CN108090604A

CN108090604A - 基于梯形公式改进的gm（1，1）模型预测方法

Info

Publication number: CN108090604A
Application number: CN201710977629.5A
Authority: CN
Inventors: 包旭; 张山华; 周君; 李耘; 常绿; 夏晶晶; 朱胜雪
Original assignee: Huaiyin Institute of Technology
Current assignee: Huaiyin Institute of Technology
Priority date: 2017-10-17
Filing date: 2017-10-17
Publication date: 2018-05-29

Abstract

本发明公开了基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，包括以下步骤：1，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负数数据序列；2，对原始数据序列做一次累加处理，生成一次累加序列；3，构造二次插值多项式，基于此二次插值建立梯形公式构造背景值，并利用最小二乘法求出参数a、u；4，基于求解出参数a、u，建立时间响应序列还原求解出初始点的预测值

Description

基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法

技术领域

本发明涉及预测技术领域，具体涉及一种基于梯形公式改进的GM(1，1) 模型预测方法。

背景技术

水路运输作为一种清洁的运输方式已经越来越受到重视，准确的对水路运输量进行预测对于港口与航道的建设具有重要意义，传统的预测方法有：BP神经网络、回归预测、层次分析法等，这些方法需要正确选择港口吞吐量的影响因素，而GM(1，1)不需要考虑影响因素，避免了因为影响因素选取不当而造成预测精度的降低。

邓聚龙教授提出的经典GM(1，1)模型预测，其中背景值函数构造与实际值相差较大，通过研究发现，背景值的构造对预测的结果起到决定性的作用，传统的背景值是采用梯形公式计算，计算方法如下式所示。

式中，z⁽¹⁾(k)为第k个背景值，x⁽¹⁾(k)、x⁽¹⁾(k-1)分别为一次累加序列的第k与 k-1项。图1反应了使用梯形公式所产生误差的来源。背景值的实际值为与所围成的面积，经典的GM(1,1)模型，为了简化背景值的计算，使用梯形公式面积代替曲线围成面积，将背景值改为与所围成的面积。当k-1与k之间曲线较为平缓时，使用梯形公式来近似替代误差较小，随着曲线坡度的增加，使用误差将会逐渐变大。

基于背景值优化的思路很多，基本都是通过高次插值与求积公式的结合使拟合函数不断接近一次累加序列。

然而上述方法存在一个问题，高次插值会出现Runge现象，本发明针对这个问题使用二次插值并对梯形公式进行了改进，通过实验发现该方法对于数据增长较快的实例预测精度较高。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种梯形公式改进的GM (1，1)模型预测方法，能够有效适应各种数据变化类型，有效的提高模型的预测精度。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种基于梯形公式改进的GM(1，1) 模型预测方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤S1，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负数数据序列，记为X⁽⁰⁾；

步骤S2，对原始数据序列X⁽⁰⁾做一次累加处理，生成一次累加序列X⁽¹⁾；

步骤S3，构造二次插值多项式，基于此二次插值建立梯形公式构造背景值，并利用最小二乘法求出参数a、u；

步骤S4，基于求解出参数a、u，建立时间响应序列还原求解出初始点的预测值此值即为原始数据序列的预测值序列；

步骤S5，根据上一步求解出原始数据序列的预测值后，进行误差检验以判断GM(1，1)模型的预测精度。

优选的，步骤S2中，通过下式计算生成一次累加序列：

式中，x⁽¹⁾(k)为原始数据x⁽⁰⁾(k)的一次累加序列，累加序列记为：

X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),…,x⁽¹⁾(n)}

优选的，步骤S3中，构造二次插值多项式时对任意两个整数点区间[k,k+1] 进行五等分，并计算出等分点的函数值，得出各插值点为：

优选的，以点(k,x⁽¹⁾(k))构建背景值的梯形公式为：

优选的，以插值点构建背景值的梯形公式为：

优选的，步骤S5中，误差校验时相对误差的计算公式为：

与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：本发明基于梯形公式改进的GM(1,1)建模，能够适应多种初始序列数据变化形式，预测误差较低，能够有效的适用于水路货物运输量的预测。

附图说明

图1是现有技术中采用梯形公式构造背景值的误差；

图2是以点(k,x⁽¹⁾(k))建立梯形公式构造背景值的示意图；

图3是以插值点建立梯形公式构造背景值的示意图；

图4是以插值点建立梯形公式构造背景值的示意图；

图5是以插值点建立梯形公式构造背景值的示意图；

图6是以插值点建立梯形公式构造背景值的示意图；

图7是原始数据序列处理的流程图；

图8是穷举法的处理流程图；

图9是本发明方法进行灰色预测的流程图；

图10是三种方法的拟合值与实际值的折线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明的基于二次插值的GM(1，1)模型预测方法，如图9所示，包括以下步骤：

步骤S1，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负数数据序列，记为X⁽⁰⁾。

设原始数据序列为：

X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),…,x⁽⁰⁾(n)}

式中，x⁽⁰⁾(i)>0，i＝1,…,n。若存在预测数据有负数情况，处理方法如图7所示：1)若初始数据都为负数，所有数据取绝对值后使用；2)若部分数据为负数，所有数据加上最小负数的绝对值后使用。

步骤S2，对原始数据序列X⁽⁰⁾做一次累加处理，生成一次累加序列X⁽¹⁾。

通过下式计算生成一次累加序列X⁽¹⁾：

式中，x⁽¹⁾(k)为x⁽⁰⁾(1)……x⁽⁰⁾(k)的一次累加序列，累加序列记为：

X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),…,x⁽¹⁾(n)}

步骤S3，构造二次插值多项式，基于此二次插值建立梯形公式构造背景值，并利用最小二乘法求出参数a、u。

(3.1)二次插值多项式的生成

当k为整数时，x⁽¹⁾(k)的值是已知的，当k不为整数，x⁽¹⁾(k)未知且函数方程也是未知的。对任意两个整数点区间[k,k+1]进行五等分，并计算出等分点的函数值，得出各插值点为：

利用实施例中(k,x⁽¹⁾(k))、(k+1,x⁽¹⁾(k+1))、(k+2,x⁽¹⁾(k+2))三点构造二次牛顿插值多项式N₂(t)使得：

N₂(t)≈x⁽¹⁾(k)，(t∈[k,k+1])

根据二次牛顿插值的公式得：

将带入上式，分别求出各插值如下所示：

(3.2)背景值函数的构造

第一种构造方法：以(k,x⁽¹⁾(k))作为直线的一点A，曲线[k_,k+1]上的任意一点m作为直线的另一点(A与m点不重合)，由Am这两点可以确定一条直线，直线在k+1处会取得一个点n，利用直线在k+1处取得的函数值与x⁽¹⁾(k)建立梯形公式作为背景值的估计值，如图2所示。

由图2可知，当直线为AB时，斜率最大，此时的直线斜率为：

x⁽¹⁾(k+1)-x⁽¹⁾(k)

若要表示直线Am的斜率，此时只需要在最大斜率上添加一个系数即如下式所示：

直线Am的方程为：

直线Am在k+1的函数值为：

使用第一种构造方法改进背景值的梯形公式为：

由上式可知当时，此时改进的梯形公式就为传统的梯形公式，可见传统梯形公式是本发明第一种背景值构造方法的一种特殊情况。

第二种构造方法：以插值点作为直线的一点A，曲线上的任意一点m作为直线的另一点(A与m点不重合)，由Am这两点可以确定一条直线，直线在k、k+1处会取得函数点s、n，利用直线在k、k+1处取得的函数值与建立梯形公式作为背景值的估计值，如图3所示。

由图3可知，当直线为AB时，斜率最大，此时的直线斜率为：

直线Am的方程为：

直线Am在k、k+1上的的函数值为：

由上式可知当时，此时y(k+1)＝x⁽¹⁾(k+1)，直线斜率最大，同时为了防止直线斜率过大导致在k点函数值为负数，还需对y(k)进行检验，令检验y(k)的大小，若大于零可以使用本发明方法。

使用第二种构造方法改进背景值的梯形公式为：

第三种构造方法：以插值点作为直线的一点A，曲线上的任意一点m作为直线的另一点，由Am这两点可以确定一条直线，直线在k、k+1处会取得函数点s、n，利用直线在k、k+1处取得的函数值与建立梯形公式作为背景值的估计值，如图4所示。

由图4可知，当直线为AB时，斜率最大，此时的直线斜率为：

直线Am的方程为：

直线Am在k、k+1上的的函数值为：

使用第三种构造方法改进背景值的梯形公式为：

第四种构造方法：以插值点作为直线的一点A，曲线上的任意一点m作为直线的另一点，由Am这两点可以确定一条直线，直线在k、k+1处会取得函数点s、n，利用直线在k、k+1处取得的函数值与建立梯形公式作为背景值的估计值，如图5所示。

由图5可知，当直线为AB时，斜率最大，此时的直线斜率为：

直线Am的方程为：

直线Am在k、k+1上的的函数值为：

使用第四种构造方法改进背景值的梯形公式为：

第五种构造方法：以插值点作为直线的一点A，曲线上的任意一点m作为直线的另一点，由Am这两点可以确定一条直线，直线在k、k+1处会取得函数点s、n，利用直线在k、k+1处取得的函数值与建立梯形公式作为背景值的估计值，如图6所示。

由图6可知，当直线为AB时，斜率最大，此时的直线斜率为：

直线Am的方程为：

直线Am在k、k+1上的的函数值为：

使用第五种构造方法改进背景值的梯形公式为：

(3.3)矩阵B与矩阵Y的确定：

或

使用第一种构造方法构造背景值时，矩阵B与矩阵Y维度为n-1，若使用二、三、四、五方法时，矩阵B与矩阵Y维度为n-2。

(3.4)求解参数a、u

白化微分方程的生成：

对于一阶累加生成序列{x⁽¹⁾(k)}关于时间变量t的GM(1,1)微分方程如下式所示：

式中，a、u都为待辨识常数。

灰色微分方程：

x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝u

式中，参数a、u由(a,u)^T＝(B^TB)^-1B^TY计算出。

步骤S4，基于求解出参数a、u，建立时间响应序列还原求解出初始点的预测值此值即为原始数据序列的预测值序列。

通过白色微分方程的求解，带入参数a、u可以得到时间响应函数为：

上式离散化得：

式中，x⁽¹⁾(0)＝x⁽⁰⁾(1)，为预测值。

预测值的还原：

相对误差的计算：

相对误差越低，表示模型的拟合精度越高，进行预测所得结果的可靠性也会越大。

本发明(3.2)中提供的五种背景值函数中有参数，不可以直接解出，为了探寻误差最小的背景值构造函数，本发明利用计算机的穷举法，令从0.01 开始以步长0.01增长到1结束(穷举划分精度越高，所得的预测结果越精确)，每种方法会根据取不同的值得出一个相对误差最小背景函数，最终从五种方法中再次选出一个相对误差最小的背景函数，具体的穷举方法如图8所示，其中相对误差的计算公式如步骤S5所示。

实施例

以上海市1999-2009年水路货物运输量序列作为研究对象(单位：万吨)，将经典的灰色模型(参见文献1：邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1987.)与基于插值和牛顿柯特斯公式的GM(1，1)模型(参见文献2：李俊峰，戴文战.基于插值和Newton-Cotes公式的GM(1,1)模型的背景值构造新方法与应用[J].系统工程理论与实践，2004，24(10)：122-126.)与本发明提出的方法进行比较，根据相对误差的比较来分析方法的优劣。

本发明提出方法的计算步骤：

(1)上海市1999-2009年水路货物运输量的原始数据序列为：

X⁽⁰⁾＝{44485，47954，49545，54196，58669，63180，68741，72616，78108，84347，76967}

(2)一次累加序列计算为：

X⁽¹⁾＝{44485，92439，141984，196180，254849，318029，386770，459386，537494，621841，698808}

(3)对一次累加序列X⁽¹⁾作背景值生成，并计算出B和Y

计算过程为：

(3.1)二次插值多项式的生成

根据累加序列x⁽¹⁾(k)求出每两个整数点之间的4个插值项，计算公式如下所示：

(3.2)五种方法背景值函数：

求出背景值并对y(k)的非负性进行检验。

(3.3)矩阵B与矩阵Y的确定：

或

使用方法一构造背景值时，矩阵B与矩阵Y维度为n-1，若使用二、三、四、五方法时，矩阵B与矩阵Y维度为n-2。

使用上面提出的五种方法进行背景值的构造，并利用计算机编程来实现值的穷举(令以步长0.01增长，当时结束)，选择每种方法相对误差最小时的值，最终比较每种方法的相对误差，选择相对误差最小的作为本实例的背景值构造函数，五种方法的相对误差如下表1所示。

表1五种构造背景值方法的相对误差

根据表1可知，第五种方法求出的相对误差最低，即拟合出来的结果作为本发明的计算结果。

文献1中邓聚龙教授提出的经典的GM(1，1)模型计算：

响应函数的确定：

预测值的还原：

文献2中基于插值和牛顿柯特斯公式的GM(1，1)模型计算步骤：

(1)上海市1999-2009年水路货物运输量的原始数据序列为：

(2)一次累加序列计算为：

(3)一次累加序列点之间的牛顿插值的计算：

对一次累加序列构建十次插值多项式，详细过程可见工程高等数学，并对任意两个点之间进行四等分，带入十次多项式计算等分点的函数值为：

(4)计算出B和Y：

背景值z⁽¹⁾(k)，任意两个累加序列点之间有三个等分点，对应的函数值如步骤(3)所示，利用这五个点使用牛顿柯特斯公式计算背景值z⁽¹⁾(k)为：

(5)参数a,u的计算：

(6)响应函数的确定：

(7)预测值的还原：

通过上述三种计算方法对上海市1999-2009年水路货物运输量进行拟合计算，计算结果如表2所示。

表2三种计算方法的拟合结果

根据上表所示，本发明提出的改进的GM(1，1)模型平均相对误差为2.24％，经典灰色模型的平均相对误差为3.3％，牛顿柯特斯公式的GM(1，1)模型的平均相对误差为3.32％，因此本发明提出的改进的GM(1，1)方法误差较低，精度提升较为明显，拟合结果参照图10所示。根据实验证明，该方法不仅适用于上海市水路运输量的预测，还可以运用到交通其他方面的预测上，具有良好的预测结果。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变型，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。

Claims

1.基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S2中，通过下式计算生成一次累加序列：

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X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),…,x⁽¹⁾(n)}

3.根据权利要求1所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S3中，构造二次插值多项式时对任意两个整数点区间[k,k+1]进行五等分，并计算出等分点的函数值，得出各插值点为：

4.根据权利要求3所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，以点(k,x⁽¹⁾(k))构建背景值的梯形公式为：

5.根据权利要求3所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，以插值点构建背景值的梯形公式为：

6.根据权利要求3所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，以插值点构建背景值的梯形公式为：

7.根据权利要求3所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，以插值点构建背景值的梯形公式为：

8.根据权利要求3所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，以插值点构建背景值的梯形公式为：

9.根据权利要求1所述的基于梯形公式改进的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S5中，误差校验时相对误差的计算公式为：

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