CN109815548A - 一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，本发明在已知流体参数、计算域边界条件的情况下，基于雷诺方程进行一定的简化推导得出最优的基函数，进而简化得到稀疏的系数矩阵，通过降阶计算，未知数数量翻倍下降，显著降低系数矩阵阶次，解决了传统流体膜计算中基函数性能差，求解效率低的问题；是一种准确快速的流体膜求解方法。并且能够应用于多种工业设备的计算，只需得到不同工况下的边界条件，基函数形式不变，可节省理论设计计算时间，提高设计效率。

Description

一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法

技术领域

本发明属于智能制造领域，具体涉及一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法。

背景技术

智能制造的基础是设备的安全与稳定，为保障工业设备(轴承、密封、油膜阻尼器等)内流体膜的准确计算，需要有快速准确的性能计算分析手段

从理论上来说对于特定的流体膜压力问题，我们最终目的就是要求出它的压力分布函数，但是因为偏微分方程无法求解，所以采用Garlerkin方法来计算，即使用大量的基函数与系数组合，拟合得到最终的压力分布函数。所以一定存在一个最适合的基函数(越接近于真实压力分布的基函数越适合)，如何获取这个最佳的基函数，或用多少阶次能够最好地拟合这个基函数是提升Garlerkin计算效率关键的问题。良好的基函数能够使总的计算时间最经济，同时提升计算准确度。

发明内容

本发明的目的在于克服上述不足，提供一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，该方法通过雷诺方程推导出Garlerkin方法应用最佳的基函数形式，使流体膜在进行计算时的系数矩阵大大简化，进而提升计算方法在液体膜计算效率。

为了达到上述目的，本发明包括以下步骤：

步骤一，采集轴承外形，以及工况参数，工况参数包括轴承直径D、宽度W和转速n；

步骤二，通过轴承工况参数确定边界条件，并划分对应计算区域网格节点；

步骤三，确定简化格式的雷诺方程及采用的膜厚函数；

步骤四，通过轴承的转速n求得线速度；

步骤五，根据膜厚函数及线速度求导得厚度延x方向的梯度矩阵；

步骤六，给定最佳的计算基函数；

步骤七，通过边界条件及基函数确定压力分布的函数表达式；

步骤八，对压力分布函数进行拆分；

步骤九，将步骤八中得到的压力p对位置坐标x、y进行积分得到不同方向梯度矩阵和

步骤十，根据步骤九的计算结果求二阶导和x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，h为油膜厚度，μ为润滑油粘度；

步骤十一，根据步骤十求得的二阶导得到求解系数的方程组，通过求解方程组得到系数矩阵C₁和C₂；

步骤十二，将求得的系数矩阵C₁和C₂代入压力表达式，即得到压力分布结果对压力在给定工况区域内积分即得到承载力。

步骤二中，通过轴承工况参数确定边界条件的方法如下：

式中：x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，L’、L为边界位置。

雷诺方程如下：

其中膜厚函数采用下式表示，其中h随位置变化，故为厚度矩阵：

h＝C(1+ecosθ)

式中：x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，h为油膜厚度，μ为润滑油粘度，U为转动线速度，C为油膜总厚度，e为转子偏心率，θ为轴向坐标x对应的角度位置。

步骤六中，最佳的计算基函数如下：

其中，f(x)表示基函数，C₁和C₂表示待求的系数，C为油膜总厚度，e为转子偏心率，θ为轴向坐标x对应的角度位置。

步骤七中，通过边界条件及基函数确定压力分布的函数表达式如下：

式中：p表示各节点的压力值。

步骤八中，对压力分布函数进行拆分得到如下公式：

式中：p₁和p₂表示压力分布拆分两项后的系数矩阵。

步骤十一中，系数矩阵C₁和C₂通过下式得到：

式中：p₁、p₂表示压力分布拆分两项后的系数矩阵，U为转动线速度。

步骤十二的具体计算方法如下：

式中：L’和L为边界位置，x(x-L′)表示x方向边界条件，表示y方向边界条件。

与现有技术相比，本发明在已知流体参数、计算域边界条件的情况下，基于雷诺方程进行一定的简化推导得出最优的基函数，进而简化得到稀疏的系数矩阵，通过降阶计算，未知数数量翻倍下降，显著降低系数矩阵阶次，解决了传统流体膜计算中基函数性能差，求解效率低的问题；是一种准确快速的流体膜求解方法。并且能够应用于多种工业设备的计算，只需得到不同工况下的边界条件，基函数形式不变，可节省理论设计计算时间，提高设计效率。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明实施例中计算域压力分布图；

图3为本发明与差分法的压力对比曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

实施例：

参见图1，本发明以圆瓦滑动轴承为例进行解释，不同流场计算仅边界条件不同，计算流程相同，具体包括以下步骤：

步骤一，获得轴承外形及工况参数，包括轴承直径D、宽度W，转速n；

步骤二，通过已知的轴承工况确定边界条件：

式中：x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，L’、L为边界位置；

根据边界条件划分对应计算区域网格节点；位置坐标为矩阵形式；

步骤三，表示油膜的流场偏微分方程，即雷诺方程；

其中膜厚函数采用下式表示，其中h随位置变化，故为厚度矩阵：

h＝C(1+ecosθ) (4)

式中：x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，h为油膜厚度，μ为润滑油粘度，U为转动线速度，C为油膜总厚度，e为转子偏心率，θ为轴向坐标x对应的角度位置；

步骤四，通过转速求得线速度U：

U＝wD/2 (5)

w＝2πn/60 (6)

式中：U为转动线速度，π为圆周率，w为转动角速度；

步骤五，根据膜厚函数及线速度求导得厚度延x方向的梯度因梯度随位置发生变化，故此项也是对应于网格节点的矩阵；

步骤六，给定最佳的计算基函数：

式中：f(x)表示基函数，C₁、C₂表示待求的系数；

步骤七，通过边界条件及基函数确定压力分布的函数表达式：

式中：p表示各节点的压力值。；

步骤八，对压力分布函数进行拆分，以便于后续计算矩阵分解；

式中：p₁、p₂表示压力分布拆分两项后的系数矩阵；

步骤九，将步骤八计算得到的压力p对位置坐标x、y进行积分得到不同方向梯度矩阵和

步骤十，带入前述计算结果继续求二阶导和计算过程均用矩阵形式；

步骤十一，得到系数求解方程组：

通过求解上述方程可以得到系数矩阵C₁和C₂

步骤十二，通过求得的系数代入压力表达式可得到压力分布结果：

对压力在给定工况区域内积分即得到承载力；

通过代入基函数求得了压力分布函数。

根据傅里叶变换的思想，任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，非周期函数可以采用傅里叶级数不断逼近。因此各种函数都可用傅里叶级数进行展开，包含的阶次越高，函数越接近真实函数值。在基于Garlerkin的计算方法中，基函数(也称为试函数，形函数，shape function)的作用非常重要。采用多阶级数的基函数时，阶次越高，基函数适应能力也越强，求解问题时所需单元数量也越少，因此平衡方程组数目也越少，平衡方程组的阶次较低，求解方程组的时间较少。高阶次的基函数会使得系数矩阵的运算更加复杂，计算量大大提高。

以圆瓦轴承为例，对比差分法、有限元方法和本发明方法的差异，直径40mm，宽度30mm，半径间隙0.02mm，划分网格为200×50，采用差分法通过迭代求解压力分布，残差要求小于10^-4，计算过程中需要反复求解迭代678步才能保证残差降低至9.963x10^-5，对于更加复杂的轴承模型则需要更加大量的迭代次数才能保证迭代精度，而采用本发明的方法不需要经过反复迭代，只需要一次求解即可得到压力分布。再对比同样是求解刚度矩阵的有限元方法，对于前述轴承及网格划分情况，采用有限元方法得到的刚度矩阵达10251×10251，因为有限元方法的基函数采用的是分段函数，每个节点处都需要对应的系数，故该刚度矩阵无法降维，虽然借助于计算机能够短时间得到结果，但仅仅一个200×50的粗网格就需要这么大的矩阵，随着可倾瓦、多油叶等轴承结构趋于复杂，计算域也将趋于复杂，网格数量就会上万，有限元的计算方法会随着网格数量增加而更加耗时。而本发明提出的方法能够使原本无法化简的刚度矩阵转变为稀疏矩阵，转化为求解稀疏矩阵将显著降低方程组的求解难度，大量的未知数都是0，被化简消除，节约计算资源。

本发明解决了传统流体膜计算中基函数性能差，求解效率低的问题；本发明提出的基函数，是基于雷诺方程进行一定的简化推导得出的，相比较于传统的基函数，传统基函数得到的系数矩阵冗杂，简化困难，需要采用大量的计算来得到系数参数，本方法通过采用优化的基函数能够得到稀疏的系数矩阵，通过降阶计算，未知数数量翻倍下降，显著降低系数矩阵阶次，是一种准确快速的流体膜求解方法。

本发明能够应用于多种计算工况，只需得到不同工况下的边界条件，基函数形式不变即可进行简化计算，可用于轴承、密封、油膜阻尼器等多种工业设计计算中，可节省理论设计计算时间，提高设计效率。

Claims (8)

1.一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，采集轴承外形，以及工况参数，工况参数包括轴承直径D、宽度W和转速n；

步骤二，通过轴承工况参数确定边界条件，并划分对应计算区域网格节点；

步骤三，确定简化格式的雷诺方程及采用的膜厚函数；

步骤四，通过轴承的转速n求得线速度；

步骤五，根据膜厚函数及线速度求导得厚度延x方向的梯度矩阵；

步骤六，给定最佳的计算基函数；

步骤七，通过边界条件及基函数确定压力分布的函数表达式；

步骤八，对压力分布函数进行拆分；

步骤九，将步骤八中得到的压力p对位置坐标x、y进行积分得到不同方向梯度矩阵和

步骤十，根据步骤九的计算结果求二阶导和x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，h为油膜厚度，μ为润滑油粘度；

步骤十一，根据步骤十求得的二阶导得到求解系数的方程组，通过求解方程组得到系数矩阵C₁和C₂；

步骤十二，将求得的系数矩阵C₁和C₂代入压力表达式，即得到压力分布结果对压力在给定工况区域内积分即得到承载力。

2.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，步骤二中，通过轴承工况参数确定边界条件的方法如下：

式中：x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，L’、L为边界位置。

3.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，雷诺方程如下：

其中膜厚函数采用下式表示，其中h随位置变化，故为厚度矩阵：

h＝C(1+ecosθ)

式中：x为轴承轴向位置坐标，y油膜厚度方向位置坐标，p为压力值，h为油膜厚度，μ为润滑油粘度，U为转动线速度，C为油膜总厚度，e为转子偏心率，θ为轴向坐标x对应的角度位置。

4.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，步骤六中，最佳的计算基函数如下：

其中，f(x)表示基函数，C₁和C₂表示待求的系数，C为油膜总厚度，e为转子偏心率，θ为轴向坐标x对应的角度位置。

5.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，步骤七中，通过边界条件及基函数确定压力分布的函数表达式如下：

式中：p表示各节点的压力值。

6.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，步骤八中，对压力分布函数进行拆分得到如下公式：

式中：p₁和p₂表示压力分布拆分两项后的系数矩阵。

7.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，步骤十一中，系数矩阵C₁和C₂通过下式得到：

式中：p₁、p₂表示压力分布拆分两项后的系数矩阵，U为转动线速度。

8.根据权利要求1所述的一种基于Garlerkin思想的流体膜压力计算方法，其特征在于，步骤十二的具体计算方法如下：

式中：L’和L为边界位置，x(x-L′)表示x方向边界条件，表示y方向边界条件。