TW201629577A

TW201629577A - 三維自由曲面的設計方法

Info

Publication number: TW201629577A
Application number: TW104108854A
Authority: TW
Inventors: 朱鈞; 楊通; 吳曉飛; 金國藩; 范守善
Original assignee: 鴻海精密工業股份有限公司
Priority date: 2015-02-05
Filing date: 2015-03-19
Publication date: 2016-08-16
Also published as: CN105988212B; TWI557435B; US20160232718A1; US10210289B2; CN105988212A

Abstract

本發明涉及一種三維自由曲面的設計方法，包括：建立一初始曲面；選取K條特徵光線；根據物像關係或光線映射關係及斯涅爾定律逐點求解每條特徵光線與待求的自由曲面的複數交點，進而得到複數特徵數據點；將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述待求的自由曲面，該待求的自由曲面的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；以及將得到的自由曲面作為初始結構，經過複數次迭代，直至所述K條特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點比較接近。

Description

三維自由曲面的設計方法

本發明涉及自由曲面設計領域，特別涉及一種基於逐點構建與迭代的三維自由曲面的設計方法。

自由曲面係指無法用球面或非球面係數來表示的非傳統曲面，通常係非回轉對稱的，結構靈活，變數較多，為光學設計提供了更多的自由度，可以大大降低光學系統的像差，減小系統的體積、重量與鏡片數量，可以滿足現代成像系統的需要，有著廣闊的發展應用前景。成像光學系統要實現視場大小與孔徑大小一定的成像，需要在成像系統設計中控制不同視場不同孔徑位置的光線。由於自由曲面有非對稱面並提供了更多的設計自由度，他們常被用在離軸非對稱系統中。

先前的三維自由曲面直接設計方法，在設計過程中通常只考慮數據點的坐標，而忽略了數據點的法向向量，導致自由曲面的面形不準確，而光線的折反射對曲面的法向向量十分敏感，因此先前的設計方法會降低自由曲面的光學性能；另外，先前的三維自由曲面設計方法一般係通過直接構建的方法得到自由曲面，由該方法得到的自由曲面成像品質也比較差，後續優化也十分困難甚至優化失敗。

有鑒於此，確有必要提供一種光學性能較好且擬合較精確的三維自由曲面的設計方法。

一種三維自由曲面的設計方法，包括以下步驟：步驟S1，建立一初始曲面以及一第一三維直角坐標系；步驟S2，選取K條特徵光線R_i (i = 1, 2, …, K)；步驟S3，根據物像關係或光線映射關係及斯涅爾定律逐點求解每條特徵光線與待求自由曲面的複數交點，進而得到複數特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)；步驟S4，在所述第一三維直角坐標系中，將該複數特徵數據點擬合成一球面，並將中心采樣視場主光線對應的特徵數據點定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，通過曲率中心和球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；步驟S5，將所述複數特徵數據點在第一三維直角坐標系中的坐標(x_i , y_i , z_i )和法向量(α_i , β_i , γ_i )分別變換為第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )，將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，將特徵數據點在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的坐標和法向量分別從坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )中除掉，得到殘餘坐標和殘餘法向量，將所述殘餘坐標和殘餘法向量進行曲面擬合得到一自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加得到待求自由曲面的方程式；以及步驟S6，將步驟S5中得到的待求自由曲面再次作為初始曲面，進行迭代過程，得到最終的自由曲面。

一種三維自由曲面的設計方法，包括以下步驟：步驟S1，建立一初始曲面以及一第一三維直角坐標系；步驟S2，選取K條特徵光線R_i (i = 1, 2, …, K)；步驟S3，根據物像關係或光線映射關係及斯涅爾定律逐點求解每條特徵光線與待求的自由曲面的複數交點，進而得到複數特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)；步驟S4，將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述待求的自由曲面，該待求的自由曲面的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；以及步驟S5，將步驟S4中得到的待求的自由曲面再次作為初始曲面，進行迭代過程，得到最終的自由曲面。

與先前技術相比，本發明提供的三維自由曲面的設計方法同時考慮了特徵數據點的坐標和法向量，使得到的三維自由曲面的面形更加準確；通過建立兩個三維直角坐標系，分別擬合二次曲面項和自由曲面項，符合成像系統光學設計中自由曲面的一般表達方式，同時使得擬合更精確；採用迭代的方式，使特徵光線與目標面實際相交於理想目標點，進而提高自由曲面的成像品質。

第1圖係本發明實施例提供的三維自由曲面設計方法流程圖。

第2圖係本發明實施例提供的三維自由曲面設計方法中每個視場的特徵光線選擇方法示意圖。

第3圖係本發明提供的求解特徵數據點時特徵光線起點與終點示意圖。

第4圖係採用本發明實施例提供的三維自由曲面的迭代方式。

下面根據說明書附圖並結合具體實施例對本發明的技術方案進一步詳細表述。

請參閱圖1，本發明實施例提供一種三維自由曲面的設計方法，該三維自由曲面的設計方法包括如下步驟：

步驟S1，建立一初始曲面；

步驟S2，選取K條特徵光線R_i (i = 1, 2, …, K)，並確立一目標面；

步驟S3，根據物像關係或光線映射關係及斯涅爾定律逐點求解每條特徵光線與待求的自由曲面的複數交點，進而得到複數特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)；

步驟S4，將該複數特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到所述待求的自由曲面，該待求的自由曲面的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；以及

步驟S5，將步驟S4中得到的待求的自由曲面再次作為初始曲面，進行迭代過程，得到最終的自由曲面。

步驟S1中，根據設計要求建立一第一三維直角坐標系。優選的，將光束傳播方向定義為z軸，垂直於z軸方向的平面為xoy平面。

所述初始曲面可以為平面、球面等，且所述初始曲面的具體位置可以根據光學系統的實際需要進行選擇。本實施例中，所述初始曲面為一平面。

在步驟S2中，所述K條特徵光線的選取可通過以下方法進行：

可以根據需求選取M個視場，並將每個視場的孔徑分成N等份，並從每一等份中選取不同孔徑位置的P條特徵光線，這樣一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。所述孔徑可以為圓形、長方形、正方形、橢圓形或其他規則或不規則的形狀。請參閱圖2，優選的，所述視場孔徑為圓形孔徑，將每個視場的圓形孔徑等分成N個角度，間隔為φ，因此有N=2π/φ，沿着每個角度的半徑方向取P個不同的孔徑位置，那麼一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。

在步驟S3中，請參閱圖3，為了得到一個待求自由曲面Ω上的所有特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)，可以借助特徵光線與待求自由曲面Ω的前一個曲面Ω'及後一個曲面Ω''的交點。將特徵光線與前一個曲面Ω'的交點定義為該特徵光線的起點S_i (i = 1, 2, …, K)，特徵光線與後一個曲面Ω''的交點定義為該特徵光線的終點E_i (i = 1, 2, …, K)。當待求自由曲面與特徵光線確定後，該特徵光線的起點係確定的，且易於通過光線追跡得到，特徵光線的終點可通過物像關係或光線映射關係求解。在理想狀態下，特徵光線從Ω'上的S_i 射出後，經過Ω上的P_i ，交於Ω''上的E_i ，並最終交目標面於理想目標點T_i,ideal 。如果Ω''係目標面，特徵光線的終點就係其目標點；如果在待求的自由曲面Ω和目標面之間還有其他面，特徵光線的終點係Ω''上從特徵數據點到其對應的目標點的光程的一階變分為零的點，即：

。

所述特徵數據點P_i (i=1,2…K)可以通過以下兩種計算方法獲得。

第一種計算方法包括以下步驟：

步驟S31，取定一第一條特徵光線R₁ 與所述初始曲面的第一交點為特徵數據點P₁ ；

步驟S32，在得到i(1≦i≦K－1)個特徵數據點P_i 後，根據斯涅爾定律的矢量形式求解該特徵數據點P_i 處的單位法向量；

步驟S33，過所述i(1≦i≦K－1)個特徵數據點P_i 分別做一第一切平面，得到i個第一切平面，該i個第一切平面與其餘K－i條特徵光線相交得到i×(K－i)個第二交點，從該i×(K－i)個第二交點中選取出與所述i(1≦i≦K－1)個特徵數據點P_i 距離最近的一個第二交點，作為所述待求的自由曲面的下一個特徵數據點P_i+1 ；

步驟S34，重複步驟S32和S33，直到計算得到所有特徵數據點P_i (i=1,2…K)。

步驟S32中，每個特徵數據點P_i 處的單位法向量可以根據斯涅爾（Snell）定律的矢量形式求解。當待求的自由曲面Ω為折射面時，則每個特徵數據點P_i (i=1,2…K)處的單位法向量滿足：

(1)

其中，、分別係沿着光線入射與出射方向的單位向量，n, n' 分別為待求的自由曲面Ω前後兩種介質的折射率。

類似的，當待求的自由曲面Ω為反射面時，則每個特徵數據點P_i (i=1,2…K)處的單位法向量滿足：

(2)

由於所述特徵數據點P_i (i=1,2…K) 處的單位法向量與所述特徵數據點P_i (i=1,2…K)處的切平面垂直。故，可以得到特徵數據點P_i (i=1,2…K) 處的切平面。

所述第一種計算方法的計算複雜度為:

，

當設計中採用的特徵光線的數量較多時，該方法需要較長的計算時間。

第二種計算方法包括以下步驟：

步驟S'31，取定一第一條特徵光線R₁ 與所述初始曲面的第一交點為特徵數據點P₁ ；

步驟S'32，在得到第i(1≦i≦K－1)個特徵數據點P_i 後，根據斯涅爾定律的矢量形式求解第i個特徵數據點P_i 處的單位法向量；

步驟S'33，僅過所述第i(1≦i≦K－1)個特徵數據點P_i 做一第一切平面並與其餘K－i條特徵光線相交，得到K－i個第二交點，從該K－i個第二交點中選取出與所述第i個特徵數據點P_i 距離最短的第二交點Q_i+1 ，並將其對應的特徵光線及與所述第i個特徵數據點P_i 的最短距離分別定義為R_i+1 和d；

步驟S'34，過特徵數據點P_i (1≦i≦K－1)之前已求得的i－1個特徵數據點分別做一第二切平面，得到i－1個第二切平面，該i－1個第二切平面與所述特徵光線R_i+1 相交得到i－1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的特徵數據點P_i 形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q_(i+1)' 和d_i' ；

步驟S'35，比較d_i 與d_i' ，如果d_i ≦d_i' ，則把Q_i+1 取為下一個特徵數據點P_i+1 ，反之，則把Q_(i+1)' 取為下一個特徵數據點P_i+1 ；以及

步驟S'36，重複步驟S'32到S'35，直到計算得到所有特徵數據點P_i 。

步驟S'32中，每個特徵數據點P_i 處的單位法向量的計算方法與所述第一種計算方法中相同。

所述第二種計算方法的計算複雜度為:

，

當設計中個採用的特徵光線的數量較多時，所述第二種計算方法明顯比第一種計算方法的計算複雜度小。優選的，採用所述第二種計算方法逐點求解特徵數據點P_i (i=1,2…K)。

步驟S4中，所述待求的自由曲面的方程式可表達為：

，

其中，係二次曲面項，c係二次曲面頂點處的曲率，k係二次曲面係數；係自由曲面項，A_j 係每項對應的係數，該自由曲面項可以為xy多項式項，Chebyshev多項式，或Zernike多項式項等。

將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)進行曲面擬合包括以下步驟：

S41：將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在所述第一直角坐標系中擬合成一球面，得到所述球面的曲率c及其對應的曲率中心(x_c , y_c , z_c )，

S42：將中心採樣視場主光線對應的特徵數據點(x_o , y_o , z_o )定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；

S43：將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第一三維直角坐標系中的坐標(x_i , y_i , z_i )及其對應的法向量(α_i , β_i , γ_i )變換為第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )及其法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )；

S44：根據所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )，以及步驟S42中求得的球面的曲率c，將特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及

S45：將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的坐標與法向量分別從坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )中排除掉，得到殘餘坐標與殘餘法向量，將該殘餘坐標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述待求的自由曲面的方程式。

通常的，光學系統關於三維直角坐標系的yoz面對稱，因此，步驟S41中，所述球面在第二三維直角坐標系yoz面內相對於在第一三維直角坐標系yoz面內的傾斜角θ為：

。

所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )與法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )與在第一三維直角坐標系中的坐標(x_i , y_i , z_i )和法向量(α_i , β_i , γ_i )的關係式分別為：

和

。

在第二三維直角坐標系中，將在二次曲面上的特徵數據點的坐標與法向量分別定義為(x'_i , y'_i , z'_is )和(α'_is , β'_is , γ'_is )。將法向量的z軸分量歸一化為－1。將在二次曲面上的特徵數據點坐標(x'_i , y'_i , z'_is )與法向量(α'_is , β'_is , γ'_is )分別從坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )除掉之後，得到殘餘坐標（x''_i , y''_i , z''_i ）與殘餘法向量(α''_s , β''_s , －1)分別為：

和

。

步驟S45中，所述將殘餘坐標與殘餘法向量擬合得到自由曲面項的步驟包括：

S451：在所述第二三維直角坐標系中，用排除掉二次曲面項的多項式曲面作為待構建自由曲面的面形描述，即

，

其中，g_j (x,y)為多項式的某一項，P=(p₁ ,p₂ ,…,p_j )^T 為係數集合；

S452：獲得殘餘坐標擬合誤差d₁ (P)，即所述殘餘坐標值（x''_i , y''_i , z''_i ）(i = 1, 2, …, n)與所述自由曲面在z軸方向殘餘坐標差值的平方和；以及殘餘法向向量擬合誤差d₂ (P)，即所述殘餘法向量N_i = (α''_i , β''_i , -1)(i = 1, 2, …, n) 與所述自由曲面法向量的向量差的模值的平方和，

；

，

其中，

,

，

；

S453：獲得評價函數：

，其中，w為權重且大於0；

S454：選擇不同的權重w，並令所述評價函數的梯度，從而獲得多組不同的P及其對應的複數自由曲面面形z = f (x, y; P)；以及

S455：獲得具有最佳的成像品質的最終自由曲面面形。

步驟S5中，所述迭代過程可以通過以下兩種方法進行：

第一種方法包括以下步驟：

將所述K條特徵光線與步驟S4中得到的待求的自由曲面的複數交點作為特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)，分別求解該特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)處的法向量，按照步驟S4中的方法將該複數特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到一個自由曲面，完成第一次迭代；將所述K條特徵光線與所述第一次迭代中得到的自由曲面的複數交點作為特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)，分別求解該特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)處的法向量，按照步驟S4中的方法將該複數特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到一個自由曲面，完成第二次迭代；以此類推，經過複數次迭代後，所述K條特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點比較接近，迭代過程完成。

第二種方法包括以下步驟：將步驟S4中得到的自由曲面作為初始曲面，重複步驟S3和S4，完成第一次迭代；將第一次迭代中得到的自由曲面作為初始曲面，重複步驟S3和S4，完成第二次迭代；以此類推，經過複數次迭代後，所述K條特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點比較接近，迭代過程完成。

優選的，所述迭代過程採用所述第一種方法進行，該方法比較簡單，且節省時間。

請參閱圖4，所述迭代可以採用正常迭代，負反饋，或逐步逼近等迭代方式。當採用正常迭代時，目標點T_i 為理想目標點T_i,ideal ，即T_i =T_i,ideal 。

當採用負反饋時，負反饋函數為：

，

其中，ε係負反饋係數，ε>0；T_i ^* 係本次迭代之前（上次迭代之後）特徵光線與目標面的實際交點；為負反饋閾值，>0，採用負反饋閥值有利於避免因T_i ^* 和T_i,ideal 差別太大，使T_i 變化較大而引起的迭代不穩定；負反饋迭代方式速度比較快。

當採用逐步逼近迭代方式時,

，

其中，ρ係逼近係數，ρ>0。逐步逼近迭代方式比較穩定。

相較於先前技術，本發明提供的三維自由曲面的設計方法具有以下優點，其一，同時考慮了特徵數據點的坐標和法向量，使得到的三維自由曲面的面形更加準確，且提高了自由曲面的光學性能；其二，通過建立兩個三維直角坐標系，在第一三維直角坐標系中擬合得到基底球面後，將特徵數據點的坐標和法向量變換到第二直角坐標系中的坐標和法向量，進而擬合得到待求的自由曲面，該擬合方法得到的曲面符合成像系統光學設計中自由曲面的一般表達方式，而且比較精確；其三，採用迭代的方式，使特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點比較接近，進而提高自由曲面的成像品質，方法簡單。

綜上所述，本發明確已符合發明專利之要件，遂依法提出專利申請。惟，以上所述者僅為本發明之較佳實施例，自不能以此限制本案之申請專利範圍。舉凡熟悉本案技藝之人士援依本發明之精神所作之等效修飾或變化，皆應涵蓋於以下申請專利範圍內。

無

Claims

一種三維自由曲面的設計方法，包括以下步驟：
步驟S1，建立一初始曲面以及一第一三維直角坐標系；
步驟S2，選取K條特徵光線R_i (i = 1, 2, …, K)；
步驟S3，根據物像關係或光線映射關係及斯涅爾定律逐點求解每條特徵光線與待求自由曲面的複數交點，進而得到複數特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)；
步驟S4，在所述第一三維直角坐標系中，將該複數特徵數據點擬合成一球面，並將中心采樣視場主光線對應的特徵數據點定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，通過曲率中心和球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；
步驟S5，將所述複數特徵數據點在第一三維直角坐標系中的坐標(x_i , y_i , z_i )和法向量(α_i , β_i , γ_i )分別變換為第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )，將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，將特徵數據點在第二直角坐標系中的二次曲面上的坐標和法向量分別從坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )中除掉，得到殘餘坐標和殘餘法向量，將所述殘餘坐標和殘餘法向量進行曲面擬合得到一自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加得到待求自由曲面的方程式；以及
步驟S6，將步驟S5中得到的待求自由曲面再次作為初始曲面，進行迭代過程，得到最終的自由曲面。
如請求項1所述之三維自由曲面的設計方法，其中，步驟S5中所述待求自由曲面的方程式為：
，
其中，係二次曲面項，c係二次曲面頂點處的曲率，k係二次曲面係數；係自由曲面項，A_j 係每項對應的係數。
如請求項1所述之三維自由曲面的設計方法，其中，所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )與法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )與在第一三維直角坐標系中的坐標(x_i , y_i , z_i )和法向量(α_i , β_i , γ_i )的關係式分別為：
和
，
其中，θ為所述二次曲面在第二直角坐標系的yoz面內相對於在第一直角坐標系的yoz面內的傾斜角，，y_o ，z_o 為中心採樣視場主光線對應的特徵數據點的坐標；y_c ，z_c 二次曲面頂點處曲率中心的坐標。
如請求項1所述之三維自由曲面的設計方法，其中，將在二次曲面上的特徵數據點在第二三維直角坐標系中的坐標與法向量分別定義為(x'_i , y'_i , z'_is )和(α'_is , β'_is , γ'_is )，將法向量的z軸分量歸一化為－1，則殘餘坐標（x''_i , y''_i , z''_i ）與殘餘法向量(α'_i , β''_i , －1)分別為：
和
。
如請求項1所述之三維自由曲面的設計方法，其中，步驟S5中，所述將殘餘坐標與殘餘法向量進行曲面擬合的步驟包括：
S51：在所述第二三維直角坐標系中，用排除掉二次曲面項的多項式曲面作為待構建自由曲面的面形描述，即
，
其中，g_j (x,y)為多項式的某一項，P=(p₁ ,p₂ ,…,p_j )^T 為係數集合；
S52：獲得殘餘坐標擬合誤差d₁ (P)，即所述殘餘坐標值（x''_i , y''_i , z''_i ）(i = 1, 2, …, n)與所述自由曲面在z'軸方向殘餘坐標差值的平方和；以及殘餘法向向量擬合誤差d₂ (P)，即所述殘餘法向量N_i = (α''_i , β''_i , -1)(i = 1, 2, …, n) 與所述自由曲面法向量的向量差的模值的平方和，
；
，
其中，
,
,
,
，
，
；
S53：獲得評價函數，其中，w為權重且大於0；
S54：選擇不同的權重w，並令所述評價函數的梯度，從而獲得多組不同的P及其對應的複數自由曲面面形z = f (x, y; P)；以及
S55：獲得具有最佳的成像品質的最終自由曲面面形。
如請求項1所述之三維自由曲面的設計方法，其中，所述迭代過程包括以下步驟：將所述K條特徵光線與步驟S5中得到的待求自由曲面的複數交點作為特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)，分別求解該特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)處的法向量，按照步驟S4和S5中的方法將該複數特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到一個自由曲面，完成第一次迭代；將所述K條特徵光線與所述第一次迭代中得到的自由曲面的複數交點作為特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)，分別求解該特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)處的法向量，按照步驟S4和S5中的方法將該複數特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到一個自由曲面，完成第二次迭代；以此類推，經過複數次迭代後，迭代過程完成。
如請求項1所述之三維自由曲面的設計方法，其中，所述迭代過程包括以下步驟：將步驟S5中得到的待求自由曲面作為初始曲面，重複步驟S3到S5，完成第一次迭代；將第一次迭代中得到的自由曲面再次作為初始曲面，重複步驟S3到S5，完成第二次迭代；以此類推，經過複數次迭代後，迭代過程完成。
一種三維自由曲面的設計方法，包括以下步驟：
步驟S1，建立一初始曲面以及一第一三維直角坐標系；
步驟S2，選取K條特徵光線R_i (i = 1, 2, …, K)；
步驟S3，根據物像關係或光線映射關係及斯涅爾定律逐點求解每條特徵光線與待求的自由曲面的複數交點，進而得到複數特徵數據點P_i (i = 1, 2, …, K)；
步驟S4，將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述待求的自由曲面，該待求的自由曲面的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；以及
步驟S5，將步驟S4中得到的待求的自由曲面再次作為初始曲面，進行迭代過程，得到最終的自由曲面。
如請求項8所述之三維自由曲面的設計方法，其中，將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)進行曲面擬合包括以下步驟：
S41：將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在所述第一三維直角坐標系中擬合成一球面，得到所述球面的曲率c及其對應的曲率中心(x_c , y_c , z_c )，
S42：將中心採樣視場主光線對應的特徵數據點(x_o , y_o , z_o )定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；
S43：將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第一三維直角坐標系中的坐標(x_i , y_i , z_i )及其對應的法向量(α_i , β_i , γ_i )變換為第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )及其法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )；
S44：根據所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'_i , y'_i , z'_i )，以及步驟S42中求得的球面的曲率c，將特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及
S45：將所述複數特徵數據點P_i (i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的坐標與法向量分別從坐標(x'_i , y'_i , z'_i )和法向量(α'_i , β'_i , γ'_i )中排除掉，得到殘餘坐標與殘餘法向量，將該殘餘坐標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述待求的自由曲面的方程式。
如請求項8所述之三維自由曲面的設計方法，其中，所述迭代過程包括以下步驟：將所述K條特徵光線與步驟S5中得到的待求自由曲面的複數交點作為特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)，分別求解該特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)處的法向量，按照步驟S4和S5中的方法將該複數特徵數據點P'_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到一個自由曲面，完成第一次迭代；將所述K條特徵光線與所述第一次迭代中得到的自由曲面的複數交點作為特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)，分別求解該特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)處的法向量，按照步驟S4和S5中的方法將該複數特徵數據點P''_i (i = 1, 2, …, K)進行曲面擬合，得到一個自由曲面，完成第二次迭代；以此類推，經過複數次迭代後，迭代過程完成。