CN112733333A - 互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法 - Google Patents

互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法 Download PDF

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CN112733333A CN202011556126.9A CN202011556126A CN112733333A CN 112733333 A CN112733333 A CN 112733333A CN 202011556126 A CN202011556126 A CN 202011556126A CN 112733333 A CN112733333 A CN 112733333A
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Abstract

本发明公开了互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法，包括的步骤如下：首先，由互质面阵的接收信号得到协方差矩阵；其次，对协方差矩阵进行特征值分解得到信号子空间和噪声子空间，利用互质面阵和FCPA的关系重构谱函数；然后，根据方向矩阵和噪声子空间的正交关系确定求根多项式；最后，求出多项式的根，完成参数配对，完成二维角度参数估计。本发明的优势在于可以充分平衡复杂度和角度估计性能，突破传统二维角度估计方法中，角度估计性能良好但复杂度较高或计算复杂度较低但角度估计性能的局限。本发明的算法能够实现较高分辨率的二维DOA估计，有效解决了初估计精度对后续估计影响的问题。

Description

互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法
技术领域
本发明涉及互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法，属于阵列信号处理领域。
背景技术
空间谱(DOA)估计是阵列信号处理研究的一个重要方向，广泛应用于雷达、声呐和天文等领域。在二维空间谱估计中，阵列天线的拓扑结构主要包括L型阵列、面阵、圆阵和平行阵列等，不过这些阵列都要求阵元间距不大于半波长来避免角度模糊问题。然而阵元间距离过近会带来较强的互耦影响，从而降低估计精度，且信号估计精度同阵列孔径呈正相关关系，在相同阵元情况下，提高阵元间距可以获得更大的阵列孔径，从而提高DOA估计精度和分辨率。因此，学者们提出了稀疏阵的概念。所谓稀疏阵列就是指阵列相邻传感器的间距超过半波长的阵列。在阵元数相同时稀疏阵相比满阵能够获得更大的阵列孔径以及更高的自由度。互质阵是一种典型的稀疏阵，利用阵元数目的互质特点来解决空间谱估计的角度模糊问题，互质阵的空间谱估计研究逐渐成为当今阵列信号研究领域的热点。
MUSIC算法的提出是在空间谱估计发展的历史上具有里程碑的意义。该算法突破瑞利限，真正意义上实现了超分辨率DOA估计，主要通过噪声子空间和方向矢量之间的正交关系构造谱函数，通过角度搜索寻找极值来获得信源估计结果。为了获得高精度的DOA估计结果，在利用互质面阵的互质特性的基础上，学者们提出许多基于2D-MUSIC的算法，如AF-MUSIC算法、RD-MUSIC算法、和2D-PSS算法等。但是这些算法大都需要进行全角度或部分角度谱峰搜索，其计算复杂度非常高。本发明算法通过求根的方式，无需谱峰搜索，获得求根结果后，配对完成信源角度参数估计。在有效降低复杂度的同时保证了角度估计性能。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：如何在互质面阵中远场窄带不相关多信源入射条件下的信号角度参数估计中，提供一种基于多项式求根的二维测向估计方法。本发明算法避免了传统MUSIC算法进行二维角度估计需要谱峰搜索带来的高复杂度，同时保证了信号角度参数估计的性能。仿真结果表明，本发明算法在角度估计性能上优于RD-MUSIC算法、和2D-PSS算法，同AF-MUSIC算法接近，且复杂度远低于谱峰搜索类算法。
本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：
互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法，其基本思路是：由阵列信号的数学模型确定接收信号的协方差矩阵，通过对协方差矩阵进行特征值分解获得信号子空间和噪声子空间，构建互质面阵对应的全阵(FCPA)并重写空间谱函数，然后由方向矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式，最后对多项式进行求根并完成参数配对，完成信源角度估计。
进一步地说，本发明的方法具体包括以下步骤：
步骤1：建立互质面阵接收信号的数学模型；
步骤2：求出互质面阵协方差矩阵
Figure BDA0002855963790000021
并对
Figure BDA0002855963790000022
进行特征值分解，确定噪声子空间；
步骤3：构造互质面阵对应的FCPA；
步骤4：根据FCPA和CPA的关系重写谱函数，构造一维求根多项式；
步骤5：求根，并确定信源角度对应的根；
步骤6：完成参数配对，完成二维DOA估计。
进一步地说，所述互质面阵由两个均匀面阵组成，互质面阵分解为两个阵元数分别为M1×M1和M2×M2的均匀面阵；
M1表示第一个子阵在X轴和Y轴方向的阵元数，M2为第二个子阵在X轴和Y轴方向的阵元数；M1和M2满足互质关系，阵元数为M1×M1的子阵1其阵元间距为d1＝M2λ/2，阵元数为M2×M2的子阵2其阵元间距为d2＝M1λ/2；其阵元总数为
Figure BDA0002855963790000023
进一步地说，步骤2中，
获取L个快拍得到互质面阵的协方差矩阵
Figure BDA0002855963790000024
的估计为
Figure BDA0002855963790000025
对信号协方差矩阵进行特征值分解，可以表示为
Figure BDA0002855963790000026
其中，Es表示由最大的K个特征值对应的特征矢量构成的信号子空间，En表示由其余特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间，Λs表示由最大的K个特征值构成的对角矩阵，Λn表示由其余特征值构成的对角矩阵。
进一步地说，步骤3中，所述FCPA是根据互质面阵构造的全阵，其阵元总数为(M1+M2-1)2。
进一步地说，步骤4中，根据噪声子空间和方向矢量之间的正交关系，CPA的空间谱函数可以表示为：
Figure BDA0002855963790000031
其中
Figure BDA0002855963790000032
表示CPA的方向矢量，且
Figure BDA0002855963790000033
Figure BDA0002855963790000034
En为噪声子空间；
求根式多项式如下：
Figure BDA0002855963790000035
Figure BDA0002855963790000036
进一步地说，步骤5中，信源角度对应的根如下：
Figure BDA0002855963790000037
Figure BDA0002855963790000038
进一步地说，步骤6中，对
Figure BDA0002855963790000039
和
Figure BDA00028559637900000310
进行配对处理来完成二维DOA估计，构造如下代价函数：
Figure BDA00028559637900000311
其中
Figure BDA00028559637900000312
表示由
Figure BDA00028559637900000313
和
Figure BDA00028559637900000314
重构的方向矢量，2D-DOA估计示为
Figure BDA00028559637900000315
Figure BDA00028559637900000316
其中
Figure BDA00028559637900000317
由i′(1≤i′≤K)重构
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：
1)该算法无需对信源角度进行谱峰搜索，与RD-MUSIC算法、2D-PSS算法和AF-MUSIC算法这些谱峰搜索类算法相比，复杂度较低；
2)该算法将二维求根问题转化为两次一维求根，有效降低了求根复杂度和求根难度；
3)该算法的角度估计性能优于RD-MUSIC算法、2D-PSS算法和2D-ROOT算法，同AF-MUSIC算法的角度估计性能接近；
4)能有效地用于二维DOA估计，同时获得较高精度的角度估计结果；
附图说明
图1是互质面阵示意图；
图2是互质面阵对应的FCPA示意图；
图3是本发明算法在SNR＝5dB时的估计点阵图；
图4是本发明算法在SNR＝20dB时的估计点阵图；
图5是本发明算法的角度估计性能在不同快拍数条件下的对比图；
图6是本发明算法的角度估计性能在不同阵元数条件下的对比图；
图7是本发明算法和RD-MUSIC算法、2D-PSS算法、2D-ROOT算法和AF-MUSIC算法的角度估计性能在相同阵列结构和相同快拍数条件下不同信噪比的对比图。
图8是本发明算法和RD-MUSIC算法、2D-PSS算法、2D-ROOT算法和AF-MUSIC算法的角度估计性能在相同阵列结构和相同信噪比条件下不同快拍数的对比图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施例对本发明的技术方案做进一步的详细说明：
符号表示：本发明中(·)T,(·)H(·)-1和(·)*分别表示为转置，共轭转置，求逆和共轭运算。加粗大写字母表示矩阵，加粗小写字母表示矢量，
Figure BDA0002855963790000041
表示Kronecker积，⊙表示Khatri-Rao积，Rank(·)表示求矩阵的秩，det(·)表示求行列式的值，angle(·)表示求复数的相角。
假设空间有K个窄带远场不相干信源入射到此互质面阵上，其二维波达方向为(θk,φk),k＝1,2,…,K，其中θk和φk分别代表第k个信源的仰角和方位角。互质面阵可以分解为两个阵元数分别为M1×M1和M2×M2的均匀面阵，M1表示第一个子阵在X轴和Y轴方向的阵元数，M2为第二个子阵在X轴和Y轴方向的阵元数。M1和M2满足互质关系，阵元数为M1×M1的子阵1其阵元间距为d1＝M2λ/2，阵元数为M2×M2的子阵2其阵元间距为d2＝M1λ/2。其阵元总数为
Figure BDA0002855963790000042
定义uk＝sinθksinφk，vk＝sinθkcosφk。本发明中涉及的互质面阵结构如图1所示。其中，M1＝2,M2＝3,阵元总数为12。首先根据阵列信号数学模型得到对协方差矩阵进行特征值分解噪声子空间，然后构造FCPA并根据FCPA和互质面阵的关系改写谱函数，确定一维求根多项式，最后求根并完成参数配对，得出信源信号角度参数估计值。本例中互质面阵中一种基于多项式求根的测向估计方法的具体实现如下：
步骤1：建立互质面阵接收信号的数学模型；
对于第i(i＝1,2)个子阵，互质面阵接收信号可以表示为：
Xi＝AiS+Ni (1)
其中
Figure BDA0002855963790000051
表示第i个子阵的方向矩阵，
Figure BDA0002855963790000052
和
Figure BDA00028559637900000513
分别表示沿着Y轴和沿着X轴的方向矢量。
Figure BDA0002855963790000053
为信源矩阵，且
Figure BDA0002855963790000054
L表示快拍数。
Figure BDA0002855963790000055
为均值为0方差为σ2的高斯白噪声。
对于整个互质面阵，接收信号可以表示为
Figure BDA0002855963790000056
其中
Figure BDA0002855963790000057
步骤2：求出协方差矩阵
Figure BDA0002855963790000058
并对
Figure BDA0002855963790000059
进行特征值分解，确定噪声子空间：
获取L个快拍得到互质面阵的协方差矩阵
Figure BDA00028559637900000510
的估计为
Figure BDA00028559637900000511
对信号协方差矩阵进行特征值分解，可以表示为
Figure BDA00028559637900000512
其中，Es表示由最大的K个特征值对应的特征矢量构成的信号子空间，En表示由其余特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间。Λs表示由最大的K个特征值构成的对角矩阵，Λn表示由其余特征值构成的对角矩阵。
步骤3：构造互质面阵对应的FCPA；
我们给出FCPA的定义：
CPA对应的FCPA是非均匀阵，所有阵元的位置可以表示为：
Ω＝{Ωx,Ωy} (5)
其中Ωx和Ωy分别表示X轴和Y轴的坐标集合，Ωx＝m1d1∪m2d2，Ωy＝m1d1∪m2d2且0≤m1≤M1-1，0≤m2≤M2-1，m1和m2均为整数。则FCPA的总阵元数为TF＝(M1+M2-1)2。
由图1中CPA构造的FPCA如图2所示，其中Ωx＝{0,2,3,4}d，Ωy＝{0,2,3,4}d。显然，FCPA包含CPA中的所有阵元，且其中有4个阵元不在CPA中。所以CPA可以看成是FCPA经过抽取后的阵列。
假设空间中有K个远场窄带不相关信源入射FCPA，其接收信号可以表示为：
XF＝AFS+NF (6)
其中
Figure BDA0002855963790000061
为FCPA的方向矩阵。
Figure BDA0002855963790000062
和
Figure BDA0002855963790000063
分别表示FCPA沿着Y轴和X轴的方向矢量，dFyi∈Ωy,dFxi∈Ωx,1≤i≤M1+M2-1分别表示Y轴和X轴上阵元位置。因为CPA可以看成从FCPA中抽取面阵，我们可以用一个抽取矩阵G∈{0,1}来表示这一关系，即
A＝GAF (7)
其中
Figure BDA0002855963790000064
为了更具体表示抽取矩阵的获取方式，我们根据方向矢量中阵元的顺序，对互质面阵和FCPA中每一个阵元的位置进行编号。具体为：对于CPA，
Figure BDA0002855963790000065
为子阵1的编号，
Figure BDA0002855963790000066
为子阵2的编号；对于FCPA，1～(M1+M2-1)2为整个面阵的编号。如果CPA中的第i个阵元和FCPA中的第j个阵元重合，则gij＝1，否则gij＝0。gij表示G中坐标为(i,j)的元素。对于图2中给定的FCPA，显然，G是一个包含4列全0元素，大小为12×16的矩阵。
定义抽取效率为抽取矩阵中包含非零元素的比例，易得G的抽取效率为0.0625。
步骤4：根据FCPA和CPA的关系重写谱函数，构造关于求根多项式；
根据噪声子空间和方向矢量之间的正交关系，CPA的空间谱函数可以表示为：
Figure BDA0002855963790000067
其中
Figure BDA0002855963790000068
表示CPA的方向矢量，且
Figure BDA0002855963790000069
Figure BDA00028559637900000610
En为噪声子空间。
根据式(7)可得a(u,v)＝GaF(u,v)，则式(8)可以重写为：
Figure BDA0002855963790000071
其中
Figure BDA0002855963790000072
表示FCPA的方向矢量且
Figure BDA0002855963790000073
Figure BDA0002855963790000074
EFn＝GHEn。
我们可以通过对式(9)进行空间谱搜索获得2D-DOA估计，但二维谱峰搜索具有极高的计算复杂度。为保证估计精度的同时降低计算复杂度，我们采用降维求根的方式来完成对u和v估计。
根据式(9)构造求根多项式：
Figure BDA0002855963790000075
或
Figure BDA0002855963790000076
其中
Figure BDA0002855963790000077
Figure BDA0002855963790000078
根据矩阵乘积秩的关系，有
Figure BDA0002855963790000079
则
Figure BDA00028559637900000710
式(13)意味着det{Q(u)}为非0多项式，显然Q(u)是V(u,v)的一个因式。因为Q(u)中仅包含变量u，如果u满足以下关系：
det{Q(u)}＝0 (14)
那么式(14)的根满足求根方程：
Figure BDA0002855963790000081
即我们可以通过降维求根的方式从构造的求根多项式中获得u的估计。对于v的估计是类似的。那么从二维求根多项式中获得配对的u和v的问题即被转化为两次一维求根问题。现在对式(10)和式(11)进行改写：
Figure BDA0002855963790000082
Figure BDA0002855963790000083
定义
z1＝ej2πdu/λ
z2＝ej2πdvλ (18)
其中d＝λ/2。
考虑到FCPA和等阵列孔径均匀面阵的关系，FCPA沿X轴方向的方向矢量为：
Figure BDA0002855963790000084
其中dFxi∈Ωx，等阵列孔径的均匀面阵沿X轴方向的方向矢量为：
Figure BDA0002855963790000085
为表示方便，假设互质面阵中M1＜M2，则
Figure BDA0002855963790000086
aFx(v)和aEx(v)之间存在如下对应关系：
aFx(v)＝G1aEx(v) (19)
其中
Figure BDA0002855963790000087
更具体地，aFx(v)中的第i个元素和aEx(v)中的第j个元素重合，则g1ij＝1，否则g1ij＝0。g1ij表示G1中坐标为(i,j)的元素。对于图2中给定的FCPA，显然，G1是一个包含1列全0元素，大小为4×5的矩阵。对于FCPA和等阵列孔径的均匀面阵沿Y轴方向的方向矢量之间的对应关系分析类似，则：aFy(u)＝G1aEy(u)。
方向矢量可以改写为：
Figure BDA0002855963790000088
Figure BDA0002855963790000089
为了消除幂次项u*和v*,我们可以利用
Figure BDA00028559637900000810
代替
Figure BDA00028559637900000811
用
Figure BDA00028559637900000812
代替
Figure BDA00028559637900000813
即
Figure BDA0002855963790000091
Figure BDA0002855963790000092
步骤5：求根，并确定信源角度对应的根：
考虑到det{Q(z1)}和det{Q(z2)}均为偶次多项式，所以我们可以取式(22)中单位圆内幅值最大的K个根
Figure BDA0002855963790000093
获得
Figure BDA0002855963790000094
式(23)中单位圆内幅值最大的K个根
Figure BDA0002855963790000095
来获得
Figure BDA0002855963790000096
即
Figure BDA0002855963790000097
Figure BDA0002855963790000098
步骤6：完成参数配对，完成二维DOA估计：
显然，获得
Figure BDA0002855963790000099
和
Figure BDA00028559637900000910
的过程是分开的，所以需要对
Figure BDA00028559637900000911
和
Figure BDA00028559637900000912
进行配对处理来完成二维DOA估计。构造如下代价函数：
Figure BDA00028559637900000913
其中
Figure BDA00028559637900000914
表示由
Figure BDA00028559637900000915
和
Figure BDA00028559637900000916
重构的方向矢量，可参照式(8)中方向矢量的计算获得。
显然，Vk,i的总数是K2，对于每一个
Figure BDA00028559637900000917
而言，我们可以计算Vk,i(1≤i≤K)并选择最小的Vk,i对应的i值，当前k值对应的i值记为i′，这样就完成了配对过程。2D-DOA估计可以表示为
Figure BDA00028559637900000918
Figure BDA00028559637900000919
其中
Figure BDA00028559637900000920
由i′(1≤i′≤K)重构。
本发明的方法运算复杂度分析如下：
对本发明算法的运算复杂度进行分析，具体如下：互质面阵中子阵1的大小为M1×M1，子阵2的大小为M2×M2信源数为K，快拍数为L，所以本算法的主要复杂度包括：计算接收信号的协方差矩阵需要
Figure BDA00028559637900000921
特征值分解需要
Figure BDA00028559637900000922
高阶多项式求根需要O{2(2M1(M2-1))3}，配对过程需要
Figure BDA00028559637900000923
所以本发明算法的总复杂度为
Figure BDA00028559637900000924
由于2D-DOA估计算法的复杂度主要来自于谱峰搜索，本发明算法无需对信源角度进行角度搜索，所以在相同阵列结构下，本算法的复杂度要远低于谱峰搜索类算法。
图3-4是本发明算法角度估计性能在不同信噪比下的估计点阵图。其中，图2的SNR＝5dB，图3的SNR＝20dB。由图2-3表明，该算法可以精确的估计出仰角和方位角，且算法的角度估计性能随着信噪比增加变得更好。其中，入射信号的角度参数为(θ1,φ1)＝(20°,30°),(θ2,φ2)＝(40°,50°)，互质面阵中，子阵1大小为M1×M1＝2×2，子阵2大小为M2×M2＝3×3，快拍数L＝100。
图5是本发明算法角度估计性能在不同快拍下的曲线图。快拍数增加，即采样数据增多。由图可以得出，算法的角度估计性能随着快拍数增加变得更好。其中，入射信号的角度参数(θ1,φ1)＝(20°,30°),(θ2,φ2)＝(40°,50°)，互质面阵中，M1×M1＝2×2，子阵2大小为M2×M2＝3×3。
图6是本发明算法角度估计性能在不同阵元下的曲线图。阵元数增加，即接收天线获得分集增益增加。由图可以得出，算法的角度估计性能随着阵元数增加变得更好。其中，入射信号的角度参数(θ1,φ1)＝(20°,30°),(θ2,φ2)＝(40°,50°)，快拍数L＝200。
图7-8是本发明算法和RD-MUSIC算法、2D-PSS算法、2D-ROOT算法和AF-MUSIC算法在不同信噪比和不同快拍数下的仿真对比结果。由图7-8表明，本发明算法的角度估计性能优于RD-MUSIC算法、2D-PSS算法、2D-ROOT算法且和AF-MUSIC算法的角度估计性能接近。其中，入射信号的角度参数(θ1,φ1)＝(20°,30°),(θ2,φ2)＝(40°,50°)，互质面阵中，M1×M1＝2×2，子阵2大小为M2×M2＝3×3。
从上述附图中展示的数据，可以看出，本发明的的优势在于可以充分平衡复杂度和角度估计性能，突破传统二维角度估计方法中，角度估计性能良好但复杂度较高或计算复杂度较低但角度估计性能的局限；本发明算法能够实现较高分辨率的二维DOA估计，有效解决了初估计精度对后续估计影响的问题。该算法角度估计性能优于RD-MUSIC算法、和2D-PSS算法和2D-ROOT算法，同AF-MUSIC接近；计算复杂度远低于RD-MUSIC算法、2D-PSS算法和AF-MUSIC算法等谱峰搜索类算法，同2D-ROOT算法接近。
以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。

Claims (8)

1.一种互质面阵中一种基于多项式求根的二维测向估计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：建立互质面阵接收信号的数学模型，构建接收信号的协方差矩阵，对协方差矩阵进行特征值分解获得噪声子空间，构建FCPA并重构谱函数，由噪声矩阵和方向向量的正交关系确定求根多项式，最后求根并完成参数配对，确定信源角度。
2.根据权利要求1所述的互质面阵结构，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
步骤1：建立互质面阵接收信号的数学模型；
步骤2：求出互质面阵协方差矩阵
Figure FDA0002855963780000011
并对
Figure FDA0002855963780000012
进行特征值分解，确定噪声子空间；
步骤3：构造互质面阵对应的FCPA；
步骤4：根据FCPA和CPA的关系重写谱函数，构造一维求根多项式；
步骤5：求根，并确定信源角度对应的根；
步骤6：完成参数配对，完成二维DOA估计。
3.根据权利要求2所述的互质面阵结构，其特征在于，步骤1中，所述互质面阵由两个均匀面阵组成，互质面阵分解为两个阵元数分别为M1×M1和M2×M2的均匀面阵；
M1表示第一个子阵在X轴和Y轴方向的阵元数，M2为第二个子阵在X轴和Y轴方向的阵元数；M1和M2满足互质关系，阵元数为M1×M1的子阵1其阵元间距为d1＝M2λ/2，阵元数为M2×M2的子阵2其阵元间距为d2＝M1λ/2；其阵元总数为
Figure FDA0002855963780000013
4.根据权利要求2所述的角度估计方法，其特征在于，步骤2中，
获取L个快拍得到互质面阵的协方差矩阵
Figure FDA0002855963780000014
的估计为
Figure FDA0002855963780000015
对信号协方差矩阵进行特征值分解，可以表示为
Figure FDA0002855963780000016
其中，Es表示由最大的K个特征值对应的特征矢量构成的信号子空间，En表示由其余特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间，Λs表示由最大的K个特征值构成的对角矩阵，Λn表示由其余特征值构成的对角矩阵。
5.根据权利要求3所述的角度估计方法，其特征在于，步骤3中，所述FCPA是根据互质面阵构造的全阵，其阵元总数为(M1+M2-1)2。
6.根据权利要求2所述的角度估计方法，其特征在于，步骤4中，根据噪声子空间和方向矢量之间的正交关系，CPA的空间谱函数可以表示为：
Figure FDA0002855963780000021
其中
Figure FDA0002855963780000022
表示CPA的方向矢量，且
Figure FDA0002855963780000023
Figure FDA0002855963780000024
En为噪声子空间；
求根式多项式如下：
Figure FDA0002855963780000025
Figure FDA0002855963780000026
7.根据权利要求2所述的角度估计方法，其特征在于，步骤5中，信源角度对应的根如下：
Figure FDA0002855963780000027
Figure FDA0002855963780000028
8.根据权利要求2所述的角度估计方法，其特征在于，步骤6中，对
Figure FDA0002855963780000029
和
Figure FDA00028559637800000210
进行配对处理来完成二维DOA估计，构造如下代价函数：
Figure FDA00028559637800000211
其中
Figure FDA00028559637800000212
表示由
Figure FDA00028559637800000213
和
Figure FDA00028559637800000214
重构的方向矢量，2D-DOA估计示为
Figure FDA00028559637800000215
Figure FDA00028559637800000216
其中
Figure FDA00028559637800000217
由i′(1≤i′≤K)重构。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN113534198A (zh) * 2021-06-16 2021-10-22 北京遥感设备研究所 基于协方差矩阵重构的卫星导航动态抗干扰方法及其系统
CN113777554A (zh) * 2021-08-26 2021-12-10 南京航空航天大学 一种基于求根Capon的二维DOA估计方法

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