CN101476981A - 一种确定高速滚珠轴承负荷分布的方法 - Google Patents

Abstract

一种确定高速滚珠轴承负荷分布的方法，属于高速滚珠轴承技术领域。其方法如下：①根据轴承高速旋转的动态特性，对单个滚珠将内外沟道曲率中心与球体中心的连线视为首尾相接的二力杆系，根据轴承分析原理，列出二力杆系的平衡方程。②对不同滚道位置处的球体，重复步骤①的方法。并联立轴承内圈平衡方程。③根据摩擦力与正压力的关系得滚道控制参数的解析表达式，代入内圈平衡方程，使得滚道控制参数计算不依赖滚道控制理论。④计算球体陀螺力矩时需先计算钢球姿态角β，采用基于达朗贝尔方法得出的β计算式，并与整个方程组同步计算，从而也脱离了滚道控制假设的不足。求解①－④给出的方程，可以得到精确的载荷分布。

Description

一种确定高速滚珠轴承负荷分布的方法

技术领域

本发明属于高速滚珠轴承技术领域，具体涉及一种确定高速滚珠轴承负荷分布的方法。

技术背景

滚珠轴承的分析计算是建立在轴承分析的基础上，John最早建立了拟静力学分析模型，Harris进行了完善，直至Meeks，Gupta等建立了动力学分析模型，使得滚珠轴承的分析形成了完善的分析体系。国内学者也分别对轴承的拟静力学、拟动力学和动力学分析做了大量的探索，取得了很多成果。拟静力学能有效计算轴承的真实载荷分布，疲劳寿命及刚度，所得解为动力学模型提供初始条件。滚珠轴承的主要性能参数，如刚度、疲劳寿命和油膜特性等，都只有在确定了负荷分布后才能进行计算，因此滚珠轴承负荷分布的精确计算十分重要。

所有的文献中对于高速滚珠轴承载负荷的确定方法都是基于上述的拟静力学方法，具体的计算方法为：建立几何方程、变形方程、钢球平衡方程、套圈平衡方程构成的方程组。可以构成6Z+2个方程组(z是滚动体个数)，对于给定的轴承结构及轴向力、径向力和轴承转速，用Newton—Raphson解非线性方程组可以求得上述未知量。但是，由于方程中的接触刚度、陀螺力矩、钢球离心力等都与接触角有关，需要引入包括离心力方程、陀螺力矩方程、接触刚度方程等复杂的辅助方程，所有方程中的变量高度耦合，计算过程非常复杂，且计算量大。更重要的是，在钢球和内圈平衡方程中引入的滚道控制理论只是取内外滚道摩擦力的两种极限情况，并不适于转速的变化状况，达不到精确确定负荷的分布。

发明内容

本发明的目的是提供一种确定高速滚珠轴承负荷分布的方法。它可以使高速滚珠轴承负荷分布达到完全精确计算和确定。

本发明是这样实现的：它包括以下各步骤：

(1)如图1、2所示，当轴承作高速转动时，钢球中心与沟道曲率中心相对位置要发生变化。图1中OEM代表静态时球心E与轴承内沟道曲率中心M和外沟道曲率中心O的连线，当轴承高速运转时O、E、M三点位置发生相对变化，成为OE′M′。将外沟道曲率中心O、球体中心E′、内沟道曲率中心M′的连线视为首尾相接的二力杆，根据有限元方法，设定O、E′、M′为节点1、2、3，OE′和E′M′为杆单元①、②，f表示杆端受力，x、y代表水平和垂直坐标。

根据Hertz接触原理和滚珠轴承分析原理，可列出滚道与球体接触的变形方程为：

      f＝kδ^1.5

式中，f—杆端受力

      k—接触刚度

      δ—接触变形

根据有限元单元方法，可列出整体二力杆系的平衡方程为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{1x}\\ f_{1y}\\ f_{2x}\\ f_{2y}\\ f_{3x}\\ f_{3y}\end{array}\right]=K\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{1x}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{1y}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{2x}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{2y}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{3x}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{3y}^{1.5}\end{array}\right]---\left(1\right)$

$K=\left[\begin{array}{cccccc}{k}_1{c}_1^{2.5}& k_1{c}_1{s}_1^{1.5}& -k_1{c}_1^{2.5}& -k_1{c}_1{s}_1^{1.5}& 0& 0\\ k_1{s}_1{c}_1^{1.5}& k_1{s}_1^{2.5}& -k_1{s}_1{c}_1^{1.5}& -k_1{s}_1^{2.5}& 0& 0\\ -k_1{c}_1^{2.5}& -k_1{c}_1{s}_1^{1.5}& k_1{c}_1^{2.5}+k_2{c}_2^{2.5}& k_1{c}_1{s}_1^{1.5}+k_2{c}_2{s}_2^{1.5}& -c_2^{2.5}& -k_2{c}_2{s}_2^{1.5}\\ -k_1{s}_1{c}_1^{1.5}& -k{s}_1^{1.5}& k_1{s}_1{c}_1^{1.5}+k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& k_1{s}_1^{2.5}+k_2{s}_2^{2.5}& -k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& -k_2{s}_2^{2.5}\\ 0& 0& -k_2{c}_2^{2.5}& -k_2{c}_2{s}_2^{2.5}& k_2{c}_2^{2.5}& k_2{c}_2{s}_2^{1.5}\\ 0& 0& -k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& -k_2{s}_2^{2.5}& k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& k_2{s}_2^{2.5}\end{array}\right]$

上式矩阵中用c₁、c₂、s₁、s₂分别代表cos(θ₁)、cos(θ₂)、sin(θ₁)、sin(θ₂)，K是杆系刚度矩阵，θ₁、θ₂是两杆相对于水平方向的夹角，见图2。

(2)以上是针对一个球体进行分析，下面对所在不同滚道位置处的球体进行分析。

设q为球体编号，ψ为球体的位置角。

建立轴承内圈平衡的联立方程：

$F_a=\underset{q=1}{\overset{Z}{\mathrm{\Σ}}}(f_{3\mathrm{xq}}-\frac{M_{\mathrm{gq}}}{D_w}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{iq}}\cos {\mathrm{\α}}_{\mathrm{iq}})---\left(2\right)$

$F_r=\underset{q=1}{\overset{Z}{\mathrm{\Σ}}}(f_{3\mathrm{yq}}+\frac{M_{\mathrm{gq}}}{D_w}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{iq}}\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{iq}})\cos {\mathrm{\ψ}}_q---\left(3\right)$

式中：F_a、F_r—分别是轴向、径向载荷

Z—钢球总数

λ_iq—内圈滚道控制参数

α_iq—钢球与内圈接触角

M_gq—陀螺力矩

D_w—滚动体直径

i—表示内圈

由图3可得接触角与杆件水平夹角的关系式：

${\mathrm{\α}}_i=\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\θ}}_2$

${\mathrm{\α}}_e=\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\θ}}_1$

方程(1)两边，节点2的外力是离心力F_cq

所以f_2x＝0

    f_2y＝F_cq

由于外圈沟道固定不动，其沟曲率中心位移为零，即

δ_1x＝δ_1y＝0

根据图2，节点3的位移方程为：

δ_3x＝δ_a+τR_i cosψ_q

δ_3y＝δ_rcosψ_q

式中：τ—轴承内圈挠度角

      δ_a—轴承轴向位移

      δ_r—径向位移

      R_i—沟道曲率中心位置半径

公式(1)中有8个未知量，即f_1xq、f_1yq、f_3xq、f_3yq、δ_2xq、δ_2yq、δ_a、δ_r，则对于有z个钢球的轴承根据式(1)可形成6Z+2个方程，共6Z+2个未知量，应用经典的非线性方程组Newton-Raphson方法求解，可以求出唯一解。

(3)根据杆端受力，假设钢球与内外沟道摩擦系数相等，得到用于确定内圈平衡方程中内圈滚道控制参数的解析表达式：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{iq}}=\frac{\sqrt{f_{3\mathrm{xq}}^2+f_{3\mathrm{yq}}^2}}{\sqrt{f_{1\mathrm{xq}}^2+f_{1\mathrm{yq}}^2}+\sqrt{f_{3\mathrm{xq}}^2+f_{3\mathrm{yq}}^2}}---\left(4\right)$

将上式表达的内圈滚道控制参数代入内圈平衡方程(2)和(3)，滚道控制理论对滚道控制参数的极端设定变为与方程组同时迭代求解的精确解，实现精确确定轴承载荷分布。

(4)计算陀螺力矩M_gq，需要依据滚道控制理论假设计算钢球的姿态角β，为了达到精确计算的目的，采用基于钢球完整动力学所得的钢球姿态角计算公式：

$\mathrm{\β}={\mathrm{tg}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\η}(\mathrm{\ϵ}+1)\sin {\mathrm{\α}}_i+2\sin {\mathrm{\α}}_e}{\mathrm{\η}(\mathrm{\ϵ}+1)\cos {\mathrm{\α}}_i+2(\cos {\mathrm{\α}}_e+\mathrm{\γ}\′)+\mathrm{\γ}\′\mathrm{\η}[\cos ({\mathrm{\α}}_i-{\mathrm{\α}}_e)-\mathrm{\ϵ}]}\right)---\left(5\right)$

式中： $\mathrm{\η}=\frac{Q_i{a}_i{L}_i}{Q_e{a}_e{L}_e},$ $\mathrm{\ϵ}=\frac{1+{\mathrm{\γ}}_e}{1-{\mathrm{\γ}}_i},$ γ_e＝γ′cosα_e，γ_i＝γ′cosα_i， $\mathrm{\γ}\′=\frac{D_w}{d_m},$ d_m节圆直径，L_i，L_e为第二类全椭圆积分。

由上式可知，将β代入陀螺力矩M_gq计算公式，与整个方程组的求解同步迭代计算，从而脱离了滚道控制假设的不足。

根据上述步骤可知，由于计算过程中滚道控制参数与姿态角均给出了精确的计算式，所以计算结果可以得到精确的载荷分布，即得到不同位置角处的f_1xq、f_1yq、f_3xq、f_3yq。

本发明的优点及积极效果

本发明方法与现有技术相比较，省略了接触变形几何方程和钢珠平衡方程，简化了参数耦合程度，给出了滚道摩擦系数的精确计算式，改变了传统滚道控制理论给定的不足，使得内圈平衡方程成为精确算式，使负荷分布达到完全精确的计算，对轴承寿命的精确预测具有很高的实用价值。

附图说明

图1第q个钢球中心与沟道曲率中心相对位置图

图2第q个钢球简化的二力杆系有限元图

图3钢球的周向位置图

图中：E—静态时球体的中心

      E′—动态时球体的中心

      O—外沟道曲率中心

m—静态时内沟曲率中心

m′—动态时内沟曲率中心

OEM—静态时球心与内外沟道曲率中心的连线

OE′M′—高速运转时球心与内外沟道曲率中心的连线

x，y—轴向和径向坐标轴

α₀—原始接触角

q—球体序号

ψ_q—第q个钢球的位置角

δ_α—轴承的轴向位移

δ_r—轴承的径向位移

α_iq、α_eq—分别是内外接触角

1，2，3—有限元方法表示的三个节点

①，②—有限元方法表示的杆单元

1，2，3连线—代表二力杆

f—杆端受力

f_x，f_y—分别代表水平与垂直方向的分力

d_m—轴承节圆直径

ψ—钢球位置角

θ₁—杆单元①与轴向的夹角

θ₂—杆单元②与轴向的夹角

具体实施方式

现以7306角接触球轴承为例，确定其负荷分布。轴承参数为：公称节圆直径52mm，钢球直径13.5mm，内径30mm，外径72mm，初始接触角α₀＝13°，沟道半径系数0.522，轴向载荷850N，径向载荷1000N，内圈转速24000r/min

根据本发明内容，主要计算步骤如下：

(1)根据式(1)，按照有限元单元方法，形成整体二力杆系的平衡方程；

(2)以杆端受力f与接触变形δ为变量，根据式 ${\mathrm{\α}}_i=\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\θ}}_2$ ${\mathrm{\α}}_e=\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\θ}}_1$ 求接触角α_i和α_e，计算刚度矩阵K；

(3)针对所有的钢球建立二力杆系的平衡方程与刚度矩阵；

(4)根据给定的轴向载荷为850N，径向载荷为1000N以及和式(2)、(3)列写轴承内圈平衡方程；

(5)根据转速和轴承参数计算离心力F_cq，根据滚道控制参数λ_iq，钢球的姿态角β，和陀螺力矩M_gq等中间参量；

(6)应用经典的非线性方程组Newton-Raphson方法求解上述方法形成的方程组，可以得到滚动体在不同位置角处的载荷分布情况。

根据上述计算步骤取最大径向载荷位置处的钢球进行计算，结果如下：

高速角接触球轴承往往使用在很苛刻的条件下，如航空机械式陀螺仪，理想状况下要求轴承的摩擦力矩为零才能避免零漂。现在的零漂能控制在0.0001度之内，但是还是达不到导航精度。零漂移的计算和本申请的载荷计算密切关联。通过本文的计算方法可知，本专利的算法从两个角度出发，一个是用杆件结构模型计算，有助于确定滚道控制系数的数学表达。二是从根本否定了滚道控制理论的粗糙假设，算法本身就是精确的，只要保证计算结果正确，那么结果肯定是比传统计算方法精确。

Claims (1)

1、一种确定高速滚珠轴承负荷分布的方法，其特征在于包括如下步骤：

①根据Hertz接触原理和滚动轴承分析原理，列写滚道与钢球接触的变形方程为：

f＝kδ^1.5

式中f—杆端受力

    k—接触刚度

    δ—接触变形

按照有限元单元方法，形成整体二力杆系的平衡方程：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{1x}\\ f_{1y}\\ f_{2x}\\ f_{2y}\\ f_{3x}\\ f_{3y}\end{array}\right]=K\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{1x}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{1y}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{2x}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{2y}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{3x}^{1.5}\\ {\mathrm{\δ}}_{3y}^{1.5}\end{array}\right]---\left(1\right)$

$K=\left[\begin{array}{cccccc}{k}_1{c}_1^{2.5}& k_1{c}_1{s}_1^{1.5}& -k_1{c}_1^{2.5}& -k_1{c}_1{s}_1^{1.5}& 0& 0\\ k_1{s}_1{c}_1^{1.5}& k_1{s}_1^{2.5}& -k_1{s}_1{c}_1^{1.5}& -k_1{s}_1^{2.5}& 0& 0\\ -k_1{c}_1^{2.5}& -k_1{c}_1{s}_1^{1.5}& k_1{c}_1^{2.5}+k_2{c}_2^{2.5}& k_1{c}_1{s}_1^{1.5}+k_2{c}_2{s}_2^{1.5}& -c_2^{2.5}& -k_2{c}_2{s}_2^{1.5}\\ -k_1{s}_1{c}_1^{1.5}& -k{s}_1^{1.5}& k_1{s}_1{c}_1^{1.5}+k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& k_1{s}_1^{2.5}+k_2{s}_2^{2.5}& -k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& -k_2{s}_2^{2.5}\\ 0& 0& -k_2{c}_2^{2.5}& -k_2{c}_2{s}_2^{2.5}& k_2{c}_2^{2.5}& k_2{c}_2{s}_2^{1.5}\\ 0& 0& -k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& -k_2{s}_2^{2.5}& k_2{s}_2{c}_2^{1.5}& k_2{s}_2^{2.5}\end{array}\right]$

上式矩阵中用c₁、c₂、s₁、s₂分别代表cos(θ₁)、cos(θ₂)、sin(θ1)、sin(θ₂)，K是杆系刚度矩阵，θ₁、θ₂是①②杆相对于水平方向的夹角，x，y代表坐标。

②以上是针对一个钢球进行分析，需要针对所有不同滚道位置角ψ_q处的钢球进行运算，轴承内圈平衡方程：

$F_a=\underset{q=1}{\overset{Z}{\mathrm{\Σ}}}(f_{3\mathrm{xq}}-\frac{M_{\mathrm{gq}}}{D_w}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{iq}}\cos {\mathrm{\α}}_{\mathrm{iq}})---\left(2\right)$

$F_r=\underset{q=1}{\overset{Z}{\mathrm{\Σ}}}(f_{3\mathrm{rq}}+\frac{M_{\mathrm{gq}}}{D_w}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{iq}}{\sin \mathrm{\α}}_{\mathrm{iq}})\cos {\mathrm{\ψ}}_q---\left(3\right)$

形成整体方程组。

式中q是钢球的编号，ψ是钢球的位置角，i表示内圈，F_a、F_r分别是轴向、径向载荷，Z是钢球总数，λ_iq是内圈滚道控制参数，α_iq是钢球与内圈接触角，M_gq是陀螺力矩，D_w是钢球直径。

第q个钢球的接触角与简化后的杆件水平夹角的关系式：

${\mathrm{\α}}_i=\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\θ}}_2$

${\mathrm{\α}}_e=\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\θ}}_1$

方程(1)两边，其中节点2的外力是离心力F_cq

所以：f_2x＝0

f_2y＝F_cq

由于外圈沟道固定不动，其沟曲率中心位移为零，即

δ_1x＝δ_1y＝0

节点3的位移方程为：

δ_3x＝δ_a+τR_icosψ_q

δ_3y＝δ_rcosψ_q

式中τ为轴承内圈挠度角，δ_a是轴承轴向位移，δ_r是径向位移，R_i是沟道曲率中心位置半径。

这样式(1)中，未知量有8个，即f_1xq、f_1yq、f_3xq、f_3yq、δ_2xq、δ_2yq、δ_a、δ_r，则对于有z个钢球的轴承根据式(1)可形成6Z+2个方程，共6z+2个未知量，可以求出唯一解。

③根据杆端受力，在假设钢球与内外沟道摩擦系数相等的前提下，推导得出了用于确定内圈平衡方程中滚道控制参数的解析表达如下：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{iq}}=\frac{\sqrt{f_{3\mathrm{xq}}^2+f_{3\mathrm{yq}}^2}}{\sqrt{f_{1\mathrm{xq}}^2+f_{1\mathrm{yq}}^2}+\sqrt{f_{3\mathrm{xq}}^2+f_{3\mathrm{yq}}^2}}---\left(4\right)$

将上式表达的滚道控制参数代入内圈平衡方程(2)和(3)，滚道控制理论对滚道控制参数的极端设定变为与方程组同时迭代求解的精确解，实现精确确定轴承载荷分布。

④计算陀螺力矩M_gq，需要依据滚道控制理论假设计算钢球的姿态角β，为了达到精确计算的目的，采用基于钢球完整动力学所得的钢球姿态角计算公式：

$\mathrm{\β}={\mathrm{tg}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\η}(\mathrm{\ϵ}+1)\sin {\mathrm{\α}}_i+2\sin {\mathrm{\α}}_e}{\mathrm{\η}(\mathrm{\ϵ}+1)\cos {\mathrm{\α}}_i+2(\cos {\mathrm{\α}}_e+\mathrm{\γ}\′)+\mathrm{\γ}\′\mathrm{\η}[\cos ({\mathrm{\α}}_i-{\mathrm{\α}}_e)-\mathrm{\ϵ}]}\right)---\left(5\right)$

式中： $\mathrm{\η}=\frac{Q_i{a}_i{L}_i}{Q_e{a}_e{L}_e},$ $\mathrm{\ϵ}=\frac{1+{\mathrm{\γ}}_e}{1-{\mathrm{\γ}}_i},$ γ_e＝γ′cosα_e，γ_i＝γ′cosα_i， $\mathrm{\γ}\′=\frac{D_w}{d_m},$ β是钢球姿态角，d_m是节圆直径，L_i，L_e是第二类全椭圆积分。

由上式可知，将姿态角β代入陀螺力矩M_gq计算公式，与整个方程组的求解同步迭代计算。

根据上述步骤可知，由于计算过程中滚道控制参数与姿态角均给出了精确的计算式，所以计算结果可以得到精确的载荷分布，即得到不同位置角处的f_1xq、f_1yq、f_3xq、f_3yq。

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