TWI735849B

TWI735849B - 自由曲面離軸三反成像系統的設計方法

Info

Publication number: TWI735849B
Application number: TW108106768A
Authority: TW
Inventors: 唐瑞銳; 朱鈞; 金國藩; 范守善
Original assignee: 鴻海精密工業股份有限公司
Priority date: 2019-01-25
Filing date: 2019-02-27
Publication date: 2021-08-11
Also published as: TW202041916A; CN111487766A; US20200241288A1; CN111487766B; US11409101B2

Abstract

本發明涉及一種自由曲面離軸成像系統的設計方法，包括以下步驟：建立初始系統並選取多套物像關係的特徵視場；使用多套物像關係的光線，同時將所述初始系統構建為自由曲面系統；以及，將上一步驟中得到自由曲面系統作為初始系統，使用反覆運算過程減小特徵光線與特徵面的實際交點與理想目標點的偏差，對所述自由曲面系統中的自由曲面進行反覆運算重構，待平均RMS彌散斑不再縮小時，得到待設計的自由曲面離軸成像系統。

Description

自由曲面離軸三反成像系統的設計方法

本發明涉及光學設計領域，尤其涉及一種自由曲面離軸三反成像系統的設計方法。

自由曲面是指無法用球面或非球面係數來表示的非傳統曲面，通常是非回轉對稱的，結構靈活，變數較多，為光學設計提供了更多的自由度，可以大大降低光學系統的像差，減小系統的體積、重量與鏡片數量，可以滿足現代成像系統的需要，有著廣闊的發展應用前景。由於自由曲面有非對稱面並提供了更多的設計自由度，他們常被用在離軸非對稱系統中。

先前的自由曲面離軸成像系統普遍採用直接設計方法得到，如微分方程法，多曲面同步設計方法和逐點構建與反覆運算方法，然而，先前的設計方法在設計過程中只能考慮有限數量的視場，在設計同時具有多套性能參數的的自由曲面離軸成像系統時具有局限性。

綜上所述，確有必要提供一種自由曲面離軸成像系統的設計方法，該方法在設計過程中，可以考慮多套物像關係，而且採用該設計方法可以得到同時多套性能參數的自由曲面離軸成像系統。

一種自由曲面離軸三反成像系統的設計方法，包括以下步驟：建立初始系統並選取多套物像關係的特徵視場；使用多套物像關係的光線，同時將所述初始系統構建為自由曲面系統；以及，將上一步驟中得到自由曲面系統作為初始系統，使用反覆運算過程減小特徵光線與特徵面的實際交點與理想目標點的偏差，對所述自由曲面系統中的自由曲面進行反覆運算重構，待平均RMS彌散斑不再縮小時，得到待設計的自由曲面離軸成像系統。

相較於先前技術，本發明提供的自由曲面離軸成像系統的設計方法，在直接構建自由曲面時考慮了多套物像關係，且利用可移動光闌實現光線選擇，進而切換實現物像關係的切換。該方法可以得到同時具有多套光學性能的離軸三反成像系統。

102:初始主鏡

104:初始次鏡

106:初始三鏡

108:像面

110:孔徑光闌

圖1為本發明實施例中建立的初始平面系統的結構示意圖。

圖2為本發明實施例提供的特徵視場選取規則的示意圖。

圖3為本發明實施例提供的每個特徵視場中特徵光線選取規則的示意圖。

圖4為本發明實施例提供的自由曲面離軸成像系統的設計方法中自由曲面系統構建過程的示意圖。

下面根據說明書附圖並結合具體實施例對本發明的技術方案進一步詳細表述。

本發明提供一種自由曲面離軸成像系統的設計方法，其包括以下步驟：

步驟一，建立一初始系統並根據設計目標，建立T套物像關係，對每套物像關係選取M個特徵視場，該初始系統包括L個初始曲面Lj(j=1，2，......L)，且每個初始曲面對應所述自由曲面離軸成像系統中的一個自由曲面，其中，M的值大於L的值。

所述初始系統包括多個初始曲面，且該初始系統中的一個初始曲面對應待設計的自由曲面離軸成像系統中一個曲面。所述多個初始曲面可以為平面、球面等。所述多個初始曲面的具體位置根據待設計的自由曲面離軸成像系統的實際需要進行選擇。所述初始系統中初始曲面的數量根據實際需要進行設計。本實施例中，請參閱圖1，所述初始系統為一初始平面三反系統，該初始平面三反系統包括一初始主鏡102、一初始次鏡104、一初始三鏡106、一像面108和一孔徑光闌110。所述初始主鏡102包括一初始平面，所述初始次鏡104包括一初始平面，所述初始三鏡106包括一初始平面。所述孔徑光闌110位於初始次鏡104上，圖1中的a和b分別代表孔徑光闌110的孔徑和位置，孔徑光闌110可以在位置a和位置b選擇性移動。

所述多套物像關係是指不同的物經過系統，按照不同的映射關係得到對應的像，各物與其像之間的位置關係即為物像關係，同一個系統可以選取T套物像關係。多套物像關係大於等於2套，即T

2。不同物像關係中，系統的孔徑光闌可以移動至不同的位置，實現成像光線選擇，進而切換不同物像關係。本實施例中，選取兩套物像關係，定義第一物像關係為位於無窮遠物體通過系統成像，孔徑光闌位於a位置；定義第二物像關係為工作距為125mm處物體通過系統成像，孔徑光闌位於b位置。對於兩套物像關係，按照相同的規則分別選取特徵視場和特徵光線。

所述特徵視場的數量大於初始系統中初始曲面的數量。優選的，所述選取特徵視場可以在弧失方向和子午方向等距採樣M個特徵視場，分別記作φ1，φ2，。。。。。。φM，假設中心視場為(0，φy0)。本實施例中，所述初始三反平面系統在子午方向工作在-2°到2°視場，在弧失方向工作在-2°到2°視場。請參閱圖2，所述初始三反平面系統關於YOZ平面對稱，在弧失方向只考慮一半的視場，等距採樣三個特徵視場，在子午方向等距採樣三個特徵視場，一共選取9個特徵視場。

在所述M個特徵視場中的每個特徵視場中均選取K條特徵光線。所述K條特徵光線的選取可通過以下方法進行：將M個視場中的每個視場的孔徑分成N等份，並從每一等份中選取不同孔徑位置的P條特徵光線，這樣一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。所述孔徑可以為圓形、長方形、正方形、橢圓形或其他規則或不規則的形狀。優選的，所述視場孔徑為圓形孔徑，將每個視場的圓形孔徑等分成N個角度，間隔為φ，因此有N=2π/φ，沿著每個角度的半徑方向取P個不同的孔徑位置，那麼一共取K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。本實施例中，請參閱圖3，將每個視場的孔徑分成14等份，並從每一等份中選取不同孔徑位置的7條特徵光線，這樣每個特徵視場採樣98條特徵光線。則本實例中，每套物像關係採樣了9×98=882條特徵光線，一共使用882×2=1764條特徵光線。

步驟二、將所述T套物像關係中的至少一套物像關係作為第一物像關係，使用該第一物像關係中將所述初始曲面L₁構建成自由曲面N₁；將光闌移動至另一套物像關係對應位置，尋找這套物像關係的最佳焦面和理想像點，同時使用這兩套物像關係重構自由曲面N₁；以此類推，每次移動孔徑光闌位置，切換物像關係的光線，直到所述T套物像關係的特徵光線的理想像點全部得到，然後使用多套物像關係的特徵光線依次將各初始曲面構建為自由曲面。

請參閱圖4，將初始系統中初始曲面定義為L_j(j=1，2，......L)，即初始曲面的個數為L個，所述使用多套物像關係的光線，同時將所述初始系統構建為自由曲面系統具體包括以下步驟：

S21：在所述T套物像關係中選取一套物像關係作為第一物像關係T1，使用第一物像關係T1的光線將所述初始曲面L₁構建成自由曲面N₁；

S22，將光闌平移至第二物像關係T2所對應位置，尋找第二物像關係T2的最佳焦面，所述最佳焦面指在該位置處，視場的評價彌散斑RMS半徑最小位置，第二物像關係T2各視場的主光線與最佳焦面的交點位置作為第二物像關係T2的理想像點，同時使用兩套物像關係的光線重新構建自由曲面N₁為自由曲面N₁’；

S23，以此類推，每次增加一套物像關係，並尋找該物像關係的最佳焦面和理想像點，同時使用已找到理想像點的物像關係的特徵光線重構自由曲面，直到T套物像關係的理想像點全部找到。

S24，同時使用T套物像關係的特徵光線依次將L個初始平面構建為自由曲面。

步驟S21中，第一物像關係T1的光線將所述初始曲面L₁構建成自由曲面N₁包括：計算得到所述自由曲面N₁上的所有特徵資料點P_i(i=1,2...K)；以及將該特徵資料點進行曲面擬合得到所述自由曲面N₁的方程式。

为了得到自由曲面N1上的所有特征数据点Pi(i=1,2...K)，将借助特征光线Ri(i=1,2...K)与自由曲面N1的前一个曲面及后一个曲面的交点。在求解每条特征光线Ri(i=1,2...K)对应的自由曲面N1上的特征数据点Pi(i=1,2...K) 时，将该特征光线Ri与前一个曲面的交点定义为该特征光线的起点Si，特征光线Ri与后一个曲面的交点定义为该特征光线的终点Ei。当待设计的系统与特征光线确定后，该特征光线Ri的起点Si是确定的，且易於通过光线追迹即物像

系得到，特征光线的终点Ei可通过物像

系求解。在理想状态下，特征光线Ri从Si射出后，经过Pi，交於Ei，并最终交目标面於其理想目标点Ti,ideal。如果自由曲面N1是目标面，特征光线的终点就是其目标点Ti；如果在自由曲面N1和目标面之间还有其他面，特征光线的终点是Ω"上从特征数据点到其对应的目标点的光程的一阶变分为零的点，即

。

所述自由曲面N₁上特徵資料點P_i(i=1,2...K)可以通過以下計算方法獲得：步驟a，取定第一構建特徵視場中的第一條特徵光線R₁與所述自由曲面N₁對應的初始曲面的第一交點為特徵資料點P₁；步驟b，在得到第i(1

i

K-1)個特徵資料點P_i後，根據斯涅爾定律的向量形式求解第i個特徵資料點P_i處的單位法向量

，進而求得P_i處的單位切向量

；步驟c，僅過所述第i(1

i

K-1)個特徵資料點P_i做一第一切平面並與特徵視場φ₁中其餘K-i條特徵光線相交，得到K-i個第二交點，從該K-i個第二交點中選取出與所述第i個特徵資料點P_i距離最短的第二交點Q_i+1，並將其對應的特徵光線及與所述第i個特徵資料點P_i的最短距離分別定義為R_i+1和D；步驟d，過特徵資料點P_i(1

i

K-1)之前已求得的i-1個第一特徵資料點分別做一第二切平面，得到i-1個第二切平面，該i-1個第二切平面與所述特徵光線R_i+1相交得到i-1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的特徵資料點P_i形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q_(i+1)'和D_i'；步驟e，比較D_i與D_i'，如果D_i

D_i'，則把Q_i+1取為下一個特徵資料點P_i+1，反之，則把Q_(i+1)'取為下一個特徵資料點P_i+1；以及步驟f，重複步驟b到e，直到計算得到自由曲面N₁上的所有特徵資料點P_i(i=1,2...K)，通過曲面擬合可以得到所述自由曲面N₁對應的的方程式。

步驟b中，每個特徵資料點P_i處的單位法向量

可以根據斯涅爾(Snell)定律的向量形式求解。當待求的自由曲面Ω為折射面時，則每個特徵資料點P _i(i=1,2...K)處的單位法向量

滿足：

其中，

、

分別是沿著特徵光線入射與出射方向的單位向量，n,n'分別為自由曲面N₁前後兩種介質的折射率。

類似的，當自由曲面N₁為反射面時，則每個特徵資料點P_i(i=1,2...K)處的單位法向量

滿足：

由於，所述特徵資料點P_i(i=1,2...K)處的單位法向量

與所述特徵資料點P_i(i=1,2...K)處的切平面垂直。故，可以得到特徵資料點P_i(i=1,2...K)處的切平面。

將所述初始系統所在的空間定義一第一三維直角坐標系。優選的，將光束傳播方向定義為z軸，垂直於z軸方向的平面為xoy平面。

將所述自由曲面N₁上的多個特徵資料點P_i(i=1,2...K)進行曲面擬合包括以下步驟：S211：將所述多個特徵資料點P_i(i=1,2...K)在所述第一直角坐標系中擬合成一球面，得到所述球面的曲率c及其對應的曲率中心(x_c,y_c,z_c)； S212：將中心採樣視場主光線對應的特徵資料點(x_o,y_o,z_o)定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；S213：將所述多個特徵資料點P_i(i=1,2...K)在第一三維直角坐標系中的座標(x_i,y_i,z_i)及其對應的法向量(α_i,β_i,γ_i)變換為第二三維直角坐標系中的座標(x'_i,y'_i,z'_i)及其法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)；S214：根據所述多個特徵資料點P_i(i=1,2...K)在第二三維直角坐標系中的座標(x'_i,y'_i,z'_i)，以及步驟S42中求得的球面的曲率c，將特徵資料點P_i(i=1,2...K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及S215：將所述多個特徵資料點P_i(i=1,2...K)在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的座標與法向量分別從座標(x'_i,y'_i,z'_i)和法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)中排除掉，得到殘餘座標與殘餘法向量，將該殘餘座標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述自由曲面N₁的方程式。

通常的，成像系統關於三維直角坐標系的yoz面對稱，因此，步驟S211中，所述球面在第二三維直角坐標系yoz面內相對於在第一三維直角坐標系yoz面內的傾斜角θ為：

所述多個特徵資料點P_i(i=1,2...K)在第二三維直角坐標系中的座標(x'_i,y'_i,z'_i)與法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)與在第一三維直角坐標系中的座標(x_i,y_i,z_i)和法向量(α_i,β_i,γ_i)的關係式分別為：

在第二三維直角坐標系中，將在二次曲面上的特徵資料點的座標與法向量分別定義為(x'_i,y'_i,z'_is)和(α'_is,β'_is,γ'_is)。將法向的z'分量歸一化為-1，將在二次曲面上的特徵資料點座標(x'_i,y'_i,z'_is)與法向量(α'_is,β'_is,γ'_is)分別從座標(x'_i,y'_i,z'_i)和法向量(α'_i,β'_i,γ'_i)排除掉之後，得到殘餘座標(x"_i,y"_i,z"_i)與殘餘法向量(α"_s,β"_s,-1)分別為：(x _i ",y _i ",z _i ")=(x _i ',y _i ',z _i '-z _is ')

步驟S215中，所述將殘餘座標與殘餘法向量擬合得到自由曲面的步驟包括：在所述第二三維直角坐標系中，用排除掉二次曲面項的多項式曲面作為待構建自由曲面的面形描述，即

其中，g _j(x,y)為多項式的某一項，P=(p ₁,p ₂,…,p _J)^T為係數集合；獲得殘餘座標擬合誤差d₁(P)，即所述殘餘座標值(x"_i,y"_i,z"_i)(i=1,2,...,n)與所述自由曲面在z'軸方向殘餘座標差值的平方和；以及殘餘法向向量擬合誤差d₂(P)，即所述殘餘法向量N _i=(α"_i,β"_i,-1)(i=1,2,...,n)與所述自由曲面法向量的向量差的模值的平方和，

其中，Z=(z ₁,z ₂,…,z _I)^T,U=(u ₁,u ₂,…,u _I)^T,V=(v ₁,v ₂,…,v _I)^T

獲得評價函數

，其中，w為權重且大於0；選擇不同的權重w，並令所述評價函數f(P)的梯度▽f(P)=0，從而獲得多組不同的P及其對應的多個自由曲面面形z=f(x,y；P)；以及獲得具有最佳的成像品質的最終自由曲面面形。

可以理解，初始系統中的其他初始曲面構建成自由曲面的方法與構建自由曲面N₁的方法基本相同，其不同盡在於使用的物像關係不同。在構建方法中計算其他自由曲面上的特徵資料點，以及其他自由曲面上的特徵資料點進行曲面擬合的方法均與計算自由曲面N₁上特徵資料點的方法以及曲面擬合方法相同。

優選的，步驟S21中，在所述T套物像關係中選取一套物像關係作為第一物像關係；步驟S22和S23中每次增加一套物像關係，尋找最佳焦面和理想像點，對構建曲面進行重構。即，步驟二的具體步驟優選包括：S21，使用特徵視場T₁將所述初始曲面L₁構建成自由曲面N₁；S22：增加物像關係T₂，尋找最佳焦面和理想像點，同時使用物像關係T₁和物像關係T₂將所述初始曲面N₁重構成自由曲面N₁’；以及S23，以此類推，每次增加一套物像關係尋找最佳焦面和理想像點，使用增加後的多套物像關係重構自由曲面，直到找到所有物像關係的最佳焦面和理想像點；S24，使用所有物像關係的特徵光線依次將其他初始平面L_j構建為自由曲面N_j。

步驟三、同時使用T套物像關係的特徵光線，依次對L個自由曲面反覆運算構建。

步驟三具體包括以下步驟：S31，將步驟二得到自由曲面系統作為初始系統，所有物像關係的特徵光線與自由曲面的交點作為特徵點；S32，根據根據斯涅爾(Snell)定律的向量形式求解各特徵點處曲面的法向量，將多個特徵資料點擬合為自由曲面；S33，以此類推，對所述自由曲面系統中的L個自由曲面反覆運算構建成L個新的自由曲面，再將該系統作為初始系統，然後多次迴圈該步驟，直到平均RMS彌散斑不再縮小時；步驟S31中，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解特徵光線與自由曲面N₁的多個交點，該多個交點作為自由曲面N'₁的特徵資料點，依據物像關係分別求解每個特徵資料點處的法向量，將該多個交點進行曲面擬合得到自由曲面N'₁的方程式。該將多個交點進行曲面擬合得到自由曲面N'₁的方程式的擬合方法與步驟二中將特徵資料點P_i(i=1,2...K)擬合得到自由曲面N₁的方法相同。

所述自由曲面離軸成像系統的設計方法可進一步包括一對步驟三中得到的自由曲面離軸成像系統進行優化的步驟。具體地，將步驟三中得到的自由曲面離軸成像系統作為後續優化的初始系統。可以理解，該優化的步驟並不是必需的，可以根據實際需要設計。

為了提高構建時數值計算穩定性，也可以首先採用上述方法構建一第一自由曲面離軸成像系統，在構建完成後再將該第一離軸三反成像系統放大一定的倍數得到所述自由曲面離軸成像系統。

所述自由曲面離軸成像系統中自由曲面的求解順序不限，可以根據實際需要進行調換。本實施例中，首先使用T₁物像關係構建三鏡，然後增加構建物像關係，按照三鏡-次鏡-主鏡的順序依次構建，構建完成後，進行自由曲面反覆運算過程，反覆運算過程的重構順序與構建順序一致。

本發明提供的自由曲面離軸成像系統的設計方法中在同時考慮多套物像關係構建自由曲面，該方法可以得到同時具有多套性能參數的集成自由曲面離軸成像系統。而且，在系統中加入了可移動光闌，用於選取成像光線和切換系統性能，進而實現了能夠對大工作距範圍的物體清晰成像的自由曲面離軸成像系統。

綜上所述，本發明確已符合發明專利之要件，遂依法提出專利申請。惟，以上所述者僅為本發明之較佳實施例，自不能以此限制本案之申請專利範圍。舉凡習知本案技藝之人士援依本發明之精神所作之等效修飾或變化，皆應涵蓋於以下申請專利範圍內。

Claims

一種自由曲面離軸成像系統的設計方法，其包括以下步驟：步驟S1，建立一初始系統並根據設計目標，建立T(T
2)套物像關係，對每套物像關係選取M個特徵視場，該初始系統包括L個初始曲面Lj(j=1，2，......L)，且每個初始曲面對應所述自由曲面離軸成像系統中的一個自由曲面，其中，M的值大於L的值；步驟S2，將所述T套物像關係中的至少一套物像關係作為第一物像關係，使用該第一物像關係中將所述初始曲面L1構建成自由曲面N1；將光闌移動至另一套物像關係對應位置，尋找這套物像關係的最佳焦面和理想像點，同時使用這兩套物像關係重構自由曲面N1；以此類推，每次移動孔徑光闌位置，切換物像關係的光線，直到所述T套物像關係的特徵光線的理想像點全部得到，然後使用多套物像關係的特徵光線依次將所述L個初始曲面構建為L個自由曲面；以及步驟S3，同時使用T套物像關係的特徵光線，依依次對所述L個自由曲面反覆運算構建。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，對每套物像關係在弧失方向和子午方向等距選取所述M個特徵視場。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，步驟S2中，在所述T套物像關係中的至少一套物像關係作為第一物像關係，使用該第一物像關係中將所述初始曲面L1構建成自由曲面N1。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，步驟S2中，每次尋找增加的物像關係的最佳焦面和理想像點後，同時使用已尋找到的理想像點的物像關係重構自由曲面N1。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，步驟S2中，所述將所述初始曲面L1構建成自由曲面N1包括：計算得到所述自由曲面N1上的所有特徵資料點Pi(i=1,2…K)；以及，將該特徵資料點Pi(i=1,2…K)進行曲面擬合得到所述自由曲面N1的方程式。
如請求項5所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，所述自由曲面N1上特徵資料點Pi(i=1,2…K)可以通過以下計算方法獲得；步驟a，取定第一構建特徵視場中的第一條特徵光線R1與所述自由曲面N1對應的初始曲面的第一交點為特徵資料點P1；步驟b，在得到第i(1
i
K-1)個特徵資料點Pi後，根據斯涅爾定律的向量形式求解第i個特徵資料點Pi處的單位法向量N_i，進而求得Pi處的單位切向量T_i；步驟c，僅過所述第i(1
i
K-1)個特徵資料點Pi做一第一切平面並與特徵視場φ 1中其餘K-i條特徵光線相交，得到K-i個第二交點，從該K-i個第二交點中選取出與所述第i個特徵資料點Pi距離最短的第二交點Qi+1，並將其對應的特徵光線及與所述第i個特徵資料點Pi的最短距離分別定義為Ri+1和D；步驟d，過特徵資料點Pi(1
i
K-1)之前已求得的i-1個第一特徵資料點分別做一第二切平面，得到i-1個第二切平面，該i-1個第二切平面與所述特徵光線Ri+1相交得到i-1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的特徵資料點Pi形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q(i+1)'和Di'；步驟e，比較Di與Di'，如果Di
Di'，則把Qi+1取為下一個特徵資料點Pi+1，反之，則把Q(i+1)'取為下一個特徵資料點Pi+1；以及步驟f，重複步驟b到e，直到計算得到自由曲面N1上的所有特徵資料點Pi(i=1,2…K)，通過曲面擬合可以得到所述自由曲面N1對應的的方程式。
如請求項5所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，將該多個特徵資料點Pi(i=1,2…K)進行曲面擬合包括以下步驟：將所述初始系統所在的空間定義一第一三維直角坐標系，將所述多個特徵資料點Pi(i=1,2…K)在所述第一直角坐標系中擬合成一球面，得到所述球面的曲率c及其對應的曲率中心(xc,yc,zc)；將中心採樣視場主光線對應的特徵資料點(xo,yo,zo)定義為球面的頂點，並以該球面的頂點為原點，過曲率中心與球面頂點的直線為z軸，建立一第二三維直角坐標系；將所述多個特徵資料點Pi(i=1,2…K)在第一三維直角坐標系中的座標(xi,yi,zi)及其對應的法向量(αi,βi,γi)變換為第二三維直角坐標系中的座標(x'i,y'i,z'i)及其法向量(α'i,β'i,γ'i)；根據所述多個特徵資料點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的座標(x'i,y'i,z'i)，以及步驟S42中求得的球面的曲率c，將特徵資料點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中擬合成一個二次曲面，得到二次曲面係數k；以及將所述多個特徵資料點Pi(i=1,2…K)在第二三維直角坐標系中的二次曲面上的座標與法向量分別從座標(x'i,y'i,z'i)和法向量(α'i,β'i,γ'i)中排除掉，得到殘餘座標與殘餘法向量，將該殘餘座標與殘餘法向量擬合成一個自由曲面，該自由曲面的方程式與所述二次曲面的方程式相加即可得到所述自由曲面N1的方程式。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，步驟S3中，根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述第i構建特徵視場中的特徵光線與自由曲面N1的多個交點，該多個交點作為自由曲面N'1的特徵資料點，依據物像關係分別求解每個特徵資料點處的法向量，將該多個交點進行曲面擬合得到自由曲面N'1的方程式。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，同時使用多套物像關係的特徵光線依次將初始系統構建為自由曲面系統。
如請求項1所述之自由曲面離軸成像系統的設計方法，其中，進一步包括一將所述步驟S3中得到的自由曲面離軸成像系統作為初始系統進行優化的步驟。