CN113343430A - 基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法 - Google Patents

基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于Sobol拟蒙特卡洛和Box‑Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，该方法基于Sobol序列和Box‑Muller变换产生低差异性的样本用于轴正交重要抽样计算结构可靠度。当随机变量均服从正态分布时，将可靠度灵敏度的计算等效为一系列通过样本点在极限状态曲面上的投影点，与极限状态函数切平面平行的超平面对应功能函数的结构失效概率灵敏度之和；当包含非正态随机变量时，以差分方法计算结构失效概率灵敏度。本发明在土木工程、机械工程、航空航天等领域，以可靠性为目标的结构或产品参数灵敏度计算及优化设计上有很好的应用价值，通用性和适应性好，计算量小、精度高，扩展了重要抽样方法在结构可靠度灵敏度分析上的适用范围。

Description

基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏 度分析方法
技术领域
本发明涉及结构或产品可靠性分析技术领域，尤其是涉及采用重要抽样方法对结构可靠度灵敏度进行分析方面，具体涉及一种基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的拟蒙特卡罗轴正交重要抽样结构可靠度灵敏度分析方法。
背景技术
土木工程、机械电子、航空航天等领域结构或产品可靠性设计和分析以评估结构的适用性、安全性、耐久性程度为目标，根据结构或产品模型能正常使用的极限状态定义功能函数，评估计算模型、制作工艺、加载等存在的不确定因素对结构或产品正常工作能力的影响。相比传统的确定性分析方法，有助于提高和改善结构或产品运营的安全性，特别是在此基础上的灵敏度分析，更有助于确认哪些是对结构或产品可靠性有重要影响的因素，进而加以改进。
重要抽样方法被广泛用于土木工程、机械电子、航空航天等领域结构或产品可靠度评估，但是对于表征正常工作能力或临界安全状态的功能函数，若非线性程度高、包含非正态分布随机变量，且是极小失效概率问题，可靠度灵敏度的估计并不是那么容易直接获得，而且分析精度与重要抽样函数的选取密切相关。重要抽样样本的分布对可靠度分析特别是可靠度灵敏度分析结果的精度有很重要的影响，在一些对可靠度灵敏度分析精度有很高要求的场合不能满足实际工程需求。
以广泛用于土木工程、机械电子、航空航天等领域结构或产品可靠度评估的一次二阶矩方法获得最可能失效点的基础上，以最可能失效点为基础建立重要抽样函数进行抽样，并且在抽样时采用拟蒙特卡罗方法，能够显著减少抽样次数，获得低差异性的样本结构，进而提高结构或产品可靠性分析的精度和稳定性。
轴正交重要抽样方法在最可能失效点附近，在极限状态曲面最可能失效点处的切平面内抽样，降低了抽样的维度，在达到同样精度的情况下，一方面有助于减少抽样次数，另一方面可靠性分析变成了简单的平面几何求解距离的问题，使得轴正交重要抽样方法在土木工程、机械电子、航空航天等领域结构或产品可靠度评估可靠性分析领域有着很好的应用前景。
拟蒙特卡罗抽样方法有很多，包括拉丁超立方抽样，Halton序列、Sobol序列等伪随机序列抽样。将服从均匀分布的伪随机序列转换成常用的正态分布又有反变换法和Box-Muller变换法等方法，这些方法在不同场合的可靠度计算精度有很大的差异。
因此，选取普适的伪随机序列生成方式以及正态分布变换方法以便达到较好的可靠性分析精度，对土木工程、机械电子、航空航天等领域结构或产品可靠度评估领域中采用高效的轴正交重要抽样方法进行结构可靠性及其灵敏度分析方面具有重要意义。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，该方法普适性强，能适用于各类非线性问题的可靠性分析，包括由于包含非正态随机变量导致的非线性问题。采用轴正交重要抽样结合合适的伪随机序列生成方式以及正态分布变换方法，实现对土木工程、机械电子、航空航天等领域结构或产品可靠度分析及灵敏度分析的高效、高精度的求解，是现有结构可靠性方法的扩展。
本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：
一种基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，所述分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析领域中反映结构或产品正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x)，根据结构或产品实际运营的统计数据确定功能函数的随机变量x＝[x1,x2,…,xK]及其概率分布信息，其中K为随机变量个数，x1,x2,…,xK分别为第1、第2、…及第K个随机变量，其中，所述待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x等效到标准正态空间u＝[u1,u2,…,uK]，以一次二阶矩方法求得最可能失效点，其中，u1,u2,…,uK分别为第1、第2、…及第K个等效标准正态随机变量；
S3、设置合适的样本数N，产生(0,1)范围内服从均匀分布的N行K-1列伪随机Sobol序列矩阵，以Box-Muller变换获得服从标准正态分布的样本，上述样本用于轴正交重要抽样；
S4、找到通过各样本点沿极限状态曲面在最可能失效点处法线方向的极限状态曲面上的投影点，计算过投影点与最可能失效点极限状态曲面切平面平行的超平面到原点的距离bi,i＝1,…,N；
S5、估算结构失效概率
Figure BDA0003073392020000031
及其标准差
Figure BDA0003073392020000032
S6、估算结构失效概率
Figure BDA0003073392020000033
对各随机变量均值和标准差的灵敏度及其标准差。
进一步地，所述步骤S5中的结构失效概率
Figure BDA0003073392020000034
及其标准差
Figure BDA0003073392020000035
通过距离bi,i＝1,…,N计算得到，计算表达式为：
Figure BDA0003073392020000036
Figure BDA0003073392020000041
其中Φ(0,1)(·)为标准正态分布函数。
进一步地，所述步骤S6中结构失效概率
Figure BDA0003073392020000042
的灵敏度及其标准差的计算通过距离bi,i＝1,…,N以及最可能失效点得到。
进一步地，所述步骤S6中若随机变量均是正态随机变量，结构失效概率
Figure BDA0003073392020000043
的灵敏度及其标准差计算表达式为：
Figure BDA0003073392020000044
Figure BDA0003073392020000045
Figure BDA0003073392020000046
Figure BDA0003073392020000047
其中μuj，σuj为标准正态随机变量uj的均值和标准差，a1j为单位化最可能失效点的第j个分量，
Figure BDA0003073392020000048
分别是估计的结构失效概率
Figure BDA0003073392020000049
对标准正态随机变量uj均值μuj与标准差σuj的灵敏度，
Figure BDA00030733920200000410
分别是它们对应的标准差。
进一步地，所述步骤S6中若随机变量包含非正态随机变量，结构失效概率
Figure BDA00030733920200000411
灵敏度及其标准差计算表达式为：
Figure BDA00030733920200000412
Figure BDA00030733920200000413
其中θ为待分析灵敏度的参数，该待分析灵敏度的参数包括随机变量的均值与方差，Δθ为参数的增量，
Figure BDA0003073392020000051
和
Figure BDA0003073392020000052
分别为参数无变化和以增量Δθ变化之后的结构失效概率，Φ(0,1)(-bi|θ)、Φ(0,1)(-bi|θ+Δθ)则为参数变化前后所计算距离bi代入标准正态分布函数Φ(0,1)(·)之后的计算值。
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
(1)本发明根据建立在轴正交重要抽样基础上的可靠度灵敏度分析方法，降低了抽样的维度，从而减少了样本抽样次数，提高了计算效率。
(2)本发明中重要抽样函数以一次二阶矩法获得的最可能失效点为抽样中心，样本都是对可靠度分析有重要影响的样本，进一步保证了轴正交重要抽样方法可靠度及其灵敏度的计算精度和效率。
(3)本发明将Sobol序列和Box-Muller变换用于轴正交重要抽样，扩展了轴正交重要抽样在非线性可靠性分析问题中的有效性和通用性，对可靠性分析领域有重要的意义。
附图说明
图1是本发明提供的一种基于Sobol序列和Box-Muller变换的拟蒙特卡罗轴正交重要抽样结构可靠度灵敏度分析方法流程图；
图2是本发明实施例2中桁架结构示意图；
图3是本发明实施例2各方法得到的可靠度灵敏度最大相对误差随样本量的变化趋势图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例
图1是本实施例提供的一种基于Sobol序列和Box-Muller变换的拟蒙特卡罗轴正交重要抽样结构可靠度灵敏度分析方法流程图，共包括6个步骤，具体如下：
S1、指定待分析领域中反映结构或产品正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x)，根据结构或产品实际运营的统计数据确定功能函数的随机变量x＝[x1,x2,…,xK]及其概率分布信息，其中K为随机变量个数，x1,x2,…,xK分别为第1、第2、…及第K个随机变量，待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x等效到标准正态空间u＝[u1,u2,…,uK]，以一次二阶矩方法求得最可能失效点，其中，u1,u2,…,uK分别为第1、第2、…及第K个等效标准正态随机变量；
S3、设置合适的样本数N，产生(0,1)范围内服从均匀分布的N行K-1列伪随机Sobol序列矩阵，以Box-Muller变换获得服从标准正态分布的样本，上述样本用于轴正交重要抽样；
S4、找到通过各样本点沿极限状态曲面在最可能失效点处法线方向的极限状态曲面上的投影点，计算过投影点与最可能失效点极限状态曲面切平面平行的超平面到原点的距离bi,i＝1,…,N；
S5、估算结构结构失效概率
Figure BDA0003073392020000061
及其标准差
Figure BDA0003073392020000062
该步骤S5中的结构失效概率
Figure BDA0003073392020000063
及其标准差
Figure BDA0003073392020000064
通过距离bi,i＝1,…,N计算得到，计算表达式为：
Figure BDA0003073392020000065
Figure BDA0003073392020000066
其中Φ(0,1)(·)为标准正态分布函数。
S6、估算结构结构失效概率对各随机变量均值和标准差的灵敏度及其标准差。
该步骤S6中结构失效概率的灵敏度及其标准差的计算通过距离bi,i＝1,…,N以及最可能失效点得到。
若随机变量均是正态随机变量，结构失效概率
Figure BDA0003073392020000071
的灵敏度及其标准差计算表达式为：
Figure BDA0003073392020000072
Figure BDA0003073392020000073
Figure BDA0003073392020000074
Figure BDA0003073392020000075
其中μuj，σuj为标准正态随机变量uj的均值和标准差，a1j为单位化最可能失效点的第j个分量，
Figure BDA0003073392020000076
分别为估计的结构失效概率
Figure BDA0003073392020000077
对标准正态随机变量uj均值μuj与标准差σuj的灵敏度，
Figure BDA0003073392020000078
分别为它们对应的标准差。
若随机变量包含非正态随机变量，结构失效概率
Figure BDA0003073392020000079
灵敏度及其标准差计算表达式为：
Figure BDA00030733920200000710
Figure BDA00030733920200000711
其中θ为待分析灵敏度的参数，通常为随机变量的均值与方差，Δθ为参数的增量，
Figure BDA0003073392020000081
和
Figure BDA0003073392020000082
分别为参数无变化和以增量Δθ变化之后的结构失效概率，Φ(0,1)(-bi|θ)、Φ(0,1)(-bi|θ+Δθ)则为参数变化前后所计算距离bi代入标准正态分布函数Φ(0,1)(·)之后的计算值。
实施例1
基于上述实施例，本实施例1以一个6维应用实例对本发明进行进一步阐述。该基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析结构的功能函数
Figure BDA0003073392020000083
确定功能函数的随机变量x＝[x1,x2,…,x6]及其概率分布信息如下表，K＝6；
表1.随机变量分布参数表
随机变量 均值 方差 分布
x<sub>1</sub> 4.0 0.1 Weibull分布
x<sub>2</sub> 25000 2000 对数正态分布
x<sub>3</sub> 0.875 0.1 极值I型分布
x<sub>4</sub> 20.0 1.0 均匀分布
x<sub>5</sub> 100.0 100.0 指数分布
x<sub>6</sub> 150.0 10.0 正态分布
S2、将随机变量x等效到标准正态空间u＝[u1,u2,…,uK]，以一次二阶矩方法求得最可能失效点；
S3、设置样本数N分别为100和1000，产生(0,1)范围内服从均匀分布的N行5列伪随机Sobol序列矩阵，以Box-Muller变换获得服从标准正态分布的样本，将这些样本用于轴正交重要抽样，同时将拉丁超立方抽样，Halton序列和反变换法引入轴正交重要抽样进行可靠性分析以作比较；
S4、找到通过各样本点沿极限状态曲面在最可能失效点处法线方向的极限状态曲面上的投影点，计算过投影点与最可能失效点极限状态曲面切平面平行的超平面到原点的距离bi(i＝1,…,N)；
S5、估算结构结构失效概率
Figure BDA0003073392020000091
及其标准差
Figure BDA0003073392020000092
S6、估算结构结构失效概率对各随机变量均值和标准差的灵敏度及其标准差。
本实施例1中所公开的分析方法与其它各方法相互组合计算的失效概率及其灵敏度相对误差对比见表2(BM：Box-Muller变换法，IT：反变换法，LHS：拉丁超立方抽样，HaltonBM表示Halton伪随机序列产生方法和Box-Muller变换法的组合应用，依次类推)，从表2可以看出，对于复杂的强非线性问题，采用本发明的基于Sobol序列和Box-Muller变换的拟蒙特卡罗轴正交重要抽样结构可靠度灵敏度分析方法平均灵敏度误差最小，达到很好的精度，能满足工程实际需求。
表2.实施例1各种方法可靠度灵敏度相对误差对比表
Figure BDA0003073392020000093
实施例2
基于上述实施例，本实施例1以另一应用实例对本发明进行进一步阐述。该基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析一个23杆桁架结构(见附图2)的功能函数g(x)＝0.14-d(x)，确定功能函数的随机变量x＝[A1,…,A23,E,P1,…,P6]及其概率分布信息如下表3，K＝30，其中d(x)为桁架第7节点的竖向位移；
表1.随机变量分布参数表
Figure BDA0003073392020000101
S2、将随机变量x等效到标准正态空间u＝[u1,u2,…,uK]，以一次二阶矩方法求得最可能失效点；
S3、设置样本数N分别为50、100、200、500和1000，产生(0,1)范围内服从均匀分布的N行29列伪随机Sobol序列矩阵，以Box-Muller变换获得服从标准正态分布的样本，将这些样本用于轴正交重要抽样，同时将拉丁超立方抽样，Halton序列和反变换法引入轴正交重要抽样进行可靠性分析以作比较；
S4、找到通过各样本点沿极限状态曲面在最可能失效点处法线方向的极限状态曲面上的投影点，计算过投影点与最可能失效点极限状态曲面切平面平行的超平面到原点的距离bi(i＝1,…,N)；
S5、估算结构结构失效概率
Figure BDA0003073392020000102
及其标准差
Figure BDA0003073392020000103
S6、估算结构结构失效概率对各随机变量均值和标准差的灵敏度及其标准差。
本实施例2中所公开的分析方法与其它各方法相互组合计算的结构失效概率灵敏度最大相对误差随着样本数的变化见图3(BM：Box-Muller变换法，IT：反变换法，LHS：拉丁超立方抽样，HaltonBM表示Halton伪随机序列产生方法和Box-Muller变换法的组合应用，依此类推)，从图3可以看出，对于多维且复杂的强非线性问题，采用本发明的基于Sobol序列和Box-Muller变换组合、LHS和IT组合的拟蒙特卡罗轴正交重要抽样结构可靠度灵敏度分析方法灵敏度最大相对误差在样本量为50的时候就已经比较小，但样本量为100的时候LHS和IT组合的方法误差反而变大，Sobol序列和Box-Muller变换组合不仅满足精度小，而且更稳定，没有因为样本量增加误差反而增大，更能适应工程实际需求。
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，其特征在于，所述分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析领域中反映结构或产品正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x)，根据结构或产品实际运营的统计数据确定功能函数的随机变量x＝[x1,x2,…,xK]及其概率分布信息，其中K为随机变量个数，x1,x2,…,xK分别为第1、第2、…及第K个随机变量，其中，所述待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x等效到标准正态空间u＝[u1,u2,…,uK]，以一次二阶矩方法求得最可能失效点，其中，u1,u2,…,uK分别为第1、第2、…及第K个等效标准正态随机变量；
S3、设置合适的样本数N，产生(0,1)范围内服从均匀分布的N行K-1列伪随机Sobol序列矩阵，以Box-Muller变换获得服从标准正态分布的样本，上述样本用于轴正交重要抽样；
S4、找到通过各样本点沿极限状态曲面在最可能失效点处法线方向的极限状态曲面上的投影点，计算过投影点与最可能失效点极限状态曲面切平面平行的超平面到原点的距离bi,i＝1,…,N；
S5、估算结构失效概率
Figure FDA0003073392010000011
及其标准差
Figure FDA0003073392010000012
S6、估算结构失效概率
Figure FDA0003073392010000013
对各随机变量均值和标准差的灵敏度及其标准差。
2.根据权利要求1所述的基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S5中的结构失效概率
Figure FDA0003073392010000021
及其标准差
Figure FDA0003073392010000022
通过距离bi,i＝1,…,N计算得到，计算表达式为：
Figure FDA0003073392010000023
Figure FDA0003073392010000024
其中Φ(0,1)(·)为标准正态分布函数。
3.根据权利要求1或2所述的基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S6中结构失效概率
Figure FDA0003073392010000025
的灵敏度及其标准差的计算通过距离bi,i＝1,…,N以及最可能失效点得到。
4.根据权利要求3所述的基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S6中若随机变量均是正态随机变量，结构失效概率
Figure FDA0003073392010000026
的灵敏度及其标准差计算表达式为：
Figure FDA0003073392010000027
Figure FDA00030733920100000213
Figure FDA0003073392010000028
Figure FDA0003073392010000029
其中μuj，σuj为标准正态随机变量uj的均值和标准差，a1j为单位化最可能失效点的第j个分量，
Figure FDA00030733920100000210
分别是估计的结构失效概率
Figure FDA00030733920100000211
对标准正态随机变量uj均值μuj与标准差σuj的灵敏度，
Figure FDA00030733920100000212
分别是它们对应的标准差。
5.根据权利要求3所述的基于Sobol拟蒙特卡洛和Box-Muller变换的结构可靠度灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S6中若随机变量包含非正态随机变量，结构失效概率
Figure FDA0003073392010000031
灵敏度及其标准差计算表达式为：
Figure FDA0003073392010000032
Figure FDA0003073392010000035
其中θ为待分析灵敏度的参数，该待分析灵敏度的参数包括随机变量的均值与方差，Δθ为参数的增量，
Figure FDA0003073392010000033
和
Figure FDA0003073392010000034
分别为参数无变化和以增量Δθ变化之后的结构失效概率，Φ(0,1)(-bi|θ)、Φ(0,1)(-bi|θ+Δθ)则为参数变化前后所计算距离bi代入标准正态分布函数Φ(0,1)(·)之后的计算值。
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