CN105827391A - 基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用压控忆阻替换三维自激振荡系统实现电路中积分电路输入端的线性耦合电阻实现的一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，包括两部分：压控忆阻等效实现电路a和三维自激振荡系统b；其中a电路与b电路各相同端口依次相连后，实现的忆阻系统可呈现出周期极限环、准周期极限环、混沌吸引子和共存吸引子等隐藏振荡现象。该电路系统易于数值仿真、电路仿真和实验观测，对于隐藏多吸引子的研究与发展起到较大的推进作用。

Description

基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路

技术领域

本发明涉及一种采用压控忆阻替换三维自激振荡系统实现电路中积分电路输入端的线性耦合电阻，实现了一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路。

背景技术

长期以来，学术界对于完全确定的常微分方程构成的混沌系统的研究与发掘从未停歇过，其中研究最为广泛的是由自治常微分方程表示的连续混沌系统，典型的有Lorenz系统、Chen系统和Lü系统等。基于运算放大器与电阻、电容的有机组合，可实现混沌系统的加减运算和积分运算，而基于模拟乘法器可实现混沌系统的非线性运算。因此，大多数连续自治混沌系统可以采用运算放大器、模拟乘法器、电阻和电容等分立元器件构建的电路来实现。

近年来，作为第四种基本电路元件，忆阻与其它现有的电路元件或器件相互组合连接、以电路的形式在各个工程领域中得到了广泛的应用。由于忆阻是非线性电路元件，引入电路后很容易实现电路的混沌振荡，因此忆阻混沌电路是研究较为广泛的忆阻应用电路，已有大量的文献成果报道。物理上新实现的忆阻器是纳米级无源元件，技术实现难度大、整体造价高，在短时间内无法达到商用。目前，利用电阻、电容、电感、运算放大器、模拟乘法器等分立元器件实现了多种忆阻模拟器，或者基于特殊拓扑形式的电路构建了若干广义忆阻模拟器，为忆阻及其应用电路的建模分析和实验观察作出了重要贡献。

在基于运算放大器和模拟乘法器实现的混沌系统电路中，采用一个忆阻替换与积分电路输入端连接的、实现自变量或线性耦合变量的增益电阻，即可实现一个忆阻混沌系统。按照此思路，本文提出了一种采用压控忆阻替换三维自激振荡系统实现电路中积分电路输入端的线性耦合电阻，实现了一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路。特别地，新提出的基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路不具有任意平衡点，所生成的极限环或混沌吸引子为一种新颖的且奇异的隐藏吸引子。不同于传统的自激吸引子，隐藏吸引子的吸引盆与任何不稳定平衡点不相交，它是近年来新发现且新定义的一类吸引子，得到了学术界的广泛关注并取得了大量研究成果。因此，研究忆阻系统的实现方法及其存在的隐藏吸引子有着重要的理论物理意义。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是构建一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，其结构如下：

所述主电路包括：压控忆阻实现电路图1(a)和三维自激振荡系统图1(b)；图1(b)电路由三个通道组成，三个通道由乘法器、积分器模块和反相器模块等级联组成；三个通道所有相同标注的节点依次相连为一个三维自激振荡系统。将图1(b)电路中的线性耦合电阻替换为图1(a)电路的等效忆阻W(v_w)后，产生一个新型的基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，如图1所示。图1(a)电路与图1(b)电路各相同端口依次相连后，可呈现出周期极限环、准周期极限环、混沌吸引子和共存吸引子等隐藏振荡现象。运算放大器U₁、U₂、U₃、U₄、U_a、U_b和U_c的同相输入端接“地”，设置系统控制参数β＝0.5、μ＝0.9、a＝1和b＝0.1。

三维自激振荡系统包括：通道1、通道2和通道3。

通道1中，输入端“–v_y”串联一个电阻后接于运算放大器U₁的反相输入端，U₁的反相输入端和输出端之间并联电容C，此时U₁的输出端输出“v_x”；运算放大器U₁同相输入端接“地”。

通道2中，四个输入端“v_x”、“v₂”、“v₃”和“v₄”分别串联一个电阻后接于运算放大器U₂的反相输入端，U₂的反相输入端和输出端之间并联电容C，此时U₂的输出端输出“v_y”；U₂的输出端和运算放大器U₃的反相输入端之间串联一个“10kΩ”的电阻；运算放大器U₃的反相输入端和输出端之间并联一个“10kΩ”的电阻，此时U₃的输出端输出“–v_y”；运算放大器U₂和U₃的同相输入端均接“地”。其中β＝0.5、v₂＝-v_yv_z、v₃＝-v₁v_y和

通道3中，两个输入端“v₁”和“–μ”分别串联一个电阻后接于运算放大器U₄的反相输入端，U₄的反相输入端和输出端之间并联电容C，此时U₄的输出端输出“v_z”；运算放大器U₄的同相输入端接“地”。其中μ＝0.9、

压控忆阻等效实现电路包括：积分器电路、乘法器和电阻等分立元件。具体连接方式为：输入端“v_x”串联电阻R后接运算放大器U_a的反相输入端，U_a的反相输入端和输出端之间并联电阻R和电容C，此时U_a的输出端输出“–v_w”；U_a的输出端“–v_w”接U_b的反相输入端；U_b的输出端串联一个电阻后接U_c的反相输入端；U_c的反相输入端和输出端之间并联一个“1kΩ”的电阻，此时U_c的输出端输出“|v_w|”；乘法器M_a的两个输入端分别接“–v_w”与“|v_w|”，M_a的输出端接乘法器M_b的一个输入端；M_b的另一个输入端接“v_x”，并与M_b的输出端串联两个电阻，此时忆阻输出端输出“ω₀ ²W(v_w)v_x”；运算放大器U_a、U_b和U_c的同相输入端均接“地”。其中a＝1和b＝0.1。

所述基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路主电路如图1所示，其中x，y，z和w为系统的四个状态变量，v_x，v_y，v_z和v_w为系统对应电路的四个状态变量并有如下关系：

$\stackrel{\·}{x}=dx/dt,\stackrel{\·}{y}=dy/dt,\stackrel{\·}{z}=dz/dt,\stackrel{\·}{w}=dw/dt,$

${\stackrel{\·}{v}}_x={\mathrm{dv}}_x/dt,{\stackrel{\·}{v}}_y={\mathrm{dv}}_y/dt,{\stackrel{\·}{v}}_z={\mathrm{dv}}_z/dt,{\stackrel{\·}{v}}_w={\mathrm{dv}}_w/dt$

本发明的有益效果如下：本发明涉及一种采用压控忆阻替换三维自激振荡系统实现电路中积分电路输入端的线性耦合电阻，实现了一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路。该电路系统结构简单、易于理论分析和电路集成，可呈现出周期极限环、准周期极限环、混沌吸引子和共存吸引子等隐藏振荡现象，有较大的工程应用价值。

附图说明

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据具体实施方案并结合附图，对本发明作进一步详细的说明：

图1基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路；(a)压控忆阻实现电路；(b)三维自激振荡系统；

图2无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路数值仿真得到的共存混沌吸引子在4个相平面上的相轨图；(a)在x–y平面上；(b)在x–z平面上；(c)在y–z平面上；(d)在z–w平面上；

图3无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路数值仿真得到的共存准周期极限环与混沌吸引子在4个相平面上的相轨图(a)在x–y平面上；(b)在x–z平面上；(c)在y–z平面上；(d)在z–w平面上；

图4无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路实验测量捕捉的共存混沌吸引子在4个相平面上的相轨图(a)在v_x–v_y平面上；(b)在v_x–v_z平面上；(c)在v_y–v_z平面上；(d)在v_z–v_w平面上；

图5无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路实验测量捕捉的共存准周期极限环与混沌吸引子在4个相平面上的相轨图(a)在v_x–v_y平面上；(b)在v_x–v_z平面上；(c)在v_y–v_z平面上；(d)在v_z–v_w平面上。

具体实施方式

数学建模：为了便于分析和电路实验验证，将三维自激振荡系统中表征正反馈强度的常数项设置为0，则简化后的数学模型可描述为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}=(z+x^2-{\mathrm{\βx}}^4)\stackrel{\·}{x}-{\mathrm{\ω}}_0^{2}x\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{\μ}-x^2\end{array}\right.---\left(1\right)$

令(1)式可转换成一阶常微分方程组形成表示的系统模型

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=y\\ \stackrel{\·}{y}=(z+x^2-{\mathrm{\βx}}^4)y-{\mathrm{\ω}}_0^{2}x\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{\μ}-x^2\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，x、y、z为3个状态变量，ω₀代表基本振荡频率，β和μ为2个控制参数。(2)式所描述的非线性系统由2个线性耦合项、1个常数项和4个非线性项组成，不存在任何平衡点，可呈现出稳定的准周期振荡现象和复杂的隐藏吸引子共存现象。

基于运算放大器和模拟乘法器的纯模拟电路可实现(2)式所描述的非线性动力学系统，如图1(b)所示，其中，v_x、v_y、v_z分别代表3个积分电路通道的电容电压状态变量，RC为积分时间常数，且和因此，图1(b)的电路状态方程表示如下

$\left\{\begin{array}{c}RC{\stackrel{\·}{v}}_x=v_y\\ RC{\stackrel{\·}{v}}_y=(v_z+v_x^2-{\mathrm{\βv}}_x^4)v_y-{\mathrm{\ω}}_0^2{v}_x\\ RC{\stackrel{\·}{v}}_z=\mathrm{\μ}-v_x^2\end{array}\right.---\left(3\right)$

采用压控忆阻W替换图1(b)中与运算放大器U₂反向输入端连接的、虚线圈内实现线性耦合变量的增益电阻，即可实现本文提出的一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，如图1(b)所示。同样地，由图1电路可建立新构建的基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路的电路方程为

$\left\{\begin{array}{c}RC{\stackrel{\·}{v}}_x=v_y\\ RC{\stackrel{\·}{v}}_y=(v_z+v_x^2-{\mathrm{\βv}}_x^4)v_y-{\mathrm{\ω}}_0^{2}W\left(v_w\right)v_x\\ RC{\stackrel{\·}{v}}_z=\mathrm{\μ}-v_x^2\\ RC{\stackrel{\·}{v}}_w=v_x-v_w\end{array}\right.---\left(4\right)$

为了避免直流漂移，本文考虑一种非理想压控忆阻W(v_w)，其数学模型为

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{y1}=W\left(v_w\right)v_x=(a+b|v_w\left|\right)v_x\\ {\stackrel{\·}{v}}_w=v_x-v_w\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，a和b为2个正实常数，v_w为压控忆阻的内部状态变量，v_x为忆阻的输入电压，i_y1为忆阻的输出并用于第二积分通道积分运算放大器的反向输入。一种基于运算放大器和模拟乘法器实现的非理想压控忆阻W(v_w)的纯模拟电路如图1(a)所示，其中积分时间常数RC与图1(b)的保持一致。

令t＝τRC，对(4)式作无量纲处理，则忆阻系统的无量纲方程为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=y\\ \stackrel{\·}{y}=(z+x^2-{\mathrm{\βx}}^4)y-{\mathrm{\ω}}_0^{2}W\left(w\right)x\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{\μ}-x^2\\ \stackrel{\·}{w}=x-w\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，w为压控忆阻内部无量纲状态变量，且W(w)＝a+b|w|。(6)式是一个四维常微分方程构成的忆阻系统，有β、ω₀和μ三个系统控制参数以及a和b两个忆阻内部参数。在下面的分析中，设置β＝0.5、μ＝0.9、a＝1和b＝0.1，选择基本振荡频率ω₀为忆阻系统的唯一控制参数。至此，本发明构建了一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路的电路实现方案。

数值仿真：利用MATLAB仿真软件平台，可以对(6)式所描述的系统进行数值仿真分析。选择龙格-库塔(ODE45)算法对系统方程求解，可获得此忆阻系统状态变量的相轨图。当基本振荡频率ω₀＝2.035时，忆阻系统(6)是混沌的，可展示出两个隐藏混沌吸引子的共存现象，在四个相平面上的投影如图2所示，其中红色轨迹表示从初始条件(2,0,0,0)出发的运行轨迹，而蓝色轨迹则表示从初始条件(–2,0,0,0)出发的运行轨迹。观察图2结果可知，当共存吸引子现象发生时，隐藏混沌吸引子的拓扑结构从原先对称的结构变成了不对称的结构，表示系统的运行轨迹从x坐标轴正、负值区域出发后无法穿越到另一个区域，即系统的混沌吸引盆是相互独立而不连通的。

当基本振荡频率ω₀＝2.33时，忆阻系统(6)或是混沌的，或是准周期的，完全取决于系统(6)的初始振荡条件。共存的隐藏混沌吸引子与隐藏准周期极限环在4个相平面上的投影如图3所示，其中红色混沌轨迹表示从初始条件(2,2,0,0)出发的运行轨迹，而蓝色准周期轨迹则表示从初始条件(2,0,0,0)出发的运行轨迹。图3结果表明，从相空间中不同初始位置出发的运行轨迹存在了2种完全不同的稳定性，即在相空间中有着相互独立的混沌吸引盆和准周期吸引盆。

实验验证：本设计分立元件选用金属膜电阻、精密可调电阻和独石电容，分立器件选用供电电压为±15V的AD711AH运算放大器和AD633JNZ模拟乘法器。实验过程中，由TektronixDPO3034数字存储示波器完成实验波形捕捉。其中，参考电阻和参考电容分别选择为：R＝10kΩ、C＝33nF。此外，电阻R_e和R_f是联动可调的，其参数值分别为：

当基本振荡频率ω₀＝2.035时，联动可调电阻的参数值分别固定为：R_e＝24.15kΩ、R_f＝2.415kΩ。忆阻系统(6)是混沌的，可展示出两个隐藏混沌吸引子的共存现象，在四个相平面上的投影如图4所示，其中红色轨迹和蓝色轨迹则表示从2个不同初始条件出发的运行轨迹，可通过不断开启和关断系统电路的电源供电来实现。

当基本振荡频率ω₀＝2.33时，联动可调电阻的参数值分别固定为：R_e＝18.42kΩ、R_f＝1.842kΩ。忆阻系统(6)或是混沌的，或是准周期的。共存的隐藏混沌吸引子与隐藏准周期极限环在4个相平面上的投影如图5所示。

将图4和5实验测量结果与图2和3数值仿真结果作比较，可发现两者有着较好的一致性，由此验证了忆阻系统的复杂动力学行为。该结果进一步证实了该系统可呈现出稳定的周期极限环、准周期极限环、混沌吸引子和共存吸引子等隐藏振荡现象分析的正确性，达到了发明一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路的初衷。

对比结果可以说明：实验电路中观测到的非线性现象与仿真结果完全吻合，可以验证理论分析和数值仿真的正确性。因此，本发明所构建的一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路具有科学的理论依据和物理上的可实现性，可对混沌电路的工程应用起到积极的推动作用。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。

Claims (4)

1.一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，其特征在于：压控忆阻实现电路a和三维自激振荡系统b；其中a电路与b电路各相同端口依次相连后，可呈现出周期极限环、准周期极限环、混沌吸引子和共存吸引子等隐藏振荡现象。

2.根据权利要求1所述的一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，其特征在于：所述压控忆阻实现电路a由积分器，乘法器等组成；输入端“v_x”经过积分运算后输出“–v_w”，“–v_w”和“v_x”经过乘法运算或加法运算后输出“ω₀ ²W(v_w)v_x”；设置系统控制参数a＝1和b＝0.1。

3.根据权利要求1所述的一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，其特征在于：所述三维自激振荡系统b包括通道1、通道2和通道3；通道1有一个输入端“–v_y”，通过积分器后输出“v_x”；通道2有四个输入端“v_x”、“v₂”、“v₃”和“v₄”，通过乘法器和积分器后输出“v_y”，再经过一级反相器最终输出“–v_y”；通道3有两个输入端“v₁”和“–μ”，通过乘法器和积分器后输出“v_z”；运算放大器U₁、U₂、U₃和U₄的同相输入端接“地”，设置系统控制参数β＝0.5和μ＝0.9。

4.根据权利要求1或2或3所述的一种基于无平衡点忆阻系统的隐藏多吸引子产生电路，其特征在于，系统方程含有四个状态变量x、y、z和w；对应电路状态方程含有四个状态变量v_x、v_y、v_z和v_w。