CN101067628B - 无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种测量误差校正方法，具体是一种无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法。解决了现有无陀螺加速度计阵列安装误差修正方案不完善的问题，该矢量修正方法逐一补偿安装位置误差和安装方位误差，实现对加速度计阵列安装误差的补偿，与现有技术相比，计算量小，结果精确，补偿后可使数据精度提高至少1个数量级。

Description

无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法

技术领域

本发明涉及一种测量误差校正方法，具体是一种无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法。

背景技术

在惯性系统中，惯性仪表在安装时总会存在误差，如果安装误差比较大，则会对系统精度有较大的影响。在捷联惯性系统中，由于工作环境比较恶劣，更有必要对惯性仪表的安装误差进行补偿，因此为进一步提高惯性系统的精度，研究惯性仪表安装误差的修正方法十分必要。所述安装误差包括安装位置误差和安装方位误差，因此加速度计测得的数据应进行安装误差补偿，而后再解算姿态参数。但是目前现有的无陀螺惯性测量组合加速度计安装误差修正方案仍不完善，还处于理论研究阶段。

发明内容

本发明为了解决现有无陀螺加速度计阵列安装误差修正方案不完善的问题，提供了一种无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法。

本发明是采用如下技术方案实现的：无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法，设加速度计阵列中任意一组-加速度计组j，安装方位误差和安装位置误差皆未补偿时加速度计组j的输出比力为

安装方位误差未补偿时加速度计组j的输出比力为

加速度组j的理论输出比力为A_j；加速度计组j中，敏感方向为x方向的加速度计为xj，敏感方向为y方向的加速度计yj，敏感方向为z方向的加速度计为zj；

则有加速度计组j的输出比力

A_j的关系式：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]+{\left(C_a^e\right)}^T\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{zj}}{\·\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]---\left(1\right)$

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}\\ A_{\mathrm{yj}}\\ A_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，θ_j为加速度计的理论方位，ΔA_j为载体系中加速度计输出比力位置误差项，和

为加速度计组j的过渡矩阵；

${\mathrm{\ΔA}}_j={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\Δu}}_j+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\Δu}}_j---\left(3\right),$

Δu_j＝u_rj-u_j；

Δu_j：安装位置误差；

u_rj：实际安装位置；

u_j：理论安装位置；

ω_ib：角速度；

角加速度； ${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ib}}=[{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ibx}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{iby}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ibz}}]$

所述测加速度计实际安装位置u_rj、角速度ω_ib、角加速度

的方法：将无陀螺加速度计阵列安装于三轴转台内框上，1)、归零，使载体坐标系(非正交坐标系)的X_a，Y_a，Z_a分别与导航系(正交坐标系)的X_e，Y_e，Z_e一致(如图3)，R为无陀螺加速度计阵列质心距导航系原点的距离；2)、中框以位置方式转动α角(如图4)；3)、内框以位置方式转动β角(如图5)，R₁为无陀螺加速度计阵列按照步骤3转动后其质心距Y_n轴的距离；4)、外框以角速度ω匀速转动(如图6)，以使无陀螺加速度计阵列受重力和向心力的双重影响；

在重力和向心力的作用下，可得：

$R_e=\left[\begin{array}{c}R\·\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\\ -R\·\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\\ R\·\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$R_1=\sqrt{{R_{\mathrm{ex}}}^2+{R_{\mathrm{ez}}}^2}$

$f^b=C_e^a(\stackrel{\·\·}{R}-g_e)$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ g_e\\ {-R}_1{\mathrm{\ω}}^2\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

$={\left[\begin{array}{ccc}{g}_e\sin \mathrm{\α}& g_e\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\sin \mathrm{\β}& -g_e\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]}^T$

f^b：加速度计阵列质心视加速度

g_e＝[0；-9.8；0]

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}=C_e^a\left[\begin{array}{ccc}0& \mathrm{\ω}& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\ω}\\ 0\end{array}\right]---\left(6\right)$

$={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\ω}\sin \mathrm{\α}& \mathrm{\ω}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\mathrm{\ω}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]}^T$

式(4)、(5)、(6)中，R，α，β均为已知条件，改变不同的α，β和ω，采集多组数据，得加速度计实际安装位置值：

$u_{\mathrm{rj}}={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(1\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(1\right)}\×]\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(2\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(2\right)}\×]\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(3\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(3\right)}\×]\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{c}{A}_j^{**\left(1\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(1\right)}\\ A_j^{**\left(2\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(2\right)}\\ A_j^{**\left(3\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(3\right)}\end{array}\right]---\left(7\right),$

θ_rj：实际安装方位

由于理论位置u_j已知，根据Δu_j＝u_rj-u_j，可得式(3)中安装位置误差Δu_j，并将相关数据带入式(3)中，即可得到载体系中加速度计输出比力位置误差项ΔA_j；

所述加速度计组j的过渡矩阵

和由如下方法得到：

载体系-a系(非正交坐标系)中的坐标轴可以通过转动导航系-e系(正交坐标系)中的两个坐标轴得到，在此选用转动次序为：X_a轴首先绕Y_e轴正向转动θ_xy角，再绕Z_e轴转动θ_xz角来实现；或Y_a轴首先绕Z_e轴正向转动θ_yz角，再绕X_e轴转动θ_yx角来实现；或Z_a轴首先绕X_e轴正向转动θ_zx角，再绕Y_e轴转动θ_zy角来实现，所述转动方法符合右手定则；

按上述转动方法，对于加速度计组j的理论敏感方向为x轴的加速度计xj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xxj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yxj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zxj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}={\tan }^{-1}({-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zxj}}/{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xxj}})$

θ_xz＝sin^-1(θ_yxj)

对于加速度计组j的理论敏感方向为y轴的加速度计yj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xyj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yyj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zyj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}={\sin }^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zyj}}\right)$

θ_yz＝tan^-1(-θ_xyj/θ_yyj)

对于加速度计组j的理论敏感方向为z轴的加速度计zj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xzj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yzj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zzj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 0& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}={\sin }^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xzj}}\right)$

θ_zx＝tan^-1(-θ_yzj/θ_zzj)

计算得到加速度计组j中各加速度计的变换角度，从而得到反映载体系与导航系之间变换关系的过渡矩阵

和

$C_a^e\≈\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ΔC}}_a^e=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 0\end{array}\right],$ ${\left(C_a^e\right)}^T\≈\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right],$

而 ${\left(C_a^e\right)}^{*}=I-{\left({\mathrm{\ΔC}}_a^e\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right];$

将相关参数带入式(1)，得：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]-{\left(C_a^e\right)}^T\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{zj}}{\·\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{zj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right],$ 即将安装位置误差补偿掉；

然后，由式(2) $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}\\ A_{\mathrm{yj}}\\ A_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right],$ 将安装方位误差补偿掉，最终得出加速度计组j的理论输出比力A_j。

与现有技术相比，本发明所述加速度计阵列的安装误差补偿同时基于加速度计安装方位误差和安装位置误差，计算量小，结果精确，补偿后可使数据精度提高至少1个数量级。

附图说明

图1为9加速度计阵列分组示意图；

图2为由导航系得到载体系的各个轴向变换规则示意图；

图3为确定加速度计实际安装位置时的步骤1的示意图；

图4为确定加速度计实际安装位置时的步骤2的示意图；

图5为确定加速度计实际安装位置时的步骤3的示意图；

图6为确定加速度计实际安装位置时的步骤4的示意图；

具体实施方式

以9加速度计阵列为例，将9个加速度计分为3组，加速度计a，b，f为一组，加速度计c，d，h为一组，加速度计e，g，i为一组，如图1所示。在加速度计立方体阵列中，理想情况下加速度计组a，b，f、c，d，h、e，g，i的敏感方向正交，但实际安装中不能实现，因而加速度计组a，b，f、c，d，h、e，g，i的实际敏感方向非正交，为非正交坐标系a系。

无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法，设加速度计阵列中任意一组-加速度计组j，安装方位误差和安装位置误差皆未补偿时加速度计组j的输出比力为

安装方位误差未补偿时加速度计组j的输出比力为

加速度组j的理论输出比力为A_j；加速度计组j中，敏感方向为x方向的加速度计为xj，敏感方向为y方向的加速度计yj，敏感方向为z方向的加速度计为zj；

则有加速度计组j的输出比力

A_j的关系式：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]+{\left(C_a^e\right)}^T\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{zj}}{\·\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]---\left(1\right)$

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}\\ A_{\mathrm{yj}}\\ A_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，θ_j为加速度计的理论方位，ΔA_j为载体系中加速度计输出比力位置误差项，

和

为加速度计组j的过渡矩阵；

${\mathrm{\ΔA}}_j={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\Δu}}_j+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\Δu}}_j---\left(3\right),$

Δu_j＝u_rj-u_j；

Δu_j：安装位置误差；

u_rj：实际安装位置；

u_j：理论安装位置；

ω_ib：角速度；

角加速度； ${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ib}}=[{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ibx}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{iby}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ibz}}]$

所述测加速度计实际安装位置u_rj、角速度ω_ib、角加速度

的方法：将无陀螺加速度计阵列安装于三轴转台内框上，1)、归零，使载体坐标系(非正交坐标系)的X_a，Y_a，Z_a分别与导航系(正交坐标系)的X_e，Y_e，Z_e一致(如图3)，R为无陀螺加速度计阵列质心距导航系原点的距离；2)、中框以位置方式转动α角(如图4)；3)、内框以位置方式转动β角(如图5)，R₁为无陀螺加速度计阵列按照步骤3转动后其质心距Y_n轴的距离；4)、外框以角速度ω匀速转动(如图6)，以使无陀螺加速度计阵列受重力和向心力的双重影响；

在重力和向心力的作用下，可得：

$R_e=\left[\begin{array}{c}R\·\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\\ -R\·\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\\ R\·\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$R_1=\sqrt{{R_{\mathrm{ex}}}^2+{R_{\mathrm{ez}}}^2}$

$f^b=C_e^a(\stackrel{\·\·}{R}-g_e)$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ g_e\\ {-R}_1{\mathrm{\ω}}^2\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

$={\left[\begin{array}{ccc}{g}_e\sin \mathrm{\α}& g_e\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\sin \mathrm{\β}& -g_e\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]}^T$

f^b：加速度计阵列质心视加速度

g_e＝[0；-9.8；0]

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}=C_e^a\left[\begin{array}{ccc}0& \mathrm{\ω}& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\ω}\\ 0\end{array}\right]---\left(6\right)$

$={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\ω}\sin \mathrm{\α}& \mathrm{\ω}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\mathrm{\ω}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]}^T$

式(4)、(5)、(6)中，R，α，β均为已知条件，改变不同的α，β和ω，采集多组数据，得加速度计实际安装位置值：

$u_{\mathrm{rj}}={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(1\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(1\right)}\×]\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(2\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(2\right)}\×]\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(3\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(3\right)}\×]\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{c}{A}_j^{**\left(1\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(1\right)}\\ A_j^{**\left(2\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(2\right)}\\ A_j^{**\left(3\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(3\right)}\end{array}\right]---\left(7\right),$

θ_rj：实际安装方位

由于理论位置u_j已知，根据Δu_j＝u_rj-u_j，可得式(3)中安装位置误差Δu_j，并将相关数据带入式(3)中，即可得到载体系中加速度计输出比力位置误差项ΔA_j；

所述加速度计组j的过渡矩阵

和

由如下方法得到：

载体系-a系(非正交坐标系)中的坐标轴可以通过转动导航系-e系(正交坐标系)中的两个坐标轴得到，在此选用转动次序为：X_a轴首先绕Y_e轴正向转动θ_xy角，再绕Z_e轴转动θ_xz角来实现；或Y_a轴首先绕Z_e轴正向转动θ_yz角，再绕X_e轴转动θ_yx角来实现；或Z_a轴首先绕X_e轴正向转动θ_zx角，再绕Y_e轴转动θ_zy角来实现，所述转动方法符合右手定则；

按上述转动方法，对于加速度计组j的理论敏感方向为x轴的加速度计xj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xxj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yxj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zxj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}={\tan }^{-1}({-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zxj}}/{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xxj}})$

θ_xz＝sin^-1(θ_yxj)

对于加速度计组j的理论敏感方向为y轴的加速度计yj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xyj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yyj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zyj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}={\sin }^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zyj}}\right)$

θ_yz＝tan^-1(-θ_xyj/θ_yyj)

对于加速度计组j的理论敏感方向为z轴的加速度计zj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xzj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yzj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zzj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 0& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}={\sin }^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xzj}}\right)$

θ_zx＝tan^-1(-θ_yzj/θ_zzj)

计算得到加速度计组j中各加速度计的变换角度，从而得到反映载体系与导航系之间变换关系的过渡矩阵和

$C_a^e\≈\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ΔC}}_a^e=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 0\end{array}\right],$ ${\left(C_a^e\right)}^T\≈\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right],$

而 ${\left(C_a^e\right)}^{*}=I-{\left({\mathrm{\ΔC}}_a^e\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right];$

将相关参数带入式(1)，得：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]-{\left(C_a^e\right)}^T\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{zj}}{\·\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ {\mathrm{\ΔA}}_{\mathrm{zj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right],$ 即将安装位置误差补偿掉，得：

$\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_b^{**}\\ A_f^{**}\\ A_a^{**}\end{array}\right]-{\left(C_a^e\right)}^T\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_b\·{\mathrm{\θ}}_b\\ {\mathrm{\ΔA}}_f\·{\mathrm{\θ}}_f\\ {\mathrm{\ΔA}}_a{\·\mathrm{\θ}}_a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_b^{**}\\ A_f^{**}\\ A_a^{**}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\α}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\α}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\α}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\α}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_b\·{\mathrm{\θ}}_b\\ {\mathrm{\ΔA}}_f\·{\mathrm{\θ}}_f\\ {\mathrm{\ΔA}}_a\·{\mathrm{\θ}}_a\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{A}_d^{*}\\ A_h^{*}\\ A_c^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_d^{**}\\ A_h^{**}\\ A_c^{**}\end{array}\right]-{\left(C_a^e\right)}^T\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_d\·{\mathrm{\θ}}_d\\ {\mathrm{\ΔA}}_h\·{\mathrm{\θ}}_h\\ {\mathrm{\ΔA}}_c{\·\mathrm{\θ}}_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_d^{**}\\ A_h^{**}\\ A_c^{**}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\β}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\β}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\β}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_d\·{\mathrm{\θ}}_d\\ {\mathrm{\ΔA}}_h\·{\mathrm{\θ}}_h\\ {\mathrm{\ΔA}}_c\·{\mathrm{\θ}}_c\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{A}_g^{*}\\ A_i^{*}\\ A_e^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_g^{**}\\ A_i^{**}\\ A_e^{**}\end{array}\right]-{\left(C_a^e\right)}^T\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_g\·{\mathrm{\θ}}_g\\ {\mathrm{\ΔA}}_i\·{\mathrm{\θ}}_i\\ {\mathrm{\ΔA}}_e{\·\mathrm{\θ}}_e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_g^{**}\\ A_i^{**}\\ A_e^{**}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xz}}& {-\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}\\ {-\mathrm{\γ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔA}}_g\·{\mathrm{\θ}}_g\\ {\mathrm{\ΔA}}_i\·{\mathrm{\θ}}_i\\ {\mathrm{\ΔA}}_e\·{\mathrm{\θ}}_e\end{array}\right]$

然后，由式(2) $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}\\ A_{\mathrm{yj}}\\ A_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {-\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right],$ 将安装方位误差补偿掉，最终得出加速度计组j的理论输出比力A_j：

$\left[\begin{array}{c}{A}_b\\ A_f\\ A_a\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\α}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\α}}_{\mathrm{yz}}& 1& {-\mathrm{\α}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\α}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{A}_d\\ A_h\\ A_c\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\β}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{yz}}& 1& {-\mathrm{\β}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\β}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{A}_g\\ A_i\\ A_e\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {-\mathrm{\γ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_b^{*}\\ A_f^{*}\\ A_a^{*}\end{array}\right].$

Claims (1)

1.一种无陀螺加速度计阵列安装误差的矢量修正方法，其特征在于设加速度计阵列中任意一组—加速度计组j，安装方位误差和安装位置误差皆未补偿时加速度计组j的输出比力为

安装方位误差未补偿时加速度计组j的输出比力为

加速度计组j的理论输出比力为A_j；加速度计组j中，敏感方向为x方向的加速度计为xj，敏感方向为y方向的加速度计yj，敏感方向为z方向的加速度计为zj；

则有加速度计组j的输出比力

A_j的关系式：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]+{\left(C_a^e\right)}^T\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ \mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ \mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{zj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]---\left(1\right)$

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}\\ A_{\mathrm{yj}}\\ A_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，θ_j为加速度计的理论方位，ΔA_j为载体系中加速度计输出比力位置误差项，

和

为加速度计组j的过渡矩阵；

$\mathrm{\Δ}{A}_j={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}\×{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}\×\mathrm{\Δ}{u}_j+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ib}}\×\mathrm{\Δ}{u}_j---\left(3\right),$

Δu_j＝u_rj-u_j；

Δu_j：安装位置误差；

u_rj：实际安装位置；

u_j：理论安装位置；

ω_ib：角速度；

：角加速度； ${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ib}}=[{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ibx}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{iby}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ibz}}]$

测加速度计实际安装位置u_fj、角速度ω_ib、角加速度

的方法：将无陀螺加速度计阵列安装于三轴转台内框上，1)、归零，使载体系的X_a，Y_a，Z_a分别与导航系的X_e，Y_e，Z_e一致，R为无陀螺加速度计阵列质心距导航系原点的距离；2)、中框以位置方式转动α角；3)、内框以位置方式转动β角，R₁为无陀螺加速度计阵列按照步骤3)转动后其质心距Y_n轴的距离；4)、外框以角速度ω匀速转动，以使无陀螺加速度计阵列受重力和向心力的双重影响；

在重力和向心力的作用下，可得：

$R_e=\left[\begin{array}{c}R\·\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\\ -R\·\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\\ R\·\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$R_1=\sqrt{{R_{\mathrm{ex}}}^2+{R_{\mathrm{ez}}}^2}$

$f^b=C_e^a(\stackrel{\·\·}{R}-g_e)$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ g_e\\ -R_1{\mathrm{\ω}}^2\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

$={\left[\begin{array}{ccc}{g}_e\sin \mathrm{\α}& g_e\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\sin \mathrm{\β}& -g_e\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-R_1{\mathrm{\ω}}^2\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]}^T$

f^b：加速度计阵列质心视加速度

g_e＝[0；-9.8；0]

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}=C_e^a\left[\begin{array}{ccc}0& \mathrm{\ω}& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\ωt}\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\ω}\\ 0\end{array}\right]---\left(6\right)$

$={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\ω}\sin \mathrm{\α}& \mathrm{\ω}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\mathrm{\ω}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]}^T$

式(4)、(5)、(6)中，R，α，β均为已知条件，改变不同的α，β和ω，采集多组数据，得加速度计实际安装位置值：

$u_{\mathrm{rj}}={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(1\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(1\right)}\×]\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(2\right)}\×][{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(2\right)}\×]\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{[\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(3\right)}\×\left]\right[{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^{\left(3\right)}\×]\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{A}_j^{**\left(1\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(1\right)}\\ A_j^{**\left(2\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(2\right)}\\ A_j^{**\left(3\right)}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{rj}}^T{f}^{b\left(3\right)}\end{array}\right]---\left(7\right),$

θ_rj：实际安装方位

由于理论位置u_j已知，根据Δu_j＝u_rj-u_j，可得式(3)中安装位置误差Δu_j，并将相关数据带入式(3)中，即可得到载体系中加速度计输出比力位置误差项ΔA_j；

所述加速度计组j的过渡矩阵和

由如下方法得到：

载体系—a系中的坐标轴可以通过转动导航系—e系中的两个坐标轴得到，在此选用转动次序为：X_a轴首先绕Y_e轴正向转动θ_xy角，再绕Z_e轴转动θ_xz角来实现；或Y_a轴首先绕Z_e轴正向转动θ_yz角，再绕X_e轴转动θ_yx角来实现；或Z_a轴首先绕X_e轴正向转动θ_zx角，再绕Y_e轴转动θ_zy角来实现，所述转动方法符合右手定则；

按上述转动方法，对于加速度计组j的理论敏感方向为x轴的加速度计xj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xxj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yxj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zxj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& 0\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}={\tan }^{-1}(-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zxj}}/{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xxj}})$

θ_xz＝sin^-1(θ_yxj)

对于加速度计组j的理论敏感方向为y轴的加速度计yj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xyj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yyj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zyj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}={\sin }^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zyj}}\right)$

θ_yz＝tan^-1(-θ_xyj/θ_yyj)

对于加速度计组j的理论敏感方向为z轴的加速度计zj有：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xzj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yzj}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zzj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 1& -\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\⇒{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}={\sin }^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xzj}}\right)$

θ_zx＝tan^-1(-θ_yzj/θ_zzj)

计算得到加速度计组j中各加速度计的变换角度，从而得到反映载体系与导航系之间变换关系的过渡矩阵

和

$C_a^e\≈\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 1\end{array}\right],$ $\mathrm{\Δ}{C}_a^e=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& 0& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}& 0\end{array}\right],$ ${\left(C_a^e\right)}^T\≈\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right],$

而 ${\left(C_a^e\right)}^{*}=I-{\left({\mathrm{\ΔC}}_a^e\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right];$

将相关参数带入式(1)，得：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]-{\left(C_a^e\right)}^T\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ \mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ \mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{zj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{**}\\ A_{\mathrm{yj}}^{**}\\ A_{\mathrm{zj}}^{**}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{xj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xj}}\\ \mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{yj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yj}}\\ \mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{zj}}\·{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zj}}\end{array}\right],$ 即将安装位置误差补偿掉；

然后，由式(2) $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}\\ A_{\mathrm{yj}}\\ A_{\mathrm{zj}}\end{array}\right]={\left(C_a^e\right)}^{*}\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yz}}& 1& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{zx}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{xj}}^{*}\\ A_{\mathrm{yj}}^{*}\\ A_{\mathrm{zj}}^{*}\end{array}\right],$ 将安装方位误差补偿掉，最终得出加速度计组j的理论输出比力A_j。

Images