CN105117550A - 一种面向产品多维相关性退化失效的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种面向产品多维相关性退化失效的建模方法；其具体包括：确定产品的可靠性特征量，收集并处理各个特征量的退化数据、建立各个特征量的退化模型、估计各个特征量退化模型中的参数、利用D-Vine？Copula建立多维相关退化模型、确定所有二变量Copula函数的类型及参数值。本发明利用D-Vine？Copula将多维相关变量的联合密度函数与其边缘密度函数用多个二变量的Copula函数连接起来，能够有效处理具有复杂相关性的多维退化过程，拥有更好的适应性和推广能力。

Description

一种面向产品多维相关性退化失效的建模方法

技术领域

本发明属于机电产品的可靠性分析技术领域，具体是一种面向具有多维相关性退化失效的产品的可靠性分析方法。

背景技术

可靠性技术已经成为提高产品效能、减少产品寿命周期费用的重要途径，是企业产品竞争的焦点。对于高技术武器装备、核电厂以及航空航天等领域的一些高可靠性、长寿命关键部件，其可靠性问题显得尤为重要。由于高技术复杂产品的失效时间长且难以获得大量失效时间数据，传统基于失效时间的可靠性分析方法已经不能满足这种情况下的产品可靠性分析。基于退化的可靠性分析方法，就是在这个背景下提出并得到普遍关注和广泛研究的。

基于退化的可靠性分析方法关注的是产品失效过程的退化规律。通过选择与产品寿命和可靠性高度相关的物理变量，称为可靠性特征量，并采用定量的数学模型描述其随时间的变化规律。可靠性特征量可以是任何能够表征产品失效机理和失效过程、与产品寿命和可靠性相关的能够测量，或能够从测量数据中提取的变量，比如从测量的振动信号数据中提取的相关频率特征或其它统计量、特征值，这些变量能够表征产品的物理性能或功能特性。

近二十年，基于退化的可靠性分析方法得到越来越多的研究。但是，这些研究普遍针对产品仅有一维可靠性特征量或二维可靠性特征量。也就是说，目前研究的基于退化的可靠性分析方法仅考虑了产品的一个或两个可靠性特征量。但在实际工程中，一些复杂产品可能有三个或三个以上相关的可靠性特征量，这些相关的可靠性特征量都能很好地描述这些产品的退化过程。比如：汽车发动机的可靠性特征量有发动机的噪声、发动机的振动和发动机中油液杂质等，这三个特征量都能表征汽车发动机产品的退化情况；除此以外，复杂产品的多个部件可能存在相关失效机制，造成部件的退化规律呈现相关性。因此，如何通过三个或三个以上相关的可靠性特征量来开展产品的性能退化建模和可靠性分析是一个值得研究的问题，而这类问题的关键环节是如何准确地描述这些多维相关退化特征量之间的相关性。

现有的考虑多维相关性退化的可靠性分析方法都是利用多维Copula函数(如：多维高斯Copula、多维t-Copula)来表征多个退化变量之间的相关性，但是这种建模方法有很大的局限性。首先，可供选择的多维Copula函数类型极其有限；其次，多维Copula函数所表征的多维变量之间的相关性具有单一性，比如，当用多维高斯Copula函数建立多维相关模型时，这就意味着这些多维变量两两之间的相关性都只能用二维高斯Copula来描述。这类方法的这些缺陷使得其无法满足一些具有多维复杂相关性的复杂产品的要求，严重限制了多维相关退化模型的灵活性和通用性。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有基于退化的可靠性分析方法的缺陷，建立更加灵活和更具一般性的多维相关性退化的可靠性分析方法。

为了实现上述目的，本发明的技术方案是：一种面向产品多维相关性退化失效的可靠性分析方法，包括如下步骤：

步骤1：确定被监测对象的n个(n≥3)可靠性特征量，通过退化试验收集试验数据，并采用相关数据处理方法(如：异常数据剔除、数据平滑、数据特征识别)从测量的试验数据中提取各个可靠性特征量的退化数据；

步骤2：利用步骤1中得到的特征量的退化数据，在不考虑各个特征量之间的相关性情况下，建立每一个特征量的基于随机过程的退化模型，比如：对于其中某一个特征量k(1≤k≤n)，根据步骤1中所得到的其对应的退化数据，利用随机过程(如：维纳过程)建立其退化模型；

步骤3：利用贝叶斯方法估计每一个特征量的退化模型中的参数的后验分布，并取其均值作为最后的点估计结果；

步骤4：考虑各个特征量之间的相关性，利用D-VineCopula建立它们的相关性模型。在此模型中，特征量的联合概率密度函数由各个特征量的概率密度函数以及个二变量Copula函数描述；

步骤5：确定步骤4中所有二变量Copula函数的类型以及参数值，包括以下四个步骤：

步骤5(a)：选取几个常用的二变量Copula函数，如FrankCopula、ClaytonCopula和GaussianCopula等作为步骤4中第一个二变量Copula函数的备选集；

步骤5(b)：利用贝叶斯方法估计每一个备选二变量Copula函数的参数的后验分布，并选择其均值作为最后的点估计结果；

步骤:5(c)：利用赤池信息量准则(AkaikeInformationCriterion,AIC)，从备选的二变量Copula函数中选取最合适的Copula函数作为步骤4中的模型的第一个二变量Copula函数；

步骤5(d)：重复步骤5(a)、5(b)和5(c)，直到步骤4模型中的所有二变量Copula函数类型及参数值被确定；

进一步地，上文所述的二变量Copula函数是把变量X₁,X₂的联合分布函数F(x₁,x₂)与各自的边缘分布函数F₁(x₁),F₂(x₂)相连接的连接函数，即存在一个Copula函数C(·)，满足：

F(x₁,x₂)＝C(F₁(x₁),F₂(x₂)；θ)(1)

只要F₁(x₁)和F₂(x₂)是连续函数，则C(·)唯一确定，其中θ为函数C(·)的参数。此时，这两个变量的联合概率密度函数可表示为：

f(x₁,x₂)＝f(x₁)·f(x₂)·c(F₁(x₁),F₂(x₂)；θ)(2)

其中，c(·)为对应Copula函数的密度函数。

二变量Copula函数有很强的灵活性和适应性，能处理具有复杂相关性的二维退化过程。所以，这里我们利用D-VineCopula函数的相关性质，将多维的联合概率密度函数与其边缘概率密度函数用多个二变量Copula函数连接起来，从而达到灵活处理具有复杂相关性的多维退化过程的目的。

进一步地，所述步骤4中D-VineCopula模型的解析式如下：

$\begin{array}{c}f(x_1,x_2,...,x_n)\\ =\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{f}_k\left(x_k\right)\·\underset{j=2}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\underset{i=1}{\overset{j-1}{\mathrm{\Π}}}{c}_{ij|(i+1):(j-1)}\left(F\right(x_i|x_{(i+1):(j-1)}),F(x_j|x_{(i+1):(j-1)});{\mathrm{\θ}}_{ij|(i+1):j-1})\end{array}---\left(3\right)$

其中，f(x₁,x₂,…,x_n)为随机变量X₁,X₂,…,X_n的联合概率密度函数，f_k(x_k)为随机变量X_k(1≤k≤n)的概率密度函数。在变量X_i+1,X_i+2,…,X_j-1给定的条件下，表征变量X_i和X_j(1≤i＜j≤n)的相关性的二变量Copula函数表示为C_{ij|(i+1):(j-1)}(·)，则和θ_{ij|(i+1):(j-1)}分别为对应的二变量Copula函数的密度函数和参数。F(x_i|x_(i+1):(j-1))和F(x_j|x_(i+1):(j-1))为其对应的边缘分布函数，且有：

$F\left(x_i\right|x_{(i+1):(j-1)})=\frac{\∂C_{i(j-1)|(i+1):(j-2)}\left(F\right(x_i\left|x_{(i+1):(j-2)}\right),F\left(x_{j-1}\right|x_{(i+1):(j-2)}))}{\∂F\left(x_{j-1}\right|x_{(i+1):(j-2)})}---\left(4\right)$

$F\left(x_j\right|x_{(i+1):(j-1)})=\frac{\∂C_{(i+1)j\left|\right(i+2):(j-1)}\left(F\right(x_{i+1}\left|x_{(i+2):(j-1)}\right),F\left(x_j\right|x_{(i+2):(j-1)}))}{\∂F\left(x_{i+1}\right|x_{(i+2):(j-1)})}---\left(5\right)$

根据以上公式，可利用D-VineCopula将复杂的多维联合分布用其边缘分布和多个二变量Copula表示出来。D-VineCopula模型的解析式也可用一个树图表示，图2所示为一个5维(即含有5个变量)的D-VineCopula模型的树图，那么此时，这5个变量的联合概率密度函数可以表示为：

$f(x_1,...,x_5)=\underset{k=1}{\overset{5}{\Π}}{f}_k\left(x_k\right)\·(c_{12}\·c_{23}\·c_{34}\·c_{45})\·(c_{13|2}\·c_{24|3}\·c_{35|4})\·(c_{14|23}\·c_{25|34})\·\left(c_{15|234}\right)---\left(6\right)$

本发明的有益效果在于：由于使用了D-VineCopula来建立多维相关性退化的可靠性分析方法，所以能有效处理具有复杂相关性的多维退化过程，具有更强的适应性和推广能力。

附图说明

图1为本发明的流程示意图；

图2为一个5维可靠性退化特征量的D-VineCopula的树表示法。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图并以3维相关退化过程为例，对本发明进行进一步地详细说明。此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，其步骤包括：

步骤1：收集并处理各个特征量的退化数据。

本发明以齿轮疲劳试验收集的疲劳裂纹的退化数据为例。所有的齿轮样本都在同一时间点开始试验，并且试验过程中，每隔0.01百万转对所有的齿轮样本采集一次裂纹数据，裂纹尺寸单位为英寸。

为了验证上文所提的基于D-VineCopula的退化模型，我们选取了其中的18个齿轮样本的疲劳裂纹退化数据，并将其分为3组，每组包括6个齿轮样本的退化数据，并假定这3组数据分别代表特征量1、特征量2和特征量3的退化数据。详细信息如表1所示。

表1特征量1、2、3的退化数据

步骤2：分别建立每一个特征量的退化模型。

这里将这三个特征量的退化过程用维纳过程来描述。维纳过程{X(t),t＞0}的表达式如下：

X(t)＝μΛ(t)+σ²W(Λ(t))(7)

其中，μ为漂移系数；σ²为方差参数；Λ(t)是一个关于时间t的非减函数；如Λ(t)＝t^q；q是确定的正参数；W(·)为标准布朗运动。

设X_kt_ij表示特征量k(k＝1,2,3)的第i(i＝1,…,6)个样本在t_j(j＝2,…10)时刻的退化量；ΔX_k(t_ij)＝X_k(t_ij)-X_k(t_i,j-1)表示特征量k的第i个样本在时间段[t_j-1,t_j]内的退化量的增量。根据维纳过程增量的独立性以及增量服从正态分布的性质，可以建立每一个特征量的基于维纳过程的退化模型：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_k\left(t_{ij}\right)=X_k\left(t_{ij}\right)-X_k\left(t_{i,j-1}\right),k=1,2,3\\ {\mathrm{\ΔX}}_k{t}_{ij}~{\mathrm{N\μ}}_k{t}_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k},{\mathrm{\σ}}_k^2{t}_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k}\end{array}---\left(8\right)$

其中，特征量k对应的退化模型的参数为(μ_k,σ_k,q_k)。此时，可得到ΔX_k(t_ij)的概率密度函数、累积分布函数及对应的似然函数，分别为：

$f_k=f_k{\mathrm{\ΔX}}_k{t}_{ij}=\frac{1}{\sqrt{2{\mathrm{\πt}}_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k}}{\mathrm{\σ}}_k}\exp \{-\frac{{\mathrm{\ΔX}}_k{t}_{ij}-{\mathrm{\μ}}_k{t}_j^{q_k}-{t_{j-1}^{q_k}}^2}{2{\mathrm{\σ}}_k^2{t}_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k}}\}---\left(9\right)$

$F_k=F_k{\mathrm{\ΔX}}_k{t}_{ij}=\mathrm{\Φ}\left(\frac{{\mathrm{\ΔX}}_k{t}_{ij}-{\mathrm{\μ}}_k{t}_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k}}{{\mathrm{\σ}}_k\sqrt{t_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k}}}\right)---\left(10\right)$

$L\left({\mathrm{\ΔX}}_k\right(t_{ij}\left)\right|{\mathrm{\μ}}_k,{\mathrm{\σ}}_k,q_k)=\underset{i=1}{\overset{6}{\Π}}\underset{j=2}{\overset{10}{\Π}}\frac{\exp \{-\frac{{\left({\mathrm{\ΔX}}_k\right(t_{ij})-{\mathrm{\μ}}_k(t_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k}\left)\right)}^2}{2{\mathrm{\σ}}_k^2(t_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k})}\}}{\sqrt{2\mathrm{\π}(t_j^{q_k}-t_{j-1}^{q_k})}{\mathrm{\σ}}_k}---\left(11\right)$

步骤3：对于采集的特征量样本量较少的情况，可采用贝叶斯方法对步骤2中模型参数(μ_k,σ_k,q_k)进行估计，并以所估计参数的后验分布的均值作为最后的点估计结果。

贝叶斯方法的数学表达式为：

p(μ_k,σ_k,q_k|ΔX_k(t_ij))∝π(μ_k,σ_k,q_k)·L(ΔX_k(t_ij)|μ_k,σ_k,q_k)(12)

其中，π(μ_k,σ_k,q_k)和p(μ_k,σ_k,q_k|ΔX_k(t_ij))(k＝1,2,3)分别表示参数(μ_k,σ_k,q_k)的先验分布和后验分布。利用WinBUGS软件可得到该后验分布，具体结果如表2所示。

表2特征量1、2、3退化模型中参数的估计值

步骤4：利用D-VineCopula建立这3个特征量的相关退化模型。

由上文对于D-VineCopula的介绍，我们可以获得3个特征量的基于D-VineCopula的联合密度函数：

$f\left({\mathrm{\ΔX}}_1\right(t_{ij}),{\mathrm{\ΔX}}_2(t_{ij}),{\mathrm{\ΔX}}_3(t_{ij}\left)\right)=\underset{k=1}{\overset{3}{\Π}}{f}_k\·c_{12}(F_1,F_2;{\mathrm{\θ}}_{12})\·c_{23}(F_2,F_3;{\mathrm{\θ}}_{23})\·c_{13|2}(F_{1|2},F_{3|2};{\mathrm{\θ}}_{13|2})---\left(13\right)$

其中，f_k为第k个特征量的概率密度函数，c₁₂(·)、c₂₃(·)和c_13|2(·)分别是某一个(未知)二变量的Copula函数C₁₂(·)、C₂₃(·)和C_13|2(·)的密度函数，其参数分别为θ₁₂、θ₂₃和θ_13|2，f_k和F₁、F₂、F₃可由式(10)和式(11)获得，且有：

$F_{1|2}=F_{1|2}\left({\mathrm{\ΔX}}_1\right(t_{ij}\left)\right|{\mathrm{\ΔX}}_2\left(t_{ij}\right))=\frac{\∂C_{12}\left({\mathrm{\ΔX}}_1\right(t_{ij}),F_2({\mathrm{\ΔX}}_2\left(t_{ij}\right)\left)\right)}{\∂F_2\left({\mathrm{\ΔX}}_2\right(t_{ij}\left)\right)}---\left(14\right)$

$F_{3|2}=F_{3|2}\left({\mathrm{\ΔX}}_3\right(t_{ij}\left)\right|{\mathrm{\ΔX}}_2\left(t_{ij}\right))=\frac{\∂C_{23}\left(F_2\right({\mathrm{\ΔX}}_2\left(t_{ij}\right)),F_3({\mathrm{\ΔX}}_3\left(t_{ij}\right)\left)\right)}{\∂F_2\left({\mathrm{\ΔX}}_2\right(t_{ij}\left)\right)}---\left(15\right)$

步骤5：逐一确定步骤4中所以二变量Copula函数的类型。

步骤5(a)：将FrankCopula、ClaytonCopula和GaussianCopula这三个常用Copula函数作为C₁₂(·)的备选集。

FrankCopula的表达式如下：

$C^{Frank}u,v;\mathrm{\θ}=-\frac{1}{\mathrm{\θ}}ln(1+\frac{(e^{-\mathrm{\θ}u}-1)(e^{-\mathrm{\θ}v}-1)}{e^{-\mathrm{\θ}}-1})---\left(16\right)$

式中，参数θ∈(-∞,+∞)\{0}。

ClaytonCopula表达式如下：

C^Clayton(u,v；θ)＝max{(u^-θ+v^-θ-1)^-1/θ,0}(17)

式中，参数θ∈[1,+∞)。

GaussianCopula表达式如下：

$C^{Gaussian}(u,v;\mathrm{\θ})={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{{\mathrm{\Φ}}^{-1}\left(u\right)}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{{\mathrm{\Φ}}^{-1}\left(v\right)}\frac{1}{2\mathrm{\π}\sqrt{1-{\mathrm{\θ}}^2}}\exp (-\frac{x^2-2\mathrm{\θ}xy+y^2}{2(1-{\mathrm{\θ}}^2)})dxdy---\left(18\right)$

式中，Φ^-1(·)为标准正态分布函数的逆函数，参数θ∈(-1,1)。

步骤5(b)：接下来利用贝叶斯方法分别求出这三个备选Copula函数的参数值，具体结果如表3所示。

步骤5(c)：利用赤池信息量准则，从备选的三个二变量Copula函数中选取最合适的Copula函数作为C₁₂(·)的函数类型。赤池信息量准则定义如下：

AIC＝-2×[maxlog(likelihood)]+2m(19)

其中，m是未知参数的个数，并且AIC的值越小表明其对应的Copula函数越合适。求得的AIC值如表4所示。由表4可知，FrankCopula对应的AIC值最小，故这里选择FrankCopula作为C₁₂(·)最后的函数类型，且其参数θ₁₂的值为表3中FrankCopula对应的参数的值。

表3C₁₂(·)的各备选Copula函数的参数值

表4C₁₂(θ)的各备选Copula的AIC的值

接下来重复步骤5(a)、5(b)和5(c)确定C₂₃(·)类型。具体的求解结果如表5、表6所示。由表6可知，FrankCopula对应的AIC值最小，故这里同样选择FrankCopula作为C₂₃(·)最后的函数类型，且其参数θ₂₃的值为表5中FrankCopula对应的参数的值。

表5C₂₃(·)的各备选Copula函数的参数值

表6C₂₃(·)的各备选Copula的AIC的值

最后，确定C_13|2(·)函数类型及参数值。通过上述方法确定了C₁₂(·)和C₂₃(·)的类型后，结合式(15)和式(16)可进一步确定C_13|2(·)边缘分布函数，分别为：

$F_{1|2}=\frac{\∂C_{12}(F_1,F_2)}{\∂F_2}=\frac{\∂C^{Frank}(F,F_2)}{\∂F_2}=\frac{e^{-\mathrm{\α}\·F_2}(e^{-\mathrm{\α}\·F_1}-1)}{e^{-\mathrm{\α}}-1+(e^{-\mathrm{\α}\·F_1}-1)(e^{-\mathrm{\α}\·F_2}-1)}---\left(20\right)$

$F_{3|2}=\frac{\∂C_{23}(F_2,F_3)}{\∂F_2}=\frac{\∂C^{Frank}(F_2,F_3)}{\∂F_2}=\frac{e^{-\mathrm{\α}\·F_2}(e^{-\mathrm{\α}\·F_3}-1)}{e^{-\mathrm{\α}}-1+(e^{-\mathrm{\α}\·F_3}-1)(e^{-\mathrm{\α}\·F_2}-1)}---\left(21\right)$

同样按照上述方法求得的具体结果如表7和表8所示。

表7C_13|2(·)的各候选Copula函数的参数值

表8C_13|2(·)的各候选Copula的AIC的值

Copula	AIC值
		Frank	-3.0736
Clayton	-3.6752

由上可知，ClaytonCopula可作为C_13|2(·)的函数类型，且其参数θ_13|2的值为表7中ClaytonCopula对应的参数的值。

至此，模型中所有二变量Copula函数的类型及对应的参数值已经确定，这三个特征量的退化量的增量的联合概率密度函数可最终表示为：

$\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\ΔX}}_1\right(t_{ij}),{\mathrm{\ΔX}}_2(t_{ij}),{\mathrm{\ΔX}}_3(t_{ij}\left)\right)\\ =\underset{k=1}{\overset{3}{\Π}}{f}_k\·c_{12}^{Frank}(F_1,F_2;{\mathrm{\θ}}_{12})\·c_{23}^{Frank}(F_2,F_3;{\mathrm{\θ}}_{23})\·c_{13|2}^{Frank}(F_{1|2},F_{3|2};{\mathrm{\θ}}_{13|2})\end{array}---\left(22\right)$

各个特征量在t时刻的退化量X_k(k＝1,2,3)可以看作是各特征量在[0,t]时间段内的退化量的增量，则该产品三个特征量的退化量的联合概率密度函数可以表示为：

$\begin{array}{c}f(x_1,x_2,x_3)=f_1\left(x_1\right)\·f_2\left(x_2\right)\·f_3\left(x_3\right)\\ \·c_{12}^{Frank}\left(F_1\right(x_1),F_2(x_2\left)\right)\·c_{23}^{Frank}\left(F_2\right(x_2),F_3(x_3\left)\right)\·c_{13|2}^{Frank}\left(F_{1|2}\right(x_1|x_2),F_{\mathrm{3|2}}(x_3|x_2\left)\right)\end{array}---\left(23\right)$

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的三维的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例，本发明可应用于有三个或三个以上可靠性特征量情况。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (3)

1.一种面向产品多维相关性退化失效的建模方法，包括如下步骤：

步骤1：确定被监测对象的n个(n≥3)可靠性特征量，通过退化试验收集试验数据，并采用相关数据处理方法(如：异常数据剔除、数据平滑、数据特征识别)从测量的试验数据中提取各个可靠性特征量的退化数据；

步骤2：利用步骤1中得到的特征量的退化数据，在不考虑各个特征量之间的相关性情况下，建立每一个特征量的基于随机过程的退化模型，比如：对于其中某一个特征量k(1≤k≤n)，根据步骤1中所得到的其对应的退化数据，利用随机过程(如：维纳过程)建立其退化模型；

步骤3：利用贝叶斯方法估计每一个特征量的退化模型中的参数的后验分布，并取其均值作为最后的点估计结果；

步骤4：考虑各个特征量之间的相关性，利用D-VineCopula建立它们的相关性模型。在此模型中，特征量的联合概率密度函数由各个特征量的概率密度函数以及个二变量Copula函数描述；

步骤5：确定步骤4中所有二变量Copula函数的类型以及参数值，包括以下四个步骤：

步骤5(a)：选取几个常用的二变量Copula函数，如FrankCopula、ClaytonCopula和GaussianCopula等作为步骤4中第一个二变量Copula函数的备选集；

步骤5(b)：利用贝叶斯方法估计每一个备选二变量Copula函数的参数的后验分布，并选择其均值作为最后的点估计结果；

步骤:5(c)：利用赤池信息量准则(AkaikeInformationCriterion,AIC)，从备选的二变量Copula函数中选取最合适的Copula函数作为步骤4中的模型的第一个二变量Copula函数；

步骤5(d)：重复步骤5(a)、5(b)和5(c)，直到步骤4模型中的所有二变量Copula函数类型及参数值被确定。

2.根据权利要求书1所述的一种面向产品多维相关性退化失效的建模方法，其特征在于：所述步骤4中的二变量Copula函数种类丰富，且只要其边缘分布函数连续即可唯一确定一个对应的二变量Copula函数，具有很强的灵活性和适应性。

3.根据权利要求书1所述的一种面向产品多维相关性退化失效的建模方法，其特征在于：所述步骤4中的D-VineCopula模型具有如下解析表达式：

其中，f(x₁,x₂,…,x_n)为随机变量X₁,X₂,…,X_n的联合概率密度函数，f_k(x_k)为随机变量X_k(1≤k≤n)的概率密度函数。在变量X_i+1,X_i+2,…,X_j-1给定的条件下，表征变量X_i和X_j(1≤i＜j≤n)的相关性的二变量Copula函数表示为C_{ij|(i+1):(j-1)}(·)，则和θ_{ij|(i+1):(j-1)}分别为对应的二变量Copula函数的密度函数和参数。F(x_i|x_(i+1):(j-1))和F(x_j|x_(i+1):(j-1))为其对应的边缘分布函数，且有：

运用D-VineCopula可将多维联合密度函数与其边缘密度函数用多个二变量Copula函数连接起来，从而达到灵活处理具有复杂相关性的多维退化过程的目的。