CN108345106B - 混合表面光学系统的设计方法 - Google Patents

Abstract

一种混合表面光学系统的设计方法，建立初始系统，选K条特征光线；求解其中m条特征光线与球面a的m个交点，得到m个特征数据点，将m个特征数据点拟合得到球面A_m；求解第m+1个特征数据点，将m+1个特征数据点拟合得到球面A_m+1；以此类推，求解第K个特征数据点，将K个特征数据点拟合得到球面a；以此类推，获得所有球面；以球面光学系统为初始系统，将K条特征光线与球面a的交点作为K个特征数据点；将K个特征数据点进行拟合，得到非球面b；以此类推，获得所有非球面，得到第一混合表面光学系统；第一混合表面光学系统为初始系统，将K条特征光线与非球面b的交点作为K个特征数据点；将K特征数据点进行拟合，得到待求自由曲面c；以此类推，获得所有自由曲面。

Description

混合表面光学系统的设计方法

技术领域

本发明涉及光学领域，尤其涉及一种全视场的、基于逐点构建的混合表面光学系统的设计方法。

背景技术

在满足光学系统性能指标要求的情况下，使用简单的曲面如球面和非球面代替复杂的曲面如自由曲面来设计光学系统，可以减小成本和降低加工检测的难度。混合表面光学系统的每个表面可以有不同的选择，例如：球面、非球面和自由曲面，因此，混合表面光学系统相对于自由曲面光学系统成本较低且加工检测的难度小。

然而，现有的混合表面光学系统的设计方法是通过近轴光学理论求解得到同轴球面系统，然后在后续优化过程中将同轴球面系统转化为离轴混合表面光学系统，该设计方法得到的混合表面光学系统与理想系统的误差较大。

发明内容

有鉴于此，确有必要提供一种混合表面光学系统的设计方法，该设计方法得到的混合表面光学系统与理想系统的误差较小。

一种混合表面光学系统的设计方法，其包括以下步骤：

S1：建立一第一初始系统，该第一初始系统包括多个初始曲面，且该第一初始系统中的一个初始曲面对应待设计混合表面光学系统中一个曲面，选取来自不同视场不同孔径的K条特征光线；

S2：在所述第一初始系统的基础上求解一球面光学系统，具体地，将该球面光学系统中的一个待求球面定义为球面a，保持该多个初始曲面不变，逐点求解K条特征光线中的m条特征光线与球面a的m个交点，得到m个第一特征数据点，m<K，将m个第一特征数据点拟合得到初始球面A_m；根据初始球面A_m得到第m+1个第一特征数据点P_m+1，将m+1个第一特征数据点拟合得到球面A_m+1；以此类推，重复求特征数据点-球面拟合的过程，直到求解得到第K个第一特征数据点P_K，将K个第一特征数据点拟合得到球面A_K，该球面A_K为球面a；以此类推，直到获得该球面光学系统中的所有球面；

S3：将待设计混合表面光学系统中的一个待求非球面定义为非球面b，以所述球面光学系统作为第二初始系统，保持球面光学系统中的多个球面不变，将K条特征光线与所述球面a的K个交点作为K个第二特征数据点；将该K个第二特征数据点进行曲面拟合，得到非球面b；以此类推，直到获得待设计混合表面光学系统中所有的待求非球面，进而得到一拥有球面和非球面的第一混合表面光学系统；

S4：将待设计混合表面光学系统中的一个待求自由曲面定义为自由曲面c，以所述第一混合表面光学系统作为第三初始系统，保持该第一混合表面光学系统中的非球面不变，将K条特征光线与非球面b的K个交点作为K个第三特征数据点；将该K个第三特征数据点进行曲面拟合，得到待求自由曲面c；以此类推，直到获得待设计混合表面光学系统中所有的待求自由曲面，进而得到待设计的混合表面光学系统。

与现有技术相比，本发明提供的混合表面光学系统的设计方法，直接在离轴状态下，通过逐点构建的方法求解未知曲面上的特征数据点，并将特征数据点拟合得到混合表面光学系统中的曲面。该方法可以避免现有技术在计算过程中将混合表面光学系统从同轴转化为离轴产生的误差，进而使得到的混合表面光学系统与理想系统的误差较小。而且该方法更具有通用性，对设计人员的经验要求不高。

附图说明

图1为本发明实施例提供的求解特征数据点时特征光线起点与终点示意图。

图2为本发明实施例提供的全局坐标系与第一局部坐标系的位置关系图。

图3为本发明实施例提供的求解中间点G_m的示意图。

图4为本发明实施例提供的求解第m+1个第一特征数据点P_m+1的示意图。

图5为本发明实施例求解球面三反光学系统的示意图。

图6为本发明实施例提供的确定第一局部坐标系参数取值的示意图。

图7为本发明实施例提供的混合表面离轴三反光学系统的示意图。

图8为本发明实施例提供的的混合表面离轴三反光学系统的各镜面之间的位置关系。

图9为本发明实施例提供的混合表面离轴三反光学系统的RMS弥散斑直径示意图。

图10为本发明实施例提供的优化后的混合表面离轴三反光学系统的光路示意图。

图11为本发明实施例提供的优化后的混合表面离轴三反光学系统的MTF曲线。

图12为本发明实施例提供的优化后的混合表面离轴三反光学系统的RMS波前误差示意图。

主要元件符号说明

混合表面离轴三反光学系统 100

主镜 120

次镜 140

三镜 160

图像传感器 180

如下具体实施方式将结合上述附图进一步说明本发明。

具体实施方式

下面将结合附图及具体实施例对本发明提供的混合表面光学系统的设计方法作进一步的详细说明。

一种混合表面光学系统的设计方法，其包括以下步骤：

S1：建立一第一初始系统，该第一初始系统包括多个初始曲面，且该第一初始系统中的一个初始曲面对应待设计混合表面光学系统中一个曲面，选取来自不同视场不同孔径的K条特征光线；

S2：在所述第一初始系统的基础上求解一球面光学系统，具体地，将该球面光学系统中的一个待求球面定义为球面a，保持该多个初始曲面不变，逐点求解K条特征光线中的m条特征光线与球面a的m个交点，得到m个第一特征数据点，m<K，将m个第一特征数据点拟合得到初始球面A_m；根据初始球面A_m得到第m+1个第一特征数据点P_m+1，将m+1个第一特征数据点拟合得到球面A_m+1；以此类推，重复求特征数据点-球面拟合的过程，直到求解得到第K个第一特征数据点P_K，将K个第一特征数据点拟合得到球面A_K，该球面A_K为球面a；以此类推，直到获得该球面光学系统中的所有球面；

S3：将待设计混合表面光学系统中的一个待求非球面定义为非球面b，以所述球面光学系统作为第二初始系统，保持球面光学系统中的多个球面不变，将K条特征光线与所述球面a的K个交点作为K个第二特征数据点；将该K个第二特征数据点进行曲面拟合，得到非球面b；以此类推，直到获得待设计混合表面光学系统中所有的待求非球面，进而得到一拥有球面和非球面的第一混合表面光学系统；

S4：将待设计混合表面光学系统中的一个待求自由曲面定义为自由曲面c，以所述第一混合表面光学系统作为第三初始系统，保持该第一混合表面光学系统中的非球面不变，将K条特征光线与非球面b的K个交点作为K个第三特征数据点；将该K第三特征数据点进行曲面拟合，得到待求自由曲面c；以此类推，直到获得待设计混合表面光学系统中所有的待求自由曲面，进而得到待设计的混合表面光学系统。

步骤S1中，所述初始系统的建立以消除遮拦为前提。所述多个初始曲面可以为平面、球面等。本实施例中，所述初始系统包括三个初始平面，该三个初始平面分别是主镜初始平面、次镜初始平面以及三镜初始平面，所述主镜初始平面，次镜初始平面以及三镜初始平面均为具有偏心和倾斜的平面。

所述选取来自不同视场不同孔径的K条特征光线R_i(i＝1,2…K)可通过以下方法进行：

根据需求选取M个视场，将每个视场的孔径分成N等份，并从每一等份中选取不同孔径位置的P条特征光线，这样一共选取了K＝M×N×P条对应不同视场不同孔径位置的特征光线。所述孔径可以为圆形、长方形、正方形、椭圆形或其它规则或不规则的形状。优选的，所述视场孔径为圆形孔径，将每个视场的圆形孔径等分成N个角度，间隔为

因此有

沿着每个角度的半径方向取P个不同的孔径位置，那么一共选取K＝M×N×P条对应不同视场不同孔径位置的特征光线。本实施例中，共选取14个离轴视场，该14个离轴视场分别为(0°,-16°)、(0°,-15°)、(0°,-14°)、(0°,-13°)、(0°,-12°)、(0°,-11°)、(0°,-10°)、(1.5°,-16°)、(1.5°,-15°)、(1.5°,-14°)、(1.5°,-13°)、(1.5°,-12°)、(1.5°,-11°)、(1.5°,-10°)，每个离轴视场取112条特征光线，因此共选取了1568条对应不同视场不同孔径位置的特征光线。

请参阅图1，将特征光线R_i(i＝1,2…K)与待求球面Ω的交点定义为第一特征数据点P_i(i＝1,2,……K)。为了得到一个待求球面Ω上的所有第一特征数据点，将借助特征光线R_i(i＝1,2…K)与待求球面Ω的前一个曲面Ω'及后一个曲面Ω”的交点。在求解每条特征光线R_i(i＝1,2…K)对应的待求球面Ω上的第一特征数据点时，将该特征光线R_i与前一个曲面Ω'的交点定义为该特征光线的起点S_i，特征光线R_i与后一个曲面Ω”的交点定义为该特征光线的终点E_i。当待设计的系统与特征光线确定后，该特征光线R_i的起点S_i是确定的，且易于通过光线追迹即物像关系得到，特征光线的终点E_i可通过物像关系求解。在理想状态下，特征光线R_i从Ω'上的S_i射出后，经过Ω上的P_i，交于Ω”上的E_i，并最终汇聚于理想像点I_i。本实施例中，当待求球面Ω为三镜时，特征光线与次镜和像面的交点分别定义为特征光线的起点S_i和终点E_i，E_i即为理想像点I_i。当待求球面Ω为次镜时，特征光线与主镜和三镜的交点分别为特征光线的起点S_i和终点E_i，根据费马原理可以得到E_i为三镜上使P_i-E_i-像点I_i之间光程最短的点。当待求球面为主镜时，根据费马原理可以得到E_i为次镜上使P_i-E_i-F_i-I_i之间光程最短的点。

步骤S2中，m的取值可以由设计者决定，选取原则是能够保证球面拟合的准确性。优选的，m的值可以大于K/3小于2K/3。如果m的值太小，拟合误差会比较大；如果m值太大，则后续的特征数据点比较少，不利于误差的进一步减小。更优选的，m的值越靠近K/2越好。本实施例中，所述m的取值为K/2＝784。

所述球面a上的m个第一特征数据点(P₁,P₂,……P_m)的计算方法包括以下步骤：

步骤a，取定一第一条特征光线R₁与所述球面a对应的初始曲面的第一交点为第一特征数据点P₁；

步骤b，在得到第i(1≤i≤m-1)个第一特征数据点P_i后，根据斯涅尔定律的矢量形式求解第i个第一特征数据点P_i处的单位法向量

进而求得P_i处的单位切向量

步骤c，仅过所述第i(1≤i≤m-1)个第一特征数据点P_i做一第一切平面并与其余m-i条特征光线相交，得到m-i个第二交点，从该m-i个第二交点中选取出与所述第i个第一特征数据点P_i距离最短的第二交点Q_i+1，并将其对应的特征光线及与所述第i个第一特征数据点P_i的最短距离分别定义为R_i+1和D；

步骤d，过第一特征数据点P_i(1≤i≤m-1)之前已求得的i-1个第一特征数据点分别做一第二切平面，得到i-1个第二切平面，该i-1个第二切平面与所述特征光线R_i+1相交得到i-1个第三交点，在每一第二切平面上每一第三交点与其所对应的第一特征数据点P_i形成一交点对，在所述交点对中，选出交点对中距离最短的一对，并将距离最短的交点对的第三交点和最短距离分别定义为Q_(i+1)'和D_i'；

步骤e，比较D_i与D_i'，如果D_i≤D_i'，则把Q_i+1取为下一个第一特征数据点P_i+1，反之，则把Q_(i+1)'取为下一个第一特征数据点P_i+1；以及

步骤f，重复步骤b到e，直到计算得到球面a上的m个第一特征数据点P_i(i＝1,2…m)。

步骤b中，每个第一特征数据点P_i(P₁,P₂,……P_m)处的单位法向量

可以根据斯涅尔(Snell)定律的矢量形式求解。当待求球面Ω为折射面时，则每个第一特征数据点P_i(i＝1,2…m)处的单位法向量

满足：

其中，

分别是沿着光线入射与出射方向的单位矢量，n,n'分别为待求球面Ω前后两种介质的折射率。

类似的，当待求球面Ω为反射面时，则每个第一特征数据点P_i(i＝1,2…m)处的单位法向量

满足：

请参阅图2，将所述第一初始系统所在的空间定义一全局坐标系。其中，将光束传播方向定义为z轴，垂直于z轴方向的平面为xy平面。

所述第一特征数据点P_m+1的求解包括以下步骤：

首先，请参阅图3，计算一中间点G_m。具体地，请参阅图3，求解第一特征数据点P_m处的切平面T_m，该切平面T_m与初始球面A_m相交得到相贯线L_m；在全局坐标系中，在所述相贯线L_m上，与所述第一特征数据点P_m的x坐标相同的点即为中间点G_m。

其次，求解第一特征数据点P_m+1，特征数据点P_m+1为其对应的特征光线和距离最近的已知的m个第一特征数据点(P₁,P₂,……P_m)的切平面的交点。请参阅图4，具体包括以下步骤：

第一步，找到第一特征数据点P_m+1对应的特征光线，即，在剩余的K-m条特征光线中找到距离中间点G_m最近的特征光线。具体地，中间点G_m位于初始球面A_m上，所以根据球面表达式，可以求得中间点G_m在初始球面A_m处的法向n_m，进而得到中间点G_m在初始球面A_m处的切平面；将中间点G_m的切平面与剩余K-m条特征光线相交，得到K-m个交点，从该K-m个交点中，找到与中间点G_m距离最近的交点P_m'，该交点P_m'所在的光线即为第一特征数据点P_m+1对应的特征光线R_m+1；

第二步，特征光线R_m+1与已经求得的m个第一特征数据点P_i(1≤i≤m)和中间点G_m的切平面相交，对应得到m+1个交点P'_i(1≤i≤m)和G'_m。从m+1个第一特征数据点/中间点-交点对中找到距离最短的一对(F–F')，其中的第一特征数据点/中间点F为距离第一特征数据点P_m+1最近的点，交点F'即为下一个第一特征数据点P_m+1。

所述第一特征数据点P_K的求解方法与所述特征数据点P_m+1的求解方法相同。在此不再一一赘述。

所述将m个第一特征数据点拟合得到初始球面A_m；将m+1个第一特征数据点拟合得到球面A_m+1；以及将K个第一特征数据点拟合得到球面A_K均采用最小二乘法来进行拟合。

所述第一特征数据点的坐标为(x_i,y_i,z_i)，对应的法向量为(u_i,v_i,-1)。设球心为(A,B,C)，半径为r，球面的方程为：

(x_i-A)²+(y_i-B)²+(z_i-C)²＝r² (1)。

将球面的方程(1)分别对x和y进行求导得到x轴和y轴方向的法向矢量u_i和v_i表达式。

将式(1)、(2)、(3)改写成矩阵的形式，并进行矩阵的行列变换，分别对应得到通过坐标值和法向值求解圆心坐标的表达式(4)、(5)、(6)。

球面上光线的偏折方向与其法向量(u,v,-1)密切相关，因此，在拟合过程中应该同时考虑第一特征数据点坐标误差和法向误差的影响。根据以上分析，将坐标计算和法向计算进行线性加权来求解球心(A,B,C)和半径r。

式(4)+ω×式(5)+ω×式(6) (7)，

式(1)+ω×式(2)+ω×式(3) (8)，

其中，ω为法向计算的权重值。通过公式(7)可以求得球心(A,B,C)的值，通过公式(8)可以求得球面半径r的值。

得到所述球面a后，可进一步改变该球面a的半径得到球面a'，进而改变该球面a的光焦度，优选的，r_a’＝ε_a×r_a，ε_a＝0.5～1.5，r_a为球面a的半径，r_a’为球面a'的半径。以此类推，所述球面光学系统中的每个球面求解之后，均改变该球面的半径得到一个新的球面，进而改变该球面的光焦度。请参阅图5，本实施例中，首先按照所述步骤S2中的计算方法得到球面C，改变球面C的半径得到球面C'；保持主镜初始平面与球面C'不变，计算得到球面B，改变球面B的半径得到球面B'，保持球面B'与球面C'不变，计算得到球面A，改变球面A的半径得到球面A'，进而得到一球面三反光学系统。

步骤S3中，非球面上特征光线的偏折方向与其法向N＝(U,V,-1)密切相关，如果法向拟合的误差较大，特征光线的传播路径将偏离预期，成像质量会受到很大的影响。优选的，在将该K个第二特征数据点进行曲面拟合的过程中同时考虑第二特征数据点坐标误差和法向误差的影响，根据物像关系分别求解K个第二特征数据点处的单位法向量；将该K第二特征数据点的坐标和法向进行曲面拟合。

求解K个第二特征数据点处的单位法向量的方法与步骤S2中求解每个第一特征数据点Pi(P1，P2，……Pm)处的单位法向量

的方法相同，在此不再一一赘述。

以非球面b的顶点(0，a′，b′)为原点，非球面b的对称轴为z轴建立第一局部坐标系。所述全局坐标系与第一局部坐标系之间的旋转角度为θ。所述第一局部坐标系的位置由参数a′、b′、θ描述。

将坐标误差和法向误差进行线性加权，提出误差评价函数J：

J＝Σ(Z-z)²+ω×Σ(U-u)²+ω×Σ(V-v)²

＝(z-A₁P)^T(z-A₁P)+ω(u-A₂P)^T(v-A₂P)+ω(v-A₃P)^T(v-A₃P) (10)，

其中，Z为拟合得到的坐标值；(U，V，-1)为拟合得到的法向量；z为第二特征数据点的坐标值；(u，v，-1)为第二特征数据点的法向量；ω为法向误差的权重值；P为待求非球面b的系数矩阵(A，B，C，D)；A₁为矩阵(r²，r⁴，r⁶，r⁸)；A₂和A₃分别是A₁对x和y求偏导数后得到的矩阵。

当误差评价函数J最小时，待求非球面b的系数矩阵P的求解公式为：

P＝(A₁ ^TA₁+ωA₂ ^TA₂+ωA₃ ^TA₃)^-1(A₁Tz+ωA₂ ^Tu+ωA₃Tv) (11)。

具体地，所述将该K个第二特征数据点进行拟合得到非球面b包括以下步骤：

S31：将所述K个第二特征数据点在全局坐标系中的坐标(x₀，y₀，z₀)及其对应的法向量(α₀，β₀，γ₀)变换为第一局部坐标系中的坐标(x，y，z)及其法向量(α，β，γ)；以及

S32：在所述第一局部坐标系xyz中，进行最小二乘法拟合。

步骤S31中，所述K个第二特征数据点在全局坐标系中的坐标(x₀，y₀，z₀)及其对应的法向量(α₀，β₀，γ₀)与在第一局部坐标系中的坐标(x，y，z)及其对应的法向量(α，β，γ)的关系式分别为：

和

其中，通过在第二特征数据点附近采用局部搜索算法得到多个第一局部坐标系位置，从中选择令拟合误差最小的一个第一局部坐标系的z轴作为非球面b的对称轴。

请参阅图6，当将所述K个第二特征数据点(P₁,P₂,……P_k)进行拟合得到非球面b时，需要确定第一局部坐标系的位置。非球面顶点坐标(0,a',b')的值通过在以第二特征数据点P₁和P_k的连线为对角线的矩形内采用局部搜索算法得到。具体地，在以第二特征数据点P₁和P_k的连线为对角线的矩形内进行网格划分，网格节点定义为非球面b的顶点坐标(0,a',b')的值，网格大小为(0,a',b')取值的步长。本实施例中，所述网格的步长为0.2mm。对于每个节点坐标(0,a,b)，旋转角θ可以取[-π,π]，用这种方法可以得到多组a'、b'、θ的值，对应多个第一局部坐标系位置。

对所述多组a'、b'、θ的值，分别对应不同的第一局部坐标系位置继续进行最小二乘法拟合计算，可以得到对应的系数矩阵P和误差评价函数J。找到令J值最小的一组a'、b'、θ即为最佳第一局部坐标系位置参数，采用该最佳第一局部坐标系位置参数建立所述第一局部坐标系xyz。

将对应的系数矩阵P带入非球面表达式：

Z＝Ar²+Br⁴+Cr⁶+Dr⁸+L其中r²＝x²+y²

得到非球面b。其中，L为r的8次以上的更高次项，由于次数太高在加工中比较困难，所以在实际计算中L项直接省略。

步驟S4中，在将该K个第三特征数据点进行曲面拟合的过程中优选同时考虑第三特征数据点坐标误差和法向误差的影响，根据物像关系分别求解K个第三特征数据点处的单位法向量；将该K个第三特征数据点的坐标和法向进行曲面拟合。

求解K个第三特征数据点处的单位法向量的方法与步骤S2中求解每个第一特征数据点P_i(P₁,P₂,……P_m)处的单位法向量

的方法相同，在此不再一一赘述。

将所述自由曲面c上的多个第三特征数据点进行曲面拟合包括以下步骤：

S41：将所述多个第三特征数据点在所述全局坐标系中拟合成一球面，得到该球面的曲率c及其对应的曲率中心(x_c,y_c,z_c)，

S42：将中心采样视场主光线对应的第三特征数据点(x_o,y_o,z_o)定义为球面的顶点，并以该球面的顶点为原点，过曲率中心与球面顶点的直线为z轴，建立一第二局部坐标系；

S43：将所述多个第三特征数据点在全局坐标系中的坐标(x_i,y_i,z_i)及其对应的法向量(α_i,β_i,γ_i)变换为第二局部坐标系中的坐标(x'_i,y'_i,z'_i)及其法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)；

S44：根据所述多个第三特征数据点在第二局部坐标系中的坐标(x'_i,y'_i,z'_i)，以及步骤S42中求得的球面的曲率c，将多个第三特征数据点在第二局部坐标系中拟合成一个二次曲面，得到二次曲面系数k；以及

S45：将所述多个第三特征数据点在第二局部坐标系中的二次曲面上的坐标与法向量分别从坐标(x'_i,y'_i,z'_i)和法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)中排除掉，得到残余坐标与残余法向量，将该残余坐标与残余法向量拟合成一个自由曲面，该自由曲面的方程式与所述二次曲面的方程式相加即可得到所述自由曲面c的方程式。

通常的，光学系统关于三维直角坐标系的yoz面对称，因此，步骤S41中，所述球面在第二局部坐标系yoz面内相对于在全局坐标系yoz面内的倾斜角θ为：

所述多个第三特征数据点在第二局部坐标系中的坐标(x'_i,y'_i,z'_i)与法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)与在全局坐标系中的坐标(x_i,y_i,z_i)和法向量(α_i,β_i,γ_i)的关系式分别为：

和

在第二局部坐标系中，将在二次曲面上的第三特征数据点的坐标与法向量分别定义为(x'_i,y'_i,z'_is)和(α'_is,β'_is,γ'_is)。将法向的z'分量归一化为－1，将在二次曲面上的第三特征数据点坐标(x'_i,y'_i,z'_is)与法向量(α'_is,β'_is,γ'_is)分别从坐标(x'_i,y'_i,z'_i)和法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)排除掉之后，得到残余坐标(x”_i,y”_i,z”_i)与残余法向量(α”_s,β”_s,-1)分别为：

(x_i”,y_i”,z_i”)＝(x_i',y_i',z_i'-z_is')和

步骤S45中，所述将残余坐标与残余法向量拟合得到自由曲面c的步骤包括：

S451：在所述第二局部坐标系中，用排除掉二次曲面项的多项式曲面作为待构建自由曲面的面形描述，即

其中，g_j(x,y)为多项式的某一项，P＝(p₁,p₂,…,p_J)^T为系数集合；

S452：获得残余坐标拟合误差d₁(P)，即所述残余坐标值(x”_i,y”_i,z”_i)(i＝1,2,…,n)与所述自由曲面在z'轴方向残余坐标差值的平方和；以及残余法向矢量拟合误差d₂(P)，即所述残余法向量N_i＝(α”_i,β”_i,-1)(i＝1,2,…,n)与所述自由曲面法向量的矢量差的模值的平方和，

其中，Z＝(z₁,z₂,…,z_I)^T,U＝(u₁,u₂,…,u_I)^T,V＝(v₁,v₂,…,v_I)^T，

S453：获得评价函数

其中，w为权重且大于0；

S454：选择不同的权重w，并令所述评价函数f(P)的梯度

从而获得多组不同的P及其对应的多个自由曲面面形z＝f(x,y；P)；以及

S455：获得具有最佳的成像质量的最终自由曲面面形。

所述混合表面光学系统的设计方法可进一步包括一对步骤S4中得到的混合表面光学系统进行优化的步骤。具体地，将步骤S4中得到的混合表面光学系统作为后续优化的初始系统。可以理解，该对步骤S4中得到的混合表面光学系统进行优化的步骤并不是必需的，可以根据实际需要设计。

请参阅图7，本发明实施例采用上述混合表面光学系统的设计方法设计得到一混合表面离轴三反光学系统100。其中，该混合表面离轴三反光学系统100包括相邻且间隔设置的一主镜120、一次镜140、一三镜160以及一图像传感器180，该次镜140为光阑面。所述主镜120的面形为自由曲面，次镜140的面形为非球面，三镜160的面形为球面。从光源出射的特征光线依次经过所述主镜120、次镜140、以及三镜160的反射后，在图像传感器180上成像。所述混合表面离轴三反光学系统100的参数请参见表1，

表1

在设计该混合表面离轴三反光学系统100时，共选取14个离轴视场进行设计，该14个离轴视场分别为(0°,-16°)、(0°,-15°)、(0°,-14°)、(0°,-13°)、(0°,-12°)、(0°,-11°)、(0°,-10°)、(1.5°,-16°)、(1.5°,-15°)、(1.5°,-14°)、(1.5°,-13°)、(1.5°,-12°)、(1.5°,-11°)、(1.5°,-10°)，每个离轴视场取112条特征光线，因此共选取了1568条对应不同视场不同孔径位置的特征光线。

请参阅图8，在空间中定义一第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)，水平方向的z₁轴向左为负向右为正，y₁轴垂直于z₁轴向上为正向下为负，x₁轴垂直于y₁z₁平面，垂直y₁z₁平面向里为正向外为负。

在空间中相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)，以所述主镜120所在的空间定义一第二三维直角坐标系(x₂，y₂，z₂)。所述第二三维直角坐标系(x₂，y₂，z₂)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0，244.51，193.62)位置(单位：mm)，z₂轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转13.39度。

在空间中相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)，以所述次镜140所在的空间定义一第三三维直角坐标系(x₃，y₃，z₃)。所述第三三维直角坐标系(x₃，y₃，z₃)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0,0,-100)位置(单位：mm)，z₃轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转15度。

在空间中相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)，以所述三镜160所在的空间定义一第四三维直角坐标系(x₄，y₄，z₄)。所述第四三维直角坐标系(x₄，y₄，z₄)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0,-160.83，209.49)位置(单位：mm)，z₄轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转0度。

在空间中相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)，以所述图像传感器180所在的空间定义一第五三维直角坐标系(x₅，y₅，z₅)。所述第五三维直角坐标系(x₅，y₅，z₅)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0,-145.13,-174.41)位置(单位：mm)，z₅轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转10度。

所述混合表面离轴三反光学系统100在y₁轴方向上的长度为430mm，在z₁轴方向上的长度为400mm。

在所述第二三维直角坐标系(x₂，y₂，z₂)中，所述主镜120的反射面为一6次的x₂y₂多项式自由曲面，该6次的x₂y₂多项式自由曲面的表达式为：

其中，z为曲面矢量高，c为曲面曲率，k为二次曲面系数，b_i是多项式中第i项的系数。本实施例中，c＝4.57e-04，k＝0.048，b₁＝0.0951，b₂＝5.26e-06，b₃＝7.90e-05，b₄＝3.41e-07，b₅＝3.97e-07，b₆＝5.54e-10，b₇＝1.29e-09，b₈＝6.84e-10，b₉＝0，b₁₀＝0，b₁₂＝0。

在所述第三三维直角坐标系(x₃，y₃，z₃)中，所述次镜140的反射面为一6次的x₃y₃非球面，该6次的x₃y₃非球面的表达式为：

其中，z为曲面矢量高，c为曲面曲率，k为二次曲面系数，a₁，a₂是多项式中的系数。本实施例中，c＝5.73e-04，k＝0，a₁＝1.21e-12，a₂＝-8.85e-16。

在所述第四三维直角坐标系(x₄，y₄，z₄)中，所述三镜160的反射面为一x₄y₄球面，该x₄y₄球面的表达式为：

(x-A)²+(y-B)²+(z-C)²＝r²。

本实施例中，A＝0，B＝-160.83，C＝209.49，r＝-988.48。

可以理解，主镜以及次镜的表达式中的曲率c、二次曲面系数k以及各项系数的值，以及三镜的表达式中的A，B，C，r并不限定于本实施例中，本领域技术人员可以根据实际需要调整。

请参阅图9，为所述混合表面离轴三反光学系统100的RMS光斑直径，从图中可以看出，所述离轴非球面三反光学系统100的RMS光斑直径平均值为0.296mm，RMS光斑直径比较小，说明该混合表面离轴三反光学系统100可作为良好的初始结构进行后续优化。

为了进一步提高混合表面离轴三反光学系统100的成像质量，减小相对畸变。将所述混合表面离轴三反光学系统100作为后续优化的初始结构，使用CODEV软件对该混合表面离轴三反光学系统100进行优化。优化后，所述6次的x₂y₂多项式自由曲面的表达式中，c＝5.54e-04，k＝90.31，b₁＝0，b₂＝0.0003，b₃＝0.0005，b₄＝9.07e-07，b₅＝1.03e-06，b₆＝-2.37e-10，b₇＝9.88e-10，b₈＝1.31e-09，b₉＝-4.64e-14，b₁₀＝-1.91e-13，b₁₁＝-2.05e-13，b₁₂＝-7.56e-14。所述6次的x₃y₃非球面的表达式中，c＝9.19e-04，k＝0，a₁＝-4.49e-11，a₂＝-1.35e-15。所述x₄y₄球面的表达式中，A＝0，B＝-266.75，C＝313.84，r＝-996.65。

优化后，所述第二三维直角坐标系(x₂，y₂，z₂)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0，18.57，274.09)位置(单位：mm)，z₂轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转7.63度；所述第三三维直角坐标系(x₃，y₃，z₃)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0,-227.00，-48.81)位置(单位：mm)，z₃轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转18.03度；所述第四三维直角坐标系(x₄，y₄，z₄)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0,-266.75，313.84)位置(单位：mm)，z₄轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转10.77度；所述第五三维直角坐标系(x₅，y₅，z₅)的原点在所述第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的(0,-365.47,-27.10)位置(单位：mm)，z₅轴正方向相对于第一三维直角坐标系(x₁，y₁，z₁)的z₁轴正方向逆时针旋转9.74度。

请参阅图10，为优化后，混合表面离轴三反光学系统100的光路图，从图中可以看出，来自不同视场不同孔径的特征光线通过主镜120、次镜140和三镜160的反射基本汇聚到了理想像点，成像质量较好。

请参阅图11，为优化后，混合表面离轴三反光学系统100为在可见光波段部分视场角的调制传递函数MTF，从图中可以看出，各视场MTF曲线都基本达到了衍射极限，表明该优化后，离轴非球面三反光学系统100具有很高的成像质量。

请参阅图12，为优化后，混合表面离轴三反光学系统100的RMS波前误差，从图中可以看出，所述离轴非球面三反光学系统100的RMS波前误差平均值为0.042λ，其中λ＝10000nm。RMS波前误差比较小。

所述混合表面离轴三反光学系统100的入瞳直径D为100毫米。

所述混合表面离轴三反光学系统100系统在垂直方向上采用了离轴视场。所述混合表面离轴三反光学系统100的视场角为3°×6°，其中，在水平方向的角度为-1.5°至1.5°，在垂直方向的角度为-16°至-10°。

所述混合表面离轴三反光学系统100的工作波长范围为8微米到12微米。当然，所述混合表面离轴三反光学系统100的工作波长并不限于本实施例，本领域技术人员可以根据实际需要调整。

所述混合表面离轴三反光学系统100的焦距f为220mm。

所述混合表面离轴三反光学系统100的相对孔径大小D/f为0.45，F数为所述相对孔径大小D/f的倒数，即F数为2.2。

本发明提供的混合表面光学系统的设计方法具有以下优点：其一，混合表面光学系统的设计方法直接在离轴状态下，基于逐点构建的方法求解未知曲面上的特征数据点，并将特征数据点拟合得到混合表面光学系统中的曲面，避免了现有技术在计算过程中将混合表面光学系统从同轴转化为离轴产生的误差，进而使得到的混合表面光学系统与理想系统的误差较小。其二，该方法在求解所述球面光学系统时将拟合过程与数据点求解过程相结合，通过不断重复求数据点-球面拟合的过程来求解未知曲面，不同于以往的逐点设计方法将数据点全部求解结束之后再进行拟合，提高了设计的准确性；其三，提出了逐点计算过程中的光焦度分配方法，计算得到一个球面，通过改变该球面的半径来改变其拥有的光焦度，然后依次计算其余球面来补偿改变的光焦度。进而使计算得到的球面光学系统的光焦度分配更加均匀，可以作为更好的初始结构进行后续的计算。其四，通过建立全局坐标系和局部坐标系，将K个第二特征数据点在全局坐标系中的坐标(x₀,y₀,z₀)及其对应的法向量(α₀,β₀,γ₀)变换为在局部坐标系中的坐标(x,y,z)及其法向量(α,β,γ)，在局部坐标系中进行拟合得到非球面，该拟合方法比较精确；其五，在将第二特征数据点和第三特征数据点进行曲面拟合时，同时考虑了第二特征数据点和第三特征数据点的坐标和法向量，使得到的非球面的面形以及自由曲面的面形更加准确，且提高了混合表面光学系统的光学性能；其六，该逐点设计方法可用来设计不同组合形式的混合表面系统，增加了光学设计的多样性。

另外，本领域技术人员还可在本发明精神内做其他变化，当然，这些依据本发明精神所做的变化，都应包含在本发明所要求保护的范围之内。

Claims (10)

1.一种混合表面光学系统的设计方法，其包括以下步骤：

S1：建立一第一初始系统，该第一初始系统包括多个初始曲面，且该第一初始系统中的一个初始曲面对应待设计混合表面光学系统中一个曲面，选取来自不同视场不同孔径的K条特征光线；

S2：在所述第一初始系统的基础上求解一球面光学系统，将该球面光学系统中的一个待求球面定义为球面a，保持该多个初始曲面不变，逐点求解K条特征光线中的m条特征光线与球面a的m个交点，得到m个第一特征数据点，m＜K，将m个第一特征数据点拟合得到初始球面A_m；根据初始球面A_m得到第m+1个第一特征数据点P_m+1，将m+1个第一特征数据点拟合得到球面A_m+1；以此类推，重复求特征数据点-球面拟合的过程，直到求解得到第K个第一特征数据点P_K，将K个第一特征数据点拟合得到球面A_K，该球面A_K为球面a；以此类推，按照所述球面a的求解方法求解该球面光学系统中的其它球面，直到获得该球面光学系统中的所有球面；

S3：将待设计混合表面光学系统中的一个待求非球面定义为非球面b，以所述球面光学系统作为第二初始系统，保持球面光学系统中的多个球面不变，将K条特征光线与所述球面a的K个交点作为K个第二特征数据点；将该K个第二特征数据点进行曲面拟合，得到非球面b；以此类推，按照所述非球面b的求解方法求解待设计混合表面光学系统中的其它待求非球面，直到获得待设计混合表面光学系统中所有的待求非球面，进而得到一拥有球面和非球面的第一混合表面光学系统；

S4：将待设计混合表面光学系统中的一个待求自由曲面定义为自由曲面c，以所述第一混合表面光学系统作为第三初始系统，保持该第一混合表面光学系统中的非球面不变，将K条特征光线与非球面b的K个交点作为K个第三特征数据点；将该K个 第三特征数据点进行曲面拟合，得到待求自由曲面c；以此类推，按照所述自由曲面c的求解方法求解待设计混合表面光学系统中的其它待求自由曲面，直到获得待设计混合表面光学系统中所有的待求自由曲面，进而得到待设计的混合表面光学系统。

2.如权利要求1所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，将所述初始系统所在的空间定义一全局坐标系xyz，其中，光束传播方向定义为z轴，垂直于z轴方向的平面为xoy平面；所述求解第m+1个第一特征数据点P_m+1包括以下步骤：

计算一中间点G_m，其计算方法包括：求解所述第一特征数据点P_m处的切平面T_m，该切平面T_m与所述初始球面A_m相交得到相贯线L_m；在全局坐标系x₀y₀z₀中，在所述相贯线L_m上，与所述第一特征数据点P_m的x₀坐标相同的点定义为中间点G_m；

求解第一特征数据点P_m+1，其求解方法包括：在剩余的K-m条特征光线中找到距离所述中间点G_m最近的特征光线，该特征光线为第一特征数据点P_m+1对应的特征光线R_m+1，求解特征光线R_m+1和已知的m个第一特征数据点以及中间点G_m中距离该第一特征数据点P_m+1最近的点的切平面的交点，该交点为所述第一特征数据点P_m+1。

3.如权利要求2所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，所述在剩余的K-m条特征光线中找到距离所述中间点G_m最近的特征光线具体包括以下步骤：根据球面表达式，求得中间点G_m在初始球面A_m处的法向n_m，进而得到中间点G_m在初始球面A_m处的切平面；将中间点G_m的切平面与剩余K-m条特征光线相交，得到K-m个交点，从该K-m个交点中，找到与中间点G_m距离最近的交点P′_m，该交点P′_m所在的光线为第一特征点数据点P_m+1对应的特征光线R_m+1。

4.如权利要求2所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，所述求解特征光线R_m+1和已知的m个第一特征数据点以及中间点G_m中距离该第一特征数据点P_m+1最近的点的切平面的交点包括以下步骤：将所述m个第一特征数据点定义为P_i，其中1≤i≤m，特征光线R_m+1与已知的m个第一特征数据点和中间点G_m的切平面相交，对应得到m+1个交点P′_i和G′_m；从m+1个第一特征数据点/中间点-交点对中找到距离最短的一对F-F′，其中的第一特征数据点/中间点F为距离第一特征数据点P_m+1最近的点，交点F′即为下一个第一特征数据点P_m+1。

5.如权利要求1所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，所述将m个第一特征数据点拟合得到初始球面A_m；将m+1个第一特征数据点拟合得到球面A_m+1；以及将K个第一特征数据点拟合得到球面A_K，在拟合过程中同时考虑第一特征数据点坐标误差和法向误差的影响。

6.如权利要求1所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，所述初始球面A_m，球面A_m+1或球面A_K的拟合方法包括以下步骤：

S21：所述第一特征数据点的坐标为(x_i，y_i，z_i)，对应的法向量为(u_i，v_i，-1)，设球心为(A，B，C)，半径为r，球面的方程为：

(x_i-A)²+(y_i-B)²+(z_i-C)²＝r² (1)；

S22：将球面的方程(1)分别对x和y进行求导得到x轴和y轴方向的法向矢量u_i表达式(2)和v_i表达式(3)：

S23：将式(1)、式(2)、式(3)均改写成矩阵的形式，并进行矩阵的行列变换，分别对应得到通过坐标值，x轴方向法向值以及y轴方向法向值求解圆心坐标的表达式(4)、(5)、(6)：

以及

S24：所述球心(A，B，C)的值以及球面半径r的值分别通过式(7)和式(8)得到，

式(4)+ω×式(5)+ω×式(6) (7)，

式(1)+ω×式(2)+ω×式(3) (8)，

其中，ω为法向计算的权重值。

7.如权利要求1所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，步骤S2中，得到所述球面a后，进一步改变该球面a的半径得到球面a′；以此类推，所述球面光学系统中的每个球面求解之后，均改变该球面的半径得到一个新的球面。

8.如权利要求7所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，球面a的半径为r_a，球面a′的半径为r_a’，r_a’＝ε_a×r_a，其中ε_a＝0.5～1.5。

9.如权利要求1所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，在将该K个第二特征数据点进行曲面拟合的过程中同时考虑第二特征数据点坐标误差和法向误差的影响，根据物像关系分别求解K个第二特征数据点处的单位法向量；将该K第二特征数据点的坐标和法向进行曲面拟合。

10.如权利要求1所述的混合表面光学系统的设计方法，其特征在于，在将该K个第三特征数据点进行曲面拟合的过程中同时考虑第三特征数据点坐标误差和法向误差的影响，根据物像关系分别求解K个第三特征数据点处的单位法向量；将该K个第三特征数据点的坐标和法向进行曲面拟合。

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