CN107436963A - 一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法 - Google Patents

一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法 Download PDF

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Abstract

本发明是一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，具体步骤为：步骤一、多元退化量的建立及数据统计分析；包括(a)、模拟生成退化数据，(b)、退化量分布的选择，(c)、退化轨迹拟合，(d)、加速方程选择；步骤二、选择合适的Copula函数；步骤三、未知参数的估计；步骤四、建立可靠度计算模型；步骤五、预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；本发明考虑到两参数之间的相关性，并且引入了Copula函数描述参数之间的这种相关性关系，使计算更加简单、方便，将形状参数和位置参数都当作时间和应力的函数来处理，使最终的预测结果更加准确。

Description

一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测 方法
技术领域
本发明属于加速退化试验可靠性评估领域，具体是一种基于Copula函数描述多参数同时退化时O型橡胶密封圈寿命的预测方法。
背景技术
对于许多高可靠、长寿命产品，采用传统的加速寿命试验往往不能够收集足够的失效数据，对最后的可靠性评估造成了影响，加速退化试验是收集产品的退化数据，充分利用产品的退化数据建立可靠性评估模型，是目前可靠性分析广泛应用的一种方法。
目前国内外者主要针对单个性能参数退化从基于伪失效寿命的加速退化数据建模和基于退化量分布的加速退化数据建模两个方向进行了研究，但是对于许多退化型产品退化量往往不止一个，目前关于多参数退化的研究成果较少，大多是假设多个性能参数间相互独立或者假设其服从多维正态分布进行可靠性建模。在研究多元相关可靠性分析中，通常都是假设均值向量为时间和应力的函数，但是针对协方差矩阵的处理情况大多不太相同，其中，在研究二元性能参数的丁腈橡胶O型密封圈可靠性寿命时，假设了协方差矩阵为常数与时间和应力均无关系，建立了二维正态可靠性模型。
上述的建模方法都是基于多维正态分布求解联合分布函数解决的，要求边缘分布都要服从一维正态分布或通过线性变换为正态分布，这种假设显然不太合理，常与实际情况不符，并且上述方法不能解决各参数间存在非线性相关关系的情况，因此，引入Copula函数可以解决上述问题，Copula函数的特点就是可以将随机变量的边缘分布和变量之间的相关结构分开来研究，其边缘分布形式也可以不受限制，可以根据实际情况选择合适的分布形式。
通常人们在预测O型橡胶密封圈的贮存寿命时，都是以单个性能参数为研究对象，对单参数进行建立可靠性模型，但是O型橡胶密封圈在退化过程中，往往存在多个参数同时退化的情况，各参数之间的相关性通常会影响最终可靠性的评估，因此需要针对O型橡胶密封圈多参数退化时的情况进行分析；但是在基于退化量分布函数进行建模时，一般边缘分布都可以用正态分布或者威布尔分布来描述，通常都是假设形状参数与时间和应力无关，这种处理方式往往会与实际不符，影响最终可靠性寿命的预测。因此，迫切需要提出一种可以预测O型橡胶密封圈多参数同时退化时贮存寿命的方法。
发明内容
本发明的目的就是克服上述提出的缺陷，提出一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，具体的是给出了基于多元退化分布建立可靠性模型的一般步骤，通过绘制分布函数的形状参数和位置参数变化趋势图，判断形状参数是否与时间和应力有关，应用Copula函数描述各个性能参数之间的相关性，并从数据散点图、相关系数检验和AIC准则检验三个方面给出选择合适Copula函数的方法，最后根据可靠性加速模型外推出正常应力下的O型橡胶密封圈的贮存寿命。
本说明书提出本发明的一些关键基础理论如下：
在研究建立多元退化量可靠性模型时，常常以二元退化量为研究对象，下面给出二维Copula函数的定义：
定义：若C是I2＝[0,1]2→I＝[0,1]的函数且满足如下性质，则称C是一个二维Copula函数：
(1)对于任意的u,v∈I，C(u,0)＝0＝C(0,v)，且C(u,1)＝u，C(1,v)＝v；
(2)对任意的u1,u2,v1,v2∈I，使得u1≤u2,v1≤v2，有C(u2,v2)-C(u1,v1)-C(u2,v1)+C(u1,v1)≥0。
Sklar定理[6]：设H为n维分布函数，它的边缘分布函数为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，那么存在一个Copula函数C(·,…,·)满足：
H(x1,x2,…,xn)＝C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))
如果F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)是连续的，那么Copula函数是唯一确定的；否则，C的唯一性在RankF1×RankF2×…×RankFn上确定。反之，如果F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)为一元分布函数，C(·,…,·)为相应的Copula函数，那么H(x1,x2,…,xn)即为边缘分布函数是F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)的联合分布函数。
根据Sklar定理可知，可以利用Copula函数来求解各个边缘分布函数的联合分布函数，其中Copula函数描述了边缘分布变量之间的相关性，这样就可以分开研究边缘分布函数和Copula相关函数。
根据Copula函数构造的多维联合分布函数H(x1,x2,…,xn)的密度函数可以表示为：
h(x1,x2,…,xn)＝c(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))·f1(x1)f2(x2)…fn(xn) (1)
其中表示Copula函数的密度函数，u1＝F1(x1),u2＝F2(x2),…,un＝Fn(xn)，f1(x1)f2(x2)…fn(xn)表示边缘分布函数的密度函数。
本发明的一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，具体步骤为：
步骤一：多元退化量的统计模型建立及数据统计分析；
(1)退化数据收集：
在进行多元加速退化试验数据收集时，一般假设每个样本都是从总体样本中随机抽取的，每个退化量都是在同一时刻进行测量的。记第Si应力水平下第l个样本的第j个性能参数在第h个时刻测量的退化值为xiljh。
(2)退化量分布的选择
对多元退化数据进行处理时，首先要确定各个性能参数所服从的边缘分布，一般正态分布和Weibull分布是描述产品退化量最常用的分布模型，同时具有很多优点。
(3)退化轨迹拟合
退化数据的轨迹表示退化数据与测试时刻的变化趋势，以(th,xiljh)为坐标绘制第j个性能参数退化数据轨迹曲线图，根据退化趋势选择合适的曲线进行拟合，一般退化轨迹可以用线性模型(或经过变换呈线性)拟合。由于研究的对象是O型橡胶密封圈，所以根据橡胶老化规律的动力学经验公式可以确定退化轨迹方程。
(4)加速方程的选择
在加速退化试验中要得到正常应力下的寿命特征，需要建立产品寿命与应力水平之间的关系，即加速方程。施加的应力一般为温度应力或者电应力，根据施加的应力种类，可以确定寿命特征的加速方程。本发明中的加速应力为温度，所以加速方程可以选择为阿伦尼斯方程。
步骤二：选择合适的Copula函数；
(1)散点图法；对比原始数据的散点图和常用Copula函数的散点图，初步选择一种或几种接近的Copula函数；
(2)相关系数检验法；
(3)AIC信息准则；
步骤三：未知参数的估计；
(1)边缘分布函数未知参数估计：对边缘分布函数应用极大似然估计得到边缘分布函数的未知参数估计值；
(2)Copula函数模型的未知参数估计：将边缘分布参数估计值带入Copula密度函数部分利用极大似然估计法得到Copula函数的未知参数估计值；
步骤四：建立可靠度计算模型；
步骤五：预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；
本发明的优点是：
(1)研究O型橡胶密封圈两个性能参数同时退化时，考虑到两参数之间的相关性，并且引入了Copula函数描述参数之间的这种相关性关系，使计算更加简单、方便。
(2)给出了选择退化量分布的方法，通过计算Anderson-Darling统计量的值，对退化数据进行计算，选择一种对退化数据拟合效果更好的边缘分布，并且在建立退化轨迹方程时，首先通过绘制分布中形状参数和位置参数随测量时刻的变化趋势图，判定形状参数和位置参数都当作时间和应力的函数来处理，使最终的预测结果更加准确。
(3)给出了基于Copula函数描述多元退化量的可靠性模型，并对比分析了其与多维正态联合分布函数描述可靠性的区别，通过实例验证了本发明提出方法的准确性和适用性，同时也适合描述其它产品多参数退化时的可靠性评估。
附图说明
图1是本发明的方法流程图；
图2是本发明实施例的压缩永久变形的退化数据图；
图3是本发明实施例的压缩应力松弛的退化数据图；
图4是本发明实施例中压缩永久变形的形状参数变化趋势图；
图5是本发明实施例中压缩应力松弛的形状参数变化趋势图；
图6是本发明模拟生成的原始数据分布散点图；
图7是本发明的可靠度曲线；
具体实施方式
下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。
本发明是一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，其特征在于，包括以下几个步骤：
步骤一：多元退化量的统计模型建立及数据统计分析；
(1)退化数据收集：
在进行多元加速退化试验数据收集时，一般假设每个样本都是从总体样本中随机抽取的，每个退化量都是在同一时刻进行测量的，假设产品具有m个性能参数，在每个应力Si(i＝1,2,…k)水平下有ni个样本，在tih(h＝1,2,…ci)时刻对第l个样本的m个性能参数测量，各个退化量数据记为(xil1h,xil2h,...,xilmh)，其中xiljh表示Si应力水平下第l个样本的第j个性能参数在第h个时刻测量的退化值，因此，多元加速退化试验数据如下表所示：
其中，l＝1,2,…,ni个样本；j＝1,2,…,m；h＝1,2,…,ci次测量时刻；
为了得到验证方法正确性的试验数据，可以采用利用参数真值模拟生成二元退化量O型橡胶密封圈的退化数据，模拟生成二元退化数据的方法为：
(a)生成服从标准正态分布且独立的随机数z1,z2；
(b)
其中c·cT＝Σ，Σ为参数真值；
重复上述步骤(a)和(b)生成4个温度应力，每个应力下8个样本的退化数据；
(2)退化量分布的选择
对多元退化数据进行处理时，首先要确定各个性能参数所服从的边缘分布，一般正态分布和Weibull分布是描述产品退化量最常用的分布模型，同时具有很多优点；
对收集到的退化数据，要判断每个性能参数退化量xil1h,…,xilmh服从的分布，可以采用退化量分布的拟合优度检验的Anderson-Darling方法来分别判断各个性能参数退化量是否符合正态分布或Weibull分布，其中Anderson-Darling的检验假设统计量为：
对应的正态分布的假设检验统计量为：
对应的Weibull分布的假设检验统计量为：
将试验数据带入式(2)、(3)，可以得到每个性能参数在应力水平Si下各个测试时刻的统计量值，然后对照正态分布和Weibull分布的Anderson-Darling检验临界值表，可以判断各个测试时刻的数据是否满足相应的分布，计算第j个性能参数在各应力水平下和各测试时刻点的统计量的平均值和对比和的大小，值越小说明数据与该分布的拟合效果更好，可以确定退化数据最符合的分布；
(3)退化轨迹拟合
由于试验对象是丁腈橡胶O型密封圈，所以根据老化动力学经验公式：
P＝B·exp(-K·tα)
两边取对数形式为：-ln P＝-ln B+K·tα
对压缩永久变形P＝1-ε；对压缩应力松弛P＝σ/σ0；
通过逐次逼近准则可以确定橡胶老化经验常数α的值，逼近准则为：
其中表示tih时刻第j个性能参数的预计值，将退化数据带入式(4)，计算使得当I1和I2的值最小时α1和α2的值；
(4)加速方程的选择
本发明中的加速应力为温度，所以加速方程可以选择为阿伦尼斯方程，通常在研究退化量的寿命特征时，常常假设位置参数μi(t)是时间和应力的函数，而形状参数σ一般假设为常数处理，这种处理方法在很多时候会与实际情况不符，影响最终可靠性寿命的预测，因此，提出一种可以直观判断形状参数是否与时间和应力水平有关的方法：绘制各个应力水平下形状参数与测试时刻之间的曲线图，观察形状参数的变化趋势，若确定形状参数的值在各应力水平和测试时刻不同，将阿伦尼斯方程结合退化轨迹方程可以给出退化量分布参数与时间和应力水平的关系；
μi(t)＝exp(b+a/Si)·t+βi
σi(t)＝exp(d+c/Si)·t+γi
ηi(t)＝exp(b+a/Si)·t+βi
mi(t)＝exp(d+c/Si)·t+γi
其中μi(t)和σi(t)分别是正态分布时的位置参数和形状参数；ηi(t)和mi(t)分别是Weibull分布时的位置参数和形状参数；
步骤二：选择合适的Copula函数；
在可靠度计算当中需要用Copula函数来描述各变量之间的相关性，因此合理选择相应的Copula函数才能更好的反应各性能退化量之间的相关模式，总结出从以下三步选择合适Copula函数的方法：
(1)散点图法：通过绘制原始数据的散点图，大致可以确定退化数据是不是对称分布，以及上尾部和下尾部的变化情况，同时对比几种常用Copula函数的特征可以大致选择一种或几种合适的Copula函数；
(2)相关系数检验法：计算原始退化量之间的相关系数，与常用Copula函数相关系数Kendallτ对比，选择更接近的Copula函数；其中几种常用Copula函数的Kendallτ系数计算公式如表1所示：
表1 Copula函数相关系数
其中θ为各Copula函数模型参数；
(3)AIC信息准则：AIC准则适用于用极大似然估计法得到的Copula模型；
AIC＝-2log(MLE)+2k (5)
其中，k表示Copula模型中参数个数；log(MLE)是整体对数似然函数值；如果计算的AIC值越小，说明模型的拟合程度更高；
步骤三：未知参数的估计；
以二元退化量为例，表示出整体似然函数为：
相应的表示成对数似然函数为：
因此，在整体对数似然函数中要估计的所有未知参数为：
Θ＝(a1,b1,β1,c1,d1,γ1,a2,b2,β2,c2,d2,γ2,θ)
其中ζj＝(aj,bj,βj,cj,dj,γj)为要估计的边缘分布中的未知参数，θ为Copula函数中的未知参数；
由于IFM参数估计法相对计算比较简单、适用性比较强，所以采用IFM方法对未知参数进行估计；
(1)边缘分布的参数估计
根据边缘分布服从的分布类型，可以得到边缘分布的对数似然函数如下：
当边缘分布服从正态分布时：
当边缘分布服从Weibull分布时：
其中正态分布和Weibull分布函数中的参数的估计公式为：
其中
采用最佳线性无偏估计(BLUE)可以得到Weibull分布的参数估计：
其中C(ni,ni,l)和D(ni,ni,l)由查可靠性试验表获得，yiljh＝lnxiljh为退化数据xiljh从小到大排序后的结果；
得到：gn,n也是查可靠性试验表获得；
分别对式(8)采用极大似然估计法可以得到各个边缘分布函数的参数估计值为：和
(2)Copula函数模型的参数估计：
将求得的边缘分布函数的参数估计值和带入Copula密度函数部分：
采用极大似然估计法可得到Copula密度函数的参数估计值至此，已求出了所有的未知参数估计值：
步骤四：建立可靠度计算模型；
若产品的第j个性能退化量的失效阈值为Dj，正常条件下的应力为S0，则各个性能退化量对应的可靠度函数为：
当边缘分布服从正态分布时：
当边缘分布服从Weibull分布时：
若各性能参数之间相互独立，则产品的可靠度可以表示为：
R(t/S0)＝R1(t/S0)×R2(t/S0)×…×Rm(t/S0)
若各性能参数之间相关，则用Copula函数可以表示产品可靠度为：
R(t/S0)＝C(R1(t/S0),R2(t/S0),…,Rm(t/S0)；θ)
步骤五：预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；
根据可靠度计算公式，将参数估计值带入式(11)得到：
当性能退化量之间独立时：
当性能退化量之间相关，用Frank Copula函数描述相关性时：
当用二元正态联合分布函数求解可靠度：
外推正常温度应力下T0＝25时的形状参数和位置参数值，可以计算正常温度应力下的可靠度，其中根据O型密封圈失效定义为当压缩永久变形率ε≥40％或压缩应力松弛率δ≤80％判定产品失效，则失效阈值可以选择为D1＝0.511，D2＝0.223，将数据分别带入各可靠度计算公式可以得到O型橡胶密封圈在单性能参数、独立、二维正态分布和Frank Copula相关时的可靠度寿命。
实施例：
模拟生成丁腈橡胶O型密封圈在恒定应力加速退化试验中的退化数据xiljh，其中m＝2表示含有两个性能参数，分别为压缩永久变形率ε和压缩应力松弛率σ/σ0，生成四个温度应力水平分别为T1＝65℃,T12＝80℃,T3＝95℃,T4＝110℃,ni＝8表示每个温度应力下生成8个样本，试验截尾试验分别为t1＝25d,t2＝18d,t3＝15d,t4＝12d,并且每个温度应力下的测试次数不同；
步骤一：多元退化量的统计模型建立及数据统计分析；
(1)退化数据收集：
生成的两个性能参数退化数据，其中压缩永久变形的退化数据如图2所示，压缩永久变形的退化数据如图3所示。
(2)退化量分布的选择：
将两个性能参数的退化数据xil1h和xil2h带入式(2)和式(3)可以得到两个性能参数在各个应力水平和各个测试时刻的Anderson-Darling统计量值和查Anderson-Darling检验临界值表，可以得到退化数据均服从正态分布和Weibull分布。
根据上面计算的A-D统计量值，计算两个性能参数对应的平均值如表2所示：
表2两个分布Anderson-Darling平均值
由于用的统计量更小，所以两个性能参数的边缘分布用Weibull描述更合适。
(3)退化轨迹拟合
将退化数据xil1h和xil2h带入式(4)，计算得当α1＝0.44和α2＝0.35时I1和I2的值最小；
(4)加速方程的选择
绘制形状参数mj(tih)随测量时刻tih变化趋势图，其中压缩永久变形的形状参数变化趋势图如图4所示，压缩应力松弛的形状参数变化趋势图由图5所示；发现不同温度应力水平下和不同测试时刻的形状参数均不同，若将形状参数mj(tih)作为常数处理，显然不符合实际情况，因此形状参数mj(tih)和位置参数ηj(tih)都定义为应力和时间的函数。
所以得到两个性能参数的退化方程为：
步骤二：选择合适的Copula函数
(1)散点图法：绘制原始数据散点图如图6所示；由数据二维散点图可以大致看出：数据基本上呈对称分布或者下尾部相关，上尾部变化不太明显，根据各Copula的特点可以大致选择Frank、Clayton和Gaussian函数；
(2)计算相关系数为：
表3相关系数
结合二维散点图和相关系数发现，原始数据对上下尾部变化均不太敏感，说明Clayton不太合适，再结合Kendallτ系数，Frank相对Gaussian系数更接近，但也存在一定的差距，分析这种情况原因可能是样本量太少，造成数据太少，存在较大误差。
(3)计算AIC的值：
表4各Copula函数AIC值
根据AIC准则的选择理论，Frank的值最小，说明拟合效果更好，也证实了前面分析的用Frank来描述更合适。
步骤三：未知参数的估计；
(1)边缘分布的参数估计；
将退化数据xil1h和xil2h分别带入式(8)，对其采用极大似然估计法可得最后的参数估计值分别为：
表5第一个性能参数未知参数估计值
表6第二个性能参数未知参数估计值
(2)Copula函数模型的参数估计：
将得到的边缘分布参数估计值和带入式(9)利用极大似然估计法得到常用Copula函数的参数估计值：
表7 Copula函数参数估计值
步骤四：建立可靠度计算模型；
T＝25℃时，第一个性能参数的可靠度：
T＝25℃时，第二个性能参数的可靠度：
当性能退化量之间独立时：
当性能退化量之间相关，用Frank Copula函数描述相关性时：
当用二元正态联合分布函数求解可靠度：
其中
μ1(t/S0)＝exp(8.4369-3823.9/S0)·t0.44+0.0222；
μ2(t/S0)＝exp(5.7322-2999.9/S0)·t0.35+6.6203×10-4；
步骤五：预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；
几种不同方式得到的可靠度曲线如图7所示；
根据可靠度曲线图7得到，用单个性能参数的可靠度来表示会高估产品可靠度，假设产品两个退化量之间相互独立会明显低估产品的可靠度，用二维正态分布联合分布函数求得的可靠度存在着较大偏差，分析出现这种偏差的原因是在利用二元正态分布联合分布函数求解可靠度时，边缘分布函数只能选择正态分布，并没有选择最合适的边缘分布拟合，并且对形状参数σ当作常数来处理，导致出现明显的差别，若用中位寿命来表示丁腈橡胶O型密封圈的寿命，经过计算得到贮存寿命为年。
对于本领域的普通技术人员而言，根据本发明的教导，在不脱离本发明的原理与精神的情况下，对实施方式所进行的改变、修改、替换和变型仍落入本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，其特征在于，包括以下几个步骤：
步骤一：多元退化量的统计模型建立及数据统计分析；
(1)退化数据收集：
在进行多元加速退化试验数据收集时，一般假设每个样本都是从总体样本中随机抽取的，每个退化量都是在同一时刻进行测量的，假设产品具有m个性能参数，在每个应力Si(i＝1,2,…k)水平下有ni个样本，在tih(h＝1,2,…ci)时刻对第l个样本的m个性能参数测量，各个退化量数据记为(xil1h,xil2h,...,xilmh)，其中xiljh表示Si应力水平下第l个样本的第j个性能参数在第h个时刻测量的退化值，因此，多元加速退化试验数据如下表所示：
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其中，l＝1,2,…,ni个样本；j＝1,2,…,m；h＝1,2,…,ci次测量时刻；
为了得到验证方法正确性的试验数据，可以采用利用参数真值模拟生成二元退化量O型橡胶密封圈的退化数据，模拟生成二元退化数据的方法为：
(a)生成服从标准正态分布且独立的随机数z1,z2；
(b)
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>/</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>t</mi> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
其中c·cT＝Σ，Σ为参数真值；
重复上述步骤(a)和(b)生成4个温度应力，每个应力下8个样本的退化数据；
(2)退化量分布的选择
对多元退化数据进行处理时，首先要确定各个性能参数所服从的边缘分布，一般正态分布和Weibull分布是描述产品退化量最常用的分布模型，同时具有很多优点；
对收集到的退化数据，要判断每个性能参数退化量xil1h,…,xilmh服从的分布，可以采用退化量分布的拟合优度检验的Anderson-Darling方法来分别判断各个性能参数退化量是否符合正态分布或Weibull分布，其中Anderson-Darling的检验假设统计量为：
对应的正态分布的假设检验统计量为：
<mrow> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> <mo>{</mo> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对应的Weibull分布的假设检验统计量为：
<mrow> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> <mo>{</mo> <mi>ln</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>exp</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>exp</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将试验数据带入式(2)、(3)，可以得到每个性能参数在应力水平Si下各个测试时刻的统计量值，然后对照正态分布和Weibull分布的Anderson-Darling检验临界值表，可以判断各个测试时刻的数据是否满足相应的分布，计算第j个性能参数在各应力水平下和各测试时刻点的统计量的平均值和对比和的大小，值越小说明数据与该分布的拟合效果更好，可以确定退化数据最符合的分布；
(3)退化轨迹拟合
由于试验对象是丁腈橡胶O型密封圈，所以根据老化动力学经验公式：
P＝B·exp(-K·tα)
两边取对数形式为：-ln P＝-ln B+K·tα
对压缩永久变形P＝1-ε；对压缩应力松弛P＝σ/σ0；
通过逐次逼近准则可以确定橡胶老化经验常数α的值，逼近准则为：
<mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>8</mn> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>8</mn> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mi>exp</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中表示tih时刻第j个性能参数的预计值，将退化数据带入式(4)，计算使得当I1和I2的值最小时α1和α2的值；
(4)加速方程的选择
本发明中的加速应力为温度，所以加速方程可以选择为阿伦尼斯方程，通常在研究退化量的寿命特征时，常常假设位置参数μi(t)是时间和应力的函数，而形状参数σ一般假设为常数处理，这种处理方法在很多时候会与实际情况不符，影响最终可靠性寿命的预测，因此，提出一种可以直观判断形状参数是否与时间和应力水平有关的方法：绘制各个应力水平下形状参数与测试时刻之间的曲线图，观察形状参数的变化趋势，若确定形状参数的值在各应力水平和测试时刻不同，将阿伦尼斯方程结合退化轨迹方程可以给出退化量分布参数与时间和应力水平的关系；
μi(t)＝exp(b+a/Si)·t+βi
σi(t)＝exp(d+c/Si)·t+γi
ηi(t)＝exp(b+a/Si)·t+βi
mi(t)＝exp(d+c/Si)·t+γi
其中μi(t)和σi(t)分别是正态分布时的位置参数和形状参数；ηi(t)和mi(t)分别是Weibull分布时的位置参数和形状参数；
步骤二：选择合适的Copula函数；
在可靠度计算当中需要用Copula函数来描述各变量之间的相关性，因此合理选择相应的Copula函数才能更好的反应各性能退化量之间的相关模式，总结出从以下三步选择合适Copula函数的方法：
(1)散点图法：通过绘制原始数据的散点图，大致可以确定退化数据是不是对称分布，以及上尾部和下尾部的变化情况，同时对比几种常用Copula函数的特征可以大致选择一种或几种合适的Copula函数；
(2)相关系数检验法：计算原始退化量之间的相关系数，与常用Copula函数相关系数Kendallτ对比，选择更接近的Copula函数；其中几种常用Copula函数的Kendallτ系数计算公式如表1所示：
表1 Copula函数相关系数
其中θ为各Copula函数模型参数；
(3)AIC信息准则：AIC准则适用于用极大似然估计法得到的Copula模型；
AIC＝-2log(MLE)+2k (5)
其中，k表示Copula模型中参数个数；log(MLE)是整体对数似然函数值；如果计算的AIC值越小，说明模型的拟合程度更高；
步骤三：未知参数的估计；
以二元退化量为例，表示出整体似然函数为：
<mrow> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>{</mo> <mi>c</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow>
相应的表示成对数似然函数为：
<mrow> <mi>ln</mi> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>{</mo> <mi>ln</mi> <mi>c</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
因此，在整体对数似然函数中要估计的所有未知参数为：
Θ＝(a1,b1,β1,c1,d1,γ1,a2,b2,β2,c2,d2,γ2,θ)
其中ζj＝(aj,bj,βj,cj,dj,γj)为要估计的边缘分布中的未知参数，θ为Copula函数中的未知参数；
由于IFM参数估计法相对计算比较简单、适用性比较强，所以采用IFM方法对未知参数进行估计；
(1)边缘分布的参数估计
根据边缘分布服从的分布类型，可以得到边缘分布的对数似然函数如下：
当边缘分布服从正态分布时：
<mrow> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>L</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当边缘分布服从Weibull分布时：
<mrow> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>L</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>{</mo> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中正态分布和Weibull分布函数中的参数的估计公式为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow>
其中
采用最佳线性无偏估计(BLUE)可以得到Weibull分布的参数估计：
其中C(ni,ni,l)和D(ni,ni,l)由查可靠性试验表获得，yiljh＝lnxiljh为退化数据xiljh从小到大排序后的结果；
得到：gn,n也是查可靠性试验表获得。
分别对式(8)采用极大似然估计法可以得到各个边缘分布函数的参数估计值为：和
(2)Copula函数模型的参数估计：
将求得的边缘分布函数的参数估计值和带入Copula密度函数部分：
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采用极大似然估计法可得到Copula密度函数的参数估计值至此，已求出了所有的未知参数估计值：
步骤四：建立可靠度计算模型；
若产品的第j个性能退化量的失效阈值为Dj，正常条件下的应力为S0，则各个性能退化量对应的可靠度函数为：
当边缘分布服从正态分布时：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当边缘分布服从Weibull分布时：
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若各性能参数之间相互独立，则产品的可靠度可以表示为：
R(t/S0)＝R1(t/S0)×R2(t/S0)×…×Rm(t/S0)
若各性能参数之间相关，则用Copula函数可以表示产品可靠度为：
R(t/S0)＝C(R1(t/S0),R2(t/S0),…,Rm(t/S0)；θ)
步骤五：预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；
根据可靠度计算公式，将参数估计值带入式(11)得到：
<mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>exp</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mover> <mi>m</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>exp</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>b</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>t</mi> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>t</mi> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> 4
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当性能退化量之间独立时：
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当性能退化量之间相关，用Frank Copula函数描述相关性时：
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当用二元正态联合分布函数求解可靠度：
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外推正常温度应力下T0＝25时的形状参数和位置参数值，可以计算正常温度应力下的可靠度，其中根据O型橡胶密封圈失效定义为当压缩永久变形率ε≥40％或压缩应力松弛率δ≤80％判定产品失效，则失效阈值可以选择为D1＝0.511，D2＝0.223；将数据分别带入各可靠度计算公式可以得到O型橡胶密封圈在单性能参数、独立、二维正态分布和Frank Copula相关时的可靠度寿命。
2.如权利要求1所述的一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，其特征在于，所示的步骤一中的退化数据里m＝2，表示O型橡胶密封圈的两个性能参数，分别为压缩永久变形率和压缩应力松弛率。
3.如权利要求1所述的一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，其特征在于，所述的步骤五中的正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命为中位寿命。
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Cited By (11)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108088786A (zh) * 2017-12-06 2018-05-29 中国航空综合技术研究所 一种橡胶制0型密封圈老化寿命试验方法
CN109299553A (zh) * 2018-09-30 2019-02-01 西安石油大学 一种水下连接器密封性能退化随机模型建模方法
CN109522519A (zh) * 2018-11-06 2019-03-26 中国兵器工业第五九研究所 一种弹药部组件多个性能参数间的相依性评价方法
CN109766582A (zh) * 2018-12-14 2019-05-17 中国兵器科学研究院宁波分院 一种金属材料抗拉强度的预测方法
CN109783970A (zh) * 2019-01-29 2019-05-21 北京航空航天大学 面向电子产品可靠性仿真分析的高效简易热分析方法
CN110287601A (zh) * 2019-06-27 2019-09-27 浙江农林大学 一种毛竹胸径年龄二元联合分布精确估算方法
CN110619179A (zh) * 2019-09-20 2019-12-27 北京航空航天大学 一种机械密封可靠性分析方法及系统
CN111079270A (zh) * 2019-12-02 2020-04-28 宁海县浙工大科学技术研究院 一种基于二元混合随机过程的轴承剩余寿命预测方法
CN112949068A (zh) * 2021-03-05 2021-06-11 北京航空航天大学 基于核密度估计的锂离子电池循环寿命预测方法
CN113673120A (zh) * 2018-02-05 2021-11-19 西北工业大学 一种包括退化模型的机构可靠性建模方法
JP7365879B2 (ja) 2019-12-09 2023-10-20 Ｔｏｙｏ Ｔｉｒｅ株式会社 架橋高分子モデルのワイブル係数を算出する方法、システム及びプログラム

Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US20130197875A1 (en) * 2012-01-27 2013-08-01 Carvin Glenn Shirley Copula-based system and method for management of manufacturing test and product specification throughout the product lifecycle for electronic systems or integrated circuits
CN103336901A (zh) * 2013-06-27 2013-10-02 中国人民解放军国防科学技术大学 一种竞争失效相关加速寿命试验统计分析方法
CN104615866A (zh) * 2015-01-21 2015-05-13 北京航空航天大学 一种基于物理统计模型的寿命预测方法
CN106202792A (zh) * 2016-07-21 2016-12-07 西安理工大学 一种融合电流和轴温的动量轮剩余寿命预测方法
CN106227906A (zh) * 2016-05-20 2016-12-14 广州韵脉质量技术服务有限公司 一种基于性能退化分析的智能制造装备可靠性的评估方法

Patent Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US20130197875A1 (en) * 2012-01-27 2013-08-01 Carvin Glenn Shirley Copula-based system and method for management of manufacturing test and product specification throughout the product lifecycle for electronic systems or integrated circuits
CN103336901A (zh) * 2013-06-27 2013-10-02 中国人民解放军国防科学技术大学 一种竞争失效相关加速寿命试验统计分析方法
CN104615866A (zh) * 2015-01-21 2015-05-13 北京航空航天大学 一种基于物理统计模型的寿命预测方法
CN106227906A (zh) * 2016-05-20 2016-12-14 广州韵脉质量技术服务有限公司 一种基于性能退化分析的智能制造装备可靠性的评估方法
CN106202792A (zh) * 2016-07-21 2016-12-07 西安理工大学 一种融合电流和轴温的动量轮剩余寿命预测方法

Non-Patent Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
XIANG PO ZHANG: ""Statistical Inference of Accelerated Life Testing With Dependent Competing Failures Based on Copula Theory"", 《IEEE TRANSACTIONS ON RELIABILITY》 *
ZHIMIN XI 等: ""A Copula based sampling method for residual life prediction of engineering systems under uncertainty"", 《2012 IEEE CONFERENCE ON PROGNOSTICS AND HEALTH MANAGEMENT》 *
张建勋 等: ""多退化变量下基于Copula函数的陀螺仪剩余寿命预测方法"", 《航空学报》 *
王孟: ""基于Copula函数的多元加速退化试验方法研究"", 《中国优秀硕士学位论文全文数据库-工程科技Ⅱ辑》 *

Cited By (19)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108088786A (zh) * 2017-12-06 2018-05-29 中国航空综合技术研究所 一种橡胶制0型密封圈老化寿命试验方法
CN113673120B (zh) * 2018-02-05 2024-01-30 西北工业大学 一种包括退化模型的机构可靠性建模方法
CN113673120A (zh) * 2018-02-05 2021-11-19 西北工业大学 一种包括退化模型的机构可靠性建模方法
CN109299553A (zh) * 2018-09-30 2019-02-01 西安石油大学 一种水下连接器密封性能退化随机模型建模方法
CN109299553B (zh) * 2018-09-30 2022-09-16 西安石油大学 一种水下连接器密封性能退化随机模型建模方法
CN109522519A (zh) * 2018-11-06 2019-03-26 中国兵器工业第五九研究所 一种弹药部组件多个性能参数间的相依性评价方法
CN109522519B (zh) * 2018-11-06 2023-02-03 中国兵器工业第五九研究所 一种弹药部组件多个性能参数间的相依性评价方法
CN109766582A (zh) * 2018-12-14 2019-05-17 中国兵器科学研究院宁波分院 一种金属材料抗拉强度的预测方法
CN109783970B (zh) * 2019-01-29 2021-01-15 北京航空航天大学 一种面向电子产品可靠性仿真分析的热分析方法
CN109783970A (zh) * 2019-01-29 2019-05-21 北京航空航天大学 面向电子产品可靠性仿真分析的高效简易热分析方法
CN110287601B (zh) * 2019-06-27 2022-11-15 浙江农林大学 一种毛竹胸径年龄二元联合分布精确估算方法
CN110287601A (zh) * 2019-06-27 2019-09-27 浙江农林大学 一种毛竹胸径年龄二元联合分布精确估算方法
CN110619179B (zh) * 2019-09-20 2022-02-11 北京航空航天大学 一种机械密封可靠性分析方法及系统
CN110619179A (zh) * 2019-09-20 2019-12-27 北京航空航天大学 一种机械密封可靠性分析方法及系统
CN111079270A (zh) * 2019-12-02 2020-04-28 宁海县浙工大科学技术研究院 一种基于二元混合随机过程的轴承剩余寿命预测方法
CN111079270B (zh) * 2019-12-02 2023-10-20 宁海县浙工大科学技术研究院 一种基于二元混合随机过程的轴承剩余寿命预测方法
JP7365879B2 (ja) 2019-12-09 2023-10-20 Ｔｏｙｏ Ｔｉｒｅ株式会社 架橋高分子モデルのワイブル係数を算出する方法、システム及びプログラム
CN112949068A (zh) * 2021-03-05 2021-06-11 北京航空航天大学 基于核密度估计的锂离子电池循环寿命预测方法
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