CN113741028B - 自由曲面成像系统的设计方法 - Google Patents

Abstract

一种自由曲面成像系统的设计方法，包括：构建一系列具有不同光焦度分配形式的同轴球面系统，记作集合{P}；将集合{P}中的每一个同轴球面系统中的光学元件倾斜一系列角度，获得一系列离轴球面系统，记作集合{C}_m；在集合{C}_m中找出所有无遮拦离轴球面系统，记作集合

在集合

找到一系列紧凑的无遮拦的离轴球面系统，记作集合

以集合

中的每一个无遮拦离轴球面系统为基础，构建一自由曲面成像系统，得到一系列自由曲面成像系统，记作集合

在构建自由曲面成像系统过程中，修正整个系统的光焦度；提高集合

中自由曲面成像系统的像质；以及自动评价所述集合

中自由曲面成像系统的像质，输出达到设计要求的自由曲面成像系统。

Description

自由曲面成像系统的设计方法

技术领域

本发明涉及光学系统设计领域，尤其涉及一种自动化程度较高的自由曲面成像系统的设计方法。

背景技术

自由曲面是指一类面形不具有平移对称性或旋转对称性的光学曲面，在光学系统中使用光学自由曲面不仅能够使光学系统的综合性能得到普遍的提升，而且能够为光学系统带来新颖的功能。随着光学加工和检测技术的进步，自由曲面在光学设计中逐渐普及起来，并成为光学设计研究和制造领域中的热门话题。自由曲面为光学成像系统带来了更多的自由度，增加了像差方程组解空间和目标函数的维度。

求解自由曲面系统初始解大致有三种思路：第一类是把已有设计直接作为初始解。第二类是基于像差理论求解初始解。节点像差理论(NAT)可以被用来预测不同结构形式的自由曲面系统中潜在的校正像差的潜力，提高自由曲面自由度的利用率。第三类是用直接设计方法根据物像关系构建初始解。例如微分方程方法，多曲面同步构建方法(SMS)和构建迭代方法(CI)。其中CI 方法能够从无光焦度的平面系统出发经过自动计算直接得到像质较好的初始解供后续优化。

近几年，一些研究将自由曲面系统设计中部分步骤自动化，例如，从平面系统直接得到衍射极限系统的自动设计、光路结构形式自动变化、基于像差理论的四反系统初始解自动设计、以及自由曲面系统解空间的自动探索。然而，现有的自由曲面设计方法过多的依赖人工完成，自动化程度较小，对设计者的经验要求较高，而且浪费时间和人力资源。

发明内容

综上所述，确有必要提供一种自动化程度较高的自由曲面成像系统的设计方法。

一种自由曲面成像系统的设计方法，其包括以下步骤：

步骤S1，构建一系列具有不同光焦度分配形式的同轴球面系统，记作 P₁，P₂，...，P_m，...，P_M，将P₁，P₂，...，P_m，...，P_M的集合定义为集合{P}；其中，所述光焦度分配形式为同轴球面系统中曲面半径和曲面间距离的组合；

步骤S2，将所述集合{P}中的每一个同轴球面系统中的所有光学元件倾斜一系列角度，进而获得一系列离轴球面系统，记作C_m，1，C_m，2，...，C_m，s，...，

该C_m，1，C_m，2，...，C_m，s，...，

的集合定义为集合{C}_m；在集合{C}_m中找出所有无遮拦的离轴球面系统，记作

该

的集合记作集合

然后设定系统大小或结构约束，在集合

找到一系列紧凑的无遮拦的离轴球面系统，记作

该

的集合记为集台

步骤S3，以集合

中的每一个无遮拦的离轴球面系统为基础，构建一个自由曲面成像系统，进而得到一系列自由曲面成像系统，记作

该

的集合记作集合

并且在构建自由曲面成像系统的过程中，修正整个系统的光焦度；

步骤S4，提高所述集合

中自由曲面成像系统的像质得到一系列具有不同结构形式、不同光焦度分配形式的自由曲面成像系统，具体地，计算集合

中的每一个自由曲面成像系统中的每个光学元件的表面形状，并找到像面的最佳倾斜角；以及

步骤S5，根据像质评价依据自动评价所述具有不同结构形式、不同光焦度分配形式的自由曲面成像系统的像质，然后输出达到设计要求的自由曲面成像系统。

相较于现有技术，本发明提供的自由曲面成像系统的设计方法中，设计者只要给出光学系统的光学参数和结构约束，通过无需人工干预的自动计算，就可以得到一系列具有不同结构形式和光焦度分配形式的自由曲面成像系统。在设计方法的最后阶段，自由曲面成像系统的质量达到要求后，设计者只需要综合考虑加工难度、系统结构形状等因素，即可从众多结果中筛选出最好的一个作为最终设计，大大减少了人力资源和对光学设计者的经验要求。

附图说明

图1为本发明实施例提供的自由曲面成像系统的设计方法的流程图。

图2为本发明实施例中同轴系统坐标系及描述方法的示意图。

图3为本发明实施例中在离轴球面系统中全局坐标系、局部坐标系及描述方法的示意图。

图4为本发明实施例中的描述三反系统的结构形式的示意图。

图5为本发明实施例中利用二分法求解最紧凑结构形式的流程图。

图6为本发明实施例提供的自由曲面成像系统的设计方法的整个框架流程图。

图7为本发明实施例1中计算效率随时间变化的曲线。

图8为本发明实施例1中得到的部分自由曲面成像系统。

图9为本发明实施例2中计算效率随时间变化的曲线。

图10为本发明实施例2中得到的部分自由曲面成像系统。

具体实施方式

下面根据说明书附图并结合具体实施例对本发明的技术方案进一步详细表述。

请参阅图1，本发明提供一种自由曲面成像系统的设计方法，其包括以下步骤：

步骤S1，构建一系列具有不同光焦度分配形式的同轴球面系统，记作 P₁，P₂，...，P_m，...，P_M，将P₁，P₂，...，P_m，...，P_M的集合定义为集合{P}；其中，所述光焦度分配形式为同轴球面系统中曲面半径和曲面间距离的组合；

步骤S2，将所述集合{P}中的每一个同轴球面系统中的所有光学元件倾斜一系列角度，进而获得一系列离轴球面系统，记作C_m，1，C_m，2，...，C_m，s，...，

该C_m，1，C_m，2，...，C_m，s，...，

的集合定义为集合{C}_m；在集合{C}_m中找出所有的无遮拦的离轴球面系统，记作

该

的集合记作集合

然后设定系统大小或结构约束，在集合

找到一系列更紧凑的无遮拦的离轴球面系统，记作

该

的集合记为集合

步骤S3，以集合

中的每一个无遮拦离轴球面系统为基础，构建一个自由曲面成像系统，进而得到一系列自由曲面成像系统记作

该

的集合记作集合

并且在构建自由曲面成像系统的过程中，修正整个系统的光焦度；

步骤S4，提高所述集合

中自由曲面成像系统的像质得到一系列具有不同结构形式、不同光焦度分配形式的自由曲面成像系统，具体地，计算集合

中的每一个自由曲面成像系统中的每个光学元件的表面形状，并找到像面的最佳倾斜角；以及

步骤S5，根据像质评价依据自动评价所述具有不同结构形式、不同光焦度分配形式的自由曲面成像系统的像质，然后输出达到设计要求的自由曲面成像系统。

请参阅图2和图3，为了便于描述，在同轴球面系统的空间中定义一个全局坐标系O-XYZ，将中心视场(0°)光线的入射方向定义为Z轴，垂直于Z 轴方向的平面为XOY平面。同轴球面系统中有N个光学面，按照光线通过的顺序记为S₁，S₂，...，S_i，...，S_N。S₀是同轴球面系统前端一个虚拟的面，S_I是同轴球面系统的像面。设中心视场(0°)光线的入射方向沿着单位轴向量OZ的方向。光线从S₀出发，最终到达S_I。如图2中所示的同轴球面系统关于光轴OZ旋转对称，球面S_i的球心在光轴上，记为O_i。S_i与光轴的交点V_i是顶点。设球面S_i的曲率半径为r_i，当向量V_iO_i和单位轴向量OZ相同时，r_i为正，反之则为负。S_i到S_i+1之间的镜间距d_i的大小等于|V_iV_i+1|，当向量V_iV_i+1和单位轴向量OZ同向时，d_i符号为正，反之则为负。

请参阅图3，由于离轴球面系统不存在旋转对称轴作为参考，所以要在离轴球面系统中的各个曲面处建立局部坐标系，并在局部坐标系中描述曲面的面形。以中心视场的主光线为参考，设其在镜面S_i上的入射点为V_i，以V_i为原点建立局部坐标系V_i-XYZ，单位轴向量V_iZ和曲面在V_i处的曲面法向方向平行，单位轴向量V_iY在全局坐标系的平面O-YZ中且与V_iZ垂直，单位轴向量 V_iX和单位轴向量OX方向相同。中心视场主光线与S₀的交点为V₀，与S_I的交点为V_I。局部坐标系V_I-XYZ的单位轴向量V_IZ的方向和像面垂直，单位轴向量V_IY在全局坐标系的平面O-YZ中且与V_IZ垂直，单位轴向量V_IX和单位轴向量OX方向相同。

步骤S1中，根据一阶光学和已知的焦距构建所述一系列具有不同的光焦度分配形式的同轴球面系统。根据矩阵光学的知识，光线在球面Si处发生反射的反射矩阵为：

其中，n_i表示S_i与S_i+1之间的介质的折射率，n_i-1表示S_i-1与S_i之间的介质的折射率，r_i为球面S_i的曲率半径。

光线从S_i到S_i+1之间传播的过渡矩阵为：

其中，d_i为S_i到S_i+1之间的镜间距。

则整个系统的传递矩阵T(系统矩阵，system matrix)为：

其中，A，B，C，D是r_i，d_i和n_i的函数，A可以记为A(r_i，d_i，n_i)，于是系统的像方焦距f′可以表示为：

因为系统的像方焦距f′已经给定，所以方程(4)给出了同轴球面系统中球面曲率半径r_i(i＝1，2，...，N)和镜间距d_i(i＝1，2，...，N-1)需要满足的方程。对于反射式系统，n_i＝-n_i-1，因此方程中所有的折射率都可以被消掉。然而方程(4)的解有无穷多个，无法对满足方程(4)的所有解进行讨论。考虑到光学系统制造过程中的工艺性限制，所以方程(4)的某些解可以不予考虑，相关具体的参数包括例如：镜面的曲率半径大小和正负，镜面面形的矢高大小以及镜间距的大小等等。在求解过程中要根据实际情况对方程组设置约束条件以缩小其解空间。

方程(4)中关于曲率半径和镜间距的参数共有2N-1个，即r₁，r₂，...，r_N， d₁，d₂，...，d_N-1。当同轴球面系统的焦距给定时，只要给出其中2N-2个参数，即可求解出最后剩下的1个未知量。当这2N-1个参数确定后，根据一阶光学的知识可求出d_N，即最后一个镜面到像面的距离。因而描述同轴球面系统的所有参数共有2N个。因为方程(4)的解有无穷多，所以这2N个参数的值有无穷多种可能的组合，将这2N个参数值放在一起记作一个向量P＝[r₁，r₂，...， r_N-1，r_N，d₁，d₂，...，d_N-1，d_N]，向量P可以描述同轴球面系统中光焦度的分配形式。

本实施例中，采用一系列离散化的光焦度分配形式P₁，P₂，…，P_m，…，P_M作为研究对象，所有的光焦度分配形式的集合记为集合{P}。设给定的2N-2 个参数是r₁，r₂，...，r_N-1，r_N，d₁，d₂，...，d_N-2，其中，各镜面的曲率半径r_i(i＝1， 2，…，N)的取值范围是[r_min，r_max]，取值间隔是Δr，即r_i＝r_min+Δr，r_min+2Δr，...， r_max。镜间距d_i(i＝1，2，…，N-2)的取值范围是[d_min，d_max]，取值间隔是Δd，即d_i＝d_min+Δd，d_min+2Δd，...，d_max。当r₁，r₂，...，r_N-1，r_N和d₁，d₂，...，d_N-2的值确定后，就可以解得对应的d_N-1和d_N，从而求得了全部参数，得到一系列不同的满足像方焦距f’的光焦度分配形式{P}。

由于满足给定的像方焦距f’的光焦度分配形式{P}有无穷多种，所以必须限制{P}中参数的取值范围。在确定曲率半径r_i(i＝1，2，…，N)的取值范围时，可以控制最终结果中镜面的曲率半径大小以及各镜面光焦度的正负。本实施例中，各镜面曲率半径的取值范围为[-1000，1000](单位：mm)。在确定镜间距d_i(i＝1，2，…，N-2)的取值范围时，本实施例中考虑了三方面的因素，第一，为了控制系统的体积，镜间距不宜过大；第二，为了便于后续对系统进行离轴化，避免遮拦，镜间距不宜过小；第三，为了保证系统结构的紧凑性，各镜间距之间的差异不宜过大。通常同轴球面系统的整体尺寸与入瞳大小相当，可以以入瞳直径(EPD)为单位长度给出镜间距的取值范围，例如 EPD≤|d₁|≤4×EPD。本实施例中，以EPD为单位长度给出镜间距的取值范围， EPD≤|d₁|≤4×EPD。取值间隔Δr和Δd的值越大，得到的设计结果数量越少，反之则得到的设计结果数量越多，但相应的计算量和计算时间也会增加。因此确定取值间隔Δr和Δd时要在最终解的数量和计算时间之间做出平衡。本实施例中，光焦度分配形式是P＝[r₁，r₂，r₃，d₁，d₂，d₃]，其中曲率半径r₁，r₂，r₃的取值范围是[-1000，1000]，曲率半径的取值间隔Δr＝100(单位：mm)。取值间隔Δr的取值根据曲率半径r的取值范围大小的百分比确定，根据曲率半径绝对值的大小，该取值间隔可以是变化的。本实施例中，取值间隔Δr的取值为曲率半径r的5％，镜间距d₁的取值范围和间隔是EPD＜|d₁|＜4×EPD，镜间距的取值间隔Δd₁＝EPD/2。基于曲率半径，曲率半径间隔，镜间距以及镜间距的取值间隔可以解得d₂和d₃。因为是全反射系统，所以d₁＜0，d₂＞0，d₃＜0。本实施例中，设置以下约束条件：-2≤d₂/d₁≤-1/2，1/2≤d₃/d₁≤2，d₃≤-2×EPD，可以控制同轴球面系统的体积、保证系统结构紧凑、便于后续离轴化。

步骤S2中，具有不同的光焦度分配形式的同轴球面系统，保持其中心视场光线的入射方向不变，调整每个同轴球面系统中各光学元件的位置并倾斜一定的角度，从而得到一系列结构不同的离轴球面系统，其中包括结构完全不同的结构形式，例如偏置视场的或离轴视场，或两者的组合。请参阅图4，本实施例中为一三反系统，该三反系统的光焦度分配形式为P＝[r₁，r₂，r₃，d₁，d₂，d₃]，调整各镜面的位置保证各局部坐标系原点之间的距离满足|V₁V₂|＝d₁， |V₂V₃|＝d₂，以及|V₂V₃|＝d₃，同时让各镜面绕着各自的局部坐标系的单位轴向量 V_iX倾斜一定的角度，得到该光焦度分配形式P所对应的一种离轴球面系统。

由于中心视场主光线在离轴球面系统中的各曲面之间的传播路径是一条折线，可以用来表示离轴球面系统的结构形式。为了方便描述，采用向量C 来记录这条折线各段的长度和各段之间的角度。如图4所示，设向量V_i-1V_i旋转到和V_iV_i+1重合时转过的角度为θ_i(i＝1，2，...，N)，di为各镜面的间距，则相应的结构形式可以记为C＝[θ₁，|d₁|，θ₂，|d₂|，...θ_i，|d_i|，...，θ_N，|d_N|]。对于具有同一种光焦度分配形式的离轴球面系统，为了记录简单，只保留向量C中的角度，即C＝[θ₁，θ₂，...θ_i，...，θ_N]。θ_i反映了中心视场主光线在镜面S_i处偏转的角度，当向量V_i-1V_i沿着顺时针方向旋转到与向量V_iV_i+1重合时，角度θ_i的符号为负；当逆时针旋转时，角度θ_i的符号为正。因此，θ_i的取值范围是 -360°＜θ_i＜0°或者0°＜θ_i＜360°。本实施例中，规定在离轴三反球面系统中三个反射镜处中心视场主光线的偏转角度，θ₁＜0，θ₂＞0，θ₃＜0，如图4所示。本实施例中，光焦度分配形式为P的反射式同轴系统的结构形式记为C₀，三个球面的同轴系统的结构形式可以记为C₀＝[θ₁₀，θ₂₀，θ₃₀]＝[-180，180，-180]。

当结构形式C中的各个角度θ_i在一定范围内连续变化时，对应的离轴球面系统中都没有遮拦。但是，因为离轴球面系统可能具有很多种不同的离轴结构形式，所以满足无遮拦条件的结构形式C中的角度可能取值的范围也有多种，即C中θ_i的可取值范围不是连续的。为了求解出光焦度分配形式P所对应的所有可能的无遮拦的结构形式，先列出尽可能多的离轴结构形式，然后在后续步骤中从中剔除有遮拦的系统，从而尽可能多地得到满足无遮拦条件的离轴球面系统。

首先，确定角度θ_i的取值范围和间隔。如果两个结构C和C′满足C＝-C′，那么这两个结构形式实际上是一样的。为了避免重复考虑相同的结构形式，θ₁的取值范围应该在区间(-180°，0°)之内或者在区间(0°，180°)之内；而对于其他的角度θ_i，即i＝2，3，...，N，θ_i的取值范围应该在(-360°，0°)之内或者在(0°，360°) 之内。θ_i的取值范围可以根据设计结构约束的要求进行设定。本实施例中，对于离轴三反球面系统，θ₁的取值范围设为(-180°，-120°]，θ₂的取值范围设定为 [120°，240°]，θ₃的取值范围设定为[-240°，-120°]。取值间隔Δθ过大会使得到的结果的数量减少，但整个计算任务的计算量也会降低。对于光焦度分配形式 P_m的同轴球面系统，通过角度θ_i的取值范围和取值间隔，可以得到一系列具有不同离轴结构形式的球面系统，向量表示为C_m，1，C_m，2，…，C_m，s，…，C_m，Sm，记为集合{C}_m，集合中共有Sm个元素，但还需要判断该集合{C}_m中的离轴球面系统是否有遮拦。

其次，从集合{C}m中筛选出无遮拦的离轴球面系统。在判断离轴球面系统中是否有遮拦时，注意到离轴球面系统关于O-YZ平面是对称的。设镜面 S_i和S_i+1之间光束在O-YZ平面内的投影为Bi，其中i＝0，1，...，N。定义镜面上被光束照射的区域是该镜面的工作区域。设镜面S_j的工作区域被O-YZ平面截得的曲线段是E₁ ^(j)E₂ ^(j)，其中j＝0，1，...，N，I(S_I表示像面)。离轴球面系统中无遮拦的条件是：对于任意一个B_i(i＝0，1，...，N)，任何曲线段E₁ ^(j)E₂ ^(j) (j＝1，2，...，N，I)和B_i没有重叠的部分。按照上述条件进行筛选，就可以得到关于光焦度分配形式P_m的一系列无遮拦的离轴球面系统，

记为集合

集合中共有R_m个元素。

在得到了每种光焦度分配形式对应的一系列不同结构形式的无遮拦的离轴球面系统之后，可以直接进行下一步建立自由曲面成像系统。然而，这些离轴球面系统的折叠光路的紧凑程度不同。优选的，从无遮拦的离轴球面系统中找到各镜面处光路折叠角度较小的系统，从而得到紧凑的设计结果。也可以通过改变曲率半径的取值范围和取值间隔并设定合适的筛选条件，从无遮拦的离轴球面系统中找出满足给定结构要求的系统。本实施例中，所述无遮拦的离轴球面系统为三反系统，对于光焦度分配形式为P_m的某个无遮拦离轴结构形式

定义一个新的向量

其中C₀表示同轴结构形式，Δθ_i称为镜面S_i处光路的弯折角。设集合

对应的向量

的集合为

向量

中Δθ_i的值的大小反映了系统光路离轴程度的大小。

中Δθ_i的绝对值越小，光路的离轴量越小。

各项的符号则反映了系统光路的折叠形式。按照上述对θ_i的大小和符号的规定，

中第1项的符号为正，第2项和第3项的符号可正可负。每一种正负号的组合对应了一种光路的折叠形式，所有可能的光路的折叠形式最多有1×2×2＝4种。每种折叠形式都包括多种光路离轴量大小不同的结构形式。

对于所有的折叠形式，通过一种最小化方法可以找出一个或几个光路折叠角较小的离轴球面系统，具体方法如下：因为曲率半径的取值间隔是相等的，所以集合

中没有任何两个向量的三个元素是完全相等的，但是存在某两项相等、但第三项不相等的向量；将集台

中的向量分类，每一类中第1 项(Δθ₁)和第2项(Δθ₂)分别相等，而第3项(Δθ₃)的值是不同的。将Δθ₃项最小化的过程，具体地，在每一类中，可以找出一个Δθ₃绝对值最小的向量，相应的离轴球面系统在三镜处光路转角最小。需要注意的是，不同类中Δθ₃绝对值的最小值可能是不同的。接着，对于已经得到的Δθ₃最小化的向量，采用和Δθ₃相同的最小化过程把其中的Δθ₂项最小化。然后，对于已经得到的Δθ₂和Δθ₃都最小化的向量，采用和Δθ₃相同的最小化过程其中的Δθ₁项最小化。最终，得到了一组Δθ₁，Δθ₂和Δθ₃都最小化的向量。在集台

中找出和这些向量相应的结构向量并记作

其集合记作集合

共有Tm个元素。集合

中的向量表示了一系列具有不同光路折叠形式和较小的光路折叠角的紧凑的无遮拦的离轴球面系统。

在某些实施例中，进一步基于

用二分法求解每个镜面处光路折叠角度更小的一系列离轴球面系统。请参阅图5，本实施例中，所述无遮拦的离轴球面系统为三反系统，

是集台

中的一个元素，其相应的光学系统没有遮拦。而C₀＝[θ₁₀，θ₂₀，θ₃₀]＝[-180，180，-180]对应着同轴系统，系统中有遮拦。令无遮拦的上限θ_i，uob＝θ_i，有遮拦下限θ_i，obs＝θ_i0，取中间值θ_i，mid＝(θ_i，uob+θ_i，obs)/2。如果θ_i＝θ_i，mid时系统中无遮拦，则令θ_i，uob＝θ_i，mid；如果有遮拦，则令θ_i，obs＝θ_i，mid。重复以上步骤直到|θ_i，uob-θ_i，obs|＜θ_max，其中θ_max是一个给定的阈值。按照上面的方法，依次求解出每个镜面处的上限值θ_3，uob，θ_2，uob和θ_1，uob，从而得到一个更紧凑的无遮拦的离轴结构形式

集台

中的向量可以用这些求得的光路弯折角更小的结构形式向量所替代。通过调整阈值θ_max的大小，可以控制系统光路折叠的紧凑程度。

步骤S3中，由于经过步骤S2中消除遮拦的离轴化过程，整个系统的光焦度发生了变化，因此需要微调每个镜面的光焦度，从而实现整个系统的光焦度的修正。整个系统光焦度的修正过程应该遵循如下原则，第一，能够全自动实现；第二，修正过程中系统的结构形式不变；第三，对每个镜面的光焦度进行微调。

本实施例中，使用逐点的自由曲面成像系统的构建方法进行系统光焦度的修正。逐点构建法是一种基于特征光线和特征数据点计算自由曲面面形的方法，满足上述提出三条原则。以无遮拦的球面离轴系统为起点，首先在系统中不同视场的不同孔径位置上取一系列的特征光线，并定义特征光线和光学面的交点为特征数据点。由于特征光线所属的视场已知，根据物像关系，可以确定光学系统理想成像时特征光线对应的像点在像面上的位置坐标(简称理想像点的位置坐标)。特征数据点包含两方面的信息，一是光学面上该点的坐标，二是光学面上该点处的法向。在构建自由曲面系统时，按照一定的顺序逐个求解系统中的各个面的面形，例如按照三镜-主镜-次镜的顺序求解三反系统。具体地，求解某一个自由曲面的面形时，首先通过光线追迹得到入射在待求曲面上的所有的特征光线的起点和入射方向。从待求曲面上的某一个初始特征数据点开始，按照最近光线原则，根据已经求完的特征数据点的坐标和法向，确定下一个特征光线并求解出相应的特征数据点的坐标。根据系统的物像关系，该特征光线从待求曲面上的特征数据点出发，最终到达像面上相应的理想像点。于是，根据费马原理就可以求解出该特征光线离开待求自由曲面的传播方向。结合该特征光线在曲面上的入射方向，就可以得到相应特征数据点的法向。重复以上步骤直到所有的特征数据点的坐标和法向都求解完毕，用一种同时考虑坐标和法向的拟合方法将特征数据点拟合成自由曲面，从而完成了自由曲面面形的求解。按照这种方法逐个计算系统中各个曲面的形状，就完成了自由曲面系统的构建。

无遮拦的离轴球面系统中，各镜面已经具有一定的光焦度，系统已经满足一阶成像条件。使用逐点计算特征数据点坐标和法向的构建方法可以保留系统的结构形式，对系统中各镜面的光焦度进行微调，完成对整个系统光焦度的修正，得到一系列的自由曲面系统记作

其集合记作集合

步骤S4中，在保持步骤S3中得到的一系列自由曲面系统

的光焦度分配形式和离轴结构形式不变的前提下，提高该系列自由曲面系统

的像质。本实施例中，我们用一种逐点的迭代方法来计算自由曲面系统中的曲面面形并提高系统的像质。

逐点迭代方法和逐点构建方法的相同之处在于，都是按照系统的物像关系，基于特征光线求解自由曲面系统中各面的面形。所不同的是，在迭代过程中通过追迹得到的特征数据点的坐标被保留不变，仅重新求解特征数据点的法向，然后用原来的坐标和新求解的法向拟合得到新的自由曲面。在一轮迭代计算中，所有曲面的面形都按照一定的顺序被求解一遍，例如在三反系统中按照三镜-主镜-次镜的顺序。当一轮迭代计算完成后，需要对系统的像质进行评价。通过真实光线追迹，可以得到特征光线与系统像面的交点，然后计算出这些特征光线与像面实际交点和对应的理想像点之间的距离的均方根值，记为σ。σ可以作为迭代过程像质的评价参数。随着迭代过程的进行，σ的值减小并逐渐收敛。当系统的像质优于给定的阈值σ_itr时停止迭代。如果σ的值不再下降，即逐渐收敛于某一个值时，说明当前条件下系统的像质很难继续提高。定义迭代过程中像质的提升率为τ＝|σ’-σ|/σ，其中σ’和σ分别是本轮迭代和上一轮迭代结果的像质评价参数，当T低于一个设定的阈值τ_itr时停止迭代。

在所述迭代过程中，求解特征数据点的法向时，都是按照特征光线与像面的交点是理想像点来求解，这样求解的目标是系统中无畸变。而在光学设计中，可以考虑牺牲畸变来提高成像质量。在迭代过程的后续阶段，系统中的畸变已经被控制到相当低的水平。此时如果像质提升率τ低于一个给定的阈值τ_iqf，则启用一种“像质优先”模式。在该模式下，每轮迭代过程中，每计算完一个曲面，就要更新一次各视场特征光线相应目标像点的位置坐标。新的目标像点的坐标时，要通过光线追迹先得到该视场所有特征光线在像面上实际交点的位置，然后取这些交点坐标各维度的平均值，即为该视场对应的新的目标像点的坐标。通过每轮迭代过程中不断更新目标像点，会在设计结果中引入一些畸变，但却可能得到更多的像质达到要求的设计结果。

具体地，所述逐点的自由曲面成像系统的构建方法以及将特征数据点拟合成自由曲面的拟合方法，以及迭代方法请参见朱钧等人于2016年12月22日申请的，2020年1月7日公告的，公告号为CN108227184B的中国专利。

通过计算镜面的自由曲面面形修正了整个系统的光焦度，通过迭代镜面的自由曲面面形提高了系统的像质。所以已经考虑了各镜面的位置和倾斜角，像面的位置，以及光学曲面的表面形状这几方面的因素。还有一个因素需要考虑，即像面的倾斜角。

像面的倾斜角可以通过像面的局部坐标系的Y轴和全局坐标系的Y轴之间的夹角β表示。设光学系统中像面和中心视场主光线垂直时，像面的倾斜角大小为β₀。本实施例中，采用一维搜索的方法寻找像面的最佳倾斜角，具体地，以相同的离轴球面系统为起点，通过步骤3和步骤4来建立自由曲面成像系统的过程中只有像面的倾斜角不同；当像面的倾斜角不同时，所得到的自由曲面成像系统的像质也各有差异，从中找到像质最好的那个，所对应的像面倾斜角即为像面的最佳倾斜角。以上可以看做是对像面的最佳倾斜角进行的一轮搜索，优选的，为了进一步提高像质，还可以对像面的最佳倾斜角进行多轮搜索。

对像面的最佳倾斜角的一轮一维搜索过程如下。从β＝β₀时开始，让β在范围[β₀-β_r，β₀+β_r]之内以Δβ为间隔取值，其中β_r是取值范围的半径大小。β所取的值为β₁，β₂，...，β_b，...，β_B，共B个像面倾斜角。对于光焦度分配形式P_m下的一种紧凑的离轴结构形式C_m，以该离轴球面系统为计算起点，通过步骤 3和步骤4分别计算系统中像面的倾斜角度为β₁，β₂，...，β_b，...，β_B时的自由曲面成像系统。所得到的自由曲面成像系统相应的像质记为σ₁，σ₂，...，σ_b，...，σ_B。从中找到像质最好的那个，记为ρ，其对应的像面倾斜角β_opt即为当前这一轮一维搜索的像面的最佳倾斜角。进行下一轮一维搜索时，重复上面的步骤，和上一轮一维搜索唯一的不同之处在于β的取值范围发生了变化，即在[β_opt-β_r，β_opt+β_r]范围内取值。在进行多轮一维搜索时，系统的像质ρ在不断提高，并逐渐收敛。如果系统的像质ρ达到了给定阈值ρ_srh就可以停止搜索。如果像质的提升率υ＝(ρ′-ρ)/ρ达到了给定的阈值υ_srh，则可以停止搜索，其中ρ′和ρ分别是上一轮和这一轮搜索的像质。

在一维搜索的过程中，因为像面的倾斜角发生了变化，系统中可能会出现遮拦，因此要随时判断系统中的遮拦情况并剔除掉有遮拦的系统。

判断系统中有无遮拦的方法和步骤S2中相同。优选的，判断遮拦的过程中可以用视场扩大系数K_F扩大系统的视场，用孔径的扩大系数K_D扩大系统的孔径，以保证系统中元件间有足够的空隙。一旦系统中出现了遮拦，那么就将相应系统的像质评价参数σ设为NaN，然后继续下一个像面倾斜角状态的计算。

特别地，如果某一轮搜索中，除了像面倾斜角为β₀的情况之外，所有像面倾斜状态下所对应的系统像质评价参数都为NaN，即所有计算完的系统中都有遮拦，那么这一轮的一维搜索的像质提升率υ＝0。

当像质提升率υ低于给定的阈值υ_srh时，可以进一步增加额外的一轮一维搜索，如果这一轮一维搜索的像质提升率仍然低于υ_srh，那么终止搜索过程，并将像质最佳的自由曲面成像系统作为最终结果。

优选的，为了防止一维搜索的轮数过多而影响计算时间，设置一个最大轮数Rnd_max，当一维搜索的轮数Rnd大于Rnd_max时，终止一维搜索。

步骤S5中，所述像质评价的依据包括像面上像点的离散斑大小、系统的 MTF、全视场的波像差等。所述像质评价的依据根据实际即情况进行设定。本实施例中，要求全视场波像差RMS的平均值不低于0.075λ。根据像质评价依据筛选出像质达到要求的自由曲面系统，并作为输出结果呈现给设计者。

本发明提供的自由曲面成像系统的设计方法的整个框架流程图如图6所示。

本发明的自由曲面成像系统的设计方法通过一计算机软件执行。本实施例中，采用MATLAB编写计算程序，并首先在计算机上完成程序的调试，然后在高性能计算平台“探索100”上完成计算工作。

在步骤S5之后进一步包括根据步骤S5中输出的达到设计要求的自由曲面成像系统的参数进行加工的步骤，进而得到一自由曲面成像系统的物理元件。

下面是采用本发明的自由曲面成像系统的设计方法设计自由曲面三反光学系统的两个具体实施例。

实施例1：

待设计的自由曲面三反光学系统的光学性能指标以及在设计方法中使用的参数详见表1和表2。

表1用户输入参数

表2内置方法和参数

将系统的性能指标和约束输入到计算机中后，在无人干预的条件下经过大约40.4小时完成计算。之后用CODE V作为工具评价系统的像质，在8°×6°的全视场中取11×11个视场点，计算出波长λ＝10μm时各个视场点波像差的 RMS值，如果所有视场点处的波像差的RMS值的平均值不超过0.075λ，则认为该系统的像质接近或达到衍射极限。经过统计，最终得到了共127个像质接近或达到衍射极限的自由曲面三反系统，平均每个自由曲面三反系统的求解时间19.1分钟。

请参阅图7，为实施例1计算任务的运行效率随时间变化的曲线。图中横轴表示运行时间，纵轴表示当前所使用的计算资源占最大计算资源的百分比，即计算任务的运行效率。计算共用时约40.4小时。本实施例中，一个计算任务是由许多计算作业组成的，这些计算作业被逐个提交到分布式系统中等待计算。每个计算作业对应着某种光焦度分配形式P_m下的某种结构形式

所对应的自由曲面三反系统。图6中该任务的最高运行效率是81.5％，这是因为计算平台上还要运行其他用户的计算任务，所以提交后程序运行效率无法达到最大值。任务开始后约7.08小时，运行效率开始下降，这是因为之前提交的任务陆续完成，并且所有的计算任务已经提交完毕。任务开始后约24.5小时，效率下降到2.0％以下，超过99.0％的计算任务已经完成。将计算效率对时间进行积分，可以得到计算任务的总工作量，从而估算出运行效率100％时的理论计算时间约为6.17小时目前计算时间是计算平台与其他用户共享，如果能够独占计算资源，那么计算时间能够比目前的时间更短。

图8在相同比例尺下展示了部分设计结果。该部分自由曲面三反系统具有不同的结构形式、不同的光焦度分配形式和不同的体积，所有自由曲面三反系统的像质都能接近或达到衍射极限。图8第一行的三个系统(L3-1、L61-1和 L75-1)结构形式和体积相似，但光焦度分配形式不同。图8第二行的三个自由曲面三反系统(L14-1、L35-1和L87-2)也一样。第二行的自由曲面三反系统体积比第一行的自由曲面三反系统体积更小，光路更加紧凑。第三行的三个自由曲面三反系统(L17-5、L73-2和L18-1)结构形式不常见，结构更加紧凑，体积也更小。第四行中L137-3和L142-2具有球形轮廓结构，L162-4的系统结构较为罕见。第五行(L331-3、L306-7和L303-6)和第六行(L254-2、L306-2 和L307-2)中的系统主镜和次镜都为凸面，导致系统的体积偏大。

实施例2：

待设计的自由曲面三反光学系统的光学性能指标以及在设计方法中使用的参数详见表3和表4。

表3用户输入参数

表4内置方法和参数

本实施例中的工作波段为可见光，可见光系统中计算曲面形状的精度要求较高，而且自由曲面三反系统相对孔径较小，相比于相对孔径较大的系统其结构形式可能会更为多样。在无人干预的情况下经过34.6个小时的计算，最终共得到了59个像质接近或达到衍射极限的自由曲面三反系统，平均每个自由曲面三反系统的计算时间35.2分钟。

图9所示是实施例2计算任务的运行效率随时间变化的曲线，共用时约 34.6小时。相比于实施例1的计算任务，实施例2的平均运行效率更高，这就使得尽管实施例2计算量比实施例1要多，但用时反而更短。整个计算过程中最高效率最高可以达到99.0％。计算任务开始大约16.4小时后，运行效率开始下降；大约22.6小时后，运行效率下降到2.0％以下，计算任务已经完成了超过99.7％。根据计算效率的曲线，可以估算出实施例2的总计算量，然后得到运行效率100％时的理论计算时间约为11.0个小时。

图10展示了可见光系统部分有代表性的设计结果。第一行的三个自由曲面三反系统，V9-4、V39-3和V11-3分别代表了三种最常见的结构形式。第二行的V10-1、V142-2和V258-1结构形式相同，但体积大小不同。第三行的 V773-4和V911-3的结构形式相同，但体积大小不同，V912-3和前两者相比结构更为紧凑，体积也更小。第四行V26-6、V27-5和V452-3是三种比较不常见的特殊的结构形式，第五行的V989-4和V789-3的主镜和三镜的光焦度都是负的，V989-4中三镜和像面的间距相比于其他镜面之间的间距较短，而 V789-3中三镜和像面的距离较长。最后一行的V144-5中次镜和像面距离比较紧凑，而系统的后半段中三镜又和像面与次镜有一段距离。V347-1和V240-1 是结构较为常见、体积相对较小的两个系统，V240-1是所有解中最好的设计结果。

本发明提供的自由曲面三反系统的设计方法具有以下优点：第一，设计者只要给出光学系统的光学参数和结构约束，通过无需人工干预的自动计算，就可以得到一系列具有不同结构形式和光焦度分配形式的自由曲面成像系统，自由曲面成像系统的像质都能接近或达到衍射极限，所有自由曲面成像系统都满足给定的光学参数和结构约束，并且波像差、调制传递函数MTF等像质参数达到设计要求。第二，在光学设计的最后阶段，系统的质量达到要求后，设计者只需要要综合考虑加工难度、系统结构形状等因素，从众多结果中筛选出最好的一个作为最终设计，大大减少了人力资源和对光学设计者的经验要求。第三，通过实现高质量、多结果、自动化的自由曲面成像系统设计，本发明提出的设计方法为未来解放和扩大光学设计生产力提供了一种新的思路。

另外，本领域技术人员还可在本发明精神内作其它变化，当然这些依据本发明精神所作的变化，都应包含在本发明所要求保护的范围内。

Claims (10)

1.一种自由曲面成像系统的设计方法，其包括以下步骤：

步骤S1，构建一系列具有不同光焦度分配形式的同轴球面系统，记作P₁，P₂，...，P_m，...，P_M，将P₁，P₂，...，P_m，...，P_M的集合定义为集合{P}；其中，所述光焦度分配形式为同轴球面系统中曲面半径和曲面间距离的组合；

步骤S2，将所述集合{P}中的每一个同轴球面系统中的所有光学元件倾斜一系列角度，进而获得一系列离轴球面系统，记作

该

的集合定义为集合{C}_m；在集合{C}_m中找出所有无遮拦的离轴球面系统，记作

该

的集合记作集合

然后设定系统大小或结构约束，在集合

找到一系列紧凑的无遮拦的离轴球面系统，记作

该

的集合记为集合

步骤S3，以集合

中的每一个无遮拦的离轴球面系统为基础，构建一个自由曲面成像系统，进而得到一系列自由曲面成像系统，记作

该

的集合记作集合

并且在构建自由曲面成像系统的过程中，修正整个系统的光焦度；

步骤S4，提高所述集合

中自由曲面成像系统的像质得到一系列具有不同结构形式、不同光焦度分配形式的自由曲面成像系统，具体地，计算集合

中的每一个自由曲面成像系统中的每个光学元件的表面形状，并找到像面的最佳倾斜角；以及

步骤S5，根据像质评价依据自动评价所述具有不同结构形式、不同光焦度分配形式的自由曲面成像系统的像质，然后输出达到设计要求的自由曲面成像系统。

2.如权利要求1所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，步骤S1中，根据一阶光学和已知的焦距构建所述一系列具有不同的光焦度分配形式的同轴球面系统。

3.如权利要求2所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，同轴球面系统的像方焦距表示为：

其中，A是r_i，d_i和n_i的函数，A记为A(r_i，d_i，n_i)，n_N表示S_N与S_N+1之间的介质的折射率；

关于曲率半径和镜间距的参数共有2N-1个，该2N-1个参数为r₁，r₂，...，r_N，d₁，d₂，...，d_N-1，当所述2N-1个参数确定后，根据一阶光学的知识求出最后一个镜面到像面的距离d_N；因而描述同轴球面系统的所有参数共有2N个，将这2N个参数值的组合记作一向量P＝[r₁，r₂，...，r_N-1，r_N，d₁，d₂，...，d_N-1，d_N]，向量P为所述同轴球面系统中光焦度的分配形式。

4.如权利要求3所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，给定2N-2个参数是r₁，r₂，...，r_N-1，r_N，d₁，d₂，...，d_N-2，其中，各镜面的曲率半径r_i(i＝1，2，…，N)的取值范围是[r_min，r_max]，取值间隔是Δr，r_i＝r_min+Δr，r_min+2Δr，...，r_max；镜间距d_i(i＝1，2，…，N-2)的取值范围是[d_min，d_max]，取值间隔是Δd，d_i＝d_min+Δd，d_min+2Δd，...，d_max；当r₁，r₂，...，r_N-1，r_N和d₁，d₂，...，d_N-2的值确定后，求解得到对应的d_N-1和d_N，从而求得了全部参数，得到一系列不同的满足像方焦距f’的光焦度分配形式{P}。

5.如权利要求4所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，各镜面曲率半径r_i的取值范围设置为[-1000，1000]，其中，i＝1，2，…，N，取值范围的单位为mm，曲率半径r_i的取值间隔Δr＝100mm。

6.如权利要求1所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，定义一个全局坐标系O-XYZ，中心视场光线的入射方向定义为Z轴方向，垂直于Z轴方向的平面为XOY平面；在离轴球面系统的各个曲面处建立局部坐标系，以中心视场的主光线在镜面S_i上的入射点V_i为原点建立局部坐标系V_i-XYZ，单位轴向量V_iZ和曲面在V_i处的曲面法向方向平行，单位轴向量V_iY在全局坐标系的平面O-YZ中且与V_iZ垂直，单位轴向量V_iX和单位轴向量OX方向相同；设镜面S_i和S_i+1之间光束在O-YZ平面内的投影为B_i，其中i＝0，1，...，N，定义镜面上被光束照射的区域是该镜面的工作区域，设镜面S_j的工作区域被O-YZ平面截得的曲线段是E₁ ^(j)E₂ ^(j)，其中j＝0，1，...，N，I，S_I表示像面；离轴球面系统中无遮拦的条件是：对于任意一个B_i，i＝0，1，...，N，任何曲线段E₁ ^(j)E₂ ^(j)，j＝1，2，...，N，I和B_i没有重叠的部分，按照该条件进行筛选，得到所述无遮拦的离轴球面系统

7.如权利要求1所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，从集合

中找到各镜面处光路折叠角度较小的无遮拦的离轴球面系统，进而找到一系列紧凑的无遮拦的离轴球面系统

8.如权利要求7所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，对于光焦度分配形式为P_m的一个无遮拦的离轴球面系统

定义一个新的向量

其中C₀表示同轴球面系统，Δθ_i称为镜面S_i处光路的弯折角；定义集合

对应的向量

的集合为

所述无遮拦的离轴球面系统为三反系统，从集合

中找到各镜面处光路折叠角度较小的无遮拦的离轴球面系统采用最小化方法，具体地，将集合

中的向量分类，每一类中第1项Δθ₁和第2项Δθ₂分别相等，而第3项Δθ₃的值不同；将Δθ₃项最小化，具体地，在每一类中，找出一个Δθ₃绝对值最小的向量，相应的离轴球面系统在三镜处光路转角最小；对于已经得到的Δθ₃最小化的向量，采用和Δθ₃相同的最小化过程将Δθ₂项最小化；然后，对于已经得到的Δθ₂和Δθ₃都最小化的向量，采用和Δθ₃相同的最小化过程将把Δθ₁项最小化，得到一组Δθ₁，Δθ₂和Δθ₃均最小化的向量；以及在集合

中找出和Δθ₁，Δθ₂和Δθ₃都最小化的向量相应的结构向量，并记作

该

的集合记作集合

共有T_m个元素。

9.如权利要求8所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，进一步基于

用二分法求解每个镜面处光路折叠角度更小的一系列离轴球面系统，具体地，令无遮拦的上限θ_i，uob＝θ_i，有遮拦下限θ_i，obs＝θ_i0，取中间值θ_i，mid＝(θ_i，uob+θ_i，obs)/2；若θ_i＝θ_i，mid时离轴球面系统中无遮拦，则令θ_i，uob＝θ_i，mid，若θ_i＝θ_i，mid时离轴球面系统中有遮拦，则令θ_i，obs＝θ_i，mid；重复上述步骤直到|θ_i，uob-θ_i，obs|＜θ_max，其中θ_max是一个给定的阈值；依次求解出每个镜面处的上限值θ_3，uob，θ_2，uob和θ_1，uob，从而得到一个更紧凑的无遮拦的离轴球面系统

10.如权利要求1所述的自由曲面成像系统的设计方法，其特征在于，步骤S4中，采用一维搜索的方法找到所述像面的最佳倾斜角，具体地，以相同的离轴球面系统为起点，步骤S3和步骤S4建立自由曲面成像系统的过程中只有像面的倾斜角不同；当像面的倾斜角不同时，所得到的自由曲面成像系统的像质也各有差异，从中找到像质最好的那个，所对应的像面倾斜角即为像面的最佳倾斜角。

Images