CN104123413A - 一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法：(1)对范成法加工过程中的工艺系统误差传递过程进行分析，基于空间坐标变换方法建立工艺系统误差到弧面凸轮分度曲线的误差传递模型；(2)基于粒子群算法建立了一种基于最小二乘的适应度函数模型；(3)获取弧面凸轮的实际分度曲线作为测试样本，根据工艺系统误差传递模型由粒子群算法计算误差源偏差值，并通过多次计算来补偿系统随机误差，本发明可以对加工过程中的原始工艺系统误差进行识别，对识别的工艺系统误差进行补偿即可大大提高弧面凸轮的加工精度和加工质量，从而推动弧面凸轮产品性能和质量的不断发展。

Description

一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法

技术领域

本发明属于弧面凸轮的加工误差溯源与质量控制领域，涉及一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法。

背景技术

在机械工程领域，作为数控机床圆盘式刀库的核心传动装置，弧面凸轮直接决定了加工时刀具的位置以及换刀时的效率，因此对数控机床的加工效率和加工精度具有很大影响。但是目前我国制造的弧面凸轮与国际先进水平仍有很大差距，主要体现为以下几点不足：1)承载能力差，振动、噪声与冲击现象明显；2)可靠性差，不适宜高速场合；3)使用寿命短，易出现凸轮齿面胶合和塑性变形等失效现象。究其原因，除了材料选择不当外，主要是对弧面凸轮加工中的各项工艺系统误差缺乏研究，因此无法在加工过程中对其进行误差补偿和质量控制。因此，亟需对加工中弧面凸轮加工工艺系统误差的识别方法进行研究。

弧面凸轮加工工艺系统误差识别是指根据加工后弧面凸轮的分度曲线反求其关键工艺系统误差，具体包括求解工艺系统误差类型和具体参数两部分。但是现有弧面凸轮工艺系统误差的研究主要集中于工艺系统误差对弧面凸轮廓面的影响，存在以下两点不足：1)只揭示了工艺系统误差与弧面凸轮廓面之间的关系，而没有研究工艺系统误差与弧面凸轮分度曲线之间的关系，但在实际检测时弧面凸轮廓面复杂，难于检测，而分度曲线则可以通过弧面凸轮传动直接获取；2)研究结果只能由工艺系统误差正向推导弧面凸轮的实际廓面，无法实现反向推导，而实际中恰恰需要根据加工后已知的弧面凸轮廓面去反向求解未知的工艺系统误差。因此，为了弥补以上研究现状的不足，需要一种新的弧面凸轮加工工艺系统误差溯源方法，从而据此对弧面凸轮的加工工艺系统误差进行有效补偿，提高弧面凸轮的加工精度和加工质量。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法。

为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案：

(1)基于空间坐标变换方法建立工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型；

(2)构造基于最小二乘的粒子群算法适应度函数模型；

(3)获取弧面凸轮的实际分度曲线作为测试样本，然后根据所述误差传递模型由粒子群算法计算工艺系统误差，针对同一个测试样本通过多次计算工艺系统误差并取均值的方法得到最终的工艺系统误差。

所述步骤(1)包括如下具体流程：

1)弧面凸轮加工工艺系统空间模型建立

在建立整体坐标系OXYZ、分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁以及弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂三个坐标系的基础上，应用坐标变换矩阵对弧面凸轮及与弧面凸轮啮合的滚子之间的关系进行数学描述，从而确定工艺系统误差传递过程中的数值变化；

2)工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型建立

通过弧面凸轮加工工艺系统空间模型，推导出弧面凸轮偏移误差ΔB、中心距误差ΔC及刀具摆角误差Δθ至弧面凸轮输出的实际分度曲线的传递关系模型，所述传递关系模型是分度曲线的隐式表达式。

所述弧面凸轮加工工艺系统空间模型建立包括以下步骤：

第一，建立弧面凸轮加工工艺系统的坐标系

1)整体坐标系OXYZ：将分度盘旋转中心与弧面凸轮轴线中点的连线作为X轴，将分度盘的轴线作为Z轴，根据X轴和Z轴方向依据右手螺旋法则得到Y轴方向；

2)分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁：将滚子的轴线作为X₁轴，Z₁轴与OXYZ坐标系的Z轴重合，根据X₁轴和Z₁轴方向依据右手螺旋法则得到Y₁轴方向；

3)弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂：X₂轴与X轴相差θ₂，Y₂轴与弧面凸轮的回转轴线重合，Z₂轴根据X₂轴和Y₂轴方向依据右手螺旋法则得到；

第二，建立滚子曲面方程

在分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁中，运用矢量法建立滚子的曲面方程，其中滚子接触点c₁的位置矢量为：

$R_1^1={(l+h,r\cos \mathrm{\β},r\sin \mathrm{\β})}^T---\left(1\right)$

式中：

l为分度盘中心到滚子上端面的距离；

h为滚子的啮合深度；

r为滚子的半径；

β为接触点c₁的接触角；

T表示转置；

假设弧面凸轮上与c₁相接触的点为c₂，令c₂在弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂中的位置矢量为则接触点c₁和c₂在整体坐标系OXYZ下的位置矢量分别为R₁和R₂，其计算公式如下：

$R_1=T_{{\mathrm{\θ}}_1,z}\·R_1^1---\left(2\right)$

$R_2=T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}\·R_2^2---\left(3\right)$

式中：

为分度盘角位移为θ₁时的旋转矩阵；

为弧面凸轮角位移为θ₂时的旋转矩阵；

和的计算公式如下所示：

$T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_1& -\sin {\mathrm{\θ}}_1& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_1& \cos {\mathrm{\θ}}_1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(4\right)$

$T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_2& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_2\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_2& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right)---\left(5\right)$

则弧面凸轮廓面和滚子曲面上的共轭接触点具有如下关系：

R₁＝R₂+C    (6)

其中C＝(C,0,0)^T为弧面凸轮与分度盘的中心距；

第三，建立共轭啮合方程

根据共轭曲面原理和旋转矩阵法，两啮合曲面的相对速度为：

v₁₂＝w₁×R₁-w₂×R₂    (10)

其中，w₁，w₂分别为滚子和弧面凸轮在整体坐标系OXYZ下的角速度矢量，其计算公式如下：

$w_1=T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}\·{(\mathrm{0,0},{\mathrm{\ω}}_1)}^T={(\mathrm{0,0},{\mathrm{\ω}}_1)}^T---\left(11\right)$

$w_2=T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}\·{(0,{\mathrm{\ω}}_2,0)}^T={(0,{\mathrm{\ω}}_2,0)}^T---\left(12\right)$

ω₁表示分度盘转速，ω₂表示弧面凸轮转速；

将式(10)和式(11)代入式(12)中，得弧面凸轮廓面与滚子曲面的啮合方程：

$\tan \mathrm{\β}=\±\frac{(l+h)}{[C-(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}\right)---\left(13\right).$

所述工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型建立包括以下步骤：

根据式(1)至式(6)和式(13)，整理得出弧面凸轮的理论廓面方程：

$\begin{array}{c}{R}_2^2=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_2\text{-rsin}{\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos \mathrm{\β}-C\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin \mathrm{\β}\\ (l+h)\sin {\mathrm{\θ}}_1+r\cos {\mathrm{\θ}}_1\cos \mathrm{\β}\\ (l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos \mathrm{\β}-C\sin {\mathrm{\θ}}_2+r\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]\\ \tan \mathrm{\β}=\±\frac{(l+h)}{[C-(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}\right)\end{array}$

然后，应用空间啮合原理和旋转变换矩阵的方法推导出弧面凸轮的实际工作廓面方程为：

$\begin{array}{c}{R_2^2}^{\′}=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\\ (l+h)\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})+r\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\β}}^{\′}+\mathrm{\ΔB}\\ (l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\sin {\mathrm{\θ}}_2+r\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\end{array}\right]\\ \tan {\mathrm{\β}}^{\′}=\±\frac{{\mathrm{\ω}}_1(l+h)}{{\mathrm{\ω}}_2[C+\mathrm{\ΔC}-(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})]}\end{array}.$

所述基于最小二乘的粒子群算法适应度函数模型的数学表达式为：

$\mathrm{Fit}\left(f\left(x\right)\right)=1/\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{{[y_{\mathrm{ji}}-f\left(x_{\mathrm{ji}}\right)]}^2}$

其中m是约束方程的个数，n为数据点的个数，y_ji表示弧面凸轮分度曲线数据点的实际测量值，f(x_ji)表示弧面凸轮分度曲线数据点的理论计算值。

所述粒子群算法的参数设置为：群体大小设为30-50，最大迭代次数设为250-300，惩罚因子取80-100，每个粒子的维数为3，3个维数分别对应弧面凸轮偏移误差ΔB、中心距误差ΔC及刀具摆角误差Δθ；多次计算的计算次数为50-100。

本发明与现有技术相比，其优点在于：

本发明为弧面凸轮工艺系统误差溯源提供了完整的参考解决方案，弧面凸轮工艺系统误差溯源包括：①弧面凸轮工艺系统误差传递模型建立；②工艺系统误差溯源方法建立；③获取实际弧面凸轮分度曲线的空间坐标数据点组成原始计算样本，并根据工艺系统误差溯源方法完成工艺系统误差源的偏差值(工艺系统误差)计算。本发明首次研究工艺系统误差与弧面凸轮分度曲线之间的关系，并将粒子群算法应用于弧面凸轮工艺系统误差溯源，可以在检测弧面凸轮分度曲线的基础上求解工艺系统误差。本发明能根据加工后弧面凸轮的分度曲线计算出具体的误差值，从而可以据此对弧面凸轮的加工工艺系统误差进行有效补偿，提高弧面凸轮的加工精度和加工质量。

附图说明

图1中，(a)为弧面凸轮加工工艺系统坐标系，(b)为(a)的A向视图；

图2是弧面凸轮工艺系统误差传递过程示意图；

图3是弧面凸轮工艺系统误差溯源粒子群算法流程图；

图4是粒子群算法粒子寻优求解图；

图5是仿真计算算法性能评价图，其中(a)为拟合数据相对误差百分比，(b)为矩长度L相对百分比评价曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明：

本发明提供一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，包括以下步骤：

(1)弧面凸轮工艺系统误差传递模型建立：对范成法加工过程中的工艺系统误差传递过程进行分析，基于空间坐标变换方法建立工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型；

(2)工艺系统误差溯源方法建立：采用粒子群算法作为工艺系统误差溯源的核心方法，构造基于最小二乘的粒子群算法适应度函数模型，定义一种矩长度来评价算法的性能，根据工艺系统误差传递模型仿真弧面凸轮分度曲线与工艺系统误差的定量对应关系，利用仿真得到的数据集合完成该误差溯源方法的性能验证；

(3)获取弧面凸轮实际分度曲线的空间坐标数据点作为测试样本，根据工艺系统误差传递模型由粒子群算法计算误差源偏差值，并通过多次计算来补偿系统随机误差以得到最终的误差源偏差值。

所述步骤(1)包括如下具体流程：

①工艺系统误差传递过程分析

参见图2，在范成法加工时，由于弧面凸轮偏移误差ΔB、中心距误差ΔC及刀具摆角误差Δθ等工艺系统误差存在，因此刀具与弧面凸轮廓面的啮合位置发生改变，从而直接导致加工后的弧面凸轮廓面存在误差；当使用该弧面凸轮与分度盘进行啮合传动时，必然会导致加工工艺系统输出的分度曲线存在误差。因此工艺系统误差是按照由刀具到弧面凸轮廓面再到分度曲线的过程进行传递(在加工时通过滚子与弧面凸轮廓面的啮合将工艺系统误差传递至弧面凸轮廓面上，在传动时通过弧面凸轮廓面与滚子的啮合将工艺系统误差传至分度曲线上)，其中分度曲线是衡量弧面凸轮质量最常用也是最有效的指标。

②弧面凸轮加工工艺系统空间模型建立

建立弧面凸轮加工工艺系统的坐标系

为了定量的研究工艺系统误差的传递过程，建立弧面凸轮加工工艺系统空间模型。参见图1，首先建立弧面凸轮加工工艺系统的坐标系，其中包括三个坐标系：整体坐标系OXYZ，将分度盘旋转中心与弧面凸轮轴线中点的连线作为X轴，将分度盘的轴线作为Z轴，根据X轴和Z轴方向依据右手螺旋法则得到Y轴方向；分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁，将滚子的轴线作为X₁轴，Z₁轴与OXYZ坐标系的Z轴重合，根据X₁轴和Z₁轴方向依据右手螺旋法则得到Y₁轴方向；弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂，X₂轴与X轴相差θ₂(弧面凸轮的角位移)角，Y₂轴与弧面凸轮的回转轴线重合，Z₂轴根据X₂轴和Y₂轴方向参照右手螺旋法则得到。

建立滚子曲面方程

在分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁中，运用矢量法建立滚子的曲面方程，其中滚子接触点c₁的位置矢量为：

$R_1^1={(l+h,r\cos \mathrm{\β},r\sin \mathrm{\β})}^T---\left(1\right)$

式中：

l——分度盘中心到滚子上端面的距离；

h——滚子的啮合深度，具体为滚子上端面到接触点c₁的距离；

r——滚子的半径；

β——接触点c₁的接触角；

T——表示转置；

假设弧面凸轮上与c₁相接触的点为c₂，令c₂在弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂中的位置矢量为则接触点c₁和c₂在整体坐标系OXYZ下的位置矢量分别为R₁和R₂，其计算公式如下：

$R_1=T_{{\mathrm{\θ}}_1,z}\·R_1^1---\left(2\right)$

$R_2=T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}\·R_2^2---\left(3\right)$

式中：

——分度盘角位移为θ₁时的旋转矩阵；

——弧面凸轮角位移为θ₂时的旋转矩阵；

和的计算公式如下所示：

$T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_1& -\sin {\mathrm{\θ}}_1& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_1& \cos {\mathrm{\θ}}_1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(4\right)$

$T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_2& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_2\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_2& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right)---\left(5\right)$

弧面凸轮廓面和滚子曲面上的共轭接触点具有如下关系：

R₁＝R₂+C    (6)

其中C＝(C,0,0)^T为弧面凸轮与分度盘的中心距；

建立共轭啮合方程

由共轭啮合关系可知，弧面凸轮廓面与滚子曲面间某点的相对速度方向应与该点的公法线方向垂直，使用几何的表达方式，也就是弧面凸轮廓面与滚子曲面的相对速度和接触点的单位法向矢量的点积等于零，表达式如下：

n₂·v₁₂＝0    (7)

式中：

n₂——弧面凸轮廓面上接触点c₂的单位法向矢量；

v₁₂——弧面凸轮廓面与滚子曲面间的相对速度；

在分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁中，滚子曲面上的接触点c₁的单位法向矢量计算如下：

$n_1=\frac{\frac{\∂R_1^1}{\∂h}\×\frac{\∂R_1^1}{\∂\mathrm{\β}}}{|\frac{\∂R_1^1}{\∂h}\×\frac{\∂R_1^1}{\∂\mathrm{\β}}|}=\left(\begin{array}{c}0\\ \cos \mathrm{\β}\\ \sin \mathrm{\β}\end{array}\right)---\left(8\right)$

根据共轭曲面原理和旋转矩阵法，接触点c₁在整体坐标系OXYZ中的单位法向矢量为：

$n_2=T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}\·n_1---\left(9\right)$

两啮合曲面(指弧面凸轮廓面与滚子曲面)的相对速度为：

v₁₂＝w₁×R₁-w₂×R₂    (10)

其中，w₁，w₂分别为滚子和弧面凸轮在整体坐标系OXYZ下的角速度矢量，其计算公式如下：

$w_1=T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}\·{(\mathrm{0,0},{\mathrm{\ω}}_1)}^T={(\mathrm{0,0},{\mathrm{\ω}}_1)}^T---\left(11\right)$

$w_2=T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}\·{(0,{\mathrm{\ω}}_2,0)}^T={(0,{\mathrm{\ω}}_2,0)}^T---\left(12\right)$

ω₁表示分度盘转速，ω₂表示弧面凸轮转速；

将式(10)和式(11)代入式(12)当中，得弧面凸轮廓面与滚子曲面的啮合方程：

$\tan \mathrm{\β}=\±\frac{(l+h)}{[C-(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}\right)---\left(13\right)$

式(13)中，在同一啮合深度h对应的β有两个取值，相隔180°，分别表示滚子曲面与弧面凸轮廓面的两条接触线。因为弧面凸轮分左旋和右旋，分别对应式(13)中的正号和负号。

③工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型建立

根据式(1)至式(6)和式(13)，整理得出弧面凸轮的理论廓面方程：

$\begin{array}{c}{R}_2^2=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_2\text{-rsin}{\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos \mathrm{\β}-C\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin \mathrm{\β}\\ (l+h)\sin {\mathrm{\θ}}_1+r\cos {\mathrm{\θ}}_1\cos \mathrm{\β}\\ (l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos \mathrm{\β}-C\sin {\mathrm{\θ}}_2+r\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]\\ \tan \mathrm{\β}=\±\frac{(l+h)}{[C-(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}\right)\end{array}---\left(14\right)$

在弧面凸轮运动中，弧面凸轮作为主动件匀速旋转θ₂＝wt，分度盘作为从动件做设计的间歇运动θ₁＝f(t)，若实际运动时分度盘角位移θ₁’＝f’(t)，将其带入式(14)可得到实际弧面凸轮的廓面方程R₂ ²’＝F(θ₁’,θ₂)。

由于加工中工艺系统误差的存在，在加工中刀具和凸轮的啮合关系与理论滚子与凸轮啮合时不同，具体表现为以下几点：

(1)在工件安装找正和加工过程中，往往由于某些原因会造成实际中心距不为理论中心距，凸轮体与刀具回转中心发生了偏移，即中心距误差ΔC和凸轮体偏移误差ΔB同时存在，则式(6)中的C变为(C+ΔC,ΔB,0)^T；

(2)实际加工中刀具摆动时机床传动链导致的摆角误差Δθ(t)，则式(4)中的θ₁变为θ₁+Δθ。

应用空间啮合原理和旋转变换矩阵的方法经公式计算可推导出弧面凸轮的实际工作廓面方程为：

$\begin{array}{c}{R_2^2}^{\′}=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\\ (l+h)\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})+r\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\β}}^{\′}+\mathrm{\ΔB}\\ (l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\sin {\mathrm{\θ}}_2+r\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\end{array}\right]\\ \tan {\mathrm{\β}}^{\′}=\±\frac{{\mathrm{\ω}}_1(l+h)}{{\mathrm{\ω}}_2[C+\mathrm{\ΔC}-(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})]}\end{array}$

式中加工时实际接触角β'有两个取值，相隔180°，分别表示滚子曲面与弧面凸轮廓面的两条接触线。

本发明中所用的弧面凸轮为修正正弦加速度运动规律，其基本参数l、h、r、C、ω₂为常量。随着时间点t的确定，公式中的θ₁也可确定：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1=\left[\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\π}}{5(4+\mathrm{\π})}(\frac{6\mathrm{\π}}{5}t-\frac{1}{4}\sin \frac{24\mathrm{\π}}{5}t)& t\∈[0,\frac{5}{48})\\ \frac{\mathrm{\π}}{5(4+\mathrm{\π})}[2+\frac{6\mathrm{\π}}{5}t-\frac{9}{4}\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}+\frac{8\mathrm{\π}}{5}t)]& t\∈[\frac{5}{48},\frac{35}{48})\\ \frac{\mathrm{\π}}{5(4+\mathrm{\π})}(4+\frac{6\mathrm{\π}}{5}t-\frac{1}{4}\sin \frac{24\mathrm{\π}}{5}t)& t\∈[\frac{35}{48},\frac{5}{6}]\end{array}\right]\\ \begin{array}{cc}{\mathrm{\ω}}_1=\frac{d{\mathrm{\θ}}_1}{\mathrm{dt}}& {\mathrm{\θ}}_2={\mathrm{\ω}}_2\·t\end{array}\end{array}$

因而，当以上参数都确定之后，则三种误差值ΔB、ΔC、Δθ为函数的三个变量。

所述步骤(2)包括如下具体流程：

①工艺系统误差溯源方法仿真

参见图3，本发明的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法基于粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)，将数据从低维空间映射到高维空间，从而将低维空间内的非线性问题转换为高维空间内的线性问题，实现从弧面凸轮分度曲线至工艺系统误差的反向求解，在数据映射过程中需要构造合适的适应度函数加以实现，故需要首先确定算法模型的适应度函数。算法模型的输入为某类工艺系统误差下弧面凸轮的分度曲线的各点的空间坐标值，而输出为加工中工艺系统误差源(中心距误差ΔC、凸轮体偏移误差ΔB及刀具摆角误差Δθ)的具体偏差值。

对于常见的机械加工工艺系统模型，大多数情况下是一种多输入多输出(MIMO)模型，假设工艺系统的加工误差是由x₁和x₂两个参数影响的，分别存在两个偏差值Δx₁和Δx₂，在实际测量系统中，可以得到实测值[y_1i,y_2i,y_3i,y_4i],(i＝1...n)和对应的[x_1i,x_2i],(i＝1...n)，如公式(2-1)所示，当Δx₁和Δx₂的值为0时，公式表示的是没有误差的理论模型，当Δx₁和Δx₂不为0时其表示的是存在具体误差的实际模型。由实测值[y_1i,y_2i,y_3i,y_4i],(i＝1...n)和对应的[x_1i,x_2i],(i＝1...n)以及系统的误差传递模型，求出机械加工工艺系统的误差Δx₁和Δx₂。

$\begin{array}{c}{y}_1=f_1\left(x\right)=4\sin (x_1+\mathrm{\Δ}{x}_1)-\frac{2\sin \left[\mathrm{\π}(x_2+\mathrm{\Δ}{x}_2)\right]}{\mathrm{\π}(x_2+\mathrm{\Δ}{x}_2)}+5\\ y_2=f_2\left(x\right)=3\sin (x_1+\mathrm{\Δ}{x}_1)-3\cos (x_2+\mathrm{\Δ}{x}_2)+2\\ y_3=f_3\left(x\right)=-\frac{5\sin \left[\mathrm{\π}(x_1+\mathrm{\Δ}{x}_1)\right]}{\mathrm{\π}(x_1+\mathrm{\Δ}{x}_1)}+4\sin (x_2+\mathrm{\Δ}{x}_2)+1\\ y_4=f_4\left(x\right)=\frac{4\sin \left[\mathrm{\π}(x_1+\mathrm{\Δ}{x}_1)\right]}{\mathrm{\π}(x_1+\mathrm{\Δ}{x}_1)}-\cos (x_2+\mathrm{\Δ}{x}_2)-3\end{array}---(2-1)$

基于PSO的工艺系统误差溯源方法是建立在已知系统误差的“白化”模型的基础上，根据测量得到的实际加工零件的几何参数数据，结合零件加工面的理论方程用粒子群算法求得最优解，从而得到系统中各误差源的实际影响值。

②基于最小二乘理论的适应度函数模型的建立

在PSO算法中，对于多输入多输出(MIMO)问题，适应度函数Fit(f(x))的构造决定了最终最优解的好坏。同一群体采用不同的适应度函数将直接决定优于群体平均适应度的个体和其数目，势必影响全局最优解的输出。适应度函数设计不当，有可能会产生陷入局部最优解等欺骗问题。因此，适应度函数的研究设计十分重要。

对于实际的误差溯源问题，其具有两个主要特点：(1)数据点是离散的；(2)约束方式是MIMO问题。考虑到这两个主要的特点，本发明提出一种基于最小二乘理论的适应度函数构造方法，其数学表达式为：

$\mathrm{Fit}\left(f\left(x\right)\right)=1/\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{{[y_{\mathrm{ji}}-f\left(x_{\mathrm{ji}}\right)]}^2}---(2-2)$

其中m是约束方程的个数，n为数据点的个数。y_ji表示弧面凸轮分度曲线数据点的实际测量值，f(x_ji)表示弧面凸轮分度曲线数据点的理论计算值。

在本例中，y_ji即为实测值[y_1i,y_2i,y_3i,y_4i],(i＝1...n)，f(x_ji)是将[x_1i,x_2i],(i＝1...n)代入方程(2-1)所得到的n组理论值，具体的适应度函数为：

$\mathrm{Fit}\left(f\left(x\right)\right)=1/\underset{j=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{{[y_{\mathrm{ji}}-f\left(x_{\mathrm{ji}}\right)]}^2}---(2-3)$

③矩长度的定义及算法性能评价

本发明基于粒子群算法在一定范围内求解误差源偏差值的最优解，主要涉及一种离散数据的多输入多输出问题，在实际应用过程中提出一种矩长度的概念用来评价算法所求的最优解的合理性及稳定性。

a)工艺系统加工质量的数据样本生成

本案例中，种群粒子数为20，每个粒子的维数为2，算法迭代进化次数为300。在仿真时，数据样本初始化时对x₁，x₂在[-1,1]中均匀采样100个点，分别用三组不同的Δx₁、Δx₂值重复计算验证。

b)工艺系统加工误差溯源方法仿真结果分析

分别用三组不同的Δx₁、Δx₂值重复计算验证。表1为其仿真计算结果：

表1仿真实验计算结果

由以上仿真实验所得数据可以看出，将误差设定从10^-2到10⁰相隔两个数量级，这样的数量级在误差分析是完全符合实际需求的。此时，算法计算所得数据具有相当高的精度，说明该算法具有较好的适用性和鲁棒性。

c)PSO算法有效性评价

对于算法有效性的验证，分别定义Δx₁、Δx₂为[-1,1]上间隔为0.1的均匀分布值，总共441组数据点。Δx'₁、Δx'₂为算法计算得到的值。定义一种矩长度L：

$L=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{{(\mathrm{\Δ}{x}_i^{\′}-\mathrm{\Δ}{x}_i)}^2}---(2-4)$

由矩长度L的公式可知，其表示向量(Δx'₁-Δx₁,Δx'₂-Δx₂,…,Δx'_n-Δx_n)到(0,0,…,0)的距离，它可以将算法在多个方向上产生的计算误差统一到同一个方向上进行评价，L越小表明算法计算准确性越好，反之则越差。

在这里，输出量只有Δx'₁、Δx'₂两项，是一个二维的输出问题，所以它表示偏差值Δx'₁-Δx₁、Δx'₂-Δx₂到原点的距离(i＝1...441)。计算Δx'₁-Δx₁和Δx'₂-Δx₂的均值、方差等统计量，从而综合评价该算法的稳定性及有效性。其计算结果如图5以及表2，图5(a)中横轴表示(Δx'₁-Δx₁)/Δx₁纵轴表示(Δx'₂-Δx₂)/Δx₂，图5(b)中，

表2仿真方程统计量计算结果

	平均值	方差	均方差
				Δx'1-Δx1	4.085e-05	4.099e-06	0.002
Δx'2-Δx2	-8.381e-05	5.262e-06	0.002

由以上的仿真计算数据可知，计算得到的Δx'₁、Δx'₂值与原始设定的Δx₁、Δx₂偏差均非常小，其中绝大多数计算值的相对误差小于0.5％；多次运行计算程序，将所得到的拟合值求取平均值，在表2中可以看到，偏差的平均值在10^-5数量级上，这个值已经足够小到可以忽略不计，由此可见，可以用多次计算的方法求取平均值来消除算法的随机误差，从而验证了基于PSO算法的工艺系统误差溯源方法的精度性、有效性以及稳定性，因此，该方法能准确的得到各误差源的偏差值大小，在控制工艺系统加工误差方面具备很好的实用价值。

所述步骤(3)包括如下具体流程：

首先将实际的弧面凸轮分度曲线的空间坐标数据点组成原始计算样本；其次，将原始计算样本输入到算法模型中进行计算，得到相应的误差源偏差值。

计算实例

1)基于粒子群算法的工艺系统误差溯源

以弧面凸轮加工为例，影响弧面凸轮加工质量的因素有：中心距误差ΔC、凸轮体偏移误差ΔB、摆角误差Δθ，当存在这三种误差时，弧面凸轮实际工作廓面方程为：

$\begin{array}{c}{R_2^2}^{\′}=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\\ (l+h)\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})+r\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\β}}^{\′}+\mathrm{\ΔB}\\ (l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\sin {\mathrm{\θ}}_2+\mathrm{rco\; s}{\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\end{array}\right]\\ \tan {\mathrm{\β}}^{\′}=\±\frac{{\mathrm{\ω}}_1(l+h)}{{\mathrm{\ω}}_2[C+\mathrm{\ΔC}-(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})]}\end{array}$

本实例中所用的凸轮为修正正弦加速度运动规律，其基本参数有：l＝44mm，h＝10mm，r＝12mm，C＝120mm，ω₂＝πrad/s。随着时间点t的确定，公式中的θ₁也可也确定。

粒子群算法中参数设置如下：群体大小设为50，最大迭代次数设为300，惩罚因子取100。多次重复运行程序(本次实验中运行100次)，得到计算结果如表3所示，粒子群算法的寻优过程如图4所示。

表3弧面凸轮偏差计算结果(部分)    单位：mm

	第一组	第二组	……	平均值
					Δθ	0.0997077900120482	0.100130335129284	……	0.100000004110531
ΔC	0.050351432521314	0.0499523305329	……	0.0500000340561
					ΔB	0.01999019357569	0.02008429779287	……	0.0200000204358

测量验证，根据计算得到的Δθ、ΔC以及ΔB修正机械加工工艺系统参数，补偿摆角误差-Δθ、中心距误差-ΔC、凸轮体偏移误差-ΔB，经过修正后的加工工艺系统重新加工得到的弧面凸轮精度更高，由此可知，该方法具有较高的实际工程应用价值。

2)基于粒子群算法的工艺系统误差溯源方法有效性验证

弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源粒子群算法流程如图3所示。根据实际机械加工工艺系统模型的特点，本发明构造一种基于最小二乘理论的适应度函数。将实际获取的弧面凸轮分度曲线空间坐标数据点输入粒子群算法模型进行计算。多次重复运行程序(本次实验中运行100次)，得到计算结果如表4所示。

表4实验偏差值分析

由表4数据分析可知，各种情况下工艺系统误差溯源都可以准确得到结果，其精度Δθ≈0.10、ΔC≈0.05、ΔB≈0.02，各组实验相对误差均小于±5％。

Claims (6)

1.一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，其特征在于，该溯源方法包括以下步骤：

(1)基于空间坐标变换方法建立工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型；

(2)构造基于最小二乘的粒子群算法适应度函数模型；

(3)获取弧面凸轮的实际分度曲线作为测试样本，然后根据所述误差传递模型由粒子群算法计算工艺系统误差，针对同一个测试样本通过多次计算工艺系统误差并取均值的方法得到最终的工艺系统误差。

2.根据权利要求1所述一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，其特征在于：所述步骤(1)包括如下具体流程：

1)弧面凸轮加工工艺系统空间模型建立

在建立整体坐标系OXYZ、分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁以及弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂三个坐标系的基础上，应用坐标变换矩阵对弧面凸轮及与弧面凸轮啮合的滚子之间的关系进行数学描述，从而确定工艺系统误差传递过程中的数值变化；

2)工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型建立

通过弧面凸轮加工工艺系统空间模型，推导出弧面凸轮偏移误差ΔB、中心距误差ΔC及刀具摆角误差Δθ至弧面凸轮输出的实际分度曲线的传递关系模型，所述传递关系模型是分度曲线的隐式表达式。

3.根据权利要求2所述一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，其特征在于：所述弧面凸轮加工工艺系统空间模型建立包括以下步骤：

第一，建立弧面凸轮加工工艺系统的坐标系

1)整体坐标系OXYZ：将分度盘旋转中心与弧面凸轮轴线中点的连线作为X轴，将分度盘的轴线作为Z轴，根据X轴和Z轴方向依据右手螺旋法则得到Y轴方向；

2)分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁：将滚子的轴线作为X₁轴，Z₁轴与OXYZ坐标系的Z轴重合，根据X₁轴和Z₁轴方向依据右手螺旋法则得到Y₁轴方向；

3)弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂：X₂轴与X轴相差θ₂，Y₂轴与弧面凸轮的回转轴线重合，Z₂轴根据X₂轴和Y₂轴方向依据右手螺旋法则得到；

第二，建立滚子曲面方程

在分度盘动坐标系O₁X₁Y₁Z₁中，运用矢量法建立滚子的曲面方程，其中滚子接触点c₁的位置矢量为：

$R_1^1={(l+h,r\cos \mathrm{\β},r\sin \mathrm{\β})}^T---\left(1\right)$

式中：

l为分度盘中心到滚子上端面的距离；

h为滚子的啮合深度；

r为滚子的半径；

β为接触点c₁的接触角；

T表示转置；

假设弧面凸轮上与c₁相接触的点为c₂，令c₂在弧面凸轮动坐标系O₂X₂Y₂Z₂中的位置矢量为则接触点c₁和c₂在整体坐标系OXYZ下的位置矢量分别为R₁和R₂，其计算公式如下：

$R_1=T_{{\mathrm{\θ}}_1,z}\·R_1^1---\left(2\right)$

$R_2=T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}\·R_2^2---\left(3\right)$

式中：

为分度盘角位移为θ₁时的旋转矩阵；

为弧面凸轮角位移为θ₂时的旋转矩阵；

和的计算公式如下所示：

$T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_1& -\sin {\mathrm{\θ}}_1& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_1& \cos {\mathrm{\θ}}_1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(4\right)$

$T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_2& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_2\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_2& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right)---\left(5\right)$

则弧面凸轮廓面和滚子曲面上的共轭接触点具有如下关系：

R₁＝R₂+C    (6)

其中C＝(C,0,0)^T为弧面凸轮与分度盘的中心距；

第三，建立共轭啮合方程

根据共轭曲面原理和旋转矩阵法，两啮合曲面的相对速度为：

v₁₂＝w₁×R₁-w₂×R₂    (10)

其中，w₁，w₂分别为滚子和弧面凸轮在整体坐标系OXYZ下的角速度矢量，其计算公式如下：

$w_1=T_{{\mathrm{\θ}}_1,Z}\·{(\mathrm{0,0},{\mathrm{\ω}}_1)}^T={(\mathrm{0,0},{\mathrm{\ω}}_1)}^T---\left(11\right)$

$w_2=T_{{\mathrm{\θ}}_2,Y_2}\·{(0,{\mathrm{\ω}}_2,0)}^T={(0,{\mathrm{\ω}}_2,0)}^T---\left(12\right)$

ω₁表示分度盘转速，ω₂表示弧面凸轮转速；

将式(10)和式(11)代入式(12)中，得弧面凸轮廓面与滚子曲面的啮合方程：

$\tan \mathrm{\β}=\±\frac{(l+h)}{[C-(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}\right)---\left(13\right).$

4.根据权利要求3所述一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，其特征在于：所述工艺系统误差至弧面凸轮分度曲线的误差传递模型建立包括以下步骤：

根据式(1)至式(6)和式(13)，整理得出弧面凸轮的理论廓面方程：

$\begin{array}{c}{R}_2^2=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_2\text{-rsin}{\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos \mathrm{\β}-C\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin \mathrm{\β}\\ (l+h)\sin {\mathrm{\θ}}_1+r\cos {\mathrm{\θ}}_1\cos \mathrm{\β}\\ (l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos \mathrm{\β}-C\sin {\mathrm{\θ}}_2+r\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]\\ \tan \mathrm{\β}=\±\frac{(l+h)}{[C-(l+h)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}\right)\end{array}$

然后，应用空间啮合原理和旋转变换矩阵的方法推导出弧面凸轮的实际工作廓面方程为：

$\begin{array}{c}{R_2^2}^{\′}=\left[\begin{array}{c}(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\cos {\mathrm{\θ}}_2-r\sin {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\\ (l+h)\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})+r\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\cos {\mathrm{\β}}^{\′}+\mathrm{\ΔB}\\ (l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2-r\sin ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})\sin {\mathrm{\θ}}_2\cos {\mathrm{\β}}^{\′}-(C+\mathrm{\ΔC})\sin {\mathrm{\θ}}_2+r\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\β}}^{\′}\end{array}\right]\\ \tan {\mathrm{\β}}^{\′}=\±\frac{{\mathrm{\ω}}_1(l+h)}{{\mathrm{\ω}}_2[C+\mathrm{\ΔC}-(l+h)\cos ({\mathrm{\θ}}_1+\mathrm{\Δ\θ})]}\end{array}.$

5.根据权利要求1所述一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，其特征在于：所述基于最小二乘的粒子群算法适应度函数模型的数学表达式为：

$\mathrm{Fit}\left(f\left(x\right)\right)=1/\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{{[y_{\mathrm{ji}}-f\left(x_{\mathrm{ji}}\right)]}^2}$

其中m是约束方程的个数，n为数据点的个数，y_ji表示弧面凸轮分度曲线数据点的实际测量值，f(x_ji)表示弧面凸轮分度曲线数据点的理论计算值。

6.根据权利要求1所述一种基于粒子群算法的弧面凸轮机械加工工艺系统误差溯源方法，其特征在于：所述粒子群算法的参数设置为：群体大小设为30-50，最大迭代次数设为250-300，惩罚因子取80-100，每个粒子的维数为3，3个维数分别对应弧面凸轮偏移误差ΔB、中心距误差ΔC及刀具摆角误差Δθ；多次计算的计算次数为50-100。