CN111352063A

CN111352063A - 一种均匀面阵中基于多项式求根的二维测向估计方法

Info

Publication number: CN111352063A
Application number: CN201911321920.2A
Authority: CN
Inventors: 张小飞; 叶长波; 朱倍佐
Original assignee: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Current assignee: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Priority date: 2019-12-20
Filing date: 2019-12-20
Publication date: 2020-06-30
Anticipated expiration: 2039-12-20
Also published as: CN111352063B

Abstract

本发明公开了一种均匀面阵中基于多项式求根的二维测向估计方法，该方法首先由均匀面阵的接收信号得到协方差矩阵；然后对协方差矩阵进行特征值分解并得到信号子空间和噪声子空间，根据方向矩阵和噪声子空间的正交关系确定求根多项式；最后求出多项式的根，完成参数配对，完成二维角度参数估计。本发明的可以充分平衡复杂度和角度估计性能，突破传统二维角度估计方法中，角度估计性能良好但复杂度较高或复杂度较低但角度估计性能一般的局限；并且本发明能够实现较高分辨率的二维DOA估计，角度估计性能优于2D‑PM算法和2D‑ESPRIT算法，同2D‑MUSIC算法基本一致，算法复杂度远低于2D‑MUSIC算法。

Description

一种均匀面阵中基于多项式求根的二维测向估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术，具体涉及一种均匀面阵中基于多项式求根的二维测向估计方法。

背景技术

早期的空间谱估计研究均基于均匀线阵，但是现实的信源都处在三维空间中，只有通过仰角和方位角才能确定信源的入射位置。虽然均匀线阵具有结构简单的优点，但是仅仅只研究一维的DOA估计显然是具有很大局限性的，所以对多维参数估计的研究具有非常现实的意义。近年来，学者们提出了多种对二维空间谱估计及其多普勒频率的联合估计的方法。二维空间谱估计的常用方法主要包括2D-MUSIC算法、2D-ESPRIT算法、2D-PM算法和PARAFAC技术等。二维空间谱估计中，采用的阵型主要包括L型阵列、面阵、圆阵和平行阵列等，平面阵列利用子空间法实现空间谱估计可以获得较高分辨率。同时，相对于一维线阵，平面阵列中阵元的排布方式也极大缩小了阵列尺寸。

MUSIC算法的提出是在空间谱估计发展的历史上具有里程碑的意义。该算法主要通过噪声子空间和阵列流形之间的正交关系构造谱函数，然后用其极值来实现信源参数估计。其中 2D-MUSIC算法是二维DOA估计的典型算法，此方法可以产生渐进无偏估计，但是要在二维参数空间搜索谱峰，所以其计算复杂度非常高。本发明算法通过求根的方式，无需谱峰搜索，获得求根结果后，配对完成信源角度参数估计。在有效降低复杂度的同时保证了角度估计性能。

发明内容

发明目的：为实现均匀面阵中不相干多信源入射条件下进行信号角度参数估计，本发明提供一种基于多项式求根的二维测向估计方法。

技术方案：一种均匀面阵中基于多项式求根的二维测向估计方法，包括如下步骤：

(1)建立均匀面阵接收信号的数学模型；

(2)构建接收信号的协方差矩阵，对协方差矩阵进行特征值分解获得噪声子空间；

(3)由噪声矩阵和方向向量的正交关系确定求根多项式；

(4)基于求根多项式进行求根计算并完成参数配对，确定信源角度。

进一步的，所述均匀面阵接收信号X表达式如下：

所述均匀面阵接收信号的数学模型表达式为：

X＝[A_y⊙A_x]S+N＝AS+N

式中，均匀面阵共有M×N个阵元，x_N(t)表示子阵N的接收信号，A_xΦ^N-1表示子阵N的方向矩阵，n_N(t)为子阵N的加性高斯白噪声，A_y表示按Y轴纵向扫描接收信号矩阵，S表示信源矩阵，⊙表示Khatri-Rao积。

进一步的，步骤(2)包括如下过程：

获取L个快拍得到均匀面阵的协方差矩阵

的估计如下：

对信号协方差矩阵进行特征值分解，其表达式如下：

其中，E_s表示信号子空间，E_n表示噪声子空间，D_s和D_n均表示对角矩阵。

进一步的，步骤(3)根据方向矩阵和噪声子空间的关系构造关于u和v的求根多项式包括如下计算过程：

求根MUSIC多项式表达式如下：

其中z₁＝e^j2πdu/λ,z₂＝e^j2πdv/λ；

其中根据MUSIC算法构造求根多项式表达式如下：

或者表示如下：

式中，u＝sin θ siφ v＝cos θ sin φ且θ和φ分别对应信源角度的仰角和方位角，V(u， v)表示二维求根MUSIC多项式，a_y(u)和a_x(v)表示均匀面阵的阵列流形，(·)^H表示该矩阵的共轭转置矩阵。

进一步的，步骤(4)包括如下过程：

(a)确定信源角度对应的二项式根

取Q(u)＝0在单位圆内具有最大幅值的K个根

的相位获得u的估计，取Q(v)＝0在单位圆内具有最大幅值的K个根

的相位获得v的估计，其计算表达式如下：

(b)完成参数配对，完成二维DOA估计：

通过对

和

进行配对来完成对应角度估计，所构造代价函数表达式如下：

其中

表示与

张成空间相互正交的投影矩阵，

是根据x轴上M个阵元对应的方向矩阵为A_x和y轴上N个阵元对应的方向矩阵为A_y的估计值经过Khatri-Rao积构造的方向矩阵的估计值；

配对完成后得到二维波达角的估计表达式如下：

其中，

和

分别表示

和

中第i和第j个元素。

与现有技术相比，本发明具有四个方面的显著效果：

(1)本发明所提供的估计方法需对信源角度进行谱峰搜索，与2D-MUSIC算法对比，复杂度较低；

(2)该算法将二维求根问题转化为两次一维求根，有效降低了求根复杂度和求根难度；

(3)该算法的角度估计性能优于2D-PM算法和2D-ESPRIT算法，同2D-MUSIC算法的角度估计性能基本一致；

(4)能有效地用于二维DOA估计，同时获得较高精度的角度估计结果。

附图说明

图1是均匀面阵示意图；

图2是本发明所述方法在SNR＝5dB时的估计点阵图；

图3是本发明所述方法在SNR＝20dB时的估计点阵图；

图4是本发明所述方法的角度估计性能在不同快拍数条件下的对比图；

图5是本发明算法角度估计性能在不同阵元下的曲线图；

图6是本发明所述方法和2D-MUSIC算法、2D-ESPRIT算法、2D-PM算法、RD-MUSIC 算法的角度估计性能在相同阵列结构和相同快拍数条件下的对比图。

具体实施方式

为了详细的说明本发明所公开的技术方案，下面结合附图以及具体实施例对本发明的技术方案做进一步的表述。

在本发明中所述的方法中，对于矩阵及其计算表达式中，(·)^T,(·)^H和(·)^-1分别表示为转置，共轭转置和求逆。X表示矩阵，x(·)表示矢量，

代表Kronecker积，⊙表示Khatri-Rao积， Rank(·)表示求矩阵的秩，det(·)表示求行列式的值，angle(·)表示求复数的相角。

为实现在均匀面阵中不相干多信源入射条件下进行信号角度参数估计，本发明所述的一种均匀面阵中基于多项式求根的二维测向估计方法的基本思路是：由阵列信号的数学模型确定接收信号的协方差矩阵，通过对协方差矩阵进行特征值分解获得信号子空间和噪声子空间，然后由方向矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式，最后对多项式进行求根并完成参数配对，完成信源角度估计。

本发明所述方法的具体的实施步骤如下：

如图1所示。假设空间有K个窄带远场不相干信源入射到此均匀面阵上，其二维波达方向为(θ_k,φ_k)，k＝1,2,…,K，其中θ_k,φ_k分别代表第k个信源的仰角和方位角。首先根据阵列信号数学模型得到噪声子空间，然后根据方向矩阵和噪声子空间的关系构造关于u和v的求根多项式，最后求根并完成参数配对，得出信源信号角度参数估计值。本实施例提供的一种均匀面阵中基于多项式求根的测向估计方法的具体实现如下：

步骤1：建立均匀面阵接收信号的数学模型：

图1所示的均匀面阵，该面阵共有M×N个阵元，均匀分布，两个相邻元素的间距是d， d≤λ/2(λ是波长)。x轴和y轴上信源的方向矢量分别如下：

x轴上M个阵元对应的方向矩阵为A_x＝[a_x(θ₁,φ₁),a_x(θ₂,φ₂),…,a_x(θ_K,φ_K)]，具体表示为：

y轴上N个阵元对应的方向矩阵为A_y＝[a_y(θ₁,φ₁),a_y(θ₂,φ₂),…,a_y(θ_K,φ_K)]，具体表示为：

面阵中子阵1的接收信号为：

x₁(t)＝A_xS+n₁(t) (5)

式中：A_x＝[a_x(θ₁,φ₁),a_x(θ₂,φ₂),…,a_x(θ_K,φ_K)]是子阵1的方向矩阵，n₁(t)是子阵1的加性高斯白噪声。

是信源矩阵。

第N个子阵的接收信号为：

x_N(t)＝A_xΦ^N-1S+n_N(t) (6)

式中：

n_N(t)是第n个子阵的加性高斯白噪声。可得整个面阵的接收信号为：

式(7)中的信号也可以用如下数学模型表示：

X＝[A_y⊙A_x]S+N＝AS+N (8)

其中A＝A_y⊙A_x。

根据Khatri-Rao积的定义，方向矩阵A可以表示为：

步骤2：求出协方差矩阵

并对

进行特征值分解，确定噪声子空间：

获取L个快拍得到均匀面阵的协方差矩阵

的估计为：

对信号协方差矩阵进行特征值分解，可以表示为：

步骤3：根据方向矩阵和噪声子空间的关系构造关于u和v的求根多项式：

2D-MUSIC算法中空间谱函数可表示为：

定义

则，阵列流形可以表示为：

a_y(θ_k,φ_k)＝a_y(u)＝[1,e^j2πdu/λ,…,,e^{j2π(N-1)du/λ}]^T (13)

a_x(θ_k,φ_k)＝a_x(v)＝[1,e^j2πdv/λ,…,,e^{j2π(M-1)dv/λ}]^T (14)

根据MUSIC算法构造求根多项式：

V(u,v)也可表示为：

或

对其中的u和v的集合进行估计，使方向矩阵在噪声子空间方向上投影最小。等价于

V(u,v)＝0 (18)

由于

则

上式即转换为

令，

阵列流形可以改写为：

a_y(u)＝[1,e^j2πdu/λ,…,,e^{j2π(N-1)du/λ}]^T＝[1,z₁,…,z₁ ^N-1]^T＝a_y(z₁) (24)

a_x(v)＝[1,e^j2πdv/λ,…,,e^{j2π(M-1)dv/λ}]^T＝[1,z₂,…,z₂ ^M-1]^T＝a_x(z₂) (25)

为了消除u^*和v^*的幂次项，且只对单位圆上的z值感兴趣，所以可以用

代替

用

代替

这就给出了求根MUSIC 多项式，即

步骤4：求根，并确定信源角度对应的根：

由于Q(u)和Q(v)均为偶次多项式，它的根相对于单位圆为镜像对。其中，取Q(u)＝0在单位圆内具有最大幅值的K个根

的相位获得v的估计。

步骤5：完成参数配对，完成二维DOA估计：

由于对

和

的估计是分开的，所以需要对

和

进行配对来完成对应角度估计。构造代价函数，代价函数为：

其中

表示与

张成空间相互正交的投影矩阵。而

是根据式(3)和式(4)得到的估计值进行Khatri-Rao积构造的方向矩阵的估计值。任取

和

其中一个为固定值，不妨令

固定，则估计值有K！种组合，带入式(30)得到最小值组合就是正确的配对。配对完成后，我们可以得到二维波达角的估计分别为：

其中，

和

分别表示

和

中第i和第j个元素，且它们已配对完成。

本发明的方法对于运算实现的复杂度分析如下：

对本发明算法的运算复杂度进行分析，具体如下：由于均匀面阵共有M×N个阵元，信源数为K，快拍数为L，所以本算法的主要复杂度包括：计算接收信号的协方差矩阵需要 O{(MN)²L},特征值分解需要O{(MN)³}，高阶多项式求根需要O{(2N(M-1))³+(2M(N- 1))³+2(MN+1)(MN-K)}，配对过程需要O{2K³}所以本发明算法的总复杂度为 O(MN)²L+(MN)³+(2N(M-1))³+(2M(N-1))³+2(MN+1)(MN-K)+2K³}，由于 DOA估计算法的复杂度主要来自于谱峰搜索，由于无需对信源角度进行角度搜索，所以在相同阵列结构下，本算法的复杂度要远低于MUSIC算法。

图2-图3是本发明算法角度估计性能在不同信噪比下的估计点阵图。其中，图2的SNR＝5dB，图3的SNR＝20dB。由图2-图3表明，该算法可以精确的估计出仰角和方位角，且算法的角度估计性能随着信噪比增加变得更好。其中，入射信号的角度参数为(θ₁,φ₁)＝(20°,30°),(θ₂,φ₂)＝(40°,50°)，均匀面阵大小为M＝N＝6，快拍数L＝100。

图4是本发明算法角度估计性能在不同快拍下的曲线图。快拍数增加，即采样数据增多。由图可以得出，算法的角度估计性能随着快拍数增加变得更好。其中，入射信号的角度参数为(θ₁,φ₁)＝(20°,30°),(θ₂,φ₂)＝(40°,50°)，均匀面阵大小为M＝N＝6。

图5是本发明算法角度估计性能在不同阵元下的曲线图。阵元数增加，即分集增益增加。由图可以得出，算法的角度估计性能随着阵元数增加变得更好。其中，入射信号的角度参数 (θ₁,φ₁)＝(20°,30°),(θ₂,φ₂)＝(40°,50°)，快拍数L＝200。

图6是本发明算法和2D-MUSIC算法、2D-PM算法、2D-ESPRIT算法仿真对比结果。由图6表明，本发明算法的角度估计性能优于2D-PM算法、2D-ESPRIT算法且和2D-MUSIC算法的角度估计性能基本一致。其中，入射信号的角度参数(θ₁,φ₁)＝(20°,30°),(θ₂,φ₂)＝(40°,50°)，均匀面阵大小为M＝N＝6，快拍数L＝200。

本发明可以充分平衡复杂度和角度估计性能，突破传统二维角度估计方法中，角度估计性能良好但复杂度较高或复杂度较低但角度估计性能一般的局限；本发明所包含的算法能够实现较高分辨率的二维DOA估计，角度估计性能优于2D-PM算法、2D-ESPRIT算法和RD-MUSIC算法，同2D-MUSIC算法基本一致，算法复杂度远低于2D-MUSIC算法。