CN110896347B - 一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统 - Google Patents

Abstract

本发明属于电子通信领域，具体涉及具有离散的分岔图和恒定的Lyapunov指数谱，可以产生两种结构不同且沿第四轴平行分布的无限多共存吸引子的一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统。本系统包括一个三维混沌电路和一个忆阻器，其特征在于，将其改造为一个新的四维忆阻混沌系统，所述系统由基于运算放大器与电阻或电容所构成的反向、加法和积分等运算模块，以及模拟乘法器模块组成。本发明实现的一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统，其结构简单，可以产生两种结构不同且沿第四轴平行分布的无限多共存吸引子，并且具有离散的分岔图，此外还具有恒定的Lyapunov指数谱。

Description

一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统

技术领域

本发明属于电子通信领域，具体涉及具有离散的分岔图和恒定的Lyapunov指数谱，可以产生两种结构不同且沿第四轴平行分布的无限多共存吸引子的一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统。

背景技术

混沌是指确定性系统产生的随机行为。从哲学上看，混沌是确定性与随机性的统一。混沌信号具有内在随机性、初值敏感性、遍历性和有界性等特点，能够产生类似白噪声的宽带信号，在信息加密、保密通信和混沌雷达等领域有着广泛的应用。混沌信号源是各类混沌应用系统的重要组成部分，研究开发新型混沌信号源对混沌理论的实用化至关重要。

1971年，华裔科学家蔡少棠教授根据电路变量的完备性，预测存在第四种基本电路元器件，并将其命名为忆阻器。直到2008年，忆阻器的实物才第一次被HP实验室所发现。由于忆阻器是非线性器件，且具有记忆功能，因此被广泛应用于许多领域，包括低功耗的闪存存储器、神经突触架构设计、神经网络构建、新型的混沌系统的构建等研究。将具有各种非线性特性的忆阻器引入经典混沌电路中,可以很容易地构造出新的混沌电路，且其动力学行为比原混沌系统更加复杂。

最近几年，混沌系统的多稳定性成为了人们的研究热点。它是指在相同的系统参数设置下，多种吸引子共存的现象。多稳定性是许多非线性系统中一种常见的现象，与一般的混沌系统相比，其具有更加复杂的动力学行为，在保密通信和图像视频加密等领域有着广泛的应用前景。

目前存在的多稳定性混沌系统，其分岔图都是连续的，一般还具有分岔现象，但是本发明所提出的多稳定性混沌系统其分岔图是离散的，呈现出无限多离散的小线段的形式。新系统的动力学行为更加复杂，在信息加密、保密通信等领域有着巨大的应用前景。

发明内容

本发明的目的在于提供一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统。

本发明是这样实现的：

一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统，包括一个三维混沌电路和一个忆阻器，其特征在于，将其改造为一个新的四维忆阻混沌系统，所述系统由基于运算放大器与电阻或电容所构成的反向、加法和积分等运算模块，以及模拟乘法器模块组成。

所述三维混沌系统所对应方程为：

其中a、b、c和d都是常数，x、y和z是状态变量。

所述改进后的四维混沌系统所对应方程为：

其中，e和h是两个正常数；W(w)是磁控忆阻模型的忆导函数，构建了电荷和磁通之间的关系，其表达式如下式所示；

W(w)＝f+3gw²

其中，f和g是两个正实数，w是状态变量。

本发明的有益效果在于：本发明实现的一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统，其结构简单，可以产生两种结构不同且沿第四轴平行分布的无限多共存吸引子，并且具有离散的分岔图，此外还具有恒定的Lyapunov指数谱。

附图说明

图1是一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统的电路图；

图2是多稳定性混沌系统的分岔图和Lyapunov指数谱；

图3是多稳定性混沌系统的数值仿真相轨图；

图4是多稳定性混沌系统的PSpice电路仿真结果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步描述。

本发明所要解决的技术问题是设计一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统，对其进行硬件电路实现。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统，设计了相应的硬件电路，其结构如下：

所述主电路如图1所示，包括：积分通道一、积分通道二、积分通道三和积分通道四。积分通道一有3个输入端，分别为1个“v_x”、1个“v_y”和1个“v_z”，分别通过反相器和乘法器，再通过积分器最后输出“v_x”；积分通道二有4个输入端，分别为2个“-v_x”、1个“v_y”和1个“v_z”，先通过乘法器和忆阻器，再通过积分器最后输出“v_y”；积分通道三有3个输入端，分别为1个“-v_x”、1个“v_y”和1个“v_z”，通过乘法器和积分器最后输出“v_z”；积分通道四为图1方框中的忆阻器部分，其只有1个输入端“-v_x”，通过积分器输出“v_w”，再通过两个乘法器最后输出“-e(f+3gv_w ²)v_x”；运算放大器U1、U2、U3、U4和U5的同相输入端均接“地”。

积分通道一中，输入端“v_x”串联一个电阻R7接于运算放大器U1的反相输入端；U1的反相输入端和输出端之间并联电阻R8，此时输出端输出“-v_x”；U1的输出端和运算放大器U2的反相输入端之间串联一个电阻R1；输入端“v_y”和“v_z”经乘法器M1相乘后串联一个电阻R2接于运算放大器U2的反相输入端；U2的反相输入端和输出端之间并联电容C1，此时U2的输出端输出“v_x”；运算放大器U1和U2的同相输入端均接“地”。

积分通道二中，输入端“v_y”串联一个电阻R3接于运算放大器U3的反相输入端；输入端“-v_x”和“v_z”经乘法器M2相乘后串联一个电阻R4接于运算放大器U2的反相输入端；输入端“-v_x”串联一个忆阻器(即方框内电路)接于运算放大器U3的反相输入端；U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时U3的输出端输出“v_y”；运算放大器U3的同相输入端接“地”。

积分通道三中，输入端“v_z”串联一个电阻R5接于电容C3的一端，电容C3的另一端连接运算放大器U4的输出端；输入端“-v_x”和“v_y”经乘法器M3相乘后串联一个电阻R6接于运算放大器U4的反相输入端，此时U3的输出端输出“v_z”；运算放大器U4的同相输入端接“地”。

积分通道四(即方框中的忆阻器电路)中，输入端“-v_x”串联一个电阻Ra接于运算放大器U5的反相输入端；U5的反相输入端和输出端之间并联电容C4，此时U5的输出端输出“v_w”；U5的输出端“v_w”经乘法器Ma相乘作平方运算后输出“v_w ²”；“v_w ²”和“-v_x”经乘法器Mb相乘后串联电阻Rb接于运算放大器U3的反相输入端；输入端“-v_x”串联电阻Rc也接于运算放大器U3的反相输入端；U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时U3的输出端输出“v_y”；运算放大器U3的同相输入端接“地”。

所述的一种具有离散分岔图的混沌系统对应的电路如图1所示，系统方程含有三个状态变量x、y、z和w对应电路状态方程含有三个状态变量v_x、v_y、v_z和v_w。相比于一般的混沌系统，新系统结构简单，易于电路实现，且具有更加复杂的动力学特性，有较大的工程应用价值。

本发明提供一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统。主要思想为，在一个三维混沌系统的基础上引入一个忆阻器，将其改造为一个新的四维忆阻混沌系统，通过相轨图、Lyapunov指数谱和分岔图分析，研究了这个系统的混沌行为。分析表明新系统可以产生两种结构不同且沿第四轴平行分布的无限多共存吸引子，且其分岔图呈现出无限多离散的小线段的形式，此外还具有恒定的Lyapunov指数谱。

所述三维混沌系统所对应方程为：

其中a、b、c和d都是常数，x、y和z是状态变量。

在上述三维混沌系统中引入一个忆阻器，将其改造为一个四维忆阻混沌系统，改造后的四维混沌系统所对应方程为：

其中，e和h是两个正常数。W(w)是磁控忆阻模型的忆导函数，构建了电荷和磁通之间的关系，其表达式如下式所示。

W(w)＝f+3gw² (3)

其中，f和g是两个正实数，w是状态变量。

1、新系统的基本动力学分析

(1)对称性

对称性广泛存在于具有偶数个吸引子的混沌系统中。忆阻混沌系统(2)与原三维混沌系统(1)的对称性一致，即系统(2)在变换下保持不变性。这意味着状态空间中的吸引子必须相对于z轴对称。

(2)平衡点和稳定性

由式(2)可以看出提出的忆阻四翼混沌系统的平衡点仅取决于x，y和z，与w不相关。该系统具有一个线性平衡点：

O＝{(x,y,z,w)|x＝y＝z＝0,w＝k} (4)

其中k是任意常数。

将系统(2)在原点O线性化，可以得到其雅可比矩阵：

根据式(5)，系统的特征方程如式(6)所示。

λ(λ-a)(λ+c)(λ+d)＝0 (6)

由式(7)可以求出系统的特征根，如式(6)所示。

λ₁＝0,λ₂＝a,λ₃＝-c,λ₄＝-d (7)

当参数a，c和d都是正实数时，特征根λ₃和λ₄都为负，而特征根λ₂总为正。因此，该系统存在一个正实数根、一个零根和两个负实数根，即系统(2)具有不稳定的鞍点。

(3)耗散性

系统(2)的耗散性可以由式(8)所示。

当参数a、c和d满足a-c-d＜0时，系统(2)是耗散的。

2、系统的数值仿真

根据图1所示一种具有离散分岔图的多稳定性混沌电路,利用仿真软件平台,可以对由式(2)所描述的系统进行数值仿真分析。当系统参数a＝4，b＝6，c＝20，d＝5，e＝0.01，f＝1，3g＝0.1，h＝0.1时，设置初值为(1,y(0),0,0)，给出y(0)在[-10⁴,10⁴]区间内的分叉图和Lyapunov指数谱如图2所示。

初值分别设置为(1,1,0,0)，(1,±10,0,0)，(1,±30,0,0)，(1,±80,0,0)系统(2)可以产生七个不同的共存吸引子，如图3所示。其中，绿色对应初值(1,1,0,0)，蓝色和红色分别对应初值(1,10,0,0)，(1,-10,0,0)，粉色和青色分别对应初值(1,30,0,0)，(1,-30,0,0)，黄色和黑色分别对应初值(1,80,0,0)，(1,-80,0,0)。可以发现，系统的相轨图与上面的分叉图和Lyapunov指数谱具有良好的一致性。

3、系统的电路实现

(1)对多稳定性混沌系统进行变量比例压缩变换。电源的供电电压是±15V，运算放大器的饱和电压是±13.5V，乘法器的电压范围在±10V之间。混沌吸引子各变量的动态范围可能超出了元件的饱和电压。因此，将系统(2)状态变量压缩10倍，可以得到：

(2)对多稳定性混沌系统进行时间尺度变换，系统的无量纲方程可表示为：

(3)根据变换后的系统状态方程搭建电路，可以得到：

其中，v_x，v_y，v_z和v_w分别是各电容上的电压。对比式(10)和式(11)，可求出相应的电阻和电容表达式。C₁＝C₂＝C₃＝C₄＝C，R₁＝R/a，R₂＝R/10b，R₃＝R/c，R₄＝R/10，R₅＝R/d，R₆＝R/10，R_a＝R/h，R_b＝R/(e*3g*100)，R_c＝R/ef。

令R＝100kΩ和C＝10000nF。四维忆阻混沌系统的系统参数为a＝4，b＝6，c＝20，d＝5，e＝0.01，f＝1，3g＝0.1，h＝0.1，系统初值设置为(1,1,0,0)。因此，相应的电阻取值如下所示。R₁＝25kΩ，R₂＝1.67kΩ，R₃＝5kΩ，R₄＝10kΩ，R₅＝20kΩ，R₆＝10kΩ，R_a＝1000kΩ，R_b＝1000kΩ，R_c＝10000kΩ。电容C₁和C₂的初始电压设置为0.1V，其它电容初始电压保持为0V。值得注意的是，混沌系统状态变量压缩了10倍，系统的初始值也应压缩10倍。电路仿真结果图如图4所示。

综上所述，本发明公开了一种具有离散分岔图的多稳定性混沌电路。主要思想为，在一个三维混沌电路的基础上引入一个忆阻器，将其改造为一个新的四维忆阻混沌电路。电路由基于运算放大器与电阻或电容所构成的反向、加法和积分等运算模块，以及模拟乘法器模块组成。该电路在一定的系统参数下可以产生两种结构不同且沿第四轴平行分布的无限多共存吸引子，且具有恒定的Lyapunov指数谱和离散的分岔图。与一般混沌系统相比，其具有更加复杂的动力学特性。同时对研究共存多吸引子及其硬件电路实现有着重要的理论物理意义和工程应用价值。

Claims (1)

1.一种具有离散分岔图的多稳定性混沌系统，包括一个三维混沌系统和一个忆阻器，其特征在于，三维混沌系统所对应方程为：

其中，a、b、c和d都是常数；x、y和z是状态变量；

所述具有离散分岔图的多稳定性混沌系统的硬件电路结构包括积分通道一、积分通道二、积分通道三、积分通道四、运算放大器U1、U2、U3、U4和U5；

所述积分通道一有3个输入端，分别为1个“v_x”、1个“v_y”和1个“v_z”，输入端“v_x”串联一个电阻R7接于运算放大器U1的反相输入端，运算放大器U1的反相输入端和输出端之间并联电阻R8，运算放大器U1的输出端和运算放大器U2的反相输入端之间串联一个电阻R1，输入端“v_y”和“v_z”经乘法器M1相乘后串联一个电阻R2接于运算放大器U2的反相输入端，运算放大器U2的反相输入端和输出端之间并联电容C1，此时U2的输出端输出“v_x”；

所述积分通道二有4个输入端，分别为2个“-v_x”、1个“v_y”和1个“v_z”，输入端“v_y”串联一个电阻R3接于运算放大器U3的反相输入端，输入端“-v_x”和“v_z”经乘法器M2相乘后串联一个电阻R4接于运算放大器U2的反相输入端，输入端“-v_x”串联一个忆阻器接于运算放大器U3的反相输入端，运算放大器U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时运算放大器U3的输出端输出“v_y”；

所述积分通道三有3个输入端，分别为1个“-v_x”、1个“v_y”和1个“v_z”，输入端“v_z”串联一个电阻R5接于电容C3的一端，电容C3的另一端连接运算放大器U4的输出端，输入端“-v_x”和“v_y”经乘法器M3相乘后串联一个电阻R6接于运算放大器U4的反相输入端，此时运算放大器U3的输出端输出“v_z”；

所述积分通道四只有1个输入端“-v_x”，输入端“-v_x”串联一个电阻Ra接于运算放大器U5的反相输入端，运算放大器U5的反相输入端和输出端之间并联电容C4，此时运算放大器U5的输出端输出“v_w”；运算放大器U5的输出端“v_w”经乘法器Ma相乘作平方运算后输出“v_w ²”，“v_w ²”和“-v_x”经乘法器Mb相乘后串联电阻Rb接于运算放大器U3的反相输入端，输入端“-v_x”串联电阻Rc也接于运算放大器U3的反相输入端，运算放大器U3的反相输入端和输出端之间并联电容C2，此时运算放大器U3的输出端输出“v_y”；

所述运算放大器U1、U2、U3、U4和U5的同相输入端均接“地”；

所述具有离散分岔图的多稳定性混沌系统所对应方程为：

其中，e和h是两个正常数；W(w)是磁控忆阻模型的忆导函数，构建了电荷和磁通之间的关系，W(w)＝f+3gw²；f和g是两个正实数，w是状态变量。