CN109977509B - 一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法，首先定义结构区间问题的相关输入；其次将变量空间进行网格化离散，随机选取初始样本点；然后根据当前的采样点计算Lipschitz常数矩阵K，构建交替求解过程：若当前迭代步数为偶数，开展区间响应上界的搜索，若为奇数，开展区间响应下界的搜索。在响应上界和下界的搜索过程中，分别构建了采样函数LI_UP和LI_LO，并用BADS算法优化，获取下一步采样点；再次，更新当前的样本点集合，继续执行交替求解的过程，直到满足收敛容差；最后通过BADS算法进行精细化搜索，确定结构响应区间界限。本发明通过提出一种交替求解的策略，实现结构响应区间界限的精确包络，具有精度高、效率高的特点。

Description

一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的 方法

技术领域

本发明涉及多源不确定性存在情况下结构的力学响应评估技术，特别涉及在区间不确定性作用下，将非概率集合理论、交替Lipschitz搜索策略与BADS算法结合起来的确定结构响应区间的方法，为结构性能分析与安全性评估提供可靠数据支持。

背景技术

在工程实践的过程中，结构信息的匮乏、材料缺陷、制造误差以及复杂多样的工作环境造成了结构的实际工作时需要受到多源不确定性的影响。在不确定性作用下确定复杂结构系统的响应区间一直是研究的热点问题，目前为止并没有一种技术可以在精度、效率以及适用性上都做到完美。相关研究中，目前较为成熟的理论有：概率密度分布、模糊集、区间理论等。其中，概率密度分布虽然可以准确的描述客观存在的不确定性，但是一方面，往往需要大量的数据才可以准确的构建出概率分布的数学形式，这一点对于复杂结构是不可接受的，另一方面，复杂结构的试验数据获取通常需要巨大的时间和资源消耗，不仅成本过高，而且数据量的不足甚至会带来错误的概率分布，导致最终分析结果的错误。模糊集的方法由于对主观的判断具有依赖性，这一点与问题的客观性存在矛盾，导致其实用性不强。区间理论可以在有限的试验数据通过灰色数学、信息熵等方法实现不确定区间的量化。

目前基于区间理论确定复杂结构系统的响应界限的相关研究中，已经有蒙特卡洛模拟方法、摄动法及衍生方法、顶点法、配点法及衍生出的迭代逐维法和混沌多项式展开方法、基于代理模型与优化方法的分析方法等。在这些方法中，蒙特卡洛模拟方法由于需要进行大量的随机试验，难以应用于工程实际，通常作为一种对比方法使用；摄动法及衍生方法仅对线性的结构分析问题中有良好的适用性，对于非线性问题无能为力；顶点法适用于任何单调的结构分析问题，但是随着变量空间维度的增加，计算量以指数形式增加；配点法及衍生出的迭代逐维法和混沌多项式展开方法仅可以解决一定程度的非线性问题，且依赖于人为选点；基于代理模型与优化方法的分析方法依赖于方法中参数的调整以及初值的选择，通常得到的区间包络不完整，且在精度和效率的表现中相比于顶点法和配点法没有明显的优势。

真实世界中的结构往往较为复杂，在不确定性输入与结构响应之间的映射关系往往很难通过数学函数构建，通过上面的分析，当前用于确定结构响应区间的方法，一方面。一些依赖于结构系统的显式数学表达形式，一些依赖于算法本身的参数调整，方法的普适性较差，另一方面，在分析效率和精度方面难以同时让人满意。因此，针对确定复杂结构系统的响应区间这一技术难题，发展一种基于区间不确定性理论的高效高精度结构响应区间确定方法，对于实际结构的安全性设计与分析具有显著的现实意义。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服传统不确定响应区间确定方法在处理结构非线性方面难以兼顾效率、精度和自适应性方面的问题，将交替Lipschitz搜索策略与BADS优化算法结合起来，提出一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法。

本发明技术解决方案：一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法，实现步骤如下：

第一步：首先定义结构参数的区间x，区间中点向量x^c，区间半径x^r以及收敛容差ξ，并将区间向量x进行归一化，即向量x在各个维度的上下界换算为[-1,1]；记所面临的结构分析问题的数学函数为f；将定义的变量空间进行网格化，并随机选取初始样本点存入样本点集合Ω。

第二步：判断寻找上界、下界的过程是否都达到结束标志。如果否，根据当前的样本点数据计算Lipschitz常数矩阵K，如下：

寻找K

最小化

约束方程

K_m×m是对角矩阵

其中，||K||_F指矩阵K的Frobenius范数，m指的是变量的维度，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量；min指的是取最小值，max指的是取最大值，x_i指的是样本点集合Ω中下标为i的样本点。并判断当前迭代步数t的奇偶，如果为偶数，执行第三、四步执行，否则执行第五、六步；如果是，结构响应的区间上界和下界寻找结束。

第三步：采用BADS算法优化采样函数LI_UP，LI_UP的具体形式为：

其中，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量。完成优化后，在第一步对变量空间离散化得到的网格节点中，找到最优点附近采样函数值LI_UP最大的网格节点(X_t+1,f(X_t+1))，并更新样本点集合Ω。

第四步：判断收敛准则abs(f(X_t)-f(X_t-2))＜ξ是否得到满足。如果得到满足，保持随后的迭代步数t均为奇数，并以当前样本点中函数值f最大的样本点(X_t,f(X_t))_max为初始点，执行BADS算法继续精细化搜索上界，直到该算法收敛，则寻找上界的过程结束；如果不满足收敛准则，t:＝t+1，转到第二步。

第五步：采用BADS算法优化采样函数LI_LO，LI_LO的具体形式为：

其中，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量。完成优化后，在第一步对变量空间离散化得到的网格节点中，找到最优点附近采样函数值LI_LO最小的网格节点(X_t+1,f(X_t+1))，并更新样本点集合Ω。

第六步：判断收敛准则abs(f(X_t)-f(X_t-2))＜ξ是否得到满足。如果得到满足，保持随后的迭代步数t均为偶数，并以当前样本点中函数值f最小的样本点(X_t,f(X_t))_min为初始点，执行BADS算法继续精细化搜索下界，直到收敛，则寻找下界的过程结束；如果不满足收敛准则，t:＝t+1，转到第二步。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明针对工程分析过程中的不确定响应评估的迫切需求实现了一种确定结构响应区间的方法，对于安全性评估和性能分析的准确性提供了很大帮助。相较于传统的分析方法，该算法不仅充分考虑了问题中存在的非线性因素对于求解所带来的困难性，同时利用所提出的交替求解策略以及高效可靠的局部搜索算法BADS保证了计算资源的较少消耗以及求解的准确性。因此，该方法从可靠度、精度和效率上都具有很好的表现，在提高求解准确度的同时，降低资源消耗，加速分析进程。

附图说明

图1是本发明提出的一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法流程图；

图2是本发明采用的由弹簧-滑块-阻尼组成的不确定性系统的示意图；

图3是本发明所提出的方法与蒙特卡洛模拟以及贝叶斯优化算法的结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明提出了基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法流程图，包括以下步骤：

第一步：首先定义区间向量x，区间中点向量x^c，区间半径x^r以及收敛容差ξ，

其中，m代表变量空间的维度，下标i代表变量的编号，x_i和

分别代表对应变量的上界和下界，x和

分别代表区间向量的上界和下界。并将区间向量x根据区间长度进行归一化，即向量x在各个维度的上下界换算为[-1,1]；记所面临的结构分析问题的数学函数为f；将定义的变量空间进行网格化，并随机选取初始样本点存入样本点集合Ω。

第二步：判断寻找上界、下界的过程是否都达到结束标志。如果否，根据当前的样本点数据计算Lipschitz常数矩阵K，如下所示为求解K的优化列式，可通过序列二次规划的优化算法求解该问题：

寻找K

最小化

约束方程

K_m×m是对角矩阵

其中，||K||_F指矩阵K的Frobenius范数，m指的是变量的维度，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量；min指的是取最小值，max指的是取最大值，x_i指的是样本点集合Ω中下标为i的样本点。并判断当前迭代步数t的奇偶，如果为偶数，执行第三、四步执行，否则执行第五、六步；如果是，结构响应的区间上界和下界寻找结束。

第三步：采用BADS算法优化采样函数LI_UP，其中函数LI_UP的具体形式为：

其中，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量，x_j指的是样本点集合Ω中下标为j的样本点。

该优化问题的优化列式为：

其中χ代表整个连续的变量空间。

完成优化后，在第一步对变量空间离散化得到的网格节点中，找到最优点附近采样函数值LI_UP最大的网格节点(X_t+1,f(X_t+1))，并更新样本点集合Ω。

第四步：判断收敛准则abs(f(X_t)-f(X_t-2))＜ξ是否得到满足。如果得到满足，保持随后的迭代步数t均为奇数，并以当前样本点中函数值f最大的样本点(X_t,f(X_t))_max为初始点，执行BADS算法继续精细化搜索上界，直到收敛，则寻找上界的过程结束；如果不满足收敛准则，t:＝t+1，转到第二步。

第五步：采用BADS算法优化采样函数LI_LO，LI_LO的具体形式为：

其中，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量，x_j指的是样本点集合Ω中下标为j的样本点。

该优化问题的优化列式为：

其中χ代表整个连续的变量空间。

完成优化后，在第一步对变量空间离散化得到的网格节点中，找到最优点附近采样函数值LI_LO最小的网格节点(X_t+1,f(X_t+1))，并更新样本点集合Ω。

第六步：判断收敛准则abs(f(X_t)-f(X_t-2))＜ξ是否得到满足。如果得到满足，保持随后的迭代步数t均为偶数，并以当前样本点中函数值f最小的样本点(X_t,f(X_t))_min为初始点，执行BADS算法继续精细化搜索下界，直到收敛，则寻找下界的过程结束；如果不满足收敛准则，t:＝t+1，转到第二步。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的由弹簧-滑块-阻尼组成的不确定性系统验证该方法。

弹簧-滑块-阻尼系统是减震装置中的常用力学子系统，该系统具有两个质量块，记为，m₁,m₂，三个弹簧，记为k₁,k₂,k₃，三个阻尼器，记为c₁,c₂,c₃。在这里假设m₁＝m₂＝m,c₁＝c₂＝c₃＝c,k₁＝k₂＝k₃＝k。并且假设变量m,k,c的不确定区间分别为[270,330](kg),[315,365](kN/m),[5.4,6.6](N·s/m)。给定该非保守系统的初始条件为x₀＝[00]^T(m),x₀＝[50]^T(m/s)。

利用所提出的基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法确定1-10s内m₁位移的上界与下界，与蒙特卡洛模拟方法、贝叶斯优化方法进行对比，具体如图3所示，贝叶斯优化方法无法在整个时间段实现结构响应区间的准确包络，而本发明所提出的方法与蒙特卡洛模拟方法，在整个时间历程中都可以准确计算出结构响应区间的上下界，具有良好的可靠性与精度；如表1所示，是本发明所提出的方法与蒙特卡洛模拟以及贝叶斯优化算法在9.5s时刻计算的m₁位移区间的结果对比。可以看出本发明所提方法，在精度和效率上都要好于其余两种方法。

表1

综上所述，本发明通过所提出基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法，结合所提出的交替Lipschitz搜索的思想和局部优化算法BADS，可以快速准确地包络结构响应的界限，具有良好的工程适用性。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (3)

1.一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法，其特征在于：实现步骤如下：

第一步：首先针对所要分析的结构对象，定义输入区间向量x，区间中点向量x^c，区间半径x^r以及收敛容差ξ，并将区间向量x进行归一化，即向量x在各个维度的上下界换算为[-1,1]；记建立的结构有限元分析模型的数学函数为f；将定义的变量空间进行网格化，并随机选取初始样本点存入样本点集合Ω；

第二步：判断寻找结构区间响应上界、下界的过程是否都达到结束标志，如果否，根据当前的样本点数据计算Lipschitz常数矩阵K，判断当前迭代步数t的奇偶，如果为偶数，执行第三、第四步，否则执行第五、六步；如果是，结构响应区间得到确定；

第三步：构建采样函数LI_UP，并采用BADS优化算法寻找LI_UP的最大值，完成优化后，在第一步对变量空间离散化得到的网格节点中，找到最优点附近采样函数LI_UP的值最大的网格节点(X_t+1,f(X_t+1))，并更新样本点集合Ω；

第四步：用abs表示绝对值的概念，判断收敛准则abs(f(X_t)-f(X_t-2))＜ξ是否得到满足，如果得到满足，保持随后的迭代步数t均为奇数，并以当前样本点中函数值f最大的样本点(X_t,f(X_t))_max为初始点，执行BADS算法继续寻找响应区间上界，直到该BADS算法收敛，则寻找上界的过程结束；如果不满足收敛准则，t:＝t+1，转到第二步；

第五步：构建采样函数LI_LO，并采用BADS优化算法寻找采样函数LI_LO最小值，完成优化后，在第一步对变量空间离散化得到的网格节点中，找到最优点附近采样函数LI_LO的值最小的网格节点(X_t+1,f(X_t+1))，并更新样本点集合Ω；

第六步：判断收敛准则abs(f(X_t)-f(X_t-2))＜ξ是否得到满足，如果得到满足，保持随后的迭代步数t均为偶数，并以当前样本点中函数值f最小的样本点(X_t,f(X_t))_min为初始点，执行BADS优化算法继续寻找响应区间下界，直到该算法收敛，则寻找下界的过程结束；如果不满足收敛准则，t:＝t+1，转到第二步；

所述第二步中，计算Lipschitz常数矩阵K如下：

其中，||K||_F指矩阵K的Frobenius范数，m指的是变量的维度，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量；min指的是取最小值，max指的是取最大值，x_i指的是样本点集合Ω中下标为i的样本点。

2.根据权利要求1所述的一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法，其特征在于：所述第三步中，采样函数LI_UP的具体形式为：

其中，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量，x_j指的是样本点集合Ω中下标为j的样本点。

3.根据权利要求1所述的一种基于交替Lipschitz搜索策略的确定结构响应区间的方法，其特征在于：所述第五步中，采样函数LI_LO的具体形式为：

其中，q指的是样本点集合Ω中的样本点数量，x_j指的是样本点集合Ω中下标为j的样本点。

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