CN109255173B - 考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法，其包括分析结构的随机设计变量和区间设计变量，构建结构的功能函数；将随机设计变量转换为标准正态随机变量，建立混合可靠性设计模型；将混合可靠性设计模型解耦为概率分析模型和区间分析模型，结合共轭有限步长法和泰勒近似法对概率分析模型和区间分析模型迭代求解；计算结构的失效概率区间。采用本方法的计算方法对结构进行可靠性设计，可以更科学、合理地分析结构可靠性，在保证计算精度的同时，还具有较高的计算效率，大大改善结构的可靠性设计水平。

Description

考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法

技术领域

本发明涉及结构可靠性的评估，具体涉及一种考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法。

背景技术

在传统的工程结构设计中，常用的方法大多是基于确定性的数学模型，即把设计变量当作确定性变量来看待。但是，不确定性因素普遍存在于实际的结构设计过程中，如材料参数的不确定性、几何参数的不确定性、载荷大小的不确定性和初始边界条件的不确定性。为了分析和处理这些不确定性变量，以确保结构的安全可靠，结构可靠性设计方法逐渐受到关注与应用，并一直是可靠性领域的研究热点。

结构的可靠性设计又称为概率设计，它是以数理统计和概率论为基础的方法，即将设计参数视为服从不同概率分布的随机变量，以此处理结构工程中可能存在的各种不确定性。到目前为止，结构可靠性设计方法的研究已经取得了令人瞩目的成果并已广泛应用于工程实际之中，如一次二阶矩法(FORM)、二阶二次矩法(SORM)和Monte Carlo仿真法(MCS)等。然而，受试验条件、时间和经济等因素的影响，一些不确定变量的分布在实际工程中不能准确地获得，同时现有的研究表明，分布类型或分布参数微小的偏差会引起计算结果很大的偏差，这将导致结构可靠性设计的结果不准确。当试验数据不足以支撑准确的概率分布时，参数的变化区间是很容易得到的，如尺寸公差、计算误差和运动副间隙等。在随机设计变量和区间设计变量并存的情况下，继续采用基于概率论的可靠性设计方法是不合适的。

目前，对混合随机设计变量和区间设计变量下的结构可靠性设计方法的研究尚处于起步阶段。现有的方法(如Du提出的FORM-UUA模型)大多着眼于提高可靠性的准确性和效率方面。由于混合可靠性设计方法通常涉及多层嵌套优化，其计算效率将成为更复杂工程问题的瓶颈。因此，开发更高效、实用的混合可靠性设计方法具有重要的现实意义与工程价值。

发明内容

针对现有技术中的上述不足，本发明提供的考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法解决了现有技术中计算精度差的技术问题。

为了达到上述发明目的，本发明采用的技术方案为：

提供一种考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法，其包括以下步骤：

S1、分析结构的随机设计变量和区间设计变量，构建结构的功能函数：

g＝g(X,Y)

其中，X＝(X₁,X₂,…,X_n)^T为n维独立随机设计变量；Y＝(Y₁,Y₂,…,Y_m)^T为m维独立区间设计变量，Y_i∈[Y_i ^L,Y_i ^R](i＝1,2,…,m)，Y_i ^L和Y_i ^R分别为区间设计变量Y_i的下限和上限。

S2、将随机设计变量转换为标准正态随机变量，并建立混合可靠性设计模型：

其中，β^max和β^min分别为可靠指标β的最大值和最小值；

和

为功能函数对于区间设计变量Y的最大值和最小值；||·||为向量的范数；U为随机设计变量X转换后的标准正态随机变量；G(U,Y)为随机设计变量转换为标准正态随机变量的结构功能函数。

S3、将混合可靠性设计模型解耦为概率分析模型和区间分析模型，并结合共轭有限步长法和泰勒近似法迭代求解得到可靠指标的最大值β^max和最小值β^min；

S4、根据可靠指标的最大值β^max和最小值β^min，计算结构的失效概率区间：

其中，

为失效概率的最小值；

为失效概率的最大值。

本发明的有益效果为：本方案首先通过构建混合可靠性设计模型，之后将混合不确定性设计模型解耦为概率分析模型和区间分析模型，并在概率分析模型中引入有限步长共轭梯度法，以大幅度提高计算效率，同时还能保证计算精度。

附图说明

图1为考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法的流程图。

图2为考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法中实施示例的工字梁示意图。

具体实施方式

下面对本发明的具体实施方式进行描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

参考图1，图1示出了考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法的流程图；如图1所示，该方法包括步骤S1至步骤S4。

在步骤S1中，分析结构的随机设计变量和区间设计变量，构建结构的功能函数：

g＝g(X,Y)

其中，X＝(X₁,X₂,…,X_n)^T为n维独立随机设计变量；Y＝(Y₁,Y₂,…,Y_m)^T为m维独立区间设计变量，Y_i∈[Y_i ^L,Y_i ^R](i＝1,2,…,m)，Y_i ^L和Y_i ^R分别为区间设计变量Y_i的下限和上限；g(X,Y)<0为结构处于失效状态。

在步骤S2中，将随机设计变量转换为标准正态随机变量，并建立混合可靠性设计模型：

其中，β^max和β^min分别为可靠指标β的最大值和最小值；

和

为功能函数对于区间设计变量Y的最大值和最小值；||·||为向量的范数；U为随机设计变量X转换后的标准正态随机变量；G(U,Y)为随机设计变量转换为标准正态随机变量的结构功能函数。

由于区间设计变量Y在其区间内的概率分布未知，所以结构的可靠指标并不是一个确定的值，而是一个区间范围，本方案通过构建的混合可靠性设计模型可以方便后续可靠指标β最大值和最小值的快速求解。

实施时，本方案优选所述随机设计变量转换为标准正态随机变量的计算公式为：

其中，Φ^-1为标准正态分布的逆累积分布函数；

为随机设计变量X_i的累积分布函数；U_i为随机设计变量X_i转换后的标准正态随机变量。

在步骤S3中，将混合可靠性设计模型解耦为概率分析模型和区间分析模型，并结合共轭有限步长法和泰勒近似法迭代求解得到可靠指标的最大值β^max和最小值β^min。

在本发明的一个实施例中，所述概率分析模型和区间分析模型分别为：可靠指标最小值β^min的概率分析模型为：

可靠指标最小值β^min的区间分析模型为：

可靠指标最大值β^max的概率分析模型为：

可靠指标最大值β^max的区间分析模型为：

其中，Y^*为区间设计变量Y的已知量；U^*为标准正态随机变量U的已知量；Y^L和Y^R分别为区间设计变量Y的下限和上限。

由于混合可靠性设计模型为双层嵌套优化问题，在寻找最优设计点U的同时，其约束条件中Y也在不断变化，因此其计算过程较为繁琐，本方案采用解耦策略将混合可靠性设计模型分为概率分析模型和区间分析模型，每次迭代过程中依次进行概率分析和区间分析，从而较快地求得最优解，以达到提高计算效率的目的。

在本发明的一个实施例中，所述采用共轭有限步长法和泰勒近似法迭代求解得到可靠指标的最大值β^max和最小值β^min进一步包括：

S31、迭代过程中固定区间变量Y^k，计算新的标准正态随机变量点U^k+1：

其中，k为迭代次数；α为标准化共轭搜索方向向量；

为函数G(U,Y)在点(U,Y)处的梯度。

S32、根据概率分析模型得到的U^k+1，计算β^min对应的Y^k+1：

对功能函数G(U,Y)在点(U^k+1,Y^k)处进行一阶泰勒展开，得到可靠指标β^min的优化模型：

S33、根据概率分析模型得到U^k+1，计算β^max对应的Y^k+1：

对功能函数G(U,Y)在点(U^k+1,Y^k)处进行一阶泰勒展开，得到可靠指标β^max的优化模型：

S34、根据优化模型的线性特性，当

时，Y_i＝Y_i ^L；当

Y_i＝Y_i ^R；

S35、根据优化模型的线性特性，当

时，Y_i＝Y_i ^R；当

Y_i＝Y_i ^L；

其中，

为G(U,Y)对区间设计变量Y_i的偏导。

S36、当||U^k+1-U^k||≤ε₁和|G(U^k+1,Y^k+1)|≤ε₂时，输出β^min＝||U^k+1||或β^max＝||U^k+1||；否则，令k＝k+1，返回步骤S31。

其中，ε₁和ε₂为小于1的正数。

当计算可靠指标的最小值β^min时，执行步骤S31、S32、S34和S36；当计算可靠指标的最大值β^max时，执行步骤S31、S33、S35和S36。

其中，计算标准化共轭搜索方向向量α的计算公式为：

其中，λ为步长；d为共轭搜索方向向量；d^k和λ^k的计算公式分别为：

其中，c为步长调整系数，1.2<c<1.5；

和10≤M≤100；θ为共轭梯度参数，U⁰为标准正态随机变量的初始值；Y⁰为区间设计变量的初始值。

本发明采用共轭有限步长法，该算法在迭代计算过程中能根据非线性程度调整迭代步长，因此在处理非线性较高的功能函数时能较快收敛，具有较高的计算效率。

在步骤S4中，根据可靠指标的最大值β^max和最小值β^min，计算结构的失效概率区间：

其中，

为失效概率的最小值；

为失效概率的最大值。

下面结合实施示例结构工字梁，对本方案提供的方法的效果进行说明：

工字梁如图2所示，基于弯矩的最大应力时，其功能函数为：

其中，随机设计变量X＝(L,A,S,d,b_f,t_w,t_f)^T，其分布参数如表1所示，L为工字梁长度，A为施加力距离端点的距离，S为材料强度，d、b_f、t_w、t_f分别为工字梁横截面的各尺寸；施加力P为区间设计变量且P∈[5450,5550]N。

表1随机设计变量及其分布参数

在计算工字梁的失效概率区间时，随机设计变量转换为标准正态随机变量可用软件实现，如在MATLAB中，对于正态分布随机变量转换为标准正态分布随机变量，其代码为U＝norminv(normcdf(X，MU，SIGMA))。

输入初始点(U⁰,Y⁰)＝(0,0,0,0,0,0,0,5500)，调整系数c＝1.4，M＝10，采用本方案方法首先可以得到β^max＝2.544，β^min＝2.313，之后将β^max和β^min值代入相应公式中，

即工字梁的失效概率p_f∈[5.48×10^-3,1.04×10^-2]。

另外将本发明方法与FORM-UUA作对比，两个算法均采用相同的收敛准则，并使用Monte Carlo仿真法(MCS)来评估精度和调用功能函数的次数来测量计算效率，所得结果如表2所示。结果表明，本方案所提方法比FORM-UUA更为精确，同时计算效率也更高。

表2失效概率区间

综上所述，本方案首先分析结构的随机设计变量和区间设计变量，构建结构的功能函数，然后将随机设计变量转换为标准正态随机变量，建立混合可靠性设计模型并进行求解，从而获得结构失效概率的范围。

利用本方法对结构进行可靠性设计，可以更科学、合理地分析结构可靠性，在保证计算精度的同时，还具有较高的计算效率，大大改善结构的可靠性设计水平。

Claims (3)

1.一种考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、分析结构的随机设计变量和区间设计变量，构建结构的功能函数：

g＝g(X,Y)

其中，X＝(X₁,X₂,…,X_n)^T为n维独立随机设计变量；Y＝(Y₁,Y₂,…,Y_m)^T为m维独立区间设计变量，Y_i∈[Y_i ^L,Y_i ^R]，i＝1,2,…,m，Y_i ^L和Y_i ^R分别为区间设计变量Y_i的下限和上限；

S2、将随机设计变量转换为标准正态随机变量，并建立混合可靠性设计模型：

其中，β^max和β^min分别为可靠指标β的最大值和最小值；

和

为功能函数对于区间设计变量Y的最大值和最小值；||·||为向量的范数；U为随机设计变量X转换后的标准正态随机变量；G(U,Y)为随机设计变量转换为标准正态随机变量的结构功能函数；

S3、将混合可靠性设计模型解耦为概率分析模型和区间分析模型，并结合共轭有限步长法和泰勒近似法迭代求解得到可靠指标的最大值β^max和最小值β^min；

S4、根据可靠指标的最大值β^max和最小值β^min，计算结构的失效概率区间：

其中，

为失效概率的最小值；

为失效概率的最大值；

所述结构为工字梁，基于弯矩的最大应力时，其功能函数为：

其中，随机设计变量X＝(L,A,S,d,b_f,t_w,t_f)^T，L为工字梁长度，A为施加力距离端点的距离，S为材料强度，d、b_f、t_w、t_f分别为工字梁横截面的各尺寸；施加力P为区间设计变量Y；

所述概率分析模型和区间分析模型分别为：

可靠指标最小值β^min的概率分析模型为：

可靠指标最小值β^min的区间分析模型为：

可靠指标最大值β^max的概率分析模型为：

可靠指标最大值β^max的区间分析模型为：

其中，Y^*为区间设计变量Y的已知量；U^*为标准正态随机变量U的已知量；Y^L和Y^R分别为区间设计变量Y的下限和上限；

所述结合共轭有限步长法和泰勒近似法迭代求解得到可靠指标的最大值β^max和最小值β^min，进一步包括：

S31、迭代过程中固定区间变量Y^k，计算新的标准正态随机变量点U^k+1：

其中，k为迭代次数；α为标准化共轭搜索方向向量；

为函数G(U,Y)在点(U,Y)处的梯度；

S32、根据概率分析模型得到的U^k+1，计算β^min对应的Y^k+1：

对功能函数G(U,Y)在点(U^k+1,Y^k)处进行一阶泰勒展开，得到可靠指标β^min的优化模型：

S33、根据概率分析模型得到U^k+1，计算β^max对应的Y^k+1：

对功能函数G(U,Y)在点(U^k+1,Y^k)处进行一阶泰勒展开，得到可靠指标β^max的优化模型：

S34、根据优化模型的线性特性，当

时，Y_i＝Y_i ^L；当

Y_i＝Y_i ^R；

S35、根据优化模型的线性特性，当

时，Y_i＝Y_i ^R；当

Y_i＝Y_i ^L；

其中，

为G(U,Y)对区间设计变量Y_i的偏导；

S36、当||U^k+1-U^k||≤ε₁和|G(U^k+1,Y^k+1)|≤ε₂时，输出β^min＝||U^k+1||或β^max＝||U^k+1||；否则，令k＝k+1，返回步骤S31；

其中，ε₁和ε₂为小于1的正数；

当计算可靠指标的最小值β^min时，执行步骤S31、S32、S34和S36；当计算可靠指标的最大值β^max时，执行步骤S31、S33、S35和S36。

2.根据权利要求1所述的考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法，其特征在于，所述计算标准化共轭搜索方向向量α的计算公式为：

其中，λ为步长；d为共轭搜索方向向量；d^k和λ^k的计算公式分别为：

其中，c为步长调整系数，1.2<c<1.5；

和10≤M≤100；θ为共轭梯度参数；U⁰为标准正态随机变量的初始值；Y⁰为区间设计变量的初始值。

3.根据权利要求1或2所述的考虑区间不确定性的结构失效概率区间计算方法，其特征在于，所述随机设计变量转换为标准正态随机变量的计算公式为：

其中，Φ^-1为标准正态分布的逆累积分布函数；

为随机设计变量X_i的累积分布函数；U_i为随机设计变量X_i转换后的标准正态随机变量。

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