KR101062790B1 - 광학 기반의 자기 인증 난수 발생기 - Google Patents

Abstract

본 발명의 다양한 실시예는 난수를 발생시키는 방법 및 시스템에 관한 것이다. 일 실시예에서, 양자 난수 발생기(1100,1200,1300)는 코히런트 상태의 양자 시스템을 발생시키도록 구성된 상태 발생기(1102)와, 양자 시스템을 4 개의 상이한 편광 상태 중 하나에 투영하고 4 개의 상이한 편광 상태 각각을 검출하도록 구성된 편광 상태 분석기(1104)와, 양자 시스템을 단일 광자로 변환하고 제 1 이진수에 대응하는 제 1 편광 상태 또는 제 2 이진수에 대응하는 제 2 편광 상태에 있는 단일 광자를 검출하도록 구성된 원시 비트 발생기(1106)와, 편광 상태 분석기 및 원시 비트 발생기로부터 편광 상태에 대응하는 신호를 수신하고 단일 광자의 제 1 및 제 2 편광 상태에 기초하여 난수를 출력하도록 구성된 시스템 제어기(1108)를 포함한다.

Description

광학 기반의 자기 인증 난수 발생기{OPTICAL-BASED, SELF-AUTHENTICATING QUANTUM RANDOM NUMBER GENERATORS}

관련 출원과의 상호 참조

본 출원은 2006년 4월 20일에 출원된 미국 특허 출원 번호 제 11/407,513 호의 일부계속출원이다.

본 발명은 난수 발생기에 관한 것으로, 구체적으로, 양자 광학 시스템의 양자역학 특성을 이용하여 난수 열을 발생시키는 방법 및 시스템에 관한 것이다.

난수는 몇 개만 예를 들자면, 게임 놀이, 통계적 샘플링, 정방정식 계산, 입자 수송 계산 및 통계 물리학 계산을 포함하는 다수의 영역에 적용된다. 따라서, 난수 발생기("RNG")는 난수를 사용하는 방법 및 시스템에서 현저하게 나타난다. 예컨대, RNG는 보안 시스템의 키 구성요소이고 암호화 키를 생성하는 데 광범위하게 사용된다. 이상적인 RNG는 미리 예측될 수 없고 쉽게 복제될 수 없는 수를 발생시킨다. 바꾸어 말하면, RNG는 이상적으로 불편(unbiased) 난수 열을 발생시킨 다. 그러나, 다수의 일반적으로 사용된 RNG는 외관상(seemingly) 난수 열을 발생시키거나 불편 난수 열을 발생시키기 쉬울 수 있다.

RNG는 공식 및 수치 해법을 사용하여 외관상 난수 열을 발생시키도록 소프트웨어로 구현되었다. 소프트웨어 기반 RNG는 일반적인 공식 기반 RNG이고 "의사 난수 발생기"로서 지칭되는데, 이는 동일한 초기 파라미터가 사용되면, 공식이 의사 난수 열의 예측 및 복제를 고려하기 때문이다. 순환 레머 의사 난수 발생기("LPNG")는 일반적으로 사용되는 의사 난수 발생기의 예이며 다음과 같다.

여기서, x _n 은 난수 열 중 n 번째 수이고,

A, C 및 M은 LPNG에 의해 발생한 수열이 랜덤함을 나타내는 것을 보장하도록 조정될 수 있는 파라미터이다.

전형적으로, M은 의사 난수 열을 계산하는 데 이용되는 컴퓨터의 워드 크기에 할당되고, x ₀, 즉, 시드(seed)는 소수에 할당된다. 예컨대, A, C 및 M을 값 21, 1 및 32(5 비트)에 각각 할당하고, x ₀를 소수 13에 할당하면, LPNG는 후속하는 의사랜덤 정수 열 13, 18, 27, 24, 25, 14, 7 등을 발생시킨다. 다른 방안은 의사 난수 발생기가 시작될 때마다 컴퓨터 시스템 클록에 의해 생성된 시간으로 의사 난수 발생기를 시드한다. 그러나, 의사 난수 발생기가 시작되었던 시간을 결정할 수 있으므로, 시스템 클록에 의해 제공된 시간을 사용하는 것도 전혀 오류가 없는 것은 아니다.

하드웨어 기반 RNG도 개발되어 원자, 분자 및 전기 시스템에 의해 발생한 열잡음에서 관찰되는 무질서 변동으로부터 난수 열을 발생시켜왔다. 예컨대, 열잡음은 전기적 도체를 통해 흐르는 전기적 전류에 의해 생성될 수 있는데, 이는 수와 전압 평형 변동의 크기를 결합시킴으로써 난수 열의 소스로서 사용된다. 열잡음은 도체 내의 전자의 랜덤 이동 때문에, 인가된 전압이 존재하든 존재하지 않든 발생한다. 그러나, 하드웨어 기반 RNG에 의해 이용된 시스템이 환경 변화의 영향을 받기 쉬우므로, 하드웨어 기반 RNG가 항상 난수 열의 소스를 신뢰할 수 있는 것은 아니다. 예컨대, 난수 열을 발생시키는 데 사용된 전기적 잡음 기반 RNG는 시스템의 온도를 변화시킴으로써 편향될 수 있다. 또한, 전형적으로 하드웨어 기반 RNG에 의해 발생한 수열(sequence)의 랜덤성을 인증하는 데 이용되는 방법은 결정론적 소프트웨어 기반 방법인데, 이는 수열이 통계적으로 잘 작용되는지 여부를 결정하는 데 사용될 수 있지만, 수열의 진정한 랜덤성을 평가하는 데에는 사용될 수 없다.

양자 난수 발생기("QRNG")는 다른 유형의 하드웨어 기반 RNG이다. QRNG는 동일한 양자 시스템의 양자역학 특성에 기초한다. 난수 열은 각 수를 양자 시스템에서 수행된 측정의 결과와 결합시킴으로써 발생할 수 있다. 측정이 수행될 때 각 측정이 양자 시스템의 상태를 다수의 가능한 상태 중 하나에 투영하므로, 이러한 방식으로 발생한 수는 정말로 랜덤하며, 양자역학의 표준 해석에 따라, 측정 방법 및 측정 장치가 아무리 정교해도 양자 시스템에서 수행된 측정 결과의 불확실성을 극복할 수 없다. 따라서, QRNG는 난수 열을 발생시키는 가장 바람직한 시스템이다.

"｜0〉" 및 "｜1〉"로 나타낸 2 개의 이산 상태만을 포함하는 양자 시스템은 QRNG를 구현하는 데 사용될 수 있다. 2 상태 양자 시스템의 예는 전자기장의 수직 및 수평 편광 상태, 원자 시스템의 2 가지 에너지 상태 및 전자 또는 원자핵의 2 가지 스핀 상태를 포함한다. 2 개의 이산 상태를 가진 양자 시스템은 "큐비트 시스템"으로 지칭되고, "큐비트 기저 상태"로 지칭되는 상태 ｜0〉 및 ｜1〉도 세트 표시법으로 {｜0〉,｜1〉}로서 나타낼 수 있다. 큐비트 시스템은 상태 ｜0〉, 상태 ｜1〉또는 ｜0〉과 ｜1〉양자 모두를 동시에 포함하는 무한 개수의 상태 중 임의의 상태에 존재할 수 있다. ｜0〉과 ｜1〉양자 모두를 포함하는 상태 중 임의의 상태는 상태의 선형 중첩으로서 수학적으로 나타낼 수 있다.

상태 ｜Ψ〉는 "큐비트"로 지칭되고, 파라미터 α 및 β는 다음 조건을 만족시키는 복소값 계수이다.

｜0〉및 ｜1〉이 상태 ｜Ψ〉의 큐비트 시스템에서 수행된 측정에 의해 결정된 2 가지 가능한 상태이면, 상태 ｜0〉의 큐비트 시스템을 발견할 확률은 ｜α|²이고, 상태 ｜1〉의 큐비트 시스템을 발견할 확률은 ｜β｜²이다. 기저 {｜0〉,｜1〉}의 큐비트 시스템에서 측정을 수행한다고 한다.

큐비트 시스템과 관련된 무한 개수의 상태는 "블로흐 구(Bloch sphere)"로 지칭되는 단위 반경의 3 차원 구로 기하학적으로 나타낼 수 있다.

여기서, 0≤θ＜π이고,

0≤φ＜2π이다.

도 1은 큐비트 시스템의 블로흐 구 표현을 도시한다. 도 1에 도시된 바와 같이, 선(101 내지 103)은 각각 직교 x, y 및 z 데카르트 좌표축이고, 블로흐 구(106)는 원점에 중심을 둔다. 블로흐 구(106) 상에 무한 개의 점이 존재하는데, 각 점은 큐비트 시스템의 고유 상태를 나타낸다. 예컨대, 블로흐 구(106) 상의 점(108)은 일부분은 상태 ｜0〉을, 일부분은 상태 ｜1〉을 동시에 포함하는 큐비트 시스템의 고유 상태를 나타낸다. 그러나, 일단 큐비트 시스템의 상태가 기저 {｜0〉,｜1〉}에서 측정되면, 큐비트 시스템의 상태는 상태 ｜0〉(110) 또는 상태 ｜1〉(112)에 투영된다.

도 2는 가상 단일 편광 빔분리기 기반 QRNG(200)를 도시한다. QRNG(200)는 편광 빔분리기(202), 2 개의 광자 검출기(204,206) 및 광자 소스(208)를 포함한다. 빔분리기(202)는 2 개의 프리즘(212,214) 사이에 끼인 다층 유전체 박막(210)을 포함한다. 빔분리기(202)는 하나의 입력 채널(216) 및 2 개의 출력 채널(218,220)을 갖는다. 채널(216,218,220)은 광섬유 또는 자유 공간을 나타낸다. 빔분리기(202)는 수직으로 편광된 전자기 방사를 반사하고 수평으로 편광된 전자기 방사를 투과시킨다. 빔분리기(202) 및 광자 소스(208)는 다음과 같이 난수를 발생시키는 데 사용될 수 있다. 광자 소스(208)가 빔분리기(202)의 평면에 대해 45°로 편광된 전자기 방사의 단일 광자를 출력하면, 관련된 상태의 코히런트 선형 중첩은 다음과 같다.

｜V〉는 광자의 수직 편광 상태를 나타낸다

｜H〉는 광자의 수평 편광 상태를 나타낸다

수직 및 수평 편광 상태 ｜V〉및 ｜H〉는 45°로 편광된 단일 광자의 직교 기저 상태이고, 편광 상태 ｜V〉및 ｜H〉를 관찰하면 각각 이진수 "1" 및 "0"과 관련될 수 있다. 광자가 광자 검출기 D₁(204) 또는 광자 검출기 D₂(206)에서 검출될 때까지 광자는 상태 ｜45°〉에 남아있다. 상태 ｜45°〉의 계수의 제곱은 검출기 D₁(204)에서 광자 ｜V〉를 검출할 확률이 1/2이고 검출기 D₂(206)에서 광자 ｜H〉를 검출할 확률이 1/2임을 나타낸다. 바꾸어 말하면, 검출기(204)에서 광자를 검출하는 것은 이진 값 "1"을 발생시키는 것과 관련될 수 있고, 검출기(206)에서 광자를 검출하는 것은 이진 값 "0"을 발생시키는 것과 관련될 수 있다. 어느 한쪽의 편광 상태를 검출할 확률이 1/2이므로, 이진 값 "0" 또는 "1"을 발생시키는 것은 정말로 랜덤한 사건이다.

QRNG(200)는 랜덤 n 비트 워드 열로 분할될 수 있는 이진 난수 열을 발생시키는 데 사용될 수 있다. 이때 랜덤 n 비트 워드 열은 다양한 난수 애플리케이션에 사용될 수 있다. 예컨대, QRNG(200)는 다음과 같이 0 내지 31의 랜덤 정수 열을 발생시키는 데 사용될 수 있다. 광자 ｜H〉가 검출기 D₂(206)에 의해 검출되면, 이진수 열에 이진수 "0"이 더해지고, 광자 ｜V〉가 검출기 D₁(204)에 의해 검출되면, 동일한 이진수 열에 이진수 "1"이 더해진다. 상태 ｜45°〉를 연속해서 30 번 발생시키는 것은 후속하는 이진 난수 열을 발생시킨다고 가정한다.

이진 난수 열은 5 비트 워드로 분할되어 2 진법의 난수 열 00011, 01010, 11100, 10101, 01111 및 00100이 되고, 이어서 각각 대응하는 10 진법의 랜덤 정수 열 3, 10, 28, 21, 15 및 4로 변환될 수 있다.

QRNG(200)는 난수 열을 발생시키기에 편리한 방법 및 시스템을 제공하는 것처럼 보이지만, QRNG(200)는 광자 소스(208)를 탬퍼링(tampering)함으로써 의사 난수 열을 발생시키기 쉬울 수 있다. 예컨대, 광자 소스(208)의 제어를 획득하는 반대자(adversary)는 광자 소스(208)를 편향하여, 광자 소스(208)에 의한 광자 출력의 코히런트 선형 중첩이 다음과 같은 상태로 나타날 수 있다.

그 결과, QRNG(200)는 편향된 이진수 열을 발생시키는데, 여기서 발생한 이진수의 대략 2/3가 "0"과 같고, 발생한 이진수의 대략 1/3이 "1"과 같다. 또한, 전형적으로 QRNG(200)와 같은 장치에 의해 발생한 수열의 랜덤성을 인증하는 데 이용된 방법은 흔히 결정론적 소프트웨어 기반 방법인데, 이는 이진수 열이 정말로 랜덤한지 여부를 판정하는 데 있어서 신뢰할 수 없다. 물리학자, 암호 사용자, 컴퓨터 과학자 및 양자 정보 사용자는 난수 열을 확실하게 발생시키는 데 사용되고, 양자 시스템의 비결정론적 특성에 의지하는 방법을 사용하는 QRNG에 의해 난수 열 의 편향을 검출하고, 인증하며, 교정하는 데에도 사용될 수 있는 QRNG에 대한 필요성을 인지해 왔다.

본 발명의 다양한 실시예는 난수를 발생시키는 방법 및 시스템에 관한 것이다. 일 실시예에서, 양자 난수 발생기는 코히런트 상태의 양자 시스템을 발생시키도록 구성된 상태 발생기와, 양자 시스템을 4 개의 상이한 편광 상태 중 하나에 투영하고 4 개의 상이한 편광 상태 각각을 검출하도록 구성된 편광 상태 분석기와, 양자 시스템을 단일 광자로 변환하고 제 1 이진수에 대응하는 제 1 편광 상태 또는 제 2 이진수에 대응하는 제 2 편광 상태에 있는 단일 광자를 검출하도록 구성된 원시 비트 발생기와, 편광 상태 분석기 및 원시 비트 발생기로부터 편광 상태에 대응하는 신호를 수신하고 단일 광자의 제 1 및 제 2 편광 상태에 기초하여 난수를 출력하도록 구성된 시스템 제어기를 포함한다.

도 1은 큐비트 시스템의 블로흐 구 표현을 도시한다.

도 2는 가상 단일 편광 빔분리기 기반 양자 난수 발생기를 도시한다.

도 3은 입방형 공동을 도시한다.

도 4는 기저 벡터로서 2 개의 독립형 편광 벡터 및 정규화 파동벡터를 가진 3 차원 좌표 시스템을 도시한다.

도 5는 도 4에 도시된 좌표 시스템 내의 전자기 방사의 전기장 및 자기장 성분의 표현을 도시한다.

도 6은 양자화 전자기 방사의 에너지 레벨도이다.

도 7은 소스로부터 출력되고 검출기로 전송된 광자 펄스를 검출하는 것과 관련된 확률 분포 함수를 도시한다.

도 8a 및 도 8b는 수직 및 수평 편광 기저 상태의 플롯을 도시한다.

도 9a는 편광 상태의 푸엥카레 구(poincare sphere) 표현을 도시한다.

도 9b 내지 도 9e는 4 개의 편광 상태의 플롯을 도시한다.

도 10은 스톡스(Stokes) 파라미터의 기하학적 표현을 도시한다.

도 11은 본 발명의 실시예를 나타내는 양자 난수 발생기의 일반적인 광학 기반 개략도를 도시한다.

도 12a는 본 발명의 실시예를 나타내는 제 1 양자 난수 발생기의 개략적 표현을 도시한다.

도 12b는 본 발명의 실시예를 나타내는 이진수를 랜덤하게 발생시키는 랜덤 비트 발생기의 동작을 도시한다.

도 12c는 본 발명의 실시예를 나타내는 시스템 제어기에 의해 기록된 가상 원시 카운트(raw count) 열을 도시한다.

도 13a 및 도 13b는 본 발명의 실시예를 나타내는 제 2 양자 난수 발생기의 개략적 표현을 도시한다.

도 14는 본 발명의 실시예를 나타내는 제 3 양자 난수 발생기의 개략적 표현 을 도시한다.

도 15는 본 발명의 실시예를 나타내는 원시 카운트 열로부터 이진 난수 열을 발생시키는 것을 도시한다.

도 16은 반대 시나리오 하에서 도 11에 도시된 양자 난수 발생기를 도시한다.

도 17은 본 발명의 실시예를 나타내는 최소-엔트로피(min-entropy)의 플롯이다.

도 18은 이진 난수 열을 발생시키는 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 제어 흐름도를 도시한다.

도 19는 도 18의 단계(1806)에서 불러낸 루틴 "원시 이진수 열 발생"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다.

도 20은 도 18의 단계(1808)에서 불러낸 루틴 "단층 촬영 분석"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다.

도 21은 도 18의 단계(1810)에서 불러낸 루틴 "원시 이진수 열 선별(sift)에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다.

본 발명의 다양한 실시예는 이진 난수 열을 발생시키는 데 사용될 수 있는 광학 기반의 자기 인증 QRNG에 관한 것이다. 본 발명의 실시예는 수열의 랜덤성을 평가하고 인증하며 편향된 이진수를 소거하는 양자역학 기반 방법을 포함한다. 본 발명의 실시예는 사실상 수학적이며, 이러한 이유로 다수의 식과 다수의 그래프를 참조하여 후술된다. 양자 광학 및 양자 정보의 당업자에게 본 발명의 실시예를 완전히 설명하고 기술하는 데 수학식만으로도 충분할 수 있지만, 본 발명이 다양한 배경적 정보로 독자에게 접근할 수 있도록 후속 논의에 포함된 다수의 그래프식 문제 지향 예 및 제어 흐름도 방안이 여러 가지 상이한 방식으로 본 발명의 다양한 실시예를 설명하려 한다. 또한, 독자가 본 발명의 다양한 실시예의 설명을 이해하는 것을 돕기 위해, 물리학 관련 주제의 개요 소부(subsection)가 제공된다. 제 1 소부에서, 양자역학의 개요가 제공된다. 제 2 소부에 전자기 방사 및 양자 광학의 개요가 제공된다. 제 3 소부에는 편광 상태 및 스톡스 파라미터의 개요가 제공된다. 마지막으로, 본 발명의 다양한 시스템 및 방법이 제 5 소부에 설명된다.

양자역학의 개요

본 발명의 실시예는 양자역학의 개념을 이용한다. 1977년 프랑스 파리 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu and Frank Laloe, Hermann의 텍스트북 "양자 역학 제 1 권 및 제 2 권"은 양자역학 분야에 대한 다수의 참조문 중 하나이다. 이 소부에서, 본 발명의 실시예와 관련된 양자역학의 주제가 설명된다. 추가적인 세부사항은 이상에 참조된 텍스트북 또는 양자역학에 관한 다수의 다른 텍스트북, 논문 및 저널 기사로부터 획득될 수 있다.

양자역학은 광자, 전자, 원자 및 분자를 포함하는 시스템의 관찰된 성향, 원자 및 아원자(subatomic) 레벨을 모델링한다. 양자 시스템은 측정가능한 이산량을 특징으로 하는 이산 상태에 존재한다. 양자 시스템의 상태는 켓(ket)으로 나타나며 ｜Ψ〉으로 표시되는데, 여기서 ｜Ψ〉는 양자 시스템의 상태를 나타내는 라벨이다. 예컨대, 전자는 2 개의 측정가능한 스핀 각 운동량 값 h/2 및 -h/2에 대응하는 2 개의 고유의 스핀 각 운동량 상태를 가지는데, 여기서 h는 대략 1.0546×10^-34 Js이다. 스핀 각 운동량 h/2에 대응하는 스핀 상태는 "스핀 업"으로 지칭되고 ｜↑〉으로 표시되며, 스핀 각 운동량 -h/2에 대응하는 스핀 상태는 "스핀 다운"으로 지칭되고 ｜↓〉으로 표시된다. 여러 가지 상이한 양자 상태에 여러 서로 다른 라벨이 할당될 수 있다. 예컨대, 스핀 업 및 스핀 다운 상태 ｜↑〉 및 ｜↓〉는 각각 켓 ｜½〉및 ｜-½〉로도 나타낼 수 있다. 또한, 완전히 서로 다른 양자 시스템의 상이한 상태를 나타내는 데 단일 라벨이 사용될 수 있다. 예컨대, 켓 "｜1〉"은 2원자 분자의 제 1 양자화 진동 레벨을 나타낼 수 있고, 후속하는 소부에 후술되는 바와 같이 단일 광자를 나타내는 데에도 사용될 수 있다.

전자의 스핀 각 운동량과 같은 양자 시스템의 측정가능량을 결정하는 데 이용된 측정은 연산자

로 나타내는데, 여기서 기호 "⌒"는 연산자를 표시한다. 일반적으로, 연산자는 다음과 같이 좌변으로부터 켓을 연산한다.

여기서

은 관찰된 양자 상태를 나타내는 켓이다. 전형적으로, 연산자

는 "고유상태(eigenstate)"로 지칭되는 상태 세트와 관련된다. 고유상태는 후속 하는 특성을 가진 "｜Ψ _i 〉"으로 나타낸다.

여기서, i는 음이 아닌 정수이고,

Ψ _i 는 양자 시스템이 고유상태 ｜Ψ _i 〉에 있는 경우에 관찰되는 이산 측정가능량에 대응하는 "고유값"으로 지칭되는 실수이다.

예컨대, z 축에 평행한 전자의 스핀 각 운동량을 결정하는 데 이용된 측정은

로 나타내고, 관찰된 스핀 각 운동량 값의 고유값-고유상태 표현은

이다.

연산자의 고유상태는 "상태 공간"이라 지칭되는 복소 벡터 공간을 생성하는(span) 복소 벡터이다. 상태 공간에 속하는 모든 상태가 기저 상에 고유한 선형 중첩을 가지면, 고유상태는 벡터 공간의 기저를 구성한다. 예컨대, 연산자

의 N 개의 고유상태 {｜Ψ _i 〉}에 의해 생성되었던 상태 공간 내의 상태 ｜Ψ〉는 고유상태의 선형 중첩으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, c _i 는 "진폭"으로 지칭되는 복소값 계수이다. 연산자와 관련된 상태 공간은 "힐베르트 공간(Hilbert space)"으로도 지칭된다. 힐베르트 공간은 "내적" 이라 지칭되는 수학적 연산을 포함한다. 2 개의 상태 ｜Ψ〉와 ｜Ξ〉의 내적은 다음과 같이 나타난다.

여기서, 〈Ξ｜는 "브라(bra)"로 지칭되고 상태 ｜Ξ〉의 켤레 복소수 및 전치를 나타낸다. 내적은 후속하는 특성을 갖는다.

여기서 "*"는 켤레 복소수를 나타낸다. 힐베르트 공간의 기저 고유상태는 직교하거나 수학적 표기로 존재한다.

여기서, δ _ij 는 i와 j가 같으면 1이고 같지 않으면 0이다. 예컨대, 단일 전자 힐베르트 공간의 고유상태의 내적은

이다.

힐베르트 공간의 고유상태의 직교 특성은 상태 ｜Ψ〉의 선형 중첩의 계수를 결정하는 데 사용될 수 있다. ｜Ψ〉와 ｜Ψ _j 〉의 내적을 구하면 대응하는 계수가 나온다.

선형 중첩의 계수에 대입하면 다음과 같다.

｜Ψ〉가 힐베르트 공간 내의 임의의 켓이므로,

이다.

여기서,

은 항등 연산자이다. 총합은 "완전도 관계"로 지칭되고, 고유상태 {｜Ψ _i 〉}는 "완전하다"고 한다.

연산자의 고유상태는 직교 정규화 열 벡터로 나타낼 수 있고, 연산자는 정사각행렬로 나타낼 수 있다. 예컨대, 연산자

과 관련된 단일 전자 힐베르트 공간의 고유상태는 열 벡터로 나타낼 수 있다.

여기서, 기호 "B"는 "~로 나타낸다"를 의미한다. 전치된 고유 상태의 켤레 복소수는 행 벡터로 나타낸다.

완전도 관계를 사용하면, 기저 {｜Ψ _i 〉} 상의 연산자

도 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서,

은 행렬 원소이다. 기저 {｜Ψ _i 〉} 상의 연산자

에 대응하는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

과 동일한 연산자

의 행렬 표현은 0 비대각원소를 가지며, 대각원소는 고유값 {Ψ _i }이다. 예컨대, 전자 스핀 z 축 연산자는 다음과 같을 수 있다.

여기서,

이다.

전자 스핀 연산자

의 행렬 표현은 다음과 같다.

연산자

은 만일

이면 "에르미트(Hermitian) 연산자"로 지칭된다.

대응하는 행렬 원소는 다음 조건을 만족시킨다.

연산자

에 대응하는 측정 이전에, 양자 시스템이 연산자

의 모든 고유상태 {｜Ψ _i 〉} 내에 동시에 존재한다고 간주될 수 있으며, 이는 상태의 (순수 상태) 선형 중첩으로 나타낸다.

연산자

에 대응하는 측정은 초기에 상태 ｜Ψ〉의 양자 시스템을 고유상태 ｜Ψ_i 〉중 하나에 투영한다. 바꾸어 말하면, 양자 시스템 상의 측정은 본질적으로 측정시에 선형 중첩 내의 고유상태 중 하나에 양자 시스템의 상태를 배치하는 필터링 프로세스이다. 예컨대, 연산자

에 대응하는 측정 이전의 미지의 스핀 지향을 가진 전자는 상태의 선형 중첩 내에 나타난다.

스핀 결정 측정

은 측정시에 상태 ｜↑〉 또는 상태 ｜↓〉에 전자의 상태를 투영한다. 바꾸어 말하면, 스핀 결정 측정 이후에만, 전자가 상태 ｜↑〉 또는 상태 ｜↓〉 상태에 존재한다.

측정의 결과로서 양자 시스템의 상태에 대한 대응하는 불가역 변화가 존재한다. 불가역성은 측정이 수행되기 전에 양자 시스템이 이미 양자 상태 중 하나에 존재하는 경우에만 방지될 수 있다. 이에 따라, 단일 측정의 결과에 근거하여 양자 시스템의 이전 상태를 추측할 수 없다. 예컨대, 스핀 측정의 결과가 h/2이면, 측정시에 시스템이 이미 상태 ｜↑〉에 존재했었는지 또는 스핀 상태 ｜↑〉 및 ｜↓〉의 선형 중첩에 존재했었는지를 판정할 수 없다.

양자 시스템의 상태가 다양한 상태 ｜Ψ _i 〉 중 어떤 상태에 투영되는지 미리 알 수 없지만, 측정 이후 즉시 양자 시스템이 특정 상태 ｜Ψ _i 〉에서 발견될 확률은 다음과 같다.

여기서 ｜Ψ〉는 정규화되고, ｜c _i ｜²은 c _i ^* c _i 와 같으며, 결과 확률이 된다.

예컨대, 스핀 기저 {｜↑〉, ｜↓〉} 내의 스핀 결정 측정 이전에, 전자가 스핀 상태 ｜↑〉에서 발견될 확률이 1/2이고 스핀 상태 ｜↓〉에서 발견될 확률이 1/2인 것으로 가간섭적으로 준비된다고 고려한다. 예컨대, 스핀 결정 측정 이전의 스핀 상태의 전자와 관련된 상태는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

상태 ｜Ψ〉의 선형 중첩으로 나타낸 양자 시스템에서 수행된 측정의 기대값은 수학적으로 다음과 같이 나타내고,

다음과 같이 완전도 관계를 적용함으로써 결정된다.

기대값은 앙상블 내의 양자 시스템 상의 측정으로부터 예측된 가중 고유값 평균 결과를 나타내는데, 여기서, 양자 시스템의 초기 상태 ｜Ψ〉는 앙상블의 요소마다 동일하다. 바꾸어 말하면, 각 양자 시스템을 나타내는 상태의 선형 중첩은 측정 이전에 동일하다. 실제로, 이러한 앙상블은 다수의 동일하고 독립적인 양자 시스템 전부를 동일한 상태 내에 준비하거나, 단일 시스템을 동일 상태 내에 반복하여 준비함으로써 구현될 수 있다. 기대값이 측정마다 획득되지 않을 수도 있으므로, 측정으로부터 획득된 고유값과 혼동해서는 안 됨을 알아야 한다. 예컨대,

의 기대값은 고유값 h/2 내지 -h/2의 임의의 실수일 수 있지만, 각각의 개별 측정에서 전자에 대한

의 실제 측정값은 언제나 h/2 또는 -h/2이다.

상태 ｜Ψ〉의 단일 양자 시스템의 기대값은 다음과 같이 정의된 밀도 연산자를 사용하여 설명될 수도 있다.

여기서, 상태 ｜Ψ〉는 "순수 상태"로도 지칭되는데, 이는 후술되는 상태의 통계적 혼합과 구별된다. 밀도 연산자는 행렬 원소가

인 "밀도 행렬"로 지칭된 행렬에 의해 {｜Ψ _i 〉} 기저 내에 나타난다.

밀도 연산자는 양자 시스템의 상태의 특성을 나타낸다. 바꾸어 말하면, 밀도 연산자는 상태 ｜Ψ〉로부터 계산될 수 있는 모든 물리적 정보를 제공한다. 예컨대, 밀도 행렬의 대각 행렬 원소의 합은 다음과 같다.

여기서 Tr은 행렬의 트레이스, 즉, 대각원소의 합을 나타낸다. 예컨대, 순수 상태

의 2 상태 양자 시스템의 밀도 행렬은 다음과 같다.

여기서, 대각원소는 양자 시스템을 상태 ｜Ψ ₁〉 또는 상태 ｜Ψ ₂〉에 투영하는 것에 관한 확률이고, 비대각원소는 상태 ｜Ψ ₁〉와 ｜Ψ ₂〉 사이의 간섭 영향을 나타낸다. 또한, 상태 ｜Ψ〉의 양자 시스템의 기대값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그러나, 양자 시스템에 관한 정보가 불완전하다는 것이 흔한 경우이다. 예컨대, 양자 시스템은 각각 관련 확률이 p ₁, p ₂, p ₃...인 상태 ｜Ψ₁〉, ｜Ψ₂〉, ｜Ψ₃〉,... 중 어느 하나에 존재할 수 있는데, 여기서 확률은 다음 조건을 만족시킨다.

양자 시스템은 "상태의 통계적 혼합"에 존재한다고 한다. 상태의 통계적 혼합에 대한 밀도 연산자는 다음과 같이 결정될 수 있다. 전술된 바와 같이, 순수 상태 ｜Ψ_i〉의 양자 시스템에서 관찰가능한

의 측정이 결과값 Ψ_n 를 산출할 확률은

이다.

그러나, 상태의 통계적 혼합에서 Ψ _n를 관찰할 확률 Pr _i (Ψ _n )은 p _i 가 곱해지고 i항까지 더해져 다음과 같아진다.

여기서,

은 상태의 통계적 혼합과 관련된 밀도 연산자이다. 관련된 밀도 행렬 원소는 다음과 같다.

밀도 행렬의 물리적 의미는 상태의 혼합을 포함하는 2 상태 양자 시스템에 관하여 설명된다.

대응하는 밀도 행렬은 다음과 같다.

대각 행렬 원소는, 양자 시스템의 상태가 ｜Ψ_i〉인 경우에, 대각 행렬 원소 ρ ₁₁가 상태 ｜Ψ ₁〉의 양자 시스템을 발견할 평균 확률을 나타내고, 대각 행렬 원소 ρ ₂₂가 상태 ｜Ψ ₂〉의 양자 시스템을 발견할 평균 확률을 나타냄을 의미하도록 해석될 수 있다. 동일한 조건 하에서 동일한 측정이 N 번 수행되는 경우에, Nρ ₁₁는 상태 ｜Ψ ₁〉에서 발견될 것이고 Nρ ₂₂는 상태 ｜Ψ ₂〉에서 발견될 것이다. 비대각 원소 ρ ₁₂ 및 ρ ₂₁는 상태 ｜Ψ ₁〉와 ｜Ψ ₂〉 사이의 평균 간섭 효과를 나타낸다. 대각 행렬 원소와 달리, 곱 c ₁ ⁽ⁱ⁾ c ₂ ^(i)* 및 c ₂ ⁽ⁱ⁾ c ₁ ^(i)* 양자 중 어느 것도 0이 아니더라도 비대각 행렬 원소가 0일 수 있음을 알아야 하는데, 이는 N 개의 측정들의 평균이 상태 ｜Ψ ₁〉및 ｜Ψ ₂〉의 간섭 효과를 상쇄하였음을 의미한다.

텐서 곱(tensor product)은 조합된 양자 시스템을 나타내는 힐베르트 공간을 형성하도록 서로 다른 양자 시스템의 힐베르트 공간을 조합하는 방법이다. 예컨대, H _Ψ는 제 1 양자 시스템의 힐베르트 공간을 나타내고, H _Ξ는 제 2 양자 시스템의 힐베르트 공간을 나타낸다. H _Ψ

H _Ξ로 표시된 힐베르트 공간은 조합된 힐베르트 공간을 나타내는데, 여기서, 기호

는 텐서 곱을 나타낸다. 연산자

및

는 각각 힐베르트 공간 H _Ψ 및 H _Ξ에 대응하고, 각각은 다음과 같이 대응하는 고유상태에서만 연산한다.

여기서, ｜Ψ〉는 힐베르트 공간 H _Ψ 내의 상태를 나타내고, ｜ξ〉는 힐베 르트 공간 H _Ξ 내의 상태를 나타낸다. 텐서 곱 ｜Ψ〉

｜ξ〉은 ｜Ψ〉｜ξ〉, ｜Ψ,ξ〉또는 ｜Ψξ〉로 줄여 쓸 수 있다. 예컨대, 원자 궤도 내의 2 개의 전자의 스핀 상태는 조합된 힐베르트 공간에 대한 기저이다. 2 개의 전자는 양자 모두 스핀 업, 양자 모두 스핀 다운, 제 1 전자 스핀 업 및 제 2 전자 스핀 다운, 또는 제 1 전자 스핀 다운 및 제 2 전자 스핀 업일 수 있다. 2 개의 스핀 업 전자의 다양한 텐서 곱 표현은 다음과 같다.

여기서, 아래 첨자 1 및 2는 제 1 및 제 2 전자를 지칭한다.

양자역학에서, 연속적인 고유값 스펙트럼을 가진 측정가능량도 존재한다. 대응하는 힐베르트 공간의 차원은 무한하며, 이산 양자 시스템에 대해 전술한 다수의 특성은 연속 양자 시스템용으로 일반화될 수 있다. 연속적인 고유값 식은

이다. 여기서, ξ는 연속 고유값을 나타내고, 켓 ｜ξ〉은 연산자

의 연속 고유상태이다. 예컨대, 일 차원 내의 방사(unbound) 입자의 경우에, 위치 q 및 운동량 p는 각각 위치 및 운동량

및

의 연속 고유값이며, -∞ 내지 ∞의 임의의 실수라고 가정할 수 있다.

연속 변수 ξ의 특성은 다음과 같이 일반화될 수 있다.

여기서, δ(ξ-ξ')는

과 같은 다수의 극한 표현을 가지는 델타 함수이다.

임의의 물리적 상태에 대한 상태 켓은 다음과 같이 상태 {｜ξ〉}의 항으로 확대될 수 있다.

예컨대, 입자가 위치 q에 있는 경우에 입자의 위치를 출력하는 검출기를 입자의 경로에 배치한다고 간주한다. 측정이 수행된 후 즉시, 스핀 검출 측정이 수행되는 경우에 임의의 전자 스핀 상태가 2 개의 스핀 상태 중 하나에 투영되는 것과 같이, 초기에 상태 ｜α〉에 있었던 시스템은 ｜q〉로 나타낸 상태에 투영된다. 연속 변수 ξ의 다른 특성은 다음과 같다.

운동량 연산자

는 미분 연산자 -ih∂/∂q로도 나타낼 수 있다. 그 결과, 위치 연산자와 운동량 연산자 양자 모두 정준(canonical) 교환 관계를 만족시킬 수 있다.

여기서, i와 j는 데카르트 x, y 및 z 좌표와 같은 직교 좌표를 나타내고,

교환자는 [A,B]=AB-BA로 정의된다.

전자기 방사 및 양자 광학의 개요

이 소부에서, 본 발명의 실시예에 관한 전자기 방사 및 양자 광학의 간략한 기술이 설명된다. 양자 광학은 전자기 방사의 양자역학의 응용에 관한 물리학 분야이다. 완전히 반사하는 벽을 가진 공동에 한정된 전자기 방사가 양자화된다. 양자화된 전자기 방사는 자유 공간 또는 광섬유 내에 전파하는 전자기 방사와 같은 더 많은 일반적인 비한정 광학 시스템에 인가될 수 있다.

자유 전하 및 전류가 없는 공동에 한정된 전자기 방사는 파동 방정식

및 쿨롱 비상대론적 게이지 조건

을 만족시키는 벡터 퍼텐셜 항

과 관련된 전기장 성분

및 자기장 성분

을 포함한다.

여기서, 전기장 및 자기장 성분은 다음과 같이 결정된다.

전자기 방사는 전파되고 있다고 가정하며, 완전히 반사하는 벽을 가진 입방형 또는 양자화 공동에 의해 부과되는 주기적 경계 조건의 영향을 받는데, 여기서 벽의 길이는 L이다. 도 3은 입방형 공동(300)을 도시한다. 직교 축(302,304,306)은 x, y 및 z 데카르트 좌표축을 나타낸다. 유한 차원 입방형 공동(300)은 파동 방정식의 해에 주기적 경계 조건을 부과한다. 예컨대, x, y 및 z 방향으로, 벡터 퍼텐셜 파동 방정식에 대한 평면파 해는 다음 조건을 만족시킨다.

여기서,

은 벡터(L,L,L)이고,

는 m_x, m_y 및 m_z가 정수인 성분

을 가진 "파동벡터"로 지칭된다.

각 정수 세트(m_x, m_y, m_z)는 전자기 방사의 정상 모드를 지정하고, 파동벡터

의 크기 k는 ω_k/c와 같은데, 여기서 c는 자유 공간 내의 광속을 나타내고, ω_k는 각주파수이다. 실제로 전자기장의 정상 모드의 스펙트럼은 실제로 연속적이며 파동벡터

에 의해 제안된 정상 모드의 이산 스펙트럼은 연속 스펙트럼의 근사치임을 알아야 한다.

주기적 경계 조건을 만족시키는 이상의 파동 방정식에 대한 전파 벡터 퍼텐셜 해는

이다.

여기서,

은 전자기 방사의 복소 진폭이고,

은 2 개의 단위 길이 편광 벡터이며,

m_x, m_y, m_z = 0, ±1, ±2, ±3,...이다.

의 총합은 정수(m_x,m_y,m_z)의 총합을 나타내고, s의 총합은 각각의

과 관련 된 2 개의 독립 편광의 총합이다.

2 개의 편광 벡터는 편광 방향 s 양자 모두에 대해,

로 나타낸 바와 같이 직교하며, 이상에 주어진 게이지 조건으로부터

이다. 2 개의 편광 벡터

및

은 다음과 같이 정규화 파동벡터를 가진 우선회 좌표 시스템을 형성한다.

도 4는 기저 벡터로서 2 개의 독립 편광 벡터

및 정규화 파동벡터

을 가진 3 차원 우선회 좌표 시스템을 도시한다. 도 4에서, 파동벡터

(402) 및 편광벡터

(404)과

(406)은 각각 선(408,410,412)으로 나타낸 좌표축을 가진 좌표 시스템의 3 개의 직교 단위 길이 기저 벡터이다.

벡터 퍼텐셜의 전파하는 전기장 및 자기장 성분은

이다.

전기장

과 자기장

양자 모두 전기장 및 자기장의 "전형적인" 표현으로서 지칭되고, 서로 직교하며, 양자 모두 파동벡터

에 직교하는 전파 파동 해이다.

도 5는 도 4에 도시된 우선회 좌표 시스템 내의 전자기 방사의 전기장 및 자 기장 성분의 표현이다. 전자기 방사는 파동벡터

(402) 축을 따라 방향이 정해진다. 전기장 성분

(502) 및 자기장 성분

(504)은 각각 직교 편광 벡터

(404) 및

(406)를 따라 방향이 정해지며, 특정 시간 t에 고정되는 것처럼 보인다.

전자기 방사의 에너지는 해밀토니안(Hamiltonian)을 구함으로써 결정될 수 있다.

여기서 ε ₀ 은 자유 공간의 전기 유전율이고.

μ ₀ 은 자유 공간의 자기 유전율이며,

V는 공동의 부피이다.

전기 유전율 ε ₀ 은 전기장의 영향 하에서 진공 공간이 전기 퍼텐셜 에너지를 저장할 수 있는 정도를 나타내고, 자기 유전율 μ ₀ 은 진공이 자기장의 자속을 변경하는 정도를 나타낸다. 비도전 매개체에서, 매개체가 전기 퍼텐셜 에너지의 저장을 강화하는 정도인 ε를 전기 유전율에 더 곱하고, 매개체가 자기장의 자속을 높이는 정도인 μ를 자기 유전율에 더 곱한다.

전기장

및 자기장

성분을 양자화하기 위해,

을 설정함으로써 해밀토니안에 위치

및 운동량

에 대한 정준 변수를 대입한다.

그 결과, 전자기 방사에 대한 해밀토니안은

이 된다.

해밀토니안 내의 각 항은 진동 모드

를 가진 고조파 발진기의 에너지인데, 여기서, 항

은 운동 에너지이고, 항

은 단위 질량을 가진 고조파 발진기의 퍼텐셜 에너지이다. 해밀토니안은 양자 해밀토니안 연산자

를 산출하도록 위치 및 운동량 변수

및

를 양자역학 위치 및 운동량 연산자

및

로 각각 대체함으로써 양자화된다.

소멸 및 생성 연산자는

로 정의되고, 양자 해밀토니안 연산자에 이 소멸 및 생성 연산자를 대입하면

이 된다.

여기서,

은 "수 연산자(number operator)"로 지칭되고

으로도 나타낸다. 위치 및 운동량 연산자에 대한 정준 교환 관계를 이용하면, 소멸 및 생성 연산자는 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

전자기 방사가 양자화되는 경우에, 진폭

은 이상의 전형적인 전기장 및 자기장 방정식에 대입되어 전기장 및 자기장 연산자

를 얻을 수 있는 연산자

가 된다. 전기장 연산자와 자기장 연산자 양자 모두 에르미트이고 측정가능한 전기장 및 자기장을 나타낸다.

자기장의 크기가 전기장보다 1/c 배 작으므로, 전기장은 대전 물질과의 상호작용의 대부분을 설명한다. 따라서, 일반적으로 전자기 방사의 성향 및 대전 물질과의 임의의 상호작용의 특성을 나타내는 데 전기장만 사용되며, 자기장 성분은 무시할 수 있다.

양자 연산 및 양자 정보 처리 시스템은 전자기 방사의 단일 모드

을 사용하여 연산될 수 있다. 그 결과, 전자기 방사의 단일 모드에 대한 해밀토니안 연산자는

로 정리되는데, 여기서

및

은 이상의 해밀토니안 내의 모드 의존형 연산자

및

을 대체한다. 단일 모드 해밀토니안의 고유상태 및 대응하는 에너지 고유값은

이다.

여기서, ｜n〉은 "수 상태"로 지칭되고, n은 "광자 수"로 지칭되는 음이 아닌 정수이며, E _n 은 에너지 고유값이다.

소멸 및 생성 연산자는 다음과 같이 수 상태를 연산한다.

여기서,

은 연산자

을 나타내고 "수 연산자"로 지칭된다. 수 상태는 소멸 및 생성 연산자를 수 상태에 반복하여 적용함으로써 발생할 수 있다. 예컨대, 수 상태에 대한 소멸 연산자의 반복 적용은 광자 수를 낮춘다.

여기서, ｜0〉은 "진공 상태"로 지칭되고 전자기 방사의 최저 에너지 상태를 나타낸다. 진공 상태에서 시작하고, 생성 연산자를 반복하여 적용하면

이 된다.

수 상태들은 직교하고 경쟁 세트를 형성한다.

일반적으로, 수 상태 ｜n〉와 관련된 에너지 고유값 식은

이다. 소멸 및 생성 연산자를 에너지 고유값 식에 적용하면

이 되는데, 이는 전자기 방사의 에너지 레벨이 양자 에너지 hω만큼 균일하게 이격됨을 나타낸다. 바꾸어 말하면, "광자"로 지칭되는 이산 에너지량 hω 내에 전자기 방사의 여기가 발생한다. 광자 수 n은 전자기 방사를 포함하는 광자 hω의 개수를 지칭한다.

도 6은 양자화된 전자기 방사의 에너지 레벨도이다. 수평선(602)과 같은 수평선은 전자기 방사의 에너지 레벨을 나타낸다. 에너지 레벨(604)은 진공 상태 ｜0〉에 대응하는 최저 에너지 레벨이다. 진공 상태의 에너지는 단일 광자의 에너지의 hω/2 또는 1/2이다. 전자기 방사의 더 높은 에너지 레벨은 각각 동일한 양자 에너지 hω만큼 분리된다. 예컨대, 에너지 레벨(606)은 총 전자기 에너지가 5hω/2인 전자기 방사를 나타내는데, 이는 2 개의 광자의 에너지와 진공 상태 에너지 hω/2를 더한 값으로 간주할 수 있다. 소멸 연산자는 전자기 방사로부터의 광자를 제거하는 것에 대응하고, 생성 연산자는 전자기 방사에 광자를 추가하는 것에 대응한다. 예컨대, 소멸 연산자

은 상태 ｜n〉(602)에서 보다 낮은 에너지 상태 ｜n-1〉(608)로의 전자기 방사 전이(610)를 나타낸다. 전이(610)는 주변의 광자를 포기함으로써 달성된다. 이와 달리, 생성 연산자

는 상태 ｜n〉(602)에서 보다 높은 에너지 상태 ｜n+1〉(612)로의 전자기 방사 전이(614)를 나타낸다. 전이(614)는 주변으로부터 광자를 받아들임으로써 달성된다. 전형적으로 주변은 원자, 양자점 또는 다이폴 상호작용을 통해 장(field)에 결합하는 임의의 다른 시스템일 수 있음을 알아야 한다. 광자의 손실 또는 흡수는 주변 시스템의 동시 여기를 수반할 것이고, 광자의 생성 또는 방출은 대응하는 주변 시스템의 역여기를 수반할 것이다.

광자는 광자 소스에 의해 생성될 수 있고, 자유 공간을 통해서나 광섬유 내에 전달될 수 있다. 광자 소스는 단일 펄스 또는 펄스 열을 발생시키는 펄싱 레이저일 수 있는데, 각 펄스는 모두 파장 및 방향과 같은 광학 특성이 동일한 하나 이상의 광자를 포함한다. 광학 특성이 동일한 광자는 "코히런트"로 지칭된다. 그러나, 소스, 검출기 및 검출기로부터 소스를 분리하는 광섬유와 같은 매개체는 광학 공동을 정의하지 않는다. 소스 및 검출기는 광학 에너지의 현저한 반사 또는 재생이 없는 광학 에너지의 연속하는 단방향 흐름의 일부이다. 자유 공간 또는 광섬유를 통해 전달된 펄스는 다음과 같이 주어진 시간 의존형 가우시안형 함수로 나타낼 수 있는 파속에 의해 설명될 수 있다.

여기서 ω ₀는 펄스 스펙트럼의 중심 주파수이고,

t는 시간이며,

t ₀는 파속의 피크가 광자 소스로부터 z₀만큼 이격되는 시간이고,

Δ²은 스펙트럼의 편차이다.

시간 t ₀는 z₀/υ에 의해 결정될 수 있는데, 여기서 υ는 자유 공간을 통해 또는 광섬유 내에서 이동하는 펄스의 속도이다.

파속 ξ(t)는 펄스의 진폭이고, ｜ξ(t)｜²은 펄스의 광검출 확률 밀도 함수 인데, 여기서 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜²는 정규화 조건을 만족시킨다.

광자 소스로부터 z₀만큼 이격되는 시간 간격(t₁,t₂)에서 광자의 광검출 확률은 다음과 같다.

의 확률

도 7은 소스(702)로부터 출력되고 광섬유(704)를 통해 검출기(706)로 전달되는 펄스와 관련된 확률 분포를 도시한다. 수평선(708)은 광자가 소스(702)로부터 검출기(706)로 이동하는 거리 z₀를 나타내고, 수평선(710)은 시간축이다. 곡선(712)은 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜²를 나타낸다. 도 7에서, 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜²(712)는 펄스가 거리 z₀를 이동하는 데 걸리는 시간에 대응하는 시간 t ₀에 중심에 있다. 곡선(712) 아래의 영역은 특정 시구간 내에서 펄스를 검출할 확률을 나타낸다. 예컨대, 해시마크 영역(714)은 시구간 t ₁<t ₀<t ₂ 내에서 광자를 검출할 확률을 나타낸다. 시구간(716)은 "타임 빈(time bin)"으로 지칭되고, 검출기(706)에서 광자가 검출되는 시구간에 대응한다.

시간 의존형 생성 연산자는 다음과 같이 광자 파속 생성 연산자를 발생시키는 데 사용될 수 있다.

생성 연산자는 다음과 같이 자유 공간을 통해 또는 광섬유 내에 전달된 광자를 나타내는 연속 모드 수 상태를 구성하는 데 사용될 수 있다.

여기서, ｜0〉은 연속 모드 진공 상태이다. 연속 모드 수 상태는 후속하는 동일한 조건을 만족시킨다.

따라서, 연속 모드 수 상태를 식별하는 데 사용된 아래 첨자 ξ를 버릴 수 있다. 광자를 구성하였던 파속은 임의의 해밀토니안의 고유상태가 아니다.

코히런트 상태의 개요

가장 일반적인 단일 모드 상태의 종류는 수 상태의 선형 중첩이다. 수 상태의 다수의 서로 다른 가능한 선형 중첩이 존재하지만, 코히런트 상태

는 양자화된 전자기 방사의 다수의 애플리케이션에서 사용된 수 상태의 선형 중첩이다. 코히런트 상태는 소멸 연산자의 고유상태이다.

여기서, 켤레 복소수를 쓰면

이 된다.

그러나, 코히런트 상태 ｜α〉는 생성 연산자

의 고유상태가 아닌데, 이는

로부터 코히런트 상태를 산출하도록 α의 총합이 재배열되기 때문이다.

수 연산자에 대한 코히런트 상태 기대값

은 ｜α｜²이 광자의 평균 수임을 나타낸다. 광자의 개수 측정시에 n 개의 광자를 검출할 확률은 푸아송 분포이다.

푸아송 분포는 큰 값 ｜α｜²에 대한 가우시안 분포에 가깝다.

코히런트 상태는 그 특성이 진폭이 안정되고 위상이 고정된 전형적인 전자기파와 가장 근접하게 닮은 양자 상태이다. 예컨대, z 방향으로 전파하는 전기장에 대응하며 모드 아래 첨자 k와 s가 제거된 전기장 연산자는

인데, 여기서 시간 t 및 변위 z는 위상각

의 인수이고, 전기장은

의 단위로 측정된다.

코히런트 상태는, 전기장 기대값 또는 코히런트 신호에 대해 정확한 사인곡선 형태를 주므로 거의 전형적인 상태이다.

여기서, α=｜α｜e ^iφ 인데, φ는 모드의 코히런트 상태 여기의 평균 위상각이다.

편광 상태 및 스톡스 파라미터

현재 소부에서, 전자기 방사의 편광 상태가 논의된다. 도 5와 관련하여 전술한 바와 같이, 전자기 방사는 전파하는 전자기 횡파로서 간주할 수 있다. 각 전자기파는 전기장

및 자기장

성분을 포함한다. 그러나, 전기장이 대전 물질과의 상호작용의 대부분을 설명하고 자기장의 크기가 전기장보다 1/c 배 작으므로, 전자기파를 나타내는 데 사용될 수 있는 것은 전기장 성분뿐이다. 도 5에 도시된 바와 같이, 진동하는 전기장

성분과 관련된 전자기장의 파동벡터

양자 모두 진동 평면 내에 존재하므로, 장은 "선형적으로 편광되었다"고 한다. 하나 이상의 편광자를 통해 랜덤하게 편광된 다수의 전자기파를 포함하는 전자기 방사를 투과시킴으로써 한정된 편광 상태가 생성될 수 있다. 각 편광자는 편광자의 편광축을 따라 정렬되는 전기장 성분을 가진 전자기파만을 투과시키는 장치이다.

임의의 2 개의 직교 선형 편광 상태는 {｜H〉,｜V〉}로 나타낸 편광 기저를 정의하는 데 사용될 수 있다. 제 1 편광 상태 ｜H〉는 "수평 편광"으로 지칭되며 제 1 방향으로 편광된 전자기파를 나타내고, ｜V〉는 "수직 편광"으로 지칭되며 제 1 방향에 직교하는 제 2 방향으로 편광된 전자기파를 나타낸다. 편광 기저 상태는 후속하는 조건을 만족시킨다.

도 8a 및 도 8b는 편광 기저 상태 ｜H〉및 ｜V〉의 플롯을 도시한다. 도 8a 및 도 8b에서, 도 8a 내의 서로 수직인 축(801 내지 803)과 같은 서로 수직인 축은 각각 x, y 및 z 데카르트 좌표축을 나타낸다. 도 8a는 yz 평면에 놓인 전기장

(804)의 수직 편광 상태 ｜V〉를 도시한다. 방향 화살표(806)는 전기장

(804)이 관찰 평면(808) 쪽으로 전파하는 방향을 나타낸다. 관찰 평면(808)으로부터, 파동이 하나의 파장 λ을 통해 z 축을 따라 전파하는 것처럼 전기장

(804)이 하나의 완전한 진동 주기를 통해 진행되는 것을 관찰할 수 있다. 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(810)로 나타낸다. 도 8b는 xz 평면에 놓인 전기장

(812)의 수평 편광 상태 ｜H〉를 도시한다. 관련된 수평 진동 주기는 관찰 평면(808) 내의 쌍촉 방향 화살표(816)로 나타낸다.

편광 기저 {｜H〉,｜V〉}는 ｜χ〉로 나타낸 무한 개수의 편광 상태를 구성하는 데에도 사용될 수 있다. 이들 편광 상태는 ｜H〉와 ｜V〉양자 모두를 동시에 포함하고, 상태의 코히런트 선형 중첩으로서 수학적으로 나타낼 수 있다.

여기서,

0≤θ＜π 이고,

0≤φ＜2π 이다.

전자기파의 무한 개수의 편광 상태는 3 차원 블로흐 구로 기하학적으로 나타낼 수 있는데, 이 경우에 "푸앵카레 구(Poincare sphere)"로도 지칭된다.

도 9a는 편광 상태의 푸앵카레 구 표현을 도시한다. 도 9a에 도시된 바와 같이, 선(901 내지 903)은 각각 직교 좌표축이고, 푸앵카레 구(904)는 원점에 중심을 둔다. 푸앵카레 구(904) 상에 무한 개수의 점들이 존재하는데, 각 점은 전자기파의 고유한 순수 편광 상태 ｜χ〉를 나타낸다. 예컨대, 푸앵카레 구(904) 상의 점(905)은 일부분은 상태 ｜H〉를 일부분은 상태 ｜V〉를 동시에 포함하는 편광 상태 ｜χ〉를 나타낸다. 6 개의 점(906 내지 911)은 푸앵카레 구(904)와 좌표축(901 내지 903) 사이의 교점을 식별한다. 점(906,907)은 각각 편광 기저 상태 ｜H〉 및 ｜V〉를 식별하고, 점(908 내지 911)은 각각 직교 편광 상태를 나타낸다.

도 9b 내지 도 9e는 각각 4 개의 편광 상태 ｜45°〉, ｜-45°〉, ｜R〉및 ｜L〉의 플롯을 도시한다. 도 9b는 수평 xz 평면에 45°로 기울어진 진동 평면(912) 내에 놓인 45° 편광 상태 ｜45°〉를 도시한다. 편광 상태 ｜45°〉의 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(914)로 나타낸다. 도 9c는 수평 xz 평면에 -45°로 기울어진 진동 평면(916) 내에 놓인 -45° 편광 상태 ｜-45°〉를 도시한다. 편광 상태 ｜-45°〉의 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(918)로 나타낸다. 도 9d는 도 8a 및 도 8b에 도시된 상대 위상차 δ가 -2π인 수직 및 수평 편광 필드를 포함하는 우선회 원편광 상태 ｜R〉를 도시한다. 결과는 필드(804,812)가 z 축을 따라 전송됨에 따라 관찰 평면(808) 내에 시계 방향으로 회전하는 2 개의 직교 쌍촉 방향 화살표(920,922)로 나타낸 발진 주기이다. 도 9e는 상대 위상차 δ가 -2π인 수직 및 수평 편광 필드를 포함하는 좌선회 원편광 상태를 도시한다. 좌선회 편광 상태의 진동 주기는 관찰 평면(808) 내에 시계 반대 방향으로 회전하는 2 개의 직교 쌍촉 방향 화살표(924,926)로 나타낸다.

임의의 편광 상태는 "스톡스 파라미터"로 지칭되는 4 개의 양의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. 스톡스 파라미터는 준단색(quasi-monochromatic) 전자기 방사의 편광 상태를 나타내기에 편리한 방법인데, 이는 전자기 방사 측정이 전형적으로 광자의 수 및 세기만을 결정할 수 있고 편광 상태는 결정할 수 없기 때문이다. 스톡스 파라미터 모두는 동일한 차원을 가지며, 단색파의 경우에 4 가지 양이 주어진다.

여기서, 기호 "〈·〉"는 평균값을 나타내고,

a ₁ 및 a ₂는 전기장 벡터의 2 개의 상이한 직교 성분 E _x 및 E _y 의 순간 진폭이 며,

δ는 성분 E _x 와 E _y 의 위상차이다.

단색파에 대한 스톡스 파라미터 중 3 개만 독립적인데, 이는 파라미터가 항등식으로 설명되기 때문이다.

부분적으로 코히런트 준단색파의 경우에, 스톡스 파라미터가 부등식으로 설명됨을 알아야 한다.

스톡스 파라미터는 후속하는 스톡스 관계에 의해 서로 관련된다.

여기서,

0≤ψ＜π 이고,

이다.

도 10은 스톡스 파라미터 S ₁, S ₂ 및 S ₃의 기하학적 표현을 도시한다. 도 10에 도시된 바와 같이, 선(1002 내지 1004)은 각각 직교 x, y 및 z 데카르트 좌표축이다. 반경 S ₀의 구(1006)는 모든 상이한 편광 상태의 기하학적 표현을 나타낸다. 스톡스 파라미터 S ₁, S ₂ 및 S ₃는 구(1006) 상의 점 P(1008)의 데카르트 좌표라고 간 주하고, 2χ 및 2ψ는 점 P(1008)의 구 각도 좌표이다. 주어진 세기 S₀의 모든 가능한 편광 상태의 경우에, 구(1006) 상에 대응하는 점이 존재하며, 반대의 경우도 또한 같다. 우선회 편광은 적도의 xy 평면(1010) 위에 놓인 구(1006) 상의 점들로 나타내고, 좌선회 편광은 적도의 xy 평면(1010) 아래에 놓인 구(1006) 상의 점들로 나타낸다. 선형적으로 편광된 전자기 방사의 경우에, 위상차 δ는 0 또는 π의 정수배이고, 파라미터 S ₃는 0이다. 바꾸어 말하면, 선형적으로 편광된 전자기파는 구(1006)와 xy 평면(1010)의 교차부에 놓인 점들로 나타낸다. 원편광 전자기 방사의 경우에, 〈a ₁〉는 〈a ₂〉와 같고, 위상차 δ는 π/2 또는 -π/2이다. 따라서, 우선회 원편광 전자기 방사는 점(1012)으로 나타내고, 좌선회 원편광 전자기 방사는 점(1014)으로 나타낸다. 부분적으로 코히런트 준단색파의 경우에, 이상의 부등식으로 나타낸 바와 같이, 상태는 구(1006) 내부에 놓인 점들로 나타낼 수 있음을 알아야 한다.

전형적으로, 스톡스 파라미터는 각 파라미터를 파라미터 S₀로 나눔으로써 정규화되는데, 이는 단위 세기의 입사빔을 사용하는 것과 같다. 정규화 표현으로 나타낸 랜덤하게 편광된 전자기 방사에 대한 스톡스 파라미터(S ₀, S ₁, S ₂, S ₃)는 구(1006)의 중심에 대응하는 (1,0,0,0)이다. 정규화 스톡스 파라미터는 표 Ⅰ에 열거된다.

표 Ⅰ

전자기 방사의 임의의 준단색파의 스톡스 파라미터는 세기 또는 광자 수 측정에 의해 결정될 수 있으며 다음 관계로 주어진다.

여기서, I(θ,ε)는 y 성분이 x 성분에 대하여 감속도 ε의 영향을 받기 쉬운 경우에 x 축과 각도 θ를 이루는 전기장 진동을 가진 전자기 방사의 세기를 나타낸다. 예컨대, 세기 I(0°,0) 및 I(90°,0)는 수형 및 수직으로 편광된 전자기 장사의 세기를 나타내고, I(45°,0) 및 I(-45°,0)는 45°및 -45°편광된 전자기 방사의 세기를 나타낼 수 있으며,

및

은 우선회 및 좌선회 원편광 전자기 방사를 나타낸다.

파라미터 S ₀이 총 세기를 나타냄을 알아야 한다. 파라미터 S ₁은 각도 θ가 90°인 선형 편광을 수용하는 편광자에 의해 투과된 전자기 방사 위의 각도 θ가 0 °인 선형 편광을 수용하는 편광자에 의해 투과된 전자기 방사의 세기의 초과와 같다. 파라미터 S ₂는 이와 유사한 해석을 갖는다. 파라미터 S ₃는 좌선회 원편광 전자기 방사 위에, 우선회 원편광 전자기 방사를 수용하는 편광자에 의해 투과된 전자기 방사의 세기의 초과와 같다.

본 발명의 실시예

본 발명의 다양한 실시예는 이진 난수 열을 발생시키는 데 사용될 수 있는 광학 기반 자기 인증 QRNG에 관한 것이다. 본 발명의 실시예는 최소 엔트로피를 구성하며, 이진 난수 열을 구하고 인증하는 데 사용되는 양자역학 기반 방법을 포함한다. 도 11은 QRNG(1100)의 본 발명의 실시예를 나타내는 일반적인 도면을 도시한다. QRNG(1100)는 상태 발생기(1102), 편광 상태 분석기("PSA")(1104), 원시(raw) 비트 발생기("RBG")(1106) 및 시스템 제어기(1108)를 포함한다. 상태 발생기(1102)는 펄스화 레이저 다이오드 및 선형 편광자를 포함하고, 코히런트 상태의 전자기 방사의 45°편광된 펄스(1110)를 출력한다.

여기서, ｜α _H 〉는 수평으로 편광된 코히런트 상태를 나타내고,

｜α _V 〉는 수직으로 편광된 코히런트 상태를 나타낸다.

용어 "수평"은 QRNG(1100)의 평면에 평행하게 편광된 전기장 성분을 가진 전자기파를 지칭하고, 용어 "수직"은 QRNG(1100)의 평면에 직교하게 편광된 전기장 성분을 가진 전자기파를 지칭한다. 전자기 방사의 편광 펄스 ｜α₄₅ 〉(1110)는 분리되어 펄스 ｜α₄₅ 〉(1110)의 제 1 부분은 PSA(1104)로 전송되고 펄스 ｜α₄₅ 〉(1110)의 제 2 부분은 RBG(1106)로 전송된다. PSA(1104) 및 RBG(1106)에 대한 상이한 장치 실시예는 도 12 내지 도 14를 참조하여 후술된다. 상태 발생기(1102)에 의해 발생한 펄스 ｜α₄₅ 〉(1110)마다, PSA(1104)는 초기 상태를 전자기 방사의 4 개의 상이한 편광 코히런트 상태에 투영한다. 4 개의 상이하게 편광된 코히런트 상태는 (1) 45°편광 펄스 ｜α₄₅ 〉(1112), (2) -45°편광 펄스 ｜α_-45 〉(1114), (3) 우선회 원편광 펄스 ｜α_R 〉(1116) 및 (4) 좌선회 원편광 펄스 ｜α_L 〉(1116)이다. PSA(1104)는 상태(1112 내지 1116)를 검출하고 그 검출 결과를 시스템 제어기(1108)로 전송하는 검출 시스템(1120)을 포함한다. RBG(1106)는 다음과 같이 펄스 ｜α₄₅ 〉(1112) 내의 광자의 수를 감소시키는 감쇠기(1120)를 포함한다.

여기서,

｜H〉는 단일 광자를 포함하는 수평 편광 펄스를 나타내고,

｜V〉는 단일 광자를 포함하는 수직 편광 펄스를 나타낸다.

RBG(1106)는 상태 ｜H〉 또는 상태 ｜V〉인 단일 광자의 존재를 검출하고 그 검출 결과를 시스템 제어기(1108)로 전송하는 검출 시스템(1122)을 포함한다. 광자 편광 상태 ｜H〉 및 ｜V〉는 이진수를 인코딩하는 데 사용된다. 예컨대, 상태 ｜H〉의 검출은 이진수 "1"를 나타내는 데 사용될 수 있고, 상태 ｜V〉의 검출은 이진수 "0"을 나타내는 데 사용될 수 있다. QRNG(1100)의 N 개의 동작 주기에 있어서, 시스템 제어기(1108)는 PSA(1104) 및 RBG(1106)에 의해 공급된 검출 결과를 수신하고, 벡터

로 나타낸 이진 난수 열을 출력하는데, 여기서 m은 이진 난수의 개수를 나타내고 m〈 N이다. 이진 난수 열

을 구성하는 것에 관한 방법 실시예는 도 15 내지 도 21을 참조하여 후술된다.

도 12 내지 도 14는 전술한 일반적인 QRNG(1100) 실시예에 따른 본 발명의 3 가지 상이한 QRNG 장치 실시예를 도시한다. 간결성을 위해, 도 12 내지 도 14에 도시된, 도 11에 도시된 일반적인 QRNG(1100)의 구성요소와 동일한 QRNG의 구성요소는 동일한 참조 번호를 가지며, 구조 및 기능의 설명은 반복되지 않는다.

도 12a는 본 발명의 실시예를 나타내는 제 1 QRNG(1200)의 개략적 표현을 도시한다. PSA(1104)는 펄스화 상태 발생기(1102), 제 1 빔분리기("BS₁")(1202), 제 2 빔분리기("BS₂")(1204), 반파장 플레이트(1206), 1/4 파장 플레이트(1208), 제 1 편광 빔분리기("PBS₁")(1210), 제 2 편광 빔분리기("PBS₂")(1212), 및 4 개의 광다이오드 검출기(1214 내지 1217)를 포함한다. 4 개의 광다이오드 검출기(1214 내지 1217)는 종래 기술에 잘 알려져 있는 p-i-n 광다이오드일 수 있다. 점선, 예컨대, 점선(1218)은 PSA(1104) 내의 전자기 방사 전송 경로를 나타내고, 광섬유 또는 자유 공간 내의 전송 경로를 나타낼 수 있다. RBG(1106)는 감쇠기(1120), 커플러(1220), 단일 모드 섬유("SMF")(1222), 섬유 편광 빔분리기("FPBS")(1224), 지연 섬유(1226), 다중 모드 광섬유(1228), 및 단일 광자 카운팅 모듈("SPCM")(1230)을 포함한다. 지연 섬유(1226) 및 SMF(1222)는 전자기 방사의 0 광자 또는 단일 광자를 전송하는 데 사용될 수 있는 단일 모드 광섬유이다. 커플러(1220)는 SMF(1222)에 감쇠기(1120)를 결합하고, MMF(1228)는 전자기 방사의 2 개 이상의 모드를 단일 광자를 검출하기 위해 높은 신호 세기로 작동되는 애벌란치(avalanche) 광다이오드일 수 있는 SPCM(1230)으로 전송한다. 광다이오드 검출기(1214 내지 1217) 및 SPCM(1230)은 신호선(1232)과 같은 신호선에 의해 시스템 제어기(1108)에 접속된다. BS₁(1202) 및 BS₂(1204)는 펄스 ｜α ₄₅〉를 도 12에 A, B 및 C로 식별된 3 개의 상이한 전송 경로로 분할한다. BS₁(1202) 및 BS₂(1204) 이후의 펄스 ｜α ₄₅〉의 상태는 다음과 같다.

여기서,

｜α ₄₅〉_A는 전송 경로 A로 반사된 45°편광 전자기 방사를 나타내고,

｜α ₄₅〉_B는 전송 경로 B로 반사된 45°편광 전자기 방사를 나타내며,

｜α ₄₅〉_C는 전송 경로 C로 반사된 45°편광 전자기 방사를 나타낸다.

BS₁(1202)에 의해 반사된 전자기 방사의 편광은 다음과 같이 HWP(1206)에 의 해 변하고,

BS₂(1204)에 의해 반사된 전자기 방사의 편광은 다음과 같이 QWP(1208)에 의해 변한다.

수평 편광 펄스 ｜α _H 〉는 검출기(1215,1216)에 의해 검출되고, 수직 편광 펄스 ｜α _V 〉는 검출기(1214,1217)에 의해 검출된다.

이진 난수 열은 타임 빈 인코딩을 사용하여 RBG(1106)에 의해 발생한다. 도 12b는 본 발명의 실시예를 나타내는 RBG(1106)의 동작을 도시한다. 감쇠기(1120)는 펄스 ｜α ₄₅〉_C(1234)의 상태를 진공 상태 ｜0〉 또는 상태

의 코히런트 선형 중첩 내의 단일 광자로 감소시킨다. FPBS(1224)는 SMF(1222)를 따라 MMF(1228)로 단일 수평 편광 광자 ｜H〉를 투과시키고, 단일 수직 편광 광자 ｜V〉를 지연 섬유(1226)에 반사한다. 지연 섬유(1226)가 FPBS(1224)와 MMF(1228) 사이의 거리보다 길기 때문에, 수직 편광 광자 ｜V〉가 SPCM(1230)에 도달하는 데 걸리는 시간은 수평 편광 광자 ｜H〉가 SPCM(1230)에 도달하는 데 걸리는 시간보다 길다. 선(1236)은 시간축을 나타내고, "0"은 펄스 ｜α ₄₅〉(1110)가 상태 발생기(1102)로부터 출력되는 시작 시각을 식별한다. 쌍촉 방향 화살표(1238)는 펄스 ｜α ₄₅〉(1110)가 SPCM(1230)에서 단일 수평 편광 광자 ｜H〉를 검출되게 하는 데 걸리는 평균 시간을 나타낸다. 쌍촉 방향 화살표(1240)는 펄스 ｜α ₄₅〉(1110)가 SPCM(1230)에서 단일 수직 편광 광자 ｜V〉를 검출되게 하는 데 걸리는 평균 시간을 나타낸다. 곡선(1242,1244)은 SPCM(1230)에서 광자 검출 사건의 정규 분포를 나타낸다. 지연 섬유(1226)의 길이는 곡선(1242,1244)의 꼬리가 오버랩되지 않도록 조정될 수 있다. 곡선(1242,1244)의 폭은 각각 이진 난수를 발생시키는 데 사용되는 무오버랩(non-overlapping) 타임 빈(1246,1248)을 규정한다. 예컨대, 상태 발생기(1102)로부터 출력된 펄스 ｜α ₄₅〉(1110)마다, 시스템 제어기(1108)에 의해 사건이 기록된다. 시스템 제어기(1108)에 의해 기록된 사건은 다음과 같이 설명되는데, 광자가 타임 빈(1246)에서 검출되면, 이진수 "1"이 기록되고, 광자가 타임 빈(1248)에서 검출되면, 이진수 "0"이 기록된다. 타임 빈(1246) 또는 타임 빈(1248)에서 어떠한 광자도 검출되지 않으면, "광자 없음"이 기록되고, 타임 빈(1246)과 타임 빈(1248) 양자 모두에서 광자가 검출되면, "에러"가 기록된다. 표 Ⅱ는 상태 발생기(1102)로부터 출력된 펄스 ｜α ₄₅〉(1110)마다 시스템 제어기(1108)에 의해 기록될 수 있는 4 가지 종류의 사건을 표시한다.

표 Ⅱ

시스템 제어기(1108)에 의해 기록된 각 사건은 "원시 카운트(raw count)"로 지칭된다. 도 12c는 본 발명의 실시예를 나타내는 상태 발생기(1102)에 의해 발생한 N 개의 펄스 ｜α ₄₅〉(1110)에 대하여 시스템 제어기(1108)에 의해 기록된 가상의 N 개의 원시 카운트 열(1250)을 도시한다. N 개의 원시 카운트 열(1250)은 원시 카운트 "광자 없음"(1252) 및 원시 카운트 "에러"(1254)에 의해 분리된 이진수 열 "0" 및 "1"을 포함한다. 도 15 내지 도 21을 참조하여 후술되는 본 발명의 방법 실시예는 이진 난수 열

을 얻도록 PSA(1104)에 의해 발생한 데이터 편광 상태를 사용하여 N 개의 원시 카운트 열을 시트프하는 방법에 관한 것이다. PSA(1104)와 RBG(1106) 양자 모두에 의한 펄스의 검출은 동기화됨을 알아야 한다.

도 13a 및 도 13b는 본 발명의 실시예를 나타내는 제 2 QRNG(1300)의 개략적 표현을 도시한다. 도 13a에 도시된 바와 같이, QRNG(1300)는 펄스화 상태 발생기(1102)와, 도 12에 도시된 QRNG(1200)와 동일한 구성요소 및 동작을 포함하는 RBG(1106)를 포함한다. 따라서, 간결성을 위해, 이들 구성요소는 동일한 참조 번호를 가지는 것으로 도 13a에 제공되었고, 구조 및 동작의 설명은 반복되지 않는다. QRNG(1300)도 빔분리기("BS")(1302), 오목 렌즈(1304), 4분원 편광 필 터(1306) 및 4분원 광다이오드 검출기(1308)를 포함하는 PSA(1104)를 포함한다. BS(1302)는 전자기 방사의 편광 펄스 ｜α ₄₅〉를 전송 경로(1310)로 반사된 제 1 펄스 ｜α ₄₅〉_A와, 전송 경로(1312)로 반사된 ｜α ₄₅〉_B로 분할한다. 오목 렌즈(1304)는 펄스가 4분원 편광 필터(1306)에 도달할 때 펄스 ｜α ₄₅〉의 전자기 방사가 발산하게 한다.

도 13b는 4분원 편광 필터(1306) 및 4분원 광다이오드 검출기(1308)의 투시도를 도시한다. 오목 렌즈(1304)는 제 1 펄스 ｜α ₄₅〉_A의 전자기 방사가 확대된 방향 화살표(1313)로 나타낸 바와 같이 발산하게 한다. 4분원 편광 필터(1306)는 4 개의 편광 섹터로 분할되는데, 각 편광 섹터는 4 가지 유형의 편광 중 하나를 출력한다. 예컨대, 4분원 편광 필터(1306)는 (1) 45°편광 펄스 ｜α ₄₅〉를 출력하는 제 1 편광 섹터(1314), (2) -45°편광 펄스 ｜-α ₄₅〉를 출력하는 제 2 편광 섹터(1315), (3) 우선회 원편파 펄스 ｜α_R 〉를 출력하는 제 3 편광 섹터(1316), 및 (4) 좌선회 원편파 펄스 ｜α_L 〉를 출력하는 제 4 편광 섹터(1317)와 같은 편광 섹터를 포함한다. 4분원 광다이오드 검출기(1308)는 4 개의 독립 검출 영역(1320 내지 1323)으로 분할되는데, 각 검출 영역은 4분원 편광 필터(1306)의 편광 섹터에 정렬되고, 정렬되고 대응하는 편광 섹터로부터 출력된 펄스를 독립적으로 검출할 수 있다. 예컨대, 검출 영역(1320 내지 1323)은 각각 편광 섹터(1314 내지 1317)에 정렬되어 정렬된 편광 섹터(1314 내지 1317)로부터 출력된 펄스를 검출한다. 4분원 광다이오드 검출기(1308)는 각 검출 사건을 시스템 제어기(1108)로 전송한다.

도 14는 본 발명의 실시예를 나타내는 제 3 QRNG(1400)의 개략적 표현을 도시한다. QRNG(1400)는 연속하는 전자기파 상태 발생기(1102), 1:6 BS(1402), 편광 필터(1404 내지 1409), 감쇠기(1412,1414), p-i-n 광다이오드(1416 내지 1419), 및 SPCM(1420,1421)을 포함한다. SPCM(1420,1421)은 애벌란치 광다이오드일 수 있다. QRNG(1400)도 도 12 및 도 13을 참조하여 전술된 상태 발생기(1102) 및 시스템 제어기(1108)를 포함한다. 1:6 BS(1402)는 코히런트 상태 ｜α〉로 입력된 전자기 방사의 단일 연속파를 다음과 같이 A 내지 F로 라벨링된 전송 경로를 따라 전송된 6 개의 개별 빔으로 분할하는 일반적인 빔분리기이다.

편광 필터(1404 내지 1409)는 다음과 같이 전송 경로(A 내지 F) 내에 전송된 각 빔이 6 개의 상이한 편광 코히런트 상태 중 하나를 출력하도록 지향된다.

감쇠기(1412,1414)는 연속파 ｜α_H 〉 _A 및 ｜α_V 〉 _B 를 포함하는 다수의 광자를 각각 진공 (기저) 상태 ｜0〉 _A 과 ｜0〉 _B 중 하나 또는 각각 상태 ｜H〉 _A 및 ｜V〉 _B 의 단일 광자로 감소시킨다. 단일 광자 상태는 애벌란치 광다이오드(1420,1421)로 검출된다. 검출기(1416 내지 1421)는 시스템 제어기(1108)로 검출 사건을 전송한다. 검출 사건은 도 12를 참조하여 전술한 바와 같이 원시 카운트 열을 초래한다. 이진 난수 열

을 발생시키도록 검출 사건을 처리하는 것은 p-i-n 광다이오드(1416 내지 1419)와 애벌란치 광다이오드(1420,1421) 사이의 동기 검출을 필요로 하지 않는다.

도 15는 본 발명의 실시예를 나타내는, 도 11 내지 도 14를 참조하여 전술된 QRNG들 중 어느 하나를 N 번 동작시킴으로써 발생하였던 원시 카운트 열로부터 가상의 이진 난수 열을 발생시키는 것을 도시한다. QRNG(1100)를 N 번 동작시키는 것은 도 12c에 도시된 N 개의 원시 카운트 열(1250)을 산출한다. "광자 없음"(1252) 및 "에러"(1254)와 같은 "광자 없음" 및 "에러" 검출 사건에 대응하는 원시 카운트가 원시 카운트 열로부터 제거되어

(n＜N)으로 나타낸 열 벡터(1502)로 모인 n 개의 원시 이진수 열을 산출한다. 원시 열(1502)은 가상 편향 이진수(1504 내지 1506)와 같은 다수의 가상 편향 이진수를 포함한다. 본 발명의 양자역학 기반 방법은 다음과 같이 m 개의 이진 난수 열

을 산출하도록 원시 열

(1502) 내의 편향 이진수를 선별하는 데 사용되는 m×n 토플리츠(toeplitz) 행렬 T_n×m 을 구성하는 데 사용된다.

여기서, m〈 n〈 N이다. 이진 난수 열

은 열 벡터(1508)로 나타낸다.

Springer-Verlag의 C. D. walter(Eds.) 등의 "Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES 2003"라는 제목의 책의 166 내지 180 페이지에서 "True Random Number Generator Secure in a Changing Environment"라는 명칭의 장에서 버락 등은 토플리츠 행렬의 수학적 정의를 제공한다. 후속하는 논의는 버락 등의 참조에 따른 토플리츠 행렬을 구성하는 데 필요한 식견을 제공한다.

상태 발생기(1102)로부터 출력된 상태의 편향에도 불구하고 본 발명의 방법이 난수 열을 발생시키는 데 사용될 수 있음을 강조하기 위해, 반대 시나리오를 이용하여 이진 난수 열

을 발생시킴을 참조해서 본 발명의 양자역학 기반 방법 실시예가 후술된다. 반대 시나리오에서, 상태 발생기(1102)는 "이브"(1602)로 지칭되는 반대자의 제어 하에 들어간다. QRNG(1100)의 나머지는 "앨리스"(1604)로 지칭되는 사용자의 제어 하에 있다. 이브는 앨리스(1604)에게 랜덤하게 보이며 이브에게 일부분 알려져 있는 이진수 열을 발생시키기를 원한다. 앨리스가 상태 ｜H〉 및 ｜V〉만을 사용하여 이진 난수를 발생시키므로, 후속하는 분석은 기저 {｜H〉,｜V〉}에 의해 생성되는 부분 공간으로 제한된다. 따라서, 이브는 형식

의 코히런트 상태를 발생시킨다고 가정하는데, 여기서

이다. 이브는 앨리스가 상태 ｜ψ〉의 광자에 적용하는 측정을 알지 못한다고 가정한다. 이브가 모두 동일한 순수 상태 ｜ψ〉의 펄스를 준비할 때, 앨리스는 각 펄스 상의 측정을 수행하고 밀도 행렬을 얻을 수 있다.

밀도 행렬

은 앨리스가 이브에 의해 제공받은 펄스의 상태에 관하여 앨리스가 얻을 수 있는 정보의 최대량을 나타낸다. 앨리스는 이브에 의해 제공된 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행함으로써 밀도 행렬

의 원소를 결정할 수 있다. 단층 촬영 분석은 이진수 열의 랜덤성을 평가하는 데 사용되며, "자기 인증"으로도 지칭된다. 양자 상태의 단층 촬영 분석은 종래 기술에 잘 알려져 있의며, 예컨대, Phys. Rev. A, 제 64,052312 권, 제임스 등의 참조문 "Measurement of Qubits"에 설명된다. 단층 촬영 분석은 이브에 의해 준비된 상태 ｜ψ〉를 식별하는 데 사용된다. 제임스 등의 참조문에 설명된 바와 같이, b-큐비트 시스템에 대한 단층 촬영 분석은 밀도 행렬

을 결정하기 위해 전형적으로 (4^b-1) 상이한 기대값을 필요로 한다. 따라서, 기대값의 측정을 위해 동일한 상태의 다수의 사본이 필요하다. (4^b-1) 상이한 기대값 및 상태에 대한 정규화 필요조건은 이상적으로 일반적인 b-큐비트 시스템의 2^b 복소 계수에 대한 4^b 독립적 제한을 발생시키는데, 이는 밀도 행렬

및 측정된 상태를 규정하는 2^b 복소 계수에 대한 해석적 해를 허용한다.

이브는 상태 ｜ψ _i 〉(=c _i ｜H〉+d _i ｜V〉)의 통계적 혼합 내의 펄스를 전송함으로써 자신에게 알려져 있지만 앨리스에게 랜덤하게 보이는 방식으로 수열을 편향하 려고도 할 수 있는데, 각 펄스의 상태는 관련된 확률 p _i 를 갖는다. 앨리스는 단층 촬영 분석을 수행하여 밀도 행렬 연산자

및 관련된 밀도 행렬

을 결정하는데, 여기서,

은 상태 ｜H〉를 측정할 확률이고,

은 상태 ｜V〉를 측정할 확률이다. 밀도 행렬 연산자와 밀도 행렬은 순수 상태 밀도 행렬 연산자와 관련 밀도 행렬의 구성이다. 이브는 앨리스가 매번 측정하고 있는 각 펄스의 상태 ｜ψ _i 〉를 준비하고 알지만, 앨리스에 의해 수행된 각 측정의 결과가 양자역학의 법칙에 의해 지배되므로, 이브는 상태 ｜ψ _i 〉 상의 앨리스의 측정의 결과를 제어할 수 없다.

앨리스는 단층 촬영 분석을 수행하여 밀도 행렬

을 결정하고 랜덤성의 소스의 품질을 평가한다. 랜덤성의 소스의 품질은 다음과 같이 최소 엔트로피("min-entropy") 함수를 사용하여 엄격히 평가될 수 있다.

여기서, X는 확률 변수이고,

Pr(χ)는 사건 χ의 확률이며,

은 X 내 모든 사건 χ의 최대 확률 Pr(χ)을 의미한다.

바꾸어 말하면, 최소 엔트로피를 확률 분포 내의 랜덤량의 측정으로서 간주 할 수 있다. 도 17은 본 발명의 실시예를 나타내는 최소 엔트로피의 플롯이다. 도 17에서, 수평축(1702)은 사건 χ의 확률 Pr(χ)에 대응하고, 수직축(1704)은 최소 엔트로피의 값을 나타내며, 곡선(1706)은 최소 엔트로피 H _Min (X)를 나타낸다. 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)이 "1"(1708)이면, 최소 엔트로피는 "0"(1710)이다. 바꾸어 말하면, 최소 엔트로피 0은 사건 χ가 확실히 발생하고 완전히 결정론적임을 의미한다. 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)이 "1/2"(1712)이면, 최소 엔트로피는 "1"(1714)이다. 바꾸어 말하면, 최소 엔트로피 "1"(1714)은 사건 χ가 편향 없이 발생하고 정확하게 랜덤 사건에 대응함을 의미한다. 사건 χ가 발생할 최대 확률이 1/2보다 크면, 최소 엔트로피는 "0"과 "1" 사이에 있고, 점(1718)에 대응하는 점(1716)과 같은 편향 사건이라고 한다.

최소 엔트로피의 사용을 증명하기 위해, 후속 논의는 이브에 의해 발생한 3 가지 상이한 종류의 상태의 앙상블에 대한 최소 엔트로피의 정의로 밀도 행렬의 원소가 사용되는 방법을 설명한다. 앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ψ〉 내의 단일 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행하는 경우에, 확률 변수 X가세트 {0,1}에 분포되며, 최소 엔트로피는

인데, 여기서,

이다.

최소 엔트로피는 앨리스가 이브에 의해 제공된 모두 동일한 순수 상태 ｜ψ〉 내의 n 개의 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행하는 경우까지 확대될 수 있다. 확률 변수 X는 세트 {0,1}ⁿ에 분포되고, 최소 엔트로피는

이다.

마지막으로, 앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ψ _i 〉의 통계적 혼합 내의 n 개의 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행하는 경우에, 최소 엔트로피는

이며, 여기서,

이다.

앨리스는 이브가 제공하고 있는 펄스의 상태의 분해를 알지 못한다. 앨리스만이 자신이 단층 촬영 분석 동안에 발생시킨 밀도 행렬

에 접근한다. 임의의 상태까지의 최소 엔트로피의 확장을 얻기 위해, 펄스와 관련된 최소 엔트로피는 밀도 행렬

의 모든 가능한 분해에 걸쳐 극소 최소 엔트로피로서 정의된다. 이러한 극소 최소 엔트로피 정의를 사용하면 이브가 앨리스의 수열에 관하여 얻을 수 있는 정보량에 대한 상한이 정해진다.

최소 엔트로피 H _Min 이 0이 아닌 한, 이브는 전술한 QRNG에 의해 산출된 이진수 열에 대한 완전한 제어를 갖지 못한다. 바꾸어 말하면, 최소 엔트로피가 0보다 큰 한, QRNG에 의해 발생한 n 개의 이진수 열 내에 소정의 수 m 개의 이진 난수가 존재하는데, 여기서 m＜n이다.

단층 촬영 분석을 용이하게 하기 위해, 최소 엔트로피

는 스톡스 파 라미터의 함수로서 재특징화된다. 먼저, 이상의 상태 ｜ψ _i 〉의 통계적 혼합과 관련된 2×2 밀도 행렬

은 다음과 같이 톡스 파라미터(S ₀, S ₁, S ₂, S ₃)의 항으로 다시 쓸 수 있다.

여기서, 아래 첨자 "S"는 스톡스 파라미터의 항으로 다시 쓰인 밀도 행렬이고,

스톡스 파라미터 S ₀는 "1"로 정규화되며,

σ ₁, σ ₂ 및 σ ₃은 잘 알려져 있는 기저 {｜R〉,｜L〉}의 파울리(Pauli) 행렬이다.

밀도 행렬

의 스톡스 파라미터는 다음과 같이 검출 사건에 기초하여 결정될 수 있다. 도 11 내지 도 14를 참조하여 전술된 본 발명의 장치 실시예에서, 앨리스는 도 12 내지 도 14에 도시된 SPCM(1230,1420,1421)을 사용하여 단일 광자를 검출한다. 시스템 제어기(1108)는 각 검출 사건에 대응하는 SPCM으로부터 신호를 수신하고, 수평 편광 광자의 평균 수 〈H〉 및 수직 편광 광자의 평균 수 〈V〉를 계산한다. 앨리스는 광다이오드(1214 내지 1217, 1416 내지 1419) 및 4분원 광다이오드(1308)를 사용하여 전자기 방사의 세기 I(α ₄₅), I(α_{- 45}), I(α _R) 및 I(α _L)를 검출한다. 시스템 제어기(1108)는 세기에 대응하는 신호를 수신하고 대응하는 평균 세기 〈α ₄₅〉, 〈α _-45〉, 〈α _R〉 및 〈α _L〉를 계산한다. 이어서 정규화 스톡스 파라미터가

으로 결정될 수 있다.

모든 밀도 행렬

에 대한 후속하는 실수값 함수를 정의하면 다음과 같다.

후속하는 정리가 설명될 수 있다.

정리 1. 밀도 행렬

에 의해 설명된 시스템의 최소 엔트로피는

이다.

정리 1의 증명은 부록으로 이하에 제공된다. 정리 1은 이진수 열을 발생시키는 데 사용된 상태의 밀도 행렬의 측정이 이브와 같은 반대자가 얻을 수 있는 정보량에 대한 하한을 가짐을 증명한다. 버락 등의 참조문은, 최소 엔트로피가 H_Min 인 n 개의 이진수 열이 주어지면, 원시 이진수 열로부터 m 개의 이진 난수를 추출할 수 있음을 나타내며, 여기서 m＜n이다. m 개의 이진 난수는 균일 분포에 임의로 근접한 분포에 따라 분포된다.

도 18은 이진 난수 열을 발생시키는 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 제어 흐름도를 도시한다. 단계(1802)에서, 전술한 QRNG(1100,1200,1300,1400)는 편광 성분 ｜α ₄₅〉, ｜α _-45〉, ｜R〉 및 ｜L〉을 필터링하고, 편광 상태 ｜H〉 및 ｜V〉에 있는 단일 광자를 발생 및 필터링하는 데 N 번 이용된다. 단계(1804)에서, 단계(1802)에서 획득된 검출 결과에 기초하여, 시스템 제어기(1108)는 전술한 바와 같이 스톡스 파라미터 S ₂ 및 S ₃를 결정하는 데 사용되는 평균 세기 〈α ₄₅〉, 〈α _-45〉, 〈α _R〉 및 〈α _L〉를 계산한다. 단계(1806)에서, 도 15를 참조하여 전술된 바와 같이 N 개의 원시 카운트 열로부터 n 개의 원시 이진 난수 열

을 발생시키는 루틴 "원시 이진수 열 발생"을 불러낸다. 단계(1808)에서, 루틴 "단층 촬영 분석"을 불러낸다. 루틴 단층 촬영 분석은 전술한 바와 같이 밀도 행렬

및 최소 엔트로피

을 결정하는 방법이다. 단계(1810)에서, 수열

로부터 편향을 제거하고 보다 작은 m 개의 이진 난수 열

을 산출하도록 최소 엔트로피 H_Min 을 이용하는 루틴 "원시 이진수 열 선별"을 불러낸다. 단계(1812)에서, 이진 난수 열

이 출력된다.

도 19는 도 18의 단계(1806)에서 불러낸 루틴 "원시 이진수 열 발생"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(1902)에서, 도 12c를 참조하여 전술한 바와 같이 M 개의 원시 카운트가 수집된다. 단계(1904)에서, 도 15를 참조하여 전술한 바와 같이, "광자 없음" 또는 "에러"에 대응하는 원시 카운트를 버리고 n 개의 원시 이진 난수 열을 남김으로써 원시 카운트가 선별된다. 단계(1906)에서, 시스템 제어기(1108)는 상태 ｜H〉 및 ｜V〉에 대응하는 원시 카운트를 평균화하여 평균 〈H〉 및 〈V〉 결정을 획득하는데, 이것들은 전술한 바와 같이, 그 다음에 스톡스 파라미터 S ₁를 결정하는 데 사용된다.

도 20은 도 18의 단계(1808)에서 불러낸 루틴 "단층 촬영 분석"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(2002)에서, 도 18의 단계(1804)에서 획득된 평균 〈α ₄₅〉, 〈α _-45〉, 〈α _R〉 및 〈α _L〉 및 도 19의 단계(1906)에서 획득된 평균 〈H〉 및 〈V〉가 획득된다. 단계(2004)에서, 전술한 바와 같이 밀도 행렬

이 구성된다. 단계(2006)에서, 밀도 행렬

을 사용하여 최소 엔트로피

가 구성된다.

도 21은 도 18의 단계(1810)에서 불러낸 루틴 "원시 이진수 열 선별에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(2102)에서, 도 20의 루틴 "원시 열 발생"에 의해 발생한 원시 이진 난수 열

이 입력된다. 단계(2104)에서, 루틴 "단층 촬영 분석"으로 발생한 최소 엔트로피

가 입력된다. 단계(2106)에서, 버락 등의 참조문에 설명된 바와 같이, 토플리츠 행렬 T_n×m 이 구성된다. 단계(2108)에서, 도 15를 참조하여 전술한 바와 같이, 수열

이 결정되고 이에 맞추어 출력된다.

버락 등의 참조문에 기초하여, n 개의 원시 이진 난수 열로부터 추출될 수 있는 이진수의 최대 개수는

이며, 여기서, ε는 m 개의 이진수의 분포와 균일 분포 간의 통계적 거리이다. 통계적 거리는 다음과 같이 수학적으로 정의된다.

여기서, X 및 W는 상이한 분포를 나타낸다. 산출값 Y는 원시 이진 난수 열로부터 획득될 수 있는 이진 난수의 분수 m/n이다. 이진 난수 열

을 추출하는 방법을 테스트하기 위해, QRNG(1100)에 의해 발생한 n=3200의 원시 이진 난수 열은 ε=2^-35의 통계적 거리와 0.38의 최소 엔트로피를 사용하여 산출되었다. 획득된 산출값은 0.33이었다. 통계적 거리와 원시 이진수의 개수는 상이한 보안 요구와 연산 리소스를 수용하도록 QRNG(1100) 연산자에 의해 변할 수 있다.

본 발명은 특정 실시예에 관하여 설명되었지만, 본 발명을 이들 실시예로 제한하려는 것은 아니다. 당업자에게 본 발명의 사상 내의 변경은 자명할 것이다. 본 발명의 다른 실시예에서, 당업자는 다른 광학 양자 시스템이 도 12 내지 도 14에 도시된 PSA(1104)를 구현하는 데 이용된 광섬유를 대체할 수 있음을 알 것이다. 본 발명의 다른 실시예에서, 당업자는 도 11 내지 도 14에 도시된 QRNG 실시예가 전자 및 양자 연산 장치와 같은 보다 큰 스케일의 전자 연산 장치 내에 난수 발생기로서 집적될 수 있음을 알 것이다. 본 발명의 다른 실시예에서, 코히런트 상태 이외의 다른 상태, 예컨대, 열 상태가 사용될 수 있다. 예컨대, 상태 발생 기(1102)는 백열전구 또는 발광 다이오드일 수 있다. 본 발명의 다른 실시예에서, 편광 상태 ｜H〉, ｜V〉, ｜α ₄₅〉, ｜α _-45〉, ｜R〉 및 ｜L〉이외의 다른 편광 상태, 예컨대, 제임스 등의 참조문에 설명된 편광 상태가 사용될 수 있다.

설명을 위한 이상의 기술은 본 발명의 완전한 이해를 제공하기 위해 특정 용어를 사용하였다. 그러나, 당업자는 본 발명을 실시하기 위해 특정 세부사항이 필요한 것은 아님을 알 것이다. 본 발명의 특정 실시예에 대한 이상의 기술은 설명 및 예시를 위해 나타내는 것이다. 이들은 개시된 바로 그 형태로 본 발명을 소모하거나 제한하지 않는다. 분명히, 이상의 교시의 측면에서 다수의 변경 및 수정이 가능하다. 실시예는 본 발명의 원리 및 실제 응용을 최상으로 설명하기 위해 도시되고 기술되며, 이로써 당업자가 본 발명 및 예상되는 특정 사용에 적합한 다양한 변경으로 다양한 실시예를 최상으로 이용하게 된다. 본 발명의 범위는 후속하는 특허청구범위 및 그들의 균등물에 의해 규정된다.

부록

정리 1. 밀도 행렬

에 의해 설명된 시스템의 최소 엔트로피는 다음과 같다.

정리 1을 증명하기 위해, 후속하는 3 가지 보조정리(Lemma)가 증명된다.

보조정리 1. 각 순수 상태 ｜ψ〉에 대해:

보조정리 1 .의 증명은 경우 Pr _H ＞1/2, Pr _H ＜1/2 및 Pr _V =1/2에 대하여

을 나타냄으로써 증명된다. 우선, ｜ψ〉가 순수 상태이므로, 도 10을 참조하여 전술한 바와 같이 관련된 스톡스 파라미터는 푸엥카레 구의 표면 상의 점에 대응하며, 구체적으로, 파라미터 S ₁ 및 S ₂는 다음과 같다.

S ₁ 및 S ₂를 우항에 대입하면,

이 된다.

Pr _H ＞1/2이면, 좌변은

로 정리되고, 우변은

으로 정리된다.

Pr _H ＜1/2이면, 좌변은

로 정리되고, 우변은

으로 정리된다.

마지막으로, 명백한 경우로, Pr _HV =1/2이면, 좌변과 우변은 1/2로 정리된다.

보조정리 2. 밀도 행렬로 나타낸 2 개의 순수 상태 ｜ψ ₁〉 및 ｜ψ ₂〉는:

이면 밀도 행렬의 분해이다.

보조정리 2 의 증명: 밀도 행렬은 다음을 만족시키는 대각 행렬 원소를 가진

의 분해인 순수 상태를 나타낸다.

정리 1에 기초하여, ｜ψ ₁〉와 ｜ψ ₂〉 양자 모두 순수 상태이다.

또한, 이상의

(n=1)에 대한 방정식에 기초하여:

보조정리 3. 함수

는 푸엥카레 구 상의 스톡스 파라미터 S ₁, S ₂, S ₃의 볼록(convex) 함수이다.

보조정리 3 의 증명:

의 헤센(Hessian) 행렬의 고유값은 영역(1/2,1)에 걸쳐 음수가 아니다.

정리의 증명 .

의 분해마다 볼록 함수의 특성에 따르면:

보조정리 1의 결과를 대입하고 이상의 방정식

을 사용하면

이 되는데, 이는

가

의 최소 엔트로피의 하한임을 의미한다. 그러나 보조정리 2에 따르면,

인

의 적어도 하나의 분해가 존재한다.

따라서,

은

의 모든 분해에 걸쳐 H _Min 의 최소와 같다. 증명 끝.

Claims (10)

1. 광학 기반의 자기 인증 난수 발생기(optical-based, self-authenticating random number generator)(1100,1200,1300)에 있어서,

   코히런트 상태의 양자 시스템을 발생시키도록 구성된 상태 발생기(1102)와,

   상기 양자 시스템을 4 개의 상이한 편광 상태 중 하나에 투영하고, 상기 4 개의 상이한 편광 상태 각각을 검출하도록 구성된 편광 상태 분석기(1104)와,

   상기 양자 시스템을 단일 광자로 변환하고, 제 1 이진수에 대응하는 제 1 편광 상태 또는 제 2 이진수에 대응하는 제 2 편광 상태에 있는 상기 단일 광자를 검출하도록 구성된 원시(raw) 비트 발생기(1106)와,

   상기 편광 상태 분석기 및 상기 원시 비트 발생기로부터 상기 편광 상태에 대응하는 신호를 수신하고, 상기 단일 광자의 상기 제 1 및 제 2 편광 상태에 기초하여 난수를 출력하도록 구성된 시스템 제어기(1108)를 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
2. 제 1 항에 있어서,

   상기 상태 발생기(1102)는 레이저 다이오드와, 백열전구, 및 발광 다이오드 중 하나를 더 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
3. 제 1 항에 있어서,

   상기 양자 시스템은 전자기 방사의 펄스를 더 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
4. 제 1 항에 있어서,

   상기 편광 상태 분석기(1104)는,

   상기 양자 시스템을 제 1 반사 양자 시스템 및 제 1 투과 양자 시스템으로 분할하도록 구성된 제 1 빔분리기(1202) -상기 제 1 반사 양자 시스템과 상기 제 1 투과 양자 시스템 둘 다 상기 제 1 편광 상태에 있음- 와,

   상기 제 1 투과 양자 시스템을 제 2 반사 양자 시스템 및 제 2 투과 양자 시스템으로 분할하도록 구성된 제 2 빔분리기(1204) -상기 제 2 반사 양자 시스템과 상기 제 2 투과 양자 시스템 둘 다 상기 제 1 편광 상태에 있고, 상기 제 2 투과 양자 시스템은 상기 원시 비트 발생기로 지향됨- 와,

   상기 제 1 편광 상태의 상기 제 1 반사 양자 시스템을 수신하고, 상기 제 2 편광 상태의 상기 제 1 반사 양자 시스템을 출력하도록 구성된 반파장 플레이트(half-wave plate)(1206)와,

   상기 제 1 편광 상태의 상기 제 2 반사 양자 시스템을 수신하고, 제 3 편광 상태의 상기 제 2 반사 양자 시스템을 출력하도록 구성된 1/4 파장 플레이트(1208)와,

   상기 제 1 반사 양자 시스템을 제 1 수평 편광 양자 시스템 및 제 1 수직 편광 양자 시스템으로 분할하도록 구성된 제 1 편광 빔분리기(1210)와,

   상기 제 2 반사 양자 시스템을 제 2 수평 편광 양자 시스템 및 제 2 수직 편광 양자 시스템으로 분할하도록 구성된 제 2 편광 빔분리기(1212)와,

   각각 상기 수평 편광 양자 시스템과 상기 수직 편광 양자 시스템 중 하나를 검출하도록 구성된 4 개의 광다이오드 검출기(1214 내지 1217)를 더 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
5. 제 1 항에 있어서,

   상기 편광 상태 분석기(1104)는,

   상기 양자 시스템을 반사 양자 시스템 및 투과 양자 시스템으로 분할하도록 구성된 빔분리기(1302) -상기 반사 양자 시스템과 상기 투과 양자 시스템 둘 다 상기 제 1 편광 상태에 있고, 상기 투과 양자 시스템은 상기 원시 비트 발생기로 지향됨- 와,

   상기 반사 양자 시스템을 수신하고 발산 양자 시스템을 출력하도록 구성된 오목 렌즈(1304)와,

   상기 발산 양자 시스템을 수신하고, 각각 4 개의 편광 상태 중 하나에 있는 4 개의 양자 시스템을 출력하도록 구성된 4분원 편광 필터(1306)와,

   상기 4 개의 편광 상태에 있는 상기 4 개의 양자 시스템 각각을 개별적으로 검출하도록 구성된 4분원 광다이오드 검출기(1308)를 더 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
6. 제 1 항에 있어서,

   상기 원시 비트 발생기(1106)는,

   상기 코히런트 상태의 양자 시스템을 진공 상태 또는 상기 단일 광자로 변환하도록 구성된 감쇠기(1120) -상기 단일 광자는 직교하는 제 1 및 제 2 편광 상태의 선형 중첩에 있음- 와,

   상기 제 1 편광 상태의 단일 광자를 투과하고, 상기 제 2 편광 상태의 단일 광자를 반사하도록 구성된 편광 빔분리기(1224)와,

   상기 편광 빔분리기에 접속되고, 상기 제 2 편광 상태의 단일 광자를 투과하도록 구성된 지연 섬유(delay fiber)(1226)와,

   상기 제 1 편광 상태 또는 상기 제 2 편광 상태에 있는 상기 단일 광자를 검출하고, 상기 시스템 제어기로 대응하는 신호를 출력하도록 구성된 단일 광자 카운팅 모듈(1230)을 더 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
7. 제 1 항에 있어서,

   상기 시스템 제어기(1108)는 상기 편광 상태 분석기로부터 출력된 신호를 수신하고 -상기 편광 상태 분석기로부터 출력된 각각의 신호는 상기 4 개의 상이한 편광 상태 중 하나의 검출을 나타냄- , 상기 원시 비트 발생기로부터 출력된 신호를 수신하며 -상기 원시 비트 발생기로부터 출력된 각각의 신호는 상기 단일 광자의 편광 상태를 나타냄- , 상기 원시 비트 발생기로부터 출력된 신호의 랜덤성을 인증하기 위해 단층 촬영 분석(tomographic analysis)을 수행하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
8. 광학 기반의 자기 인증 난수 발생기(1400)에 있어서,

   코히런트 상태의 양자 시스템을 발생시키도록 구성된 상태 발생기(1102)와,

   상기 양자 시스템을 다수의 개별 양자 시스템으로 분할하도록 구성된 빔분리기(1402) -상기 개별 양자 시스템 각각은 상기 코히런트 상태에 있음- 와,

   각각이 상기 다수의 양자 시스템의 각각을 상이한 편광 상태에 투영하도록 구성된 편광 필터들(1404 내지 1409)과,

   상기 다수의 양자 시스템 중 제 1 양자 시스템을 감쇠하도록 구성된 제 1 감쇠기(1412) 및 상기 다수의 양자 시스템 중 제 2 양자 시스템을 감쇠하도록 구성된 제 2 감쇠기(1414)와,

   각각이 상기 다수의 개별 양자 시스템 중 하나를 검출하도록 구성된 광다이오드들(1416 내지 1421)과,

   상기 광다이오드들의 각각으로부터 출력된 신호를 수신하고 -상기 광다이오드들의 각각으로부터 출력된 각각의 신호는 다수의 상기 상이한 편광 상태 중 하나의 검출을 나타냄- , 이진 난수를 출력하도록 구성된 시스템 제어기(1108)를 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
9. 제 8 항에 있어서,

   상기 상태 발생기(1102)는 레이저 다이오드를 더 포함하는

   광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.
10. 제 8 항에 있어서,

    6 개의 상기 광다이오드들(1416 내지 1421)은 6 개의 상기 양자 시스템 중 제 1 및 제 2 양자 시스템을 검출하도록 구성된 2 개의 애벌란치(avalanche) 광다이오드와, 나머지 4 개의 양자 시스템을 검출하도록 구성된 4 개의 PIN 다이오드를 더 포함하는

    광학 기반의 자기 인증 난수 발생기.

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