₂个物理天线阵元的实际位置，且

   

   

   稀疏子阵列

   

   的接收信号可用另一个三维张量

   

   表示为：

   

   其中，

   

   为与各信号源相互独立的噪声张量，

   

   和

   

   分别为稀疏子阵列

   

   在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

   

   的信号 源，表示为：

   

   

   其中，

   

   及

   

   分别表示稀疏子阵列

   

   在x轴和y轴方向上第i ₃和i ₄个物理天线阵元的实际位置，且

   

   计算子阵列

   

   和

   

   的接收张量信号x ₁和x ₂的二阶互相关张量

   

   

   表示为：

   

   这里，x ₁(l)和x ₂(l)分别表示x ₁和x ₂在第三维度(即快拍维度)方向上的第l个切片，(·) ^*表示共轭操作；

   (3)由互相关张量

   

   得到一个增广的非均匀虚拟域面阵

   

   其中各虚拟阵元的位置表示为：

   

   其中，单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2。定义维度集合

   

   和

   

   则通过对互相关张量

   

   的理想值

   

   (无噪声场景)进行PARAFAC分解的模

   

   展开，可获得增广虚拟域面阵

   

   的等价接收信号

   

   的理想表示为：

   

   其中，

   

   和

   

   

   是增广虚拟域面阵

   

   在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

   

   的信号源；

   

   表示第k个入射信号源的功率；

   

   表示克罗内克积；张量下标表示张量的PARAFAC分解的模展开操作；

   (4)

   

   中包含一个x轴分布为(-N _x+1)d到(M _xN _x+M _x-1)d、y轴分布为(-N _y+1)d到(M _yN _y+M _y-1)d的虚拟域均匀面阵

   

   中共有D _x×D _y个虚拟 阵元，其中D _x＝M _xN _x+M _x+N _x-1，D _y＝M _yN _y+M _y+N _y-1，

   

   表示为：

   

   通过选取虚拟域等价接收信号V中与

   

   各虚拟阵元位置相对应的元素，获取虚拟域均匀面阵

   

   的等价接收信号

   

   将其表示为：

   

   其中，

   

   

   和

   

   

   为虚拟域均匀面阵

   

   在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为

   

   的信号源；

   (5)在虚拟域均匀面阵

   

   中，分别沿x轴和y轴方向每隔一个阵元取一个大小为Y ₁×Y ₂的子阵列，则可以将虚拟域均匀面阵

   

   分割成L ₁×L ₂个互相部分重叠的均匀子阵列；将上述子阵列表示为

   

   根据子阵列

   

   对应虚拟域信号

   

   中相应位置元素，得到虚拟域子阵列

   

   的等价信号

   

   

   其中，

   

   

   和

   

   

   为对应于

   

   方向的虚拟域子阵列

   

   在x轴和y轴上的导引矢量；经过上述操作，一共得到L ₁×L ₂个维度均为Y ₁×Y ₂的虚拟域子阵信号

   

   对这L ₁×L ₂个虚拟域子阵信号

   

   求平均值，得到一个虚拟域平滑信号

   

   

   对该虚拟域信号

   

   求得其四阶自相关张量

   

   表示为：

   

   (6)对四阶自相关张量

   

   进行CANDECOMP/PARACFAC分解以提取多维特征，得到结果表示如下：

   

   其中，

   

   和

   

   为CANDECOMP/PARACFAC分解得到的两组正交因子矢量，分别表示x轴和y轴方向上的空间信息，

   

   和

   

   

   为因子矩阵；取

   

   张成的空间，记作

   

   

   作为信号子空间，用一个张量

   

   表示该信号子空间，其中

   

   表示

   

   沿着第三维度的第k个切片，表示为：

   

   为了得到噪声子空间，对因子矩阵C _x和C _y求其正交补；C _x的正交补记为

   

   C _y的正交补记为

   

   

   则取

   

   作为噪声子空间，用张量

   

   表示该噪声子空间，

   

   表示

   

   沿着第三维度的第h个切片，表示为：

   

   (7)定义用于谱峰搜索的二维波达方向

   

   

   构造对应虚拟域均匀面阵

   

   的导引信息

   

   表示为：

   

   使用基于CANDECOMP/PARACFAC分解得到的噪声子空间构造张量空间谱函数

   

   表示如下：

   

   其中，<× _{Q}>表示两个张量沿着第Q维度的模{Q}缩并操作，要求两个张量的第Q维度的大小相同；‖·‖ _F表示Frobenius范数；

   

   和

   

   沿着第1，2维度的模{1,2}缩并操作得到一个矢量

   

   

   得到空间谱函数

   

   之后，可以构造出对应二维搜索波达方向的空间谱，随后通过搜索谱峰所在位置对应的二维波达方向，即为入射信源的二维波达方向估计。
2. 根据权利要求1所述的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(1)所述的平面互质阵列结构可具体描述为：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀平面子阵列

   

   和

   

   其中

   

   包含2M _x×2M _y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为N _xd和N _yd，其在xoy上的位置坐标为{(N _xdm _x,N _ydm _y),m _x＝0,1,...,2M _x-1,m _y＝0,1,...,2M _y-1}；

   

   包含N _x×N _y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为M _xd和M _yd，其在xoy上的位置坐标为{(M _xdn _x,M _ydn _y),n _x＝0,1,...,N _x-1,n _y＝0,1,...,N _y-1}；这里，M _x、N _x以及M _y、N _y分别为一对互质整数，且M _x<N _x，M _y<N _y；将

   

   和

   

   按照(0,0)坐标处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4M _xM _y+N _xN _y-1个物理天线阵元的互质面阵。
3. 根据权利要求1所述的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(3)所述的互相关张量

   

   可理想(无噪声场景)建模为：

   

   此时，

   

   中

   

   等价于沿着x轴的一个增广虚拟域，

   

   等价于沿着y轴的一个增广虚拟域，从而可以得到非均匀虚拟域面阵

   
4. 根据权利要求1所述的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(5)所述的虚拟域均匀面阵

   

   的等价信号

   

   中保存了虚拟域面阵的空间结构信息，然而，由于

   

   可以视作一个单快拍的虚拟域信号，其统计量往往存在秩亏问题；因此，基于二维空间平滑的思想对虚拟域信号

   

   进行处理，构造多个等效快拍虚拟域子阵信号，对这些虚拟 域子阵信号进行求和平均后，求其四阶自相关张量；子阵列

   

   中阵元的位置表示为：

   

   通过子阵列

   

   对应选取虚拟域信号

   

   中相应位置元素，得到虚拟域子阵列

   

   的等价信号

   
5. 根据权利要求1所述的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(6)所述的提取虚拟域四阶自相关张量的多维特征以实现信号与噪声子空间分类，除了通过CANDECOMP/PARACFAC分解，还可以通过高阶奇异值分解实现，具体表示为：

   

   其中，× _Q表示张量与矩阵沿着第Q维度的模Q内积；

   

   表示包含高阶奇异值的核张量，

   

   和

   

   表示对应v四个维度的奇异矩阵；将D _x的前K列和后Y ₁-K列分开为信号子空间

   

   和噪声子空间

   

   将D _y的前K列和后Y ₂-K列分开为信号子空间

   

   和噪声子空间

   
6. 根据权利要求1所述的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(7)中得到空间谱函数

   

   之后进行二维谱峰搜索的具体步骤为：以a°为步长逐渐分别增加

   

   的值，二维波达方向

   

   的搜索起点为(-90°,0°)，终点为(90°,180°)；每个

   

   可以对应计算出一个

   

   的空间谱值，从而可以构造出一个对应于

   

   

   的空间谱。空间谱中存在K个峰值，该K个峰值所对应的

   

   的值，即为信源的二维波达方向估计。
7. 根据权利要求5所述的基于平面互质阵列虚拟域张量空间谱搜索的高分辨精确二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(7)中所述的张量空间谱构造还可以使用基于高阶奇异值分解得到的噪声子空间实现，表示为

   

   

   其中，(·) ^H表示共轭转置操作；得到空间谱函数

   

   之后，按照二维谱峰搜索过程，即可得到信源的二维波达方向估计。

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