CN106021685A - 一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，通过以下步骤实现：步骤一：选取合适的退化参数，在各测试时刻记录各试件的性能退化值，使得性能参数退化量可以通过简单的函数变换(例如，对数变换、指数变换等)转化为符合线性独立增量过程规律的情况。步骤二：建立考虑测量误差的线性独立增量过程模型；步骤三：计算似然函数，通过极大似然估计法，计算退化模型中的未知参数；步骤四：利用建立的退化模型对产品进行可靠性评估；本发明的优点在于：在退化可靠性建模中考虑了测量误差的影响，更适合工程实际的情况。在模型参数的极大似然估计中，采用了多维随机过程理论进行分析，为具有相关性的多维变量的极大似然估计提供了一种可行的方法。

Description

一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法

技术领域

本方法基于小样本可靠性和非平稳随机过程理论，建立了一种考虑测量误差且能够描述时变趋势和时变分散性的退化过程模型，对工程中退化型失效产品的可靠性进行建模分析。旨在提高性能退化可靠性分析和评估的精度，属于可靠性工程领域。

背景技术

退化型失效在工程实际中是指产品的性能特征量随着使用时间的推移逐渐劣化直到不能满足规定的工作状态的现象，比如材料的老化、机械零件的磨损等等。在工程实际中，大部分失效过程都可以用退化失效来描述，所以对退化失效过程进行建模分析具有重要意义。

虽然在工程实际中早已出现了大量的退化现象，然而基于退化数据的可靠性研究的相关理论和方法还尚不完善。例如，有很多产品的退化过程是非平稳随机过程，用现在较为常用的随机过程很难对其进行有效地处理。

所以针对工程中常见的具有非平稳统计特性的性能退化过程，本方法建立了一种具有时变均值和时变方差的线性退化过程模型。

发明内容

1、目的：本发明目的是，针对上述非平稳退化过程，在样本量较小的情况下，较为精确地评估退化失效产品的可靠性。

2、技术方案：本方法通过以下步骤实现：

步骤一：选取合适的退化参数，在各测试时刻记录各试件的性能退化值，使得性能参数退化量可以通过简单的函数变换(例如，对数变换、指数变换等)转化为符合线性独立增量过程规律的情况。

步骤二：建立考虑测量误差的线性独立增量过程模型；

步骤三：计算似然函数，通过极大似然估计法，计算退化模型中的未知参数；

步骤四：利用建立的退化模型对产品进行可靠性评估；

其中，在步骤一中所述“选取合适的退化参数”，具体方式为将m个试件投入到退化试验中，对每个试件均在n个时刻t₁＜t₂＜…＜t_n进行测量得到退化测量值z_i1,z_i2,...,z_in，i＝1,2,3,...,m，根据测试结果统计特征的变化规律(例如，线性、二次函数、对数、指数等规律)，可以确定变换后的退化时间x为t的严格单调递增函数以及性能参数的变换函数为y＝φ(z)，使得测量得到的退化过程z＝z(t)通过以及y＝φ(z)这两个变换后，变为线性独立增量过程y＝y(x)，变换后的测试时间为x₁＜x₂＜…＜x_n，退化量为y_i1,y_i2,...,y_in，i＝1,2,3,...,m。其中与y＝φ(z)为根据测试结果统计特征变化规律确定的函数。

其中，步骤二中所述的“建立考虑测量误差的线性独立增量过程模型”，建立过程具体实现为：

1.产品性能退化路径的确定。通过测试时间和/或性能参数值的变换，对试件i，其性能参数退化量真值y_i ^*(x)与测试时间为如下线性关系

y_i ^*(x)＝a_i+b_ix (1)

其中y_i ^*(x)表示试件i性能参数退化量的真值；x表示变换后的测试时间；a_i，b_i为第i个试件的线性独立增量过程模型参数。

2.退化量方差随时间变化规律的确定。在x时刻，退化量方差的无偏估计为

$S^2\left(x\right)=\frac{1}{m-1}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{\[{y_i}^{*}\left(x\right)\stackrel{\‾}{y^{*}}\left(x\right)\]}^2---\left(2\right)$

其中m表示试件个数；表示x时刻各试件性能参数退化量真值的均值；表示各试件线性独立增量过程模型参数的均值。

所以有：

$S^2\left(x\right)=\frac{1}{m-1}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{(a_i-\stackrel{\‾}{a})}^2+\frac{2}{m-1}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}(a_i-\stackrel{\‾}{a})(b_i-\stackrel{\‾}{b})x+\frac{1}{m-1}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{(b_i-\stackrel{\‾}{b})}^2{x}^2---\left(3\right)$

由此可见，在产品退化路径为线性的情况下，产品性能退化过程的方差可以表示为时间x的二次函数。

3.测量误差的考虑。在性能参数的实际测试中，测量结果难免包含测量误差。假定误差服从正态分布，即

e～N(0,σ_e ²) (4)

该表达式表示测量误差e服从均值为零，标准差为σ_e的正态分布。

4.产品的性能退化模型的建立。根据上面的分析，本发明提出一种考虑测量误差的线性独立增量过程退化模型，可表示为

$\left\{\begin{array}{c}y\left(x\right)=a+bx+\mathrm{\ϵ}\left(x\right)+e\\ \mathrm{\ϵ}\left(x\right)~N(0,d_0+d_{1}x+d_2{x}^2)\\ e~N(0,{{\mathrm{\σ}}_e}^2)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，a，b，d₀，d₁，d₂和均为模型参数：其中a+bx表示产品性能的退化路径；ε(x)表示退化量的分散性，在退化路径为线性的情况下，满足均值为0、方差与时间呈二次关系(记做d₀+d₁x+d₂x²)的正态分布。

由独立增量过程的定义，有Δε₁＝ε(x₁)，Δε₂＝ε(x₂)-ε(x₁),…,Δε_n＝ε(x_n)-ε(x_n-1)相互独立且服从正态分布

Δε_j～N(0,d₁(x_j-x_j-1)+d₂(x_j ²-x_j-1 ²)) (6)

Δε₁～N(0,d₀+d₁x₁+d₂x₁ ²) (7)

其中Δε₁即ε(x₁)表示第一个时刻的分散性，Δε_j(j＞1)表示第j个时刻分散性与第j-1个时刻分散性的差值。

其中，步骤三中所述“计算似然函数，通过极大似然函数法，确定退化模型中的未知参数”，具体实现过程为：

1.确定似然函数的形式

y_i1,y_i2,y_i3,...,y_in(表示第i个试件第1,2,L,n个时刻的退化量测量值)满足多维正态分布的条件，所以由多维正态分布的极大似然函数公式得到m个试件的对数极大似然函数为：

$ln\left(L\right(\mathrm{\θ}\left)\right)=-\frac{mn}{2}ln\left(2\mathrm{\π}\right)-\frac{m}{2}ln\left(\det \mathrm{\Σ}\right)-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{({\mathrm{\Δy}}_i-\mathrm{\Δ}\mathrm{\μ})}^{\′}{\mathrm{\Σ}}^{-1}({\mathrm{\Δy}}_i-\mathrm{\Δ}\mathrm{\μ})---\left(8\right)$

式中，L(θ)表示极大似然函数；Δy_i＝(Δy_i1,Δy_i2,L,Δy_in)'表示退化量增量的向量；Δμ表示退化量增量期望值的向量；Σ为各试件协方差矩阵；detΣ表示Σ的行列式。

2.计算似然函数中各参数

根据上述公式的含义，则

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\μ}=\left(\begin{array}{c}E\left({\mathrm{\Δy}}_{i1}\right)\\ E\left({\mathrm{\Δy}}_{i2}\right)\\ E\left({\mathrm{\Δy}}_{i3}\right)\\ M\\ E\left({\mathrm{\Δy}}_{in}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}E\left(y_{i1}\right)\\ E(y_{i2}-y_{i1})\\ E(y_{i3}-y_{i2})\\ M\\ E(y_{in}-y_{i(n-1)})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+{\mathrm{bx}}_1\\ b(x_2-x_1)\\ b(x_3-x_2)\\ N\\ b(x_n-x_{n-1})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+{\mathrm{bx}}_1\\ {\mathrm{b\Δx}}_2\\ {\mathrm{b\Δx}}_3\\ M\\ {\mathrm{b\Δx}}_n\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中E(Δy_in)表示增量Δy_in的期望值；

根据线性独立增量过程的定义以及测量误差的独立性，可以确定协方差矩阵Σ的元素Σ_ij表达式如下：

其中Var(Δε₁)＝d₀+d₁x₁+d₂x₁ ²，

确定似然函数后，就可以利用优化算法求解模型中的待求参数a，b，d₀，d₁，d₂和σ_e；

Δx_j即x_j-x_j-1表示两个时刻的差值。

其中，步骤四中的“利用建立的退化模型对产品进行可靠性评估”具体实现方式如下：

1.根据上述推导和分析，在测试时刻x，性能参数退化量Y(x)的分布函数为

$F_Y\left(y\right|x)=\mathrm{\Φ}\left(\frac{y-a-bx}{\mathrm{\σ}\left(x\right)}\right)---\left(11\right)$

式中为性能参数退化量的方差，Φ(·)为标准正态分布的分布函数，F_Y(y|x)表示性能参数退化量Y(x)的分布函数；

2.假设产品的失效阈值为D_f，若b＞0，则产品寿命T的分布函数为

若b＜0，则产品寿命T的分布函数为

式中P表示概率，F_T表示产品寿命T的分布函数。

3.可靠度为R的可靠寿命t_1-R可通过求解下式得到

本发明的优点与积极效果在于：

(1)在退化可靠性建模中考虑了测量误差的影响，由于测量误差在实际的测试中不可避免，因此本发明将线性过程退化模型推广到更适合工程实际的情况。

(2)在模型参数的极大似然估计中，采用了多维随机过程理论进行分析，为具有相关性的多维变量的极大似然估计提供了一种可行的方法。

附图说明

图1为本方法的建模思路示意图。

图2a为试验数据变换前后的示意图，每条线对应一个试样性能退化量的测试结果。

图2b为试验数据变换前后的示意图，每条线对应一个试样性能退化量的测试结果。

图3为实现本方法的程序思路。

图中的代号、符号说明如下：

time(t)表示实际的测量时间，Value(z)表示实测得到的退化数据。

time(x)表示经x＝ln(t)变换后的测量时间，Value(y)表示经y＝z变换后的试验数据。

具体实施方式

下面将结合具体数据对本发明作进一步的详细说明。

本发明提出了一种基于小样本可靠性和非平稳随机过程理论的退化可靠性分析方法，具体分为以下步骤：

步骤一：选取合适的退化参数，使其可以通过适当的变换而转化为线性独立增量过程，记第i个试件在时间t_j的性能退化测量值为z_ij，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n；

其中，退化参数的选取基于物理失效分析开展。

确定退化参数后，本发明以一组工程实测数据为例，共30个测试时刻，5个试样，如图2a所示。对其进行变换x＝lnt,y＝z，变换后的x-y曲线如图2b所示，可以看出测试数据经变换后呈线性变化规律。利用变换以后的退化数据进行下面的步骤。

步骤二：建立考虑测量误差的线性独立增量过程模型。本发明提出一种考虑测量误差的线性独立增量过程退化模型，可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}y\left(x_j\right)=a+{\mathrm{bx}}_j+\mathrm{\ϵ}\left(x_j\right)+e\\ \mathrm{\ϵ}\left(x_j\right)~N(0,d_0+d_1{x}_j+d_2{x}_j^2)\\ e~N(0,{{\mathrm{\σ}}_e}^2)\end{array}\right.$

步骤三：计算似然函数，通过极大似然函数法，确定退化模型中的未知参数。具体过程如下：

1.将测试数据表示为向量形式：

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\μ}=\left(\begin{array}{c}E\left({\mathrm{\Δy}}_{i1}\right)\\ E\left({\mathrm{\Δy}}_{i2}\right)\\ E\left({\mathrm{\Δy}}_{i3}\right)\\ .\\ .\\ .\\ E\left({\mathrm{\Δy}}_{in}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+{\mathrm{bx}}_1\\ {\mathrm{b\Δx}}_2\\ {\mathrm{b\Δx}}_3\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{b\Δx}}_n\end{array}\right)$

其中Δx_j＝x_j-x_j-1，Δy_ij＝y_ij-y_i(j-1)，Δy_i＝(Δy_i1,Δy_i2,…,Δy_in)′，Σ为各试件的协方差矩阵，根据线性独立增量过程的定义以及测量误差的独立性，可以确定其元素Σ_ij表达式如下：

其中Var(Δε₁)＝d₀+d₁x₁+d₂x₁ ²，

2.定义似然函数。似然函数可以写成：

$ln\left(L\right(\mathrm{\θ}\left)\right)=-\frac{mn}{2}ln\left(2\mathrm{\π}\right)-\frac{m}{2}ln\left(\det \mathrm{\Σ}\right)-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{({\mathrm{\Δy}}_i-\mathrm{\Δ}\mathrm{\μ})}^{\′}{\mathrm{\Σ}}^{-1}({\mathrm{\Δy}}_i-\mathrm{\Δ}\mathrm{\μ})$

3.求解模型参数。

基于matlab平台，采用优化算法求上述似然函数的极大值，对应的模型参数即为极大似然估计结果，计算结果如下：

a	b	d0	d1	d2	σe 2
						13.92848	15.35526	0.89453	1.88564	3.14551	0.71902

步骤四：利用建立的退化模型对产品进行可靠性评估；

基于上述模型，假设失效阈值D_f＝85，研究可靠度R＝0.9的寿命分布，解方程

F_T(t|D_f,x＝lnt)＝0.1

其中

$F_T\left(t\right|D_f,x=\ln t)=P\{T\≤t|D_f,x=\ln t\}=F_Y\left(y\right|x)=\mathrm{\Φ}\left(\frac{D_f-a-bx}{\mathrm{\σ}\left(x\right)}\right)$

将σ(x)表达式代入，可求得变换可靠寿命x_0.1＝5.4864，经反变换t＝e^x得到可靠寿命t_0.1＝241.38。

Claims (7)

1.一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：通过以下步骤实现：

步骤一：选取合适的退化参数，在各测试时刻记录各试件的性能退化值，使得性能参数退化量通过简单的函数变换转化为符合线性独立增量过程规律的情况；

步骤二：建立考虑测量误差的线性独立增量过程模型；

步骤三：计算似然函数，通过极大似然估计法，计算退化模型中的未知参数；

步骤四：利用建立的退化模型对产品进行可靠性评估。

2.根据权利要求1所述的一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：在步骤一中所述选取合适的退化参数，具体方式为将m个试件投入到退化试验中，对每个试件均在n个时刻t₁＜t₂＜…＜t_n进行测量得到退化测量值z_i1,z_i2,...,z_in，i＝1,2,3,...,m，根据测试结果统计特征的变化规律，确定变换后的退化时间x为t的严格单调递增函数以及性能参数的变换函数为y＝φ(z)，使得测量得到的退化过程z＝z(t)通过以及y＝φ(z)这两个变换后，变为线性独立增量过程y＝y(x)，变换后的测试时间为x₁＜x₂＜…＜x_n，退化量为y_i1,y_i2,...,y_in，i＝1,2,3,...,m；其中与y＝φ(z)为根据测试结果统计特征变化规律确定的函数。

3.根据权利要求1所述的一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：步骤二中所述的建立考虑测量误差的线性独立增量过程模型，建立过 程具体实现为：

2.1产品性能退化路径的确定；

通过测试时间和/或性能参数值的变换，对试件i，其性能参数退化量真值y_i ^*(x)与测试时间为如下线性关系

y_i ^*(x)＝a_i+b_ix (1)

其中y_i ^*(x)表示试件i性能参数退化量的真值；x表示变换后的测试时间；a_i，b_i为第i个试件的线性独立增量过程模型参数；

2.2退化量方差随时间变化规律的确定；在x时刻，退化量方差的无偏估计为

其中m表示试件个数；表示x时刻各试件性能参数退化量真值的均值； 表示各试件线性独立增量过程模型参数的均值；

所以有：

在产品退化路径为线性的情况下，产品性能退化过程的方差表示为时间x的二次函数；

2.3测量误差的考虑；在性能参数的实际测试中，测量结果难免包含测量误差；假定误差服从正态分布，即

e～N(0,σ_e ²) (4)

该表达式表示测量误差e服从均值为零，标准差为σ_e的正态分布；

2.4产品的性能退化模型的建立；测量误差的线性独立增量过程退化模型，表示为

式中，a，b，d₀，d₁，d₂和均为模型参数：其中a+bx表示产品性能的退化路径；ε(x)表示退化量的分散性，在退化路径为线性的情况下，满足均值为0、方差与时间呈二次关系的正态分布；记做d₀+d₁x+d₂x²；

由独立增量过程的定义，有Δε₁＝ε(x₁)，Δε₂＝ε(x₂)-ε(x₁),…,Δε_n＝ε(x_n)-ε(x_n-1)相互独立且服从正态分布

Δε_j～N(0,d₁(x_j-x_j-1)+d₂(x_j ²-x_j-1 ²)) (6)

Δε₁～N(0,d₀+d₁x₁+d₂x₁ ²) (7)

其中Δε₁即ε(x₁)表示第一个时刻的分散性，Δε_j表示第j个时刻分散性与第j-1个时刻分散性的差值；j＞1。

4.根据权利要求1所述的一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：步骤三中所述计算似然函数，通过极大似然估计法，计算退化模型中的未知参数，具体实现过程为：

3.1确定似然函数的形式

y_i1,y_i2,y_i3,...,y_in满足多维正态分布的条件，表示第i个试件第1,2,L,n个时刻的退化量测量值，所以由多维正态分布的极大似然函数公式得到m个试件的对数极大似然函数为：

式中，L(θ)表示极大似然函数；Δy_i＝(Δy_i1,Δy_i2,L,Δy_in)'表示退化量增量的向量；Δμ表示退化量增量期望值的向量；Σ为各试件协方差矩阵；detΣ表示Σ的行列式；

3.2计算似然函数中各参数

根据上述公式的含义，则

其中E(Δy_in)表示增量Δy_in的期望值；

根据线性独立增量过程的定义以及测量误差的独立性，确定协方差矩阵Σ的元素Σ_ij表达式如下：

其中Var(Δε₁)＝d₀+d₁x₁+d₂x₁ ²，

确定似然函数后，利用优化算法求解模型中的待求参数a，b，d₀，d₁，d₂和σ_e；

Δx_j即x_j-x_j-1表示两个时刻的差值。

5.根据权利要求1所述的一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：步骤四中的利用建立的退化模型对产品进行可靠性评估，具体实现方 式如下：

4.1在测试时刻x，性能参数退化量Y(x)的分布函数为

式中为性能参数退化量的方差，Φ(·)为标准正态分布的分布函数，F_Y(y|x)表示性能参数退化量Y(x)的分布函数；

4.2假设产品的失效阈值为D_f，若b＞0，则产品寿命T的分布函数为

若b＜0，则产品寿命T的分布函数为

式中P表示概率，F_T表示产品寿命T的分布函数；

4.3可靠度为R的可靠寿命t_1-R通过求解下式得到

。

6.根据权利要求1或2所述的一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：步骤一中的函数变换为对数变换或指数变换。

7.根据权利要求2所述的一种考虑测量误差的退化可靠性分析方法，其特征在于：所述的变化规律为线性、二次函数、对数及指数规律。