CN104516858A - 一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，属于数据识别技术领域。本发明提出了一种新的对非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，该方法可以从遍历性角度对非线性动力学行为进行分析，进而对系统的混沌状态进行辨识。该方法开创性的提出了遍历性参数，此参数可以定量描述混沌动力学行为的遍历性特性，且计算过程快速、简便，可大大提高混沌状态的辨别速度；本方法还提出了相图矩阵并可自行设置相图矩阵的大小，从不同尺度对系统相空间的遍历性进行考察。本方法在非线性系统动力学分析中，特别是混沌行为识别中有重要的应用价值。

Description

一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法

技术领域

本发明属于数据识别技术领域。

背景技术

非线性科学被誉为20世纪自然科学的“第三次大革命”，近年来关于非线性科学的研究发展很快。非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。

混沌是非线性科学中十分活跃、应用前景极为广阔的一个领域。20多年来，混沌以前所未有的速度迅猛发展成为有丰富非线性物理背景和深刻数学内涵的现代学科。

混沌是确定性系统中出现的类随机现象，具有如下的主要特征：(1)对初始条件的极端敏感性；(2)有界性；(3)遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态遍历的，即混沌轨迹将经过混沌吸引域内每一个状态点。

目前，对混沌行为的识别是一个难点。描述混沌动力学行为的特征参数有关联维、Kolmogorov熵、Lyapunov指数等。关联维对系统的复杂度进行估计；Kolmogorov熵描述了混沌轨道随时间演化信息的产生率。混沌运动最重要的一个特点就是对初值条件极为敏感，即两个很靠近的初值所产生的轨道随时间推移按指数方式分离。Lyapunov指数可以定量描述这一现象。到目前为止，混沌识别使用较多的方法就是基于Lyapunov指数的方法。

遍历性是混沌行为的另一个重要特征，目前尚没有对混沌系统遍历性进行定量度量的方法。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供了一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，该方法可克服非线性动力学行为的遍历性不能定量分析的缺点，可定量地度量非线性系统的遍历性特征，简化系统混沌辨别所需的大量计算，提高系统混沌状态的判别速度和准确度。

本发明的主要原理为：将从非线性系统采集的反映系统运动学特性的时间序列映射到一个二维相图矩阵中，再由此相图矩阵计算反映系统混沌状态的遍历性参数，通过遍历性参数来判断系统是否处于混沌状态。同时，相图矩阵的图形化显示也可以对系统混沌状态进行辅助性判断。

为解决上述技术问题本发明采用的技术方案为：一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，包括如下步骤：

第一步、从目标非线性系统中获取数据长度为d的描述系统相空间动力学行为的时间序列(x,y)，其中d>2048；

第二步、选取时间序列中x的最大值x_max和最小值x_min，y的最大值y_max和最小值y_min；

第三步、初始化一个n×n的零矩阵A，n的取值范围为：根据第一步中时间序列的数据对矩阵A_n×n的元素进行修改，得到与目标非线性系统相对应的相图矩阵，具体做法为：

对于时间序列的每一组数据(x,y)，执行以下操作：

$\mathrm{row}=\mathrm{int}\left(\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}\right)\×(n-1)+1$

$\mathrm{col}=\mathrm{int}\left(\frac{y-y_{\min }}{y_{\max }-y_{\min }}\right)\×(n-1)+1$

其中int()表示取整数部分，将矩阵中A(row，col)的值设置为1；

第四步、利用相图矩阵A计算可度量非线性系统在相空间内的遍历程度的遍历性参数s：

$s=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}}{n\×n};$

第五步、根据混沌识别中遍历性参数s的混沌判别阈值判断目标非线性系统是否处于混沌状态。

上述第一步中数据长度d>4096。

上述第五步中混沌判别阈值是需要依靠技术人员自行确定的数值。

采用上述技术方案取得的技术进步为：本发明提出了一种全新的对非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，该方法可以从遍历性角度对非线性动力学行为进行分析，进而对系统的混沌状态进行辨识。该方法开创性的提出了遍历性参数，此参数可以定量描述混沌动力学行为的遍历性特性，且计算过程快速、简便，可大大提高混沌状态的辨别速度；本方法还提出了相图矩阵并可以自行设置相图矩阵的大小，从不同尺度对系统相空间的遍历性进行考察。本方法在非线性系统动力学分析中，特别是混沌行为识别中有重要的应用价值。

附图说明

图1为γ＝0.66时Duffing系统的相空间；

图2为γ＝0.66，n＝50时Duffing系统的相图矩阵；

图3为γ＝0.98时Duffing系统的相空间；

图4为γ＝0.98，n＝50时Duffing系统的相图矩阵；

图5为γ＝0.66，n＝100时Duffing系统的相图矩阵；

图6为γ＝0.98，n＝100时Duffing系统的相图矩阵；

图7为Dufing系统遍历性参数s与内置周期驱动力振幅γ的关系图；

图8为r＝23，n＝50时Lorenz系统的相图矩阵；

图9为r＝28，n＝50时Lorenz系统的相图矩阵。

具体实施方式

一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，包括如下步骤：

第一步、从目标非线性系统中获取数据长度为d的描述系统相空间动力学行为的时间序列(x,y)，其中d>2048，当然，当d>4096时效果更好，数据长度越长，得到的结果更加准确。

对于某些系统，能够直接获取到的时间序列可能是一维的或者是三维的甚至更高维的，本领域技术人员完全可以利用相空间重构等技术，将这些非二维的时间序列转化成二维时间序列，再利用本方法进行处理。

第二步、选取时间序列中x的最大值x_max和最小值x_min，y的最大值y_max和最小值y_min。

第三步、初始化一个n×n的零矩阵A，n的取值范围为：此处的d为第一步中二维时间序列的长度；根据第一步中时间序列的数据(x，y)对矩阵A_n×n的元素进行修改，具体做法为：

对于时间序列的每一组数据(x，y)，执行以下操作：

$\mathrm{row}=\mathrm{int}\left(\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}\right)\×(n-1)+1$

$\mathrm{col}=\mathrm{int}\left(\frac{y-y_{\min }}{y_{\max }-y_{\min }}\right)\×(n-1)+1$

其中int()表示取整数部分，将矩阵中A(row，col)的值设置为1，其余位置的元素仍保持为0；修改后的矩阵为第一步中二维时间序列的一个映射，将此矩阵称为目标非线性系统的相图矩阵。

第四步、利用第三步得到的相图矩阵A计算遍历性参数s：

$s=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}}{n\×n};$

根据上面的计算公式可知s的取值范围为0≤s≤1，此参数的大小可以度量目标非线性系统在相空间内的遍历程度，因此将其称为遍历性参数。

第五步、根据混沌识别中遍历性参数s的混沌判别阈值判断目标非线性系统是否处于混沌状态。遍历性是混沌行为的另一个重要特征，我们可以利用此遍历性参数来对混沌行为进行识别。本发明开创性的提出了遍历性参数，利用该参数即可方便快捷的对混沌状态进行辨识。

下面利用几个典型的混沌状态的例子来验证相图矩阵和遍历性参数s的有效性、正确性以及本方法的具体实现。

实施例1

Duffing系统的方程为：

$\stackrel{\·\·}{x}+\mathrm{\δ}\stackrel{\·}{x}-x+x^3=\mathrm{\γ}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)$

其中δ≥0为阻尼系数，γ为内置周期驱动力振幅。该方程在某些参数取值下表现为混沌状态。现有的利用相轨迹变化判断系统状态的方法主要是通过观察该系统的相轨迹来确定其所处的状态。此方法对人的主观认识依赖性很大，没有量化标准，通用性不好，可操作性也不高。

利用本方法来判断系统状态的具体操作步骤如下：

第一步、在将系统中的参数设置为ω＝1，δ＝0.5，γ＝0.66，系统计算步长h＝0.01秒后，将系统位移时间序列看做x，速度时间序列看做y，Duffing系统在某一时刻的状态为(x，y)，取时长为400秒的时间序列，此时时间序列的长度d为40000；

第二步、找出时间序列中x的最大值x_max和最小值x_min，找出y的最大值y_max和最小值y_min。

第三步、初始化一个50×50的零矩阵A，矩阵大小n的范围属于(30，400)；根据第一步中时间序列的数据(x，y)对矩阵A_50×50的元素进行修改，具体做法为：

对于时间序列的每一组数据(x，y)，执行以下操作：

$\mathrm{row}=\mathrm{inw}\left(\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}\right)\×0(50-1)+1$

$\mathrm{col}=\mathrm{int}\left(\frac{y-y_{\min }}{y_{\max }-y_{\min }}\right)\×(50-1)+1$

其中，int()表示取整数部分，将矩阵中A(row，col)的值设置为1，其余位置的元素仍保持为0；修改后的矩阵为时间序列的一个映射，将此矩阵称为目标非线性系统的相图矩阵。

原系统的相图轨迹如图1所示，相图矩阵的图形化显示如图2所示。

与图1比较，图2的相图矩阵与相图1保持了相同的结构特性。这就说明我们的相图矩阵是有效且正确的，通过相图矩阵同样可以方便地考察Duffing系统的遍历性特征。

第四步、利用第三步得到的相图矩阵按照下面进行计算：

$s=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}}{n\×n};$

由上面的计算公式可知s的取值范围为0≤s≤1，且此参数的大小可以度量目标非线性系统在相空间内的遍历程度，因此将其称为遍历性参数。通过计算得到该实施例的遍历性参数s＝0.6920。

第五步、根据Duffing系统混沌识别中遍历性参数s的混沌判别阈值thresh＝0.35进行判断，在该参数状态下，系统的遍历性参数s>0.35，由此可知系统处于混沌状态。相图矩阵的图形化显示同时印证了此结论。

上述结果与本领域技术人员已知的实际结果是完全相符的，说明本方法是有效且正确的。

实施例2

与实施例1不同的是，将Duffing方程式中γ设为0.98，系统相空间如图3所示。利用本方法得到的相图矩阵的图形化显示如图4所示，经过计算得到系统在该状态下的遍历性参数s＝0.0824，与混沌判别阈值thresh＝0.35相比较可知，该系统并非处于混沌状态，事实的结果是此时系统处于大尺度状态，相图矩阵的图形化显示同时印证了此结论，这也说明了本方法的有效性和正确性。

实施例3

与实施例1不同的是，将相图矩阵的大小设为100×100。利用本方法得到的相图矩阵的图形化显示如图5所示，经过计算得到系统在该状态下的遍历性参数s＝0.5462，与混沌判别阈值thresh＝0.35相比较可知，该系统处于混沌状态，事实的结果是此时系统正是处于混沌状态，相图矩阵的图形化显示同时印证了此结论，这也说明了本方法的有效性和正确性。

实施例4

与实施例2不同的是，将相图矩阵的大小设为100×100。利用本方法得到的相图矩阵的图形化显示如图6所示，经过计算得到系统在该状态下的遍历性参数s＝0.0422，与混沌判别阈值thresh＝0.35相比较可知，该系统并非处于混沌状态，事实的结果是此时系统正是处于大尺度状态，相图矩阵的图形化显示同时印证了此结论，这也说明了本方法的有效性和正确性。

还有一个结论也能从另一个方面支持遍历性系数的有效性和正确性。将Duffing系统方程中的参数设置为ω＝1，δ＝0.5，将相图矩阵设置为50×50，时间序列的长度仍为40000。令内置周期驱动力振幅γ由小到大变化，观察此时遍历性参数s变化情况，可以得到图7。

由图7可以很清楚的看到，当γ在系统处于混沌状态的范围内由小变大时，遍历性参数s始终保持在一个较为稳定的高数值状态，即此时系统的遍历性较强，符合混沌状态的特性。当γ一旦增大到系统由混沌状态转为大尺度状态时，遍历性参数s的数值马上降低到一个低水平状态，即系统此时的遍历性变弱，不再具有混沌状态的特性。由此可知，遍历性参数的变化与系统是否处于混沌状态的变化具有同样的特性，因此该参数完全可以用来判定系统的混沌状态。该参数的判别阈值就是上述提到的较为稳定的高数值。本领域技术人员可以根据这一结论找出系统的判别阈值，然后将此阈值应用到未知参数的系统进行判定，既快速又准确。

通过上述实施例可知，相图矩阵可以正确反映Duffing系统的动力学行为在相空间的特征，利用相图矩阵可以计算Duffing系统在混沌状态与大尺度周期状态下的遍历性参数。通过与遍历性参数的判别阈值thresh进行比较，判断Duffing系统是否处于混沌状态。

下面的几个实施例是以另一个典型的非线性系统为例来说明本方法的有效性和正确性的。

Lorenz系统方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\mathrm{\σ}(y-x)\\ \stackrel{\·}{y}=\mathrm{rx}-y-\mathrm{xz}\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}\end{array}\right.$

其中，σ＝10，b＝8/3，当参数r变化时，系统的状态发生改变。

实施例5

第一步、将Lorenz方程中的参数r设置为23，计算步长h设置为0.01秒后，采集仿真时长为500秒的时间序列(x，y)，此时时间序列长度d为50000。

第二步、找出时间序列中x的最大值x_max和最小值x_min，找出y的最大值y_max和最小值y_min。

第三步、初始化一个50×50的零矩阵A，相图矩阵的大小n的范围属于(30，500)。根据第一步中时间序列的数据(x，y)对矩阵A_{50 ×50}的元素进行修改，得到相图矩阵如图8所示。

第四步、由上一步得到的相图矩阵计算得到系统此时的遍历性参数s为0.0572。

第五步、将上一步的遍历性参数与该系统的判别阈值thresh＝0.1相比较，可知系统此时并非出于混沌状态。事实上，此时的系统是处于定点状态的，因此遍历性参数的值很小，并不符合混沌状态的特性。此时的相图矩阵的图形化显示也印证了这一结论。

实施例6

与实施例5不同的是，将参数r设置为28。计算此时系统的遍历性参数s为0.3656，与该系统的判别阈值thresh＝0.1相比较，可知系统此时应处于混沌状态。本领域技术人员知道，此时的系统确实处于混沌状态，此时的相图矩阵图9也印证了这一结论。

通过上述几个例子可知，本发明的主要原理为：将从非线性系统采集反映系统动力学特性的时间序列，将此时间序列映射到一个二维相图矩阵中，再由此相图矩阵计算出反映系统混沌状态的遍历性参数s，通过遍历性参数的大小来判断系统是否处于混沌状态。同时，相图矩阵的结构特性与时间序列的二维相空间图形的结构特性基本相同，因此，相图矩阵的图形化显示也可以对系统混沌状态进行辅助性判断。

本发明提出了一种全新的对非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，该方法可以从遍历性角度对非线性动力学行为进行分析，进而对系统的混沌状态进行辨识。该方法开创性的提出了相图矩阵和遍历性参数s，本文利用多个例子对相图矩阵和遍历性参数的有效性和准确性进行了论证，最终得出相图矩阵和遍历性参数可以定量描述非线性系统动力学行为的遍历性特性的结论。本方法可以利用遍历性参数s对系统是否处于混沌状态进行判定，计算过程快速、简便，可大大提高混沌状态的辨别速度。本方法还可以自行设置相图矩阵的大小，从不同尺度对系统相空间的遍历性进行考察。本方法在非线性系统动力学分析中，特别是混沌行为识别中有重要的应用价值。

在本文中并未具体提到遍历性参数的混沌判别阈值的确定方法，该判别阈值的确定还未具有一个完全成熟的方法，还需要本领域技术人员利用实际经验并配合相图矩阵或其他图形来进行确定。本发明注重的是遍历性参数和相图矩阵的开创性利用，有了遍历性参数，系统的混沌判别阈值可以很容易的就确定，这样就可以继续利用遍历性参数对该类系统中其他参数的状态进行快速判定，与现有的判定方法相比，具有比较明显的优势。这一点，本领域技术人员在对相图矩阵和遍历性参数进行利用后即可体会。

Claims (3)

1.一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，其特征在于包括如下步骤：

第一步、从目标非线性系统中获取数据长度为d的描述系统相空间动力学行为的时间序列(x,y)，其中d>2048；

第二步、选取时间序列中x的最大值x_max和最小值x_min，y的最大值y_max和最小值y_min；

第三步、初始化一个n×n的零矩阵A，n的取值范围为：根据第一步中时间序列的数据对矩阵A_n×n的元素进行修改，得到与目标非线性系统相对应的相图矩阵，具体做法为：

对于时间序列的每一组数据(x,y)，执行以下操作：

$\mathrm{row}=\mathrm{int}\left(\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}\right)\×(n-1)+1$

$\mathrm{col}=\mathrm{int}\left(\frac{y-y_{\min }}{y_{\max }-y_{\min }}\right)\×(n-1)+1$

其中int()表示取整数部分，将矩阵中A(row，col)的值设置为1；第四步、利用相图矩阵A计算可度量非线性系统在相空间内的遍历程度的遍历性参数s：

$s=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}}{n\×n};$

第五步、根据混沌识别中遍历性参数s的混沌判别阈值判断目标非线性系统是否处于混沌状态。

2.根据权利要求1所述的一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，其特征在于上述第一步中数据长度d>4096。

3.根据权利要求1所述的一种非线性动力学行为分析的相图矩阵方法，其特征在于上述第五步中混沌判别阈值是需要依靠技术人员自行确定的数值。