CN108287808A - 一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构可靠性分析领域，并具体公开了一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，包括如下步骤：建立结构极限状态函数，确定随机变量及随机变量分布信息；构建随机点并将随机变量及随机点转换至标准正态空间中以确定目标采样区域；构建训练点，形成训练数据集并建立代理模型；对目标采样区域进行划分，识别出最敏感区域；开采最敏感区域，获得一个新的训练点，更新训练数据集及代理模型，然后计算预测失效概率；计算所有局部区域的最大相对误差及预测失效概率的变异系数，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样，以此完成结构可靠性的分析。本发明具有操作步骤简单、效率高、自适应强等优点。

Description

一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法

技术领域

本发明属于结构可靠性分析领域，更具体地，涉及一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法。

背景技术

可靠性是衡量复杂结构服役性能的关键概率指标，不同于确定性分析，可靠性分析充分考虑影响结构失效的各方面不确定因素，例如材料属性、载荷条件、加工工艺、装配环境等。近年来，一系列的结构可靠性分析理论方法已经应用于航空航天、远洋装备、基础设施等领域，随着人们对结构服役性能的要求与日俱增，高可靠性复杂结构装备已成为中国制造迈向高精尖化的一个重要标志，而可靠性分析理论则在其中扮演核心角色。

尽管可靠性分析理论已经取得了飞速发展，但是当大型结构装备越来越复杂、服役要求越来越高时，结构的极限状态函数(也称为功能函数)通常具有高度非线性特点，甚至是未知隐式的。此时常规的解析法(如一次二阶矩法)、蒙特卡洛模拟法及其改进方法均不再适用，而代理模型则可以很好地解决此类复杂黑箱问题。

基于代理模型的可靠性分析方法通常采用某种实验设计方法选取一系列的训练点来构造原始极限状态函数的近似代理模型，并用该近似代理模型进行后续的分析评估。常用的代理模型包括：多项式响应面、多项式混沌展开、Kriging、径向基函数、支持向量回归、神经网络等。对于实际工程问题，获取每一个训练点的真实响应值都需要进行仿真实验或者物理实验，这个过程非常耗时。因此，决定此类方法使用效率的关键在于，借助合理有效的实验设计方法，用尽可能少的训练点构建出能够满足可靠性分析精度要求的代理模型。

现有的面向结构可靠性分析的实验设计方法主要包括一次采样和序列采样。一次采样为了获得在整个设计空间内拥有较高全局精度的代理模型，通常会使所构造的训练点均匀分布在整个空间内。但是对于可靠性分析而言，只有精确地拟合出极限状态边界才能获取准确的失效概率结果，当代理模型仅仅只是具有较好的全局精度时，失效评估的结果并不完全准确，对于一些小失效概率的复杂结构，失效评估的结果有时甚至是错误的。此外，一次采样的使用往往还受限于训练点集大小的确定，在不了解结构黑箱内部机理的情形下预先设置好训练点的数目很困难。不同于一次采样，序列采样主要构建一个在极限状态边界足够精确的局部代理模型，并尽量保证全局精度，从而使代理模型适应可靠性分析的需求。但是，现有的采样策略往往过于依赖某一种代理模型，对不同问题不具有很好的适应性；并且，它们在增加新的训练点时并没有充分利用对于可靠性分析有用的迭代信息，评估结果没有实时地反馈到训练点的获取和停止更新模型上。

因此，针对基于代理模型的高效可靠性分析，提出一种步骤简单、适应性强、高度符合可靠性分析需求、关键区域精度高且耗时短的自适应序列采样方法具有重要意义。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其目的在于弥补面向可靠性分析的序列采样方法适应性不强、不能紧密联系可靠性分析需求的短板，提供一种操作步骤相对简单、效率较高且能满足可靠性分析需求的自适应序列采样分析方法，具有操作步骤简单、效率高、自适应强等优点。

为实现上述目的，本发明提出了一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，包括如下步骤：

S1建立待分析结构的极限状态函数，确定极限状态函数中的随机变量及随机变量的分布信息；

S2根据极限状态函数及随机变量的分布信息构建随机点，并将随机变量及随机点转换至标准正态空间中以确定目标采样区域；构建N_sample个训练点形成训练数据集，并建立代理模型，根据代理模型计算预测失效概率；

S3根据训练点对目标采样区域进行划分以获得多个局部区域，计算每个局部区域的预测失效概率误差，以识别出最敏感区域；

S4开采步骤S3得到的最敏感区域，获得第N_sample+1个训练点，更新训练数据集以及代理模型，然后重新计算预测失效概率；

S5根据S3每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差，并计算S4得到的预测失效概率的变异系数，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样，以此方式完成整个采样过程。

作为进一步优选的，步骤S3中计算每个局部区域对预测失效概率精度的影响以识别出最敏感区域具体为：采用公式(1)计算每个局部区域的预测失效概率误差，预测失效概率误差最大的区域即为最敏感区域，所述公式(1)如下：

其中，是从训练点集中去掉一个训练点x_i得到的预测失效概率误差，为预测失效概率，是去掉训练点x_i以重新构建一个代理模型，并利用该代理模型计算得到的预测失效概率，N是当前训练点的个数。

作为进一步优选的，步骤S4中开采最敏感区域获得第N_sample+1个训练点具体采用如下方式开采：

其中，表示随机点到局部区域中心x_i的距离，m表示随机点处的预测响应的m次幂，选取值最小的随机点作为第N_sample+1个训练点。

作为进一步优选的，步骤S5中根据S3每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差具体为：

其中，P为最大相对误差。

作为进一步优选的，步骤S5中计算S4得到的预测失效概率的变异系数具体为：

其中，为预测失效概率的变异系数，为步骤S4重新计算的预测失效概率，为预测失效概率的方差。

作为进一步优选的，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样具体为：

S51判断最大相对误差P是否小于等于相对误差极限值ε_r，若是，则转入步骤S52；若否，则返回步骤S3；

S52判断是否小于5％，若是，则终止采样；若否，则返回步骤S2，构建更多的随机点以扩大采样区域继续进行分析，直至满足终止条件。

总体而言，本发明所构思的以上技术方案通过重建采样区域缩小采样建模范围，建立预测失效概率误差以动态追踪对极限状态拟合精度最敏感的区域，构造简单的响应距离公式对局部区域进行有效开采等操作构建了一个自适应序列采样的闭环回路。通过与现有技术对比，本发明具有以下优点：

本发明充分考虑了随机变量的统计信息、最可能提升预测失效概率精度的迭代信息、局部敏感区域内随机点的个体信息，有效结合了这些与可靠性分析息息相关的信息来指导训练点的获取和停止更新代理模型。

本发明不局限于任何一种代理模型，任意代理模型都可以很好地与本发明提供的技术方案相结合。

本发明不局限于所提供的局部区域勘探方案，现有技术所提出的开采策略均可以运用于本发明中；且本发明设计的开采策略适应性最广，其相对误差较低，效果较好。

总之，本发明提供了一种高效的通用动态追踪序列采样方法，对于复杂结构可靠性分析问题具有很好的适应性。

附图说明

图1为本发明实施例提供的一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法的流程框图；

图2(a)和(b)为本发明实施例1确定采样区域示意图；

图3为本发明实施例1划分圆形采样区域示意图；

图4(a)和(b)为本发明实施例1开采局部区域示意图；

图5为本发明实施例1采样结果和极限状态边界模拟图；

图6(a)和(b)为本发明实施例2屋顶桁架结构示意图；

图7为本发明实施例2预测失效概率收敛图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明实施例提供的一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其包括如下步骤：

S1建立待分析结构的极限状态函数，确定极限状态函数中的随机变量及随机变量的分布信息；

S2根据极限状态函数及随机变量的分布信息构建随机点，并将随机变量及随机点转换至标准正态空间中以确定目标采样区域；构建N_sample个训练点形成训练数据集，并建立代理模型，根据代理模型计算预测失效概率；

S3根据训练点对目标采样区域进行划分以获得多个局部区域，计算每个局部区域的预测失效概率误差，以识别出最敏感区域；其中，采用公式(1)计算每个局部区域的预测失效概率误差，预测失效概率误差最大的区域即为最敏感区域，公式(1)如下：

其中，是从训练点集中去掉一个训练点x_i得到的预测失效概率误差，为预测失效概率，是去掉训练点x_i以重新构建一个代理模型，并利用该代理模型计算得到的预测失效概率，N是当前训练点的个数；

S4开采步骤S3得到的最敏感区域，获得第N_sample+1个训练点，更新训练数据集以及代理模型，然后重新计算预测失效概率；其中，采用如下方式开采：式中，表示随机点到局部区域中心x_i的距离，m表示随机点处的预测响应的m次幂，选取值最小的随机点作为第N_sample+1个训练点；

S5根据S3每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差，并计算S4得到的预测失效概率的变异系数，根据每个局部区域的最大相对误差和变异系数判断是否终止采样，以此方式完成整个采样过程。

具体的，最大相对误差采用下式计算：P为最大相对误差；预测失效概率的变异系数采用下式计算：其中，为预测失效概率的变异系数，为步骤S4重新计算的预测失效概率，为预测失效概率的方差。

更为具体的，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样具体为：

S51判断最大相对误差P是否小于等于相对误差极限值ε_r，若是，则转入步骤S52；若否，则返回步骤S3；

S52判断是否小于5％，若是，则终止采样；若否，则返回步骤S2，构建更多的随机点以扩大采样区域继续进行分析，直至满足终止条件。

以下为本发明的具体实施例。

实施例1

图1为本发明所提供的面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法的流程框图，共包括五个步骤，本实施例1以一个二维应用实例详细介绍本发明分析方法的操作步骤如下：

S1建立可靠性分析模型：分析待测试结构的失效机理，建立其极限状态函数，确定极限状态函数中的随机变量及随机变量的分布信息，建立的极限状态函数如下：

其中，g(x)为极限状态函数，x₁和x₂为随机变量，x₁服从均值为1.5，标准差为1的正态分布，x₂服从均值为2.5，标准差为1的正态分布，即两个随机变量的分布类型分别为x₁～N(1.5,1²)，x₂～N(2.5,1²)；

S2确定目标采样区域，构建初始代理模型

S21根据极限状态函数及随机变量的分布信息构建随机点，并将随机点转换至标准正态空间中以确定目标采样区域。图2(a)-(b)展示了确定采样空间的过程。图2(a)为原始空间，图中的曲线为极限状态函数边界，以随机变量为中心、根据随机变量x₁和x₂的分布信息(即分布类型)产生N_MC个随机点，譬如产生10⁶个Monte Carlo点(MC点，蒙特卡罗随机点)，如图2所示，落在曲线内(即曲线下方或曲线上)的点表示安全，落在曲线外(即曲线上方)的点表示失效，此时MC点的中心为(1.5,2.5)。图2(b)为标准正态空间，将随机变量从原始空间转换到标准正态空间中，相应的MC点也转换到了标准正态空间中，此时MC点的中心为(0,0)。通过图2(a)和(b)两图对比可见，通过向标准正态空间转换，原始空间的MC点的外轮廓由不规则图形转换为一个以标准正态空间的原点为圆心，能把所有的MC点包围在内的圆，本实施例取能把所有MC点包围在内的最小圆包围的区域作为目标采样区域。此时对于可靠性分析而言，核心问题已由在原始空间中精确拟合极限状态边界转化为在标准正态空间的圆内精确拟合极限状态边界。

S22构建N_sample个训练点，形成训练数据集，并建立代理模型(此时为初始代理模型，后续会不断更新)，在目标采样区域内生成10个初始训练点X＝{x₁,x₂,...,x₁₀}∈R²，即N_sample为10，可采用现有常规的方法例如拉丁超立方采样、嵌套拉丁超立方采样、最优拉丁超立方采样、移动增殖算法(translational propagation algorithm)等生成训练点，其为现有技术，在此不赘述，然后将初始训练点带入步骤S1建立的极限状态函数g(x)中，得到初始训练数据集{(x_i,g(x_i))|i＝1,...,10}，然后利用初始训练数据集构建初始代理模型可采用现有常规方法构建代理模型，例如多项式响应面、多项式混沌展开、Kriging、径向基函数、支持向量回归、神经网络等，其为现有技术，在此不赘述；基于初始代理模型计算预测失效概率例如采用蒙特卡罗模拟法计算失效概率，其计算公式为其中，N_MC为MC点的个数，I(·)为指示函数，为MC点中其中一点，为蒙特卡罗模拟法用于失效概率预测时产生的MC点处的代理模型响应值，如果则I(·)＝1；反之，I(·)＝0。当然也可以采用其他常规方法例如重要抽样法、子集模拟法、线抽样法计算预测失效概率。

S3对目标采样区域进行划分处理并识别对当前预测结果精度最敏感的局部区域

S31根据训练点(初始值为N_sample，后续会不断更新)对目标采样区域进行划分以获得多个局部区域，将圆形目标采样区域划分为以现有训练点为中心的多个局部区域，任意一个落在某个局部区域的点到该区域中心训练点的距离都小于其到其他区域中心训练点的距离，譬如采用泰森多边形图解法进行划分，每个泰森多边形小区域可以表示为：

其中，i,j＝1,...,N_sample，N_sample表示训练点的个数，d表示设计变量的个数。但是从数学上出发，很难准确的描述每一个小泰森多边形的不规则边界。因此，在实际应用中，选择在整个圆内随机产生多个点譬如N_sample×200个点，并用落在区域C_i中的随机点组成的集合来代替表示区域C_i，其中，k为区域C_i内随机点的个数，是第k个随机点。如图3所示，圆形区域被划分为10个局部小区域，每个局部小区域由若干个随机点表示，不同区域之间由实线隔开。

S32计算每个局部区域对预测失效概率精度的影响，以识别出最敏感区域，因为极限状态边界的拟合精度表现为预测失效概率的计算精度，所以，识别最有可能提高极限状态边界拟合精度的区域(即代理模型拟合精度的局部区域)，就是识别出最有可能提高失效概率精度的局部区域。为实现本步操作，本发明提出一个基于交叉验证的预测失效概率误差，计算每个局部区域对当前预测失效概率精度的影响：

其中，是从训练点集中去掉一个训练点x_i得到的预测失效概率误差，N是当前训练点的个数(初始值为N_sample，后续会不断更新)，是去掉训练点x_i以重新构建一个代理模型并利用该代理模型计算得到的预测失效概率，为预测失效概率(初始值为步骤S22计算的预测失效概率，后续会不断更新，由步骤S42重新计算的预测失效概率进行更新)。根据此计算公式可知，越大，训练点x_i对极限状态边界拟合精度的影响越大，也就是局部区域C_i对预测失效概率精度的影响越大，该训练点x_i所在的局部区域C_i即为最敏感的局部区域。如图4(a)所示，每个小区域都有一个条形柱表示其预测失效概率误差，条形柱的长短表示误差的大小，最长的条形柱代表的对预测精度最敏感的局部区域被筛选出来，则第N_sample+1个训练点将从该局部区域C_i中开采出来。

S4开采局部区域，更新代理模型和预测失效概率

S41开采最敏感区域获得第N_sample+1个训练点，采用如下开采方式进行开采：

其中，表示最敏感区域内的随机点到最敏感区域中心x_i的距离，m表示随机点处的预测响应的m次幂，本实施例中m取2，选取值最小的随机点作为第N_sample+1个训练点，再将第N_sample+1个训练点带入步骤S1的极限状态函数求得其响应值更新训练数据集；当然局部区域勘探策略(即开采方式)也可以使用现有技术中的开采方法，例如学习函数EFF，学习函数U，学习函数LIF等，但是本发明的开采方式适应性最广。

S42利用新的训练数据集更新代理模型重新计算预测失效概率该预测失效概率在下一个循环时将作为步骤S32中计算预测失效概率误差公式中的输入值，即更新预测失效概率的值。

S5根据S32每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差，并计算S42得到的预测失效概率的变异系数，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样：

S51根据S32每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差：

其中，ε_r是相对误差极限值，ε_r取0.01～0.02，与步骤S32中采用的预测失效概率保持一致，如果预测失效概率的最大相对误差小于等于极限值，则进入步骤S52，如果大于极限值，则返回步骤S31，进行新的采样循环，此时步骤S31中的训练点更新为N_sample+1；

S52计算步骤S42得到的预测失效概率相应的变异系数：

其中，是预测失效概率的方差；

本实施例采用蒙特卡罗模拟法计算失效概率，则变异系数求解如下：

如果小于5％，则终止采样，输出最终结果(即输出最终的失效概率)；否则，返回步骤S2，产生更多的蒙特卡罗随机点，从而扩大采样区域，直到满足终止条件，输出最终结果(即输出最终的失效概率)。当然，此时前面采样得到的训练数据集依然可以继续使用，故也可以跳过步骤S22，直接进入步骤S3。

图5给出了最终的采样结果和极限状态函数的拟合结果。图中+表示初始训练点，圆圈表示序列训练点，实线表示真实的极限状态边界，虚线表示拟合的极限状态边界，根据代理模型预测得到的失效概率为0.03118，与真实的失效概率0.03129相比，误差约为0.35％，因此，采用本发明的分析方法进行结构可靠性分析(即得出失效概率)的分析结果较为准确。

实施例2

本实施例通过对屋顶桁架进行可靠性分析对本发明的方法进一步进行说明，采用本发明方法的分析过程如下：

S1建立屋顶桁架的极限状态函数，图6(a)-(b)是屋顶桁架的结构示意图，屋顶桁架上弦杆和压杆的材料为钢筋混凝土，下弦杆和拉杆的材料为某型钢，均匀分布载荷q作用于屋顶桁架的下弦，该载荷可以转化为图6(b)所示节点载荷P＝ql/4。桁架的失效模式定义为顶部节点C的垂直变形大于0.03m，对桁架受力分析得其极限状态函数为：

其中，Δ_C表示节点C的垂直变形，l是桁架下端长度，A_C和A_S分别为钢筋混凝土杆和钢杆的横截面面积，E_C和E_S分别为相应的弹性模量，极限状态函数中的6个变量为独立的随机变量，它们的统计信息如表1所示：

表1屋顶桁架随机变量统计信息

注：对于威布尔分布，参数1和参数2分别为尺度参数和形状参数；对于对数分布，参数1和参数2分别为均值和标准差。

S2确定目标采样区域，构建初始代理模型

将随机变量和相应的10⁶个MC点转换到标准正态空间，生成一个超球体目标采样区域，在超球体中譬如使用移动增殖算法(translational propagation algorithm)随机生成18个训练点，将这18个点带入极限状态函数求得响应值，从而组成初始训练点数据集，如表2所示：

表2初始训练点数据集

根据初始数据集构建初始代理模型，本例选用Kriging模型构建，其为现有技术，再次不赘述，并计算初始预测失效概率

S3交替循环序列采样，更新Kriging模型和分析结果，即执行实施例1的步骤S3-S5，逐步更新训练数据集和Kriging模型，并基于更新后的Kriging模型重新计算相应的失效概率，并根据终止采样判断准则判断预测失效概率精度和变异系数是否满足要求，直到所有准则均满足以后，得出最终失效概率结果为2.018×10^-3，相对于真实失效概率2.017×10^-3(调用真实极限状态函数，采用蒙特卡洛模拟法计算得来)而言，相对误差为0.05％，变异系数为2.22％(MC点个数为10⁶)。表3为本发明与现有技术对比结果，图7为预测失效概率收敛图。

表3本发明与现有技术对比结果

其中，现有技术1为基于Kriging和蒙特卡洛模拟的主动学习方法(AK-MCS)，其使用学习函数U开采新样本点：

其中，为Kriging预测的任意一个点x处的不确定性标准差，在每次迭代循环中，选取使U(x)值最小的候选点作为新样本点。此学习函数同样可以用于本发明，因此本发明1为在步骤S41中使用学习函数U进行勘探(开采最敏感区域)，本发明2为在步骤S41中使用本发明提出的学习函数RD进行勘探。在本实施例中，为了保证比较的可靠性，每个方法均运行10次，取结果平均值。从表3可以看出，与现有技术1相比，本发明无论使用学习函数U还是RD，均具有明显的效率优势，这也说明本发明对不同学习函数具有一定的兼容性和通用性，并且采用本发明的函数RD进行勘探其相对误差最低，效果最好。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1建立待分析结构的极限状态函数，确定极限状态函数中的随机变量及随机变量的分布信息；

S2根据极限状态函数及随机变量的分布信息构建随机点，并将随机变量及随机点转换至标准正态空间中以确定目标采样区域；构建N_sample个训练点形成训练数据集，并建立代理模型，根据代理模型计算预测失效概率；

S3根据训练点对目标采样区域进行划分以获得多个局部区域，计算每个局部区域的预测失效概率误差，以识别出最敏感区域；

S4开采步骤S3得到的最敏感区域，获得第N_sample+1个训练点，更新训练数据集以及代理模型，然后重新计算预测失效概率；

S5根据步骤S3中计算的每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差，并计算步骤S4中得到的预测失效概率的变异系数，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样，以此方式完成整个采样过程。

2.如权利要求1所述的面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其特征在于，步骤S3中计算每个局部区域的预测失效概率误差以识别出最敏感区域具体为：采用公式(1)计算每个局部区域的预测失效概率误差，预测失效概率误差最大的区域即为最敏感区域，所述公式(1)如下：

其中，是从训练点集中去掉一个训练点x_i得到的预测失效概率误差，为步骤S2计算获得的预测失效概率，是去掉训练点x_i以重新构建一个代理模型，并利用该代理模型计算得到的预测失效概率，N是当前训练点的个数。

3.如权利要求1或2所述的面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其特征在于，步骤S4中开采最敏感区域获得第N_sample+1个训练点具体采用如下方式开采：

其中，表示随机点到局部区域中心x_i的距离，m表示随机点处的预测响应的m次幂，选取值最小的随机点作为第N_sample+1个训练点。

4.如权利要求1所述的面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其特征在于，步骤S5中根据步骤S3每个局部区域的预测失效概率误差计算最大相对误差具体为：

其中，P为最大相对误差。

5.如权利要求1所述的面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其特征在于，步骤S5中计算步骤S4得到的预测失效概率的变异系数具体为：

其中，为预测失效概率的变异系数，为步骤S4重新计算的预测失效概率，为预测失效概率的方差。

6.如权利要求1所述的面向结构可靠性分析的通用动态追踪序列采样方法，其特征在于，根据最大相对误差和变异系数判断是否终止采样具体为：

S51判断最大相对误差P是否小于等于相对误差极限值ε_r，若是，则转入步骤S52；若否，则返回步骤S3；

S52判断是否小于5％，若是，则终止采样；若否，则返回步骤S2，构建更多的随机点以扩大采样区域继续进行分析，直至满足终止条件。