CN104820750A - 一种基于判别分析的结构可靠度动态响应面方法 - Google Patents

Abstract

一种基于判别分析的结构可靠度动态响应面方法，包括以下步骤：确定随机变量；采用马尔科夫链蒙特卡洛法进行抽样，并确定初始训练样本点，计算初始训练样本点的功能函数值并确定其状态值；构建训练样本集并进行分类响应面的训练，得到已训练分类响应面；随机抽取N个样本点并估计状态值，再计算失效概率；判断是否满足收敛条件，若满足则停止；否则找出失效样本点，找出并计算最可能失效点的功能函数值并确定其状态值；将最可能失效点及其状态值作为一个新样本添加到所述训练样本集，重复后续步骤，直至收敛条件满足。本发明方法具有原理简单、计算效率高的优点，为单次计算较为耗时的复杂结构可靠度高精度分析提供了的有效途径。

Description

一种基于判别分析的结构可靠度动态响应面方法

技术领域

本发明涉及一种基于判别分析的可靠度分析方法，主要针对具有隐式非线性功能函数的复杂结构可靠度分析，属于结构可靠性分析技术领域。

背景技术

伴随着中国经济的快速发展及科学技术的不断进步，大型复杂结构被广泛应用于实际工程中，工程结构的安全问题也成为人们越来越关心的热点问题。工程结构与其他人造产物相比有着不同的特点，结构工程建造耗资巨大，使用周期长。作为人们的生产活动场所，其可靠度与人们生命财产安全息息相关，作为国家的基础设施，工程结构不仅影响到国计民生，还影响到国家的现代化进程。因此保证结构在规定使用期内能承受各种设计作用，满足设计要求的各种使用功能，且不需要过多维护而保持自身的工作能力是至关重要的。

与简单结构不同，对于大型复杂结构，其功能函数往往具有高维度高非线性的特点，且不存在明确的解析表达式，功能函数值一般需要借助于耗时的有限元计算获取。对于这类可靠度问题，给需要利用功能函数解析表达式的梯度推求可靠度的一次二阶矩法(FORM)、二次二阶矩法(SORM)等方法带来了困难。蒙特卡洛模拟法(MCS)适用于求解隐式功能函数的结构可靠度问题且有较高的计算精度，但大量耗时的结构重分析导致蒙特卡洛模拟法(MCS)在实际工程应用中受到了极大限制。在这种情况下，响应面法(RSM)成为解决该类问题的主要方法，响应面的构造有回归和分类两种形式。常规的回归响应面法计算精度较差，也有学者引入神经网络技术构造回归响应面，而神经网络的拓扑结构、过学习和局部最优等问题目前还没有得到很好的解决。另外需要指出的是采用回归响应面法进行可靠度分析时需要的功能函数响应值必须为连续分布的变量。而有限元分析得到的功能函数响应值一般为一状态变量：失效和可靠两个状态(把临界状态与失效状态合并)，因而一般情况下功能函数相当于一个二元分类器，当功能函数小于0时，判别样本属于失效空间，否则为可靠空间。这也是MCS法通过统计大量样本点属于失效空间内的频数来确定结构失效概率的依据。

在蒙特卡洛模拟法(MCS)可靠性分析方法中，失效概率可以用表示，式中，I[·]是指示函数，如果事件发生，值为1，否则等于0。g(x)为结构功能函数，g(x)≤0表示结构失效。从分类的角度看，只需要估计g(x)的类别标签，不需要知道其真实功能函数值，所以上式可写为式中，sgn(g(x))是g(x)的类别标签，等于-1代表样本落入失效域，即结构失效，等于+1代表结构安全。现在我们只需要通过分类模型估计sgn(g(x))的值，即结构状态，这样就可以把分类方法和蒙特卡洛模拟法(MCS)结合求解可靠度。

在自然科学和社会科学的研究中，研究对象用某种方法已划分为若干类型，当得到一个新的样本数据(通常是多元的)，要确定该样本属于已知类型中的哪一类，这类问题属于判别分析(Discriminant Analysis，DA)。从统计数据分析的角度，判别分析的模型如下：设有k个总体G₁，G₂，…，G_k，它们都是p元总体，设总体G_i的分布函数是F_i(x)＝F_i(x₁，x₂，…，x_p)，i＝1,2,…,k，对于任一新样品数据x＝(x₁，x₂，…，x_p)^T，要判断它来自哪一个总体G_i。一种重要的情况是两总体的判别分析，判别分析在本发明中的应用即属于两总体判别分析问题。通常各个总体G_i的分布是未知的，它需要由各总体G_i取得的样本数据资料来估计,一般，先要估计各个总体的均值向量与协方差矩阵。从每个总体G_i取得的样本叫训练样本。通过从各训练样本中提取各总体的信息，构造一定的判别准则，判断新样本属于哪个总体。常用的判别准则有：距离判别、Fisher判别、Bayes判别等。

当前，对分类响应面法的研究，在分类模型的选择方面多集于在支持向量机，而支持向量机存在着参数难以合理选择的问题；在提高分类响应面拟合精度和可靠度计算效率方面，学者的研究多集中于分类模型与优化方法相结合的方式，而这种方式要使用到分类模型本身的特性，而且优化过程对有限元调用次数的减小程度有所限制；也有学者通过更新训练样本达到更新分类响应面的目的，但也是结合支持向量机本身的特性。因此，对基于分类响应面的可靠度研究，在分类模型的选择方面和计算精度与效率的提高方面都有待进一步研究。

基于此，本发明提出了一种基于判别分析的结构可靠度动态响应面法。

发明内容

本发明的目的在于，针对隐式非线性功能函数的复杂结构可靠度问题已有技术上的不足，提出一种基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，使得进行复杂结构可靠度分析时，在保证精度的前提下降低计算代价。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

一种基于判别分析的结构可靠度动态响应面方法，包括以下步骤：

(1)确定随机变量，对随机变量进行标准化处理，若随机变量中存在相关，则将所有随机变量转化为独立正态变量；

(2)采用马尔科夫链蒙特卡洛法进行抽样，选择马尔科夫链备选状态点作为判别分析分类模型的初始训练样本点，计算初始训练样本点的功能函数值并确定其状态值；

(3)把初始训练样本点及其状态值作为训练样本集，利用训练样本集通过判别分析分类进行分类响应面的训练，得到已训练分类响应面；

(4)由蒙特卡洛抽样法随机抽取N个样本点，然后结合已训练分类响应面估计所述N个样本点的状态值，再计算失效概率P_f；

(5)判断失效概率P_f是否满足收敛条件，若满足则停止，否则转至步骤(6)；

(6)利用已训练分类响应面找出蒙特卡洛样本点中的失效样本点，并计算所述失效样本点的联合概率密度函数值f(X)，其中联合概率密度函数值f(X)最大的点为最可能失效点，计算最可能失效点的功能函数值并确定其状态值；

(7)将最可能失效点及其状态值作为一个新样本添加到步骤(3)所述训练样本集，重复步骤(3)–(7)，直至收敛条件满足。

步骤(1)中，采用式(a)对随机变量进行标准化处理：

$x^s=\frac{x}{{\mathrm{\σ}}_X}---\left(a\right)$

式中，x^s为标准化后的随机变量，σ_X为标准差。

步骤(1)中，采用Nataf变换将所有随机变量转化为独立正态变量。

步骤(2)中，依据工程经验或数值方法在失效域中确认一点作为马尔可夫链初始状态点。

步骤(2)中，若初始训练样本点的功能函数值大于零，代表该初始训练样本点落入安全域，即结构安全，记状态值为+1，若初始训练样本点的功能函数值小于或等于零，代表该初始训练样本点落入失效域，即结构失效，记状态值为-1。

步骤(3)中，利用训练样本集通过判别分析分类进行分类响应面的训练时，采用MATLAB工具箱函数进行。

步骤(4)中，假设功能函数为Z＝g(x)，采用蒙特卡洛模拟法，由式(b)计算失效概率P_f的估计值：

$P_f=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}[I\left(g\left(x\right)\right)+1]---\left(b\right)$

式中，x为由蒙特卡洛抽样法得到的随机样本点，g(x)为其功能函数值，I(g(x))是g(x)的状态值，利用步骤(3)中已训练分类响应面作为功能函数的替代模型，来预测I(g(x))的值，I(g(x))等于-1代表样本落入失效域，即结构失效，I(g(x))等于+1代表样本落入安全域，即结构安全。

步骤(5)中，所述收敛条件为前后两步的P_f相对比值小于1.5％。

步骤(6)中，根据式(c)计算所述失效样本点的联合概率密度函数值f(X)，

$f\left(X\right)=f(x_1,x_2,...x_s)=\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Π}}}f\left(x_i\right)---\left(c\right).$

步骤(6)中，若所述功能函数是隐式的，则通过有限元计算获取功能函数值。

步骤(1)中，在进行结构可靠度分析时，荷载、构件几何尺寸及材料特性等相关信息被选为随机变量。为保证分类模型的稳定性及泛化能力，对随机变量进行标准化处理。根据概率论的数学原理，在基本变量相互独立的情况下，随机变量X的多维联合概率密度f(x)等于它们的边缘概率密度的乘积。因此，对于随机变量非独立的情况，采用Nataf变换将所有随机变量转化为独立正态变量。

步骤(2)中，依据工程经验或数值方法在失效域中确认一点作为马尔可夫链初始状态点。若知晓设计点位置，马尔可夫链初始状态点选在靠近设计点附近的失效域内，可以使通过马尔可夫链产生的样本点更加贴近真实极限状态曲面，对分类响应面的构造有益。选择马尔科夫链备选状态点作为判别分析分类模型的初始训练样本点，是因为备选状态点中有失效和安全两类样本，满足分类器的构造要求，而马尔科夫链状态点只有失效点，而且有较多的重复。另外备选状态点同样进行过有限元计算，因此选择备选状态点充分利用了模拟过程中的有用信息，并避免了有限元计算的浪费。

步骤(4)中，假设功能函数为Z＝g(x)，采用蒙特卡洛模拟法，由式(b)计算失效概率P_f的估计值：

$P_f=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}[I\left(g\left(x\right)\right)+1]---\left(b\right)$

式中，x为由蒙特卡洛抽样法得到的随机样本点，g(x)为其功能函数值，I(g(x))是g(x)的状态值，利用步骤(3)中已训练分类响应面作为功能函数的替代模型来预测I(g(x))的值，I(g(x))等于-1代表样本落入失效域，即结构失效，I(g(x))等于+1代表样本落入安全域，即结构安全。

对步骤(6)有如下说明：

响应面法的关键是响应面与真实失效面(极限状态方程曲面)之间的逼近程度，通常情况下，利用少量初始训练样本构建具有高拟合精度响应面是难以实现的，因此需要通过更新响应面来提高其拟合精度。

根据结构可靠度理论，失效域中最可能失效点即对失效概率贡献最大点，称为最可能失效点，最可能失效点附近的区域为对失效概率贡献大的区域，即重要区域。分类响应面在重要区域的拟合精度对结构失效概率的求解精度影响甚大。故，最可能失效点是响应面修正时所需新样本点的理想选择。

根据结构可靠度理论，无论是在原始变量空间中，还是在标准正态空间中，随机变量的联合概率密度函数f(x)的变化梯度均呈单调变化性质。因此，失效域中对失效概率贡献最大的点，实际上就是失效域中随机变量联合概率密度最大点。特别地，在标准正态空间中，理论上的最可能失效点称为设计验算点，设计验算点到坐标原点的最短距离称为可靠指标β。

本发明部分术语的英文名称及首字母缩写如下：

蒙特卡洛(Monte Carlo，MC)抽样法；

马尔科夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo，MCMC)法；

最可能失效点(Most Probable Point，MPP)。

有益效果：

1、本发明将判别分析引入可靠度，训练出精度较高的分类器，作为真实功能函数的替代模型，进而结合蒙特卡洛模拟法求解失效概率。与传统方法相比较，本发明方法具有原理简单、计算效率高的优点，为单次计算较为耗时的复杂结构可靠度高精度分析提供了的有效途径。

2、本发明采用了基于最可能失效点的响应面动态更新策略，保证了分类响应面在重要区域的高拟合精度，从而保证了可靠度求解的精确度。此外，本发明的最可能失效点寻找方法具有简便易行、计算代价低的特点。对于隐式功能函数问题，最可能失效点的寻找一般需转化为等式约束极小化问题，即采用单纯性、遗传算法等无梯度优化算法搜索标准正态空间下坐标原点距离失效面的最短距离，这个过程需要大量调用有限元，计算代价较高。本发明中，每一迭代步最可能失效点的估计仅需1次有限元分析，从而保证了结构可靠度分析的高效性。

3、本发明方法能有效地解决背景技术中所述的问题，同时，该方法并不用到判别分析本身的特性，故该方法适合其他分类模型，具有一定的普适性。另外，该方法的简易可行性使其在实际工程应用中具有较大的潜力，这是由于该方法可以直接使用MATLAB工具箱中已有的分类程序并通过数据接口文件实现对有限元软件ANSYS的直接调用，充分利用MATLAB便捷的编程功能和ANSYS强大的有限元分析功能，方便了工程师的运用。

4、利用已训练分类响应面找出蒙特卡洛样本点中的失效样本点，并计算所述失效样本点的联合概率密度值f(X)，其中联合概率密度值f(X)最大的点为最可能失效点。因此，只要抽样次数足够大，利用蒙特卡洛抽样法在离散空间内搜索出的失效域内联合概率密度最大点必将无限逼近于理论上连续空间的最可能失效点，至少每一迭代步估计出的最可能失效点都在真实最可能失效点附近的重要区域，这对分类响应面在重要区域的拟合精度的提高大有裨益。

5、本发明采用马尔科夫链蒙特卡洛方法抽样，并选用马尔科夫链备选状态点作为初始样本点，为分类响应面的成功构造提供了坚实的保障；方法中判别分析分类响应面的动态更新策略是高计算精度及高计算效率的关键。

附图说明

图1为分类响应面与蒙特卡洛模拟法的联系示意图。

图2为二维联合等概率密度曲线与最大可能失效点示意图。

图3为判别分析分类响应面更新示意图。

图4为算例1中的初始分类响应面和更新后分类响应面。

图5为算例2所述三跨十二层结构计算简图。

具体实施方式

下面结合算例及附图对发明的技术方案进行详细说明。

算例1：某结构极限状态方程为：

g(X)＝exp[0.4(x₁+2)+6.2)-exp[0.3x₂+5.0]-200

其中，x₁,x₂符合标准正态分布并相互独立。

(1)本算例中，随机变量为x₁,x₂，满足标准正态分布且相互独立，故不需进行标准化处理和变量转化。

(2)采用马尔科夫链蒙特卡洛法进行抽样，选择马尔科夫链备选状态点作为判别分析分类模型的初始训练样本点，通过极限状态方程计算各样本点的功能函数值，若功能函数值大于0，记样本点的状态值为+1，若功能函数值小于0，记样本点的状态值为-1，本算例中初始训练样本点共25个，见附图5。

(3)把初始训练样本点及其状态值作为训练样本集，利用训练样本集通过判别分析分类进行分类响应面的训练，得到已训练分类响应面。本步可直接采用MATLAB工具箱完成，分类模型的输入为训练样本点及其状态值。

(4)由蒙特卡洛抽样法随机抽取10⁶个样本点，利用已训练的分类响应面作为功能函数的替代模型来估计这些样本点的状态值，通过计算失效概率P_f，其中N的取值为由蒙特卡洛抽样法得到的随机样本点的个数10⁶，I(g(x))为蒙特卡洛样本点的状态值。

(5)判断失效概率P_f是否满足收敛条件，即前后两步的P_f相对比值是否小于1.5％，若满足则停止，否则转至步骤(6)。

(6)利用已训练分类响应面找出蒙特卡洛样本点中的失效样本点，并计算所述失效样本点的联合概率密度函数值f(X)，其中联合概率密度函数值f(X)最大的点为最可能失效点，计算最可能失效点的功能函数值并确定其状态值。

(7)将最可能失效点及其状态值作为一个新样本添加到步骤(3)所述训练样本集，重复步骤(3)–(7)，直至收敛条件满足，本算例经过17步迭代达到收敛条件。

根据步骤(3)-(7)，每一迭代步估计的最可能失效点及失效概率P_f计算结果见表1。精确解3.63×10^-3通过10⁶次MCS获得。从表中结果可看出：分类响应面更新前，失效概率P_f值与精确解相差甚远，经过更新，获得了相对误差小于5％的结果。另外，随着迭代步数的增加，最可能失效点与设计验算点越来越近，这保证了分类响应面在设计验算点附近的拟合精度。

附图5展示了初始分类响应面和最终分类响应面及最后一迭代步的最可能失效点，图中最终训练样本集产生的分类响应面更接近真实响应面，特别是设计验算点附近，这表明：本发明方法利用最可能失效点及其状态值更新训练样本集从而动态更新分类响应面的策略，在提高分类响应面在重要区域拟合精度方面具有突出的有益效果。初始分类响应面是指由初始训练样本集获得的分类响应面；最终分类响应面是指由样本更新后最后一迭代步的训练样本集获得的分类响应面。

表1 算例1各迭代步的最可能失效点及失效概率P_f

表2列出了本发明方法结果与其他方法结果的对比，表中，蒙特卡洛模拟法(MCS)和响应面法(RSM)的结果参考邓健等人2005年发表于Structural Safety的文章Structuralreliability analysis for implicit performance functions using artificial neural network；径向基神经网络法(RBF-based MCS)的结果参考程进等人2008年发表于Engineering Mechanics的文章A new artificial neural network-based response surface method for structural reliability analysis。

表2 算例1各方法计算结果对比

表2中结果表明，本发明方法的计算精度较高，且函数调用次数较RBF-basedMCS法的函数调用次明显较少。

算例2：一个三跨十二层建筑的平面框架计算简图见附5。根据规范给出的最大允许水平位移[u]＝H/500＝0.096m(H为楼高)，以A点为控制结构的最大位移建立极限状态方程：g(X)＝0.096-u_A(X)，式中g(X)﹤0表示结构失效。

(1)本算例所述随机变量为各单元截面面积A_i(i＝1,2,...,5)和外荷载P，单元截面惯性矩与截面面积的关系为 $I_i={\mathrm{\α}}_i{A}_i^2({\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_1={\mathrm{\α}}_3=0.0833,{\mathrm{\α}}_4=0.2667,{\mathrm{\α}}_5=0.2000),$ 各单元杨氏模量为2.0×10⁷kN/m²，各随机变量统计特征见于表3。由表3中数据可知，各单元截面面积A_i(i＝1,2,...,5)和外荷载P的数量级相差较大，故采用对各随机变量进行标准化处理，处理后随机变量的均值为[10,10,10,10,10,4]，方差为[1,1,1,1,1,1]，本算例中各随机变量相互独立，故不需进行转化。

表3 算例2随机变量统计特征表

(2)在均值点附近选取一个失效点作为马尔可夫链初始状态点产生初始训练样本点。在此过程中，马尔科夫链备选状态点处的结构响应u_A(X)通过MATLAB直接调用ANSYS程序获取，把u_A(X)的值带入极限状态方程g(X)＝0.096-u_A(X)获得的功能函数值，若功能函数值大于0，记样本点的状态值为+1，若功能函数值小于0，记样本点的状态值为-1，本算例的初始训练样本点的个数为30。

(3)把初始训练样本点及其状态值作为训练样本集，利用训练样本集通过判别分析分类进行分类响应面的训练，得到已训练分类响应面。本步可直接采用MATLAB工具箱完成，分类模型的输入为训练样本点及其状态值。

(4)由蒙特卡洛抽样法随机抽取10⁶个样本点，利用已训练的分类响应面作为功能函数的替代模型来估计这些样本点的状态值，通过计算失效概率P_f，其中N的取值为由蒙特卡洛抽样法得到的随机样本点的个数10⁶，I(g(x))为蒙特卡洛样本点的状态值。

(5)判断失效概率P_f是否满足收敛条件，即前后两步的P_f相对比值是否小于1.5％，若满足则停止，否则转至步骤(6)。

(6)利用已训练分类响应面找出蒙特卡洛样本点中的失效样本点，并计算所述失效样本点的联合概率密度函数值f(X)，其中联合概率密度函数值f(X)最大的点为最可能失效点，通过MATLAB直接调用ANSYS程序获取得最可能失效点处的结构响应u_A(X)，把u_A(X)的值带入极限状态方程g(X)＝0.096-u_A(X)获得最可能失效点的功能函数值，若功能函数值大于0，记其状态值为+1，若功能函数值小于0，记其状态值为-1。

(7)将最可能失效点及其状态值作为一个新样本添加到步骤(3)所述训练样本集，重复步骤(3)–(7)，直至收敛条件满足。

根据步骤(3)-(7)，每一迭代步估计的最可能失效点及失效概率P_f计算结果见表4。以ISM(2000次有限元计算)的结果为相对精确解(见表5)，判别分析分类响应面更新前P_f相对误差为11.30％，经过13步迭代达到收敛，P_f相对误差减小到0.71％，这表明本发明方法的动态更新策略在提高结果精度方面起着重要的作用。

不同方法计算结果见表5，表中，重要抽样法(ISM)和响应面法(RSM)结果参考Sang-HyoKim等人1997年发表于Structural Safety的文章Response surface method using vector projectedsampling points；克里金法(Kriging)结果参考吕震宙等2006年发表于机械强度的基于神经网络的可靠性分析新方法。

表4 算例2各迭代步的最可能失效点及失效概率P_f

表5 算例2各方法计算结果对比

表5中结果表明，本发明方法的有限元分析次数较RSM法稍多，与Kriging法相比，结果精度和有限元分析次数均较优，这说明本发明方法可以有效解决具有隐式功能函数的结构可靠度问题。

Claims (10)

1.一种基于判别分析的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)确定随机变量，对随机变量进行标准化处理，若随机变量中存在相关，则将所有随机变量转化为独立正态变量；

(2)采用马尔科夫链蒙特卡洛法进行抽样，选择马尔科夫链备选状态点作为判别分析分类模型的初始训练样本点，计算初始训练样本点的功能函数值并确定其状态值；

(3)把初始训练样本点及其状态值作为训练样本集，利用训练样本集通过判别分析分类进行分类响应面的训练，得到已训练分类响应面；

(4)由蒙特卡洛抽样法随机抽取N个样本点，然后结合已训练分类响应面估计所述N个样本点的状态值，再计算失效概率P_f；

(5)判断失效概率P_f是否满足收敛条件，若满足则停止，否则转至步骤(6)；

(6)利用已训练分类响应面找出蒙特卡洛样本点中的失效样本点，并计算所述失效样本点的联合概率密度函数值f(X)，其中联合概率密度函数值f(X)最大的点为最可能失效点，计算最可能失效点的功能函数值并确定其状态值；

(7)将最可能失效点及其状态值作为一个新样本添加到步骤(3)所述训练样本集，重复步骤(3)–(7)，直至收敛条件满足。

2.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(1)中，采用式(a)对随机变量进行标准化处理：

$x^s=\frac{x}{{\mathrm{\σ}}_X}---\left(a\right)$

式中，x^s为标准化后的随机变量，σ_X为标准差。

3.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(1)中，采用Nataf变换将所有随机变量转化为独立正态变量。

4.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(2)中，依据工程经验或数值方法在失效域中确认一点作为马尔可夫链初始状态点。

5.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(2)中，若初始训练样本点的功能函数值大于零，代表该初始训练样本点落入安全域，即结构安全，记状态值为+1，若初始训练样本点的功能函数值小于或等于零，代表该初始训练样本点落入失效域，即结构失效，记状态值为-1。

6.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(3)中，利用训练样本集通过判别分析分类进行分类响应面的训练时，采用MATLAB工具箱函数进行。

7.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(4)中，假设功能函数为Z＝g(x)，采用蒙特卡洛模拟法，由式(b)计算失效概率P_f的估计值：

$P_f=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}[I\left(g\left(x\right)\right)+1]---\left(b\right)$

式中，x为由蒙特卡洛抽样法得到的随机样本点，g(x)为其功能函数值，I(g(x))是g(x)的状态值，利用步骤(3)中已训练分类响应面作为功能函数的替代模型，来预测I(g(x))的值，I(g(x))等于-1代表样本落入失效域，即结构失效，I(g(x))等于+1代表样本落入安全域，即结构安全。

8.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(5)中，所述收敛条件为前后两步的P_f相对比值小于1.5％。

9.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(6)中，根据式(c)计算所述失效样本点的联合概率密度函数值f(X)，

$f\left(X\right)=f(x_1,x_2,\·\·\·x_s)=\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Π}}}f\left(x_i\right)---\left(c\right).$

10.根据权利要求1所述基于判别分析分类的结构可靠度动态响应面方法，其特征在于，步骤(6)中，若所述功能函数是隐式的，则通过有限元计算获取功能函数值。