CN112731275B - 一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，用于估计欠定条件下部分极化信号波达方向及极化参数。包括按互质阵列排布接收端；构建部分极化信号接收模型并采样；构造阵元不重复虚拟阵列输出及其模型噪声协方差矩阵；初始化内插输出信号；初始化迭代变量；求解线性等式约束最小二乘；估计信号的波达方向与极化参数。与现有技术相比，该方法在欠定估计信号参数时采用互质阵列代替嵌套阵列，增大阵元间孔径，降低了阵元互耦，可以同时估计信号波达方向和极化参数，在处理互质阵列数据时，利用零化插值对其虚拟阵列孔洞处进行插值，将非连续阵列变为连续均匀虚拟线阵，利用全部阵元信息和自由度，提高可估计信号的数量和精度。
Description
技术领域
本发明属于阵列信号处理技术领域，特别涉及对雷达、通信等应用中部分极化入射信号的参数估计，具体是一种使用互质阵列基于零化插值实现部分极化信号的波达方向和极化参数的估计方法。
背景技术
阵列测向技术使用传感器测定入射信号源的来波方向，广泛应用于雷达、通讯等技术领域。在过去的几十年里，研究者们围绕完全极化信号和均匀线阵做了大量研究。但现实应用中的信号往往不是完全极化的，极化方向也各不相同，而均匀线阵也只能对个数小于阵元数的信号进行测向。当信号为部分极化信号且信号源数大于阵元数(即欠定估计)时，传统的测向方法将失效。
一般辐射源产生的电磁波难以做到完全极化，完全极化波被反射或散射之后也会变成部分极化波，这增加了信号接收和滤波处理的难度。为了解决欠定条件下的部分极化信号参数估计，研究者们对传统方法进行了改进。《Direction Finding of MultiplePartially Polarized Signals With a Nested Cross-Diople Array》(He J,Zhang Z,Shu T,et al.Direction Finding of Multiple Partially Polarized Signals With aNested Cross-Diople Array[J].IEEE Antennas&Wireless Propagation Letters,2017,16:1679-1682)中记载了使用矢量传感器代替标量传感器组成嵌套阵对信号进行接收，从而获取更多的信号特征，简称正交子空间法。但是该算法只能估计信号的波达方向而无法估计信号极化参数。
《Joint DOA and Degree-of-Polarization Estimation of Partially-Polarized Signals Using Nested Arrays》(Shu T,He J,Han X,et al.Joint DOA andDegree-of-Polarization Estimation of Partially-Polarized Signals Using NestedArrays[J].IEEE Communications Letters,,2020,24(10):2182-2186)中作者利用两个四元数向量之间的正交性提出了基于四元数的多重信号分类算法进行信号参数估计，简称四元数法。与正交子空间法相比该算法可同时估计信号波达方向和极化度，但无法估计极化指向角和极化椭圆率角，此外该算法假设了信号水平极化分量与垂直极化分量功率相同，显然这一假设并不总是与实际条件相符。另外，上述两种方法由于只能应用于物理阵列的均匀虚拟子阵列上，因而只能在嵌套阵等具有均匀虚拟阵列的阵列结构上发挥最大性能。然而嵌套阵由于阵元间距较小，会造成较高的阵元互耦，使得实际应用中对应算法性能降低。
在信号的欠定估计中，互质阵列由于其较大的阵元间距和对应的较小阵元互耦，而获得更多的关注。但互质阵列对应的虚拟线阵存在孔洞，即虚拟阵元并不连续。将正交子空间法与四元数法应用于互质阵时，只能提取连续均匀虚拟子阵信号而舍弃其余阵元。这种方式造成了阵列信息提取不完整以及自由度利用不充分的缺陷。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明提出了一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，将该方法应用与部分极化信号参数的欠定估计中，除了可以估计信号波达方向和极化参数，还可以利用到互质阵对应虚拟阵列的所有阵元信息和自由度，弥补阵列信息提取不完整和自由度利用不充分的缺陷。
步骤一、放置互质阵列
在直角坐标系中沿y轴放置M个阵元，并按照互质阵列形式进行排布。各个阵元的位置从小到大依次构成列向量ζ＝[γ1,γ2,...γM]Td＝γd，阵元间间距为d的整数倍。
作为优选，所述互质阵列为原型互质阵或扩展互质阵列。
作为优选，阵元间间距d＝λ/2，λ为信号波长。
步骤二、构建信号接收模型并采样
记K个窄带不相关信号由θ＝[θ1,θ2,...,θK]T方向从y-z平面入射到互质阵列上，θ表示以逆时针方向从y轴正半轴到各个入射信号方向的夹角。每个阵元由x方向极化和y方向极化的交叉极化天线构成，有2路输出。第m个交叉极化天线在t时刻的接收信号为：
其中，Dk＝diag([-1,sinθk])为第k个信号的交叉极化响应矩阵，am(θk)＝exp[j(2πγmdcosθk)/λ]为第k个信号在第m个交叉极化天线处的响应，sk(t)＝[sk,1(t),sk,2(t)]T为第k个部分极化信号，由水平和垂直分量构成，nm(t)＝[nm,x(t),nm,y(t)]T表示第m个阵元2路输出的零均值高斯白噪声，噪声和信号间相互独立。diag(·)表示以向量元素作为对角线元素构成对角矩阵，(·)T表示转置操作，T表示采样的快拍数。
部分极化信号sk(t)的协方差矩阵为：
其中，I2表示2阶单位矩阵，(·)H表示取共轭转置，(·)*表示取共轭，E(·)表示求期望。rk,11、rk,22分别代表第k个信号水平和垂直方向的功率，rk,12为第k个信号两个极化分量的相关系数。W(βk)＝[cosβk jsinβk]T，αk、βk分别代表第k个信号的极化指向角和极化椭圆率角，且-π/2<αk≤π/2，-π/4≤βk≤π/4。/>和/>分别为第k个信号的随机极化功率和完全极化功率，信号的极化度表示为/>ρk∈[0,1]。
t时刻所有的交叉极化天线阵元接收到的信号为：
x(t)＝As(t)+n(t),t＝1,2,...,T
其中，为阵列流型矩阵，a(θk)＝[a1(θk),…,aM(θk)]T；/> 表示Kronecker积。
步骤三、构建不重复的虚拟阵列输出及其模型噪声协方差矩阵
将步骤二得到的t时刻所有的交叉极化天线阵元接收到的信号按x方向输出和y方向输出分离得到：
其中，IL表示L阶单位矩阵。
x方向输出和y方向输出的估计协方差矩阵分别为：
将和/>两个估计协方差矩阵相加并向量化得到所有虚拟阵列的输出：
其中，vec(·)表示将矩阵按列向量化；
定义1M表示所有元素都为1的M行列向量，去掉γv中所有重复元素并按从小到大顺序排列，得到新的列向量γ′v，γ′v的长度M′为奇数，且γ′v的元素不连续，即存在孔洞。
计算转换矩阵
其中，Cp,q表示C的第p行第q列，[·]p表示取向量的第p个元素。δp,q为KroneckerDelta函数，只有当p＝q时，δp,q＝1，否则δp,q＝0。
则不重复的虚拟阵列输出估计为：
所有虚拟阵列的输出的渐进理论值为：
其中，pk＝rk,11+(sin2θk)rk,22，为噪声功率，i＝vec(IL)。
z与因有限快拍而存在误差△z，/>且该误差△z满足以下分布：
其中表示均值为μ，方差为σ2的渐进复正态分布。
阵元不重复的虚拟阵列模型噪声ε＝C△z的协方差矩阵为：
步骤四、初始化内插输出信号
定义Mv＝max(γ′v)，其中max(·)表示取向量中的最大元素。
令插值后的连续虚拟阵列输出为：
对应的模型噪声协方差矩阵为：
将i从-Mv遍历到Mv，当i∈γ′v时,设i为γ′v的第i′个元素，则令ΣI[:,i]＝Σ[:,i′]，ΣI[i,:]＝Σ[i′,:]，否则，令zI[i]＝0，ΣI[:,i]＝0，ΣI[i,:]＝0；其中zI[i]表示zI的第i个元素，ΣI[:,i]表示ΣI的第i列，ΣI[i,:]表示ΣI的第i行。
步骤五、初始化迭代变量
设置迭代计数变量n＝1，最大迭代次数N＝100，迭代终止阈值ξ＝10-6，阵列噪声方差对应于zI的噪声模型/>和零化系数/>的初始化通过对矩阵L(zI)利用类TLS-ESPTRIT方法获得：
其中，为Toeplitz化算子。
步骤六、求解线性等式约束的最小二乘
其中||·||2表示向量的2范数，为r关于η,h,/>的雅可比矩阵，/>为除了正中间元素为1其余全部为0的列向量，ω为第一个元素为1其余元素为0的列向量；
其中，为另一种Toeplitz化算子。
在每次迭代完成后得到差分量△η,△h,利用η＝η+△η,h＝h+△h,/>来更新η,h,/>变量。当零化系数足够收敛或达到最大迭代次数时，完成迭代计算。若两个条件都不满足则设置迭代计数变量n＝n+1，重新进行步骤六，直到满足其中任意一个条件为止。零化系数的收敛条件表示为/>其中hn表示第n次迭代时的零化系数。
步骤七、估计信号的波达方向
完成迭代计算后，得到零化滤波器系数根据系数/>求解多项式方程/>的K个根。
设K个根组成向量则K个窄带不相关信号的波达方向为：
其中angle(·)为求复数的幅角操作，acos(·)表示求反余弦。
步骤八、估计信号的极化参数
s8.1、利用步骤七估计的波达方向重构各个部分极化信号协方差矩阵/>
重构各个部分极化信号协方差矩阵的方法为：
计算然后分别计算/> 其中(./)表示按元素相除，即点除，为求伪逆，协方差矩阵重构公式为：
s8.2、对重构后的部分极化信号的协方差矩阵进行特征分解，得到两个特征值bk,1和bk,2，且bk,1>bk,2，对应的特征向量分别为gk,1，gk,2，估计的信号极化度为：
s8.3、求解复数二元一次方程(Q(αk)W(βk))Hgk,2＝0，得到信号的极化指向角αk和极化椭圆率角βk。
作为优选，步骤s8.1中重构协方差矩阵的方法为：
求解
其中再利用最小二乘重构各信号的协方差矩阵，重构公式为：
其中，
本发明具有以下有益效果：
1、采用互质阵列代替嵌套阵列对信号参数进行欠定估计，增大了阵元间孔径，有效降低了阵元互耦。
2、在进行信号参数估计时，可以同时估计信号波达方向和极化参数，包括极化度、极化指向角和极化椭圆率角。
3、在处理互质阵列数据时，利用零化插值对其虚拟阵列孔洞处进行插值，将非连续阵列变为连续均匀虚拟线阵，充分利用了全部的阵元信息和自由度，从而能提高可估计信号的数量和估计的精度。
附图说明
图1是本发明的方法总体流程框图。
图2是本发明选用的两种互质阵列的结构示意图。
图3是本发明中交叉极化阵列示意图。
图4是实施例一在欠定条件下的空间谱估计。
图5是实施例二中不同测向方法在不同快拍数下的性能比较。
图6是实施例三中不同测向方法的在不同信噪比下的性能比较。
图7是实施例四中与四元数法对极化度估计在不同信噪比下的性能比较。
具体实施方式
以下结合附图对本发明作进一步的解释说明；如图1所示，具体包括以下步骤：
步骤一、放置互质阵列
在直角坐标系中沿y轴放置M个阵元，并按照互质阵列形式进行排布作为信号接收端。各个阵元的位置从小到大依次构成列向量ζ＝[γ1,γ2,...γM]Td＝γd，阵元间间距d＝λ/2，λ为信号波长。
信号接收端适用于所有互质阵列布阵形式，其中原型互质阵列和扩展互质阵列的结构分布形式如图2所示。假设互质阵列的两个子阵阵元数分别为M1和M2，M1与M2互质，且M1<M2，图2(a)中原型互质阵列的两个子阵阵元位置分别为：0,M2d,...,(M1-1)M2d(图中黑色小圆)、0,M1d,…,(M2-1)M1d(图中白色小圆)，图2(b)中扩展互质阵列两个子阵阵元位置分别为：0,M2d,...,(2M1-1)M2d(图中黑色小圆)、0,M1d,…,(M2-1)M1d(图中白色小圆)。将互质阵列两个子阵列的首阵元重合，即得到阵元总数为M＝M1+M2-1的原型互质阵列和M＝2M1+M2-1的扩展互质阵列。
步骤二、构建信号接收模型并采样
部分极化信号具有两个分量，所以接收方式与普通信号不同，使用常用的标量传感器进行信号接收不能充分提取信息。因此改用对极化信号敏感的矢量传感器来接收信号，阵元接收模型如图3所示，每个阵元由x方向极化和y方向极化的交叉极化天线构成，存在2路信号输出。
记K个窄带不相关信号由θ＝[θ1,θ2,...,θK]T方向从y-z平面入射到互质阵列上，θ表示以逆时针方向从y轴正半轴到各个入射信号方向的夹角。将入射信号分解到电场中的水平方向eH和垂直方向eV，即入射信号所在球坐标系中的eφ和eθ方向，-eK＝eH×eV，其中ek为信号的传播方向，ek、eH、eV均为单位矢量，则第m个交叉极化天线在t时刻的接收信号为：
其中，Dk＝diag([-1,sinθk])为第k个信号的交叉极化响应矩阵，am(θk)＝exp[j(2πγmdcosθk)/λ]为第k个信号在第m个交叉极化天线处的响应，sk(t)＝[sk,1(t),sk,2(t)]T为第k个部分极化信号，由水平和垂直分量构成，nm(t)＝[nm,x(t),nm,y(t)]T表示第m个阵元2路输出的零均值高斯白噪声，噪声和信号间相互独立。diag(·)表示以向量元素作为对角线元素构成对角矩阵，(·)T表示转置操作，T表示采样的快拍数。
部分极化信号sk(t)的协方差矩阵为：
其中，I2表示2阶单位矩阵，(·)H表示取共轭转置，(·)*表示取共轭，E(·)表示求期望。rk,11、rk,22分别代表第k个信号水平和垂直方向的功率，rk,12为第k个信号两个极化分量的相关系数。W(βk)＝[cosβk jsinβk]T，Q(αk)为将电磁场信号的极化椭圆的长短轴旋转到eH和eV方向的旋转矩阵，W(βk)表示电磁场信号的极化椭圆主轴上的归一化信号表示，αk、βk分别代表第k个信号的极化指向角和极化椭圆率角，且-π/2<αk≤π/2，-π/4≤βk≤π/4。/>和/>分别为第k个信号的随机极化功率和完全极化功率，信号的极化度表示为/>ρk∈[0,1]。
t时刻所有的交叉极化天线阵元接收到的信号为：
x(t)＝As(t)+n(t),t＝1,2,...,T
其中，为阵列流型矩阵，a(θk)＝[a1(θk),…,aM(θk)]T；/> 表示Kronecker积。
步骤三、构建不重复的虚拟阵列输出及其模型噪声协方差矩阵
由于各个阵元接收的信号为两路，因此需要对输出信号进行降维处理，将步骤二得到的t时刻所有的交叉极化天线阵元接收到的信号按x方向输出和y方向输出分离得到：
其中，IL表示L阶单位矩阵。
x方向输出和y方向输出的估计协方差矩阵分别为：
将和/>两个估计协方差矩阵相加并向量化得到所有虚拟阵列的输出：
其中，vec(·)表示将矩阵按列向量化；
定义1M表示所有元素都为1的M行列向量，去掉γv中所有重复元素并按从小到大顺序排列，得到新的列向量γ′v，γ′v的长度M′＝3M1M2+M1-M2为奇数。
计算转换矩阵
其中，Cp,q表示C的第p行第q列，[·]p表示取向量的第p个元素。δp,q为KroneckerDelta函数，只有当p＝q时，δp,q＝1，否则δp,q＝0。
则不重复的虚拟阵列输出估计为：
和/>分别为真实协方差矩阵Rxx和Ryy的最大似然估计值，只有当快拍数T趋近于无穷时，/>和/>才能收敛于Rxx和Ryy，因此虚拟阵元输出/>也属于估计值。所有虚拟阵列的输出/>的渐进理论值为：
其中，pk＝rk,11+(sin2θk)rk,22，为噪声功率，i＝vec(IL)。由于快拍数T是有限的，因此z与/>之间存在误差/>误差△z满足以下分布：
其中表示均值为μ，方差为σ2的渐进复正态分布。去掉△z中的重复元素后：
所以阵元不重复的虚拟阵列模型噪声ε＝C△z的协方差矩阵为：
步骤四、初始化内插输出信号
定义Mv＝max(γ′v)，其中max(·)表示取向量中的最大元素。
令插值后的连续虚拟阵列输出为：
对应的模型噪声协方差矩阵为：
将i从-Mv遍历到Mv，当i∈γ′v时,设i为γ′v的第i′个元素，则令ΣI[:,i]＝Σ[:,i′]，ΣI[i,:]＝Σ[i′,:]，否则，令zI[i]＝0，ΣI[:,i]＝0，ΣI[i,:]＝0；其中zI[i]表示zI的第i个元素，ΣI[:,i]表示ΣI的第i列，ΣI[i,:]表示ΣI的第i行。
由互质阵列构成的不重复阵元虚拟阵列是非连续的，即存在部分“孔洞”。为了提高阵元利用率，假设“孔洞”位置处存在虚拟阵元，并将此处的阵元输出初始化为0，对应的阵列模型噪声协方差矩阵的相应行和列也都初始化为0。
步骤五、初始化迭代变量
设置迭代计数变量n＝1，最大迭代次数N＝100，迭代终止阈值ξ＝10-6，阵列噪声方差对应于zI的噪声模型/>和零化系数/>的初始化通过对矩阵L(zI)利用类TLS-ESPTRIT方法获得：
其中，为Toeplitz化算子。
类TLS-ESPTRIT阵列模型噪声和对零化系数/>的初始化过程如下：
对L(zI)进行SVD分解，得到左奇异矩阵U，取U的前K列得到信号子空间矩阵删去Us的最后一行和第一行分别得到/>和/>根据阵列的移不变特性，可得：U2＝U1Ψ。
由于U1和U2都存在误差，利用总体最小二乘准则求解Ψ。寻找一个矩阵其中/>使其满足：
s.t.BHB＝I
其中，为Frobenius范数的平方。易知，B由[U1U2]的K个最小奇异值对应的右奇异向量组成，所以/>将Ψ进行特征值分解，其特征值即为/>的对角元素，Φ＝diag([exp(j2πdcosθ1/λ),…,exp(j2πdcosθK/λ)])。
利用Ψ的特征值恢复出虚拟阵列zI的流型矩阵Ap：
Ap＝(eig(Ψ))T.^γI
其中，eig(·)表示取矩阵的特征值并组成列向量，γI＝[-Mv,…,0,...,Mv]T，(.^)表示按元素取幂。
由于已经初始化过阵列噪声方差所以阵列中只存在阵列模型噪声协方差，其初始化可由/>求得，/>表示矩阵A的正交补。
对去过噪声的L(zI-η)进行特征值分解，其最小特征值对应的特征向量即为零化系数h。
步骤六、求解线性等式约束的最小二乘
其中||·||2表示向量的2范数，为r关于η,h,/>的雅可比矩阵，/>为除了正中间元素为1其余全部为0的列向量，ω为第一个元素为1其余元素为0的列向量；
其中，为另一种Toeplitz化算子。
在每次迭代完成后得到差分量△η,△h,利用η＝η+△η,h＝h+△h,/>来更新η,h,/>变量。当零化系数足够收敛或达到最大迭代次数时，完成迭代计算。若两个条件都不满足则设置迭代计数变量n＝n+1，重新进行步骤六，直到满足其中任意一个条件为止。零化系数的收敛条件表示为/>其中hn表示第n次迭代时的零化系数。
线性等式约束最小二乘问题中第一个等式代表零化关系，第二个等式约束是为了保证结果的唯一性。在迭代过程中采用了高斯牛顿迭代方式。在解决线性等式最小二乘问题时，采用最小化||ΣI -1/2(η+△η)||，该过程是一种白化操作，能够有效的去除变量间的相关性，使求解结果更加准确。去噪过程中总共滤除了两种噪声，分别是模型噪声η和阵列噪声
步骤七、估计信号的波达方向
完成迭代计算后，得到零化滤波器系数根据系数/>求解多项式方程/>的K个根。
设K个根组成向量则K个窄带不相关信号的波达方向为：
其中angle(·)为求复数的幅角操作，acos(·)表示求反余弦。
步骤八、估计信号的极化参数
s8.1、利用步骤七估计的波达方向重构各个部分极化信号协方差矩阵/>
s8.2、对重构后的部分极化信号的协方差矩阵进行特征分解，得到两个特征值bk,1和bk,2，且bk,1>bk,2，对应的特征向量分别为gk,1，gk,2，估计的信号极化度为：
s8.3、求解复数二元一次方程(Q(αk)W(βk))Hgk,2＝0，得到信号的极化指向角αk和极化椭圆率角βk。
实施例一
取扩展互质阵列，两个子阵阵元数分别为M1＝2，M2＝5，即一共2M1+M2-1＝8个交叉极天线阵元进行信号接收。假设12个入射信号的角度均匀分布于[30，150]之间，极化指向角均匀分布于[-π/3,π/3]间，极化椭圆率角均匀分布于[-π/5,π/5]间,信号极化度统一设置为0.8。信噪比设置为20dB，采样快拍数为500，最大迭代次数N＝100，收敛阈值ζ＝10-6。
将程序运行10次，得到其空间功率谱图形如图4所示，图中虚线部分表示入射信号的真实角度。本实施例能够有效的分辨出这12个信号。由于信号个数12大于传感器个数8及虚拟阵列中的最大连续子阵列个数M1M2+M1-1＝11，算法成功提高了算法的测向自由度。
下表为各个入射信号对应的极化度、极化指向角和极化椭圆度角10次运行结果的平均估计值与真实值的比较。
从表格中可以看出，本发明方法能够有效估计出各个极化参数，且估计误差较小。
实施例二
设置两个扩展互质阵列的子阵个数为M1＝2、M2＝5，一共8个物理阵元。假设10个平均分布于[30，150]的远场窄带部分极化信号入射到该阵列上。设置信噪比为20dB,快拍数从50个扫描至500个，蒙特卡洛实验次数为500次，其余参数实施例1相同。
图5为运用了本发明的方法与正交子空间法、四元数法的仿真结果。从图中可以看出，本发明的方法在各个快拍数处均方根误差都达到最小。这是由于正交子空间法和四元数法只截取了虚拟阵列的连续部分，并且未考虑阵列模型噪声协方差。特别是四元数法由于限制了水平和垂直信号功率相等，估计效果最差。
实施例三
假设10个平均分布于[30，150]的远场窄带部分极化信号入射到与实施例一相同的阵列上，设置信噪比从-10dB扫描至20dB，蒙特卡洛实验次数为500次，其余参数与实施例一相同。
图6为运用了本发明的方法与正交子空间法、四元数法的仿真结果。从图中可以看出，本发明的方法在各个信噪比处均方根误差都达到最小。四元数法由于限制了水平和垂直信号功率相等，估计效果最差。
实施例四
假设10个平均分布于[30，150]的远场窄带部分极化信号入射到与实施例一相同的阵列上，所有信号的极化度设置为0.8，信噪比从-10dB扫描至10dB，蒙特卡洛实验次数为500次，其余参数与实施例一相同。
由于正交子空间法无法估计信号极化参数，所以图7为运用了本发明的方法与四元数发的仿真结果。从图中可以看出，对于极化度的估计，本发明的方法在各个信噪比处的均方根误差都小于四元数法。
以上所述仅为本发明的较佳实施范例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (5)
1.一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：
步骤一、放置互质阵列
在直角坐标系中沿y轴放置M个阵元，并按照互质阵列形式进行排布；各个阵元的位置从小到大依次构成列向量ζ＝[γ1,γ2,...γM]Td＝γd，d为阵元间间距；
步骤二、构建信号接收模型并采样
记K个窄带不相关信号由θ＝[θ1,θ2,...,θK]T方向从y-z平面入射到互质阵列上，θ表示以逆时针方向从y轴正半轴到各个入射信号方向的夹角；每个阵元由x方向极化和y方向极化的交叉极化天线构成；第m个交叉极化天线在t时刻的接收信号为：
其中，Dk＝diag([-1,sinθk])为第k个信号的交叉极化响应矩阵，am(θk)＝exp[j(2πγmdcosθk)/λ]为第k个信号在第m个交叉极化天线处的响应，λ为信号波长；sk(t)＝[sk,1(t),sk,2(t)]T为第k个部分极化信号，由水平和垂直分量构成，nm(t)＝[nm,x(t),nm,y(t)]T表示第m个阵元2路输出的零均值高斯白噪声，噪声和信号间相互独立；diag(·)表示以向量元素作为对角线元素构成对角矩阵，(·)T表示转置操作，T表示采样的快拍数；
部分极化信号sk(t)的协方差矩阵为：
其中，I2表示2阶单位矩阵，(·)H表示取共轭转置，(·)*表示取共轭，Ε(·)表示求期望；rk,11、rk,22分别代表第k个信号水平和垂直方向的功率，rk,12为第k个信号两个极化分量的相关系数；W(βk)＝[cosβk jsinβk]T，αk、βk分别代表第k个信号的极化指向角和极化椭圆率角，且-π/2<αk≤π/2，-π/4≤βk≤π/4；/>和/>分别为第k个信号的随机极化功率和完全极化功率，信号的极化度表示为/>ρk∈[0,1]；
t时刻所有的交叉极化天线阵元接收到的信号为：
x(t)＝As(t)+n(t),t＝1,2,...,T
其中，为阵列流型矩阵，a(θk)＝[a1(θk),…,aM(θk)]T；/>表示Kronecker积；
步骤三、构建不重复的虚拟阵列输出及其模型噪声协方差矩阵
将步骤二得到的t时刻所有的交叉极化天线阵元接收到的信号按x方向输出和y方向输出分离得到：
其中，IL表示L阶单位矩阵；
x方向输出和y方向输出的估计协方差矩阵分别为：
将和/>两个估计协方差矩阵相加并向量化得到所有虚拟阵列的输出：
其中，vec(·)表示将矩阵按列向量化；
定义1M表示所有元素都为1的M行列向量，去掉γv中所有重复元素并按从小到大顺序排列，得到新的列向量γ′v，γ′v的长度M′为奇数，且γ′v的元素不连续，即存在孔洞；
计算转换矩阵
其中，Cp,q表示C的第p行第q列，[·]p表示取向量的第p个元素；δp,q为Kronecker Delta函数，只有当p＝q时，δp,q＝1，否则δp,q＝0；
则不重复的虚拟阵列输出估计为：
所有虚拟阵列的输出的渐进理论值为：
其中，pk＝rk,11+(sin2θk)rk,22， 为噪声功率，i＝vec(IL)；
z与因有限快拍而存在误差Δz，/>且该误差Δz满足以下分布：
其中表示均值为μ，方差为σ2的渐进复正态分布；
阵元不重复的虚拟阵列模型噪声ε＝CΔz的协方差矩阵为：
步骤四、初始化内插输出信号
定义Mv＝max(γ′v)，其中max(·)表示取向量中的最大元素；
令插值后的连续虚拟阵列输出为：
对应的模型噪声协方差矩阵为：
将i从-Mv遍历到Mv，当i∈γ′v时,设i为γ′v的第i′个元素，则令ΣI[:,i]＝Σ[:,i′]，ΣI[i,:]＝Σ[i′,:]，否则，令zI[i]＝0，ΣI[:,i]＝0，ΣI[i,:]＝0；其中zI[i]表示zI的第i个元素，ΣI[:,i]表示ΣI的第i列，ΣI[i,:]表示ΣI的第i行；
步骤五、初始化迭代变量
设置迭代计数变量n＝1，最大迭代次数N＝100，迭代终止阈值ξ＝10-6，阵列噪声方差对应于插值后的连续虚拟阵列输出zI的噪声模型/>和零化系数/>的初始化通过对矩阵L(zI)利用类TLS-ESPTRIT方法获得：
其中，为Toeplitz化算子；
步骤六、求解线性等式约束的最小二乘
其中||·||2表示向量的2范数，为r关于η,h,/>的雅可比矩阵，/>为除了正中间元素为1其余全部为0的列向量，ω为第一个元素为1其余元素为0的列向量；
其中，为另一种Toeplitz化算子；
在每次迭代完成后得到差分量Δη,Δh,利用η＝η+Δη,h＝h+Δh,/>来更新η,h,/>变量；当零化系数足够收敛或达到最大迭代次数时，完成迭代计算；若两个条件都不满足则设置迭代计数变量n＝n+1，重新进行步骤六，直到满足其中任意一个条件为止；零化系数的收敛条件表示为/>其中hn表示第n次迭代时的零化系数；
步骤七、估计信号的波达方向
完成迭代计算后，得到零化滤波器系数根据系数/>求解多项式方程的K个根；
设K个根组成向量则K个窄带不相关信号的波达方向为：
其中angle(·)为求复数的幅角操作，acos(·)表示求反余弦；
步骤八、估计信号的极化参数
s8.1、利用步骤七估计的波达方向重构各个部分极化信号协方差矩阵/>
s8.2、对重构后的部分极化信号的协方差矩阵进行特征分解，得到两个特征值bk,1和bk,2，且bk,1>bk,2，对应的特征向量分别为gk,1，gk,2，估计的信号极化度为：
s8.3、求解复数二元一次方程(Q(αk)W(βk))Hgk,2＝0，得到信号的极化指向角αk和极化椭圆率角βk。
2.如权利要求1所述一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，其特征在于：所述互质阵列为原型互质阵或扩展互质阵列。
3.如权利要求1所述一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，其特征在于：设置阵元间间距d＝λ/2。
4.如权利要求1所述一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，其特征在于：步骤8.1中重构各个部分极化信号协方差矩阵的方法为：
计算然后分别计算/> 其中(./)表示按元素相除，即点除，为求伪逆，协方差矩阵重构公式为：
5.如权利要求1所述一种基于零化插值的互质阵部分极化信号参数估计方法，其特征在于：步骤8.1中重构各个部分极化信号协方差矩阵的方法为：
求解
其中再利用最小二乘重构各信号的协方差矩阵，重构公式为：
其中，
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