TWI639930B - 混合表面光學系統的設計方法 - Google Patents

Abstract

本發明涉及混合表面光學系統的設計方法，建立初始系統，選K條特徵光線；求其中m條特徵光線與球面a的交點，得到m個特徵數據點，擬合得到球面Am；求第m+1個特徵數據點，擬合得到球面Am+1；以此類推，求第K個特徵數據點，將K個特徵數據點擬合得到球面a；以此類推，獲得所有球面；將K條特徵光線與球面a的交點作為K個特徵數據點；擬合得到非球面b；以此類推，獲得所有非球面；將K條特徵光線與非球面b的交點作為K個特徵數據點；擬合得到待求自由曲面c；以此類推，獲得所有自由曲面。

Description

混合表面光學系統的設計方法

本發明涉及光學領域，尤其涉及一種全視場的、基於逐點構建的混合表面光學系統的設計方法。

在滿足光學系統性能指標要求的情況下，使用簡單的曲面如球面和非球面代替複雜的曲面如自由曲面來設計光學系統，可以減小成本和降低加工檢測的難度。混合表面光學系統的每個表面可以有不同的選擇，例如：球面、非球面和自由曲面，因此，混合表面光學系統相對於自由曲面光學系統成本較低且加工檢測的難度小。

然而，先前的混合表面光學系統的設計方法是通過近軸光學理論求解得到同軸球面系統，然後在後續優化過程中將同軸球面系統轉化為離軸混合表面光學系統，該設計方法得到的混合表面光學系統與理想系統的誤差較大。

有鑑於此，確有必要提供一種混合表面光學系統的設計方法，該設計方法得到的混合表面光學系統與理想系統的誤差較小。

一種混合表面光學系統的設計方法，其包括以下步驟：S1：建立一第一初始系統，該第一初始系統包括多個初始曲面，且該第一初始系統中的一個初始曲面對應待設計混合表面光學系統中一個曲面，選取來自不同視場不同孔徑的K條特徵光線；S2：在所述第一初始系統的基礎上求解一球面光學系統，具體地，將該球面光學系統中的一個待求球面定義為球面a，保持該多個初始曲面不變，逐點求解K條特徵光線中的m條特徵光線與球面a的m個交點，得到m個第一特徵數據點，m<K，將m個第一特徵數據點擬合得到初始球面Am；根 據初始球面Am得到第m+1個第一特徵數據點P_m+1，將m+1個第一特徵數據點擬合得到球面Am+1；以此類推，重複求特徵數據點-球面擬合的過程，直到求解得到第K個第一特徵數據點PK，將K個第一特徵數據點擬合得到球面AK，該球面AK為球面a；以此類推，直到獲得該球面光學系統中的所有球面；S3：將待設計混合表面光學系統中的一個待求非球面定義為非球面b，以所述球面光學系統作為第二初始系統，保持球面光學系統中的多個球面不變，將K條特徵光線與所述球面a的K個交點作為K個第二特徵數據點；將該K個第二特徵數據點進行曲面擬合，得到非球面b；以此類推，直到獲得待設計混合表面光學系統中所有的待求非球面，進而得到一擁有球面和非球面的第一混合表面光學系統；S4：將待設計混合表面光學系統中的一個待求自由曲面定義為自由曲面c，以所述第一混合表面光學系統作為第三初始系統，保持該第一混合表面光學系統中的非球面不變，將K條特徵光線與非球面b的K個交點作為K個第三特徵數據點；將該K個第三特徵數據點進行曲面擬合，得到待求自由曲面c；以此類推，直到獲得待設計混合表面光學系統中所有的待求自由曲面，進而得到待設計的混合表面光學系統。

與先前技術相比，本發明提供的混合表面光學系統的設計方法，直接在離軸狀態下，通過逐點構建的方法求解未知曲面上的特徵數據點，並將特徵數據點擬合得到混合表面光學系統中的曲面。該方法可以避免先前技術在計算過程中將混合表面光學系統從同軸轉化為離軸產生的誤差，進而使得到的混合表面光學系統與理想系統的誤差較小。而且該方法更具有通用性，對設計人員的經驗要求不高。

第7圖

100‧‧‧混合表面離軸三反光學系統

120‧‧‧主鏡

140‧‧‧次鏡

160‧‧‧三鏡

180‧‧‧圖像感測器

圖1為本發明實施例提供的求解特徵數據點時特徵光線起點與終點示意圖。

圖2為本發明實施例提供的全域坐標系與第一局部坐標系的位置關係圖。

圖3為本發明實施例提供的求解中間點G_m的示意圖。

圖4為本發明實施例提供的求解第m+1個第一特徵數據點P_m+1的示意圖。

圖5為本發明實施例求解球面三反光學系統的示意圖。

圖6為本發明實施例提供的確定第一局部坐標系參數取值的示意圖。

圖7為本發明實施例提供的混合表面離軸三反光學系統的示意圖。

圖8為本發明實施例提供的的混合表面離軸三反光學系統的各鏡面之間的位置關係。

圖9為本發明實施例提供的混合表面離軸三反光學系統的RMS彌散斑直徑示意圖。

圖10為本發明實施例提供的優化後的混合表面離軸三反光學系統的光路示意圖。

圖11為本發明實施例提供的優化後的混合表面離軸三反光學系統的MTF曲線。

圖12為本發明實施例提供的優化後的混合表面離軸三反光學系統的RMS波前誤差示意圖。

下面將結合附圖及具體實施例，對本發明作進一步的詳細說明。

一種混合表面光學系統的設計方法，其包括以下步驟：S1：建立一第一初始系統，該第一初始系統包括多個初始曲面，且該第一初始系統中的一個初始曲面對應待設計混合表面光學系統中一個曲面，選取來自不同視場不同孔徑的K條特徵光線；S2：在所述第一初始系統的基礎上求解一球面光學系統，具體地，將該球面光學系統中的一個待求球面定義為球面a，保持該多個初始曲面不變，逐點求解K條特徵光線中的m條特徵光線與球面a的m個交點，得到m個第一特徵數據點，m<K，將m個第一特徵數據點擬合得到初始球面A_m；根據初始球面A_m得到第m+1個第一特徵數據點P_m+1，將m+1個第一特徵數據點擬合得到球面A_m+1；以此類推，重複求特徵數據點-球面擬合的過程，直到求解得到第K 個第一特徵數據點P_K，將K個第一特徵數據點擬合得到球面A_K，該球面A_K為球面a；以此類推，直到獲得該球面光學系統中的所有球面；S3：將待設計混合表面光學系統中的一個待求非球面定義為非球面b，以所述球面光學系統作為第二初始系統，保持球面光學系統中的多個球面不變，將K條特徵光線與所述球面a的K個交點作為K個第二特徵數據點；將該K個第二特徵數據點進行曲面擬合，得到非球面b；以此類推，直到獲得待設計混合表面光學系統中所有的待求非球面，進而得到一擁有球面和非球面的第一混合表面光學系統；S4：將待設計混合表面光學系統中的一個待求自由曲面定義為自由曲面c，以所述第一混合表面光學系統作為第三初始系統，保持該第一混合表面光學系統中的非球面不變，將K條特徵光線與非球面b的K個交點作為K個第三特徵數據點；將該K第三特徵數據點進行曲面擬合，得到待求自由曲面c；以此類推，直到獲得待設計混合表面光學系統中所有的待求自由曲面，進而得到待設計的混合表面光學系統。

步驟S1中，所述初始系統的建立以消除遮攔為前提。所述多個初始曲面可以為平面、球面等。本實施例中，所述初始系統包括三個初始平面，該三個初始平面分別是主鏡初始平面、次鏡初始平面以及三鏡初始平面，所述主鏡初始平面，次鏡初始平面以及三鏡初始平面均為具有偏心和傾斜的平面。

所述選取來自不同視場不同孔徑的K條特徵光線R_i(i=1,2...K)可通過以下方法進行：根據需求選取M個視場，將每個視場的孔徑分成N等份，並從每一等份中選取不同孔徑位置的P條特徵光線，這樣一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。所述孔徑可以為圓形、長方形、正方形、椭圓形或其它規則或不規則的形状。優選的，所述視場孔徑為圓形孔徑，將每個視場的圓形孔徑等分成N個角度，間隔為φ，因此有N=2π/φ，沿着每個角度的半徑方向取P個不同的孔徑位置，那麼一共選取K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。本實施例中，共選取14個離軸視場，該14個離軸視場分別為(0°,-16°)、(0°,-15°)、(0°,-14°)、(0°,-13°)、(0°,-12°)、(0°,-11°)、(0°,-10°)、(1.5°,-16°)、(1.5°,-15°)、(1.5°,-14°)、(1.5°,-13°)、(1.5°,-12°)、(1.5°,-11°)、(1.5°,-10°)，每個離軸視場取112條特徵光線，因此共選取了1568條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。

請參閱圖1，將特徵光線R_i(i=1,2...K)與待求球面Ω的交點定義為第一特徵數據點P_i(i=1,2,......K)。為了得到一個待求球面Ω上的所有第一特徵數據點，將借助特徵光線R_i(i=1,2…K)與待求球面Ω的前一個曲面Ω'及後一個曲面Ω"的交點。在求解每條特徵光線R_i(i=1,2…K)對應的待求球面Ω上的第一特徵數據點时，將該特徵光線R_i與前一個曲面Ω'的交點定義為該特徵光線的起點S_i，特徵光線R_i與後一個曲面Ω"的交點定義為該特徵光線的終點E_i。當待設計的系統與特徵光線确定後，該特徵光線R_i的起點S_i是確定的，且易於通過光線追跡即物像關係得到，特徵光線的終點E_i可通過物像關係求解。在理想狀態下，特徵光線R_i從Ω'上的S_i射出後，經過Ω上的P_i，交於Ω"上的E_i，並最終匯聚於理想像點I_i。本實施例中，當待求球面Ω為三鏡時，特徵光線與次鏡和像面的交點分别定義為特徵光線的起點S_i和終點E_i，E_i即為理想像點I_i。當待求球面Ω為次鏡时，特徵光線與主鏡和三鏡的交點分别為特徵光線的起點S_i和終點E_i，根據費馬原理可以得到E_i為三鏡上使P_i-E_i-像點I_i之間光程最短的點。當待求球面為主鏡时，根據費馬原理可以得到E_i為次鏡上使P_i-E_i-F_i-I_i之間光程最短的點。

步骤S2中，m的取值可以由設計者決定，選取原則是能夠保證球面擬合的準確性。優選的，m的值可以大於K/3小於2K/3。如果m的值太小，擬合誤差會比較大；如果m值太大，則後續的特徵數據點比較少，不利於誤差的進一步減小。更優選的，m的值越靠近K/2越好。本實施例中，所述m的取值為K/2=784。

所述球面a上的m個第一特徵數據點(P₁,P₂,......P_m)的計算方法包括以下步驟：步驟a，取定一第一條特徵光線R₁與所述球面a對應的初始曲面的第一交點為第一特徵數據點P₁；步驟b，在得到第i(1≦i≦m-1)個第一特徵數據點P_i後，根據斯涅爾定律 的向量形式求解第i個第一特徵數據點P_i處的單位法向量，進而求得P_i 處的單位切向量； 步驟c，僅過所述第i(1≦i≦m-1)個第一特徵數據點P_i做一第一切平面並與其餘m-i條特徵光線相交，得到m-i個第二交點，從該m-i個第二交點中 選取出與所述第i個第一特徵數據點P_i距離最短的第二交點Q_i+1，並將其對應的特徵光線及與所述第i個第一特徵數據點P_i的最短距離分別定義為R_i+1和D；步驟d，過第一特徵數據點P_i(1≦i≦m-1)之前已求得的i-1個第一特徵數據點分別做一第二切平面，得到i-1個第二切平面，該i-1個第二切平面與所述特徵光線R_i+1相交得到i-1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的第一特徵數據點P_i形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q_(i+1)'和D_i'；步驟e，比較D_i與D_i'，如果D_i≦D_i'，則把Q_i+1取為下一個第一特徵數據點P_i+1，反之，則把Q_(i+1)'取為下一個第一特徵數據點P_i+1；以及步驟f，重複步驟b到e，直到計算得到球面a上的m個第一特徵數據點P_i(i=1,2…m)。

步驟b中，每個第一特徵數據點P_i(P₁,P₂,……P_m)處的單位法 向量可以根據斯涅爾(Snell)定律的向量形式求解。當待求球面Ω為折 射面時，則每個第一特徵數據點P_i(i=1,2…m)處的單位法向量滿足： 其中，、分別是沿著光線入射與出射方向 的單位向量，n,n'分別為待求球面Ω前後兩種介質的折射率。

類似的，當待求球面Ω為反射面時，則每個第一特徵數據點P_i (i=1,2…m)處的單位法向量滿足：

請參閱圖2，將所述第一初始系統所在的空間定義一全域坐標系。其中，將光束傳播方向定義為z軸，垂直於z軸方向的平面為xy平面。

所述第一特徵數據點P_m+1的求解包括以下步驟：首先，請參閱圖3，計算一中間點G_m。具體地，請參閱圖3，求解第一特徵數據點P_m處的切平面T_m，該切平面T_m與初始球面A_m相交得到相貫線L_m；在全域坐標系中，在所述相貫線L_m上，與所述第一特徵數據點P_m的x坐標相同的點即為中間點G_m。

其次，求解第一特徵數據點P_m+1，特徵數據點P_m+1為其對應的特徵光線和距離最近的已知的m個第一特徵數據點(P₁,P₂,……P_m)的切平面的交點。請參閱圖4，具體包括以下步驟：第一步，找到第一特徵數據點P_m+1對應的特徵光線，即，在剩餘的K-m條特徵光線中找到距離中間點G_m最近的特徵光線。具體地，中間點G_m位於初始球面A_m上，所以根據球面運算式，可以求得中間點G_m在初始球面A_m處的法向n_m，進而得到中間點G_m在初始球面A_m處的切平面；將中間點G_m的切平面與剩餘K-m條特徵光線相交，得到K-m個交點，從該K-m個交點中，找到與中間點G_m距離最近的交點P_m ^'，該交點P_m'所在的光線即為第一特徵數據點P_m+1對應的特徵光線R_m+1；第二步，特徵光線R_m+1與已經求得的m個第一特徵數據點P_i(1≦i≦m)和中間點G_m的切平面相交，對應得到m+1個交點P'_i(1≦i≦m)和G'_m。從m+1個第一特徵數據點/中間點-交點對中找到距離最短的一對(F-F')，其中的第一特徵數據點/中間點F為距離第一特徵數據點P_m+1最近的點，交點F'即為下一個第一特徵數據點P_m+1。

所述第一特徵數據點P_K的求解方法與所述特徵數據點P_m+1的求解方法相同。在此不再一一贅述。

所述將m個第一特徵數據點擬合得到初始球面A_m；將m+1個第一特徵數據點擬合得到球面A_m+1；以及將K個第一特徵數據點擬合得到球面A_K均採用最小二乘法来進行擬合。

所述第一特徵數據點的坐標為(x_i,y_i,z_i)，對應的法向量為(u_i,v_i,-1)。設球心為(A,B,C)，半徑為r，球面的方程為：(x _i -A)²+(y _i -B)²+(z _i -C)²=r ²(1)。

將球面的方程(1)分別對x和y進行求導得到x軸和y軸方向的法向向量u_i和v_i運算式，

將式(1)、(2)、(3)改寫成矩陣的形式，並進行矩陣的行列變換，分別對應得到通過坐標值和法向值求解圓心坐標的運算式(4)、(5)、(6)，

球面上光線的偏折方向與其法向量(u,v,-1)密切相關，因此，在擬合過程中應該同時考慮第一特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響。根據以上分析，將坐標計算和法向計算進行線性加權來求解球心(A,B,C)和半徑r，式(4)+ω×式(5)+ω×式(6) (7)，式(1)+ω×式(2)+ω×式(3) (8)，其中，ω為法向計算的權重值。通過公式(7)可以求得球心(A,B,C)的值，通過公式(8)可以求得球面半徑r的值。

得到所述球面a後，可進一步改變該球面a的半徑得到球面a'，進而改變該球面a的光焦度，優選的，r_a’=ε_a×r_a，ε_a=0.5~1.5，r_a為球面a的半徑，r_a’為球面a'的半徑。以此類推，所述球面光學系統中的每個球面求解之後，均改變該球面的半徑得到一個新的球面，進而改變該球面的光焦度。請參閱圖5，本實施例中，首先按照所述步驟S2中的計算方法得到球面C，改變球面C的半徑 得到球面C'；保持主鏡初始平面與球面C'不變，計算得到球面B，改變球面B的半徑得到球面B'，保持球面B'與球面C'不變，計算得到球面A，改變球面A的半徑得到球面A'，進而得到一球面三反光學系統。

步驟S3中，非球面上特徵光線的偏折方向與其法向N=(U,V,-1)密切相關，如果法向擬合的誤差較大，特徵光線的傳播路徑將偏離預期，成像品質會受到很大的影響。優選的，在將該K個第二特徵數據點進行曲面擬合的過程中同時考慮第二特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響，根據物像關係分別求解K個第二特徵數據點處的單位法向量；將該K第二特徵數據點的坐標和法向進行曲面擬合。

求解K個第二特徵數據點處的單位法向量的方法與步驟S2中求解 每個第一特徵數據點P_i(P₁,P₂,……P_m)處的單位法向量的方法相同，在 此不再一一贅述。

以非球面b的頂點(0,a',b')為原點，非球面b的對稱軸為z軸建立第一局部坐標系。所述全域坐標系與第一局部坐標系之間的旋轉角度為θ。所述第一局部坐標系的位置由參數a'、b'、θ描述。

將坐標誤差和法向誤差進行線性加權，提出誤差評價函數J：J=Σ(Z-z)²+ω×Σ(U-u)²+ω×Σ(V-v)²=(z-A ₁ P) ^T (z-A ₁ P)+ω(u-A ₂ P) ^T (v-A ₂ P)+ω(v-A ₃ P) ^T (v-A ₃ P) (10)，其中，Z為擬合得到的坐標值；(U,V,-1)為擬合得到的法向量；z為第二特徵數據點的坐標值；(u,v,-1)為第二特徵數據點的法向量；ω為法向誤差的權重值；P為待求非球面b的係數矩陣(A,B,C,D)；A₁為矩陣(r²,r⁴r⁶r⁸)；A₂和A₃分別是A₁對x和y求偏導數後得到的矩陣。

當誤差評價函數J最小時，待求非球面b的係數矩陣P的求解公式為：P=(A ₁ ^T A ₁+ωA ₂ ^T A ₂+ωA ₃ ^T A ₃)^-1(A ₁ ^T z+ωA ₂ ^T u+ωA ₃ ^T v) (11)。

具體地，所述將該K個第二特徵數據點進行擬合得到非球面b包括以下步驟：S31：將所述K個第二特徵數據點在全局坐標系中的坐標(x₀,y₀,z₀)及其对應對應的法向量(α₀,β₀,γ₀)變換為第一局部坐標系中的坐標(x,y,z)及其法向量(α,β,γ)；以及 S32：在所述第一局部坐標系xyz中，進行最小二乘法擬合。

步骤S31中，所述K個第二特徵數據點在全局坐標系中的坐標(x₀,y₀,z₀)及其對應的法向量(α₀,β₀,γ₀)與在第一局部坐標系中的坐標(x,y,z)及其對應的法向量(α,β,γ)的關係式分別為：

其中，通過在第二特徵數據點附近採用局部搜索演算法得到多個第一局部坐標系位置，從中選擇令擬合誤差最小的一個第一局部坐標系的z軸作為非球面b的對稱軸。

請參閱圖6，當將所述K個第二特徵數據點(P₁,P₂,……P_k)進行擬合得到非球面b時，需要確定第一局部坐標系的位置。非球面頂點坐標(0,a',b')的值通過在以第二特徵數據點P₁和P_k的連線為對角線的矩形內採用局部搜索算法得到。具體地，在以第二特徵數據點P₁和P_k的連線為對角線的矩形內進行網格劃分，網格節點定義為非球面b的頂點坐標(0,a',b')的值，網格大小為(0,a',b')取值的步長。本實施例中，所述網格的步長為0.2mm。對於每個節點坐標(0,a,b)，旋轉角θ可以取[-π,π]，用这種方法可以得到多组a'、b'、θ的值，對應多個第一局部坐標系位置。

對所述多組a'、b'、θ的值，分別對應不同的第一局部坐標系位置繼續進行最小二乘法擬合計算，可以得到對應的係數矩陣P和誤差評價函數J。找到令J值最小的一組a'、b'、θ即為最佳第一局部坐標系位置參數，採用該最佳第一局部坐標系位置參數建立所述第一局部坐標系xyz。

將對應的係數矩陣P帶入非球面運算式：

得到非球面b。其中，L為r的8次以上的更高次項，由於次數太高在加工中比較困難，所以在實際計算中L項直接省略。

步驟S4中，在將該K個第三特徵數據點進行曲面擬合的過程中優選同時考慮第三特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響，根據物像關係分別求解K個第三特徵數據點處的單位法向量；將該K個第三特徵數據點的坐標和法向進行曲面擬合。

求解K個第三特徵數據點處的單位法向量的方法與步驟S2中求解 每個第一特徵數據點P_i(P₁,P₂,……P_m)處的單位法向量的方法相同，在 此不再一一贅述。

將所述自由曲面c上的多個第三特徵數據點進行曲面擬合包括以下步驟：S41：將所述多個第三特徵數據點在所述全域坐標系中擬合成一球面，得到該球面的曲率c及其對應的曲率中心(x_c,y_c,z_c)，S42：將中心採樣視場主光線對應的第三特徵數據點(x_o,y_o,z_o)定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為z軸，建立一第二局部坐標系；S43：將所述多個第三特徵數據點在全域坐標系中的坐標(x_i,y_i,z_i)及其對應的法向量(α_i,β_i,γ_i)變換為第二局部坐標系中的坐標(x'_i,y'_i,z'_i)及其法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)；S44：根據所述多個第三特徵數據點在第二局部坐標系中的坐標(x'_i,y'_i,z'_i)，以及步驟S42中求得的球面的曲率c，將多個第三特徵數據點在第二局部坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及S45：將所述多個第三特徵數據點在第二局部坐標系中的二次曲面上的坐標與法向量分別從坐標(x'_i,y'_i,z'_i)和法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)中排除掉，得到殘餘坐標與殘餘法向量，將該殘餘坐標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述自由曲面c的方程式。

通常的，光學系統關於三維直角坐標系的yoz面對稱，因此，步驟S41中，所述球面在第二局部坐標系yoz面內相對於在全域坐標系yoz面內的傾斜角θ為：

所述多個第三特徵數據點在第二局部坐標系中的坐標(x'_i,y'_i,z'_i)與法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)與在全域坐標系中的坐標(x_i,y_i,z_i)和法向量(α_i,β_i,γ_i)的關係式分別為：

在第二局部坐標系中，將在二次曲面上的第三特徵數據點的坐標與法向量分別定義為(x'_i,y'_i,z'_is)和(α'_is,β'_is,γ'_is)。將法向的z'分量歸一化為-1，將在二次曲面上的第三特徵數據點坐標(x'_i,y'_i,z'_is)與法向量(α'_is,β'_is,γ'_is)分別從坐標(x'_i,y'_i,z'_i)和法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)排除掉之後，得到殘餘坐標(x"_i,y"_i,z"_i)與殘餘法向量(α"_s,β"_s,-1)分別為：(x _i ",y _i ",z _i ")=(x _i ',y _i ',z _i '-z _is ')和

步驟S45中，所述將残餘坐標與残餘法向量擬合得到自由曲面c的步驟包括：S451：在所述第二局部坐標系中，用排除掉二次曲面項的多項式曲面作為待構建自由曲面的面形描述，即 其中，g_j(x,y)為多項式的某一項，P=(p ₁,p ₂,L,p _J )^T為係數集合； S452：獲得殘餘坐標擬合誤差d₁(P)，即所述殘餘坐標值(x"_i,y"_i,z"_i)(i=1,2,...,n)與所述自由曲面在z'軸方向殘餘坐標差值的平方和；以及殘餘法向向量擬合誤差d₂(P)，即所述殘餘法向量N _i=(α"_i,β"_i,-1)(i=1,2,...,n)與所述自由曲面法向量的向量差的模值的平方和， 其中，Z=(z ₁,z ₂,L,z _I )^T,U=(u ₁,u ₂,L,u _I )^T,V=(v ₁,v ₂,L,v _I )^T, S453：獲得評價函數， 其中，w為權重且大於0；S454：選擇不同的權重w，並令所述評價函數f(P)的梯度▽f(P)=0，從而獲得多組不同的P及其對應的多個自由曲面面形z=f(x,y；P)；以及S455：獲得具有最佳的成像品質的最終自由曲面面形。

所述混合表面光學系統的設計方法可進一步包括一對步驟S4中得到的混合表面光學系統進行優化的步驟。具體地，將步驟S4中得到的混合表面 光學系統作為後續優化的初始系統。可以理解，該對步驟S4中得到的混合表面光學系統進行優化的步驟並不是必需的，可以根據實際需要設計。

請參閱圖7，本發明實施例採用上述混合表面光學系統的設計方法設計得到一混合表面離軸三反光學系統100。其中，該混合表面離軸三反光學系統100包括相鄰且間隔設置的一主鏡120、一次鏡140、一三鏡160以及一圖像感測器180，該次鏡140為光闌面。所述主鏡120的面形為自由曲面，次鏡140的面形為非球面，三鏡160的面形為球面。從光源出射的特徵光線依次經過所述主鏡120、次鏡140、以及三鏡160的反射後，在圖像感測器180上成像。所述混合表面離軸三反光學系統100的參數請參見表1，

在設計該混合表面離軸三反光學系統100時，共選取14個離軸視場進行設計，該14個離軸視場分別為(0°,-16°)、(0°,-15°)、(0°,-14°)、(0°,-13°)、(0°,-12°)、(0°,-11°)、(0°,-10°)、(1.5°,-16°)、(1.5°,-15°)、(1.5°,-14°)、(1.5°,-13°)、(1.5°,-12°)、(1.5°,-11°)、(1.5°,-10°)，每個離軸視場取112條特徵光線，因此共選取了1568條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。

請參閱圖8，在空间中定義一第一三维直角坐標系(x₁，y₁，z₁)，水平方向的z₁轴向左為负向右為正，y₁轴垂直於z₁轴向上為正向下為负，x₁轴垂直於y₁z₁平面，垂直y₁z₁平面向里為正向外為负。

在空間中相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)，以所述主鏡120所在的空間定義一第二三維直角坐標系(x₂，y₂，z₂)。所述第二三維直角坐標系(x₂，y₂，z₂)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0，244.51，193.62)位置(單位：mm)，z₂軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉13.39度。

在空間中相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)，以所述次鏡140所在的空間定義一第三三維直角坐標系(x₃，y₃，z₃)。所述第三三維直角坐標系(x₃，y₃，z₃)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0,0, -100)位置(單位：mm)，z₃軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉15度。

在空間中相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)，以所述三鏡160所在的空間定義一第四三維直角坐標系(x₄，y₄，z₄)。所述第四三維直角坐標系(x₄，y₄，z₄)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0,-160.83，209.49)位置(單位：mm)，z₄軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉0度。

在空間中相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)，以所述圖像感測器180所在的空間定義一第五三維直角坐標系(x₅，y₅，z₅)。所述第五三維直角坐標系(x₅，y₅，z₅)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0,-145.13,-174.41)位置(單位：mm)，z₅軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉10度。

所述混合表面離軸三反光學系統100在y₁軸方向上的長度為430mm，在z₁軸方向上的長度為400mm。

在所述第二三维直角坐標系(x₂，y₂，z₂)中，所述主鏡120的反射面為一6次的x₂y₂多項式自由曲面，該6次的x₂y₂多項式自由曲面的運算式為：

其中，z為曲面矢量高，c為曲面曲率，k為二次曲面系数，b_i是多項式中第i項的系数。本實施例中，c=4.57e-04，k=0.048，b₁=0.0951，b₂=5.26e-06，b₃=7.90e-05，b₄=3.41e-07，b₅=3.97e-07，b₆=5.54e-10，b₇=1.29e-09，b₈=6.84e-10，b₉=0，b₁₀=0，b₁₂=0。

在所述第三三维直角坐標系(x₃，y₃，z₃)中，所述次鏡140的反射面為一6次的x₃y₃非球面，該6次的x₃y₃非球面的運算式為：

其中，z為曲面矢量高，c為曲面曲率，k為二次曲面系数，a₁，a₂是多項式中的系数。本實施例中，c=5.73e-04，k=0，a₁=1.21e-12，a₂=-8.85e-16。

在所述第四三维直角坐標系(x₄，y₄，z₄)中，所述三鏡160的反射面為一x₄y₄球面，該x₄y₄球面的表达式為： (x-A)²+(y-B)²+(z-C)²=r ²,本實施例中，A=0，B=-160.83，C=209.49，r=-988.48。

可以理解，主鏡以及次鏡的運算式中的曲率c、二次曲面係數k以及各項係數的值，以及三鏡的運算式中的A，B，C，r並不限定於本實施例中，本領域具有通常知識者可以根據實際需要調整。

請參閱圖9，為所述混合表面離軸三反光學系統100的RMS光斑直徑，從圖中可以看出，所述離軸非球面三反光學系統100的RMS光斑直徑平均值為0.296mm，RMS光斑直徑比較小，說明該混合表面離軸三反光學系統100可作為良好的初始結構進行後續優化。

為了進一步提高混合表面離軸三反光學系統100的成像品質，減小相對畸變。將所述混合表面離軸三反光學系統100作為後續優化的初始結構，使用CODEV軟體對該混合表面離軸三反光學系統100進行優化。優化後，所述6次的x₂y₂多項式自由曲面的運算式中，c=5.54e-04，k=90.31，b₁=0，b₂=0.0003，b₃=0.0005，b₄=9.07e-07，b₅=1.03e-06，b₆=-2.37e-10，b₇=9.88e-10，b₈=1.31e-09，b₉=-4.64e-14，b₁₀=-1.91e-13，b₁₁=-2.05e-13，b₁₂=-7.56e-14。所述6次的x₃y₃非球面的運算式中，c=9.19e-04，k=0，a₁=-4.49e-11，a₂=-1.35e-15。所述x₄y₄球面的運算式中，A=0，B=-266.75，C=313.84，r=-996.65。

優化後，所述第二三維直角坐標系(x₂，y₂，z₂)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0，18.57，274.09)位置(單位：mm)，z₂軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉7.63度；所述第三三維直角坐標系(x₃，y₃，z₃)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0,-227.00，-48.81)位置(單位：mm)，z₃軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉18.03度；所述第四三維直角坐標系(x₄，y₄，z₄)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0,-266.75，313.84)位置(單位：mm)，z₄軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉10.77度；所述第五三維直角坐標系(x₅，y₅，z₅)的原點在所述第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的(0,-365.47,-27.10)位置(單位：mm)，z₅軸正方向相對於第一三維直角坐標系(x₁，y₁，z₁)的z₁軸正方向逆時針旋轉9.74度。

請參閱圖10，為優化後，混合表面離軸三反光學系統100的光路圖，從圖中可以看出，來自不同視場不同孔徑的特徵光線通過主鏡120、次鏡140和三鏡160的反射基本匯聚到了理想像點，成像品質較好。

請參閱圖11，為優化後，混合表面離軸三反光學系統100為在可見光波段部分視場角的調制傳遞函數MTF，從圖中可以看出，各視場MTF曲線都基本達到了衍射極限，表明該優化後，離軸非球面三反光學系統100具有很高的成像品質。

請參閱圖12，為優化後，混合表面離軸三反光學系統100的RMS波前誤差，從圖中可以看出，所述離軸非球面三反光學系統100的RMS波前誤差平均值為0.042λ，其中λ=10000nm。RMS波前誤差比較小。

所述混合表面離軸三反光學系統100的入瞳直徑D為100毫米。

所述混合表面離軸三反光學系統100系統在垂直方向上採用了離軸視場。所述混合表面離軸三反光學系統100的視場角為3°×6°，其中，在水準方向的角度為-1.5°至1.5°，在垂直方向的角度為-16°至-10°。

所述混合表面離軸三反光學系統100的工作波長範圍為8微米到12微米。當然，所述混合表面離軸三反光學系統100的工作波長並不限於本實施例，本領域具有通常知識者可以根據實際需要調整。

所述混合表面離軸三反光學系統100的焦距f為220mm。

所述混合表面離軸三反光學系統100的相對孔徑大小D/f為0.45，F數為所述相對孔徑大小D/f的倒數，即F數為2.2。

本發明提供的混合表面光學系統的設計方法具有以下優點：其一，混合表面光學系統的設計方法直接在離軸狀態下，基於逐點構建的方法求解未知曲面上的特徵數據點，並將特徵數據點擬合得到混合表面光學系統中的曲面，避免了現有技術在計算過程中將混合表面光學系統從同軸轉化為離軸產生的誤差，進而使得到的混合表面光學系統與理想系統的誤差較小。其二，該方法在求解所述球面光學系統時將擬合過程與數據點求解過程相結合，通過不斷重複求數據點-球面擬合的過程來求解未知曲面，不同於以往的逐點設計方法將數據點全部求解結束之後再進行擬合，提高了設計的準確性；其三，提出了逐點計算過程中的光焦度分配方法，計算得到一個球面，通過改變該球面的半徑來改變其擁有的光焦度，然後依次計算其餘球面來補償改變的光焦度。進而使計算得到的球面光學系統的光焦度分配更加均勻，可以作為更好的初始結構進行後續的計算。其四，通過建立全域坐標系和局部坐標系，將K個第二特徵數據點在全域坐標系中的坐標(x₀,y₀,z₀)及其對應的法向量(α₀,β₀,γ₀)變換為在局部坐標 系中的坐標(x,y,z)及其法向量(α,β,γ)，在局部坐標系中進行擬合得到非球面，該擬合方法比較精確；其五，在將第二特徵數據點和第三特徵數據點進行曲面擬合時，同時考慮了第二特徵數據點和第三特徵數據點的坐標和法向量，使得到的非球面的面形以及自由曲面的面形更加準確，且提高了混合表面光學系統的光學性能；其六，該逐點設計方法可用來設計不同組合形式的混合表面系統，增加了光學設計的多樣性。

綜上所述，本發明確已符合發明專利之要件，遂依法提出專利申請。惟，以上所述者僅為本發明之較佳實施例，自不能以此限制本案之申請專利範圍。舉凡習知本案技藝之人士援依本發明之精神所作之等效修飾或變化，皆應涵蓋於以下申請專利範圍內。

Claims (10)

1. 一種混合表面光學系統的設計方法，其改良在於，其包括以下步骤：S1：建立一第一初始系統，該第一初始系統包括多個初始曲面，且該第一初始系統中的一個初始曲面對應待設計混合表面光學系統中一個曲面，選取來自不同視場不同孔徑的K條特徵光線；S2：在所述第一初始系統的基礎上求解一球面光學系統，將該球面光學系統中的一個待求球面定義為球面a，保持該多個初始曲面不變，逐點求解K條特徵光線中的m條特徵光線與球面a的m個交點，得到m個第一特徵數據點，m<K，將m個第一特徵數據點擬合得到初始球面A_m；根據初始球面A_m得到第m+1個第一特徵數據點P_m+1，將m+1個第一特徵數據點擬合得到球面A_m+1；以此類推，重複求特徵數據點-球面擬合的過程，直到求解得到第K個第一特徵數據點P_K，將K個第一特徵數據點擬合得到球面A_K，該球面A_K為球面a；以此類推，直到獲得該球面光學系統中的所有球面；S3：將待設計混合表面光學系統中的一個待求非球面定義為非球面b，以所述球面光學系統作為第二初始系統，保持球面光學系統中的多個球面不變，將K條特徵光線與所述球面a的K個交點作為K個第二特徵數據點；將該K個第二特徵數據點進行曲面擬合，得到非球面b；以此類推，直到獲得待設計混合表面光學系統中所有的待求非球面，進而得到一擁有球面和非球面的第一混合表面光學系統；S4：將待設計混合表面光學系統中的一個待求自由曲面定義為自由曲面c，以所述第一混合表面光學系統作為第三初始系統，保持該第一混合表面光學系統中的非球面不變，將K條特徵光線與非球面b的K個交點作為K個第三特徵數據點；將該K第三特徵數據點進行曲面擬合，得到待求自由曲面c；以此類推，直到獲得待設計混合表面光學系統中所有的待求自由曲面，進而得到待設計的混合表面光學系統。
2. 如請求項第1項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，將所述第一初始系統所在的空間定義一全域坐標系xyz，其中，光束傳播方向定義為z軸，垂直於z軸方向的平面為xoy平面；所述求解第m+1個第一特徵數據點P_m+1包括以下步驟：計算一中間點G_m，其計算方法包括：求解所述第一特徵數據點P_m處的切平面T_m，該切平面T_m與所述初始球面A_m相交得到相貫線L_m；在全域坐標系x₀y₀z₀中，在所述相貫線L_m上，與所述第一特徵數據點P_m的x₀坐標相同的點定義為中間點G_m；求解第一特徵數據點P_m+1，其求解方法包括：在剩餘的K-m條特徵光線中找到距離所述中間點G_m最近的特徵光線，該特徵光線為第一特徵數據點P_m+1對應的特徵光線R_m+1，求解特徵光線R_m+1和已知的m+1個第一特徵數據點(P₁,P₂,……P_m,G_m)中距離該第一特徵數據點P_m+1最近的點的切平面的交點，該交點為所述第一特徵數據點P_m+1。
3. 如請求項第2項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，所述在剩餘的K-m條特徵光線中找到距離所述中間點G_m最近的特徵光線具體包括以下步驟：根據球面運算式，求得中間點G_m在初始球面A_m處的法向n_m，進而得到中間點G_m在初始球面A_m處的切平面；將中間點G_m的切平面與剩餘K-m條特徵光線相交，得到K-m個交點，從該K-m個交點中，找到與中間點G_m距離最近的交點P'_m，該交點P'_m所在的光線為第一特徵點數據點P_m+1對應的特徵光線R_m+1。
4. 如請求項第2項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，所述求解特徵光線R_m+1和已知的m+1個第一特徵數據點(P₁,P₂,……P_m,G_m)中距離該第一特徵數據點P_m+1最近的點的切平面的交點包括以下步驟：特徵光線R_m+1與已知的m個第一特徵數據點P_i(1≦i≦m)和中間點G_m的切平面相交，對應得到m+1個交點P'_i(1≦i≦m)和G'_m；從m+1個第一特徵數據點/中間點-交點對中找到距離最短的一對(F-F')，其中的第一特徵數據點/中間點F為距離第一特徵數據點P_m+1最近的點，交點F'即為下一個第一特徵數據點P_m+1。
5. 如請求項第1項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，所述將m個第一特徵數據點擬合得到初始球面A_m；將m+1個第一特徵數據點擬合得到球面A_m+1；以及將K個第一特徵數據點擬合得到球面A_K，在擬合過程中同時考慮第一特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響。
6. 如請求項第1項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，所述初始球面A_m，球面A_m+1或球面A_K的擬合方法包括以下步驟：S21：所述第一特徵數據點的坐標為(x_i,y_i,z_i)，對應的法向量為(u_i,v_i,-1)，設球心為(A,B,C)，半徑為r，球面的方程為：(x _i -A)²+(y _i -B)²+(z _i -C)²=r ²(1)；S22：將球面的方程(1)分別對x和y進行求導得到x軸和y軸方向的法向向量u_i運算式(2)和v_i運算式(3)：

   

   

   S23：將式(1)、式(2)、式(3)均改寫成矩陣的形式，並進行矩陣的行列變換，分別對應得到通過坐標值，x軸方向法向值以及y軸方向法向值求解圓心坐標的運算式(4)、(5)、(6)：

   

   

   

   ；以及S24：所述球心(A,B,C)的值以及球面半徑r的值分別通過式(7)和式(8)得到，式(4)+ω×式(5)+ω×式(6) (7)，式(1)+ω×式(2)+ω×式(3) (8)，其中，ω為法向計算的權重值。
7. 如請求項第1項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，步驟S2中，得到所述球面a後，進一步改變該球面a的半徑得到球面a'；以此類推，所述球面光學系統中的每個球面求解之後，均改變該球面的半徑得到一個新的球面。
8. 如請求項第7項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，球面a的半徑為r_a，球面a'的半徑為r_a’，r_a’=ε_a×r_a，其中ε_a=0.5~1.5。
9. 如請求項第1項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，在將該K個第二特徵數據點進行曲面擬合的過程中同時考慮第二特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響，根據物像關係分別求解K個第二特徵數據點處的單位法向量；將該K第二特徵數據點的坐標和法向進行曲面擬合。
10. 如請求項第1項所述之混合表面光學系統的設計方法，其中，在將該K個第三特徵數據點進行曲面擬合的過程中同時考慮第三特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響，根據物像關係分別求解K個第三特徵數據點處的單位法向量；將該K個第三特徵數據點的坐標和法向進行曲面擬合。