CN104776998A - 一种基于动态刚度系数和阻尼系数的转子轴心轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

一种基于动态刚度系数和阻尼系数的转子轴心轨迹求解方法，该方法包括下列步骤：根据滑动轴承的所受到的动载荷形式，并将固-液界面的速度滑移通过Navier速度滑移模型进行模拟，建立不定常状态下的油膜润滑雷诺方程，采用有限差分法并结合载荷增量法和扰动压力法对不定常工况雷诺进行求解，得到轴承的四个动刚度系数和四个阻尼系数，将轴承油膜力通过四个动刚度系数和四个阻尼系数表示；分析转子所受到的动载荷形式，建立转子的运动平衡方程，并引入油膜力的油膜动态系数的表达形式，而运动平衡方程的解即为转子轴心轨迹坐标，从而实现了转子动态特征系数和轴心轨迹的联立求解，同时分析轴承-转子系统的动态性能及系统的稳定性。

Description

一种基于动态刚度系数和阻尼系数的转子轴心轨迹求解方法

技术领域

本发明涉及一种仿真方法，适用于求解滑动轴承的动态刚度系数、阻尼系数和转子轴心轨迹，实现转子系统的动态特性及稳定性的同步分析。

背景技术

滑动轴承在工作过程中运行平稳、可靠并且无噪声。在滑动轴承内，轴瓦表面和轴颈表面被润滑油分开而不发生直接接触，这大大减小了转子运行过程中的摩擦损失和表面磨损，而且油膜还具有一定的吸振能力。实际情况下油膜的厚度很小，一般为um数量级，所以油液在轴承中的流动属于微尺度的研究领域，使用微尺度流体流动的研究方法研究油膜的流动规律已成为一种必然的趋势。目前的研究表明，微尺度流体流动在机理上迥异于常规尺度流动，微尺度流动所基于的物理因素与宏观流动不同，一方面是尺寸的缩小引起的尺寸效应，表现为表面积与体积比增大，粘滞力、界面粗糙度、梯度参数效应对流体的流动影响增强，另一方面为一些对宏观流体流动可以忽略的影响因素在微尺度流动中影响作用逐渐增强，某些因素将不能忽略。微尺度流体流动与宏观尺度的差异性在实验研究中也得到了证实。这些物理因素作用程度的改变或者新的物理因素的参与使得流体力学理论中流体流动的基本方程和边界条件需要进行一定的修正，建立能够表述微尺度流体流动特性的数学模型。在滑动轴承的研究中表现为对润滑描述方程N-S方程进行修正。

实际中油膜起着非线性弹簧和阻尼的作用；而在一些情况下也可以将油膜化简为线性刚度的弹簧和阻尼，用线性化的油膜刚度和阻尼来衡量轴承-转子系统内油膜的动力学特性，通过四个动态刚度系数和四个阻尼系数来衡量，这八个参数对转子的动力学计算和系统稳定非常重要。轴心轨迹是一种评判转子系统稳定性的方法，用一种更加直观的方式反映了转子瞬时运动情况及运动稳定性。转子在工作的过程中，其运动会受到各种不平衡扰动的作用，比如转子偏心质量造成不平衡动载荷、转子部件的缺损造成给转子带来的不平衡动载荷，以及切削过程中切削力也会成为转子不平衡动载荷的来源。转子在单一不平衡动载荷或者复合动载荷的扰动下会产生不同轴心形状的运动轨迹，对轴心轨迹进行分析能够实现转子系统在动载荷扰动下的动态性能、稳定状态的评估。

发明内容

针对滑动轴承动态性能求解中问题，本发明提供一种基于动态刚度系数和阻尼系数的转子轴心轨迹求解方法，本发明避免了在求解非线性油膜力时的大计算量，同时充分利用轴承的动态特征系数，将动态特征系数应用与转子轴心轨迹的求解，实现轴承动态性能及系统稳定性的同步分析。

一种基于动态刚度系数和阻尼系数的转子轴心轨迹求解方法，该方法包括以下步骤：

(1)建立考虑轴承内固-液界面速度滑移情况下的滑动轴承油膜润滑雷诺方程，该方程没有将转子受的动载荷忽略，如下式

$\frac{\∂}{\∂x}\left\{\right[-\frac{h^3}{12\mathrm{\η}}-\frac{h^{2}b}{2\mathrm{\η}}]\frac{\∂p}{\∂x}+\frac{\mathrm{hu}}{2}\}+\frac{\∂}{\∂z}\left[(-\frac{h^2}{12\mathrm{\η}}-\frac{h^{2}b}{2\mathrm{\η}})\frac{\∂p}{\∂z}\right]=-\frac{\∂h}{\∂t}---\left(1\right)$

式中，u为旋转主轴表面的线速度；b为固-液界面的滑移系数，p为油膜压力；η为润滑油的动力粘度；h为油膜厚度；x为油膜流动周向方向坐标；z为油膜流动的轴向方向坐标；

其中油膜厚度对时间的导数可以表示为

式中，为位置角，记为从转子轴心和轴承轴心的连心线为起点，按逆时针方法旋转；

(2)对雷诺方程(1)和油膜厚度随时间的变化方程(2)采取无量纲化处理，取油膜特征压强为p₀，特征滑移长度和油膜特征厚度为轴承半径间隙h₀，油膜特征轴向长度为轴承长度的一半L/2，油膜特征周向长度为轴承半径R，令p＝p₀P，其中b＝b₀h₀，h＝Hh₀， $z=\mathrm{\λ}\frac{L}{2}(-1\≤\mathrm{\λ}\≤1),$ $(X,Y)=\frac{(x,y)}{h_0},(\stackrel{\·}{X},\stackrel{\·}{Y})=\frac{(\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y})}{h_0{w}_0},$ τ＝w₀t，w₀为转子旋转的角速度，不定常工况下的无量纲雷诺方程为：

无量纲油膜厚度随时间变化为：

(3)采用有限差分方法对方程(3)线性化处理，得到如下线性化方程：

$P_{i,j}=\frac{1}{2A_{i,j}+2C_{i,j}}[(A_{i,j}+B_{i,j})P_{i+1,j}+(A_{i,j}-B_{i,j})P_{i-1,j}+C_{i,j}{P}_{i,j+1}+C_{i,j}{P}_{i,j-1}-F_{i,j}{P}_{i,j}]---\left(5\right)$

其中，

$C_{i,j}=\frac{{\mathrm{\β}}^2{H_{i,j}}^3(1+6b_0)}{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}^2}$

F＝D+E

$\mathrm{\β}=\frac{2R}{L}$

式中，R为轴承半径，L为轴承长度，Δλ为轴承轴向方向网格长度，为轴承周向方向网格长度，(i，j)为油膜位置坐标，H_i,j表示(i，j)处无量纲油膜厚度；应用超松弛迭代法将线性化方程(5)在matlab软件平台上进行数值求解，即得扰动载荷下油膜压力分布；

(4)载荷增量法计算油膜动刚度。载荷增量法的计算思想就是将转子轴心在平衡位置的基础上沿不同的方向产生微小位移，求出在该移动后位置处的油膜力，应用油膜力的增量值和微小位移的比值用于计算油膜动刚度。

1)动刚度系数K_xx和K_yx计算

如图1所示，O为轴承的中心位置，O'为转子的平衡位置，转子沿x方向分别产生微小的位移扰动Δx后的位置为O₁和O₂。

转子在平衡位置O'沿x方向向左产生微小扰动后，轴心位置移动到O₁处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x1和F_y1；转子在平衡位置O'沿x方向向右产生微小扰动后，轴心位置移动到O₂处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x2和F_y2；根据油膜刚度的计算公式，油膜动刚度可以表示为：

$K_{\mathrm{xx}}=\frac{F_{x1}-F_{x2}}{2\mathrm{\Δx}}---\left(6\right)$

$K_{\mathrm{yx}}=\frac{F_{y1}-F_{y2}}{2\mathrm{\Δx}}---\left(7\right)$

2)动刚度系数K_xy和K_yy计算

如图2，O为轴承的中心位置，O'为转子的平衡位置，转子沿y方向分别产生微小的位移扰动Δy后的位置为O₃和O₄。

转子在平衡位置O'沿y方向向下产生微小扰动后，轴心位置移动到O₃处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x3和F_y3；转子在平衡位置O'沿y方向向上产生微小扰动后，轴心位置移动到O₄处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x4和F_y4；根据油膜刚度的计算公式，油膜动刚度可以表示为：

$K_{\mathrm{xy}}=\frac{F_{x3}-F_{x4}}{2\mathrm{\Δy}}---\left(8\right)$

$K_{\mathrm{yy}}=\frac{F_{y3}-F_{y4}}{2\mathrm{\Δy}}---\left(9\right)$

(5)扰动压力法计算油膜阻尼。

如图3所示，转子在外载荷的作用下平衡于O'位置，在(Δe,Δθ)的扰动下，轴心位置移动到O₁处，此时油膜力沿Δe的方向和垂直于Δe的方向分别为F_e和F_θ，

油膜沿Δe的方向和垂直于Δe的方向的阻尼可以定义为：

$c_{\mathrm{ee}}={\left(\frac{\∂F_e}{\∂\stackrel{\·}{e}}\right)}_0---\left(12\right)$

$c_{\mathrm{e\θ}}={\left(\frac{\∂F_e}{e\∂\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}\right)}_0---\left(13\right)$

$c_{\mathrm{\θe}}={\left(\frac{\∂F_{\mathrm{\θ}}}{\∂\stackrel{\·}{e}}\right)}_0---\left(14\right)$

$c_{\mathrm{\θ\θ}}={\left(\frac{\∂F_{\mathrm{\θ}}}{e\∂\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}\right)}_0---\left(15\right)$

将方程(10)和(11)分别对和求导，并结合公式(12)、(13)、(14)和(15)可得：

其中和是油膜压力p对扰动量和求偏导数。

将沿Δe的方向和垂直于Δe的方向的阻尼经过坐标变换，变换到(x,y)方向：

$\left(\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{xx}}& c_{\mathrm{xy}}\\ c_{\mathrm{yx}}& x_{\mathrm{yy}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{ee}}& c_{\mathrm{e\θ}}\\ c_{\mathrm{\θe}}& c_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)$

根据无量纲雷诺方程(3)得扰动压力和的微分形式为：

式中：算子Re y表示

(6)转子运动方程建立。如图4，O为轴承中心位置，O'为转子中心位置，转子在x，y方向所受到的动载荷分别为Q_x和Q_y，t时刻对应的油膜力在x，y方程的油膜力分别为转子以w₀的角速度做回转运动，此时油膜力在x，y方向的分量分别为F_x(w₀t)和F_y(w₀t)，Mg为轴承承受的的转子重量，则转子轴心的运动方程为：

$M\stackrel{\·\·}{x}=F_x\left(w_{0}t\right)+Q_x---\left(23\right)$

$M\stackrel{\·\·}{y}=F_y\left(w_{0}t\right)+Q_y+\mathrm{Mg}---\left(24\right)$

(7)不平衡动载荷转子轴心轨迹方程建立。转子由于制造误差、装配误差及材料缺陷原因难免会使得转子的轴心位置和转子的质心不重合，使得转子存在偏心质量，偏心质量是转子不平衡动载荷的主要来源之一。偏心质量会导致转子轴心沿着一定的轨迹运动，通过分析转子轴心轨迹能够分析转子的动力学行为；

若转子受到单一的偏心质量动载荷影响，e_g为转子的质量偏心距，所以作用在转子上的不平衡载荷为：

Q_x＝Me_gw₀ ²sin(w₀t)               (25)

Q_y＝Me_gw₀ ²cos(w₀t)             (26)

将公式(23)和(24)中的油膜力F_x(w₀t)和F_y(w₀t)用油膜的动刚度和阻尼系数，所以转子的运动方程可以写成：

$M\stackrel{\·\·}{x}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y+c_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+c_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}=M{e}_g{w_0}^2\sin \left(w_{0}t\right)---\left(27\right)$

$M\stackrel{\·\·}{y}+k_{\mathrm{yx}}x+k_{\mathrm{yy}}y+c_{\mathrm{yx}}+\stackrel{\·}{x}+c_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}=M{e}_g{w_0}^2\cos \left(w_{0}t\right)+\mathrm{Mg}---\left(28\right)$

无量纲形式为：

$M_0\stackrel{\·\·}{X}+K_{\mathrm{xx}}X+K_{\mathrm{xy}}Y+C_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{X}+C_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{Y}=M_0{\mathrm{\ϵ}}_g\sin \mathrm{\τ}---\left(29\right)$

$M_0\stackrel{\·\·}{Y}+K_{\mathrm{yx}}X+K_{\mathrm{yy}}Y+C_{\mathrm{yx}}\stackrel{\·}{X}+C_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{Y}=M_0{\mathrm{\ϵ}}_g\cos \mathrm{\τ}+{\stackrel{\‾}{M}}_g---\left(30\right)$

式中：当量质量无量纲偏心质量距转子当量重量 ${\stackrel{\‾}{M}}_g=\frac{\mathrm{Mg}}{3\mathrm{\ηLR}{w}_0}{\left(\frac{h_0}{R}\right)}^2.$

(8)转子轴心轨迹坐标求解。无量纲轴心轨迹坐标(X,Y)就是方程式(29)和(30)的解，解的形式为

X＝λ₁cosτ+λ₂sinτ            (31)

Y＝λ₃cosτ+λ₄sinτ              (32)

其中λ₁，λ₂，λ₃，λ₄可以通过下式求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_1\\ {\mathrm{\λ}}_2\\ {\mathrm{\λ}}_3\\ {\mathrm{\λ}}_4\end{array}\right\}{\left[\begin{array}{cccc}(K_{\mathrm{xx}}-M_0)& C_{\mathrm{xx}}& K_{\mathrm{xy}}& C_{\mathrm{xy}}\\ -C_{\mathrm{xx}}& (K_{\mathrm{xx}}-M_0)& -C_{\mathrm{xy}}& K_{\mathrm{xy}}\\ K_{\mathrm{yx}}& C_{\mathrm{yx}}& (K_{\mathrm{yy}}-M_0)& C_{\mathrm{yy}}\\ -C_{\mathrm{yx}}& K_{\mathrm{yx}}& C_{\mathrm{yy}}& (K_{\mathrm{yy}}-M_0)\end{array}\right]}^{-1}\left\{\begin{array}{c}{M}_0{\mathrm{\ϵ}}_g\\ 0\\ 0\\ M_0{\mathrm{\ϵ}}_g\end{array}\right\}---\left(33\right)$

通过式(33)解出的四个值带入方程(31)和(32)中，就可以得到转子轴心运动的坐标(X,Y)，通过绘制轴心坐标就可以得到转子轴心的运动轨迹，通过轴心轨迹的形状对转子系统运行稳定性情况进行分析。通过载荷增量法和扰动压力法求解得到的动刚度系数和阻尼系数可以用来分析转子运行的动态特性。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

本发明考虑了传统设计中忽略的固-液界面速度滑移现象，将油膜分析引入到微尺度的研究领域；通过仿真分析能够得到速度滑移对系统动态特性的影响规律，实现了油膜润滑模型微尺度特性修正。通过载荷增量法和扰动压力法求解得到了轴承的四个刚度系数和四个阻尼系数，一方面能够实现对轴承动态特性的分析，另一方面将动态特性系数应用于轴心轨迹求解模型的建立，能够实现对轴承系统稳定性进行分析。该方法运算效率高，避免了求解非线性油膜力过程的大的计算量。

附图说明

图1为x方向扰动轴心位置图。

图2为y方向扰动轴心位置图。

图3为转子轴心微扰动分析图。

图4为动载荷下转子受力分析图。

图5动刚度和滑移长度之间的关系；其中，图a表示动刚度系数K_xx随滑移长度b的变化情况；图b表示动刚度系数K_xy随滑移长度b的变化情况；图c表示动刚度系数K_yx随滑移长度b的变化情况；图d表示动刚度系数K_yy随滑移长度b的变化情况。

图6油膜阻尼和滑移长度之间的关系；其中，图a表示动刚度系数C_xx随滑移长度b的变化情况；图b表示动刚度系数C_xy随滑移长度b的变化情况；图c表示动刚度系数C_yx随滑移长度b的变化情况；图d表示动刚度系数C_yy随滑移长度b的变化情况。

图7不同转子偏心质量距下的轴心轨迹图；其中，图a表示当转子质量偏心距eg为0.1时，转子轴心轨迹图；图b表示当转子质量偏心距eg为0.2时，转子轴心轨迹图。

具体实施方式

本发明所述方法由安装在计算机上的软件程序实现。所述计算机上安装由美国TheMathWorks公司出品的商业数学软件MATLAB软件。

本发明所述方法具体包括以下步骤：

步骤1，建立考虑轴承内固-液界面速度滑移情况下的滑动轴承油膜润滑雷诺方程，该方程没有将转子受的动载荷忽略；

步骤2，对步骤1中扰动下雷诺方程和油膜厚度随时间的变化方程进行无量纲化处理；

步骤3，采用有限差分方法对步骤2中的无量纲方程进行线性化处理，得到线性化方程组；

步骤4，载荷增量法计算油膜动刚度。载荷增量法的计算思想就是将转子轴心在平衡位置的基础上沿不同的方向产生微小位移，求出在该移动后位置处的油膜力，应用油膜力的增量值和微小位移的比值用于计算油膜动刚度。

步骤5，扰动压力法计算油膜阻尼；

步骤6，建立转子运动方程；

步骤7，建立不平衡动载荷转子轴心轨迹方程。转子由于制造误差、装配误差及材料缺陷等原因难免会使得转子的轴心位置和转子的质心不重合，使得转子存在偏心质量，偏心质量是转子不平衡动载荷的主要来源之一。偏心质量会导致转子轴心沿着一定的轨迹运动，分析转子轴心轨迹，进而能够评估转子的动力学行为；

步骤8，求解转子轴心轨迹坐标。

图5表示转子四个刚度系数和滑移长度之间的变化，四个刚度系数都随着滑移系数的增加而线性减小，其中K_xx、K_xy、K_yx、K_yy减小的最大值分别为3.02％、2.14％、3.30％、3.26％，通过分析说明速度滑移对四个刚度系数都产生了一定的影响。

图6表示考虑油膜微尺度速度滑移效应的影响下，四个阻尼系数和滑移长度之间的变化。从图中可以看出，随着滑移系数的增加四个阻尼系数都会减小，而且C_xx和C_yx与滑移长度呈抛物线变化规律，C_xy和C_yy与滑移长度之间呈近似线性变化规律。当滑移系数一定的情况下，四个滑移系数中C_xx最大，C_xy其次，C_yy最小。四个阻尼系数受滑移影响而减小的最大值分别为2.202％、4.025％、2.171％、4.020％。微尺度尺寸效应影响下速度滑移降低了油膜的阻尼。

转子在工作的过程中会受到各种不平衡扰动的作用，比如转子偏心质量造成不平衡动载荷，图7表示不同转子偏心质量距时转子旋转时轴心的行驶轨迹，从图中可以看出，随着转子偏心质量距的不断增加，转子轴心的行驶轨迹在不断扩大，并且从图中能够看出转子轴心与轴承轴心的最大偏移量。

Claims (1)

1.一种基于动态刚度系数和阻尼系数的转子轴心轨迹求解方法，其特征在于：该方法包括以下步骤，

(1)建立考虑轴承内固-液界面速度滑移情况下的滑动轴承油膜润滑雷诺方程，该方程没有将转子受的动载荷忽略，如下式

$\frac{\∂}{\∂x}=\left\{\right[-\frac{h^3}{12\mathrm{\η}}-\frac{h^{2}b}{2\mathrm{\η}}]\frac{\∂p}{\∂x}+\frac{\mathrm{hu}}{2}\}+\frac{\∂}{\∂z}\left[(-\frac{h^3}{12\mathrm{\η}}-\frac{h^{2}b}{2\mathrm{\η}})\frac{\∂p}{2\mathrm{\η}}\right]=-\frac{\∂h}{\∂t}$

式中，u为旋转主轴表面的线速度；b为固-液界面的滑移系数，p为油膜压力；η为润滑油的动力粘度；h为油膜厚度；x为油膜流动周向方向坐标；z为油膜流动的轴向方向坐标；

其中油膜厚度对时间的导数可以表示为

式中，为位置角，记为从转子轴心和轴承轴心的连心线为起点，按逆时针方法旋转；

(2)对雷诺方程(1)和油膜厚度随时间的变化方程(2)采取无量纲化处理，取油膜特征压强为p₀，特征滑移长度和油膜特征厚度为轴承半径间隙h₀，油膜特征轴向长度为轴承长度的一半L/2，油膜特征周向长度为轴承半径R，令p＝p₀P，其中b＝b₀h₀，h＝Hh₀， $z=\mathrm{\λ}\frac{L}{2}(-1\≤\mathrm{\λ}\≤1),$ $(X,Y)=\frac{(x,y)}{h_0},$ $(\stackrel{.}{X},\stackrel{.}{Y})=\frac{(\stackrel{.}{x},\stackrel{.}{y})}{h_0{w}_0},$ τ＝w₀t，w₀为转子旋转的角速度，不定常工况下的无量纲雷诺方程为：

无量纲油膜厚度随时间变化为：

(3)采用有限差分方法对方程(3)线性化处理，得到如下线性化方程：

$P_{i,j}=\frac{1}{2A_{i,j}+2C_{i,j}}[(A_{i,j}+B_{i,j})P_{i+1,j}+(A_{i,j}-B_{i,j})P_{i-1,j}+C_{i,j}{P}_{i,j+1}+C_{i,j}{P}_{i,j-1}-F_{i,j}{P}_{i,j}]---\left(5\right)$

其中，

$C_{i,j}=\frac{{\mathrm{\β}}^2{H_{i,j}}^3(1+6b_0)}{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}^2}$

F＝D+E

$\mathrm{\β}=\frac{2R}{L}$

式中，R为轴承半径，L为轴承长度，Δλ为轴承轴向方向网格长度，为轴承周向方向网格长度，(i，j)为油膜位置坐标，H_i,j表示(i，j)处无量纲油膜厚度；应用超松弛迭代法将线性化方程(5)在matlab软件平台上进行数值求解，即得扰动载荷下油膜压力分布；

(4)载荷增量法计算油膜动刚度；载荷增量法的计算思想就是将转子轴心在平衡位置的基础上沿不同的方向产生微小位移，求出在该移动后位置处的油膜力，应用油膜力的增量值和微小位移的比值用于计算油膜动刚度；

1)动刚度系数K_xx和K_yx计算

O为轴承的中心位置，O'为转子的平衡位置，转子沿x方向分别产生微小的位移扰动Δx后的位置为O₁和O₂；

转子在平衡位置O'沿x方向向左产生微小扰动后，轴心位置移动到O₁处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x1和F_y1；转子在平衡位置O'沿x方向向右产生微小扰动后，轴心位置移动到O₂处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x2和F_y2；根据油膜刚度的计算公式，油膜动刚度可以表示为：

$K_{\mathrm{xx}}=\frac{F_{x1}-F_{x2}}{2\mathrm{\Δx}}---\left(6\right)$

$K_{\mathrm{yx}}=\frac{F_{y1}-F_{y2}}{2\mathrm{\Δx}}---\left(7\right)$

2)动刚度系数K_xy和K_yy计算

O为轴承的中心位置，O'为转子的平衡位置，转子沿y方向分别产生微小的位移扰动Δy后的位置为O₃和O₄；

转子在平衡位置O'沿y方向向下产生微小扰动后，轴心位置移动到O₃处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x3和F_y3；转子在平衡位置O'沿y方向向上产生微小扰动后，轴心位置移动到O₄处，此时，x方向和y方向的油膜力分别为F_x4和F_y4；根据油膜刚度的计算公式，油膜动刚度可以表示为：

$K_{\mathrm{xy}}=\frac{F_{x3}-F_{x4}}{2\mathrm{\Δy}}---\left(8\right)$

$K_{\mathrm{yy}}=\frac{F_{y3}-F_{y4}}{2\mathrm{\Δy}}---\left(9\right)$

(5)扰动压力法计算油膜阻尼；

转子在外载荷的作用下平衡于O'位置，在(Δe,Δθ)的扰动下，轴心位置移动到O₁处，此时油膜力沿Δe的方向和垂直于Δe的方向分别为F_e和F_θ，

油膜沿Δe的方向和垂直于Δe的方向的阻尼可以定义为：

$c_{\mathrm{ee}}={\left(\frac{\∂F_e}{\∂\stackrel{.}{e}}\right)}_0---\left(12\right)$

$c_{\mathrm{e\θ}}={\left(\frac{\∂F_e}{e\∂\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}\right)}_0---\left(13\right)$

$c_{\mathrm{\θe}}={\left(\frac{\∂F_{\mathrm{\θ}}}{\∂\stackrel{.}{e}}\right)}_0---\left(14\right)$

$c_{\mathrm{\θ\θ}}={\left(\frac{\∂F_{\mathrm{\θ}}}{e\∂\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}\right)}_0---\left(15\right)$

将方程(10)和(11)分别对和求导，并结合公式(12)、(13)、(14)和(15)可得：

其中和是油膜压力p对扰动量和求偏导数；

将沿Δe的方向和垂直于Δe的方向的阻尼经过坐标变换，变换到(x,y)方向：

$\left(\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{xx}}& c_{\mathrm{xy}}\\ c_{\mathrm{yx}}& c_{\mathrm{yy}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{ee}}& c_{\mathrm{e\θ}}\\ c_{\mathrm{\θe}}& c_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)---\left(20\right)$

根据无量纲雷诺方程(3)得扰动压力和的微分形式为：

式中：算子Re y表示

(6)转子运动方程建立；O为轴承中心位置，O'为转子中心位置，转子在x，y方向所受到的动载荷分别为Q_x和Q_y，t时刻对应的油膜力在x，y方程的油膜力分别为转子以w₀的角速度做回转运动，此时油膜力在x，y方向的分量分别为F_x(w₀t)和F_y(w₀t)，Mg为轴承承受的的转子重量，则转子轴心的运动方程为：

$M\stackrel{..}{x}=F_x\left(w_{0}t\right)+Q_x---\left(23\right)$

$M\stackrel{..}{y}=F_y\left(w_{0}t\right)+Q_y+\mathrm{Mg}---\left(24\right)$

(7)不平衡动载荷转子轴心轨迹方程建立；转子由于制造误差、装配误差及材料缺陷原因难免会使得转子的轴心位置和转子的质心不重合，使得转子存在偏心质量，偏心质量是转子不平衡动载荷的主要来源之一；偏心质量会导致转子轴心沿着一定的轨迹运动，通过分析转子轴心轨迹能够分析转子的动力学行为；

若转子受到单一的偏心质量动载荷影响，e_g为转子的质量偏心距，所以作用在转子上的不平衡载荷为：

Q_x＝Me_gw₀ ²sin(w₀t)    (25)

Q_y＝Me_gw₀ ²cos(w₀t)    (26)

将公式(23)和(24)中的油膜力F_x(w₀t)和F_y(w₀t)用油膜的动刚度和阻尼系数，所以转子的运动方程可以写成：

$M\stackrel{..}{x}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y+c_{\mathrm{xx}}\stackrel{.}{x}+c_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{y}=M{e}_g{w_0}^2\sin \left(w_{0}t\right)---\left(27\right)$

$M\stackrel{..}{y}+k_{\mathrm{yx}}x+k_{\mathrm{yy}}y+c_{\mathrm{yx}}\stackrel{.}{x}+c_{\mathrm{yy}}\stackrel{.}{y}={\mathrm{Me}}_g{w_0}^2\cos \left(w_{0}t\right)+\mathrm{Mg}---\left(28\right)$

无量纲形式为：

$M_0\stackrel{..}{X}+K_{\mathrm{xx}}X+K_{\mathrm{xy}}Y+C_{\mathrm{xx}}\stackrel{.}{X}+C_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{Y}=M_0{\mathrm{\ϵ}}_g\sin \mathrm{\τ}---\left(29\right)$

$M_0\stackrel{..}{Y}+K_{\mathrm{yx}}X+K_{\mathrm{yy}}Y+C_{\mathrm{yx}}\stackrel{.}{X}+C_{\mathrm{yy}}\stackrel{.}{Y}=M_0{\mathrm{\ϵ}}_g\cos \mathrm{\τ}+{\stackrel{\‾}{M}}_g---\left(30\right)$

式中：当量质量 $M_0=\frac{M{w}_0}{3\mathrm{\ηL}}{\left(\frac{h_0}{R}\right)}^3,$ 无量纲偏心质量距 ${\mathrm{\ϵ}}_g=\frac{e_g}{h_0},$ 转子当量重量 ${\stackrel{\‾}{M}}_g=\frac{\mathrm{Mg}}{3\mathrm{\ηLR}{w}_0}{\left(\frac{h_0}{R}\right)}^2;$

(8)转子轴心轨迹坐标求解；无量纲轴心轨迹坐标(X,Y)就是方程式(29)和(30)的解，解的形式为

X＝λ₁cosτ+λ₂sinτ    (31)

Y＝λ₃cosτ+λ₄sinτ    (32)

其中λ₁，λ₂，λ₃，λ₄可以通过下式求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_1\\ {\mathrm{\λ}}_2\\ {\mathrm{\λ}}_3\\ {\mathrm{\λ}}_4\end{array}\right\}={\left[\begin{array}{cccc}(K_{\mathrm{xx}}-M_0)& C_{\mathrm{xx}}& K_{\mathrm{xy}}& C_{\mathrm{xy}}\\ -C_{\mathrm{xx}}& (K_{\mathrm{xx}}-M_0)& -C_{\mathrm{xy}}& K_{\mathrm{xy}}\\ K_{\mathrm{yx}}& C_{\mathrm{yx}}& (K_{\mathrm{yy}}-M_0)& C_{\mathrm{yy}}\\ -C_{\mathrm{yx}}& K_{\mathrm{yx}}& C_{\mathrm{yy}}& (K_{\mathrm{yy}}-M_0)\end{array}\right]}^{-1}\left\{\begin{array}{c}{M}_0{\mathrm{\ϵ}}_g\\ 0\\ 0\\ M_0{\mathrm{\ϵ}}_g\end{array}\right\}---\left(33\right)$

通过式(33)解出的四个值带入方程(31)和(32)中，就可以得到转子轴心运动的坐标(X,Y)，通过绘制轴心坐标就可以得到转子轴心的运动轨迹，通过轴心轨迹的形状对转子系统运行稳定性情况进行分析；通过载荷增量法和扰动压力法求解得到的动刚度系数和阻尼系数可以用来分析转子运行的动态特性。