CN103324821A - 一种基于组合插值的gm（1,1）模型预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，从理论上分析了GM(1,1)模型中的背景值，首先提出组合插值的思想，其次利用分段线性插值函数与Newton插值公式结合的方法构造一类新的灰色预测模型CIGM(1,1)，改进背景值的构造过程，克服现有的灰色改进模型的不足，为提高预测精度提供了新的途径。最后，利用这种模型进行预测。本发明构思科学，计算简单，工作量小，预测精度高。它在预测技术领域里具有较好的使用价值和广阔的应用前景。

Description

一种基于组合插值的GM(1,1)模型预测方法

技术领域

本发明涉及数据预测方法领域，具体为一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法。

背景技术

灰色理论是一种用来解决信息不完备系统的数学方法。这种方法把每一个随机变量看成是一个在给定范围内变化的灰色变量。且不用统计的方法来处理灰色变量，直接处理原始数据，来寻找内在的变化规律。由于在经济、社会科学和工程等诸多领域大量存在着灰色系统，因此这种预测方法得到了广泛的应用。灰色预测算法的基本思想是：首先，对原始时间序列进行一次累加操作，生成新的时间序列；然后，根据灰色理论，假设新的时间序列具有指数变化规律，建立相应的微分方程进行拟合，进而利用差分对方程进行离散化得到一个线性方程组；最后，利用最小二乘法对未知参数进行估计，从而最终得到预测模型。

GM（1,1）灰色预测模型是具有偏差的指数模型。自灰色预测理论建立以来，为了适应各应用领域的特点，GM(1,1)灰色预测模型在初始条件选取、背景值重构、参数估计方法改进等多个方面都得到了很大改进。

利用灰色GM（1,1）模型进行预测虽然有许多成功的案例，但是，和其他预测方法一样，它也存在一定的局限性。因此，近年来，GM（1,1）模型的改进与优化研究受到了许多学者的关注。下面简要说明现有的一些有代表性的研究方法：

文章《GM（1,1）模型的背景值构造方法和应用》（系统工程理论与实践,2000）指出了导致GM（1,1）模型误差偏大的原因是传统模型中背景值构造方法不当所致，并给出了一种新的构造方法，提高了模型预测的精度和适应性。

文章《GM（1,1）模型的适用范围》（系统工程理论与实践,2000）以模拟、实验为基础，对GM（1,1）模型的适用范围进行了研究，并对发展系数与预测精度的关系进行了量化。

文章《灰色模型GM（1,1）优化》（中国工程科学,2003）利用一阶线性常微分方程的指数形式解来构造背景值，替代传统模型中以紧邻均值为背景值的方法，具有一定的优越性，在一定程度上降低了模型误差。

文章《基于插值和Newton-Cores公式的GM（1,1）模型的背景值构造新方法》（系统工程理论与实践,2004）利用Newton-Cores公式对背景值进行重构，构造x⁽¹⁾(t)的n-1次Newton插值多项式N(t)，利用Cores公式计算出区间[k,k+1]上的N(t)值，并以此值作为改进的背景值。

因为利用梯形公式求出定积分的近似值作为背景值时误差通常较大，从而导致模型预测的偏差也较大，预测精度自然达不到要求。但通过本发明研究发现，即使采用更为先进的插值算法重构背景值，也存在一定的局限性，因为既往的研究均是采用某一种单项插值方法，虽然在一定程度上提高了模型的预测精度，但也存在着缺陷，即为片面追求高精度而增加结点数导致振荡现象出现，预测出现失真，导致预测模型的适用性降低甚至不可用。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，以解决现有技术单项插值方法存在的易失真、精度低、误差大的问题。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：

一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，其特征在于：包括以下步骤：

（1）原始数据序列选取：根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，所述原始数据序列必须为一组非负数据序列，设为X⁽⁰⁾；

（2）1-AGO序列建立：以选取的原始数据序列X⁽⁰⁾作为GM（1,1）预测模型的基础数据，并对原始数据序列X⁽⁰⁾作1-AGO处理，得到处理结果1-AGO序列X⁽¹⁾,然后分别对原始数据序列X⁽⁰⁾和1-AGO序列X⁽¹⁾作准光滑性检验和准指数规律判断，判断原始数据序列X⁽⁰⁾和1-AGO序列X⁽¹⁾是否满足GM（1,1）预测模型的适用要求；

（3）背景值生成：对1-AGO序列X⁽¹⁾作背景值Z⁽¹⁾生成，则可计算出B和Y。其中， $B=\left[\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$ ，Y_n=[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(n)]^T，z⁽¹⁾(k)为背景值序列，x⁽⁰⁾(i)为原始数据序列，由于最小二乘估计可以使得无差平方和达到最小，故利用最小二乘估计可得到参数列

，

为a的估计值；

（4）模型确定与求解：将步骤（3）中的a和b分别使用估计值

和

来代替，并建立GM（1,1）模型及时间响应序列

，然后求解出第一个点的预测值

的模拟值，最后还原求解出初始点的预测值

的模拟值即

，

的值即为原始数据序列的预测值序列；

（5）误差检验：根据步骤（4）求解出原始数据序列的预测值后，再利用残差检验方法、或者是关联度检验方法、或者是后验差检验方法来判断GM（1,1）预测模型的精度；GM（1,1）预测模型的精度可以通过不同的背景值生成方式，原始数据的取舍，数据序列的变换、修正以及不同级别的残差GM（1,1）模型来得以提高。

所述的一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，其特征在于：步骤（3）中，背景值生成的具体过程如下：

（1）针对GM（1,1）模型进行数据预测的目标，以分段线性插值与Newton插值及演算过程为理论基础，实现对区间[k,k+1]的分段，包括以下步骤：

在区间[a,b]上，给定n+1个插值结点a=x₀＜x₁…＜x_n=b和相应的函数值y₀,y₁,…,y_n，作一个插值函数P(x)，使其具有下面性质：

（i）P(x_i)=y_j,(j=0,1,…,n)，

（ii）P(x)在每个子区间[x_j,x_j+1]上是线性函数；

插值函数P(x)称为区间[a,b]上对数据(x_i,y_i)(i=0,1,…,n)上的分段线性插值函数；

对区间[k,k+1]五等分，得结点

、

、、

、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))；

（2）在步骤（1）对区间[k,k+1]五等分的基础上，求区间每个结点的因变量函数值

；

利用(k,x⁽¹⁾(k))、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))、(k+2,x⁽¹⁾(k+2))构造二次Newton插值多项式N₂(t)，使得：

$N_2\left(t\right)\≈x^{\left(1\right)}\left(t\right),(t\∈[k,k+1\left]\right)$

则此时

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{i}{5})\≈N_2(k+\frac{i}{5}),(i=\mathrm{1,2,3,4})$

其中：

$N_2\left(t\right)=x^{\left(1\right)}\left[k\right]+x^{\left(1\right)}[k,k+1](t-k)+x^{\left(1\right)}[k,k+1,k+2](t-k)(t-k-1)$

求得各阶的均差代入上式得：

$N_2\left(t\right)=x^{\left(1\right)}\left(k\right)+(x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}\left(k\right))(t-k)+(\frac{1}{2}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)-x^{\left(1\right)}(k+1)+\frac{1}{2}{x}^{\left(1\right)}(k+2))\·(t-k)(t-k-1)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})\≈N_2(k+\frac{1}{5})=\frac{18}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{9}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})\≈N_2(k+\frac{2}{5})=\frac{12}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{16}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})\≈N_2(k+\frac{3}{5})=\frac{7}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{21}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})\≈N_2(k+\frac{4}{5})=\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{24}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

（3）得到结点的数值后，利用Newton插值方法求区间[k,k+1]上的分段插值函数S_k(t)，分段插值函数的表达式如下；

$S_k\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-x^{\left(1\right)}\left(k\right)-5k[x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-x^{\left(1\right)}\left(k\right)],& k\≤t\≤k+\frac{1}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-5(k+\frac{1}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})],& k+\frac{1}{5}\≤t\≤k+\frac{2}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-x^1(k+\frac{2}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-5(k+\frac{2}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})],& k+\frac{2}{5}\≤t\≤k+\frac{3}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-5(k+\frac{3}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})],& k+\frac{3}{5}\≤t\≤k+\frac{4}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-5(k+\frac{4}{5})[x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})],& k+\frac{4}{5}\≤t\≤k+1\end{array}\right.$

（4）利用分段插值后的各个阶段的函数表达式，综合计算背景值z⁽¹⁾(k+1)的数值积分，计算过程如下所示；

$\begin{array}{c}{\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_k^{k+\frac{1}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{1}{5}}^{k+\frac{2}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{3}{5}}^{k+\frac{4}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{4}{5}}^{k+}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{10}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})+\frac{1}{10}{x}^{\left(1\right)}(k+1)\end{array}$

上式中[k,k+1]为对[k,k+1]五等分形成的第一个点；

将步骤（2）的结论代入上式得到优化的背景值：

$z^{\left(1\right)}(k+1)={\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{21}{50}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{23}{50}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ 即背景值z⁽¹⁾(k+1)的生成与原始序列中的x⁽¹⁾(k)点、x⁽¹⁾(k+1)点与x⁽¹⁾(k+2)点线性表出，这三个点分别为背景值的前一个点，本位点和滞后一个点；

z^（1）（k+1）即为组合插值方法改进得到的GM（1,1）模型的新背景值。

所述的一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，其特征在于：步骤（1）中，常用的原始数据序列有科学实验数据、经验数据、生产数据和决策数据。

本发明在分析现有基于灰色GM（1,1）模型的数据信息预测的基础上，考虑了其预测过程中存在的主要问题以及局限性，提出了通过Newton插值对主要影响预测精度的背景值进行重构及分段线性插值的组合规则，并在此基础上给出了一种基于Newton分段线性插值的数据信息预测挖掘方法。本发明的实现逻辑是采用分段线性插值与Newton插值结合的方法，在满足其收敛性的条件下，构造插值函数，使所构造的插值函数逼近于背景值，并将其作为新状态下的背景值。在新状态下背景值的基础上构建GM（1,1）模型，通过构建模型最终实现对数据信息的精准预测。

本发明采用分段线性插值与Newton插值结合的方法，在满足收敛性的条件下，构造插值函数N(t)，使其在区间[k,k+1]上逼近于背景值z⁽¹⁾(k+1)，并作为新状态下的背景值。本发明较之以往的单项插值方法，明确解决了结点振荡等不可靠性问题，避免了失真，提高了模型构建的理论深度，增加了模型使用的稳定性同时也具备代数精度高，相对误差小的特点，并由此建立GM（1,1）预测模型实现对数据信息的精度预测。

附图说明

图1为本发明方法流程图。

图2为预测误差比较图。

具体实施方式

如图1、图2所示。本发明具体实施过程如下：

（1）根据利用GM（1,1）模型进行数据预测的目标，以分段线性插值与Newton插值及演算过程为理论基础，实现对区间[k,k+1]的分段，包括以下步骤：

在区间[a,b]上，给定n+1个插值结点a=x₀＜x₁…＜x_n=b和相应的函数值y₀,y₁,…,y_n，作一个插值函数P(x)具有下面性质：

（i）P(x_i)=y_j,(j=0,1,…,n)，

（ii）P(x)在每个子区间[x_j,x_j+1]上是线性函数。

插值函数P(x)称为区间[a,b]上对数据(x_i,y_i)(i=0,1,…,n)上的分段线性插值函数。

对区间[k,k+1]五等分，得结点、、

、

、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))；

（2）在通过上一步骤对区间数据分段线性五等分的基础上，求区间每个结点的因变量函数值

；

利用(k,x⁽¹⁾(k))、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))、(k+2,x⁽¹⁾(k+2))构造二次Newton插值多项式N₂(t)，使得：

$N_2\left(t\right)\≈x^{\left(1\right)}\left(t\right),(t\∈[k,k+1\left]\right)$ ，

则此时 $x^{\left(1\right)}(k+\frac{i}{5})\≈N_2(k+\frac{i}{5}),(i=\mathrm{1,2,3,4})$ 。

其中 $N_2\left(t\right)=x^{\left(1\right)}\left[k\right]+x^{\left(1\right)}[k,k+1](t-k)+x^{\left(1\right)}[k,k+1,k+2](t-k)(t-k-1)$ ，

求得各阶的均差代入上式得：

$N_2\left(t\right)=x^{\left(1\right)}\left(k\right)+(x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}\left(k\right))(t-k)+(\frac{1}{2}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)-x^{\left(1\right)}(k+1)+\frac{1}{2}{x}^{\left(1\right)}(k+2))\·(t-k)(t-k-1)$ ，

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})\≈N_2(k+\frac{1}{5})=\frac{18}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{9}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ ，

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})\≈N_2(k+\frac{2}{5})=\frac{12}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{16}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ ，

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})\≈N_2(k+\frac{3}{5})=\frac{7}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{21}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ ，

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})\≈N_2(k+\frac{4}{5})=\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{24}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ 。

（3）得到结点的数值后，利用Newton插值方法求区间[k,k+1]上的分段插值函数S_k(t)，分段插值函数的表达式表达如下；

$S_k\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-x^{\left(1\right)}\left(k\right)-5k[x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-x^{\left(1\right)}\left(k\right)],& k\≤t\≤k+\frac{1}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-5(k+\frac{1}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})],& k+\frac{1}{5}\≤t\≤k+\frac{2}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-x^1(k+\frac{2}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-5(k+\frac{2}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})],& k+\frac{2}{5}\≤t\≤k+\frac{3}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-5(k+\frac{3}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})],& k+\frac{3}{5}\≤t\≤k+\frac{4}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-5(k+\frac{4}{5})[x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})],& k+\frac{4}{5}\≤t\≤k+1\end{array}\right.$

（4）利用分段插值后的各个阶段的函数表达式，综合计算背景值

的数值积分，计算过程如下所示；

$\begin{array}{c}{\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_k^{k+\frac{1}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{1}{5}}^{k+\frac{2}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{3}{5}}^{k+\frac{4}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{4}{5}}^{k+}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{10}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})+\frac{1}{10}{x}^{\left(1\right)}(k+1)\end{array}$ ，

[0026]  将步骤（2）的结论代入上式得到优化的背景值：

$z^{\left(1\right)}(k+1)={\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{21}{50}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{23}{50}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ ，

这就是本发明采用组合插值优化法改进得到的GM（1,1）模型的新背景值。

（5）在得到新背景值的基础上进行GM（1,1）预测模型的建立，其中包括如下步骤；

设有原始数据序列：x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3)…,x⁽⁰⁾(n)，它们满足x⁽⁰⁾≥0,k=1,2,…,n利用该数据序列建立GM（1,1）模型的步骤如下：

（6） 设X⁽⁰⁾={ x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3)…,x⁽⁰⁾(n)}为原始序列,对其进行一次累加得到:

X⁽¹⁾={x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(n)}，

其中 (k=1,2,…,n), 称X⁽¹⁾(k)为X⁽⁰⁾(k)的一次累加序列,记为1-AGO；

（7）建立GM(1,1)模型的白化微分方程

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}^{\left(1\right)}=u$ ，

其差分形式为x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)=u，

其中a,u为待辨识参数，且称a为发展系数，u为灰色作用量；

（8） 由最小二乘法求解,计算模型发展系数和待辨识参数u。[a,u]^T=(B^TB)^-1B^TY_n ，

 这里  $B=\left[\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$ ，Y_n=[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(n)]^T，

且z⁽¹⁾(k+1)为GM(1,1) 预测模型的背景值；

（9） 将上文步骤（1）-（4）求得背景值z⁽¹⁾(k+1)运用在矩阵B中

$z^{\left(1\right)}(k+1)={\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{21}{50}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{23}{50}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ 。

（10）建立时间响应模型

：

。

（11）将时间响应离散化：

。

（12） 将k值代入离散模型式计算预测累加值

。

（13）将预测累加值还原为预测值：

。

本发明提出了组合插值的思想优化背景值。该思想的目的是实现分段低次插值。首先，受到微元法思想和极限理论的启发将背景值区间等距分段，此时结点数的选取已不受Runge现象影响，因此在计算复杂度可以承受的前提下，结点数越多越好，突破了单项插值方法在结点数选取上的瓶颈；其次，在每个小的区间段内均采用低次插值，使得背景值重构误差较小且计算简单，从而实现逼近的最佳。通过应用实例仿真验证了文中组合插值模型的合理性及算法的有效性。采用组合插值法优化背景值的CIGM（1,1）模型在指数序列变化（低\高指数级）过程中的适用性更强，且改进后的CIGM（1,1）模型更合理，预测精度更高，在实际应用中能够发挥更大的效用。

表1是1月-8月工业用电量原始数据表

表2是 9月、10月工业用电量数据预测结果

Claims (3)

1.一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，其特征在于：包括以下步骤：

（1）原始数据序列选取：根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，所述原始数据序列必须为一组非负数据序列，设为X⁽⁰⁾；

（2）1-AGO序列建立：以选取的原始数据序列X⁽⁰⁾作为GM（1,1）预测模型的基础数据，并对原始数据序列X⁽⁰⁾作1-AGO处理，得到处理结果1-AGO序列X⁽¹⁾,然后分别对原始数据序列X⁽⁰⁾和1-AGO序列X⁽¹⁾作准光滑性检验和准指数规律判断，判断原始数据序列X⁽⁰⁾和1-AGO序列X⁽¹⁾是否满足GM（1,1）预测模型的适用要求；

（3）背景值生成：对1-AGO序列X⁽¹⁾作背景值Z⁽¹⁾生成，则可计算出B和Y。其中， $B=\left[\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$ ，Y_n=[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(n)]^T，z⁽¹⁾(k)为背景值序列，x⁽⁰⁾(i)为原始数据序列，由于最小二乘估计可以使得无差平方和达到最小，故利用最小二乘估计可得到参数列

，

为a的估计值；

（4）模型确定与求解：将步骤（3）中的a和b分别使用估计值

和

来代替，并建立GM（1,1）模型及时间响应序列，然后求解出第一个点的预测值

的模拟值，最后还原求解出初始点的预测值的模拟值即

，

的值即为原始数据序列的预测值序列；

（5）误差检验：根据步骤（4）求解出原始数据序列的预测值后，再利用残差检验方法、或者是关联度检验方法、或者是后验差检验方法来判断GM（1,1）预测模型的精度；GM（1,1）预测模型的精度可以通过不同的背景值生成方式，原始数据的取舍，数据序列的变换、修正以及不同级别的残差GM（1,1）模型来得以提高。

2.根据权利要求1所述的一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，其特征在于：步骤（3）中，背景值生成的具体过程如下：

（1）针对GM（1,1）模型进行数据预测的目标，以分段线性插值与Newton插值及演算过程为理论基础，实现对区间[k,k+1]的分段，包括以下步骤：

在区间[a,b]上，给定n+1个插值结点a=x₀＜x₁…＜x_n=b和相应的函数值y₀,y₁,…,y_n，作一个插值函数P(x)，使其具有下面性质：

（i）P(x_i)=y_j,(j=0,1,…,n)，

（ii）P(x)在每个子区间[x_j,x_j+1]上是线性函数；

插值函数P(x)称为区间[a,b]上对数据(x_i,y_i)(i=0,1,…,n)上的分段线性插值函数；

对区间[k,k+1]五等分，得结点

、

、

、

、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))；

（2）在步骤（1）对区间[k,k+1]五等分的基础上，求区间每个结点的因变量函数值

；

利用(k,x⁽¹⁾(k))、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))、(k+2,x⁽¹⁾(k+2))构造二次Newton插值多项式N₂(t)，使得：

$N_2\left(t\right)\≈x^{\left(1\right)}\left(t\right),(t\∈[k,k+1\left]\right)$

则此时

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{i}{5})\≈N_2(k+\frac{i}{5}),(i=\mathrm{1,2,3,4})$

其中：

求得各阶的均差代入上式得：

$N_2\left(t\right)=x^{\left(1\right)}\left[k\right]+x^{\left(1\right)}[k,k+1](t-k)+x^{\left(1\right)}[k,k+1,k+2](t-k)(t-k-1)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})\≈N_2(k+\frac{1}{5})=\frac{18}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{9}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})\≈N_2(k+\frac{2}{5})=\frac{12}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{16}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})\≈N_2(k+\frac{3}{5})=\frac{7}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{21}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

$x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})\≈N_2(k+\frac{4}{5})=\frac{3}{25}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{24}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$

（3）得到结点的数值后，利用Newton插值方法求区间[k,k+1]上的分段插值函数S_k(t)，分段插值函数的表达式如下；

$S_k\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-x^{\left(1\right)}\left(k\right)-5k[x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-x^{\left(1\right)}\left(k\right)],& k\≤t\≤k+\frac{1}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})-5(k+\frac{1}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})],& k+\frac{1}{5}\≤t\≤k+\frac{2}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-x^1(k+\frac{2}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})-5(k+\frac{2}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})],& k+\frac{2}{5}\≤t\≤k+\frac{3}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})-5(k+\frac{3}{5})[x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-x^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})],& k+\frac{3}{5}\≤t\≤k+\frac{4}{5}\\ 5[x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})]t+x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})-5(k+\frac{4}{5})[x^{\left(1\right)}(k+1)-x^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})],& k+\frac{4}{5}\≤t\≤k+1\end{array}\right.$

（4）利用分段插值后的各个阶段的函数表达式，综合计算背景值z⁽¹⁾(k+1)的数值积分

，计算过程如下所示；

$\begin{array}{c}{\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_k^{k+\frac{1}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{1}{5}}^{k+\frac{2}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{3}{5}}^{k+\frac{4}{5}}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{k+\frac{4}{5}}^{k+}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{10}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{1}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{2}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{3}{5})+\frac{1}{5}{x}^{\left(1\right)}(k+\frac{4}{5})+\frac{1}{10}{x}^{\left(1\right)}(k+1)\end{array}$

上式中[k,k+1]为对[k,k+1]五等分形成的第一个点；

将步骤（2）的结论代入上式得到优化的背景值：

$z^{\left(1\right)}(k+1)={\∫}_k^{k+1}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)\mathrm{dt}\≈{\∫}_k^{k+1}{S}_k\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{21}{50}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{23}{50}{x}^{\left(1\right)}(k+1)-\frac{2}{25}{x}^{\left(1\right)}(k+2)$ 即背景值z⁽¹⁾(k+1)的生成与原始序列中的x⁽¹⁾(k)点、x⁽¹⁾(k+1)点与x⁽¹⁾(k+2)点线性表出，这三个点分别为背景值的前一个点，本位点和滞后一个点；

z^（1）（k+1）即为组合插值方法改进得到的GM（1,1）模型的新背景值。

3.根据权利要求1所述的一种基于组合插值的GM（1,1）模型预测方法，其特征在于：步骤（1）中，常用的原始数据序列有科学实验数据、经验数据、生产数据和决策数据。

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