CN105674971A - 基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明是基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，属于惯性导航领域。本发明为了解决利用陀螺飞轮在转子大倾侧角工作状态实现二维航天器角速率测量问题，进而提出了基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法。本发明方法包括：步骤一、建立陀螺飞轮系统的运动学方程；步骤二、建立陀螺飞轮系统的动力学方程；步骤三、建立传感器不可测量量与传感器可测量量之间的关系；步骤四、分析动力学方程中二维航天器角速率相关项的灵敏度；步骤五、基于陀螺飞轮系统测量二维航天器角速率。本发明适用于航天器姿态控制与测量。

Description

基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法

技术领域

本发明是基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，具体涉及惯性导航领域。

背景技术

陀螺飞轮系统是基于动力调谐陀螺仪发展而来的，可同时作为执行器与敏感器应用于航天器的姿态控制系统中。陀螺飞轮系统作为执行器，通过陀螺飞轮系统电机调速以及转子二维径向倾侧运动可输出三轴控制力矩，与此同时，陀螺飞轮系统通过一定的角速率解算方法可实现二维的航天器角速率测量功能。

目前，陀螺飞轮系统在三维力矩输出基础上二维航天器角速率测量功能实现的主要思路为：(1)建立的陀螺飞轮系统运动学方程和动力学方程，由于该动力学方程为复杂的非线性方程；(2)针对所建立的复杂非线性动力学方程，在零倾侧角位置进行李雅普诺夫线性化，得到线性化后的动力学方程；(3)将线性化后的动力学方程，进行小倾侧角假设条件下的坐标变换，将线性动力学方程转换至倾侧角传感器易于测量的壳体坐标系下；(4)忽略上述得到的壳体坐标系下线性动力学方程转子倾侧角加速度，航天器角加速度以及周期性高频成分的影响，得到极为简化的基于陀螺飞轮系统的航天器角速率代数测量方程；分析上述现有的基于陀螺飞轮系统的航天器角速率测量方案可知，存在如下问题：

(1)在动力学方程化简过程中，对非线性动力学方程在零倾侧位置进行李雅普诺夫线性化，而实际陀螺飞轮系统在作为执行器时，转子最大的工作倾角可达7°，从而导致此时的李雅普诺夫线性化产生了较大的精度损失；(2)在将动力学方程转换至壳体坐标系过程中，所运用的坐标变换过程中，也大量应用了小倾侧角假设，从而又进一步加剧了测量精度损失；(3)陀螺飞轮系统同时作为执行器和敏感器，应用对象为捷联惯导系统，陀螺飞轮系统基座与航天器直接固联，从而导致航天器的运动角运动对陀螺飞轮系统测量机理方程的影响不可简单地直接忽略，忽略后若要保证测量精度，需利用伺服转台进行动态标定，增加了实现难度；(4)陀螺飞轮系统作为执行器，依靠转子倾侧运动输出径向控制力矩作用于航天器上，而转子的倾侧控制带宽需满足力矩输出的动态性能要求，从而导致在利用陀螺飞轮系统实现航天器二维角速率测量的过程中，转子倾侧角加速度的影响也不可简单忽略。

发明内容

本发明针对陀螺飞轮系统在转子大倾侧角工作状态实现二维航天器角速率精确测量问题进行研究，目标在于提高在捷联惯导系统中转子大倾侧角工作状态，基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量精度。为实现该目标，本发明根据陀螺飞轮系统动力学方程进行航天器角速率相关项的灵敏度分析，提出基于陀螺飞轮系统航天器角速率测量方法，包括以下步骤：

步骤一、建立陀螺飞轮系统的运动学方程；

步骤二、建立陀螺飞轮系统的动力学方程；

步骤二一、构建陀螺飞轮系统的能量方程；

步骤二二、利用第二类拉格朗日法，建立陀螺飞轮系统的动力学方程；

步骤三、建立传感器不可测量量与传感器可测量量之间的关系；

步骤三一、建立传感器不可测量量θ_x,θ_y与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z之间的关系；

步骤三二、建立传感器不可测量量与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z,及其导数之间的关系；

步骤四、分析动力学方程中二维航天器角速率相关项的灵敏度；

步骤五、基于陀螺飞轮系统测量二维航天器角速率。

本发明有益效果：

1、本发明方法补偿了传统的零倾侧位置进行李雅普诺夫线性化引起的测量精度损失，从而可完成在转子大倾侧角条件下的二维航天器角速率测量；

2、本发明方法基于陀螺飞轮系统动力学方程得到获得的二维航天器角速率测量方程，利用数量级分析方法分析各航天器角速率相关项在动力学方程中的影响，忽略了数量级微小项的影响，保留了航天器角运动对陀螺飞轮系统动力学的影响，避免了利用速率转台对陀螺飞轮系统进行动态标定，且能够保证较高的角速率测量精度。

附图说明

图1是基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法的流程示意框图；

图2是陀螺飞轮系统核心构件结构图；陀螺飞轮系统核心构件由壳体1、电机轴2、平衡环3、转子4以及外挠性轴5、内挠性轴6组成；

图3是转子小倾侧角状态时，陀螺飞轮系统测量的二维航天器角速率图；

图4是转子大倾侧角状态时，陀螺飞轮系统测量的二维航天器角速率图；

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法按照以下步骤来实现：

步骤一、建立陀螺飞轮系统的运动学方程；

步骤二、建立陀螺飞轮系统的动力学方程；

步骤三、建立传感器不可测量量与传感器可测量量之间的关系；

步骤四、分析动力学方程中二维航天器角速率相关项的灵敏度；

步骤五、基于陀螺飞轮系统测量二维航天器角速率。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：其特征在于，所述的步骤一建立陀螺飞轮系统的运动学方程按照以下步骤实现：

如图2所示，陀螺飞轮系统核心构件由壳体1、电机轴2、平衡环3、转子4以及外挠性轴5、内挠性轴6组成，其中电机轴2通过一对内挠性轴6与平衡环3内侧相连，平衡环3外侧通过一对外挠性轴5与转子4内侧相连，内挠性轴6与外挠性轴5保持正交；设陀螺飞轮系统壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系依次分别为Ox_cy_cz_c、Ox_my_mz_m、Ox_gy_gz_g、Ox_ry_rz_r，壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系间的相对角位置关系如下：

设陀螺飞轮系统的壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系分别为Ox_cy_cz_c、Ox_my_mz_m、Ox_gy_gz_g、Ox_ry_rz_r，壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系间的相对角位置关系如下：

将Ox_cy_cz_c绕z_c轴旋转θ_z，得到Ox_my_mz_m，再将Ox_my_mz_m绕x_m旋转θ_x，得到Ox_gy_gz_g，最终将Ox_gy_gz_g绕y_g旋转θ_y，得到Ox_ry_rz_r；

其中，θ_z表示电机轴的转角，θ_x表示与平衡环连接的内挠性轴转角，θ_y表示与平衡环连接的外挠性轴转角；

根据陀螺飞轮系统壳体与航天器固联，设定在陀螺飞轮系统壳体体坐标系Ox_cy_cz_c下航天器相对惯性空间的转动角速度ω_b表示为：ω_b＝[ω_bxω_byω_bz]^T；

根据壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系间的相对角位置关系，得到在电机轴体坐标系Ox_my_mz_m下，电机轴在惯性空间的转动角速度ω_m如公式(1)所示：

${\mathrm{\ω}}_m=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{mx}\\ {\mathrm{\ω}}_{my}\\ {\mathrm{\ω}}_{mz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& S_{{\mathrm{\θ}}_z}& 0\\ -S_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_z}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{bx}\\ {\mathrm{\ω}}_{by}\\ {\mathrm{\ω}}_{bz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{bx}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}\\ -{\mathrm{\ω}}_{bx}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z+{\mathrm{\ω}}_{bz}\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，公式(1)中的与分别表示转角θ_i的余弦值cosθ_i和正弦值sinθ_i，i＝x,y,z；

根据平衡环体坐标系Ox_gy_gz_g相对电机轴体坐标系Ox_my_mz_m的角位置关系，得到在平衡环体坐标系Ox_gy_gz_g下，平衡环在惯性空间的转动角速度ω_g如公式(2)所示：

${\mathrm{\ω}}_g=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{gx}\\ {\mathrm{\ω}}_{gy}\\ {\mathrm{\ω}}_{gz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& C_{{\mathrm{\θ}}_x}& S_{{\mathrm{\θ}}_x}\\ 0& -S_{{\mathrm{\θ}}_x}& C_{{\mathrm{\θ}}_x}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_m=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+{\mathrm{\ω}}_{bx}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}\\ -{\mathrm{\ω}}_{bx}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z+{\mathrm{\ω}}_{bz})S_{{\mathrm{\θ}}_x}\\ {\mathrm{\ω}}_{bx}{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}-{\mathrm{\ω}}_{by}{\mathrm{sin\θ}}_x{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z+{\mathrm{\ω}}_{bz})C_{{\mathrm{\θ}}_x}\end{array}\right]---\left(2\right)$

在转子体坐标系Ox_ry_rz_r下，转子在惯性空间的转动角速度ω_r如公式(3)所示：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_r=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{rx}\\ {\mathrm{\ω}}_{ry}\\ {\mathrm{\ω}}_{rz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}& 0& -S_{{\mathrm{\θ}}_y}\\ 0& 1& 0\\ S_{{\mathrm{\θ}}_y}& 0& C_{{\mathrm{\θ}}_y}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_g\\ =\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\mathrm{\ω}}_{bz}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}+(C_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{bx}+(C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{by}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+{\mathrm{\ω}}_{bz}{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}-C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}{\mathrm{\ω}}_{bx}+C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}{\mathrm{\ω}}_{by}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}+{\mathrm{\ω}}_{bz}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}+(S_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{bx}+(S_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{by}\end{array}\right]\end{array}---\left(3\right).$

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：其特征在于，所述的步骤二建立陀螺飞轮系统的动力学方程按照以下步骤实现：

步骤二一、构建陀螺飞轮系统的能量方程；

陀螺飞轮系统的动能T由电机轴、平衡环及转子三部分转动动能组成，如公式(4)动能T的广义速度二次型表示为：

$T=\frac{1}{2}(\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{mi}{\mathrm{\ω}}_{mi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{gi}{\mathrm{\ω}}_{gi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{ri}{\mathrm{\ω}}_{ri}^2)---\left(4\right)$

其中，I_mi,I_gi,I_ri分别表示为电机轴，平衡环及转子在惯性主轴上的转动惯量，i＝x,y,z；

陀螺飞轮系统的势能V由陀螺飞轮系统内、外两挠性轴的弹性形变引起，如公式(5)所示：

$V=(K_x{\mathrm{\θ}}_x^2+K_y{\mathrm{\θ}}_y^2)---\left(5\right)$

其中，K_x,K_y分别表示内、外挠性轴的抗扭刚度；

陀螺飞轮系统的拉格朗日函数L即能量方程如公式(6)所示：

$L=T-V=\frac{1}{2}(\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{mi}{\mathrm{\ω}}_{mi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{gi}{\mathrm{\ω}}_{gi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{ri}{\mathrm{\ω}}_{ri}^2)-(K_x{\mathrm{\θ}}_x^2+K_y{\mathrm{\θ}}_y^2)---\left(6\right)$

步骤二二、利用第二类拉格朗日法，建立陀螺飞轮系统的动力学方程；

陀螺飞轮系统的拉格朗日方程，如公式(7)所示：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x}\right)-\frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\θ}}_x}=T_{gx}-2c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y}\right)-\frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\θ}}_y}=T_{gy}-2c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y---\left(7\right)$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z}\right)-\frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\θ}}_z}=T_{gz}+T_{fz}$

其中，T_gx,T_gy,T_gz分别表示广义控制力矩分别在内、外挠性轴及电机轴方向的投影；

c_x,c_y分别表示内、外两对挠性轴的阻尼系数；T_fz为电机轴轴承产生的摩擦力矩；

由于公式(7)中第三式摩擦力矩T_fz的难以精确辨识，且公式(7)中第三式所表征的电机轴运动与公式(7)中第一式、第二式分别表征的转子沿两径向轴运动之间耦合微弱，仅需考虑公式(7)第一式、第二式进行动力学建模，将公式(6)拉格朗日函数带入至公式(7)第一式、第二式，得到陀螺飞轮系统动力学方程如公式(8)所示：

$\begin{array}{c}{I}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x+c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+K_x{\mathrm{\θ}}_x=T_{gx}+F_{nlx}+M_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+M_2{\mathrm{\ω}}_{by}+M_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+M_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}+M_5{\mathrm{\ω}}_{bx}^2+M_6{\mathrm{\ω}}_{by}^2+M_7{\mathrm{\ω}}_{bx}{\mathrm{\ω}}_{by}\\ I_{ry}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+K_y{\mathrm{\θ}}_y=T_{gy}+F_{nly}+N_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+N_2{\mathrm{\ω}}_{by}+N_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+N_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}+N_5{\mathrm{\ω}}_{bx}^2+N_6{\mathrm{\ω}}_{by}^2+N_7{\mathrm{\ω}}_{bx}{\mathrm{\ω}}_{by}\end{array}---\left(8\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{F}_{nlx}=-\frac{1}{2}{I}_2\sin 2{\mathrm{\θ}}_x\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z^2-\[(I_{rz}-I_{rx})\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-\[(I_{rz}-I_{rx})\cos 2{\mathrm{\θ}}_y-I_{rz}\]{\mathrm{cos\θ}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z-\\ \frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\·{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$\begin{array}{c}{F}_{nly}=-\[\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\cos }^2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z^2+\[\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx})\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2+\\ \[(I_{rz}-I_{rx})\cos 2{\mathrm{\θ}}_y-I_{ry}\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{\mathrm{cos\θ}}_x-I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x\·{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_1=\[(I_{rx}-I_{rz}){\mathrm{sin\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+I_1{\mathrm{sin\θ}}_z+I_2\cos 2{\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\\ -\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)-I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_2=-\[(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{sin\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z+I_1{\mathrm{cos\θ}}_z+I_2\cos 2{\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\\ -\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z-{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}$

$M_3=-I_1{\mathrm{cos\θ}}_z-\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{sin\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z$

$M_4=-I_1{\mathrm{sin\θ}}_z+\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{sin\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z$

$M_5=\frac{1}{2}{I}_2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_{z}sin2{\mathrm{\θ}}_x+\frac{1}{4}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z$

$M_6=\frac{1}{2}{I}_2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_{z}sin2{\mathrm{\θ}}_x-\frac{1}{4}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z$

$M_7=-\frac{1}{2}{I}_2\sin 2{\mathrm{\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_z-\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}cos2{\mathrm{\θ}}_z$

$\begin{array}{c}{N}_1=+\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)-I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ +\[(I_{rz}-I_{rx})({\mathrm{cos\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z-\frac{1}{2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{cos\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]\stackrel{\mathrm{..}}{{\mathrm{\θ}}_z}\end{array}$

$\begin{array}{c}{N}_2=+\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z-{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ +\[(I_{rz}-I_{rx})(\frac{1}{2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+{\mathrm{cos\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{cos\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]\stackrel{\mathrm{..}}{{\mathrm{\θ}}_z}\end{array}$

N₃＝I_rycosθ_xsinθ_zN₄＝-I_rycosθ_xcosθ_z

$N_5=+\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx})\[{\mathrm{sin\θ}}_{x}cos2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z+sin2{\mathrm{\θ}}_y({\cos }^2{\mathrm{\θ}}_z-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_x{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_z)\]$

$N_6=-\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx})\[{\mathrm{sin\θ}}_{x}cos2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z-sin2{\mathrm{\θ}}_y({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_z-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_x{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_z)\]$

$N_7=+\[(I_{rz}-I_{rx})(\frac{1}{2}{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z-{\mathrm{sin\θ}}_{x}cos2{\mathrm{\θ}}_{y}cos2{\mathrm{\θ}}_z+\frac{1}{2}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z)\]$

I₁＝I_gx+I_rxcos²θ_y+I_rzsin²θ_yI₂＝I_gz-I_gy-I_ry+I_rxsin²θ_y+I_rzcos²θ_y；

其中，设定动力学方程中航天器z轴方向的角速率ω_bz＝0，外部控制力矩T_gx,T_gy分别表示为：

$\begin{array}{c}{T}_{gx}=C_{{\mathrm{\θ}}_z}{k}_{ty}{i}_y+S_{{\mathrm{\θ}}_z}{k}_{tx}{i}_x\\ T_{gy}=-S_{{\mathrm{\θ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{k}_{ty}{i}_y+C_{{\mathrm{\θ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{k}_{tx}{i}_x^{.}\end{array}---\left(9\right)$

其中，k_tx,k_ty均表示二维力矩器的标度因数；i_x,i_y均表示二维力矩器的电流。

其它步骤及参数与具体实施方式一至二之一相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：其特征在于，所述的步骤三建立传感器不可测量量与传感器可测量量之间的关系按照以下步骤实现：

步骤三一、建立传感器不可测量量θ_x,θ_y与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z之间的关系；

设定一组壳体参考坐标系：Ox₁y₁z₁,Ox₂y₂z₂,Ox₃y₃z₃,Ox₄y₄z₄及壳体参考坐标φ_x,φ_y,φ_z，φ_x,φ_y,φ_z为在壳体体坐标系Ox_cy_cz_c中转子相对壳体沿三轴的转动角；其中，坐标系Ox₁y₁z₁，Ox₄y₄z₄分别与壳体体坐标系Ox_cy_cz_c，转子体坐标系Ox_ry_rz_r重合，壳体参考坐标系Ox₁y₁z₁,Ox₂y₂z₂,Ox₃y₃z₃,Ox₄y₄z₄各坐标系间的相对角位置关系如下：

将Ox₁y₁z₁绕x₁轴旋转φ_x，得到Ox₂y₂z₂，再将Ox₂y₂z₂绕y₂旋转φ_y，得到Ox₃y₃z₃，最终将Ox₃y₃z₃绕z₃旋转φ_z，得到Ox₄y₄z₄；

利用壳体参考坐标φ_x,φ_y,φ_z表示从电机轴输入到转子输出的完整方向余弦矩阵A'，如公式(10)所示：

$A^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}& S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}& -C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ -C_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}& -S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}+C_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}& C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ S_{{\mathrm{\φ}}_y}& -S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}& C_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}\end{array}\right]---\left(10\right)$

其中，公式(10)中的与分别表示转角φ_i的余弦值cosφ_i和正弦值sinφ_i，i＝x,y,z；利用坐标θ_x,θ_y,θ_z表示从电机轴输入到转子输出的方向余弦矩阵A，如公式(11)所示：

$A=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& -C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}\\ -C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& S_{{\mathrm{\θ}}_x}\\ S_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}& S_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}\end{array}\right)---\left(11\right)$

方向余弦矩阵A与A'均表示转子相对壳体的位置关系，得到公式(12)：

A＝A'(12)

利用建立传感器不可测量量φ_z与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z的关系，得到公式(13)：

${\mathrm{tan\φ}}_z=\frac{C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}}{C_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}}---\left(13\right)$

利用建立传感器不可测量量θ_x,θ_y与传感器可测量量φ_x,φ_y的关系，得到公式(14)：

$\begin{array}{c}{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}=C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ S_{{\mathrm{\θ}}_y}=S_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}\end{array}---\left(14\right)$

步骤三二、建立传感器不可测量量与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z,及其导数之间的关系；

不考虑航天器角速度ω_b，用壳体参考坐标φ_x,φ_y,φ_z表示在转子体坐标系下的转子角速度ω'_r，如下式(15)所示

${\mathrm{\ω}}_r^{\′}=\left[\begin{array}{c}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x+S_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y\\ -C_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x+C_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z+S_{{\mathrm{\φ}}_y}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x\end{array}\right]---\left(15\right)$

公式(3)的ω_r与公式(15)的ω'_r均表示在转子体坐标系下转子相对惯性空间的转动角速度，得到公式(16)：

ω_r＝ω'_r(16)

根据公式(3)、(15)、(16)，得到表达式如公式(17)及表达式如公式(18)所示：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x=\frac{1}{C_{{\mathrm{\θ}}_y}}(C_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x+S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y+C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z)---\left(17\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y=C_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y-C_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x=\frac{1}{C_{{\mathrm{\φ}}_y}}\[C_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\]\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y=C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+C_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}---\left(18\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z=S_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z-S_{{\mathrm{\φ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x$

对公式(18)的第一式和第二式分别两边求导，得到公式(19)如下：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}& -S_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}& C_{{\mathrm{\φ}}_z}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_x-\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}}{C_{{\mathrm{\φ}}_y}}\[C_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\]-f_1\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_y-({\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z-f_2\end{array}\right]---\left(19\right);$

其中，

$\begin{array}{c}{f}_1=(-{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+C_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y-\\ (C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z+\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}-C_{{\mathrm{\φ}}_z}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y})-\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}-C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\end{array}\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$f_2=-\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_z}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y})-({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z})\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z.$

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：其特征在于，所述的步骤四分析动力学方程中二维航天器角速率相关项的灵敏度按照以下步骤来实现：

根据陀螺飞轮系统惯量参数I_mi,I_gi,I_ri以及工作时转子倾侧角、转速的运行范围，分析动力学方程(9)中M₇ω_bxω_by及N₇ω_bxω_by每一个最大值的数量级，通过数量级的对比分析，确定M₇ω_bxω_by及N₇ω_bxω_by对动力学方程(9)的灵敏度。

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：其特征在于，所述的步骤五基于陀螺飞轮系统测量二维航天器角速率；

在动力学方程(9)中，忽略步骤四中分析的角速率测量输出灵敏度较低相关项，得到简化后的动力学方程如公式(20)：

$\begin{array}{c}{I}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x+c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+K_x{\mathrm{\θ}}_x=T_{gx}+F_{nlx}+M_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+M_2{\mathrm{\ω}}_{by}+M_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+M_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\\ I_{ry}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+K_y{\mathrm{\θ}}_y=T_{gy}+F_{nly}+N_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+N_2{\mathrm{\ω}}_{by}+N_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+N_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\end{array}---\left(20\right)$

针对简化后的动力学方程公式(20)，得到基于陀螺飞轮系统实现二维航天器角速率测量方程，如公式(21)所示：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{M}_3& M_4\\ N_3& N_4\end{array}\right]}^{-1}(-\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ N_1& N_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{bx}\\ {\mathrm{\ω}}_{by}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{I}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x+c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+K_x\mathrm{\θ}-T_{gx}-F_{nlx}\\ I_{ry}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+K_y{\mathrm{\θ}}_y-T_{gy}-F_{nly}\end{array}\right])---\left(21\right)$

公式(21)中右侧的不可用传感器测量的相关变量θ_x,θ_y,利用步骤三中传感器可测量的表达式公式(12)、(13)、(14)及(17)、(18)、(19)，基于测量方程(21)实现二维航天器的角速率的测量。

实施例

本发明提出基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法仿真参数如下；

陀螺飞轮系统的转子在转子体坐标系下和平衡环在平衡环体坐标系下的沿惯性主轴方向的惯量参数分别为：

I_rx＝1.10649×10^-3kg·m²I_gx＝1.611×10^-5kg·m²

I_ry＝1.10649×10^-3kg·m²；I_gy＝1.611×10^-5kg·m²

I_rz＝1.96351×10^-3kg·m²I_gz＝2.390×10^-5kg·m²

内、外扭杆的阻尼系数设为零，抗扭刚度分别选取为：K_x＝0.56N·m/rad,K_y＝0.56N·m/rad；

电机转速为： ${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\∈\[320,402\]rad/s;$

转子二维倾侧角(φ_x,φ_y)分别为：

大倾侧角：小倾侧角：

航天器的转动惯量J为： $J=\left[\begin{array}{ccc}50.1& 1.6& 2.3\\ 1.2& 48.9& 1.5\\ 2.1& 1.4& 52.7\end{array}\right]kg\·m^2,$ 设定航天器初始角速度为零；

根据上述参数，当转子取大倾侧角时，求公式(9)中M₇ω_bxω_by及N₇ω_bxω_by每一个最大值数量级，如表1公式(9)中第一式相关项的数量级比较，如表2所示公式(9)中第二式相关项的数量级比较；

表1

表2

分析表1、表2数据可知，公式(9)中与航天器角速率的平方项相关项最大值的数量级不超过10^-10可以忽略；得到与公式(20)一致的简化动力学方程式，基于公式(21)进行二维航天器角速率测量，得到在转子小倾侧角状态二维航天器角速率的测量曲线如图3和大倾侧状态的二维航天器角速率的测量曲线分别如图4；

从图3，可以看出当陀螺飞轮系统转子倾侧角≤0.1°时，零位置线性化测量方法实现10^-4度/秒的角速率测量精度，本发明提出的测量方法所测得的角速率曲线与真实值曲线基本重合，本发明测量方法具有更高的测量精度；

从图4，可以看出当陀螺飞轮系统转子倾侧角≤5°时，零位置线性化测量方法的角速率测量误差高达10^-2度/秒的数量级，相比于陀螺飞轮系统转子倾侧角≤0.1°时，零位置线性化测量方法实现10^-4度/秒的角速率测量精度降低两个数量级，本发明的测量方法所测得的角速率曲线与真实值曲线保持基本重合，说明本发明方法能够很好地实现在转子大倾侧角工作状态基于陀螺飞轮系统的航天器角速率测量。

Claims (6)

1.基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，其特征在于，所述的基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法按照以下步骤实现：

步骤一、建立陀螺飞轮系统的运动学方程；

步骤二、建立陀螺飞轮系统的动力学方程；

步骤三、建立传感器不可测量量与传感器可测量量之间的关系；

步骤四、分析动力学方程中二维航天器角速率相关项的灵敏度；

步骤五、基于陀螺飞轮系统测量二维航天器角速率。

2.根据权利要求1基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，其特征在于，所述的步骤一建立陀螺飞轮系统的运动学方程按照以下步骤实现：

陀螺飞轮系统核心构件由壳体(1)、电机轴(2)、平衡环(3)、转子(4)以及外挠性轴(5)、内挠性轴(6)组成，其中电机轴(2)通过一对内挠性轴(6)与平衡环(3)内侧相连，平衡环(3)外侧通过一对外挠性轴(5)与转子(4)内侧相连，内挠性轴(6)与外挠性轴(5)保持正交；

设陀螺飞轮系统的壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系分别为Ox_cy_cz_c、Ox_my_mz_m、Ox_gy_gz_g、Ox_ry_rz_r，壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系间的相对角位置关系如下：

将Ox_cy_cz_c绕z_c轴旋转θ_z，得到Ox_my_mz_m，再将Ox_my_mz_m绕x_m旋转θ_x，得到Ox_gy_gz_g，最终将Ox_gy_gz_g绕y_g旋转θ_y，得到Ox_ry_rz_r；

其中，θ_z表示电机轴的转角，θ_x表示与平衡环连接的内挠性轴转角，θ_y表示与平衡环连接的外挠性轴转角；

根据陀螺飞轮系统壳体与航天器固联，设定在陀螺飞轮系统壳体体坐标系Ox_cy_cz_c下航天器相对惯性空间的转动角速度ω_b表示为：ω_b＝[ω_bxω_byω_bz]^T；

根据壳体、电机轴、平衡环、转子的体坐标系间的相对角位置关系，得到在电机轴体坐标系Ox_my_mz_m下，电机轴在惯性空间的转动角速度ω_m如公式(1)所示：

${\mathrm{\ω}}_m=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{mx}\\ {\mathrm{\ω}}_{my}\\ {\mathrm{\ω}}_{mz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& S_{{\mathrm{\θ}}_z}& 0\\ -S_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_z}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{bx}\\ {\mathrm{\ω}}_{by}\\ {\mathrm{\ω}}_{bz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{bx}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}\\ -{\mathrm{\ω}}_{bx}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z+{\mathrm{\ω}}_{bz}\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，公式(1)中的与分别表示转角θ_i的余弦值cosθ_i和正弦值sinθ_i，i＝x,y,z；

根据平衡环体坐标系Ox_gy_gz_g相对电机轴体坐标系Ox_my_mz_m的角位置关系，得到在平衡环体坐标系Ox_gy_gz_g下，平衡环在惯性空间的转动角速度ω_g如公式(2)所示：

${\mathrm{\ω}}_g=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{gx}\\ {\mathrm{\ω}}_{gy}\\ {\mathrm{\ω}}_{gz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& C_{{\mathrm{\θ}}_x}& S_{{\mathrm{\θ}}_x}\\ 0& -S_{{\mathrm{\θ}}_x}& C_{{\mathrm{\θ}}_x}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_m=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+{\mathrm{\ω}}_{bx}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}\\ -{\mathrm{\ω}}_{bx}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+{\mathrm{\ω}}_{by}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z+{\mathrm{\ω}}_{bz})S_{{\mathrm{\θ}}_x}\\ {\mathrm{\ω}}_{bx}{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}-{\mathrm{\ω}}_{by}{\mathrm{sin\θ}}_x{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z+{\mathrm{\ω}}_{bz})C_{{\mathrm{\θ}}_x}\end{array}\right]---\left(2\right)$

在转子体坐标系Ox_ry_rz_r下，转子在惯性空间的转动角速度ω_r如公式(3)所示：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_r=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{rx}\\ {\mathrm{\ω}}_{ry}\\ {\mathrm{\ω}}_{rz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}& 0& -S_{{\mathrm{\θ}}_y}\\ 0& 1& 0\\ S_{{\mathrm{\θ}}_y}& 0& C_{{\mathrm{\θ}}_y}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_g\\ =\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\mathrm{\ω}}_{bz}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}+(C_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{bx}+(C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{by}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+{\mathrm{\ω}}_{bz}{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}-C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}{\mathrm{\ω}}_{bx}+C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}{\mathrm{\ω}}_{by}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}+{\mathrm{\ω}}_{bz}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}+(S_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{bx}+(S_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}){\mathrm{\ω}}_{by}\end{array}\right]\end{array}---\left(3\right).$

3.根据权利要求2基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，其特征在于，所述的步骤二建立陀螺飞轮系统的动力学方程按照以下步骤实现：

步骤二一、构建陀螺飞轮系统的能量方程；

陀螺飞轮系统的动能T由电机轴、平衡环及转子三部分转动动能组成，如公式(4)动能T的广义速度二次型表示为：

$T=\frac{1}{2}(\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{mi}{\mathrm{\ω}}_{mi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{gi}{\mathrm{\ω}}_{gi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{ri}{\mathrm{\ω}}_{ri}^2)---\left(4\right)$

其中，I_mi,I_gi,I_ri分别表示为电机轴，平衡环及转子在惯性主轴上的转动惯量，i＝x,y,z；

陀螺飞轮系统的势能V由陀螺飞轮系统内、外两挠性轴的弹性形变引起，如公式(5)所示：

$V=(K_x{\mathrm{\θ}}_x^2+K_y{\mathrm{\θ}}_y^2)---\left(5\right)$

其中，K_x,K_y分别表示内、外挠性轴的抗扭刚度；

陀螺飞轮系统的拉格朗日函数L即能量方程如公式(6)所示：

$L=T-V=\frac{1}{2}(\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{mi}{\mathrm{\ω}}_{mi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{gi}{\mathrm{\ω}}_{gi}^2+\underset{i=x,y,z}{\Σ}{I}_{ri}{\mathrm{\ω}}_{ri}^2)-(K_x{\mathrm{\θ}}_x^2+K_y{\mathrm{\θ}}_y^2)---\left(6\right)$

步骤二二、利用第二类拉格朗日法，建立陀螺飞轮系统的动力学方程；

陀螺飞轮系统的拉格朗日方程，如公式(7)所示：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x}\right)-\frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\θ}}_x}=T_{gx}-2c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y}\right)-\frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\θ}}_y}=T_{gy}-2c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y---\left(7\right)$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z}\right)-\frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\θ}}_z}=T_{gz}+T_{fz}$

其中，T_gx,T_gy,T_gz分别表示广义控制力矩分别在内、外挠性轴及电机轴方向的投影；

c_x,c_y分别表示内、外两对挠性轴的阻尼系数；T_fz为电机轴轴承产生的摩擦力矩；

由于公式(7)中第三式摩擦力矩T_fz的难以精确辨识，且公式(7)中第三式所表征的电机轴运动与公式(7)中第一式、第二式分别表征的转子沿两径向轴运动之间耦合微弱，仅需考虑公式(7)第一式、第二式进行动力学建模，将公式(6)拉格朗日函数带入至公式(7)第一式、第二式，得到陀螺飞轮系统动力学方程如公式(8)所示：

$\begin{array}{c}{I}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x+C_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+K_x{\mathrm{\θ}}_x=T_{gx}+F_{nlx}+M_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+M_2{\mathrm{\ω}}_{by}+M_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+M_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}+M_5{\mathrm{\ω}}_{bx}^2+M_6{\mathrm{\ω}}_{by}^2+M_7{\mathrm{\ω}}_{bx}{\mathrm{\ω}}_{by}\\ I_{ry}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+C_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+K_y{\mathrm{\θ}}_y=T_{gy}+F_{nly}+N_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+N_2{\mathrm{\ω}}_{by}+N_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+N_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}+N_5{\mathrm{\ω}}_{bx}^2+N_6{\mathrm{\ω}}_{by}^2+N_7{\mathrm{\ω}}_{bx}{\mathrm{\ω}}_{by}\end{array}---\left(8\right)$ 其中，

$\begin{array}{c}{F}_{nlx}=-\frac{1}{2}{I}_2\sin 2{\mathrm{\θ}}_x\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z^2-\[(I_{rz}-I_{rx})\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-\[(I_{rz}-I_{rx})\cos 2{\mathrm{\θ}}_y-I_{ry}\]{\mathrm{cos\θ}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z-\\ \frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right){\mathrm{cos\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\·{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$\begin{array}{c}{F}_{nly}=-\[\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\cos }^2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z^2+\[\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx})\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2+\\ \[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)\cos 2{\mathrm{\θ}}_y-I_{ry}\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z{\mathrm{cos\θ}}_x-I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x\·{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_1=\[(I_{rx}-I_{rz}){\mathrm{sin\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+I_1{\mathrm{sin\θ}}_z+I_2\cos 2{\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\\ -\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)-I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_2=-\[(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{sin\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z+I_1{\mathrm{cos\θ}}_z+I_2\cos 2{\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\\ -\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z-{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}$

$M_3=-I_1{\mathrm{cos\θ}}_z-\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{sin\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z$

$M_4=-I_1{\mathrm{sin\θ}}_z+\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{sin\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z$

$M_5=\frac{1}{2}{I}_2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_{z}sin2{\mathrm{\θ}}_x+\frac{1}{4}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z$

$M_6=\frac{1}{2}{I}_2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_{z}sin2{\mathrm{\θ}}_x-\frac{1}{4}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z$

$M_7=-\frac{1}{2}{I}_{2}sin2{\mathrm{\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_z-\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx}){\mathrm{cos\θ}}_{x}sin2{\mathrm{\θ}}_{y}cos2{\mathrm{\θ}}_z$

$\begin{array}{c}{N}_1=+\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)-I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ +\[(I_{rz}-I_{rx})({\mathrm{cos\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z-\frac{1}{2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{cos\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$\begin{array}{c}{N}_2=+\[(I_{rz}-I_{rx})(\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z-{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{sin\θ}}_x{\mathrm{cos\θ}}_z\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ +\[(I_{rz}-I_{rx})(\frac{1}{2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{cos\θ}}_z+{\mathrm{cos\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\θ}}_z)+I_{ry}{\mathrm{cos\θ}}_x{\mathrm{sin\θ}}_z\]{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

N₃＝I_rycosθ_xsinθ_zN₄＝-I_rycosθ_xcosθ_z

$N_5=+\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx})\[{\mathrm{sin\θ}}_{x}cos2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z+sin2{\mathrm{\θ}}_y({\cos }^2{\mathrm{\θ}}_z-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_x{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_z)\]$

$N_6=-\frac{1}{2}(I_{rz}-I_{rx})\[{\mathrm{sin\θ}}_{x}cos2{\mathrm{\θ}}_{y}sin2{\mathrm{\θ}}_z-sin2{\mathrm{\θ}}_y({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_z-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_x{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_z)\].$

$N_7=+\[(I_{rz}-I_{rx})(\frac{1}{2}{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_x\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\sin 2{\mathrm{\θ}}_z-{\mathrm{sin\θ}}_x\cos 2{\mathrm{\θ}}_y\cos 2{\mathrm{\θ}}_z+\frac{1}{2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_y\sin 2{\mathrm{\θ}}_z)\]$

I₁＝I_gx+I_rxcos²θ_y+I_rzsin²θ_yI₂＝I_gz-I_gy-I_ry+I_rxsin²θ_y+I_rzcos²θ_y；

其中，设定动力学方程中航天器z轴方向的角速率ω_bz＝0，外部控制力矩T_gx,T_gy分别表示为：

$\begin{array}{c}{T}_{gx}=C_{{\mathrm{\θ}}_z}{k}_{ty}{i}_y+S_{{\mathrm{\θ}}_z}{k}_{tx}{i}_x\\ T_{gy}=-S_{{\mathrm{\θ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{k}_{ty}{i}_y+C_{{\mathrm{\θ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{k}_{tx}\stackrel{\·}{i_x}\end{array}---\left(9\right)$

其中，k_tx,k_ty均表示二维力矩器的标度因数；i_x,i_y均表示二维力矩器的电流。

4.根据权利要求3基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，其特征在于，所述的步骤三建立传感器不可测量量与传感器可测量量之间的关系按照以下步骤实现：

步骤三一、建立传感器不可测量量θ_x,θ_y与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z之间的关系；

设定一组壳体参考坐标系：Ox₁y₁z₁,Ox₂y₂z₂,Ox₃y₃z₃,Ox₄y₄z₄及壳体参考坐标φ_x,φ_y,φ_z，φ_x,φ_y,φ_z为在壳体体坐标系Ox_cy_cz_c中转子相对壳体沿三轴的转动角；其中，坐标系Ox₁y₁z₁，Ox₄y₄z₄分别与壳体体坐标系Ox_cy_cz_c，转子体坐标系Ox_ry_rz_r重合，壳体参考坐标系Ox₁y₁z₁,Ox₂y₂z₂,Ox₃y₃z₃,Ox₄y₄z₄各坐标系间的相对角位置关系如下：

将Ox₁y₁z₁绕x₁轴旋转φ_x，得到Ox₂y₂z₂，再将Ox₂y₂z₂绕y₂旋转φ_y，得到Ox₃y₃z₃，最终将Ox₃y₃z₃绕z₃旋转φ_z，得到Ox₄y₄z₄；

利用壳体参考坐标φ_x,φ_y,φ_z表示从电机轴输入到转子输出的完整方向余弦矩阵A'，如公式(10)所示：

$A^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}& S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}& -C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ -C_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}& -S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}+C_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}& C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ S_{{\mathrm{\φ}}_y}& -S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}& C_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}\end{array}\right]---\left(10\right)$

其中，公式(10)中的与分别表示转角φ_i的余弦值cosφ_i和正弦值sinφ_i，i＝x,y,z；利用坐标θ_x,θ_y,θ_z表示从电机轴输入到转子输出的方向余弦矩阵A，如公式(11)所示：

$A=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& -C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}\\ -C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& S_{{\mathrm{\θ}}_x}\\ S_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}& S_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}& C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}\end{array}\right)---\left(11\right)$

方向余弦矩阵A与A'均表示转子相对壳体的位置关系，得到公式(12)：

A＝A'(12)

利用建立传感器不可测量量φ_z与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z的关系，得到公式(13)：

${\mathrm{tan\φ}}_z=\frac{C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}}{C_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}}---\left(13\right)$

利用建立传感器不可测量量θ_x,θ_y与传感器可测量量φ_x,φ_y的关系，得到公式(14)：

$\begin{array}{c}{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}=C_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ S_{{\mathrm{\θ}}_y}=S_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\θ}}_z}-S_{{\mathrm{\φ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\θ}}_z}\end{array}---\left(14\right)$

步骤三二、建立传感器不可测量量与传感器可测量量φ_x,φ_y,θ_z,及其导数之间的关系；

不考虑航天器角速度ω_b，用壳体参考坐标φ_x,φ_y,φ_z表示在转子体坐标系下的转子角速度ω'_r，如下式(15)所示

${\mathrm{\ω}}_r^{\′}=\left[\begin{array}{c}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x+S_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y\\ -C_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x+C_{{\mathrm{\φ}}_z}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z+S_{{\mathrm{\φ}}_y}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x\end{array}\right]---\left(15\right)$

公式(3)的ω_r与公式(15)的ω'_r均表示在转子体坐标系下转子相对惯性空间的转动角速度，得到公式(16)：

ω_r＝ω′_r(16)

根据公式(3)、(15)、(16)，得到表达式如公式(17)及表达式如公式(18)所示：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x=\frac{1}{C_{{\mathrm{\θ}}_y}}(C_{{\mathrm{\φ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x+S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y+C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z)---\left(17\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y=C_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y-C_{{\mathrm{\φ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x=\frac{1}{C_{{\mathrm{\φ}}_y}}\[C_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-\left(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\]\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y=C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+C_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-\left(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}---\left(18\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z=S_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+C_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z-S_{{\mathrm{\φ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_x$

对公式(18)的第一式和第二式分别两边求导，得到公式(19)如下：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}& -S_{{\mathrm{\φ}}_z}\\ C_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}& C_{{\mathrm{\φ}}_z}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{C}_{{\mathrm{\φ}}_y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_x-\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_y{S}_{{\mathrm{\φ}}_y}}{C_{{\mathrm{\φ}}_y}}\[C_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y-(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\]-f_1\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_y-({\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}-S_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z-f_2\end{array}\right]---\left(19\right);$

其中，

$\begin{array}{c}{f}_1=\left(-{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+C_{{\mathrm{\φ}}_z}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y-\\ \left(C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\right){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_z+\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}-C_{{\mathrm{\φ}}_z}({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y})-\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}-C_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\end{array}\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z\end{array}$

$f_2=-\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_z{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}+S_{{\mathrm{\φ}}_z}\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\θ}}_y}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\θ}}_y}\right)-\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_{{\mathrm{\θ}}_x}{C}_{{\mathrm{\φ}}_z}-{\mathrm{\φ}}_z{S}_{{\mathrm{\θ}}_x}{S}_{{\mathrm{\φ}}_z}\right)\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z.$

5.根据权利要求4基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，其特征在于，所述的步骤四分析动力学方程中二维航天器角速率相关项的灵敏度按照以下步骤来实现：

根据陀螺飞轮系统惯量参数I_mi,I_gi,I_ri以及工作时转子倾侧角、转速的运行范围，分析动力学方程(9)中M₇ω_bxω_by及N₇ω_bxω_by每一个最大值的数量级，通过数量级的对比分析，确定M₇ω_bxω_by及N₇ω_bxω_by对动力学方程(9)的灵敏度。

6.根据权利要求5基于陀螺飞轮系统的二维航天器角速率测量方法，其特征在于，所述的步骤五基于陀螺飞轮系统测量二维航天器角速率；

在动力学方程(9)中，忽略步骤四中分析的角速率测量输出灵敏度较低相关项，得到简化后的动力学方程如公式(20)：

$\begin{array}{c}{I}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x+c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+K_x{\mathrm{\θ}}_x=T_{gx}+F_{nlx}+M_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+M_2{\mathrm{\ω}}_{by}+M_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+M_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\\ I_{ry}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+K_y{\mathrm{\θ}}_y=T_{gy}+F_{nly}+N_1{\mathrm{\ω}}_{bx}+N_2{\mathrm{\ω}}_{by}+N_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{bx}+N_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\end{array}---\left(20\right)$

针对简化后的动力学方程公式(20)，得到基于陀螺飞轮系统实现二维航天器角速率测量方程，如公式(21)所示：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{by}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{M}_3& M_4\\ N_3& N_4\end{array}\right]}^{-1}(-\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ N_1& N_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{bx}\\ {\mathrm{\ω}}_{by}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{I}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x+c_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x+K_x\mathrm{\θ}-T_{gx}-F_{nlx}\\ I_{ry}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+c_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y+K_y{\mathrm{\θ}}_y-T_{gy}-F_{nly}\end{array}\right])---\left(21\right)$

公式(21)中右侧的不可用传感器测量的相关变量θ_x,θ_y,利用步骤三中传感器可测量的表达式公式(12)、(13)、(14)及(17)、(18)、(19)，基于测量方程(21)实现二维航天器的角速率的测量。