CN116167247A - 一种基于冯·哈格诺夫方法的gs方程数值计算方法 - Google Patents

一种基于冯·哈格诺夫方法的gs方程数值计算方法 Download PDF

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CN116167247A CN202310433315.4A CN202310433315A CN116167247A CN 116167247 A CN116167247 A CN 116167247A CN 202310433315 A CN202310433315 A CN 202310433315A CN 116167247 A CN116167247 A CN 116167247A
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Abstract

本发明提供一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，包括：1、在等离子体区域内求解Grad‑Shafranov方程右边
Figure ZY_1
表达形式；2、构造Grad‑Shafranov算子的Green函数，用以求解无界区域中的空间解；3、使用Von Hagenow方法计算等离子体电流部分；4、确定产生给定等离子体形状的外部线圈电流。通过本方法可以获得托卡马克装置中给定等离子体参数的电流反转平衡位形和外部控制线圈电流，其中等离子体表面由给定的理想等离子体形状或环外的X点限定。

Description

一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法
技术领域
本发明属于数值分析领域，具体涉及一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法。
背景技术
托卡马克反应堆的交流电运行是一种很有吸引力的运行模式，可以在不需要复杂的无感电流驱动系统的情况下连续输出电能。在过去的几十年里，在许多托卡马克装置上进行了交流运行实验。该方法已被证明是可行的，并且性能不会衰减。交流托卡马克运行与反转电流密度的磁平衡有关。众所周知，托卡马克建模和分析的第一步包括MHD平衡和稳定性计算。已经对电流反转平衡位形（CRECS）进行了一些积极的理论研究活动，包括分析和数值。但以往的研究主要集中在CREC的存在、具有有限局部中心区域电流反转的电流剖面，或固定边界CREC上，这对于理解CREC的物理性质很重要，但对于CREC重建计算实验中确定磁分界线和X点位置的实际应用无效。在实际的平衡实验中，等离子体边界的位置由等离子体电流和等离子体平衡控制线圈电流之间的相互作用决定。对于电流反转平衡位形，等离子体磁表面没有嵌套，磁表面函数不适合归一化。因此，当宏观等离子体参数已知时，很难通过Johnson等人采用的迭代方法调整等离子体电流分布。在这种情况下，必须使用非结构化网格的有限元方法，将自由边界问题转换为几个固定边界问题来处理，即Von Hagenow方法。
无界域中的理想MHD平衡可以用二阶偏微分方程来描述，即所谓的Grad-Shafranov方程。在轴对称几何中，它可以用柱坐标
Figure SMS_1
表示如下：
Figure SMS_2
（1）
Figure SMS_3
（10）
Figure SMS_4
（11）
式中，
Figure SMS_9
是归一化极向磁通量，
Figure SMS_18
为磁通量，
Figure SMS_26
是在
Figure SMS_6
处真空磁场估计值，
Figure SMS_13
和
Figure SMS_19
分别是大半径和小半径；
Figure SMS_23
为归一化的环形电流密度，
Figure SMS_7
，其中
Figure SMS_17
是环形电流密度，
Figure SMS_22
是自由空间的磁导率；
Figure SMS_28
，
Figure SMS_8
，
Figure SMS_15
，
Figure SMS_20
，
Figure SMS_27
和
Figure SMS_12
为柱面坐标，
Figure SMS_16
和
Figure SMS_21
都是
Figure SMS_29
的一般函数，
Figure SMS_5
是等离子体压强，
Figure SMS_14
为极向电流通量函数；
Figure SMS_25
为线圈个数；
Figure SMS_30
为是外部线圈的无量纲电流；
Figure SMS_10
为
Figure SMS_24
函数（数学意义）；
Figure SMS_31
、
Figure SMS_32
为第
Figure SMS_11
个线圈的坐标值。
当等离子体被真空区包围时，
Figure SMS_33
仅在等离子体内部不为零。假设等离子体在横截面区域内处于平衡状态，将该区域表示为
Figure SMS_34
、将其边界表示为为
Figure SMS_35
；等离子体外部为真空区，将其表示为具有矩形计算边界
Figure SMS_36
的
Figure SMS_37
。值得注意的是，对于自由边界电流反转平衡，等离子体区的极向磁通量是非嵌套的和单调的，因此不能通过比较极向磁通量值与给定
Figure SMS_38
（边界
Figure SMS_39
上的磁通量）来确定等离子体大小和真空的边界，这意味着原本的方法在这种情况下不起作用。此外，当需要优化等离子体电流分布以提高方程求解的收敛效率时，原有方法便会失效，此时的极向磁通量无法简单地归一化。然而，本方法扩展了Johnson的方法，并将其与Hagenow的方法相结合，成为了求解无界区域中式（1）的CREC的有效方法。
发明内容
为了解决上述问题，本发明提出了一种自由边界条件下求解GRAD-SHAFRANOV方程的数值方法，能够高效地研究自由边界的电流反转平衡的托卡马克放电，该方法由Hagenow方法改进而来。通过本方法可以获得托卡马克装置中给定等离子体参数的电流反转平衡位形和外部控制线圈电流，其中等离子体表面由给定的理想等离子体形状或环外的X点限定。
为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，包括如下步骤：
步骤1：在等离子体区求解式（1），从而确定
Figure SMS_40
，其中，在闭合曲线
Figure SMS_41
上满足Dirichlet条件，
Figure SMS_42
上的
Figure SMS_43
设为常数
Figure SMS_44
给出；
Figure SMS_45
（1）
式中，
Figure SMS_47
是归一化极向磁通量，
Figure SMS_51
，
Figure SMS_55
为磁通量
Figure SMS_49
是在
Figure SMS_53
处真空磁场估计值；
Figure SMS_57
和
Figure SMS_59
分别是大半径和小半径；
Figure SMS_46
为极向坐标；
Figure SMS_50
为归一化的环形电流密度
Figure SMS_54
，其中
Figure SMS_58
是环形电流密度，
Figure SMS_48
是自由空间的磁导率；假设等离子体在横截面区域内处于平衡状态，该区域表示为
Figure SMS_52
、边界表示为
Figure SMS_56
；
步骤2：构造G-S算子的格林函数，以求解无界域中的式（1）；
步骤3：使用冯·哈格诺夫方法计算等离子体电流部分；
步骤4：确定产生给定等离子体形状的外部线圈电流。
进一步地，所述步骤1包括：
在等离子体区域中，方程表达式为
Figure SMS_60
；
在不损失一般性，将边界上磁通量设为0，即
Figure SMS_61
的情况下，设其中
Figure SMS_62
与
Figure SMS_63
的表达形式为下式：
Figure SMS_64
（2）
Figure SMS_65
（3）
式中，
Figure SMS_67
和
Figure SMS_71
均为
Figure SMS_76
的一般函数形式，
Figure SMS_68
是
Figure SMS_73
的最小值从实际实验测量中得出、
Figure SMS_77
为偏置量、
Figure SMS_78
为
Figure SMS_66
在边界
Figure SMS_72
处的值，
Figure SMS_75
；系数
Figure SMS_79
，
Figure SMS_69
由一组实际物理量确定，i=1,2；任意给定其中两个，然后带入环向总电流
Figure SMS_70
和体积平均值
Figure SMS_74
求出另外两个，即由下式经过迭代得到：
Figure SMS_80
（4）
Figure SMS_81
（5）
其中，
Figure SMS_84
，
Figure SMS_87
是等离子体域，
Figure SMS_89
是等离子体交叉面积元素；
Figure SMS_83
为磁场，表示为：
Figure SMS_85
，
Figure SMS_88
是圆柱坐标系
Figure SMS_90
中可忽略的角度，
Figure SMS_82
为极向电流通量；
Figure SMS_86
是等离子体压强；
在求解过程中，由于系数
Figure SMS_91
，
Figure SMS_92
未知，借助本征值方法得到
Figure SMS_93
，
Figure SMS_94
为本征值，以此进行初值设定，从而使方程快速收敛，得到符合条件的系数。
进一步地，所述步骤2包括：
应用柱面坐标系下的格林函数，并使用高斯定理将发散转化为无穷远消失的面积分得到下式：
Figure SMS_95
（6）
其中，
Figure SMS_96
为观测点坐标；
该式最后一项
Figure SMS_97
通过带入线圈位置和电流直接求得，前一项
Figure SMS_98
为等离子体电流部分。
进一步地，所述步骤3包括：
使用Von Hagenow方法计算等离子体电流部分
Figure SMS_99
，得到下式：
Figure SMS_100
（7）
其中，
Figure SMS_101
为设定的函数，为由等离子体电流引起的场加上无边界域中的虚拟镜像电流的场的总和，用于计算求解；
Figure SMS_102
为边界线有限元；
Figure SMS_103
为法向量；
将其带入等式（6），得到：
Figure SMS_104
（8）
如上式，式（6）转化为在边界上积分，直接带入观测点坐标、线圈位置和电流求解，从而计算出
Figure SMS_105
。
进一步地，所述步骤4包括：
为了满足磁通量的期望值，设定损失函数为：
Figure SMS_106
Figure SMS_107
Figure SMS_108
(9)
其中，
Figure SMS_109
和
Figure SMS_110
是正则化参数，用于稳定程序，防止电流
Figure SMS_111
有较大的不真实震荡；
Figure SMS_112
是给定边界点
Figure SMS_113
处通量的期望值。然后应用最小二乘法，求得线圈电流
Figure SMS_114
。
与现有的技术相比，本发明具有以下的优点：
本方法可以将自由边界问题转化为一系列固定边界问题，大大提高了在更具一般性的电流剖面下求解GS方程的效率。该程序可用于托卡马克等离子体平衡的更具一般性的自由边界问题的数值模拟，包括电流空穴平衡和电流反转平衡。通过数值模拟研究了交流运行过程中的最关键的等离子体电流过零平衡问题。在交流运行模式下，该代码可以为平衡控制线圈电流的优化、分流板的设计以及相关平衡的稳定性分析和输运研究等提供有用的基本数值分析工具。
附图说明
图1为本发明的一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法的流程图。
图2为使用本发明得到的线圈电流求解出的磁面分布计算结果。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。
本实例中等离子体参数、分布和相关平衡信息均来自EFIT计算得到的EAST平衡数据文件g070754.003740。
如图1所示，本发明的一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法具体包括如下步骤：
步骤1：在等离子体区求解式（1），从而确定
Figure SMS_115
，其中，在闭合曲线
Figure SMS_116
上满足Dirichlet条件，
Figure SMS_117
上的
Figure SMS_118
设为常数
Figure SMS_119
给出；
Figure SMS_120
（1）
式中，
Figure SMS_122
是归一化极向磁通量，
Figure SMS_128
，
Figure SMS_131
为磁通量，
Figure SMS_124
是在
Figure SMS_127
处真空磁场估计值；
Figure SMS_130
和
Figure SMS_133
分别是大半径和小半径；
Figure SMS_121
为极向坐标；
Figure SMS_126
为归一化的环形电流密度
Figure SMS_132
，其中
Figure SMS_134
是环形电流密度，
Figure SMS_123
是自由空间的磁导率；假设等离子体在横截面区域内处于平衡状态，该区域表示为
Figure SMS_125
、边界表示为
Figure SMS_129
；
步骤二、构造Grad-Shafranov算子的Green函数，用以求解无界区域中的方程（1）的空间解；
步骤三、使用Von Hagenow方法计算等离子体电流部分；
步骤四、确定产生给定等离子体形状的外部线圈电流。
具体地，步骤一包括：
在等离子体区域中，方程表达式为
Figure SMS_136
，其为是一个非线性方程，
Figure SMS_139
和
Figure SMS_141
都是
Figure SMS_137
的一般函数。在不损失一般性的情况下，考虑
Figure SMS_138
，将
Figure SMS_140
和
Figure SMS_142
用以下
Figure SMS_135
的多项式表示：
Figure SMS_143
（2）
Figure SMS_144
（3）
式中，
Figure SMS_146
是
Figure SMS_148
的最小值从实际实验测量中得出、
Figure SMS_151
为偏置量、
Figure SMS_147
为
Figure SMS_149
在边界
Figure SMS_152
处的值，
Figure SMS_154
；系数
Figure SMS_145
由一组实际物理量确定，可以任意给定其中两个，然后带入环向总电流
Figure SMS_150
和体积平均值
Figure SMS_153
求出另外两个，即由下式经过迭代得到：
Figure SMS_155
（4）
Figure SMS_156
（5）
其中，
Figure SMS_158
，
Figure SMS_161
是等离子体域，
Figure SMS_163
是等离子体交叉面积元素；
Figure SMS_159
为磁场，表示为：
Figure SMS_160
，
Figure SMS_162
是圆柱坐标系
Figure SMS_164
中可忽略的角度；
Figure SMS_157
是等离子体压强；
为了通过调整
Figure SMS_165
和
Figure SMS_166
来获得所需的CRECs，可以通过Grad Shafranov算子的特征值来估计它们的初始值。特征值问题为：
Figure SMS_167
（12）
在与式（1）相同的边界条件下，将环向电流密度
Figure SMS_168
与式（10）进行比较，可以得到
Figure SMS_169
，
Figure SMS_170
为本征值（数学意义），以此进行初值设定，从而使方程快速收敛，得到符合条件的系数。具有嵌套磁通量面
Figure SMS_171
的平衡解对应于最低本征值和等离子体域内非零的特征函数。许多其他特征函数提供了一系列具有不同磁面拓扑结构的平衡。
步骤二包括：
柱面坐标系下的格林函数如下所示：
Figure SMS_172
（13）
Figure SMS_173
（14）
其中，G满足：
Figure SMS_174
（15）
其中，
Figure SMS_175
和
Figure SMS_176
是第一类和第二类完全椭圆积分，并且
Figure SMS_177
是观察点。使用格林定理：
Figure SMS_178
（16）
本发明应用柱面坐标系下的格林（Green）函数，并使用高斯定理将发散转化为无穷远消失的面积分可以得到下式：
Figure SMS_179
（6）
从式（6）可以清楚地发现，
Figure SMS_180
由等离子体电流（右侧第一项）和外部线圈电流（右侧第二项）产生的磁通量组成。
其中
Figure SMS_181
为观测点坐标。该式最后一项
Figure SMS_182
可通过带入线圈位置和电流直接求得，前一项
Figure SMS_183
为等离子体电流部分，应用传统方法无法直接求得，在下一步骤中求得。
步骤三包括：使用Von Hagenow方法计算等离子体电流部分 ：
考虑一个函数 ，它在于矩形计算边界
Figure SMS_184
内部满足与等式（1）相同的微分方程，但在边界上消失，即：
Figure SMS_185
（17）
Figure SMS_186
（18）
其中，所得通量函数分布
Figure SMS_187
可以解释为由等离子体电流引起的场加上无边界域中的虚拟镜像电流的场的总和。为了求解方程（14），我们可以使用插值将
Figure SMS_188
转换为
Figure SMS_189
，并且线性偏微分方程（14）具有较好的收敛性。与步骤2相同，使用格林定理：
Figure SMS_190
Figure SMS_191
（19）
由于
Figure SMS_192
和
Figure SMS_193
，在计算域
Figure SMS_194
上积分上述方程得到：
Figure SMS_195
（7）
其中，
Figure SMS_196
为设定的函数，可以解释为由等离子体电流引起的场加上无边界域中的虚拟镜像电流的场的总和，用于计算求解（具体设定见下述式（17））；
Figure SMS_197
为边界线有限元；
Figure SMS_198
为法向量。
将其带入等式（6），得到：
Figure SMS_199
（8）
其是公式（1）在计算边界内部一点处的解。
如上式，式（6）转化为在边界上积分，便可直接带入观测点坐标、线圈位置和电流求解，从而计算出
Figure SMS_200
。
步骤四包括：
为了确定必要的外部电流，解决了在
Figure SMS_201
等离子体边界点
Figure SMS_202
处，由在设定位置
Figure SMS_203
上
Figure SMS_204
线圈产生的
Figure SMS_205
，极向通量中求最小平方误差的超定问题。假设等离子体边界点位于计算边界的内部，使用等式（8）将寻求最小化的函数表示为：
Figure SMS_206
Figure SMS_207
Figure SMS_208
(9)
其中：
Figure SMS_209
(20)
Figure 10000258776335
(21)
其中，
Figure SMS_211
和
Figure SMS_212
是正则化参数，用于稳定程序，防止电流
Figure SMS_213
有较大的不真实震荡；
Figure SMS_214
是给定边界点
Figure SMS_215
处通量的期望值，
Figure SMS_216
、
Figure SMS_217
为设定的系数参数。Ii
通过
Figure SMS_218
到：
Figure SMS_219
(22)
将
Figure SMS_220
、
Figure SMS_221
表达为矩阵形式，转化为，
Figure SMS_222
、
Figure SMS_223
，上述代数方程可重写为如下一致形式：
Figure SMS_224
(23)
其中：
Figure SMS_225
(24)
Figure SMS_226
(25)
通过求解上述方程组，从而求得线圈电流
Figure SMS_227
。图2便是将经过上式计算得到的线圈电流，代入步骤三式（8）中求解出的磁面分布结果。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：在等离子体区求解式（1），从而确定
Figure QLYQS_1
，其中，在闭合曲线
Figure QLYQS_2
上满足Dirichlet条件，
Figure QLYQS_3
上的
Figure QLYQS_4
设为常数
Figure QLYQS_5
给出；
Figure QLYQS_6
（1）
式中，
Figure QLYQS_9
是归一化极向磁通量，
Figure QLYQS_13
，
Figure QLYQS_19
为磁通量，
Figure QLYQS_8
是在
Figure QLYQS_12
处真空磁场估计值；
Figure QLYQS_17
和
Figure QLYQS_20
分别是大半径和小半径；
Figure QLYQS_7
为极向坐标；
Figure QLYQS_11
为归一化的环形电流密度
Figure QLYQS_15
，其中
Figure QLYQS_18
是环形电流密度，
Figure QLYQS_10
是自由空间的磁导率；假设等离子体在横截面区域内处于平衡状态，该区域表示为
Figure QLYQS_14
、边界表示为
Figure QLYQS_16
；
步骤2：构造G-S算子的格林函数，以求解无界域中的式（1）；
步骤3：使用冯·哈格诺夫方法计算等离子体电流部分；
步骤4：确定产生给定等离子体形状的外部线圈电流。
2.根据权利要求1所述的一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，其特征在于，所述步骤1包括：
在等离子体区域中，方程表达式为
Figure QLYQS_21
；
在不损失一般性，将边界上磁通量设为0，即
Figure QLYQS_22
的情况下，设其中
Figure QLYQS_23
与
Figure QLYQS_24
的表达形式为下式：
Figure QLYQS_25
（2）
Figure QLYQS_26
（3）
式中，
Figure QLYQS_28
和
Figure QLYQS_34
均为
Figure QLYQS_38
的一般函数形式，
Figure QLYQS_29
是
Figure QLYQS_33
的最小值从实际实验测量中得出、
Figure QLYQS_37
为偏置量、
Figure QLYQS_40
为
Figure QLYQS_27
在边界
Figure QLYQS_31
处的值，
Figure QLYQS_35
；系数
Figure QLYQS_39
，
Figure QLYQS_30
由一组实际物理量确定，i=1,2；任意给定其中两个，然后带入环向总电流
Figure QLYQS_32
和体积平均值
Figure QLYQS_36
求出另外两个，即由下式经过迭代得到：
Figure QLYQS_41
（4）
Figure QLYQS_42
（5）
其中，
Figure QLYQS_44
，
Figure QLYQS_48
是等离子体域，
Figure QLYQS_49
是等离子体交叉面积元素；
Figure QLYQS_45
为磁场，表示为：
Figure QLYQS_47
，
Figure QLYQS_50
是圆柱坐标系
Figure QLYQS_51
中可忽略的角度，
Figure QLYQS_43
为极向电流通量；
Figure QLYQS_46
是等离子体压强；
在求解过程中，由于系数
Figure QLYQS_52
，
Figure QLYQS_53
未知，借助本征值方法得到
Figure QLYQS_54
，
Figure QLYQS_55
为本征值，以此进行初值设定，从而使方程快速收敛，得到符合条件的系数。
3.根据权利要求2所述的一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，其特征在于，所述步骤2包括：
应用柱面坐标系下的格林函数，并使用高斯定理将发散转化为无穷远消失的面积分得到下式：
Figure QLYQS_56
（6）
其中，
Figure QLYQS_57
为观测点坐标；
该式最后一项
Figure QLYQS_58
通过带入线圈位置和电流直接求得，前一项
Figure QLYQS_59
为等离子体电流部分。
4.根据权利要求3所述的一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，其特征在于，所述步骤3包括：
使用Von Hagenow方法计算等离子体电流部分
Figure QLYQS_60
，得到下式：
Figure QLYQS_61
（7）
其中，
Figure QLYQS_62
为设定的函数，为由等离子体电流引起的场加上无边界域中的虚拟镜像电流的场的总和，用于计算求解；
Figure QLYQS_63
为边界线有限元；
Figure QLYQS_64
为法向量；
将其带入等式（6），得到：
Figure QLYQS_65
（8）
如上式，式（6）转化为在边界上积分，直接带入观测点坐标、线圈位置和电流求解，从而计算出
Figure QLYQS_66
。
5.根据权利要求4所述的一种基于冯·哈格诺夫方法的GS方程数值计算方法，其特征在于，所述步骤4包括：
为了满足磁通量的期望值，设定损失函数为：
Figure QLYQS_67
Figure QLYQS_68
Figure QLYQS_69
(9)
其中，
Figure QLYQS_70
和
Figure QLYQS_71
是正则化参数，用于稳定程序，防止电流
Figure QLYQS_72
有较大的不真实震荡；
Figure QLYQS_73
是给定边界点
Figure QLYQS_74
处通量的期望值。然后应用最小二乘法，求得线圈电流
Figure QLYQS_75
。
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