CN106940194B - 一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法。其步骤为：(1)建立复杂构型球形包络转子高转速工作状态下转子离心变形解析模型；(2)将转子离心变形模型改写为勒让德级数形式；(3)建立转子离心变形导致的干扰力矩数学模型；(4)根据在线测量的转子转速和所建数学模型实时计算转子离心变形干扰力矩；(5)将离心变形干扰力矩计算结果带入陀螺测量方程；(6)实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果，实现对转子离心变形导致角速度测量误差的实时在线补偿。本发明属于计算机辅助设计与精密仪器制造领域，可应用于高精度陀螺转子离心变形误差补偿，提升陀螺测量精度。

Description

一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法

技术领域

本发明涉及一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法，适用于复杂构型圆包络面转子高速旋转时的离心变形误差补偿，特别是悬浮球形转子类高精度陀螺转子高速旋转离心变形干扰力矩的补偿。

技术背景

超导磁悬浮陀螺、静电悬浮陀螺是目前国际公认精度最高的两种惯性元件，其精度已经分别达到了10^-11°/小时和10^-6°/小时。为了尽可能提高陀螺的测量精度，上述陀螺均采用了非接触式的转子悬浮技术，其悬浮转子均为球面包络空心结构。这种球面转子悬浮类陀螺的转子在高速旋转时所产生的离心变形，是动态条件下导致转子非球形误差，进而产生漂移误差、影响陀螺测量精度的主要因素。要进一步提高该类陀螺的精度，就必须根据陀螺转子的变形特性，采用各种设计或补偿方法，补偿转子在工作状态下的离心变形，保证其在工作状态下的球形度。但是由于球面悬浮转子工作状态下转动速度高，工作环境特殊(真空腔中或稳流气腔内)，因此无法实现其离心变形的在线测量。同时，由于转子的离心变形与转速密切相关，因此，一方面，现有的离线测量手段难以实现转子的理想工作条件，另一方面，低速条件下的离线测量结果对工作状态下的变形补偿意义有限。难度大，无法实现补偿。

目前对球形转子离心变形分析较多的，主要集中于静电悬浮陀螺和超导悬浮陀螺，但是对复杂构形的陀螺转子的离心变形机理分析，以及转子离心变形导致干扰力矩的可行补偿方法研究，目前尚未见到相关文献报道。论文《Deformation analysis andoptimization on hollow spherical rotor in elec- trostactically suspendedgyroscope》和《超导空心球形转子变形分析》中分别涉及了静电悬浮陀螺和超导磁悬浮陀螺空心球形转子的变形分析。前者采用有限元仿真的方法，分析了静电陀螺空心球形转子在不同工作环境下的静态变形、离心变形与温度变形，并定性提出，可利用离心变形在工作状态下的变形特点减小和补偿离心变形，使其变为近似圆球，以减小转子动态非球形误差，因此将转子表面加工成长球形，是提高静电陀螺精度的重要途径。后者所涉及的球形转子因为结构上存在上半圆端面，因而实际上是一种不完全球形，文章采用Ansys软件仿真表明了该结构与理想球壳结构转子离心变形存在较大的不一致性。两篇文献均从仿真角度分析了转子的离心变形，并没有提出可行的通用离心变形补偿方法，仍然不能实现对转子离心变形的有效补偿。

新型的磁悬浮敏感陀螺转子结构复杂，其结构为两个不同半径的实心球缺拼接而成，球缺本体又有较复杂的结构槽，因此，其在工作状态下的离心变形不能用专著《静电陀螺动力学》中的理想球形变形理论进行描述，转子离心变形补偿问题更为复杂。专利《一种基于逆场力加载的复杂外形高速旋转转子离心变形的补偿方法(201510565912.8)》将转子高速旋转时所受的离心力等效为圆柱形梯度场力，并运用逆力场加载的方法，得到理想转子在静态条件下的结构参数，从而实现了转子以理想外形在工作状态下运行。但这种方法仅从机械结构方面实现了定速工作下的离心变形误差补偿，在非工作转速条件下，误差依然没有得到补偿。本发明通过对转子离心变形的理论分析，构建了勒让德级数形式的转子变形理论模型，并依此为基础建立了转子在离心变形条件下干扰力矩的实时在线测量方法，与磁悬浮敏感陀螺测量方程相结合，可实时在线准确、方便的补偿了转子在不同转速条件下的离心变形误差，提高磁悬浮敏感陀螺角速度测量精度。

发明内容

本发明的技术解决问题是：提供了一种实时在线准确、方便的转子离心变形误差补偿方法，实现了转子任意转速下离心变形误差的高精度补偿。该方法通过对转子离心变形的理论分析，获得转子变形的勒让德级数表达式，并在此基础上，获得了转子离心变形导致的干扰力矩模型。利用系统实时测量的转子转速信息，完成了转子离心变形干扰力矩的在线计算，结合转子角速度测量方程，实现了对角速度测量结果中离心变形误差的实时在线补偿，如图1所示。

该方法不仅可以实现转子的实时在线补偿，而且可以得到离心干扰力矩的解析表达式，为陀螺的高精度高带宽的姿态角速率测量和干扰力矩的测量计算提供了一种全新的技术途径。

本发明的技术解决方案是：通过对复杂构型球包络面磁悬浮转子离心变形的理论分析，建立基于勒让德级数的离心变形解析表达式，进而计算得到离心变形导致的干扰力矩。利用实时测量的转子转速值，实现对陀螺测量方程中干扰力矩的实时在线补偿，提高陀螺角速度测量精度，具体包括以下步骤：

(1)建立复杂构型球形包络转子高转速工作状态下转子离心变形解析模型，图2为所示磁悬浮敏感陀螺结构剖面图，图3为所述复杂构型球形包络转子结构示意图；

如图4建立以转子球心为原点的球面坐标系，球面转子表面上一点P处，沿θ、φ、r方向的线应变ε_θ、ε_φ、ε_r与位移分量之间的几何关系按照下式计算确定：

式中：

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

u——P点在球面坐标系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)。

P点处应力与应变之间的关系按照下式计算确定：

式中：

σ_θ——θ方向的正应力(Pa)；

σ_φ——φ方向的正应力(Pa)；

σ_r——r方向的正应力(Pa)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)。

以dr、dφ的定义的微元体为研究对象，如图5所示，则微元体的径向平衡条件按照下式计算确定：

N_r1-N_r2+N_φd_φ＝F_e (3)

其中，

式中：

N_r1——作用于同心圆断面外侧上的作用力(N)；

N_r2——作用于同心圆断面内侧上的作用力(N)；

N_φ——作用于子午面断面上的作用力(N)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

b——微元体厚度(m)；

Ω——转子转速(rad/s)；

σ_θ——θ方向的正应力(Pa)；

σ_φ——φ方向的正应力(Pa)；

σ_r——r方向的正应力(Pa)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

F_e——微元体中惯性力的合力(N)。

上式经简化可得

为简化分析，假设用平行于赤道面的等纬度平面将转子切割为无数薄圆盘在离心变形后，其上下端面仍保持平面。在这一假设下，不同薄圆盘之间不存在角应变，上下端面上，除正应力外，无剪应力作用。

结合(2)、(5)式可得

式中：

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

u——P点在球面坐标系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)。

该方程的解即为薄圆盘形转子的径向变形方程：

式中：

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)。

将转子视为无数个薄圆盘的叠加，在各圆盘之间只有正应力作用条件下，各圆盘之间无剪应力作用，上述计算结果向任意纬度平面处圆盘的推广按照下式计算确定：

式中：

u_ρ——任意转子纬度圆上表面径向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)。

考虑到与赤道薄圆盘相邻的半球状转子体的静平衡，在离心力的作用下，沿轴向的正应力合力应为零，从而可得

式中：

u_z——任意转子纬度圆上表面轴向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)。

根据转子变形沿r方向的投影与u_ρ和u_z的关系，可得转子的径向变形按照下式计算确定：

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

u_ρ——任意转子纬度圆上表面径向形变(m)；

u_z——任意转子纬度圆上表面轴向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

(2)将转子离心变形模型改写为勒让德级数形式；

在转子磁极包络面为近似球形旋转曲面的假设下，其外形可由勒让德多项式级数按照下式计算确定：

式中：

r₁——转子实际半径(m)；

r₁₀——回转体平均半径(m)。

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

r₁₀——回转体平均半径(m)。

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

P_n(cosθ)——勒让德多项式级数(无量纲)。

按照上式的形式，步骤(2)所述转子的径向变形按照下式计算确定：

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

图6为本发明所述磁悬浮敏感陀螺按照所述(12)计算得到的径向形变。

(3)建立转子离心变形导致的干扰力矩数学模型；

转子离心变形导致的干扰力矩数学模型，按照下式计算确定：

式中：

T——转子所受单个定子磁极作用的力矩矢量(N·m)；

μ₀——真空磁导率(4π×10^-7N/A²)；

N——定子磁极线圈匝数(无量纲)；

I——线圈电流(A)；

S——施加磁场力的定子磁极面面积(m²)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

φ——P点在球面坐标系中φ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

δ₀——转子与定子磁极之间的气隙宽度(m)；

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

P’_n(cosθ)——勒让德多项式级数的一次导数(无量纲)。

按照权利要求3所述转子径向变形的勒让德级数表达式所确定的转子定子磁极气隙变化量，按照下式计算确定：

Δδ＝ω (14)

式中：

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

ω——转子上一点在球面坐标系中r方向变形勒让德级数表述(m)。

(4)根据在线测量的转子转速和所建数学模型实时计算转子离心变形干扰力矩；

在线测量步骤(2)所述磁悬浮敏感陀螺转子的转动速度，将转动速度值代入步骤(2)所述转子径向变形模型和步骤(3)所述干扰力矩计算模型，即可实时获得步骤(2)所述转子径向变形和步骤(3)所述转子离心变形干扰力矩。

(5)将离心变形干扰力矩计算结果带入陀螺测量方程；

步骤(1)所述磁悬浮敏感陀螺的测量方程，按照下式计算确定：

式中：

ω_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向角速度(rad/s)；

ω_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)。

由于转子离心变形导致转子所受控制力矩中包含了转子变形引起的干扰力矩，要获得精确的角速度测量结果，需要将干扰力矩从原始的控制力矩中补偿掉，补偿后的角速度测量结果，可按照下式计算确定：

式中：

ω’_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向误差补偿后角速度(rad/s)；

ω’_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向误差补偿后角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

T_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

T_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)。

(6)实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果。

将步骤(4)所述在线获取的转子离心变形干扰力矩带入步骤(5)所述 (15)式，即可实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果，图7所示为本发明所述磁悬浮敏感陀螺经过离心变形误差补偿后得到的角速度测量结果，图8所示为补偿前后测量结果误差。

本发明的原理是：高速旋转的陀螺转子会发生离心变形，转子的变形将导致转子与定子之间的间隙发生变化，从而使定子对转子的作用力矩中增加了离心变形导致的干扰力矩项，降低陀螺的角速度测量精度。通过对该干扰力矩的实时计算和高精度补偿，则会消除该干扰力矩的影响，提高陀螺角速度测量精度。

如果球面磁悬浮陀螺转子磁极包络面为理想球面，且所对应球面几何中心重合，则转子稳定转动时，转子表面各处磁力均通过球心，系统无干扰力矩影响，测量结果无漂移误差产生。

对于本发明所述磁悬浮敏感陀螺的测量方程，可按照下式计算确定：

式中：

ω_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向角速度(rad/s)；

ω_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)。

当转子由于高速转动而产生离心变形时，实际的转子磁极包络面将偏离理想球面，这种偏离将使转子所受磁力不通过转子几何中心而形成对转子几何中心的力矩，这一力矩成为转子离心变形干扰力矩。

转子离心变形导致的干扰力矩数学模型，按照下式计算确定：

式中：

T——转子所受单个定子磁极作用的力矩矢量(N·m)；

μ₀——真空磁导率(4π×10^-7N/A²)；

N——定子磁极线圈匝数(无量纲)；

I——线圈电流(A)；

S——施加磁场力的定子磁极面面积(m²)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

φ——P点在球面坐标系中φ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

δ₀——转子与定子磁极之间的气隙宽度(m)；

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

P’_n(cosθ)——勒让德多项式级数的一次导数(无量纲)。

通过在线测量本发明所述磁悬浮敏感陀螺转子的转动速度，将转动速度值代入干扰力矩计算模型，即可实时获得所述转子离心变形干扰力矩。

将所示实时计算所得干扰力矩从原始的控制力矩中去除，即可按照所述陀螺测量方程进行高精度的测量角速度计算，进而可实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果。补偿后的角速度测量结果，可按照下式计算确定：

式中：

ω’_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向误差补偿后角速度(rad/s)；

ω’_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向误差补偿后角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

T_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

T_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)。

(6)实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果。

本发明与现有技术相比，优点在于：

(1)本发明通过理论分析，构建了复杂构型球面转子的离心变形公式，通过该公式，可得到高转速转子的离心变形。

(2)本发明通过构建转子离心变形导致的干扰力矩数学模型，可以实时获得高精度的磁悬浮转子离心变形干扰力矩。

(3)本发明可以实现对任意转速球包络面转子离心变形误差实时在线、准确、便捷的完全补偿，克服了静电悬浮陀螺、超导磁悬浮陀螺对转子离心变形误差无法有效补偿的不足。

(4)本发明还可以实现对各类球包络面悬浮转子离心变形误差的补偿，从而可以为一类高速转子离心变形误差的补偿提供一种通用的补偿方法。

附图说明

图1为本发明技术解决方案的实现原理框图；

图2为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺剖面图；

图3a为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子径向结构剖视图；

图3b为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子轴向球缺三维结构图；

图4为本发明技术解决方案所建立的球面坐标系；

图5为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子赤道微元体受力分析图；

图6a为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子轴向磁轴承径向变形图；

图6b为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子径向磁轴承径向变形图；

图7为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差补偿后测得的角速度结果图；

图8a为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差补偿前后x方向角速度测量误差比较图；

图8b为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差补偿前后y方向角速度测量误差比较图；

图9为本发明技术解决方案的磁悬浮敏感陀螺转子离心变形计算模型结构图；

具体实施方案

本发明的实施对象如图2所示，磁悬浮陀螺的转子由轴向和径向两个半径分别为r、R的实心球缺组合而成。其中，径向结构的球缺的外沿包含用于洛伦兹力磁轴承安装的环形槽，其剖视图如图3a 所示，轴向结构的球缺三维结构如图3b 所示，转子整体结构为具有球形包络面的复杂结构。在实际工况下，转子在高速旋转时会由于离心作用而产生较大的变形，转子包络面将偏离球形，从而引起陀螺的漂移误差，降低陀螺性能。

下面以新型磁悬浮敏感陀螺的离心变形误差补偿过程为例来阐述本发明的具体实施过程。

具体实现过程如下：

(1)建立复杂构型球形包络转子高转速工作状态下转子离心变形解析模型，图2为所示磁悬浮敏感陀螺结构剖面图，图3为所述复杂构型球形包络转子结构示意图；

如图4建立以转子球心为原点的球面坐标系，球面转子表面上一点P处，沿θ、φ、r方向的线应变ε_θ、ε_φ、ε_r与位移分量之间的几何关系按照下式计算确定：

式中：

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

u——P点在球面坐标系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)。

P点处应力与应变之间的关系按照下式计算确定：

式中：

σ_θ——θ方向的正应力(Pa)；

σ_φ——φ方向的正应力(Pa)；

σ_r——r方向的正应力(Pa)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)。

以dr、dφ定义的微元体为研究对象，如图5所示，则微元体的径向平衡条件按照下式计算确定：

N_r1-N_r2+N_φd_φ＝F_e (3)

其中，

式中：

N_r1——作用于同心圆断面外侧上的作用力(N)；

N_r2——作用于同心圆断面内侧上的作用力(N)；

N_φ——作用于子午面断面上的作用力(N)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

b——微元体厚度(m)；

Ω——转子转速(rad/s)；

σ_θ——θ方向的正应力(Pa)；

σ_φ——φ方向的正应力(Pa)；

σ_r——r方向的正应力(Pa)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

F_e——微元体中惯性力的合力(N)。

上式经简化可得

为简化分析，假设用平行于赤道面的等纬度平面将转子切割为无数薄圆盘在离心变形后，其上下端面仍保持平面。在这一假设下，不同薄圆盘之间不存在角应变，上下端面上，除正应力外，无剪应力作用。

结合(2)、(5)式可得

式中：

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

u——P点在球面坐标系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)。

该方程的解即为薄圆盘形转子的径向变形方程：

式中：

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)。

将转子视为无数个薄圆盘的叠加，在各圆盘之间只有正应力作用条件下，各圆盘之间无剪应力作用，上述计算结果向任意纬度平面处圆盘外边缘的推广按照下式计算确定：

式中：

u_ρ——任意转子纬度圆上表面径向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)。

考虑到与赤道薄圆盘相邻的半球状转子体的静平衡，在离心力的作用下，沿轴向的正应力合力应为零，从而可得

式中：

u_z——任意转子纬度圆上表面轴向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)。

根据转子变形沿r方向的投影与u_ρ和u_z的关系，可得转子的径向变形按照下式计算确定：

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

u_ρ——任意转子纬度圆上表面径向形变(m)；

u_z——任意转子纬度圆上表面轴向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

(2)将转子离心变形模型改写为勒让德级数形式；

在转子磁极包络面为近似球形旋转曲面的假设下，其外形可由勒让德多项式级数按照下式计算确定：

式中：

r₁——转子实际半径(m)；

r₁₀——回转体平均半径(m)。

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

r₁₀——回转体平均半径(m)。

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

P_n(cosθ)——勒让德多项式级数(无量纲)。

按照上式的形式，步骤(2)所述转子的径向变形按照下式计算确定：

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

本发明所述磁悬浮敏感陀螺转子的构型为复杂的、带多条镂空的球缺结构，如图9所示，因此，转子的变形可按如下方法计算：

轴向磁轴承部分，按照实心球体结构计算转子轴向两端球面部分所成球冠部分的变形。

轴向磁轴承部分，由于结构复杂，既不能按照实心球结构进行变形计算，也不能按照球形壳体进行变形计算，因此，可按照如下近似方法进行离心变形量的计算：

(a)计算图9所述以ABCO为截面、绕z轴所成圆柱体的离心变形；

(b)计算图9所述以CDEF为截面、绕z轴所成圆环的离心变形，以第一步所得F点的横坐标绝对值为圆环内径，B点的横坐标绝对值为圆环外径；

(c)计算图9所述以GHJE为截面、绕z轴所成球面圆环的离心变形，以第二步所得E点的横坐标绝对值为圆环内径，外径近似为E点变形后OG 连线的长度；

式中：

OG——E点变形后OG连线的长度(m)；

z_G——G点的在z方向上的坐标值(m)；

Δx_E——E点变形后在x轴方向上的坐标增量(m)；

r_out——转子外缘半径(m)。

(d)计算图9所述以LMHJ为截面、绕z轴所成球面圆环的离心变形，以第三步所得K点的横坐标绝对值为圆环内径，外径近似为K点变形后OG 连线的长度，求解方法同(c)所述；

(e)最终，转子轴向磁轴承的离心变形由(c)(d)中所述两个球面圆环的球面部分变形组成，计算得到的变形曲线如图6b所示。由于两圆环的厚度不同，在弯曲力矩的作用下，两圆环的连结处，其径向位移必须连续变化，因此，厚度较大的上半部分圆环减小了与其连结部分下圆环的离心变形，而随着与上圆环距离的增大，上圆环对下圆环的影响逐渐减弱。

将两部分离心变形曲线连接并平滑后，得到变形曲线的拟合公式为：

a₀＝8.9516×10^-4

a₁＝-1.4839×10^-4

a₂＝-1.2×10^-3

a₃＝9.6935×10^-4

a₄＝5.1613×10^-5

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

图6为本发明所述磁悬浮敏感陀螺按照所述(12)计算得到的轴向、径向磁轴承离心形变。

(3)建立转子离心变形导致的干扰力矩数学模型；

转子离心变形导致的干扰力矩数学模型，按照下式计算确定：

式中：

T——转子所受单个定子磁极作用的力矩矢量(N·m)；

μ₀——真空磁导率(4π×10^-7N/A²)；

N——定子磁极线圈匝数(无量纲)；

I——线圈电流(A)；

S——施加磁场力的定子磁极面面积(m²)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

φ——P点在球面坐标系中φ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

δ₀——转子与定子磁极之间的气隙宽度(m)；

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

P’_n(cosθ)——勒让德多项式级数的一次导数(无量纲)。

转子径向变形的勒让德级数表达式所确定的转子定子磁极气隙变化量，按照下式计算确定：

Δδ＝ω (14)

式中：

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

ω——转子上一点在球面坐标系中r方向变形勒让德级数表述(m)。

(4)根据在线测量的转子转速和所建数学模型实时计算转子离心变形干扰力矩；

在线测量磁悬浮敏感陀螺转子的转动速度，将转动速度值代入转子径向变形模型和干扰力矩计算模型，即可实时获得转子径向变形和转子离心变形干扰力矩。

(5)将离心变形干扰力矩计算结果带入陀螺测量方程；

磁悬浮敏感陀螺的测量方程，按照下式计算确定：

式中：

ω_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向角速度(rad/s)；

ω_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)。

由于转子离心变形导致转子所受控制力矩中包含了转子变形引起的干扰力矩，要获得精确的角速度测量结果，需要将干扰力矩从原始的控制力矩中补偿掉，补偿后的角速度测量结果，可按照下式计算确定：

式中：

ω’_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向误差补偿后角速度(rad/s)；

ω’_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向误差补偿后角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

T_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

T_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)。

(6)实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果。

将在线获取的转子离心变形干扰力矩代入(15)式，即可实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果，图7所示为本发明所述磁悬浮敏感陀螺经过离心变形误差补偿后得到的角速度测量结果，图8所示为补偿前后测量结果误差。

为了验证该测量方法的效果，设转子的转速为1200r/s，同时假设转子几何中心只有x方向偏中误差，偏中误差的大小为0.00005m，利用本发明所述误差补偿方法进行仿真。仿真试验结果分别如图7、图8所示。

在图7中横坐标表示时间，单位是s，纵坐标表示陀螺测量得到的陀螺房偏转角速度，单位为rad/s。从图7可以看出，在利用本发明所述误差补偿方法进行转子离心变形误差补偿后，其x、y方向的角速度测量结果基本与理想输出值重合，测量结果与理想值无明显偏差。

在图8中横坐标表示时间，单位是s，纵坐标表示陀螺补偿前后测量结果的误差值，单位为rad/s。在无补偿时，转子在控制力矩和干扰力矩共同作用下，x方向测量得到的角速度误差最大值达1.2×10^-3rad/s，y方向测量得到的角速度误差最大值达5.8×10^-3rad/s。加入本发明所述在线补偿方法后，x方向测量得到的角速度误差最大值降低到0.2×10^{- 3}rad/s，y方向测量得到的角速度误差最大值降低至4.8×10^-3rad/s，测量误差分别降低了83％和 21％。

通过上述典型仿真实验结果可以看出采用本发明提出的误差补偿方法，可以以非常高的精度将转子离心变形导致的角速度测量误差补偿掉，而且能够实现实时在线补偿，补偿效果不受转子转速约束，说明采用本发明方法很好地实现对转子离心变形干扰力矩导致测量误差的在线实时补偿，且计算实现较简单，工程性强。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员共知的现有技术。

Claims (5)

1.一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)建立复杂构型球形包络转子高转速工作状态下转子离心变形解析模型；

(2)将转子离心变形模型改写为勒让德级数形式；

(3)建立转子离心变形导致的干扰力矩数学模型；

(4)根据在线测量的转子转速和所建数学模型实时计算转子离心变形干扰力矩；

(5)将离心变形干扰力矩计算结果带入陀螺测量方程；

(6)实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果；

步骤(1)所述建立复杂构型球形包络转子高转速工作状态下转子离心变形解析模型，按照以下方法实现：

建立以转子球心为原点的球面坐标系，球面转子表面上一点P处，沿θ、φ、r方向的线应变ε_θ、ε_φ、ε_r与位移分量之间的几何关系按照下式计算确定：

式中：

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

u——P点在球面坐标系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

P点处应力与应变之间的关系按照下式计算确定：

式中：

σ_θ——θ方向的正应力(Pa)；

σ_φ——φ方向的正应力(Pa)；

σ_r——r方向的正应力(Pa)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

以dr、dφ的定义的微元体为研究对象，则微元体的径向平衡条件按照下式计算确定：

N_r1-N_r2+N_φd_φ＝F_e (3)

其中，

式中：

N_r1——作用于同心圆断面外侧上的作用力(N)；

N_r2——作用于同心圆断面内侧上的作用力(N)；

N_φ——作用于子午面断面上的作用力(N)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

b——微元体厚度(m)；

Ω——转子转速(rad/s)；

σ_θ——θ方向的正应力(Pa)；

σ_φ——φ方向的正应力(Pa)；

σ_r——r方向的正应力(Pa)；

ε_θ——θ方向的线应变(无量纲)；

ε_φ——φ方向的线应变(无量纲)；

ε_r——r方向的线应变(无量纲)；

F_e——微元体中惯性力的合力(N)；

上式经简化可得

为简化分析，假设用平行于赤道面的等纬度平面将转子切割为无数薄圆盘在离心变形后，其上下端面仍保持平面；在这一假设下，不同薄圆盘之间不存在角应变，上下端面上，除正应力外，无剪应力作用；

结合(2)、(5)式可得

式中：

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

u——P点在球面坐标系中θ方向的位移分量(rad)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

该方程的解即为薄圆盘形转子的径向变形方程：

式中：

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

r——P点在球面坐标系中r方向坐标值(m)；

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)；

将转子视为无数个薄圆盘的叠加，在各圆盘之间只有正应力作用条件下，各圆盘之间无剪应力作用，上述计算结果向任意纬度平面处圆盘的推广按照下式计算确定：

式中：

u_ρ——任意转子纬度圆上表面径向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)；

考虑到与赤道薄圆盘相邻的半球状转子体的静平衡，在离心力的作用下，沿轴向的正应力合力应为零，从而可得

式中：

u_z——任意转子纬度圆上表面轴向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θP点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——圆盘外缘半径(m)；

r_in——圆盘内缘半径(m)；

根据转子变形沿r方向的投影与u_ρ和u_z的关系，可得转子的径向变形按照下式计算确定：

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

u_ρ——任意转子纬度圆上表面径向形变(m)；

u_z——任意转子纬度圆上表面轴向形变(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

2.根据权利要求1所述的一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法，其特征在于：步骤(2)所述将转子离心变形模型改写为勒让德级数形式，按照以下方法实现：

在转子磁极包络面为近似球形旋转曲面的假设下，其外形可由勒让德多项式级数按照下式计算确定：

式中：

r₁——转子实际半径(m)；

r₁₀——回转体平均半径(m)；

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

r₁₀——回转体平均半径(m)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

P_n(cosθ)——勒让德多项式级数(无量纲)；

按照上式的形式，步骤(2)所述转子的径向变形按照下式计算确定：

式中：

ω——P点在球面坐标系中r方向的位移分量(m)；

ρ——转子材料的密度(kg/m³)；

Ω——转子转速(rad/s)；

E——转子材料的杨氏模量(GPa)；

v——转子材料的泊桑比(无量纲)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

r_in——转子内缘半径(m)。

3.根据权利要求2所述的一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法，其特征在于：步骤(3)所述建立转子离心变形导致的干扰力矩数学模型，按照下式计算确定：

式中：

T——转子所受单个定子磁极作用的力矩矢量(N·m)；

μ₀——真空磁导率(4π×10^-7N/A²)；

N——定子磁极线圈匝数(无量纲)；

I——线圈电流(A)；

S——施加磁场力的定子磁极面面积(m²)；

θ——P点在球面坐标系中θ方向坐标值(rad)；

φ——P点在球面坐标系中φ方向坐标值(rad)；

r_out——转子外缘半径(m)；

δ₀——转子与定子磁极之间的气隙宽度(m)；

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

a_n——描述包络面形状的谐波系数(无量纲)；

P’_n(cosθ)——勒让德多项式级数的一次导数(无量纲)；

按照转子径向变形的勒让德级数表达式所确定的转子定子磁极气隙变化量，按照下式计算确定：

Δδ＝ω (14)

式中：

Δδ——转子与定子磁极之间的气隙宽度变化量(m)；

ω——转子上一点在球面坐标系中r方向变形勒让德级数表述(m)；

将所述式(14)代入所述式(13)即可得到离心变形导致的干扰力矩。

4.根据权利要求3所述的一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法，其特征在于：转子径向变形与转子转速平方成正比；转子离心变形干扰力矩与转子转速成复杂的非线性关系；

步骤(4)所述离心变形干扰力矩的实时计算，可按照以下方法确定：

在线测量磁悬浮敏感陀螺转子的转动速度，将转动速度值代入转子径向变形模型和干扰力矩计算模型，即可实时获得转子径向变形和转子离心变形干扰力矩。

5.根据权利要求4所述的一种磁悬浮敏感陀螺转子离心变形误差在线补偿方法，其特征在于：

步骤(5)所述磁悬浮敏感陀螺测量方程，按照下式计算确定：

式中：

ω_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向角速度(rad/s)；

ω_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)；

由于转子离心变形导致转子所受控制力矩中包含了转子变形引起的干扰力矩，要获得精确的角速度测量结果，需要将干扰力矩从原始的控制力矩中补偿掉，补偿后的角速度测量结果，可按照下式计算确定：

式中：

ω’_x——磁悬浮敏感陀螺测量的x方向误差补偿后角速度(rad/s)；

ω’_y——磁悬浮敏感陀螺测量的y方向误差补偿后角速度(rad/s)；

M_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受控制力矩(N·m)；

M_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受控制力矩(N·m)；

T_x——磁悬浮敏感陀螺x方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

T_y——磁悬浮敏感陀螺y方向所受离心变形干扰力矩(N·m)；

J_z——陀螺转子极转动惯量(kg·m²)；

Ω——转子转速(rad/s)；

将在线获取的转子离心变形干扰力矩带入上式，即可如步骤(6)所述实时获取经过转子离心变形误差补偿的角速度测量结果。

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