CN104537189A - 一种静压转台运动误差建模及计算方法 - Google Patents

Abstract

一种静压转台运动误差建模及计算方法，该方法包括基于雷诺方程的单油垫理论模型计算出预压油垫及支承油垫在考虑运动误差时的压力分布p_i(r,)及p_y(r,)，然后对压力分布进行积分，得到预压油垫及支承油垫的承载力F_y，F_i和F_j；将单个油垫的油膜厚度简化为油垫中心的油膜厚度，考虑转台的加工轮廓误差，并将其拟合成函数，通过各油垫油膜厚度之间的几何关系确定各油垫油膜厚度及速度；建立转台的动力学平衡方程；在Matlab软件中用龙格库塔法求解转台的动力学方程从而得到转台转速、加工轮廓误差等主要参数对运动误差的影响，为静压转台的加工精度提出一个合理的范围。

Description

一种静压转台运动误差建模及计算方法

技术领域

本发明属于静压转台分析领域，涉及一种双圈油垫支承的静压转台运动误差建模与仿真计算方法，更具体是一种考虑了转台转速、加工轮廓误差的静压转台运动误差的建模与仿真计算方法。

背景技术

静压转台(Hydrostatic Rotary Table)是用有压力的流体使有相对运动的两个表面分开并借助流体静压来承载。由于运动副之间完全被油膜隔开，运动副间的摩擦力大大减小，同时其承载能力、运动精度与寿命却大大提高。正因为液体静压支承的诸多优点，所以它广泛的应用于重型机床并成为其关键部件之一。

对于重型静压转台，由于其尺寸较大，就目前现有的加工条件来说，在重型静压转台加工的过程中，转台的加工误差是难以控制到较低水平的，所以其加工误差对转台的运动误差的影响不能忽略。目前，国内外学者对静压支承基础理论及静压转台的一般设计方法进行了广泛而深入的研究，但对转台加工误差的研究并不充分，加工误差及加工误差对运动误差的影响，尚无完备的理论研究来分析。

发明内容

本发明的目的是提供一种静压转台的运动误差的建模方法及计算方法，用以分析加工误差对运动误差的影响。该方法首先计算转台支承油垫及预压油垫的动态承载力，然后建立转台的整体动力学模型，最后通过数值方法计算转台转速、加工轮廓误差等主要参数对运动误差的影响。

本发明是采用以下技术手段实现的：

1、忽略转台自身的变形，即近似认为转台为刚体，同时考虑转台的加工轮廓误差，并将加工轮廓误差拟合成函数，对于转台的导轨面而言其表面的波动波长一般大于转台的直径。所以忽略转台倾角引起的油膜厚度不均匀对油垫承载能力的影响。

2、基于雷诺方程的单油垫理论模型计算出预压油垫及支承油垫在考虑加工轮廓误差时的压力分布及之后对压力分布进行积分的到预压油垫及支承油垫的承载力F_y，F_i和F_j；

3、转台在外载作用时其所有受力及力矩应当平衡，那么根据力平衡及力矩平衡原则可以建立转台的动力学平衡方程；

4、考虑转台的加工轮廓误差，通过各油垫油膜厚度之间的几何关系确定各油膜厚度及速度；

5、转台的动力学方程为二阶非线性微分方程，根据数值分析的相关理论可以用龙格库塔法在matlab软件中编写方程的求解程序最终得到方程的数值解，也就是求出转台转速、加工轮廓误差等主要参数对转台运动误差的影响。

本发明的特点在于基于雷诺方程的单油垫理论模型，建立静压转台的动力学模型并用数值方法求解出求出转台转速、加工轮廓误差等主要参数对运动误差的影响，模型中考虑了转台加工轮廓误差的情况，也考虑了转台转速的影响。发明内容包括四部分。在第一部分中计算出转台各油垫的承载力，在第二部分中，建立转台的平衡方程，在第三部分中计算各油垫的油膜厚度，在第四部分中，采用Matlab软件计算转台转速、加工轮廓误差等主要参数对运动误差的影响。最后通过实例论证本发明提出的模型。

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施例。

附图说明

图1静压转台结构简图

图2液体静压转台两圈导轨轮廓加工误差示意图

图3液体静压转台受力示意图

图4支承油垫(圆形)简图

图5预压油垫(环形)简图

图6转台运动误差程序计算流程图

图7本发明实例中转台转速对运动精度的影响

图8本发明实例中转台内外圈油垫处的波动比值随波长的变化规律

具体实施方式

本发明实施一种考虑加工轮廓误差的静压转台运动误差建模及计算方法，下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。

图1为静压转台结构简图，转台由转台，基座，支承油垫，预压油垫、径向轴承组成，其中支承油垫为双圈圆形油垫，预压油垫为环形预压油垫，在转台的中心部位安装有一个径向轴承。转台各油垫都由定量泵供油，由于加工的原因转台的导轨面会高低不平，用正弦函数来等效描述转台导轨面的起伏。转台的自重为G，其中支承油垫的供油量为Q₀，预压油垫的供油量为Q₁，径向油垫的供油量为Q₂。

图2为液体静压转台两圈导轨轮廓加工误差示意图，内外圈波长呈放射状，两者之比等于导轨半径之比。

步骤(1)，相关公式推导

基于雷诺方程的单油垫理论模型，推导出转台支承油垫及预压油垫承载力公式，而后列出转台平衡方程。

1、建立单油垫理论模型

在单油垫内，任意割取半径为dr,高度为dz的微球体，定义该微区中心点坐标为(r,z)，在某一瞬时t时，过此微元体中心点的两个分速分别为u_r、v_z。p为油膜压力，η为粘度系数。根据量纲分析可以将极坐标系下的连续性方程和N-S方程简化为：

$\frac{1}{r}\frac{\∂\left({\mathrm{ru}}_r\right)}{\∂r}+\frac{\∂\left(v_z\right)}{\∂z}=0---\left(1\right)$

$\frac{\∂p}{\∂r}=\mathrm{\η}\frac{{\∂}^2{u}_r}{\∂z^2}---\left(2\right)$

$\frac{\∂p}{\∂r}=0---\left(3\right)$

由(3)式可认为p与z无关，所以对(2)式两边对z进行二次积分并代入边界条件：z＝h,u_r＝0；z＝0,u_r＝0可得

$u_r=\frac{z(z-h)}{2\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}---\left(4\right)$

将(4)式带入(1)式并对z积分，再代入边界条件z＝h,u_r＝0,z＝0,u_r＝0,v_z＝0可以得到雷诺方程为：

$\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left(\frac{{\mathrm{rh}}^3}{12\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}\right)=\frac{\∂h}{\∂t}---\left(5\right)$

$Q\left(r\right)=-\frac{{\mathrm{rh}}^3}{12\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}---\left(6\right)$

分析对象中，支承油垫为圆形油垫，预紧油垫为环形油垫，其结构形式如图4、图5所示。对于圆形油垫有：

r＝R₁，p＝p₀；r＝R₂，p＝0；Q(R₁)＝Q₀  (7)根据(5)、(6)、(7)式可解得油腔压力p₀和封油边压力分布p(r)：

$p_0=\frac{6\mathrm{\η}\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}{\mathrm{\π}{h}^3}(Q_0+\mathrm{\π}{R}_1^2\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{\mathrm{\π}(R_2^2-R_1^2)}{2\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\frac{\∂h}{\∂t})---\left(8\right)$

$p\left(r\right)=\frac{r^{2}3\mathrm{\η}}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_2}\right)+\frac{3\mathrm{\η}(R_2^2\ln \left(\frac{r}{R_1}\right)-R_1^2\ln \left(\frac{r}{R_2}\right))}{h_T^3}\frac{\∂h}{\∂t})}{\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}---\left(9\right)$

那么圆形油垫的承载能力为：

$F=\mathrm{\π}{R}_1^2{p}_0+2\mathrm{\π}\underset{R_1}{\overset{R_2}{\∫}}\mathrm{rp}\left(r\right)\mathrm{dr}$

即：

$F=\frac{(R_2^2-R_1^2)(24Q_0\mathrm{\η}-12\mathrm{\π\η}(R_2^2-R_1^2\left)\frac{\∂h}{\∂t}\right)}{8h^3}---\left(10\right)$

对于环形预压压油垫：

对于环形油垫有边界条件为：

r＝R_C1，p＝0；r＝R_C2，p＝p₀；r＝R_C3，p＝p₀；r＝R_C4，p＝0；Q₁＝-Q(R_C2)+Q(R_C3)  (11)根据(5)、(6)、(11)式可解得油腔压力p₀和封油边压力分布p(r)：

$p_0=\frac{6\mathrm{\η}\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)}{\mathrm{\π}{h}^3\ln \left(\frac{R_{C4}{R}_{C2}}{R_{C3}{R}_{C1}}\right)}(Q_0+\mathrm{\π}(R_{C3}^2-R_{C2}^2)\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{\mathrm{\π}(\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)(R_{C4}^2-R_{C3}^2)+\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)(R_{C1}^2-R_{C2}^2))}{2\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)}\frac{\∂h}{\∂t})---\left(12\right)$

当r∈(R_C1,R_C2)时压力分布为：

$p_1\left(r\right)=\frac{r^{2}3\mathrm{\η}}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right)+\frac{3\mathrm{\η}(R_{C1}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C2}}\right)-R_{C2}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right))}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t})}{\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)}---\left(13\right)$

当r∈(R_C3,R_C4)时压力分布为：

$p_2\left(r\right)=\frac{r^{2}3\mathrm{\η}}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right)+\frac{3\mathrm{\η}(R_{C4}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C3}}\right)-R_{C3}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right))}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t})}{\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)}---\left(14\right)$

那么根据(12)(13)(14)式可以计算环形油垫的承载力为：

$F=\mathrm{\π}(R_{C3}^2-R_{C2}^2)p_0+2\mathrm{\π}\underset{R_{c1}}{\overset{R_{c2}}{\∫}}{\mathrm{rp}}_1\left(r\right)\mathrm{dr}+2\mathrm{\π}\underset{R_{c3}}{\overset{R_{c3}}{\∫}}{\mathrm{rp}}_2\left(r\right)\mathrm{dr}$

即：

$\begin{array}{c}{F}_y=\frac{1}{h^3\ln \left(\frac{R_{C1}{R}_{C3}}{R_{C2}{R}_{C4}}\right)}[3Q_1\mathrm{\η}((R_{C4}^2-R_{C3}^2)\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)+(R_{C1}^2-R_{C2}^2)\ln \left(\frac{R_{C3}}{R_{C4}}\right))+\frac{3\mathrm{\π\η}}{2}(R_{C1}^2-R_{C2}^2+R_{C3}^2-R_{C4}^2)\\ ((R_{C1}^2+R_{C2}^2-R_{C3}^2+R_{C4}^2)\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)+(R_{C1}^2-R_{C2}^2+R_{C3}^2+R_{C4}^2)\ln \left(\frac{R_{C3}}{R_{C4}}\right)-(R_{C1}^2-R_{C2}^2+R_{C3}^2-R_{C4}^2))\frac{\∂h}{\∂t}]\end{array}---\left(15\right)$

2、转台力平衡方程

图3为转台受力简图，转台由两圈油垫共24个油垫支承，对于第一圈油垫，其支承力分别为F_i(i＝1～8)，它们与加力点和转台中心的连线的夹角分别为油垫中心到转台中心的距离为R_L，对于第二圈支承油垫，其支承力分别为F_j(j＝1～16)，它们与加力点和转台中心的连线的夹角分别为油垫中心到转台中心的距离为R_s，预压油垫的支承力为F_y。转台的半径为R_T，转台的转速为ω。F_ω为外载，它与x轴的角度为它到转台中心的距离为b。h为转台所有支承油垫油膜厚度的平均值，它等于转台中心在竖直方向的位移加上油膜的初始厚度h₀，θ_x和θ_y为在几何轮廓误差作用下转台分别对x轴和y轴的倾角。显然转台的最大倾角为近似认为转台自身不发生变形，所以转台的动力学平衡方程为

其中M是转台质量，J是转台在外载F_ω和几何轮廓误差作用下偏转的转动惯量为 $J=\frac{1}{4}{\mathrm{MR}}_T^2.$

由于认为转台为刚体，对于转台的导轨面而言，其表面的波动波长一般大于油垫的直径。所以忽略转台倾角引起的油膜厚度不均匀对油垫承载能力的影响。所以对于每一个油垫而言其油膜厚度及速度的计算为：

其中i＝1～8，j＝1～16。

步骤(2)，计算程序编写

其程序计算流程如图6所示，首先根据(10)、(15)、(16)、(17)式在Matlab软件中编写油膜厚度计算函数，支承油垫承载力计算函数，预压油垫承载力计算函数及根据平衡方程编写转台的各个方向的加速度计算函数，然后在主函数中写入转台各项输入参数包括转台的结构尺寸，各油垫的结构尺寸，油液参数及外载和边界条件，再调用承载力计算函数计算出各油垫的承载力，带入平衡方程，编写平衡方程计算转台各方向的加速度对其进行积分就得到转台的位移与速度，根据龙格库塔法，上述计算需要进行四次修正。之后重复上述过程进行下一时间的计算值到达到时间边界条件计算才终止。

下面将给出一个计算实例，转台的各参数如表一所示。图7分别给出了不同波长下λ＝0.78rad，A＝0.2h₀(a图)λ＝1.25rad，A＝0.2h₀(b图)时运动误差随转台转速的变化规律，纵轴代表转台的运动误差，即波动比值，为油膜厚度的变化量与油膜初始厚度的比值，横轴为转台转速，A为导轨面的波动幅值。当运动误差大于100％时代表油膜对于几何误差有放大作用，当运动误差等于100％时代表转台的运动误差等于转台的几何误差，而当转台的运动误差小于100％时代表转台的油膜对于转台的几何误差有抑制作用，且运动误差越小。可以看出，在转台转速在ω＝5～60r/min区间上，随着转速的提高，波动比值越来越小，运动误差越小，当转台转速ω＝60r/min时，波动比值是最小的，分别为21.104％，0.078％。并且，当波长λ＝1.25rad，A＝0.2h₀时的波动比值要明显小于波长λ＝0.78rad，A＝0.2h₀时的波动比值。

在内外圈导轨面均存在制造误差的情况下，在Matlab中求解出转台的运动误差，可以得出如图8所示的转台内外圈油垫处的波动比值随波长的变化规律，其中纵轴为波动比值，即油膜厚度的变化量与转台导轨面的波动幅值的比值z，横轴为无量纲化的导轨轮廓波长λ，即导轨轮廓实际波长与油垫直径的比值。虚线表示外圈油垫处的波动比值随波长的变化规律，实线表示内圈油垫处的波动比值随波长的变化规律。在计算中，可以得到对内圈导轨处的油垫来讲，当λ_内＝3.62时，波动比值最小为82.56％；而对外圈导轨处的油垫来讲，当λ_外＝3.49时，波动比值最小为22.78％。

通过以上实例分析总结出：本发明方法可以准确的建立转台的动力学模型，快速的计算出转台转速、加工轮廓误差等主要参数对运动误差的影响，为转台的设计提供理论指导，对转台的使用也有一定的借鉴。

表1 静压转台结构及供油系统参数

Claims (2)

1.一种静压转台的运动误差的建模方法及计算方法，其特征在于：该方法包括下述流程，

1)忽略转台自身的变形，即近似认为转台为刚体，同时考虑转台的加工轮廓误差，并将加工轮廓误差拟合成函数，对于转台的导轨面而言其表面的波动波长一般大于转台的直径；所以忽略转台倾角引起的油膜厚度不均匀对油垫承载能力的影响；

2)基于雷诺方程的单油垫理论模型计算出预压油垫及支承油垫在考虑加工轮廓误差时的压力分布及之后对压力分布进行积分的到预压油垫及支承油垫的承载力F_y，F_i和F_j；

3)转台在外载作用时其所有受力及力矩应当平衡，那么根据力平衡及力矩平衡原则可以建立转台的动力学平衡方程；

4)考虑转台的加工轮廓误差，通过各油垫油膜厚度之间的几何关系确定各油膜厚度及速度；

5)转台的动力学方程为二阶非线性微分方程，根据数值分析的相关理论可以用龙格库塔法在matlab软件中编写方程的求解程序最终得到方程的数值解，也就是求出转台转速、加工轮廓误差对转台运动误差的影响。

2.根据权利要求1所述的一种静压转台的运动误差的建模方法及计算方法，其特征在于：转台由转台，基座，支承油垫，预压油垫、径向轴承组成，其中支承油垫为双圈圆形油垫，预压油垫为环形预压油垫，在转台的中心部位安装有一个径向轴承；转台各油垫都由定量泵供油，由于加工的原因转台的导轨面会高低不平，用正弦函数来等效描述转台导轨面的起伏；转台的自重为G，其中支承油垫的供油量为Q₀，预压油垫的供油量为Q₁，径向油垫的供油量为Q₂；该方法包括下述流程，

步骤(1)，相关公式推导

基于雷诺方程的单油垫理论模型，推导出转台支承油垫及预压油垫承载力公式，而后列出转台平衡方程；

1、建立单油垫理论模型

在单油垫内，任意割取半径为dr,高度为dz的微球体，定义该微区中心点坐标为(r,z)，在某一瞬时t时，过此微元体中心点的两个分速分别为u_r、v_z；p为油膜压力，η为粘度系数；根据量纲分析可以将极坐标系下的连续性方程和N-S方程简化为：

$\frac{1}{r}\frac{\∂\left({\mathrm{ru}}_r\right)}{\∂r}+\frac{\∂\left(v_z\right)}{\∂z}=0---\left(1\right)$

$\frac{\∂p}{\∂r}=\mathrm{\η}\frac{{\∂}^2{u}_r}{\∂z^2}---\left(2\right)$

$\frac{\∂p}{\∂r}=0---\left(3\right)$

由(3)式可认为p与z无关，所以对(2)式两边对z进行二次积分并代入边界条件：z＝h,u_r＝0；z＝0,u_r＝0可得

$u_r=\frac{z(z-h)}{2\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}---\left(4\right)$

将(4)式带入(1)式并对z积分，再代入边界条件z＝h,u_r＝0,z＝0,u_r＝0,v_z＝0可以得到雷诺方程为：

$\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left(\frac{r{h}^3}{12\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}\right)=\frac{\∂h}{\∂t}---\left(5\right)$

$Q\left(r\right)=-\frac{r{h}^3}{12\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}---\left(6\right)$

分析对象中，支承油垫为圆形油垫，预紧油垫为环形油垫；

对于圆形油垫有：

r＝R₁，p＝p₀；r＝R₂，p＝0；Q(R₁)＝Q₀          (7)

根据(5)、(6)、(7)式可解得油腔压力p₀和封油边压力分布p(r)：

$p_0=\frac{6\mathrm{\η}\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}{\mathrm{\π}{h}^3}(Q_0+\mathrm{\π}{R}_1^2\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{\mathrm{\π}(R_2^2-R_1^2)}{2\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\frac{\∂h}{\∂t})---\left(8\right)$

$p\left(r\right)=\frac{r^{2}3\mathrm{\η}}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_2}\right)+\frac{3\mathrm{\η}(R_2^2\ln \left(\frac{r}{R_1}\right)-R_1^2\ln \left(\frac{r}{R_2}\right))}{h_T^3}\frac{\∂h}{\∂t})}{\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}---\left(9\right)$

那么圆形油垫的承载能力为：

$F=\mathrm{\π}{R}_1^2{p}_0+2\mathrm{\π}\underset{R_1}{\overset{R_2}{\∫}}\mathrm{rp}\left(r\right)\mathrm{dr}$

即：

$F=\frac{(R_2^2-R_1^2)(24Q_0\mathrm{\η}-12\mathrm{\π\η})(R_2^2-R_1^2)\frac{\∂h}{\∂t})}{8h^3}---\left(10\right)$

对于环形预压压油垫：

对于环形油垫有边界条件为：

r＝R_C1，p＝0；r＝R_C2，p＝p₀；r＝R_C3，p＝p₀；r＝R_C4，p＝0；Q₁＝-Q(R_C2)+Q(R_C3)  (11)

根据(5)、(6)、(11)式可解得油腔压力p₀和封油边压力分布p(r)：

$p_0=\frac{6\mathrm{\η}\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)}{\mathrm{\π}{h}^3\ln \left(\frac{R_{C4}{R}_{C2}}{R_{C3}{R}_{C1}}\right)}(Q_0+\mathrm{\π}(R_{C3}^2-R_{C2}^2)\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{\mathrm{\π}(\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)(R_{C4}^2-R_{C3}^2)+\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)(R_{C1}^2-R_{C2}^2))}{2\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)}\frac{\∂h}{\∂t})---\left(12\right)$

当r∈(R_C1,R_C2)时压力分布为：

$p_1\left(r\right)=\frac{r^{2}3\mathrm{\η}}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right)+\frac{3\mathrm{\η}(R_{C1}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C2}}\right)-R_{C2}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right))}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t})}{\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)}---\left(13\right)$

当r∈(R_C3,R_C4)时压力分布为：

$p_2\left(r\right)=\frac{r^{2}3\mathrm{\η}}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right)+\frac{3\mathrm{\η}(R_{C4}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C3}}\right)-R_{C3}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right))}{h^3}\frac{\∂h}{\∂t})}{\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)}---\left(14\right)$

那么根据(12)(13)(14)式可以计算环形油垫的承载力为：

$F=\mathrm{\π}(R_{C3}^2-R_{C2}^2)p_0+2\mathrm{\π}\underset{R_{c1}}{\overset{R_{c2}}{\∫}}r{p}_1\left(r\right)\mathrm{dr}+2\mathrm{\π}\underset{R_{c3}}{\overset{R_{c3}}{\∫}}r{p}_2\left(r\right)\mathrm{dr}$

即：

$\begin{array}{c}{F}_y=\frac{1}{h^3\ln \left(\frac{R_{C1}{R}_{C3}}{R_{C2}{R}_{C4}}\right)}[3Q_1\mathrm{\η}((R_{C4}^2-R_{C3}^2)\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)+(R_{C1}^2-R_{C2}^2)\ln \left(\frac{R_{C3}}{R_{C4}}\right))+\frac{3\mathrm{\π\η}}{2}(R_{C1}^2-R_{C2}^2+R_{C3}^2-R_{C4}^2)\\ ((R_{C1}^2+R_{C2}^2-R_{C3}^2+R_{C4}^2)\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)+(R_{C1}^2-R_{C2}^2+R_{C3}^2+R_{C4}^2)\ln \left(\frac{R_{C3}}{R_{C4}}\right)-(R_{C1}^2-R_{C2}^2+R_{C3}^2-R_{C4}^2))\frac{\∂h}{\∂t}]\end{array}---\left(15\right)$

2、转台力平衡方程

转台由两圈油垫共24个油垫支承，对于第一圈油垫，其支承力分别为F_i(i＝1～8)，它们与加力点和转台中心的连线的夹角分别为油垫中心到转台中心的距离为R_L，对于第二圈支承油垫，其支承力分别为F_j(j＝1～16)，它们与加力点和转台中心的连线的夹角分别为油垫中心到转台中心的距离为R_s，预压油垫的支承力为F_y；转台的半径为R_T，转台的转速为ω；F_ω为外载，它与x轴的角度为它到转台中心的距离为b；h为转台所有支承油垫油膜厚度的平均值，它等于转台中心在竖直方向的位移加上油膜的初始厚度h₀，θ_x和θ_y为在几何轮廓误差作用下转台分别对x轴和y轴的倾角；显然转台的最大倾角为近似认为转台自身不发生变形，所以转台的动力学平衡方程为

其中M是转台质量，J是转台在外载F_ω和几何轮廓误差作用下偏转的转动惯量为 $J=\frac{1}{4}M{R}_T^2;$

由于认为转台为刚体，对于转台的导轨面而言，其表面的波动波长一般大于油垫的直径；所以忽略转台倾角引起的油膜厚度不均匀对油垫承载能力的影响；所以对于每一个油垫而言其油膜厚度及速度的计算为：

其中i＝1～8，j＝1～16；

步骤(2)，计算程序编写

首先根据(10)、(15)、(16)、(17)式在Matlab软件中编写油膜厚度计算函数，支承油垫承载力计算函数，预压油垫承载力计算函数及根据平衡方程编写转台的各个方向的加速度计算函数，然后在主函数中写入转台各项输入参数包括转台的结构尺寸，各油垫的结构尺寸，油液参数及外载和边界条件，再调用承载力计算函数计算出各油垫的承载力，带入平衡方程，编写平衡方程计算转台各方向的加速度对其进行积分就得到转台的位移与速度，根据龙格库塔法，上述计算需要进行四次修正；之后重复上述过程进行下一时间的计算值到达到时间边界条件计算才终止。