CN104808180A - 杂波环境下mimo雷达稳健波形优化方法 - Google Patents

Abstract

杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化方法属于信号处理领域，该方法是：首先建立杂波场景下MIMO雷达接收信号模型，基于此模型推导需估计参数CRB，而后将初始参数估计不确定性凸集显式包含进波形优化问题，建立稳健波形优化模型；由于此最小最大问题为关于优化变量非常复杂的非线性问题，本发明采用迭代方法求解此问题；针对迭代的每一步，本发明都将之转化为SDP问题，从而可以获得高效求解，之后通过所提出的迭代算法来最优化波形协方差矩阵，进而提高杂波环境下最坏情况下的参数估计性能。相比较于非相关波形和非稳健方法，本发明有较好的稳健性，因而更贴近工程应用。

Description

杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，更进一步涉及波形优化技术领域的杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化的方法。

背景技术

近年来，多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)技术在通信和雷达领域引起了广泛的关注和研究，而波形优化是MIMO雷达的一个重要研究课题。根据波形优化问题中需要优化的信号模型不同，波形优化方法可以分为以下两类：(1)优化发射波形；(2)联合优化发射波形、接收权。对于前者，设计者通过优化波形协方差矩阵或者雷达模糊函数提高系统性能。对于后者，通过联合优化发射接收端以提高MIMO雷达综合性能。

在波形优化方法的研究过程中，之前的学者已取得了一些成就。J.Li等研究了点目标模型下基于克拉美罗界(CRB)的波形设计以提高参数估计性能的问题。杂波环境下，H.Y Wang等人考虑了目标先验信息确知条件下基于CRB的MIMO雷达波形与有偏估计量的联合优化问题。需要注意的是，这些方法中的波形优化问题都需要参数确知。然而，实际工程中，这些参数须通过估计得到，因而不可避免的存在估计误差。针对存在参数估计误差的情况，本发明提出了一种MIMO雷达的稳健波形优化方法，用于提高最坏情况下的波形参数估计性能。

通常，用于提高雷达性能的波形优化方法一般依赖于初始参数估计，比如目标位置、反射系数等。需要注意的是，实际工程中的参数估计都不可避免地存在估计误差，因此，这些参数都是不确定的。由此，基于估计参数优化波形得到的输出信干噪比(SINR)，即检测概率对估计误差和不确定性是比较敏感的。

发明内容

本发明目的在于克服上述已有技术的不足，提出一种杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化方法，通过迭代算法求解此优化问题，以减轻参数估计误差或不确定带来的系统灵敏度问题，从而提高最坏情况下的MIMO雷达波形优化参数估计性能。

实现本发明的基本思路是，首先建立显式包含参数不确定性的稳健波形优化模型，提出一种迭代算法以求解此稳健波形优化问题，而后针对迭代的每一步，利用凸松弛方法将此波形优化问题转化为半定规划问题以获得高效求解。迭代算法实现步骤：(1)初始化波形协方差矩阵、误差δ_k,γ_k；(2)求解波形协方差矩阵已知条件下半正定规划问题以获得最佳δ_k,γ_k；(3)求解参数估计误差已知条件下半正定规划问题以获得包含波形协方差矩阵的变量的最优解；(4)转到步骤(2)，直至CRB不再显著减少。在此之后，基于最小二乘方法，重构最优的波形协方差矩阵。

本发明杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化方法包括如下步骤：

步骤一、构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\θ}\right)a_c\left(\mathrm{\θ}\right)v_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{Sd\θ}+W$

其中，为正比于目标RCS的复幅度，为目标位置参数，K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知，为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

$v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{M_t}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和n＝1,2,…M_t为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量；

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个分辨单元，MIMO雷达接收信号模型可改写为

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+H_{c}S+W$

其中，表示杂波传递函数，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量；vec(H_c)为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为 可进一步表示为：其中， $V=[v_1,v_2,...,v_{N_C}],$ $v_i=v_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\⊗a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right),i=\mathrm{1,2},...,N_C,\mathrm{\Ξ}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\σ}}_1^2,{\mathrm{\σ}}_2^2,...,{\mathrm{\σ}}_{N_C}^2\},{\mathrm{\σ}}_i^2=E\left[\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right){\mathrm{\ρ}}^{*}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\right];$

步骤二、构建基于CRB的稳健波形优化模型

考虑未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T、条件下的CRB，经过推导，此CRB可表述如下：

$C=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]}^{-1}$

其中，

$F_{12}=\mathrm{diag}\left({\mathrm{\β}}^{*}\right)\left\{{(\stackrel{\·}{V}*A+V*\stackrel{\·}{A})}^H{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})(B*A)\right\}$

$F_{22}={(V*A)}^H{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_C})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})(V*A)$ R_S＝S^*S^T

式中，A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)],V＝[v(θ₁),v(θ₂),…,v(θ_K)],β＝[β₁,β₂,…,β_K]^T

$\stackrel{\·}{A}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right],\stackrel{\·}{V}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right]$

由上可知，CRB依赖于和V*A这两项；考虑到目标先验信息不准确情况下进行稳健波形优化，建模上述两项如下：

${\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k={\stackrel{\·}{V}}_k\⊗A_k+V_k\⊗{\stackrel{\·}{A}}_k+{\mathrm{\δ}}_k$

${\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k=V_k\⊗A_k+{\mathrm{\γ}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K$

其中，A_k表示A的第k列；和分别表示针对θ_k处目标的实际收发导向矢量；A_k和V_k分别表示导向矢量的估计值；和分别表示和的矢量微分；和分别表示A_k和V_k的矢量微分；δ_k和γ_k分别表示和的误差，分属如下凸集：

u₁＝{δ_k|||δ_k||_F≤ζ_k,k＝1,2,…,K},u₂＝{γ_k|||γ_k||_F≤τ_k,k＝1,2,…,K}

基于上面的论述，参数估计的稳健波形优化问题可以表述为：基于u₁、u₂，在关于WCM的约束下，优化WCM以最小化最坏情况下的CRB；在Trace-opt准则下，优化问题可以描述为：

其中，P表示总的发射功率；

步骤三、稳健波形内层优化问题的求解

内层优化问题的求解基于下述引理：

引理1、假设A为一个M×M的正半定厄米矩阵，则下面的不等式成立：有且仅有A是对角阵的时候等式成立；根据引理1，内层优化问题可以松弛为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left[2\mathrm{Re}\left(F\right)\right]}_{\mathrm{kk}}}\\ s.t.& {\mathrm{\δ}}_k\∈u_1,{\mathrm{\γ}}_k\∈u_2\end{array}---\left(1\right)$

根据Khatri-Rao积的定义，上式(1)可以重写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^{H}T({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^{H}T({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k\end{array}---\left(2\right)$

其中， $T={(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1});$

由上式(2)可知，和式中第k项的分母仅依赖于δ_k和γ_k两项，因此上式(2)中的问题等价于，在相应的约束下，最大化和式中的每一项，可表示为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \frac{1}{{\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^{H}T({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^{H}T({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}---\left(3\right)$

由于可知为不定矩阵，为求解上式(3)中的问题，分别对R_S和应用对角加载法，即：

其中，ε＜＜λ_max(R_S),为加载因子，λ_max(·)表示矩阵最大特征值，选择ε＝λ_max(R_S)/1000,分别用替换稳健优化问题中的R_S,可得 和分别对于δ_k和γ_k是凸的；

由此，上式(3)可以重写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\tilde{T}({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}---\left(4\right)$

其中， $\tilde{T}={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}){\tilde{R}}_{H_C})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1});$

上式(4)可以写成下面两个独立的最小化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k\end{array}---\left(5\right)$

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\tilde{T}({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k\end{array}---\left(6\right)$

式(5)和式(6)通过下面的引理求解：

引理2、假设厄米矩阵 $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$ 的则当且仅当时，其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补；

通过引用引理2，式(5)和式(6)转化为如下SDP问题：

其中，t为辅助变量；

将从式(7)和式(8)得到的和带入稳健优化问题中，考虑外部优化问题；

步骤四、稳健波形外部优化问题的求解

采用如下命题求解外部优化问题

命题：利用矩阵操作，稳健优化问题中的约束可等价为如下的线性矩阵不等式：

其中 $E={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}),\mathrm{\α}=\frac{1}{(\mathrm{LP}+\mathrm{\ϵ}){\mathrm{\λ}}_{\min }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)},$ $\mathrm{\β}=\frac{1}{\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)};$

使用引理2并结合上述命题，外层优化问题可表述为如下SDP问题：

其中，X是一个辅助变量；

步骤五、采用最小二乘法拟合波形协方差矩阵

当获得最优的E后，最小二乘意义下，R_S可通过如下模型构建：

上式(9)可等价为如下的SDP问题：

步骤六、采用迭代算法优化波形协方差矩阵

步骤6.1、初始化波形协方差矩阵、误差δ_k,γ_k；

步骤6.2、求解波形协方差矩阵已知条件下半正定规划问题以获得最佳δ_k,γ_k；

步骤6.3、求解参数估计误差已知条件下半正定规划问题以获得包含波形协方差矩阵的变量的最优解；

步骤6.4、重复步骤6.2和6.3，直至CRB不再显著减少为止；

步骤七、基于最小二乘方法，重构最优的波形协方差矩阵，可得R_S。

本发明的有益效果是：该方法可用于减轻波形优化方法对参数估计误差和不确定性敏感的问题。通过建立凸不确定参数模型，引入迭代算法优化波形协方差矩阵，从而实现最坏情况下的MIMO雷达稳健波形优化，进而使最坏情况下的参数估计性能得以提升，与非相关波形相比，该方法对最坏情况下的参数估计性能有明显的提升。

附图说明

图1为本发明实现的流程图；

图2为本发明的迭代算法的流程图；

图3为本发明在初始角度存在估计误差且阵列信噪比为10dB时的最优发射波束方向图；

图4为在初始角度存在估计误差情形下，本发明所提算法与非相关波形得到的随ANSR变化的CRB；

图5为本发明在阵列校准存在估计误差且阵列信噪比为10dB时的最优发射波束方向图；

图6为在阵列校准存在估计误差情形下，本发明所提算法与非相关波形得到的最坏情况下随ANSR变化的CRB。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述。

如图1所示，本发明的杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化方法包括如下步骤：

1、建立稳健波形优化问题模型

1)构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\θ}\right)a_c\left(\mathrm{\θ}\right)v_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{Sd\θ}+W$

其中，为正比于目标RCS(雷达横截面)的复幅度，为目标位置参数，两者都需要估计。K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知，为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

$v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{M_t}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和n＝1,2,…M_t为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量。

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个分辨单元，接收信号模型可以改写为

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+H_{c}S+W$

其中，表示杂波传递函数，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量。vec(H_c)可以考虑为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为 $R_{H_c}=E\left[\mathrm{vec}\left(H_c\right){\mathrm{vec}}^H\left(H_c\right)\right].$ 还可以进一步表示为：其中， $V=[v_1,v_2,...,v_{N_C}],v_i=v_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\⊗a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right),i=\mathrm{1,2},...,N_C,\mathrm{\Ξ}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\σ}}_1^2,{\mathrm{\σ}}_2^2,...,{\mathrm{\σ}}_{N_C}^2\},{\mathrm{\σ}}_i^2=E\left[\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right){\mathrm{\ρ}}^{*}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\right]$

2)CRB推导

考虑未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T、条件下的CRB，经过推导，此CRB可表述如下：

$C=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]}^{-1}$

其中，

$F_{12}=\mathrm{diag}\left({\mathrm{\β}}^{*}\right)\left\{{(\stackrel{\·}{V}*A+V*\stackrel{\·}{A})}^H{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})(B*A)\right\}$

$F_{22}={(V*A)}^H{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_C})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})(V*A)$ R_S＝S^*S^T

式中，A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)],V＝[v(θ₁),v(θ₂),…,v(θ_K)],β＝[β₁,β₂,…,β_K]^T

$\stackrel{\·}{A}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right],\stackrel{\·}{V}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right]$

3)构建基于CRB的稳健波形优化模型

明显地，CRB是关于θ、H_c、W的函数，而这些参数需通过估计得到，因而不可避免地存在估计误差。由此，利用基于此参数估计值的CRB进行波形优化得到的系统参数估计性能改善程度并不一定好。根据上面的推导，可以得出，CRB依赖于下面两项，即和V*A。考虑到目标先验信息不准确情况下进行稳健波形优化，本发明建模上述两项如下：

${\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k={\stackrel{\·}{V}}_k\⊗A_k+V_k\⊗{\stackrel{\·}{A}}_k+{\mathrm{\δ}}_k$

${\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k=V_k\⊗A_k+{\mathrm{\γ}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K$

其中，A_k表示A的第k列；和分别表示针对θ_k处目标的实际收发导向矢量；A_k和V_k分别表示导向矢量的估计值；和分别表示和的矢量微分；和分别表示A_k和V_k的矢量微分；δ_k和γ_k分别表示和的误差，分属如下凸集：

u₁＝{δ_k|||δ_k||_F≤ζ_k,k＝1,2,…,K},u₂＝{γ_k|||γ_k||_F≤τ_k,k＝1,2,…,K}

基于上述内容，参数估计的稳健波形优化问题可以表述为：基于u₁、u₂，在关于WCM的约束下，优化WCM以最小化最坏情况下的CRB。在Trace-opt准则下，优化问题可以描述为：

其中，P表示总的发射功率。

很明显，CRB矩阵的迹，即上式的目标函数，是一个关于R_S和δ_k,γ_k的非常复杂的非线性函数，利用诸如凸优化等传统方法非常难以解决。

2、稳健波形优化问题的求解

1)内层优化问题的求解

如上所述，优化问题的目标函数是非常复杂的非线性函数，难以利用传统的优化方法求解。为求解此问题，首先考虑内层优化问题。内层优化问题的求解基于下述引理：

引理1.假设A为一个M×M的正半定厄米矩阵，则下面的不等式成立：有且仅有A是对角阵的时候等式成立。根据引理1，内层优化问题可以松弛为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left[2\mathrm{Re}\left(F\right)\right]}_{\mathrm{kk}}}\\ s.t.& {\mathrm{\δ}}_k\∈u_1,{\mathrm{\γ}}_k\∈u_2\end{array}$

根据Khatri-Rao积的定义，上式可以重写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^{H}T({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^{H}T({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k\end{array}$

其中， $T={(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1}).$

由上式可知，和式中第k项的分母仅依赖于δ_k和γ_k两项，因此上式中的问题等价于，在相应的约束下，最大化和式中的每一项，可表示为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \frac{1}{{\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^{H}T({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^{H}T({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}$

需要注意的是，由于可知为不定矩阵，因此上式难以求解，为求解此问题，分别对R_S和应用对角加载法，即：

其中，ε＜＜λ_max(R_S),为加载因子，λ_max(·)表示矩阵最大特征值，下面仿真试验中，选择ε＝λ_max(R_S)/1000,分别用替换稳健优化问题中的R_S,可得很明显，和分别对于δ_k和γ_k是凸的。

由此，上式可以重写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\tilde{T}({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}$

其中， $\tilde{T}={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}){\tilde{R}}_{H_C})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}).$

类似的，上式可以写成下面两个独立的最小化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\·}{\tilde{V}}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\·}{\tilde{A}}}_k){\mathrm{\β}}_k\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k\end{array}$

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\tilde{T}({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k\end{array}$

以上两个问题可以通过下面的引理求解：

引理2.假设厄米矩阵 $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$ 的则当且仅当时，其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补。

通过引用引理2，以上两个问题可以很明显的转化为如下SDP问题：

其中，t为辅助变量。

将从以上两式得到的和带入稳健优化问题中，考虑外部优化问题。

2)外部优化问题的求解

本发明利用如下命题为求解外部优化问题

命题：利用矩阵操作，稳健优化问题中的约束可等价为如下的线性矩阵不等式：

其中 $E={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}),\mathrm{\α}=\frac{1}{(\mathrm{LP}+\mathrm{\ϵ}){\mathrm{\λ}}_{\min }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)},$ $\mathrm{\β}=\frac{1}{\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)}.$

使用引理2以及结合上述命题，外层优化问题可表述为如下SDP问题：

其中，X是一个辅助变量。

3)最小二乘意义下拟合波形协方差矩阵

当获得最优的E后，最小二乘意义下，R_S可通过如下模型构建：

类似于上述讨论，上式可等价为如下的SDP问题：

4)迭代算法

给定WCM初始值，δ_k,γ_k和R_S通过以下步骤进行优化：

①求解内层SDP问题获得最优δ_k,γ_k；

②求解外层SDP问题获得E；

重复步骤①、②，直到CRB不再显著减少。在此之后，基于最小二乘方法，重构最优的波形协方差矩阵，即可得R_S。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件：

MIMO雷达是3发3收，利用两个MIMO雷达系统，其天线配置分别是：MIMO雷达(0.5,0.5)、MIMO雷达(1.5,0.5)，这里括号内的数字表示发射器和接收器内的阵元间距(以波长为单位)，系统采样点数为256。阵列信噪比的定义为取值范围为-10dB到30dB。其中，P为总发射功率，为加性高斯白噪声方差。建模杂波为离散取样，其RCS建模为独立同分布的高斯随机变向量，均值为零，方差为i＝1,…,N_C，并假设相干处理间隔内固定。杂波信噪比定义为等于30dB。在-5°方向有一个强干扰，信噪比为60dB。仅在θ＝20°处有一个反射系数为1的点目标。在如下仿真中，假设两种情况，其一是只考虑初始角估计存在误差；其二是只考虑收发阵列中存在的校正误差。

仿真内容：

A：初始角度估计存在不确定的情况

假设初始角估计的不确定性为Δθ＝[-3°,3°]，即其中为θ的估计，经过计算，得到数据：MIMO(0.5,0.5)为ζ＝6.3549,τ＝2.8769，MIMO(1.5,0.5)为ζ＝27.4562,τ＝17.4527

图3为ASNR＝10dB条件下最优发射波束方向图。可以观察到，发射信号波束方向图的峰值位于目标位置周围，这意味着，在该凸不确定最坏情况下系统参数估计性能可得到改善。此外，由于稀疏发射阵列，MIMO雷达(1.5，0.5)会出现栅瓣情况，如图3(b)所示。

图4为由所提出算法以及不相关波形所得随ASNR变化的CRB。很明显，CRB随ASNR的增加而降低。此外，可以观察到，所提方法得到的最坏情况下参数估计性能优于不相关波形。而且，随着ASNR的增加，所提方法所得CRB渐近于不相关波形。另外，图4(b)所示MIMO雷达(1.5，0.5)的CRB明显低于图4(a)所示MIMO雷达(0.5，0.5)的CRB。

B：收发阵列存在校正误差的情况

在这种情况下，发射和接收阵列被假定为具有校正误差(传感器的幅度和相位误差以及位置误差)。发射和接收阵列导向矢量的每个元素被一个干扰变量所干扰，该干扰变量为零均值的循环对称复高斯随机变量，方差为计算后，得到MIMO(0.5，0.5)的ζ＝12.6573,τ＝7.2318，MIMO(1.5，0.5)的ζ＝30.2384,τ＝21.3825。

图5刻画了ASNR＝10dB得到的最佳发射波束方向图。从图5，我们可以得出相似于图3的结论。所提算法及不相关波形所得随ASNR变化的最坏情况下的CRB如图6所示，从图6中得到的结论类似于图4。

综上所述，本发明针对杂波场景下波形优化对初始参数估计误差敏感的问题，提出了一种基于对角加载迭代的稳健波形设计方法。为提高MIMO雷达系统的稳健性能，本发明将参数估计误差凸集显式地包含进波形优化问题中，为求解此非线性优化问题，本发明提出一种基于对角加载的迭代方法对发射波形以及参数估计误差进行交替优化，以得到最优的发射波形协方差矩阵。迭代的每一步都可基于对角加载松弛为半定规划问题，从而可以获得高效求解。因此，本发明所提方法可为工程应用中通过设计发射波形提高雷达参数估计的稳健性能提供坚实的理论与实现依据。

Claims (1)

1.杂波环境下MIMO雷达稳健波形优化方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

步骤一、构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)s+{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\θ}\right)a_c\left(\mathrm{\θ}\right)v_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{Sd\θ}+W$

其中，为正比于目标RCS的复幅度，为目标位置参数，K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知，为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},\·\·\·,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

$v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},\·\·\·,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和n＝1,2,…M_t为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量；

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个分辨单元，MIMO雷达接收信号模型可改写为

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+H_{c}S+W$

其中，表示杂波传递函数，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量；vec(H_c)为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为 可进一步表示为：其中， $V=[v_1,v_2,\·\·\·,v_{N_C}],$ $v_i=v_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\⊗a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right),i=\mathrm{1,2},\·\·\·,N_C,$ $\mathrm{\Ξ}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\σ}}_1^2,{\mathrm{\σ}}_2^2,\·\·\·,{\mathrm{\σ}}_{N_C}^2\},$ ${\mathrm{\σ}}_i^2=E\left[\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right){\mathrm{\ρ}}^{*}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\right];$

步骤二、构建基于CRB的稳健波形优化模型

考虑未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T、条件下的CRB，经过推导，此CRB可表述如下：

$C=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]}^{-1}$

其中，

$F_{12}=\mathrm{diag}\left({\mathrm{\β}}^{*}\right)\left\{{(\stackrel{.}{V}*A+V*\stackrel{.}{A})}^H{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})(V*A)\right\}$

$\begin{array}{cc}{F}_{22}={(V*A)}^H{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})(V*A)& R_S=S^{*}{S}^T\end{array}$

式中， $A=[a\left({\mathrm{\θ}}_1\right),a\left({\mathrm{\θ}}_2\right),\·\·\·,a\left({\mathrm{\θ}}_K\right)],V=[v\left({\mathrm{\θ}}_1\right),v\left({\mathrm{\θ}}_2\right),\·\·\·,v\left({\mathrm{\θ}}_K\right),\mathrm{\β}={[{\mathrm{\β}}_1,{\mathrm{\β}}_2,\·\·\·,{\mathrm{\β}}_K]}^T$

$\stackrel{.}{A}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& \·\·\·& \frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right],\stackrel{.}{V}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& \·\·\·& \frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right]$

由上可知，CRB依赖于和V*A这两项；考虑到目标先验信息不准确情况下进行稳健波形优化，建模上述两项如下：

${\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k={\stackrel{.}{V}}_k\⊗A_k+V_k\⊗{\stackrel{.}{A}}_k+{\mathrm{\δ}}_k$

${\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k=V_k\⊗A_k+{\mathrm{\γ}}_k,k=\mathrm{1,2},\·\·\·,K$

其中，A_k表示A的第k列；和分别表示针对θ_k处目标的实际收发导向矢量；A_k和V_k分别表示导向矢量的估计值；和分别表示和的矢量微分；和分别表示A_k和V_k的矢量微分；δ_k和γ_k分别表示和的误差，分属如下凸集：

基于上面的论述，参数估计的稳健波形优化问题可以表述为：基于在关于WCM的约束下，优化WCM以最小化最坏情况下的CRB；在Trace-opt准则下，优化问题可以描述为：

其中，P表示总的发射功率；

步骤三、稳健波形内层优化问题的求解

内层优化问题的求解基于下述引理：

引理1、假设A为一个M×M的正半定厄米矩阵，则下面的不等式成立：有且仅有A是对角阵的时候等式成立；根据引理1，内层优化问题可以松弛为：

根据Khatri-Rao积的定义，上式(1)可以重写为：

$\begin{array}{cc}\underset{\{{\mathrm{\δ}}_k{\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k)}^{H}T({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^{H}T({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|\mathrm{\γ}}_k{\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k\end{array}---\left(2\right)$

其中， $T={(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1});$

由上式(2)可知，和式中第k项的分母仅依赖于δ_k和γ_k两项，因此上式(2)中的问题等价于，在相应的约束下，最大化和式中的每一项，可表示为：

$\begin{array}{cc}\underset{\{{\mathrm{\δ}}_k{\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \frac{1}{{\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k)}^{H}T({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^{H}T({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|\mathrm{\γ}}_k{\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k,k=\mathrm{1,2},\·\·\·,K\end{array}---\left(3\right)$

由于可知为不定矩阵，为求解上式(3)中的问题，分别对R_S和应用对角加载法，即：

其中，ε＜＜λ_max(R_S),为加载因子，λ_max(·)表示矩阵最大特征值，选择ε＝λ_max(R_S)/1000,分别用替换稳健优化问题中的R_S,可得

${({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k)}^H\left({(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}){\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})\right)({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k)$ 和 ${({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\left({(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})\right)({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)$ 分别对于δ_k和γ_k是凸的；

由此，上式(3)可以重写为：

$\begin{array}{cc}\underset{\{{\mathrm{\δ}}_k{\}}_{k=1}^K,{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k){\mathrm{\β}}_k+{({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\tilde{T}({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k,{\left|\right|\mathrm{\γ}}_k{\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k,k=\mathrm{1,2},\·\·\·,K\end{array}---\left(4\right)$

其中， $\tilde{T}={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}){\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1});$

上式(4)可以写成下面两个独立的最小化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\δ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {\mathrm{\β}}_k^{*}{({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k+{\tilde{V}}_k\⊗{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{A}}_k){\mathrm{\β}}_k\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\δ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\ζ}}_k\end{array}---\left(5\right)$

$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\mathrm{\γ}}_k\right\}}_{k=1}^K}{\min }& {({\tilde{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)}^H\tilde{T}({\stackrel{\stackrel{.}{~}}{V}}_k\⊗{\tilde{A}}_k)\\ s.t.& {\left|\right|{\mathrm{\γ}}_k\left|\right|}_F\≤{\mathrm{\τ}}_k\end{array}---\left(6\right)$

式(5)和式(6)通过下面的引理求解：

引理2、假设厄米矩阵 $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$ 的则当且仅当时，其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补；

通过引用引理2，式(5)和式(6)转化为如下SDP问题：

其中，t为辅助变量；

将从式(7)和式(8)得到的和带入稳健优化问题中，考虑外部优化问题；

步骤四、稳健波形外部优化问题的求解

采用如下命题求解外部优化问题

命题：利用矩阵操作，稳健优化问题中的约束可等价为如下的线性矩阵不等式：

其中 $E={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}),$ $\mathrm{\α}=\frac{1}{(\mathrm{LP}+\mathrm{\ϵ}){\mathrm{\λ}}_{\min }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)},$ $\mathrm{\β}=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ\λ}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)};$

使用引理2并结合上述命题，外层优化问题可表述为如下SDP问题：

其中，X是一个辅助变量；

步骤五、采用最小二乘法拟合波形协方差矩阵

当获得最优的E后，最小二乘意义下，R_S可通过如下模型构建：

$R_S=\arg \underset{R_S}{\min }{\left|\right|{(E^{-1}-{\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}-{\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}\left|\right|}_F$

s.t.tr(R_S)＝LP

上式(9)可等价为如下的SDP问题：

步骤六、采用迭代算法优化波形协方差矩阵

步骤6.1、初始化波形协方差矩阵、误差δ_k,γ_k；

步骤6.2、求解波形协方差矩阵已知条件下半正定规划问题以获得最佳δ_k,γ_k；

步骤6.3、求解参数估计误差已知条件下半正定规划问题以获得包含波形协方差矩阵的变量的最优解；

步骤6.4、重复步骤6.2和6.3，直至CRB不再显著减少为止；

步骤七、基于最小二乘方法，重构最优的波形协方差矩阵，可得R_S。