CN112257283A - 基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法 - Google Patents

基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法，包括依据背景值表达式几何意义，改进了预测模型背景值构造方法及背景值系数的选取；还包括模型结构上的改进，加入了灰色作用量，使模型具有结构相容性。本发明能有效减小模型拟合误差，提高模型泛化性，从而使模型预测精度得到较大的提高。

Description

基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法
技术领域
本发明涉及数据预测技术领域，具体涉及一种背景值与模型结构相容性组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法。
背景技术
瓦斯防治是保障煤矿井下安全生产的关键因素，而对瓦斯浓度的准确预测是防治瓦斯事故的重要手段。传统的预测方法有上百种，其中瓦斯浓度预测较为常用的是单变量GM(1,1)灰色预测方法，但该方法预测精度受限于无法考虑井下其他相关因素对瓦斯浓度的影响。本发明将使用改进的多变量GM(1,N)灰色预测模型进行预测，GM(1,N)模型可考虑其他相关因素，提高预测精度。
然而现有的多变量GM(1,N)灰色预测模型存在很多缺陷，根据研究发现，其背景值估计误差及模型结构单一是导致该模型预测性能不稳定的重要因素，致使该模型在实际预测领域中应用并不广泛。本发明通过分析背景值函数的几何意义，结合积分几何面积公式，提出一种改进的背景值优化方法；在此基础上，在模型中加入了灰色作用量，对模型结构相容性进行了改进，提出一种新的基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型(Combinatorial Optimization of background value and structure compatibilityGrey prediction Model,COGM(1,N))。
发明内容
针对上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提出了一种基于背景值优化和模型结构相容性改进组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法，能够有效提高模型拟合及预测精度，提升模型结构相容性及泛化能力。
为了实现上述目标，本发明采用如下技术方案：
基于背景值优化和模型结构相容性改进组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法，包括如下步骤：
步骤一，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负递增或递减数据序列，记为
Figure BDA0002751135310000021
设原始数据序列为：
Figure BDA0002751135310000022
式中，
Figure BDA0002751135310000023
步骤二，根据预测目标选取预测模型所采用的相关因素序列，此相关因素序列记为
Figure BDA0002751135310000024
设相关因素序列为：
Figure BDA0002751135310000025
步骤三，对原始数据序列
Figure BDA0002751135310000026
及相关因素序列
Figure BDA0002751135310000027
做一次累加处理，计算公式如下式所示：
Figure BDA0002751135310000028
式中X(1)(k)为原始数据序列X(0)(k)的一次累加序列，累加序列记为：
X(1)(k)＝(X(1)(1),X(1)(2),...,X(1)(n))；
步骤四，采用改进的背景值计算公式计算一次累加序列
Figure BDA0002751135310000029
的背景值表达式Z(1)(k)，Z(1)(k)通过下式进行计算：
Figure BDA00027511353100000210
式中λ为背景值系数，且k＝1,2,...,n,0≤λ≤1；
步骤五，通过组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型的灰微分方程计算矩阵B、Y，利用最小二乘法求出参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，其中a称为发展系数，bi称为驱动系数，γ称为灰色作用量，T表示矩阵的转置；
COGM(1,N)预测模型结构表达式如下：
Figure BDA00027511353100000211
灰微分方程计算式如下：
Figure BDA0002751135310000031
式中k＝1,2,...,n,0≤λ≤1；矩阵B、Y与参数u通过下式计算：
Figure BDA0002751135310000032
u＝(BTB)-1BTY；
步骤六，基于解得的参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，求解时间响应函数
Figure BDA0002751135310000033
并还原解得原始序列
Figure BDA0002751135310000034
的预测值
Figure BDA0002751135310000035
灰微分方程的白化方程如下式：
Figure BDA0002751135310000036
离散化解得时间周期响应函数：
Figure BDA0002751135310000037
进而求得时间响应函数：
Figure BDA0002751135310000038
预测值
Figure BDA0002751135310000039
通过下式进行还原计算：
Figure BDA00027511353100000310
步骤七，计算模型平均拟合误差；根据步骤六求解出原始数据序列的预测值后，根据下式进行误差分析及判断COGM(1,N)预测模型的预测精度；
Figure BDA00027511353100000311
式中k＝1,2,...,n。
前述的基于背景值优化和模型结构相容性改进组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法，其特征在于，步骤四中，背景值
Figure BDA0002751135310000041
计算式中不确定常量λ的取值可以通过MATLAB数值分析确定，λ从0开始以精度0.01逐步增长，计算模型平均拟合误差ε，当λ＝1时结束循环，最终选取使平均拟合误差ε最小时的λ值。
前述的基于背景值优化和模型结构相容性改进组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法，其特征在于，步骤五中，根据COGM(1,N)预测模型结构表达式调整参数取值，当N＝1,a·b·γ≠0时，COGM(1,N)模型可以简化为GM(1,1)模型，称其与GM(1,1)模型具有结构相容性。
前述的基于背景值优化和模型结构相容性改进组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法，其特征在于，步骤五中，根据COGM(1,N)预测模型结构表达式调整参数取值，当N＞1,a·b≠0,γ＝0时，COGM(1,N)模型可以简化为GM(1,N)模型，称其与原GM(1,N)模型具有结构相容性。
本发明的有益之处在于：
本发明提出的基于背景值函数几何意义的背景值优化方案，构造了一个新的背景值表达式，减小了背景值构造时存在的误差，并采用MATLAB数值分析对背景值系数的取值进行优化，相较于传统灰色预测方法，本发明背景值系数的取值更灵活，减小了系统参数计算的误差，进而提高模型的预测精度。
本发明提出的模型结构基于结构相容性改进的优化方案，在模型中加入了灰色作用量，以反映自变量数据变换关系，相较于传统灰色预测模型，本发明改善了模型的结构相容性，提高模型的泛化能力，使模型预测性能得到显著提高。
附图说明
图1为本发明COGM(1,N)预测模型流程图；
图2为本发明背景值函数几何示意图；
图3为本发明与传统单变量、多变量灰色预测模型拟合结果曲线图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。
基于背景值优化和模型结构相容性改进组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型方法，包括如下步骤：
步骤一，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负递增或递减数据序列，记为
Figure BDA0002751135310000051
设原始数据序列为：
Figure BDA0002751135310000052
式中，
Figure BDA0002751135310000053
步骤二，根据预测目标选取预测模型所采用的相关因素序列，此相关因素序列依据灰色关联度分析计算选取，记为
Figure BDA0002751135310000054
设相关因素序列为：
Figure BDA0002751135310000055
步骤三，对原始数据序列
Figure BDA0002751135310000056
及相关因素序列
Figure BDA0002751135310000057
做一次累加处理，计算公式如下式所示：
Figure BDA0002751135310000058
式中X(1)(k)为原始数据序列X(0)(k)的一次累加序列，累加序列记为：
X(1)(k)＝(X(1)(1),X(1)(2),...,X(1)(n))；
步骤四，采用改进的背景值计算公式计算一次累加序列
Figure BDA0002751135310000059
的背景值表达式Z(1)(k)，Z(1)(k)通过下式进行计算：
Figure BDA00027511353100000510
式中k＝1,2,...,n,0≤λ≤1；
步骤五，通过组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型的灰微分方程计算矩阵B、Y，利用最小二乘法求出参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，COGM(1,N)预测模型结构表达式如下：
Figure BDA00027511353100000511
灰微分方程计算式如下：
Figure BDA0002751135310000061
式中k＝1,2,...,n,0≤λ≤1；矩阵B、Y与参数u通过下式计算：
Figure BDA0002751135310000062
u＝(BTB)-1BTY；
步骤六，基于解得的参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，求解时间响应函数
Figure BDA0002751135310000063
并还原解得原始序列
Figure BDA0002751135310000064
的预测值
Figure BDA0002751135310000065
灰微分方程的白化方程如下式：
Figure BDA0002751135310000066
离散化解得时间周期响应函数：
Figure BDA0002751135310000067
进而求得时间响应函数：
Figure BDA0002751135310000068
预测值
Figure BDA0002751135310000069
通过下式进行还原计算：
Figure BDA00027511353100000610
步骤七，计算模型平均拟合误差；根据步骤六求解出原始数据序列的预测值后，根据下式进行误差分析及判断COGM(1,N)预测模型的预测精度；
Figure BDA00027511353100000611
式中k＝1,2,...,n。
需进一步说明的步骤四中，背景值
Figure BDA0002751135310000071
计算式中不确定常量λ的取值可以通过MATLAB数值分析确定，λ从0开始以精度0.01逐步增长，计算模型平均拟合误差ε，当λ＝1时结束循环，最终选取使平均拟合误差ε最小时的λ值。
需进一步说明的步骤五中，根据COGM(1,N)预测模型结构表达式调整参数取值，当N＝1,a·b·γ≠0时，COGM(1,N)模型可以简化为GM(1,1)模型，称其与GM(1,1)模型具有结构相容性。
需进一步说明的步骤五中，根据COGM(1,N)预测模型结构表达式调整参数取值，当N＞1,a·b≠0,γ＝0时，COGM(1,N)模型可以简化为GM(1,N)模型，称其与原GM(1,N)模型具有结构相容性。
背景值优化的理论证明
为了证明本发明在背景值表达式构造准确性上有明显提高，本发明从背景值函数误差方面进行证明。
定理1设原始数据序列为X(0)(k)，X(1)(k)为原始数据序列X(0)(k)的一次累加生成序列，且有
Figure BDA0002751135310000072
那么改进的背景值表达式如下：
Figure BDA0002751135310000073
称Z(1)＝(Z(1)(2),Z(1)(3),...,Z(1)(n))为X(1)(k)改进后的背景值序列，且改进后的背景值表达式误差小于传统模型中的背景值表达式。
证明1：传统灰色预测模型中的背景值表达式为：
Figure BDA0002751135310000074
其几何意义可以表示为曲线
Figure BDA0002751135310000075
在区间[k-1,k]与横轴间所围成的距离，如图2所示。从图中可以看出原始的紧邻均值Z(1)(k)采用所围梯形的面积来近似表示曲线
Figure BDA0002751135310000076
的所围面积，由此可以看出背景值计算公式存在一定误差。
由图2可以看出，矩形面积
Figure BDA0002751135310000077
且曲线与坐标轴所围面积Sabcfd＞Sabce；
因此一定存在m>1，使得下式成立：
Sabcfd＝m·Sabce
因为
Figure BDA0002751135310000081
可以得到下式：
Figure BDA0002751135310000082
所以一定存在λ>0，使得下式成立：
Figure BDA0002751135310000083
令
Figure BDA0002751135310000084
代入Sabcfd＝m·Sabce可得下式：
Figure BDA0002751135310000085
由此可得：
Figure BDA0002751135310000086
根据定理1可知，改进后的背景值表达式误差小于传统灰色预测模型的背景值表达式。
模型结构相容性的证明
为了证明本发明所述的COGM(1,N)预测模型在模型结构泛化性能上有明显提高，本发明从模型结构相容性上进行证明。
定理2对于本发明所述的COGM(1,N)灰色预测模型与传统单变量GM(1,1)预测模型，当N＝1,a·b·γ≠0时，本发明所述COGM(1,N)预测模型可以简化为GM(1,1)预测模型。
证明2：对于本发明所述的COGM(1,N)灰色预测模型，当N＝1,a·b·γ≠0时，其模型结构表达式如下：
Figure BDA0002751135310000087
上式是传统单变量GM(1,1)预测模型结构表达式，也就是说当N＝1,a·b·γ≠0时，本发明所述的COGM(1,N)预测模型可以简化为GM(1,1)预测模型，称其与GM(1,1)预测模型具有结构相容性。
根据定理2可知，本发明所述的COGM(1,N)预测模型与传统单变量GM(1,1)预测模型具有结构相容性，在模型结构泛化性能上有明显提高。
定理3对于本发明所述的COGM(1,N)灰色预测模型与传统多变量GM(1,N)预测模型，当N＞1,a·b≠0,γ＝0时，本发明所述COGM(1,N)预测模型可以简化为GM(1,N)模型。
证明3：对于本发明所述的COGM(1,N)灰色预测模型，当N＞1,a·b≠0,γ＝0时，其模型结构表达式如下：
Figure BDA0002751135310000091
上式是传统多变量GM(1,N)预测模型结构表达式，也就是说当N＞1,a·b≠0,γ＝0时，本发明所述的COGM(1,N)预测模型可以简化为GM(1,N)预测模型，称其与GM(1,N)预测模型具有结构相容性。
根据定理3可知，本发明所述的COGM(1,N)预测模型与传统多变量GM(1,N)预测模型具有结构相容性，在模型结构泛化性能上有明显提高。
为了证明本发明具有更小的平均拟合误差，能有效的提高模型预测精度，以寸草塔煤矿22301工作面瓦斯日均最大浓度作为研究对象，将本发明所提的COGM(1,N)预测模型与传统的单变量、多变量灰色预测模型(参见文献1：刘思峰,杨英杰,吴利丰等.灰色系统理论及其应用[M].第七版.北京:科学出版社,2014.)进行比较，根据平均拟合误差及预测精度来分析所述方法的优劣。
本发明所述COGM(1,N)预测模型方法的计算步骤：
采集寸草塔日均瓦斯最大浓度(％)的原始数据序列为：
Figure BDA0002751135310000092
采集寸草塔工作面风量(m3/min)、瓦斯抽放量(m3/min)、瓦斯涌出量(m3/min)的相关因素序列为：
Figure BDA0002751135310000093
Figure BDA0002751135310000094
Figure BDA0002751135310000095
对原始数据序列
Figure BDA0002751135310000096
及相关因素序列
Figure BDA0002751135310000097
做一次累加处理，生成一次累加序列
Figure BDA0002751135310000098
计算公式如下式所示：
Figure BDA0002751135310000099
采用改进的背景值计算公式计算一次累加序列
Figure BDA00027511353100000910
的背景值表达式Z(1)(k)，
Z(1)(k)通过下式进行计算：
Figure BDA0002751135310000101
矩阵B、Y与参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T通过下式进行计算：
Figure BDA0002751135310000102
u＝(BTB)-1BTY；
基于解得的参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，求解时间响应函数
Figure BDA0002751135310000103
并还原解得原始序列
Figure BDA0002751135310000104
的预测值
Figure BDA0002751135310000105
灰微分方程的白化方程如下式：
Figure BDA0002751135310000106
离散化解得时间周期响应函数：
Figure BDA0002751135310000107
进而求得时间响应函数：
Figure BDA0002751135310000108
预测值
Figure BDA0002751135310000109
通过下式进行还原计算：
Figure BDA00027511353100001010
本发明采用MATLAB仿真实验进行数值分析，解得当背景值系数λ＝1时，取得模型平均拟合误差最小值ε＝0.0337。
本发明所述组合优化COGM(1,N)预测模型与传统单变量、多变量预测模型进行拟合误差对比，用表1证明本发明所述模型能够明显减小误差。
表1 COGM(1,N)模型与传统模型预测模拟值结果对比
Figure BDA00027511353100001011
Figure BDA0002751135310000111
根据上表所示，本发明提出的组合优化COGM(1,N)预测模型平均拟合误差为0.034，传统单变量GM(1,1)预测模型的平均拟合误差为0.05，传统多变量GM(1,N)预测模型的平均拟合误差为0.38，因此本发明提出的组合优化COGM(1,N)预测模型方法误差更低，拟合精度提升较为明显，拟合效果对比结果参照图3所示。根据实验证明，该发明方法不仅适用于井下瓦斯浓度预测，还可以运用到众多预测领域中，具有良好的预测性能。
本发明提出的基于背景值函数几何意义的背景值优化方案，构造了一个新的背景值表达式，减小了背景值构造时存在的误差，并采用MATLAB数值分析对背景值系数的取值进行优化，相较于传统灰色预测方法，本发明背景值系数的取值更灵活，减小了系统参数计算的误差，进而提高模型的预测精度。
本发明提出的模型结构基于结构相容性改进的优化方案，在模型中加入了灰色作用量，以反映自变量数据变换关系，相较于传统灰色预测模型，本发明改善了模型的结构相容性，提高模型的泛化能力，使模型预测性能得到显著提高。
以上描述了本发明的基本原理，展示了本发明的主要特征及优点。且本发明不受限于上述实施例，任何采用等效替换方式所获得的的技术方案，均落在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.一种基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法(CombinatorialOptimization of background value and structure compatibility Grey predictionModel,COGM(1,N))，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负递增或递减数据序列，记为X1 (0)；
设原始数据序列为：
X1 (0)＝(X1 (0)(1),X1 (0)(2),...,X1 (0)(n))；
式中，X1 (0)(k)＞0,k＝1,2,...,n；
步骤二，根据预测目标选取预测模型所采用的相关因素序列，此相关因素序列依据灰色关联度分析计算选取，记为
Figure FDA0002751135300000011
设相关因素序列为：
Figure FDA0002751135300000012
步骤三，对原始数据序列X1 (0)及相关因素序列
Figure FDA0002751135300000013
做一次累加处理，计算公式如下式所示：
Figure FDA0002751135300000014
式中X(1)(k)为原始数据序列X(0)(k)的一次累加序列，累加序列记为：
X(1)(k)＝(X(1)(1),X(1)(2),...,X(1)(n))；
步骤四，采用改进的背景值计算公式计算一次累加序列X1 (1)(k)的背景值表达式Z(1)(k)，Z(1)(k)通过下式进行计算：
Z(1)(k)＝[X1 (1)(k)]λ×[X1 (1)(k-1)]1-λ；
式中λ为背景值系数，且k＝1,2,...,n,0≤λ≤1；
步骤五，通过组合优化的COGM(1,N)灰色预测模型的灰微分方程计算数据矩阵B、Y，利用最小二乘法求出参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，其中a称为发展系数，bi称为驱动系数，γ称为灰色作用量，T表示矩阵的转置；
改进的COGM(1,N)预测模型结构表达式如下：
Figure FDA0002751135300000021
灰微分方程计算式如下：
Figure FDA0002751135300000022
式中k＝1,2,...,n,0≤λ≤1；矩阵B、Y与参数u通过下式计算：
Figure FDA0002751135300000023
u＝(BTB)-1BTY；
步骤六，基于解得的参数u＝[a,b1,b2,...,bN,γ]T，求解时间响应函数
Figure FDA0002751135300000024
并还原解得原始序列X1 (0)的预测值
Figure FDA0002751135300000025
灰微分方程的白化方程如下式：
Figure FDA0002751135300000026
离散化解得时间周期响应函数：
Figure FDA0002751135300000027
进而求得时间响应函数：
Figure FDA0002751135300000028
预测值
Figure FDA0002751135300000031
通过下式进行还原计算：
Figure FDA0002751135300000032
步骤七，计算模型平均拟合误差；根据步骤六求解出原始数据序列的预测值后，根据下式进行误差分析及判断COGM(1,N)预测模型的预测精度；
Figure FDA0002751135300000033
式中k＝1,2,...,n。
2.根据权利要求1所述的基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法，其特征在于，步骤四中，背景值Z(1)(k)＝[X1 (1)(k)]λ×[X1 (1)(k-1)]1-λ计算式中不确定常量λ的取值可以通过MATLAB数值分析确定，λ从0开始以精度0.01逐步增长，计算模型平均拟合误差ε，当λ＝1时结束循环，最终选取使平均拟合误差ε最小时的λ值。
3.根据权利要求1所述的基于背景值和结构相容性组合优化灰色预测模型方法，其特征在于，步骤五中，根据COGM(1,N)预测模型结构表达式调整参数取值，当N＝1，a·b·γ≠0时，COGM(1,N)模型可以简化为GM(1,1)模型，称其与GM(1,1)模型具有结构相容性。
4.根据权利要求1所述的基于背景值和结构相容性组合优化的灰色预测模型方法，其特征在于，步骤五中，根据COGM(1,N)预测模型结构表达式调整参数取值，当N>1，a·b≠0,γ＝0时，COGM(1,N)模型可以简化为GM(1,N)模型，称其与原GM(1,N)模型具有结构相容性。
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