TWI557436B - 自由曲面離軸光學系統的設計方法 - Google Patents

自由曲面離軸光學系統的設計方法 Download PDF

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TWI557436B TW104108855A TW104108855A TWI557436B TW I557436 B TWI557436 B TW I557436B TW 104108855 A TW104108855 A TW 104108855A TW 104108855 A TW104108855 A TW 104108855A TW I557436 B TWI557436 B TW I557436B
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Description

自由曲面離軸光學系統的設計方法
本發明涉及光學設計領域，特別涉及一種基於逐點構建與迭代的自由曲面離軸光學系統的設計方法。
自由曲面係指無法用球面或非球面係數來表示的非傳統曲面，通常係非回轉對稱的，結構靈活，變數較多，為光學設計提供了更多的自由度，可以大大降低光學系統的像差，減小系統的體積、重量與鏡片數量，可以滿足現代成像系統的需要，有著廣闊的發展應用前景。成像光學系統要實現視場大小與孔徑大小一定的成像，需要在成像系統設計中控制不同視場不同孔徑位置的光線。由於自由曲面有非對稱面並提供了更多的設計自由度，他們常被用在離軸非對稱系統中。
先前的自由曲面離軸光學系統的設計方法通常係通過直接構建以及後續優化的方法得到自由曲面離軸光學系統，該方法得到的自由曲面離軸光學系統的成像品質較差且畸變較大，平均RMS彌散斑直徑較大，而且後續優化也十分困難甚至優化失敗。
有鑒於此，確有必要提供一種自由曲面離軸光學系統的設計方法，該方法設計出的自由曲面離軸光學系統的成像品質較好且畸變 及平均RMS彌散斑直徑均較小。
一種自由曲面離軸光學系統的設計方法，其包括以下步驟：步驟S1，建立一初始系統，該初始系統包括複數初始曲面，且該初始系統中的一個初始曲面對應待設計自由曲面離軸光學系統中一個曲面；步驟S2，將自由曲面a定義為待設計自由曲面離軸光學系統中的一個待求的自由曲面，保持所述複數初始曲面不變，選取K條特徵光線，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述K條特徵光線與自由曲面a上的複數交點，進而得到自由曲面a上的複數特徵數據點Pi(i=0,1,2…K)，將該自由曲面a上複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述自由曲面a，該自由曲面a的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；步驟S3，將自由曲面b定義為待設計自由曲面離軸光學系統中的另一個自由曲面，保持所述自由曲面a以及自由曲面a對應的初始曲面之外的其他初始曲面不變，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解特徵光線與自由曲面b的複數交點，進而得到自由曲面b上的複數特徵數據點，將該自由曲面b上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述自由曲面b，該自由曲面b的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；步驟S4，以此類推，直到獲得待設計自由曲面離軸光學系統中所有待求的自由曲面，得到一自由曲面離軸光學系統；以及步驟S5，將步驟S4中得到的所述自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，進行複數次迭代過程，得到最終的自由曲面離軸光學系統。
相較於先前技術，本發明提供的自由曲面離軸光學系統的設計方法，將逐點構建得到的自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，經過複數次迭代，直到特徵光線與目標面的實際交點接近理想 目標點，進而提了高自由曲面離軸光學系統的成像品質，降低自由曲面離軸光學系統的畸變和平均RMS彌散斑直徑，方法簡單。
100‧‧‧自由曲面離軸三反光學系統
122‧‧‧主鏡初始平面
142‧‧‧次鏡初始平面
162‧‧‧三鏡初始平面
120‧‧‧主鏡
140‧‧‧次鏡
160‧‧‧三鏡
180‧‧‧目標面
220‧‧‧未迭代的主鏡
260‧‧‧未迭代的三鏡
第1圖係本發明實施例提供的自由曲面離軸光學系統中每個視場中特徵光線選擇方法示意圖。
第2圖係本發明實施例提供的求解特徵數據點時特徵光線起點與終點示意圖。
第3圖係本發明實施例提供的自由曲面離軸光學系統的迭代方式。
第4圖係本發明提供的自由曲面離軸三反光學系統的光路示意圖。
第5圖係本發明實施例提供的自由曲面離軸三反光學系統的初始系統的光路示意圖。
第6圖係本發明實施例提供的迭代前的自由曲面離軸三反光學系統的光路示意圖。
第7圖係本發明實施例提供的迭代前的自由曲面離軸三反光學系統的畸變網格圖。
第8圖係本發明實施例提供的迭代後的自由曲面離軸三反光學系統的光路示意圖。
第9圖係本發明實施例提供的迭代後的自由曲面離軸三反光學系統的畸變網格圖。
第10圖係迭代前後的自由曲面離軸三反光學系統的平均RMS彌散 斑直徑的對比圖。
第11圖係本發明實施例提供的自由曲面離軸三反光學系統的RMS彌散斑直徑隨迭代次數的變化曲線。
第12圖係本發明實施例提供的優化後的自由曲面離軸三反光學系統的光路示意圖。
第13圖係本發明實施例提供的優化後的自由曲面離軸三反光學系統的MTF曲線。
第14圖係本發明實施例提供的優化後的自由曲面離軸三反光學系統的畸變網格圖。
下面根據說明書附圖並結合具體實施例對本發明的技術方案進一步詳細表述。
本發明提供一種自由曲面離軸光學系統的設計方法，其包括以下步驟：步驟S1，建立一初始系統，該初始系統包括複數初始曲面，且該初始系統中的一個初始曲面對應待設計自由曲面離軸光學系統中一個曲面；步驟S2，將自由曲面a定義為待設計自由曲面離軸光學系統中的一個待求自由曲面，保持所述複數初始曲面不變，選取K條特徵光線Ri(i=1,2…K)，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述K條特徵光線與自由曲面a上的複數交點，進而得到自由曲面a上的複數特徵數據點，將該自由曲面a上複數特徵數據點進行曲面擬 合，得到所述自由曲面a，該自由曲面a的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；步驟S3，將自由曲面b定義為待設計自由曲面離軸光學系統中的另一個待求自由曲面，保持所述自由曲面a以及自由曲面a對應的初始曲面之外的其他初始曲面不變，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述K條特徵光線與自由曲面b的複數交點，進而得到所述自由曲面b上的複數特徵數據點，將該自由曲面b上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述自由曲面b，該自由曲面b的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；步驟S4，以此類推，直到獲得待設計自由曲面離軸光學系統中所有待求自由曲面，得到一自由曲面離軸光學系統；以及步驟S5，將步驟S4中得到的所述自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，經過複數次迭代，得到最終的自由曲面離軸光學系統。
步驟S1中，所述複數初始曲面可以為平面、球面等。所述複數初始曲面的具體位置根據待設計自由曲面離軸光學系統的實際需要進行選擇。
步驟S2中，所述K條特徵光線的選取可通過以下方法進行：可以根據需求選取M個視場，並將每個視場的孔徑分成N等份，並從每一等份中選取不同孔徑位置的P條特徵光線，這樣一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。所述孔徑可以為圓形、長方形、正方形、橢圓形或其他規則或不規則的形狀。請參閱圖1，優選的，所述視場孔徑為圓形孔徑，將每個視 場的圓形孔徑等分成N個角度，間隔為φ，因此有N=2π/φ，沿着每個角度的半徑方向取P個不同的孔徑位置，那麼一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。
請一併參閱圖2，為了得到一個待求的自由曲面Ω上的所有特徵數據點Pi(i=1,2…K)，將借助特徵光線Ri(i=1,2…K)與待求的自由曲面Ω的前一個曲面Ω'後一個曲面Ω"的交點。在求解每條特徵光線Ri(i=1,2…K)對應的待求的自由曲面Ω上的特徵數據點P1(i=1,2…K)時，將該特徵光線Ri與前一個曲面Ω'的交點定義為該特徵光線的起點Si，特徵光線Ri與後一個曲面Ω"的交點定義為該特徵光線的終點Ei。當待設計的系統與特徵光線確定後，該特徵光線Ri的起點Si係確定的，且易於通過光線追跡即物像關係得到，特徵光線的終點Ei可通過物像關係求解。在理想狀态下，特徵光線Ri從Ω'上的Si射出後，經過Ω上的Pi，交於Ω"上的Ei，並最終交目標面於理想目標點Ti,ideal。如果Ω"係目標面，特徵光線的終點就係其目標點Ti；如果在待求的自由曲面Ω和目標面之間還有其他面，特徵光線的終點係Ω"上從特徵數據點到其對應的目標點的光程的一階變分為零的點，即
所述自由曲面a上特徵數據點Pi(i=1,2…K)可以通過以下兩種計算方法獲得。
第一種計算方法包括以下步驟： 步驟a，取定一條特徵光線R1與所述自由曲面a對應的初始曲面的第一交點為特徵數據點P1；步驟b，在得到i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi後，根據斯涅爾定律的矢量形式求解該特徵數據點Pi處的單位法向量；步驟c，過所述i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi分別做一第一切平面，得到i個第一切平面，該i個第一切平面與其餘K-i條特徵光線相交得到i×(K-i)個第二交點，從該i×(K-i)個第二交點中選取出與所述i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi距離最近的一個第二交點，作為所述自由曲面a的下一個特徵數據點Pi+1；步驟d，重複步驟b和c，直到計算得到自由曲面a上的所有特徵數據點Pi(i=1,2…K)，通過曲面擬合可以得到所述自由曲面a的方程式。
步驟b中，每個特徵數據點Pi處的單位法向量可以根據斯涅爾(Snell)定律的矢量形式求解。當待求的自由曲面Ω為折射面時，則每個特徵數據點Pi(i=1,2…K)處的單位法向量滿 足：
、分別係沿著光線入射與出射方向的單位矢量，n,n'分別為待求的自由曲面Ω前後兩種介質的折射率。
類似的，當待求的自由曲面Ω為反射面時，則每個特徵數據點Pi(i=1,2…K)處的單位法向量滿足：
由於，所述特徵數據點Pi(i=1,2…K)處的單位法向量與所述特徵數據點Pi(i=1,2…K)處的切平面垂直。故，可以得到特徵數據點Pi(i=1,2…K)處的切平面。
所述第一種計算方法的計算複雜度為 ，當設計中採用的特徵光線的數量較多時，該方法需要較長的計算時間。
第二種計算方法包括以下步驟： 步驟a'，取定一第一條特徵光線R1與所述自由曲面a對應的初始曲面的第一交點為特徵數據點P1；步驟b'，在得到第i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi後，根據斯涅爾定律的矢量形式求解第i個特徵數據點Pi處的單位法向量 ，進而求得Pi處的單位切向量； 步驟c'，僅過所述第i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi做一第一切平面並與其餘K-i條特徵光線相交，得到K-i個第二交點，從該K-i個第二交點中選取出與所述第i個特徵數據點Pi距離最短的第二交點Qi+1，並將其對應的特徵光線及與所述第i個特徵數據點Pi的最短距離分別定義為Ri+1和Di；步驟d'，過特徵數據點Pi(1≦i≦K-1)之前已求得的i-1個第一特徵數據點分別做一第二切平面，得到i-1個第二切平面，該i-1個第二切平面與所述特徵光線Ri+1相交得到i-1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的特徵數據點Pi形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q(i+1)'和Di'；步驟e'，比較Di與Di'，如果Di≦Di'，則把Qi+1取為下一個特徵數據點Pi+1，反之，則把Q(i+1)'取為下一個特徵數據點Pi+1；以及步驟f'，重複步驟b'到e'，直到計算得到自由曲面a上的所有特徵數據點Pi(i=1,2…K)，通過曲面擬合可以得到所述自由曲面a對應的的方程式。
步驟b'中，每個特徵數據點Pi處的單位法向量的計算方法與所述第一種計算方法步驟b中相同。
所述第二種計算方法的計算複雜度為 ，當設計中採用的特徵光線的數量較多時，所述第二種計算方法明顯比第一種計算方法的計算複雜度小。優選的，採用所述第二種計算方法逐點求解特徵數據點Pi(i=1,2…K)。
所述自由曲面a的方程式可表達為： 其中，係二次曲面項，c係二次 曲面頂點處的曲率，k係二次曲面係數；係自由曲面項，Aj係每項對應的係數，該自由曲面項可以為xy多項式項，Chebyshev多項式，或Zernike多項式項等。
將所述初始系統所在的空間定義一第一三維直角坐標系。優選的，將光束傳播方向定義為z軸，垂直於z軸方向的平面為xoy平面。
將所述自由曲面a上的複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)進行曲面擬合包括以下步驟：S21：將所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在所述第一三維直角坐標系中擬合成一球面，得到所述球面的曲率c及其對應的曲率中心(xc,yc,zc)，S22：將中心採樣視場主光線對應的特徵數據點(xo,yo,zo)定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為Z軸，建立一第二三維直角坐標系；S23：將所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第一三維直角坐標系中的坐標(xi,yi,zi)及其對應的法向量(αi,βi,γi)變換為第二三維直角坐標系中的坐標(x'i,y'i,z'i)及其法向量(α'i,β'i,γ'i)；S24：根據所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'i,y'i,z'i)，以及步驟S42中求得的球面的曲率c，將特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及S25：將所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的坐標與法向量分別從坐標(x'i,y'i,z'i)和法向量(α'i,β'i,γ'i)中排除掉，得到殘餘坐標與殘餘法向量，將該殘餘坐標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲 面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述自由曲面a的方程式。
通常的，光學系統關於三維直角坐標系的yoz面對稱，因此，步驟S41中，所述球面在第二三維直角坐標系yoz面內相對於在第一三維直角坐標系yoz面內的傾斜角θ為：
所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'i,y'i,z'i)與法向量(α'i,β'i,γ'i)與在第一三維直角坐標系中的坐標(xi,yi,zi)和法向量(αi,βi,γi)的關係式分別為： 和
在第二三維直角坐標系中，將在二次曲面上的特徵數據點的坐標與法向量分別定義為(x'i,y'i,z'is)和(α'is,β'is,γ'is)。將法向的z分量歸一化為-1，將在二次曲面上的特徵數據點坐標(x'i,y'i,z'is)與法向量(α'is,β'is,γ'is)分別從坐標(x'i,y'i,z'i)和法向量(α'i,β'i,γ'i)排除掉之後，得到殘餘坐標(x"i,y"i,z"i)與殘餘法向量(α"i,β"i,-1)分別為：(x i ",y i ",z i ")=(x i ',y i ',z i '-z is ')和
步驟S25中，所述將殘餘坐標與殘餘法向量擬合擬合得到自由曲面項的步驟包括：S251：在所述第二三維直角坐標系中，用排除掉二次曲面項的多項式曲面作為待構建自由曲面的面形描述，即 其中，g j (x,y)為多項式的某一項，P=(p1,p2,…,pJ)T為係數集 合；S252：獲得殘餘坐標擬合誤差d1(P)，即所述殘餘坐標值(x"i,y"i,z"i)(i=1,2,…,n)與所述自由曲面在z軸方向殘餘坐標差值的平方和；以及殘餘法向向量擬合誤差d2(P)，即所述殘餘法向量Ni=(α"i,β"i,-1)(i=1,2,…,n)與所述自由曲面法向量的向量差的模值的平方和， 其中，Z=(z1,z2,…,z1)T，U=(u1,u2,…,u1)T，V=(v1,v2,…,v1)T， S253：獲得評價函數： ，其中，w為權重且大於0；S254：選擇不同的權重w，並令所述評價函數f(P)的梯度▽f(P)=0，從而獲得多組不同的P及其對應的複數自由曲面面形z=f(x,y；P)；以及S255：獲得具有最佳的成像品質的最終自由曲面面形。
步驟S3中，自由曲面b上複數特徵數據點的求解方法與步驟S2中自由曲面a上複數特徵數據點的求解方法相同，將自由曲面b上複數特徵數據點進行曲面擬合的方法與步驟S2中將自由曲面a上複 數特徵數據點進行曲面擬合的方法也相同。自由曲面b的方程式與自由曲面a的方程式也相同。
步驟S4中，其餘的待求的自由曲面的求解方法也與步驟S2中自由曲面a的求解方法相同。將其餘的待求的自由曲面上複數特徵數據點進行曲面擬合的方法與步驟S2中將自由曲面a上複數特徵數據點進行曲面擬合的方法也相同。其餘的待求的自由曲面的方程式與自由曲面a的方程式也相同。
所述待求的自由曲面的數量可以與步驟S1中初始曲面的數量相同，也可以小於步驟S1中初始曲面的數量。
步驟S5中，所述迭代過程可以通過以下兩種方法進行：
第一種方法包括以下步驟：S51：將所述K條特徵光線與步驟S2中得到的自由曲面a的複數交點作為特徵數據點，分別求解每個特徵數據點處的法向量，按照步驟S2中的方法將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到一個自由曲面a'；S52：將所述K條特徵光線與步驟S3中得到的自由曲面b的複數交點作為特徵數據點，分別求解每個特徵數據點處的法向量，按照步驟S3中的方法將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到一個自由曲面b'；S53：以此類推，直至步驟S4中所有的待求自由曲面均重新求解完成，完成第一次迭代；S54：以第一次迭代之後得到的自由曲面離軸光學系統再次作為 初始系統，重複步驟S51到S53，經過複數次迭代後，所述K條特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點比較接近，迭代過程完成。
第二種方法包括以下步驟：將步驟S4中得到的自由曲面離軸光學系統作為初始系統，重複步驟S2到S4，完成第一次迭代；將第一次迭代中得到的自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，重複步驟S2到S4，完成第二次迭代；以此類推，經過複數次迭代後，所述K條特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點比較接近，迭代過程完成。
優選的，所述迭代過程採用所述第一種方法進行，該方法比較簡單，且節省時間。
請參閱圖3，所述迭代可以採用正常迭代，負反饋，或逐步逼近等迭代方式。當採用正常迭代時，目標點Ti為理想目標點Ti,ideal，即Ti=Ti,ideal。
當採用負反饋時，負反饋函數為： 其中，ε係負反饋係數，ε>0；Ti *係本次迭代之前(上次迭代之後)特徵光線與目標面的實際交點；△為負反饋閥值，△>0，採用負反饋閥值有利於避免因Ti *和Ti,ideal差別太大，使Ti變化 較大而引起的迭代不穩定；負反饋迭代方式速度比較快。
當採用逐步逼近迭代方式時Ti=Ti *+ρ(Ti,ideal-Ti *)，其中，ρ係逼近係數，ρ>0。逐步逼近迭代方式比較穩定。
所述自由曲面離軸光學系統的設計方法可進一步包括一對步驟S5中得到的自由曲面離軸光學系統進行優化的步驟。具體地，將步驟S5中得到的自由曲面離軸光學系統作為後續優化的初始系統。可以理解，該對步驟S5中得到的進行優化的步驟並不係必需的，可以根據實際需要設計。
所述自由曲面離軸光學系統的設計方法中待求的自由曲面的求解順序不限，可以根據實際需要進行調換。
請參閱圖4，本發明實施例提供一種自由曲面離軸三反光學系統100的設計方法。其中，該自由曲面離軸三反光學系統100包括相鄰且間隔設置的一主鏡120、一次鏡140、以及一三鏡160，該次鏡140為光闌面。所述主鏡120和三鏡160的面形為自由曲面；所述次鏡140的面形為一平面。從光源出射的特徵光線依次經過所述主鏡120、次鏡140、以及三鏡160的反射後，在一目標面180上成像。所述自由曲面離軸三反光學系統100的參數請參見表1，表1自由曲面離軸三反光學系統100的參數
所述自由曲面離軸三反光學系統100的設計方法包括如下步驟：步驟S'1，建立一初始平面系統，該初始平面系統包括一主鏡初始平面、一次鏡初始平面以及一三鏡初始平面；步驟S'2，保持所述主鏡初始平面與次鏡初始平面不變，選取特徵光線，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述特徵光線與一未迭代的三鏡260上的複數交點，進而得到未迭代的三鏡260上的複數特徵數據點，將所述未迭代的三鏡260上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述未迭代的三鏡260；步驟S'3，保持所述未迭代的三鏡260與次鏡初始平面不變，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解特徵光線與一未迭代的主鏡220的複數交點，進而得到所述未迭代的主鏡220上的複數特徵數據點，將所述未迭代的主鏡220上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述未迭代的主鏡220，進而得到一未迭代的自由曲面離 軸三反光學系統；步驟S'4，將步驟S'3的所述未迭代的自由曲面離軸三反光學系統再次作為初始系統，經過複數次迭代，得到一迭代後的自由曲面離軸三反光學系統；以及步驟S'5，對步驟S'4中所述迭代後的自由曲面離軸三反光學系統進行優化，得到所述自由曲面離軸三反光學系統100。
步驟S'2中，共選取6個離軸視場進行設計，該6個離軸視場分別為(0°,-10.5°)(0°,-12°)(0°,-13.5°)(1.5°,-10.5°)(1.5°,-12°)(1.5°,-13.5°)，每個離軸視場取112條特徵光線，因此共選取了672條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。所述未迭代的三鏡260上的複數特徵數據點根據所述第二種計算方法得到。將所述未迭代的三鏡260上的複數特徵數據點進行曲面擬合的方法與所述自由曲面a上的複數特徵數據點進行曲面擬合的方法相同。
步驟S'3中，所述未迭代的主鏡220上的複數特徵數據點根據所述第二種計算方法得到。將所述未迭代的主鏡220上的複數特徵數據點進行曲面擬合的方法與所述自由曲面a上的複數曲面擬合進行曲面擬合的方法相同。
步驟S'4中，所述迭代過程包括以下步驟：步驟S'41，將步驟S'3的所述迭代後的自由曲面離軸三反光學系統再次作為初始系統，將所述K條特徵光線與所述第一次迭代三鏡的複數交點作為特徵數據點，分別求解該特徵數據點處的法向量，按照步驟S'2中的方法將該複數特徵數據點進行曲面擬合， 得到所述第一次迭代三鏡；步驟S'42：將所述K條特徵光線與第一次迭代主鏡的複數交點作為特徵數據點，分別求解該特徵數據點處的法向量，按照步驟S3中的方法將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述第一次迭代主鏡；步驟S'43，重複步驟S'41和步驟S'42，經過複數次迭代，得到一迭代後的自由曲面離軸三反光學系統。
可以理解，步驟S'5中對步驟S'4中迭代後的自由曲面離軸三反光學系統進行優化的步驟並不係必需的，可以根據實際需要設計。所述自由曲面離軸三反光學系統100的設計方法中步驟S2和步驟S3的順序並不限於本實施例，可以根據實際需要進行調換。
請參閱圖5，為步驟S'1中的由主鏡初始平面122、次鏡初始平面142以及三鏡初始平面162組成的初始平面系統的光路圖，由圖中可以看出，各視場光束在目標面180上沒有匯聚，且偏離理想目標點。
請參閱圖6，為步驟S'3中的由所述未迭代的主鏡220，次鏡初始平面142以及未迭代的三鏡260組成的未迭代的自由曲面離軸三反光學系統的光路圖。從圖中可以看出，各視場光束在目標面上可以大致匯聚到各自的理目標點，說明採用本發明計算方法得到的未迭代的主鏡220和未迭代的三鏡260可以提高光學系統的成像品質。
請參閱圖7，為步驟S'3中的由所述未迭代的主鏡220，次鏡初始平面142以及未迭代的三鏡260組成的未迭代的自由曲面離軸三反 光學系統的畸變網格圖，從圖中可以看出，未迭代的自由曲面離軸三反光學系統的畸變較大，系統最大絕對畸變為0.6mm。
請參閱圖8，為步驟S'3中得到的自由曲面離軸三反光學系統經過30次正常迭代後得到的迭代後的自由曲面離軸三反光學系統的光路圖，從圖中可以看出，各視場光束在目標面上大致匯聚到各自的理想目標點。請參閱圖9，為經過30次正常迭代後得到的迭代後的自由曲面離軸三反光學系統的畸變網格圖，從圖中可以看出，系統畸變基本消除，系統最大絕對畸變為0.0346mm，相比迭代前下降了94.2%。請參閱圖10，為未迭代的自由曲面離軸三反光學系統，以及經過30次正常迭代後的自由曲面離軸三反光學系統的平均RMS彌散斑直徑對比圖，由圖中可以看出，迭代前系統的平均RMS彌散斑直徑為4.033mm，迭代後系統的平均RMS彌散斑直徑為0.099mm，相比迭代前下降了97.5%。
採用特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點之間距離的RMS值σRMS來評價迭代的效果，σRMS越小，系統的成像品質越高。
其中，K為特徵光線數量，σm係第m條特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點的距離。
請參閱圖11，為ε=0.3，ρ=0.7時，在正常迭代、負反饋以及逐步逼近三種不同的迭代方式下，自由曲面離軸三反光學系統的σ RMS隨迭代次數的變化曲線。由圖中可以看出，經過三十次正常迭代後，自由曲面離軸三反光學系統的σRMS相比迭代前下降了92.4%。圖8到圖11說明迭代可以明顯提高自由曲面離軸三反光學系統的成像品質。
請參閱圖12，為優化後的自由曲面離軸三反光學系統100的光路圖，從圖中可以看出，成像品質較好。
請參閱圖13，為優化後的自由曲面離軸三反光學系統100在長波紅外波段下部分視場角的調製傳遞函數MTF，從圖中可以看出，各視場下系統的MTF曲線均接近繞射極限，表明優化後的自由曲面離軸三反光學系統100具有很高的成像品質。
請參閱圖14，為優化後的自由曲面離軸三反光學系統100的畸變網格圖，從圖中可以看出，系統畸變非常小。
本發明提供的自由曲面離軸光學系統設計方法具有以下優點：其一，在將特徵數據點進行曲面擬合時，同時考慮了特徵數據點的坐標和法向量，使得到的自由曲面的面形更加準確，且提高了自由曲面離軸光學系統的光學性能；其二，通過建立兩個三維直角坐標系，在第一三維直角坐標系中擬合得到二次曲面項後，將特徵數據點的坐標和法向量變換到第二直角坐標系中的坐標和法向量，進而擬合得到自由曲面項，該擬合方法比較精確；其三，將逐點構建得到的自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，經過複數次迭代，直到特徵光線與目標面的實際交點與理想目標點接近，進而提高自由曲面離軸光學系統的成像品質，降低自由曲面離軸光學系統的畸變和平均RMS彌散斑直徑，方法簡單。
綜上所述，本發明確已符合發明專利之要件，遂依法提出專利申請。惟，以上所述者僅為本發明之較佳實施例，自不能以此限制本案之申請專利範圍。舉凡熟悉本案技藝之人士援依本發明之精神所作之等效修飾或變化，皆應涵蓋於以下申請專利範圍內。
100‧‧‧自由曲面離軸三反光學系統
120‧‧‧主鏡
140‧‧‧次鏡
160‧‧‧三鏡
180‧‧‧目標面

Claims (10)

  1. 一種自由曲面離軸光學系統的設計方法，其包括以下步驟：步驟S1，建立一初始系統，該初始系統包括複數初始曲面，且該初始系統中的一個初始曲面對應待設計自由曲面離軸光學系統中一個曲面；步驟S2，將自由曲面a定義為待設計自由曲面離軸光學系統中的一個待求的自由曲面，保持所述複數初始曲面不變，選取K條特徵光線，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述K條特徵光線與自由曲面a上的複數交點，進而得到自由曲面a上的複數特徵數據點Pi(i=0,1,2…K)，將該自由曲面a上複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述自由曲面a，該自由曲面a的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；步驟S3，將自由曲面b定義為待設計自由曲面離軸光學系統中的另一個自由曲面，保持所述自由曲面a以及自由曲面a對應的初始曲面之外的其他初始曲面不變，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解特徵光線與自由曲面b的複數交點，進而得到自由曲面b上的複數特徵數據點，將該自由曲面b上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述自由曲面b，該自由曲面b的方程式包括一二次曲面項和一自由曲面項；步驟S4，以此類推，直到獲得待設計自由曲面離軸光學系統中所有待求的自由曲面，得到一自由曲面離軸光學系統；以及步驟S5，將步驟S4中得到的所述自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，進行複數次迭代過程，得到最終的自由曲面離軸光學系統。
  2. 如請求項1所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述自由曲面a上的特徵數據點Pi(i=0,1,2…K)的求解包括以下步驟：步驟a，取定一第一條特徵光線R1與所述自由曲面a對應的初始曲面的第 一交點為特徵數據點P1；步驟b，在得到i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi後，根據斯涅爾定律的矢量形式求解該特徵數據點Pi處的單位法向量；步驟c，過所述i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi分別做一第一切平面，得到i個第一切平面，該i個第一切平面與其餘K-i條特徵光線相交得到i×(K-i)個第二交點，從該i×(K-i)個第二交點中選取出與所述i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi距離最近的一個第二交點，作為所述自由曲面a的下一個特徵數據點Pi+1；步驟d，重複步驟b和c，直到計算得到所有特徵數據點Pi(i=1,2…K)。
  3. 如請求項1所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，所述自由曲面a上的特徵數據點Pi(i=0,1,2…K)的求解包括以下步驟：步驟a'，取定一第一條特徵光線R1與所述自由曲面a對應的初始曲面的第一交點為特徵數據點P1；步驟b'，在得到第i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi後，根據斯涅爾定律的 矢量形式求解第i個特徵數據點Pi處的單位法向量，進而求得Pi處 的單位切向量；步驟c'，僅過所述第i(1≦i≦K-1)個特徵數據點Pi做一第一切平面並與其餘K-i條特徵光線相交，得到K-i個第二交點，從該K-i個第二交點中選取出與所述第i個特徵數據點Pi距離最短的第二交點Qi+1，並將其對應的特徵光線及與所述第i個特徵數據點Pi的最短距離分別定義為Ri+1和Di；步驟d'，過特徵數據點Pi(1≦i≦K-1)之前已求得的i-1個特徵數據點 分別做一第二切平面，得到i-1個第二切平面，該i-1個第二切平面與所述特徵光線Ri+1相交得到i-1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的特徵數據點Pi形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q(i+1)'和Di'；步驟e'，比較Di與Di'，如果Di≦Di'，則把Qi+1取為下一個特徵數據點Pi+1，反之，則把Q(i+1)'取為下一個特徵數據點Pi+1；以及步驟f'，重複步驟b'到e'，直到計算得到所有特徵數據點Pi。
  4. 如請求項1所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述所有待求的自由曲面的方程式均為： 其中，係二次曲面項，c係二次 曲面頂點處的曲率，k係二次曲面係數；係自 由曲面項，Aj為每項對應的係數。
  5. 如請求項1所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述將自由曲面a上的複數特徵數據點進行曲面擬合包括以下步驟：S21：將所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在所述第一直角坐標系中擬 合成一球面，得到所述球面的曲率c及其對應的曲率中心(xc,yc,zc)，S22：將中心採樣視場主光線對應的特徵數據點(xo,yo,zo)定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；S23：將所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第一三維直角坐標系中的坐標(xi,yi,zi)及其對應的法向量(αi,βi,γi)變換為第二三維直角坐標系中的坐標(x'i,y'i,z'i)及其法向量(α'i,β'i,γ'i)；S24：根據所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的坐標(x'i,y'i,z'i)，以及步驟S21中求得的球面的曲率c，將特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及S25：將所述複數特徵數據點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的坐標與法向量分別從坐標(x'i,y'i,z'i)和法向量(α'i,β'i,γ'i)中排除掉，得到殘餘坐標與殘餘法向量，將該殘餘坐標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述自由曲面a的方程式。
  6. 如請求項5所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述複數特徵數據點在第二直角坐標系中的坐標(x'i,y'i,z'i)與法向量(α'i,β'i,γ'i)與在第一直角坐標系中的坐標(xi,yi,z1)和法向量(αi,βi,γi)的關係式分別為： 其中，θ為所述二次曲面在第二直角坐標系的yoz面內相對於在第一直角坐標系的yoz面內的傾斜角，，yo， zo為中心採樣視場主光線對應的特徵數據點的坐標；yc,zc二次曲面頂點處曲率中心的坐標。
  7. 如請求項5所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，將在二次曲面上的特徵數據點在第二直角坐標系中的坐標與法向量分別定義為(x'i,y'i,z'is)和(α'is,β'is,γ'is)，將法向量的z'軸分量歸一化為-1，則殘餘坐標(x"i,y"i,z"1)與殘餘法向量(α"i,β"1,-1)分別為：(x i ",y i ",z i ")=(x i ',y i ',z i '-z is ')和
  8. 如請求項7所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述將殘餘 坐標與殘餘法向量進行曲面擬合的步驟包括：在所述第二直角坐標系中，用排除掉二次曲面項的多項式曲面作為待構建自由曲面的面形描述，即 其中g j (x,y)為多項式的某一項，P=(p1,p2,…,pJ)T為係數集合；獲得殘餘坐標擬合誤差d1(P)，即所述殘餘坐標值(x"1,y"i,z"i)(i=1,2,…,n)與所述自由曲面在z'軸方向殘餘坐標差值的平方和；以及殘餘法向向量擬合誤差d2(P)，即所述殘餘法向量Ni=(α"i,β"i,-1)(i=1,2,…,n)與所述自由曲面法向量的向量差的模值的平方和， 其中，Z=(z1,z2,…,z1)T，U=(u1,u2,…,u1)T，V=(v1,v2,…,v1)T， 獲得評價函數： ，其中，w為權重且大於0；選擇不同的權重w，並令所述評價函數f(P)的梯度▽f(P)=0，從而獲得多組不同的P及其對應的複數自由曲面面形z=f(x,y；P)；以 及獲得最終自由曲面面形。
  9. 如請求項1所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述進行複數次迭代過程包括以下步驟：S51：將所述K條特徵光線與步驟S2中得到的自由曲面a的複數交點作為特徵數據點，分別求解每個特徵數據點處的法向量，按照步驟S2中的方法將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到一個自由曲面a'；S52：將所述K條特徵光線與步驟S3中得到的自由曲面b的複數交點作為特徵數據點，分別求解每個特徵數據點處的法向量，按照步驟S3中的方法將該複數特徵數據點進行曲面擬合，得到一個自由曲面b'；S53：以此類推，直至步驟S4中所有的待求自由曲面均重新求解完成，完成第一次迭代；S54：以第一次迭代之後得到的自由曲面離軸光學系統再次作為初始系統，重複步驟S51到S53，經過複數次迭代後，得到最終的自由曲面離軸光學系統，迭代過程完成。
  10. 如請求項1所述之自由曲面離軸光學系統的設計方法，其中，所述待設計的自由曲面離軸光學系統為一自由曲面離軸三反光學系統，該自由曲面離軸三反光學系統的設計方法包括：步驟S'1，建立一初始平面系統，該初始系統包括一主鏡初始平面、一次鏡初始平面以及一三鏡初始平面；步驟S'2，保持所述主鏡初始曲面與次鏡初始曲面不變，選取特徵光線，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述特徵光線與三鏡上的複數交點，進而得到所述三鏡上的複數特徵數據點，將所述三鏡上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述三鏡；步驟S'3，保持所述三鏡與次鏡初始曲面不變，根據物像關係及斯涅爾定 律逐點求解所述特徵光線與主鏡的複數交點，進而得到所述主鏡上的複數特徵數據點，將所述主鏡上的複數特徵數據點進行曲面擬合，得到所述主鏡，進而得到一由所述主鏡，次鏡初始平面以及三鏡組成的自由曲面離軸三反光學系統；以及步驟S'4，將步驟S'3中的自由曲面離軸三反光學系統再次作為初始系統，經過複數次迭代，得到最終的自由曲面離軸三反光學系統。
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程洪涛，"基于变形镜的三反射离轴变焦物镜设计"，光学学报，Vol.33, No.12, December, 2013 *

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