JP2009534750A

JP2009534750A - 光学ベースの自己検証量子乱数発生器

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Publication number: JP2009534750A
Application number: JP2009506626A
Authority: JP
Inventors: フィオレンチーノ，マルコ; ビューソレイル・レイモンド; サントーリ，チャールズ
Original assignee: Hewlett Packard Development Co LP
Current assignee: Hewlett Packard Development Co LP
Priority date: 2006-04-20
Filing date: 2007-04-20
Publication date: 2009-09-24
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Abstract

本発明の様々な実施形態は、乱数を生成するための方法及びシステムに関連する。一実施形態では、量子乱数発生器（１１００、１２００、１３００）は、コヒーレント状態にある量子系を生成するように構成された状態発生器（１１０２）と、量子系を４つの異なる偏光状態のうちの１つに射影すると共に、４つの異なる偏光状態のそれぞれを検出するように構成された偏光状態解析器（１１０４）と、量子系を単一光子に変換すると共に、第１の２進数に対応する第１の偏光状態と、第２の２進数に対応する第２の偏光状態とのいずれかにある単一光子を検出するように構成された生ビット発生器（１１０６）と、偏光状態解析器及び生ビット発生器から、偏光状態に対応する信号を受けると共に、単一光子の第１の偏光状態及び第２の偏光状態に基づいて乱数を出力するように構成されたシステムコントロール（１１０８）とを備える。

Description

本発明は乱数発生器に関し、具体的には、量子光学系の量子力学的特性を用いて乱数列を生成するための方法及びシステムに関する。

［関連出願の相互参照］
本出願は、２００６年４月２０日に出願の米国特許出願第１１／４０７，５１３号の一部継続出願である。

乱数は、ほんの数例を挙げると、ゲームプレー、統計的サンプリング、積分方程式の計算、粒子輸送計算、統計物理学における計算を含む多くの分野において用途を有する。結果として、乱数を用いる方法及びシステムにおいて、乱数発生器（「ＲＮＧ」）が重要な位置を占める。たとえば、ＲＮＧは、安全システムの重要な構成要素であり、暗号技術のための鍵を生成するために広く用いられる。理想的なＲＮＧは、予め予測することができず、且つ確実に再現することができない数を生成する。言い換えると、ＲＮＧは理想的には、偏りのない乱数列を生成する。しかしながら、一般的に用いられる数多くのＲＮＧは、見せかけの乱数列を生成するか、偏った数列を生成しがちであるかのいずれかである。

公式及び数値演算による方法を用いて、見せかけの乱数列を生成するために、ＲＮＧはソフトウエアで実施されてきた。ソフトウエアベースのＲＮＧは、一般的には公式ベースのＲＮＧであり、「擬似乱数発生器」と呼ばれる。なぜなら、同じ初期パラメータが用いられる場合には、公式によって擬似乱数列を予測し再現できるようになるからである、。再帰的レーマ擬似乱数発生器（「ＬＰＮＧ」）が、一般的に用いられる擬似乱数発生器の一例であり、それは、以下の式によって与えられる。
ｘ_n+1＝Ａｘ_n＋Ｃ（ｍｏｄＭ）
ここで、ｘ_nは、乱数列のｎ番目の数であり、Ａ、Ｃ及びＭは、ＬＰＮＧによって生成される数列がランダムに見えるのを確実にするために調整することができるパラメータである。典型的には、Ｍは擬似乱数列を計算するために用いられるコンピュータのワードサイズを割り当てられ、ｘ₀は、シードであり、素数を割り当てられる。たとえば、Ａ、Ｃ及びＭにそれぞれ値２１、１及び３２（５ビット）を割り当て、ｘ₀に素数１３を割り当てると、ＬＰＮＧは、１３、１８、２７、２４、２５、１４、７等の整数の擬似乱数列を生成する。代替的な手法は、擬似乱数発生器が起動される度に、擬似乱数発生器に、コンピュータシステムクロックによって導入される時刻を供給する。しかしながら、システムクロックによって与えられる時刻を用いる場合であっても、擬似乱数発生器が起動されたときの時刻を特定することができるため、絶対的に信頼できるというものではない。

原子系、分子系及び電気系によって生成される熱雑音において観測されるカオスゆらぎから乱数列を生成するために、ハードウエアベースのＲＮＧも開発されている。たとえば、電気導体の中に流れる電流によって熱雑音が生成され、それは、数を電圧平衡ゆらぎの大きさに関連付けることによって、乱数列の発生源として用いることができる。電圧が印加されても、されなくても、導体内の電子のランダムな運動のために熱雑音が生じる。しかしながら、ハードウエアベースのＲＮＧによって用いられる系は環境変化の影響を受けやすいため、ハードウエアベースのＲＮＧは必ずしも乱数列の信頼性のある発生源であるとは限らない。たとえば、乱数列を生成するために用いられる、電気雑音ベースのＲＮＧは、その系の温度を変更することによって偏ることがある。さらに、ハードウエアベースのＲＮＧによって生成される数列のランダム性を検証するために典型的に用いられる方法は、ソフトウエアベースの決定論的方法であり、その方法は、数列が統計的に良好に振舞うか否かを判定するために用いることができるが、数列の真のランダム性を評価するために用いることはできない。

量子乱数発生器（「ＱＲＮＧ」）は別のタイプのハードウエアベースのＲＮＧである。ＱＲＮＧは、同一の量子系の量子力学的特性に基づく。各数を量子系について実行される測定の結果と関連付けることによって乱数列を生成することができる。このようにして生成される数は確かにランダムである。なぜなら、各測定は、量子系の状態をその測定が実行される時刻について取り得る数多くの状態のうちの１つに射影し、量子力学の標準的な解釈によれば、測定方法及び測定デバイスをいくら改良しても、量子系において実行される測定の結果の不確定性を克服することができないためである。結果として、ＱＲＮＧは、乱数列を生成するのに極めて望ましいシステムである。

ＱＲＮＧを実現するために、｜０＞及び｜１＞によって表される、２つの離散した状態のみを含む量子系を用いることができる。２状態量子系の例は、電磁界の垂直偏光状態及び水平偏光状態、原子系の２つのエネルギー状態、及び電子又は原子核の２つのスピン状態を含む。２つの離散した状態を有する量子系は「キュービット系」と呼ばれ、「キュービット基底状態」と呼ばれる状態｜０＞及び｜１＞は、集合表記において｛｜０＞，｜１＞｝として表すこともできる。キュービット系は状態｜０＞や、状態｜１＞や、両方の状態｜０＞及び｜１＞を同時に含む無数の状態のうちの任意の状態で存在することができる。両方の状態｜０＞及び｜１＞を含むいずれの状態も、数学的には、状態の線形重ね合わせとして次のように表すことができる。
ここで、状態｜ψ＞は「キュービット」と呼ばれ、パラメータα及びβは以下の条件を満たす複素数値係数である。
｜０＞及び｜１＞が、状態｜ψ＞にあるキュービット系について実行された測定によって決定される２つの取り得る状態であるとき、状態｜０＞にあるキュービット系を見つける確率は｜α｜²であり、状態｜１＞にあるキュービット系を見つける確率は｜β｜²である。測定は、基底｛｜０＞，｜１＞｝にあるキュービット系について実行されると言われる。

キュービット系に関連付けられる無数の状態は、「ブロッホ球」と呼ばれる、単位半径の３次元球によって次のように幾何学的に表すことができる。

ここで、０≦θ＜πであり、０≦φ＜２πである。

図１はキュービット系のブロッホ球表現を示す。図１に示されるように、線１０１〜１０３はそれぞれ、直交するｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸であり、ブロッホ球１０６の中心がその原点に位置する。ブロッホ球１０６上には無数の点があり、各点はキュービット系の１つの固有状態を表す。たとえば、ブロッホ球１０６上の点１０８はキュービット系の１つの固有状態を表しており、それは、部分的に状態｜０＞、及び部分的に状態｜１＞を同時に含む。しかしながら、キュービット系の状態が基底｛｜０＞，｜１＞｝において測定されると、キュービット系の状態は状態｜０＞１１０に、又は状態｜１＞１１２に射影される。

図２は、仮想的な単一偏光ビームスプリッタベースのＱＲＮＧ２００を示す。ＱＲＮＧ２００は、偏光ビームスプリッタ２０２と、２つの光子検出器２０４及び２０６と、光子源２０８とを備える。ビームスプリッタ２０２は、２つのプリズム２１２と２１４との間に狭持される多層誘電体薄膜２１０を備える。ビームスプリッタ２０２は、１つの入力チャネル２１６と、２つの出力チャネル２１８及び２２０とを備える。チャネル２１６、２１８及び２２０は、光ファイバ又は自由空間のいずれかを表す。ビームスプリッタ２０２は、垂直偏光電磁放射を反射し、水平偏光電磁放射を透過する。ビームスプリッタ２０２及び光子源２０８を用いて、以下のように、乱数を生成することができる。光子源２０８が、ビームスプリッタ２０２の平面に対して４５°に偏光した電磁放射の単一光子を出力するとき、関連する状態のコヒーレントな線形重ね合わせは、以下の式によって与えられる。

ここで、｜Ｖ＞は光子の垂直偏光状態を表し、｜Ｈ＞は光子の水平偏光状態を表す。

垂直偏光状態｜Ｖ＞及び水平偏光状態｜Ｈ＞は４５°に偏光した単一光子の直交する基底状態であり、偏光状態｜Ｖ＞と偏光状態｜Ｈ＞を観測することをそれぞれ、２進数の「１」と「０」に関連付けることができる。光子検出器Ｄ₁２０４又は光子検出器Ｄ₂２０６のいずれかにおいて光子が検出されるまで、光子は状態｜４５°＞のままである。状態｜４５°＞の係数の二乗は、検出器Ｄ₁２０４において光子｜Ｖ＞を検出する確率が１／２であり、検出器Ｄ₂２０６において光子｜Ｈ＞を検出する確率が１／２であることを示す。言い換えると、検出器２０４において光子を検出することを、２進数値「１」を生成することに関連付けることができ、検出器２０６において光子を検出することを、２進数値「０」を生成することに関連付けることができる。いずれの偏光状態を検出する確率も１／２であるため、２進数値「０」又は「１」を生成することは、確かにランダムな事象である。

ＱＲＮＧ２００を用いて、２進数の乱数列を生成することができ、それを、ｎビットワードの乱数列に分割することができる。その際、ｎビットワードの乱数列を、様々な乱数の用途において用いることができる。たとえば、ＱＲＮＧ２００を用いて、以下のように、０〜３１の整数の乱数列を生成することができる。検出器Ｄ₂２０６によって光子｜Ｈ＞が検出されると、２進数「０」が２進数列に追加され、検出器Ｄ₁２０４によって光子｜Ｖ＞が検出されると、２進数「１」が、同じ２進数列に追加される。状態｜４５°＞を３０回連続して生成することによって、以下の２進数の乱数列が生成されるものと仮定する。
２進数の乱数列を５ビットワードに分割して、２進法の乱数列０００１１、０１０１０、１１１００、１０１０１、０１１１１及び００１００を与えることができ、その後、それらを１０進法の対応する整数の乱数列３、１０、２８、２１、１５及び４にそれぞれ変換することができる。

ＱＲＮＧ２００は乱数列を生成する好都合の方法及びシステムを提供するように見えるが、ＱＲＮＧ２００は、光子源２０８に手を加えることによって、擬似乱数列を生成する場合がある。たとえば、光子源２０８の制御権を有する敵対者は、光子源２０８を偏らせることによって、光子源２０８によって出力される光子のコヒーレントな線形重ね合わせが、以下の状態によって表されるようにすることができる。

結果として、ＱＲＮＧ２００は偏った２進数列を生成する。その場合に、生成される２進数の約２／３が「０」に等しく、生成される２進数の約１／３が「１」に等しい。さらに、ＱＲＮＧ２００のようなデバイスによって生成される数列のランダム性を検証するために典型的に用いられる方法は多くの場合に、ソフトウエアベースの決定論的方法であり、それは、２進数列が確かに乱数であるか否かを判定するのに信頼性がない。物理学者、暗号研究者、コンピュータ科学者及び量子情報の使用者は、乱数列を確実に生成するために用いることができ、量子系の非決定論的な特性を利用する方法を用いて、ＱＲＮＧによって乱数列内の偏りを検出し、検証し、補正することもできるＱＲＮＧの必要性を認識している。

本発明の様々な実施形態は、乱数を生成するための方法及びシステムを対象とする。本発明の一実施形態では、量子乱数発生器は、コヒーレント状態にある量子系を生成するように構成された状態発生器と、量子系を４つの異なる偏光状態のうちの１つに射影すると共に、４つの異なる偏光状態のそれぞれを検出するように構成された偏光状態解析器と、量子系を単一光子に変換すると共に、第１の２進数に対応する第１の偏光状態にあるか、又は第２の２進数に対応する第２の偏光状態にある単一光子を検出するように構成された生ビット発生器と、偏光状態解析器及び生ビット発生器から、偏光状態に対応する信号を受けると共に、単一光子の第１の偏光状態及び第２の偏光状態に基づいて乱数を出力するように構成されたシステムコントロールとを備える。

本発明の様々な実施形態は、２進数の乱数列を生成するために用いることができる、光学ベースの自己検証ＱＲＮＧを対象とする。本発明の実施形態は、数列のランダム性を評価及び検証し、偏った２進数を除去するための量子力学に基づく方法を含む。本発明の実施形態は事実上数学的であり、このため、数多くの式及び数多くの図解表示を参照しながら以下に説明される。数式はそれのみで、量子光学及び量子情報の分野の当事者に対して、本発明の実施形態を完全に記述し、特徴付けるのに十分であるかもしれないが、様々な背景を有する読者が本発明を利用できるように、以下の説明に含まれる、より図式的で、問題に合わせた例及び制御フロー図の手法は、本発明の様々な実施形態を様々な異なる方法で示すことを意図している。また、読者が本発明の様々な実施形態の説明を理解するのを助けるために、物理学における関連するトピックスを概説するサブセクションが提供される。第１のサブセクションでは、量子力学の概説が提供される。第２のサブセクションでは、電磁放射及び量子光学の概説が提供される。第３のサブセクションでは、偏光状態及びストークスパラメータの概説が提供される。最後に、第５のサブセクションでは、本発明の様々なシステム及び方法の実施形態が記述される。

量子力学の概説
本発明の実施形態は量子力学の概念を利用する。Claude Cohen-Tannoudji、Bernard Diu及びFrank Laloeによる教本「Quantum Mechanics, Vol. I and II」（Hermann, Paris, France, 1977）は、量子力学の分野のための数多くの参考文献のうちの１つである。このサブセクションでは、本発明の実施形態に関係する量子力学のトピックスが記述される。さらに詳しい事柄は、上記で参照された教本から、又は量子力学に関連する他の数多くの教本、論文及び雑誌記事から入手することができる。

量子力学は、光子、電子、原子及び分子を含む系の観測された挙動、原子及び亜原子のレベルをモデル化する。量子系は離散した状態において存在し、その状態は、離散的な測定可能な量によって特徴付けられる。量子系の状態はケットによって表され、｜Ψ＞で示される。ここで、Ψは量子系の状態を表すラベルである。たとえば、電子は２つの固有のスピン角運動量状態を有し、それらの状態は２つの測定可能なスピン角運動量値

に対応する。ここで、
は約１．０５４６×１０^-34Ｊｓである。スピン角運動量
に対応するスピン状態は「スピンアップ」と呼ばれ、｜↑＞で表され、スピン角運動量
に対応するスピン状態は「スピンダウン」と呼ばれ、｜↓＞で表される。様々な異なるラベルを、様々な異なる量子状態に割り当てることができる。たとえば、スピンアップ状態｜↑＞はケット｜１／２＞、スピンダウン状態｜↓＞はケット｜−１／２＞によって表すこともできる。また、全く異なる量子系における異なる状態を表すために、ただ１つのラベルを用いることもできる。たとえば、ケット「｜１＞」は、二原子分子の第１の量子化された振動準位を表すことができ、以下のサブセクションにおいて説明されるように、単一光子を表すために用いることもできる。

電子のスピン角運動量のような、量子系の測定可能な量を求めるために用いられる測定は、演算子
によって表される。ここで、符号「＾」は演算子を表す。一般的に、演算子は、以下のように、左からケットに作用する。

ここで、
は観測された量子状態を表すケットである。典型的には、演算子
は「固有状態」と呼ばれる１組の状態に関連付けられる。固有状態は、｜ψ_i＞として表され、以下の特性を有する。
ここで、ｉは負でない整数であり、ψ_iは「固有値」と呼ばれる実数値であり、量子系が固有状態｜ψ_i＞にあるときに観測される離散した測定可能な量に対応する。たとえば、ｚ軸に平行な電子のスピン角運動量を求めるために用いられる測定は、
によって表され、観測されるスピン角運動量値の固有値−固有状態表現は以下のとおりである。

演算子の固有状態は、「状態空間」と呼ばれる複素ベクトル空間に張る複素ベクトルである。状態空間に属するあらゆる状態が基底に関する固有の線形重ね合わせを有する場合には、固有状態はベクトル空間の基底を構成する。たとえば、演算子
のＮ個の固有状態｛｜ψ_i＞｝で張られる状態空間内の状態｜Ψ＞は、以下のように、固有状態の線形重ね合わせとして書くことができる。

ここで、ｃ_iは「振幅」と呼ばれる複素数値係数である。演算子に関連付けられる状態空間は、「ヒルベルト空間」とも呼ばれる。ヒルベルト空間は、「内積」と呼ばれる数学演算を含む。２つの状態｜Ψ＞及び｜Ξ＞の内積は以下のように表される。
式中、＜Ξ｜は「ブラ」と呼ばれ、状態｜Ξ＞の複素共役転置を表す。内積は以下の特性を有する。
ここで、「^*」は複素共役を表す。ヒルベルト空間の基底固有状態は正規直交であり、すなわち数学的な表記では、以下のようになる。
式中、δ_ijは、ｉがｊに等しいときに１であり、そうでない場合には０である。たとえば、単一電子ヒルベルト空間の固有状態の内積は以下のようになる。
ヒルベルト空間の固有状態の正規直交性を用いて、状態｜Ψ＞の線形重ね合わせの係数を求めることができる。｜Ψ＞と＜ψ_j｜との内積をとることによって、次のように対応する係数が与えられる。

この係数を線形重ね合わせに代入すると、以下の式が与えられる。

｜Ψ＞はヒルベルト空間内の任意のケットであるため、以下の式が成り立つ。

ここで、
は恒等演算子である。その総和は「完全性関係」と呼ばれ、固有状態｛｜ψ_i＞｝は「完全である」と言われる。

演算子の固有状態は正規直交列ベクトルによって表すことができ、その演算子は正方行列によって表すことができる。たとえば、演算子
に関連付けられる単一電子ヒルベルト空間の固有状態は、以下の列ベクトルによって表される。

ここで、記号「Ｂ」は「〜によって表される」を表す。固有状態の転置複素共役は以下の行ベクトルによって表される。

完全性関係を用いると、基底｛｜ψ_i＞｝に関する演算子
は以下の式によって表すこともできる。

ここで、

は行列要素である。基底｛｜ψ_i＞｝に関する演算子
に対応する行列は以下のように表すことができる。

に等しい演算子
の行列表現は、対角要素以外は０を有し、対角要素は固有値｛ψ_i｝である。たとえば、電子スピンｚ軸演算子を以下の式によって与えることができる。

ただし、以下の式が成り立つ。

電子スピン演算子
の行列表現は以下の式によって与えられる。

である場合には、演算子
は「エルミート演算子」と呼ばれる。

対応する行列要素は以下の条件を満たす。

演算子
に対応する測定の前に、量子系は、演算子
の全ての固有状態｛｜ψ_i＞｝内に同時に存在するものと考えることができ、それは、次のように状態の（純粋状態）線形重ね合わせによって表される。

演算子
に対応する測定は、最初に状態｜Ψ＞にある量子系を固有状態のうちの１つ｜ψ_i＞に射影する。言い換えると、量子系に対する測定は基本的にはフィルタリング処理であり、この処理によって、測定の時刻に、量子系の状態が、線形重ね合わせの固有状態のうちの１つになる。たとえば、演算子
に対応する測定の前に未知のスピン配向を有する電子は、次のように状態の線形重ね合わせで表される。

スピン判定測定
は、測定の時刻において、電子の状態を状態｜↑＞又は状態｜↓＞のいずれかに射影する。言い換えると、スピン判定測定直後に、電子は状態｜↑＞又は状態｜↓＞のいずれかにある。

測定の結果として、量子系の状態に相応の不可逆的変化が生じる。不可逆性は、測定が実行される前に、量子系が既に量子状態のうちの１つにあるときにのみ避けることができる。結果として、ただ一度の測定の結果に基づいて、量子系の以前の状態を推測ことはできない。たとえば、スピン測定の結果が
である場合には、測定の時刻において、その系が既に状態｜↑＞にあったか、スピン状態｜↑＞及び｜↓＞の線形重ね合わせの状態にあったかを判定することはできない。

量子系の状態が様々な状態｜ψ_i＞のうちのいずれに射影されることになるかを予め知ることはできないが、測定の直後に量子系が特定の状態｜ψ_i＞において見いだされる確率は以下の式によって与えられる。
ここで、｜Ψ＞は正規化されており、｜ｃ_i｜²はｃ_i ^*ｃ_iに等しく、結果の確率を与える。たとえば、スピン基底｛｜↑＞，｜↓＞｝におけるスピン判定測定の前に、スピン状態｜↑＞において見いだされる確率が１／２であり、スピン状態｜↓＞において見いだされる確率が１／２である、コヒーレントに準備された電子を考える。スピン判定測定前のそのようなスピン状態にある電子に関連付けられる状態は、以下の式によって表すことができる。

状態｜Ψ＞の線形重ね合わせによって表される量子系について実行される測定の期待値は数学的に以下の式によって表され、

これは、以下のように完全性関係を適用することによって求められる。

この期待値は、集合内の量子系に関する測定から予想される、重み付けされた固有値平均結果を表す。ここで、量子系の初期状態｜Ψ＞は、集合の各メンバについて同じである。言い換えると、各量子系を表す状態の線形重ね合わせは、測定前には同じである。実際には、そのような集合は、全てが同じ状態にある数多くの同一の独立した量子系を準備することによって、又は同じ状態にある単一の系を繰返し準備することによって実現することができる。期待値は、各測定で得られる値ではないことがあり、それゆえ、測定から得られる固有値と混同されるべきでないことに留意されたい。たとえば、
の期待値は固有値
の間のいずれかの実数値でありうるが、電子に関する
の実際に測定された値は、個々の測定において常に
または、
のいずれかである。

状態｜Ψ＞にある単一の量子系の期待値は、以下の式によって定義される密度演算子を用いて記述することもできる。

式中、状態｜Ψ＞は「純粋状態」とも呼ばれ、以下に記述される状態の統計的混合とは区別される。密度演算子は、｛｜ψ_i＞｝基底において、「密度行列」と呼ばれる行列によって表され、その行列の行列要素は以下のとおりである。

密度演算子は、量子系の状態を特徴付ける。言い換えると、密度演算子は、状態｜Ψ＞から計算することができる全ての物理的な情報を提供する。たとえば、密度行列の対角行列要素の和は以下の式によって与えられる。

ここで、Ｔｒは行列の固有和、すなわち対角要素の和である。たとえば、純粋状態にある２状態量子系

の密度行列は以下の式によって与えられる。

式中、対角要素は、量子系を状態｜ψ₁＞又は状態｜ψ₂＞のいずれかに射影することに関連する確率であり、対角以外の要素は、状態｜ψ₁＞と｜ψ₂＞との間の干渉効果を表す。さらに、状態｜Ψ＞にある量子系の期待値は、以下のように表すことができる。

しかしながら、量子系についての情報が不完全である状況も珍しくない。たとえば、量子系が、各々が関連する確率ｐ₁、ｐ₂、ｐ₃、．．．を有する状態｜Ψ₁＞、｜Ψ₂＞、｜Ψ₃＞、．．．のいずれか１つの状態をとることができ、この場合、それらの確率は以下の条件を満たす。

この量子系は、「状態の統計的混合」において存在すると言われる。状態の統計的混合の密度演算子は、以下のように求めることができる。上記のように、純粋状態｜Ψ_i＞にある量子系に対する観測可能な
の測定が結果ψ_nをもたらす確率は以下のとおりである。

しかしながら、状態の統計的混合にあるψ_nを観測する確率Ｐｒ_i（ψ_n）を、ｐ_iによって重み付けし、ｉにわたって加算すると、以下の式が与えられる。

ここで、

は、状態の統計的混合に関連する密度演算子である。関連する密度行列の要素は以下の式によって与えられる。

密度行列の物理的な意味は、状態の混合を含む２状態量子系について次のように記述される。

対応する密度行列は以下の式によって与えられる。

対角行列要素は、量子系の状態が｜Ψ_i＞であるときに、対角行列要素ρ₁₁が状態｜ψ₁＞にある量子系を見つける平均確率を表し、対角行列要素ρ₂₂が状態｜ψ₂＞にある量子系を見つける平均確率を表すことを意味するものと解釈することができる。同一の条件下で同じ測定がＮ回実行されるときに、状態｜ψ₁＞においてＮρ₁₁が見つけられることになり、状態｜ψ₂＞においてＮρ₂₂が見つけられることになる。対角以外の要素ρ₁₂及びρ₂₁は、状態｜ψ₁＞と｜ψ₂＞との間の平均干渉効果を表す。対角行列要素とは異なり、対角以外の行列要素は、積
及び、

がいずれも０でない場合であっても、０になりえるが、これは、Ｎ回の測定にわたる平均が、状態｜ψ₁＞と｜ψ₂＞の干渉効果を相殺していることを意味することに留意されたい。

テンソル積は、異なる量子系のヒルベルト空間を合成して、合成された量子系を表すヒルベルト空間を形成する１つの方法である。たとえば、Ｈ_Ψが第１の量子系のヒルベルト空間であり、Ｈ_Ξが第２の量子系のヒルベルト空間である。
によって表されるヒルベルト空間は、合成されたヒルベルト空間を表す。ここで、記号
はテンソル積を表す。演算子
はヒルベルト空間Ｈ_Ψに対応し、演算子
はヒルベルト空間Ｈ_Ξに対応し、それぞれ以下のように、対応する固有状態についてのみ作用する。

ここで、｜ψ＞はヒルベルト空間Ｈ_Ψの状態を表し、｜ξ＞はヒルベルト空間Ｈ_Ξの状態を表す。テンソル積

は、｜ψ＞｜ξ＞、｜ψ，ξ＞、又は｜ψξ＞として短縮して書くことができる。たとえば、原子軌道内にある２つの電子のスピン状態は、合成ヒルベルト空間の基底である。２つの電子は、いずれもスピンアップであるか、いずれもスピンダウンであるか、第１の電子がスピンアップであり、第２の電子がスピンダウンであるか、又は第１の電子がスピンダウンであり、第２の電子がスピンアップであるかのいずれかであり得る。２つのスピンアップ電子の様々なテンソル積表現は、以下の式によって与えられる。

ここで、下付き文字１は第１の電子、下付き文字２は第２の電子を指す。

量子力学では、連続する固有値スペクトルを有する測定可能な量もある。対応するヒルベルト空間の次元数は無限であり、離散した量子系に関して上述した特性の多くは、連続する量子系の場合に一般化することができる。連続固有値方程式は以下のとおりである。

ここで、ζは連続固有値を表し、ケット｜ζ＞は演算子
の連続固有状態である。たとえば、１次元における非拘束粒子の場合、位置ｑ及び運動量ｐはいずれも、それぞれ位置演算子
及び運動量演算子
の連続固有値であり、−∞〜∞の任意の実数値をとることができる。

連続変数ζの特性は、以下のように一般化することができる。

ここで、δ（ζ−ζ’）はデルタ関数であり、以下のような多数の極限表現を有する。

任意の物理状態の状態ケットは、以下のように状態｛｜ζ＞｝に関して拡張することができる。

たとえば、粒子の経路内に、その粒子が位置ｑにあるときに、粒子の位置を出力する検出器を配置するものとする。最初に状態｜α＞にあった系は、測定が行なわれた直後に、スピン検出測定が実行されるときに任意の電子スピン状態が２つのスピン状態のうちの一方に射影されるのと概ね同じように、｜ｑ＞によって表される状態に射影される。連続変数ζの他の特性は以下の式によって与えられる。

運動量演算子
は微分演算子
によって表すこともできる。結果として、位置演算子及び運動量演算子はいずれも、次の正準交換関係を満たす。

ここで、ｉ及びｊはｘ、ｙ、ｚデカルト座標のような直交座標を表し、交換子は、
と定義される。

電磁放射及び量子光学の概説
このサブセクションでは、本発明の実施形態に関係する電磁放射及び量子光学の簡単な説明が記述される。量子光学は、電磁放射への量子力学の適用に関係する物理学の一分野である。完全反射性の壁を有する空洞に閉じ込められた電磁放射が量子化される。量子化された電磁放射は、自由空間内又は光ファイバ内を伝搬する電磁放射のような、より一般的な閉じ込められない光学系に適用することができる。

自由電荷も電流も有しない空洞に閉じ込められた電磁放射は、電界成分
及び磁界成分
を含み、それらの成分は、波動方程式

及び非相対論的クーロンゲージ条件

を満たすベクトルポテンシャル
で関連付けられる。ここで、電界成分及び磁界成分は以下の式によって求められる。

電磁放射は、伝搬していると仮定され、完全反射性の壁を有する、立方体空洞、すなわち量子化空洞によって課せられる周期的境界条件にかけられる。ここで、壁は長さＬを有する。図３は、立方体空洞（立方体キャビティ）３００を示す。直交する軸３０２、３０４及び３０６はｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸を表す。限られた寸法の立方体空洞３００は、波動方程式への解に周期的境界条件を課す。たとえば、ｘ、ｙ及びｚ方向において、ベクトルポテンシャル波動方程式への平面波解は条件

を満たす。ここで、
はベクトル（Ｌ，Ｌ，Ｌ）であり、
は「波数ベクトル」と呼ばれ、以下の成分を有する。

式中、ｍ_x、ｍ_y及びｍ_zは整数である。各整数組（ｍ_x，ｍ_y，ｍ_z）は電磁放射のノーマルモードを規定し、波数ベクトル
の大きさｋはω_k／ｃに等しい。ここで、ｃは自由空間内の光の速さを表し、ω_kは角周波数である。現実には、電磁界のノーマルモードのスペクトルは実際には連続であり、波数ベクトル
によって示唆されるノーマルモードの離散スペクトルは、連続スペクトルに対する近似であることに留意されたい。

周期的境界条件を満たす上記の波動方程式に対する伝搬するベクトルポテンシャル解は以下のとおりである。

ここで、
は電磁放射の複素振幅であり、
は２単位長偏光ベクトルを表し、
ｍ_x、ｍ_y、ｍ_z＝０、±１、±２、±３、．．．
である。
にわたる和は整数（ｍ_x，ｍ_y，ｍ_z）にわたる和を表し、ｓにわたる和は、各
に関連する２つの独立した偏光にわたる和である。２つの偏光ベクトルは以下の式によって示されるように直交する。

両者の偏光方向がｓの場合に、上記で与えられたゲージ条件から、以下の式が成り立つ。

２つの偏光ベクトル

は、以下の式によって与えられる正規化された波数ベクトルを用いる右手座標系を形成する。

図４は、基底ベクトルとして２つの独立した偏光ベクトル
と、正規化された波数ベクトル
とを用いる３次元右手座標系を示す。図４において、波数ベクトル
及び偏光ベクトル

はそれぞれ、線４０８、４１０及び４１２によって表される座標軸を有する座標系の３つの直交する単位長基底ベクトルである。

ベクトルポテンシャルの伝搬する電界成分及び磁界成分は以下のとおりである。

電界
及び磁界
はいずれも、電界及び磁界の「古典的」表現と呼ばれる伝搬波解であり、互いに直交し、いずれも波数ベクトル
に直交する。

図５は、図４に示される右手座標系内の電磁放射の電界成分及び磁界成分を示す。電磁放射は、波数ベクトル
軸に沿って向けられる。電界成分
及び磁界成分
はそれぞれ直交する偏光ベクトル
に沿って向けられ、特定の時刻ｔにおいて凍結されるように見える。

電磁放射のエネルギーは、以下のハミルトニアンを数値計算することによって求めることができる。

ここで、ε₀は自由空間の誘電率であり、μ₀は自由空間の透磁率であり、Ｖは空洞の体積である。誘電率ε₀は、電界の影響下で、真空空間が電気的ポテンシャルエネルギーを蓄えることができる度合いを表し、透磁率μ₀は、真空が磁束を変更する度合いを表す。非導電性媒体では、誘電率はさらにεを乗算されるが、これは、媒体が電気的ポテンシャルエネルギーの蓄積を増す度合いであり、また透磁率はさらにμを乗算されるが、これは、媒体が磁束をさらに増す度合いである。

電界成分
及び磁界成分
を量子化するために、位置
及び運動量
の正準変数が、以下の式を設定することによって、ハミルトニアンに導入される。

結果として、電磁放射に関するハミルトニアンは以下のようになる。

ハミルトニアン内の各項は、振動モード
を有する調和振動子のエネルギーである。ここで、項
は運動エネルギーであり、項
は単位質量を有する調和振動子のポテンシャルエネルギーである。ハミルトニアンは、位置変数
を量子力学的位置演算子
で、運動量変数
を量子力学的運動量演算子
で、それぞれ置き換えることによって量子化され、以下の量子ハミルトニアン演算子が与えられる。

消滅演算子及び生成演算子が以下の式によって定義され、

量子ハミルトニアン演算子に消滅演算子及び生成演算子を代入することによって、以下の式が与えられる。

ここで、
は「個数演算子」と呼ばれ、
によっても表される。位置演算子及び運動量演算子に関して正準交換関係を用いると、消滅演算子及び生成演算子は、以下の式によって与えられる交換関係を満たす。

電磁放射が量子化されると、振幅
は演算子

になり、それを上記の古典的な電界方程式及び磁界方程式に代入して、下記の電界演算子及び磁界演算子を得ることができる。

電界演算子及び磁界演算子はいずれもエルミート演算子であり、測定可能な電界及び磁界を表す。

磁界の大きさは１／ｃ倍だけ電界よりも小さいため、電界が、帯電した物質との相互作用の大部分の原因となる。結果として、一般的には電界のみを用いて、電磁放射の挙動及び帯電した物質との任意の相互作用が特徴付けられ、磁界成分は無視することができる。

量子計算及び量子情報処理システムは、電磁放射の単一モード
を用いて動作することができる。結果として、電磁放射の単一モードに関するハミルトニアン演算子は、以下の式に変換される。

ここで、上記のハミルトニアン内のモード依存演算子
の代わりに、
が用いられる。単一モードハミルトニアンの固有状態及び対応するエネルギー固有値は以下のとおりである。

ここで、｜ｎ＞は「個数状態」と呼ばれ、ｎは、「光子数」と呼ばれる負でない整数であり、Ｅ_nはエネルギー固有値である。

消滅演算子及び生成演算子は、以下のように、個数状態に対して作用する。

ここで、
は演算子
を表し、「個数演算子」と呼ばれる。個数状態は、個数状態に消滅演算子及び生成演算子を繰返し適用することによって生成することができる。たとえば、個数状態に消滅演算子を繰返し適用することによって、以下のように光子数が減少する。

式中、｜０＞は「真空状態」と呼ばれ、電磁放射の最も低いエネルギー状態を表す。真空状態で開始し、生成演算子を繰返し適用することによって、以下の式が与えられる。

個数状態は直交し、以下の式によって表される完全集合を形成する。

一般的に、個数状態｜ｎ＞に関連付けられるエネルギー固有値方程式は以下のとおりである。

エネルギー固有値方程式に消滅演算子及び生成演算子を適用することによって、以下の式が与えられる。

これは、電磁放射のエネルギー準位がエネルギー量子
だけ離隔して等間隔に配置されることを示す。言い換えると、電磁放射の励起は、「光子」と呼ばれるエネルギーの離散した量
において生じる。光子数ｎは、電磁放射を含む光子
の数を指す。

図６は、量子化された電磁放射のエネルギー準位図である。水平線６０２のような水平線は、電磁放射のエネルギー準位を表す。エネルギー準位６０４は最も低いエネルギー準位であり、真空状態｜０＞に対応する。真空状態のエネルギーは、
、すなわち単一光子のエネルギーの１／２である。電磁放射のエネルギー準位が高くなるのに応じて、それぞれが、同じエネルギー量子
だけ分離される。たとえば、エネルギー準位６０６は、
の全電磁エネルギーを有する電磁放射を表し、それは、２つの光子のエネルギーに、真空状態エネルギー
を加えたエネルギーと見なすことができる。消滅演算子は、電磁放射からの１つの光子の除去に対応し、生成演算子は、電磁放射への１つの光子の追加に対応する。たとえば、消滅演算子
は状態｜ｎ＞６０２から低いエネルギー状態｜ｎ−１＞６０８への電磁放射遷移６１０を表す。遷移６１０は、周囲に１つの光子を引き渡すことによって達成される。対照的に、生成演算子
は、状態｜ｎ＞６０２から高いエネルギー状態｜ｎ＋１＞６１２への電磁放射遷移６１４を表す。遷移６１４は、周囲から１つの光子を受け取ることによって達成される。典型的には、周囲は、原子、量子ドット、又は双極子相互作用を通じて場に結合する任意の他の系であり得ることに留意されたい。光子の損失又は吸収は、周囲の系が同時に励起することを伴うことになり、光子の生成又は放射は、周囲の系がそれに応じて脱励起することを伴うことになる。

光子は光子源によって生成され、自由空間を通じて、又は光ファイバ内で伝送することができる。光子源は、単一のパルスを生成するか、又は各パルスが、波長及び方向などの光学特性が全ての光子について同じである１つ又は複数の光子を含むパルス列を生成する、パルス式レーザ（パルスレーザ）とすることができる。同じ光学特性を有する光子は「コヒーレント」と呼ばれる。しかしながら、光子源、検出器、及び検出器から光子源を分離する光ファイバのような媒体は光共振器を画定しない。光子源及び検出器は、光エネルギーの著しい反射又は循環を生じない、光エネルギーの連続する一方向への流れを構成する部品である。自由空間又は光ファイバを通じて伝送されるパルスは波束によって記述され、波束は、以下の式によって与えられる時間依存性のガウス形関数によって表すことができる。

ここで、ω₀はパルススペクトルの中心周波数であり、ｔは時刻であり、ｔ₀は、波束のピークが光子源からの距離ｚ₀に位置する時刻であり、Δ²は、強度スペクトルの分散である。時刻ｔ₀は、ｚ₀／ｖによって求めることができる。ここで、ｖは自由空間を通じて、又は光ファイバ内を進行するパルスの速度である。

波束ξ（ｔ）はパルスの振幅であり、｜ξ（ｔ）｜²はパルスの光検出確率密度関数であり、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜²は、次の正規化条件を満たす。

光子源からの距離ｚ₀において時間間隔（ｔ₁，ｔ₂）内で１つの光子の光検出の確率は以下の式によって与えられる。

図７は、光子源７０２から出力され、光ファイバ７０４内を検出器７０６まで伝送されるパルスに関連する確率分布を示す。水平線７０８は、光子源７０２から検出器７０６まで光子が進行する距離ｚ₀を表し、水平線７１０は時間軸である。曲線７１２は、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜²を表す。図７では、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜²７１２は、時刻ｔ₀に中心があり、これは、パルスが距離ｚ₀を進行するのにかかる時間に対応する。曲線７１２の下の面積は、特定の時間期間内にパルスを検出する確率を表す。たとえば、斜線の領域７１４は、時間期間ｔ₁＜ｔ₀＜ｔ₂内に光子を検出する確率を表す。時間期間７１６は「時間ビン」と呼ばれ、光子が検出器７０６において検出される時間期間に対応する。

時間依存生成演算子を用いて、以下のように、光子波束生成演算子を生成することができる。

生成演算子を用いて、以下のように、自由空間を通じて、又は光ファイバ内を伝送される光子を表す連続モード個数状態を構成することができる。

ここで、｜０＞は連続モード真空状態である。連続モード個数状態は、以下の同じ条件を満たす。

結果として、連続モード個数状態を特定するために用いられる下付き文字ξは取り去ることができる。波束で構成される光子はいかなるハミルトニアンの固有状態でもないことに留意されたい。

コヒーレント状態の概説
最も一般的な種類の単一モード状態は、個数状態の線形重ね合わせである。個数状態の複数の異なる取り得る線形重ね合わせがあるが、コヒーレント状態

は、量子化された電磁放射の数多くの用途において用いられる個数状態の線形重ね合わせである。コヒーレント状態は、消滅演算子

の固有状態であり、複素共役をとることによって、以下の式が与えられる。

しかしながら、コヒーレント状態｜α＞は生成演算子
の固有状態ではない。なぜなら、αにわたる総和を配列し直しても、
からコヒーレント状態を与えることはできないからである。

個数演算子に関するコヒーレント状態期待値

は、｜α｜²が光子の平均数であることを示す。光子の数の測定においてｎ個の光子を検出する確率は次で表されるポアソン分布である。

ポアソン分布は、｜α｜²の値が大きい場合にはガウス分布に近付く。

コヒーレント状態は、その特性が、振幅が安定で位相が一定の古典的な電磁波に最もよく似ている量子状態である。たとえば、ｚ方向に伝搬している電界に対応する電界演算子は、モード下付き文字ｋ及びｓを除去して、以下のように表される。

ここで、時間ｔ及び変位ｚは次のように位相角に含まれ、

電界は、

の単位で測定される。

コヒーレント状態は、電界期待値又はコヒーレント信号に関して次のような正確な正弦波形を与えるので、概ね古典的な状態である。

ここで、
であり、φはモードのコヒーレント状態励起の平均位相角である。

偏光状態及びストークスパラメータ
このサブセクションでは、電磁放射の偏光状態が説明される。図５を参照して上述したように、電磁放射は、伝搬するＴＥＭ波（transverse electromagnetic wave：横電磁波）として取り扱うことができる。各電磁波は、電界成分
及び磁界成分
を含む。しかしながら、電界が、帯電した物質との相互作用の大部分の原因となり、磁界の大きさは１／ｃ倍だけ電界よりも小さいため、電磁波を表すために、電界成分のみを用いることができる。図５に示されるように、電磁界の振動する電界成分
及び関連する波数ベクトル
がいずれも振動面内に存在するときには、その電磁界は「直線偏光している」と言われる。多数のランダムに偏光した電磁波を含む電磁放射を１つ又は複数の偏光子の中に通すことによって、一定の偏光状態を作り出すことができる。各偏光子は、偏光子の偏光軸に沿った電界成分を有する電磁波のみを透過するデバイスである。

任意の２つの直交する直線偏光状態を用いて、｛｜Ｈ＞，｜Ｖ＞｝によって表される、偏光基底を定義することができる。第１の偏光状態｜Ｈ＞は、「水平偏光」と呼ばれる、第１の方向に偏光された電磁波を表し、第２の偏光状態｜Ｖ＞は、「垂直偏光」と呼ばれる、第１の方向と直交する第２の方向に偏光された電磁波を表す。偏光基底状態は、以下の条件を満たす。

図８Ａ及び図８Ｂは、偏光基底状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞のプロットを示す。図８Ａ及び図８Ｂでは、図８Ａにおける互いに垂直な軸８０１〜８０３のような互いに垂直な軸はそれぞれ、ｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸を表す。図８Ａは、ｙｚ平面内に存在する電界
の垂直偏光状態｜Ｖ＞を示す。矢印８０６は、電界
が観測面８０８に向かって伝搬する方向を表す。観測面８０８から、波がｚ軸に沿って一波長λだけ伝搬するのに応じて、電界
が１つの完全な振動サイクルだけ進行することを観測することができる。振動サイクルは、双方向矢印８１０によって表される。図８Ｂは、ｘｚ平面内に存在する電界
の水平偏光状態｜Ｈ＞を示す。関連する水平振動サイクルは、観測面８０８内の双方向矢印８１６によって表される。

偏光基底｛｜Ｈ＞，｜Ｖ＞｝を用いて、｜χ＞によって表される無数の偏光状態を構成することもできる。これらの偏光状態は｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞の両方を同時に含み、数学的には、状態のコヒーレントな線形重ね合わせとして次のように表すことができる。

ここで、０≦θ＜π及び０≦φ＜２πである。電磁波の無数の偏光状態は、幾何学的には、３次元ブロッホ球によって表すことができ、この場合には、「ポアンカレ球」とも呼ばれる。

図９Ａは、偏光状態のポアンカレ球表現を示す。図９Ａに示されるように、線９０１〜９０３はそれぞれ直交する座標軸であり、ポアンカレ球９０４の中心がその原点に位置する。ポアンカレ球９０４上には無数の点があり、各点は電磁波の固有の純粋偏光状態｜χ＞を表す。たとえば、ポアンカレ球９０４上の点９０５は、部分的に状態｜Ｈ＞、部分的に状態｜Ｖ＞を同時に含む偏光状態｜χ＞を表す。６つの点９０６〜９１１は、ポアンカレ球９０４と座標軸９０１〜９０３との間の交点を特定する。点９０６及び９０７はそれぞれ偏光基底状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞を特定し、点９０８〜点９１１はそれぞれ以下の直交する偏光状態を表す。

図９Ｂ〜図９Ｅはそれぞれ、４つの偏光状態、｜４５°＞、｜−４５°＞、｜Ｒ＞及び｜Ｌ＞のプロットを示す。図９Ｂは、水平なｘｚ平面に対して４５°だけ傾けられた振動面９１２内に存在する４５°偏光状態｜４５°＞を示す。偏光状態｜４５°＞の振動サイクルは、双方向矢印９１４によって表される。図９Ｃは、水平なｘｚ平面に対して−４５°だけ傾けられた振動面９１６内に存在する−４５°偏光状態｜−４５°＞を示す。偏光状態｜−４５°＞の振動サイクルは、双方向矢印９１８によって表される。図９Ｄは、図８Ａ及び図８Ｂに示される、垂直偏光電界８０４及び水平偏光電界８１２を含み、−π／２の相対的な位相差δを有する、右円偏光状態｜Ｒ＞を示す。この結果は、２つの直交する双方向矢印９２０及び９２２によって表される振動サイクルであり、それらの矢印は、電界８０４及び８１２がｚ軸に沿って伝達されるのに応じて、観測面８０８内で時計回りに回転する。図９Ｅは、同じく垂直偏光電界８０４及び水平偏光電界８１２を含むが、π／２の相対的な位相差δを有する左円偏光状態を示す。左偏光状態の振動サイクルは、２つの直交する双方向矢印９２４及び９２６によって表され、それらの矢印は観測面８０８内で反時計回りに回転する。

任意の偏光状態は、「ストークスパラメータ」と呼ばれる、４つの量の線形結合によって表すことができる。ストークスパラメータは、準単色電磁放射の偏光状態を表すのに都合の良い方法である。なぜなら、電磁放射測定は典型的には、強度又は光子の数のみを決定することができ、偏光状態を決定することができないからである。ストークスパラメータは全て同じ次元を有し、単色波の場合は、以下の４つの量によって与えられる。

式中、記号＜・＞は平均値を表し、ａ₁及びａ₂は電界ベクトルの２つの異なる直交成分Ｅ_x及びＥ_yの瞬時振幅であり、δは成分Ｅ_xとＥ_yとの間の位相差である。単色波の場合、ストークスパラメータのうちの３つだけが独立している。これは、それらのパラメータが以下の恒等式によっても関連付けられるためである。

部分的にコヒーレントな準単色波の場合、ストークスパラメータは次の不等式によって関連付けられることに留意されたい。

ストークスパラメータは、次のストークスの関係式によって互いに関連付けられる。

ここで、０≦ψ≦π及び−π／４≦χ≦π／４である。

図１０は、ストークスパラメータＳ₁、Ｓ₂及びＳ₃の幾何学的表現を示す。図１０に示されるように、線１００２〜１００４はそれぞれ、直交するｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸である。半径Ｓ₀の球１００６は、全ての異なる偏光状態の幾何学的表現を示す。ストークスパラメータＳ₁、Ｓ₂及びＳ₃は、球１００６上の点Ｐ１００８のデカルト座標と見なされ、２χ及び２ψは点Ｐ１００８の球面角座標である。所与の強度Ｓ₀の取り得る偏光状態毎に、球１００６上に１つの対応する点があり、逆も同様である。右偏光は、赤道ｘｙ平面１０１０よりも上にある、球１００６上の点によって表され、左偏光は、赤道ｘｙ平面１０１０よりも下にある、球１００６上の点によって表される。直線偏光電磁放射の場合、位相差δは０、又はπの整数倍であり、パラメータＳ₃は０である。言い換えると、直線偏光電磁波は、球１００６とｘｙ平面１０１０とが交差する場所にある点によって表される。円偏光電磁放射の場合、＜ａ₁＞は＜ａ₂＞に等しく、位相差δはπ／２又は−π／２である。それゆえ、右円偏光電磁放射は点１０１２によって表され、左円偏光電磁放射は点１０１４によって表される。部分的にコヒーレントな準単色波の場合、状態は、上記の不等式によって示されるように、球１００６内にある点によって表されることに留意されたい。

典型的には、ストークスパラメータは、各パラメータをパラメータＳ₀で割ることによって正規化され、それは、単位強度の入射ビームを使用することと等価である。正規化された表現におけるランダムに偏光された電磁放射に関するストークスパラメータ（Ｓ₀，Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃）は（１，０，０，０）であり、これは球１００６の中心に対応する。正規化されたストークスパラメータを表Ｉに示す。

電磁放射の任意の準単色波のストークスパラメータを、強度又は光子数測定によって求めることができ、それらは以下の関係式によって与えられる。

ここで、Ｉ（θ，ε）は、ｙ成分がｘ成分に対してεだけ遅れるときに、ｘ軸とθの角度を成す電界振動を伴う電磁放射の強度を表す。たとえば、強度Ｉ（０°，０）は水平偏光電磁放射の強度、Ｉ（９０°，０）は垂直偏光電磁放射の強度を表し、Ｉ（４５°，０）は４５°偏光の電磁放射の強度、Ｉ（−４５°，０）は−４５°偏光の電磁放射の強度を表すことができ、Ｉ（４５°，π／２）は右円偏光電磁放射の強度、Ｉ（−４５°，π／２）は左円偏光電磁放射の強度を表す。

パラメータＳ₀は全強度を表すことに留意されたい。パラメータＳ₁は、９０°に等しいθの角度を有する直線偏光を受ける偏光子によって透過された電磁放射の強度に対して、０°に等しいθの角度を有する直線偏光を受ける偏光子によって透過された電磁放射の強度が上回る量に等しい。パラメータＳ₂にも類似の解釈が当てはまる。パラメータＳ₃は、左円偏光電磁放射の強度に対して、右円偏光電磁放射を受ける偏光子によって透過された電磁放射の強度が上回る量に等しい。

本発明の実施形態
本発明の様々な実施形態は、２進数の乱数列を生成するために用いることができる、光学ベースの自己検証ＱＲＮＧを対象とする。本発明の実施形態は、最小エントロピーを構成するための量子力学に基づく方法を含み、最小エントロピーを用いて、２進数の乱数列を評価し、検証する。図１１は、本発明の一実施形態を表すＱＲＮＧ１１００の概略図を示す。ＱＲＮＧ１１００は、状態発生器１１０２と、偏光状態解析器（「ＰＳＡ」）１１０４と、生ビット発生器（「ＲＢＧ」）１１０６と、システムコントロール１１０８とを備える。状態発生器１１０２は、パルス式レーザダイオードと、直線偏光子とを備え、次の式で表される、電磁放射の４５°偏光パルス１１１０をコヒーレント状態において出力する。

ここで、｜α_H＞は水平偏光コヒーレント状態を表し、｜α_V＞は垂直偏光コヒーレント状態を表す。用語「水平」は、ＱＲＮＧ１１００の平面に対して平行に偏光された電界成分を有する電磁波を指し、用語「垂直」は、ＱＲＮＧ１１００の平面に対して垂直に偏光された電界成分を有する電磁波を指す。電磁放射の偏光パルス｜α₄₅＞１１１０は、パルス｜α₄₅＞１１１０の第１の部分がＰＳＡ１１０４に伝送され、パルス｜α₄₅＞１１１０の第２の部分がＲＢＧ１１０６に伝送されるように分割される。ＰＳＡ１１０４及びＲＢＧ１１０６についての異なるデバイスの実施形態が、図１２〜図１４を参照して後で説明される。状態発生器１１０２によって生成されるパルス｜α₄₅＞１１１０毎に、ＰＳＡ１１０４は、初期状態を、電磁放射の４つの異なる偏光コヒーレント状態に射影する。４つの異なる偏光のコヒーレント状態は、（１）４５°偏光パルス｜α₄₅＞１１１２、（２）−４５°偏光パルス｜α_-45＞１１１４、（３）右円偏光パルス｜α_R＞１１１６、及び（４）左円偏光のパルス｜α_L＞１１１８である。ＰＳＡ１１０４は、状態１１１２〜１１１６を検出し、検出結果をシステムコントロール１１０８に送信する検出システム１１２０を備える。ＲＢＧ１１０６は、以下のように、パルス｜α₄₅＞１１１０内の光子の数を減少させる減衰器１１２０を備える。

ここで、｜Ｈ＞は、単一光子を含む水平偏光パルスを表し、｜Ｖ＞は、単一光子を含む垂直偏光パルスを表す。

ＲＢＧ１１０６は、状態｜Ｈ＞又は状態｜Ｖ＞のいずれかである単一光子の存在を検出し、検出結果をシステムコントロール１１０８に送信する検出システム１１２２を備える。２進数を符号化するために、光子偏光状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞が用いられる。たとえば、状態｜Ｈ＞の検出を用いて、２進数「１」を表すことができ、状態｜Ｖ＞の検出を用いて、２進数「０」を表すことができる。ＱＲＮＧ１１００のＮ回の動作サイクルにわたって、システムコントロール１１０８は、ＰＳＡ１１０４及びＲＢＧ１１０６によって供給される検出結果を受信し、ベクトル
によって表される２進数の乱数列を出力する。ここで、ｍは２進数の乱数の数を表し、ｍ＜Ｎである。２進数の乱数列
を構成することに関する方法の実施形態については、図１５〜図２１を参照して後述する。

図１２〜図１４は、上記の一般的なＱＲＮＧ１１００の実施形態による、本発明の３つの異なるＱＲＮＧデバイスの実施形態を示す。簡略にするために、図１２〜図１４において、図１１に示した一般的なＱＲＮＧ１１００の構成要素と同一であるＱＲＮＧの構成要素には同じ参照番号を付しており、それらの構造及び機能については繰り返し説明しない。

図１２Ａは、本発明の一実施形態を表す第１のＱＲＮＧ１２００の概略図である。ＰＳＡ１１０４は、パルス式状態発生器１１０２と、第１のビームスプリッタ（「ＢＳ₁」）１２０２と、第２のビームスプリッタ（「ＢＳ₂」）１２０４と、半波長板（２分の１波長板）１２０６と、４分の１波長板１２０８と、第１の偏光ビームスプリッタ（「ＰＢＳ₁」）１２１０と、第２の偏光ビームスプリッタ（「ＰＢＳ₂」）１２１２と、４つのフォトダイオード検出器１２１４〜１２１７とを備える。４つの光検出器１２１４〜１２１７は、当該技術分野において既知であるｐ−ｉ−ｎ（ＰＩＮ）フォトダイオードとすることができる。点線１２１８のような点線は、ＰＳＡ１１０４内の電磁放射伝送経路を表し、光ファイバ、又は自由空間内の伝送経路のいずれかを表すことができる。ＲＢＧ１１０６は、減衰器１１２０と、結合器（カプラー）１２２０と、単一モードファイバ（「ＳＭＦ」）１２２２と、ファイバ偏光ビームスプリッタ（「ＦＰＢＳ」）１２２４と、遅延ファイバ１２２６と、多モード光ファイバ１２２８と、単一光子カウントモジュール（「ＳＰＣＭ」）１２３０とを備える。遅延ファイバ１２２６及びＳＭＦ１２２２は単一モード光ファイバであり、電磁放射の０光子又は単一光子のいずれかを伝送するのに用いることができる。結合器１２２０は減衰器１１２０をＳＭＦ１２２２に結合し、ＭＭＦ１２２８はＳＰＣＭ１２３０に電磁放射の２つ以上のモードを送信する。ＳＰＣＭは、単一光子を検出するために、高い信号強度で動作するアバランシェフォトダイオードとすることができる。フォトダイオード検出器１２１４〜１２１７及びＳＰＣＭ１２３０は、信号線１２３２のような信号線によって、システムコントロール１１０８に接続される。ＢＳ₁１２０２及びＢＳ₂１２０４は、パルス｜α₄₅＞を、図１２においてＡ、Ｂ及びＣとして特定される３つの異なる伝送経路に分割する。ＢＳ₁１２０２及びＢＳ₂１２０４の後のパルス｜α₄₅＞の状態は以下の式によって与えられる。

ただし、以下の式が成り立つ。

また、｜α₄₅＞_Aは、伝送経路Ａ内に反射される４５°偏光の電磁放射を表し、｜α₄₅＞_Bは、伝送経路Ｂ内に反射される４５°偏光の電磁放射を表し、｜α₄₅＞_Cは、伝送経路Ｃに沿って伝送される４５°偏光の電磁放射を表す。ＢＳ₁１２０２によって反射された電磁放射の偏光は、ＨＷＰ１２０６によって、以下のように変更され、

ＢＳ₂１２０４によって反射された電磁放射の偏光状態は、ＱＷＰ１２０８によって、以下のように変更される。

水平偏光されたパルス｜α_H＞は検出器１２１５及び１２１６によって検出され、垂直偏光されたパルス｜α_V＞は検出器１２１４及び１２１７によって検出される。

時間ビン符号化を用いて、ＲＢＧ１１０６によって２進数の乱数列が生成される。図１２Ｂは、本発明の一実施形態を表すＲＢＧ１１０６の動作を示す。減衰器１１２０が、パルス｜α₄₅＞_C１２３４の状態を、真空状態｜０＞、又は状態

のコヒーレントな線形重ね合わせにある単一光子のいずれかに変換する。ＦＰＢＳ１２２４は、単一の水平偏光光子｜Ｈ＞をＳＭＦ１２２２に沿ってＭＭＦ１２２８に伝送し、単一の垂直偏光光子｜Ｖ＞を遅延ファイバ１２２６内に反射する。遅延ファイバ１２２６はＦＰＢＳ１２２４とＭＭＦ１２２８との間の距離よりも長いため、垂直偏光光子｜Ｖ＞がＳＰＣＭ１２３０に達するのにかかる時間は、水平偏光光子｜Ｈ＞がＳＰＣＭ１２３０に達するのにかかる時間よりも長い。線１２３６は時間軸を表し、「０」は、パルス｜α₄₅＞１１１０が状態発生器１１０２から出力される開始時刻を特定する。双方向矢印１２３８は、パルス｜α₄₅＞１１１０が、結果としてＳＰＣＭ１２３０において単一の水平偏光光子｜Ｈ＞として検出されるのにかかる平均時間を表す。双方向矢印１２４０は、パルス｜α₄₅＞１１１０が、結果としてＳＰＣＭ１２３０において単一の垂直偏光光子｜Ｖ＞として検出されるのにかかる平均時間を表す。曲線１２４２及び１２４４は、ＳＰＣＭ１２３０における光子検出事象の正規分布を表す。曲線１２４２と１２４４の裾部分が重ならないように、遅延ファイバ１２２６の長さを調整することができる。曲線１２４２及び１２４４の幅はそれぞれ、重複しない時間ビン１２４６及び１２４８を画定し、それらは２進数の乱数を生成するのに用いられる。たとえば、状態発生器１１０２から出力されるパルス｜α₄₅＞１１１０毎に、システムコントロール１１０８によって事象が記録される。システムコントロール１１０８によって記録される事象を次に説明する。時間ビン１２４６において１つの光子が検出されると、２進数「１」が記録され、時間ビン１２４８において１つの光子が検出されると、２進数「０」が記録される。時間ビン１２４６、時間ビン１２４８のいずれにおいても光子が検出されないときは、「光子なし」が記録され、両方の時間ビン１２４６及び１２４８において光子が検出されると、「エラー（誤り）」が記録される。表IIは、状態発生器１１０２から出力される各パルス｜α₄₅＞１１１０について、システムコントロール１１０８が記録することができる４種類の事象を示す。

システムコントロール１１０８によって記録される各事象は「生カウント（raw count）」と呼ばれる。図１２Ｃは、本発明の一実施形態を表す、状態発生器１１０２によって生成されたＮ個のパルス｜α₄₅＞１１１０について、システムコントロール１１０８によって記録されるＮ個の生カウントの仮想的な数列１２５０を示す。Ｎ個の生カウントの数列１２５０は、生カウント「光子なし」１２５２と生カウント「エラー（誤り）」１２５４によって分離された２進数「０」と「１」の数列を含む。図１５〜図２１を参照して後述する本発明の方法の実施形態は、２進数の乱数列
を得るために、ＰＳＡ１１０４によって生成されたデータ偏光状態を用いて、Ｎ個の生カウントの数列を選別（または変更）することに関連する。ＰＳＡ１１０４とＲＢＧ１１０６の両方によるパルスの検出は同期することに留意されたい。

図１３Ａ及び図１３Ｂは、本発明の一実施形態を表す、第２のＱＲＮＧ１３００の概略図を示す。図１３Ａに示されるように、ＱＲＮＧ１３００は、パルス式状態発生器１１０２と、図１２に示されるＱＲＮＧ１２００のＲＢＧ１１０６と同一の構成要素及び動作を含むＲＢＧ１１０６を備える。それゆえ、簡略にするために、図１３Ａにおいて、これらの構成要素には同じ参照番号を付しており、それらの構造及び動作については繰返し説明しない。ＱＲＮＧ１３００は、ＰＳＡ１１０４も備えており、ＰＳＡ１１０４は、ビームスプリッタ（「ＢＳ」）１３０２と、凹レンズ１３０４と、象限偏光フィルタ１３０６と、象限フォトダイオード検出器１３０８とを備える。ＢＳ１３０２は、電磁放射の偏光パルス｜α₄₅＞を、伝送経路１３１０中へと反射される第１のパルス｜α₄₅＞_Aと伝送経路１３１２に沿って伝送される第２のパルス｜α₄₅＞_Bに分割する。パルスが象限偏光フィルタ１３０６に達すると、凹レンズ１３０４によって、パルス｜α₄₅＞_Aの電磁放射が発散させられる。

図１３Ｂは、象限偏光フィルタ１３０６及び象限フォトダイオード検出器１３０８の斜視図を示す。拡大された矢印１３１３によって示されるように、凹レンズ１３０４によって、第１のパルス｜α₄₅＞_A１３１０内の電磁放射が発散させられる。象限偏光フィルタ１３０６は４つの偏光セクタに分割され、各偏光セクタは、４つのタイプの偏光のうちの１つを出力する。たとえば、象限偏光フィルタ１３０６は、以下の偏光セクタ、すなわち、（１）４５°偏光パルス｜α₄₅＞を出力する第１の偏光セクタ１３１４と、（２）−４５°偏光パルス｜α_-45＞を出力する第２の偏光セクタ１３１５と、（３）右円偏光パルス｜α_R＞を出力する第３の偏光セクタ１３１６と、（４）左円偏光パルス｜α_L＞を出力する第４の偏光セクタ１３１７とを備える。象限フォトダイオード検出器１３０８は、４つの独立した検出エリア１３２０〜１３２２に分割され、各検出エリアは、象限偏光フィルタ１３０６の偏光セクタと位置合わせされ、各検出エリアは、位置合わせされた対応する偏光セクタから出力されるパルスを個別に検出することができる。たとえば、検出エリア１３２０〜１３２２はそれぞれ、偏光セクタ１３１４〜１３１７と位置合わせされ、位置合わせされた偏光セクタ１３１４〜１４１７から出力されるパルスを検出する。象限フォトダイオード検出器１３０８は、各検出事象をシステムコントロール１１０８に送信する。

図１４は、本発明の一実施形態を表す、第３のＱＲＮＧ１４００の概略図を示す。ＱＲＮＧ１４００は、持続電磁波状態発生器１１０２と、１：６ＢＳ１４０２と、偏光フィルタ１４０４〜１４０９と、減衰器１４１２及び１４１４と、ｐ−ｉ−ｎフォトダイオード１４１６〜１４１９と、ＳＰＣＭ１４２０及び１４２１とを備える。ＳＰＣＭ１４２０及び１４２１は、アバランシェフォトダイオードとすることができる。またＱＲＮＧ１４００は、図１２及び図１３を参照して上述した状態発生器１１０２及びシステムコントロール１１０８も備える。１：６ＢＳ１４０２は格子形ビームスプリッタであり、これは、以下のように、コヒーレント状態｜α＞において入力される電磁放射の単一持続波を、Ａ〜Ｆとラベル付けされた伝送経路に沿って伝送される６つの別個のビームに分割する。

偏光フィルタ１４０４〜１４０９は、伝送経路Ａ〜Ｆにおいて送信される各ビームが、以下のように、６つの異なる偏光コヒーレント状態のうちの１つを出力するように配列される。
減衰器１４１２及び１４１４は、持続波｜α_H＞_A及び｜α_V＞_Bを構成する光子の数を、それぞれ、真空（グランド）状態｜０＞_Aと｜０＞_B、又はそれぞれ、状態｜Ｈ＞_Aと｜Ｖ＞_Bにある単一光子、のいずれかに変換する。単一光子状態は、アバランシェフォトダイオード１４２０及び１４２１で検出される。検出器１４１６〜１４２１は、検出事象をシステムコントロール１１０８に送信する。検出事象の結果として、図１２を参照して上述したように、生カウントの数列が生成される。２進数の乱数列
を生成するために検出事象を処理することは、ｐ−ｉ−ｎフォトダイオード１４１６〜１４１９とアバランシェフォトダイオード１４２０及び１４２１との間の同期検出を必要としないことに留意されたい。

図１５は、本発明の一実施形態を表す、図１１〜図１４を参照して上述したＱＲＮＧのうちの任意の１つをＮ回動作させることによって生成された生カウントの数列から、２進数の仮想的な乱数列を生成する様子を示す。ＱＲＮＧ１１００をＮ回動作させることによって、図１２Ｃに示されるＮ個の生カウントの数列１２５０が生成される。「光子なし」１２５２及び「エラー（誤り）」１２５４のような「光子なし」及び「エラー（誤り）」検出事象に対応する生カウントは、ｎ個の２進数の生の数列を生成するために、生カウントの数列から除去され、その生の数列は、
によって表される列ベクトル１５０２に組み立てられる。ここで、ｎ＜Ｎである。生の数列１５０２は、仮想的に偏らせた２進数１５０４〜１５０６のような、多数の仮想的に偏らせた２進数を含む。本発明の量子力学に基づく方法が、ｍ×ｎテプリッツ行列Ｔ_n×mを構成するために用いられ、この行列は、生の数列
内の偏った２進数を選別（または変更）して除去し、
で表される、ｍ個の２進数の乱数列
を生成するのに用いられる。ここで、ｍ＜ｎ＜Ｎである。２進数の乱数列
は列ベクトル１５０８によって表される。

C.D.Walter等（編集）による「Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES 2003」と題する本の中の「True Random Number Generators Secure in a Changing Environment」と題する章（pp. 166-180, Springer-Verlag (2003)）において、Barak等は、テプリッツ行列の数学的な定義を提供している。以下の説明は、Barak等の参考文献による、テプリッツ行列を構成するために必要とされる識見を提供する。

本発明の方法を用いて、状態発生器１１０２から出力される状態に偏りがあっても真の乱数列を生成することができることを強調するために、本発明の量子力学に基づく方法の実施形態が、敵対者が存在するシナリオを用いて、２進数の乱数列
を生成することを参照しながら以下に説明される。図１６は、敵対者が存在するシナリオ下にある、図１１を参照して上述したＱＲＮＧ１１００を示す。敵対者が存在するシナリオでは、状態発生器１１０２は、「イブ」１６０２と呼ばれる敵対者の制御下に入り、ＱＲＮＧ１１００の残りの部分は、「アリス」１６０４と呼ばれる、ユーザの制御下にある。イブは、アリス１６０４にはランダムに見え、イブが部分的にわかっている２進数列を生成することを望む。アリスは、状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞のみを用いて２進数の乱数を生成するので、以下の解析は、基底｛｜Ｈ＞，｜Ｖ＞｝によって張られる部分空間に限定される。それゆえ、イブは以下の形のコヒーレント状態を生成するものと仮定される。
ただし、以下の式が成り立つ。
イブは、アリスが状態｜ψ＞にある光子に適用する測定について知らないものと仮定される。イブが、全て同じ純粋状態｜ψ＞にあるパルスを準備するとき、アリスは、各パルスについて測定を実行して、次の密度行列を得ることができる。

密度行列
は、アリスがイブによって提供されるパルスの状態について、アリスが得ることができる最大限の情報量を表す。イブによって提供されるパルスについてトモグラフィ解析を実行することによって、アリスは密度行列
の要素を求めることができる。トモグラフィ解析を用いて、２進数列のランダム性が評価され、その解析は「自己検証」とも呼ばれる。量子状態のトモグラフィ解析は、当該技術分野では周知であり、たとえば、James等による参考文献「Measurement of Qubits」（Phys. Rev. A, Vol. 64, 052312）に記述されている。トモグラフィ解析を用いて、イブによって準備された状態｜ψ＞が特定される。James等の参考文献に記述されているように、ｂキュービット系についてのトモグラフィ解析は典型的には、密度行列
を求めるのに、（４^b−１）個の異なる期待値を必要とする。結果として、期待値を測定するために、同一の状態の多数のコピーが必要とされる。状態に関する（４^b−１）個の異なる期待値及び正規化要件は理想的には、一般的なｂキュービット系の２^b個の複素係数に４^b個の独立した制約を生成し、測定された状態を画定する密度行列
及び２^b個の複素係数についての解析的解法を可能にする。

イブは、状態の統計的混合
にあるパルスを送信することによって、イブにはわかるが、アリスにはランダムに見えるように数列を偏らせることを試みることもできる。この場合、各パルスの状態は関連する確率ｐ_iを有する。アリスは、トモグラフィ解析を実行して、密度行列演算子

及び関連する密度行列

を求める。ここで、

は状態｜Ｈ＞を測定する確率であり、

は状態｜Ｖ＞を測定する確率である。密度行列演算子及び密度行列は、純粋状態密度行列演算子及び関連する密度行列の合成である。イブは、アリスが毎回測定している各パルスの状態｜ψ_i＞を準備し、知っているが、アリスによって実行される各測定の結果は量子力学の法則によって支配されるため、イブは状態｜ψ_i＞に関するアリスの測定の結果を制御することはできないことに留意されたい。

アリスは、トモグラフィ解析を実行して、密度行列
を求め、ランダム性に関する発生源の品質を評価する。ランダム性に関する発生源の品質は厳密には、以下のように定義される最小エントロピー（「min-entropy」）関数を用いて評価することができる。

ここで、Ｘは確率変数であり、Ｐｒ（ｘ）は事象ｘの確率であり、
はＸ内の全ての事象ｘにわたる最大確率Ｐｒ（ｘ）を意味する。言い換えると、最小エントロピーは、確率分布のランダム性の量の尺度と見なすことができる。図１７は、本発明の一実施形態を表す、最小エントロピーのプロットである。図１７において、水平軸１７０２は事象ｘの確率Ｐｒ（ｘ）に対応し、垂直軸１７０４は、最小エントロピーの値を表し、曲線１７０６は、最小エントロピーＨ_Min（Ｘ）を表す。事象ｘが生じる最大確率Ｐｒ（ｘ）が「１」１７０８であるときは、最小エントロピーは「０」１７１０である。言い換えると、０の最小エントロピーは、事象ｘが確実に生じ、完全に決定論的であることを意味する。事象ｘが生じる最大確率Ｐｒ（ｘ）が「１／２」１７１２であるときは、最小エントロピーは「１」１７１４である。言い換えると、「１」１７１４の最小エントロピーは、事象ｘが偏りなく生じ、真にランダムな事象に対応することを意味する。事象ｘが生じる最大確率が１／２よりも大きいときは、点１７１８に対応する点１７１６のように、最小エントロピーは「０」と「１」との間にあり、偏りがある事象であると言われる。

最小エントロピーの使用を例示するために、以下の説明は、イブによって生成される３つの異なる種類の状態集合についての最小エントロピーの定義において、密度行列の要素がどのように用いられるかを記述する。アリスが、イブによって提供される純粋状態｜ψ＞にある単一パルスに関してトモグラフィ解析を実行するとき、確率変数Ｘは集合｛０，１｝にわたって分布し、最小エントロピーは次のとおりである。
ただし、以下の式が成り立つ。
最小エントロピーは、アリスが、イブによって提供される、全てが同じ純粋状態｜ψ＞にあるｎ個のパルスに関してトモグラフィ解析を実行する事例に拡張することができる。確率変数Ｘは集合｛０，１｝ⁿにわたって分布し、最小エントロピーは次のとおりである。
最後に、アリスが、イブによって提供される純粋状態｜ψ_i＞の統計的混合にあるｎ個のパルスに関してトモグラフィ解析を実行するとき、最小エントロピーは次のようになる。

ただし、以下の式が成り立つ。

アリスは、イブが提供しているパルスの状態の分解を知らない。アリスは、トモグラフィ解析中に自分が生成する密度行列
を手に入れることができるのみである。任意の状態への最小エントロピーの拡張を得るために、パルスに関連付けられる最小エントロピーが、密度行列
の全ての取り得る分解にわたる最も小さい最小エントロピーと定義される。最も小さい最小エントロピーのそのような定義を用いて、イブがアリスの数列について入手することができる情報の量に上限が設けられる。

最小エントロピーＨ_Minが０に等しくない限り、イブは、上記のＱＲＮＧによって生成される２進数列を完全には制御できないことに留意されたい。言い換えると、最小エントロピーが０よりも大きい限り、ＱＲＮＧによって生成されるｎ個の２進数の数列内に、いくつかの数であるｍ個の２進数の乱数が存在する。ここで、ｍ＜ｎである。

トモグラフィ解析を容易にするために、最小エントロピー
がストークスパラメータの関数として再び特徴付けられる。最初に、上記の状態｜ψ_i＞の統計的混合に関連する２×２密度行列
を以下のようにストークスパラメータ（Ｓ₀，Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃）に関して書き換えることができる。

ここで、下付き文字「Ｓ」はストークスパラメータに関して書き換えられた密度行列を特定し、ストークスパラメータＳ₀は、「１」に正規化され、σ₁、σ₂及びσ₃は既知のパウリ行列基底｛｜Ｒ＞，｜Ｌ＞｝である。密度行列
のストークスパラメータは、以下のように、検出事象に基づいて求めることができる。図１１〜図１４を参照して上述した本発明のデバイスの実施形態では、アリスは、図１２〜図１４に示されるＳＰＣＭ１２３０、１４２０及び１４２１を用いて、単一光子を検出する。システムコントロール１１０８は、各検出事象に対応するＳＰＣＭから信号を受信し、水平偏光光子＜Ｈ＞の平均数、及び垂直偏光光子＜Ｖ＞の平均数を計算する。アリスは、フォトダイオード１２１４〜１２１７及び１４１６〜１４１９ならびに象限フォトダイオード１３０８を用いて、電磁放射Ｉ（α₄₅）、Ｉ（α_-45）、Ｉ（α_R）及びＩ（α_L）の強度を検出する。システムコントロール１１０８は、強度に対応する信号を受信し、対応する平均強度＜α₄₅＞、＜α_-45＞、＜α_R＞及び＜α_L＞を計算する。その後、正規化されたストークスパラメータを以下の式によって求めることができる。

全ての密度行列
について次の実数値関数

を定義することによって、以下の定理を表明することができる。
定理１．密度行列
によって記述される系の最小エントロピーは以下のとおりである。

定理１の証明は後述の付録において提供される。定理１は、２進数列を生成するのに用いられる状態の密度行列の測定において、イブのような敵対者が得ることができる情報の量に上限があることを実証する。Barak等の参考文献は、最小エントロピーＨ_Minを有するｎ個の２進数の数列が与えられると、２進数の生の数列からｍ個の２進数の乱数を抽出できることを示している。ここで、ｍ＜ｎである。ｍ個の２進数の乱数は、或る分布に従って分布し、その分布は任意的に２進数の均一な分布に近い。

図１８は、２進数の乱数列を生成するための本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す制御フロー図を示す。ステップ１８０２では、上記のＱＲＮＧ１１００、１２００、１３００、１４００をＮ回用いて、偏光成分｜α₄₅＞、｜α_-45＞、｜α_R＞及び｜α_L＞をフィルタリングすると共に、偏光状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞にある単一光子を生成及びフィルタリングする。ステップ１８０４では、ステップ１８０２において得られた検出結果に基づいて、システムコントロール１１０８が平均強度＜α₄₅＞、＜α_-45＞、＜α_R＞及び＜α_L＞を計算し、それらの平均強度を用いて、上記のように、ストークスパラメータＳ₂及びＳ₃が求められる。ステップ１８０６では、ルーチン「生の２進数列を生成する」が呼び出され、これによって、図１５を参照して上述したように、Ｎ個の生カウントの数列から、ｎ個の２進数の生の乱数列
が生成される。ステップ１８０８では、ルーチン「トモグラフィ解析」が呼び出される。ルーチン「トモグラフィ解析」は上記のように、密度行列
及び最小エントロピー
を求めるための方法である。ステップ１８１０では、ルーチン「生の２進数列を選別（または変更）する」が呼び出され、そのルーチンは、最小エントロピーＨ_Minを用いて、数列
から偏りを除去し、ｍ個の２進数からなる、より小さな乱数列
を生成する。ステップ１８１２では、２進数の乱数列
が出力される。

図１９は、図１８のステップ１８０８において呼び出されるルーチン「生の２進数列を生成する」のための制御フロー図を示し、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ１９０２では、図１２Ｃを参照して上述したように、Ｍ個の生カウントが収集される。ステップ１９０４では、図１５を参照して上述したように、「光子なし」又は「エラー（誤り）」のいずれかに対応する生カウントを破棄し、ｎ個の２進数からなる生の乱数列を残すことによって、生カウントが選別（または変更）される。ステップ１９０６では、上述したように、ストークスパラメータＳ₁を求めるために後で用いられる平均＜Ｈ＞及び＜Ｖ＞を求めるために、システムコントロール１１０８が、状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞に対応する生カウントを平均する。

図２０は、図１８のステップ１８０６において呼び出されるルーチン「トモグラフィ解析」のための制御フロー図を示し、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ２００２では、図１８のステップ１８０４において得られる平均＜α₄₅＞、＜α_-45＞、＜α_R＞及び＜α_L＞、ならびに図１９のステップ１９０４において得られる平均＜Ｈ＞及び＜Ｖ＞が取得される。ステップ２００４では、上記のように、密度行列
が構成される。ステップ２００６では、密度行列
を用いて、最小エントロピー
が構成される。

図２１は、図１８のステップ１８１０において呼び出されるルーチン「生の２進数列を選別（または変更）する」のための制御フロー図であり、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ２１０２では、図２０のルーチン「生の数列を生成する」によって生成された２進数の生の乱数列
が入力される。ステップ２１０４では、図２０のルーチン「トモグラフィ解析」において生成された最小エントロピー
が入力される。ステップ２１０６では、Barak等の参考文献において記述されているように、テプリッツ行列Ｔ_n×mが構成される。ステップ２１０８では、数列
が求められ、図１５を参照して上述したようにステップにおいて出力される。

Barak等の参考文献に基づくと、ｎ個の２進数からなる生の乱数列から抽出することができる２進数の最大数は以下のとおりである。
ここで、εは、ｍ個の２進数の分布と均一な分布との間の統計的距離である。統計的距離は、数学的には、以下のように定義される。

ここで、ＸとＷは異なる分布を表す。収率Ｙは、２進数の乱数の割合ｍ／ｎであり、２進数の生の乱数列から求めることができる。２進数の乱数列
を抽出するための方法を試験するために、ＱＲＮＧ１１００によって生成されるｎ＝３２００の生の２進数列が、ε＝２^-35の統計的距離及び０．３８の最小エントロピーを用いて生成された。得られた収率は０．３３であった。統計的距離及び生の２進数の数をＱＲＮＧ１１００演算子によって変更して、様々なセキュリティ要求及び計算資源に対応することができる。

本発明を特定の実施形態に関して説明してきたが、本発明をこれらの実施形態に限定することは意図していない。本発明の思想の範囲内での変更が、当業者には明らかであろう。本発明の代替的な実施形態では、他の光量子系において、図１２〜図１４に示されるＰＳＡ１１０４を実現するために用いられる光ファイバの代わりに、光ファイバを用いることができることを当業者であれば認識するであろう。本発明の別の実施形態では、当業者は、図１１〜図１４に示されるＱＲＮＧ実施形態を、電子コンピューティングデバイス及び量子コンピューティングデバイスのようなさらに大規模の電子コンピューティングデバイス内の乱数発生器として組み込むことができることを認識するであろう。本発明の別の実施形態では、熱状態のような、コヒーレント状態以外の状態を用いることができる。たとえば、状態発生器１１０２は、電球（または白熱電球）又は発光ダイオードとすることもできる。本発明の代替的な実施形態では、James等の参考文献に記述されている偏光状態のような、偏光状態｜Ｈ＞、｜Ｖ＞、｜α₄₅＞、｜α_-45＞、｜α_R＞及び｜α_L＞以外の偏光状態を用いることができる。

これまでの記述は、説明の目的上、本発明を十分に理解できるようにするために特定の用語を使用した。しかしながら、本発明を実施するために、特定の細部が必要とされないことは当業者には明らかであろう。本発明の特定の実施形態についてのこれまでの記述は、例示及び説明の目的で提示されたものである。それらは、本発明を網羅することや本発明を開示した形態そのものに限定することを意図したものではない。上記の教示に鑑みて、数多くの変更及び変形が可能であることは明らかである。それらの実施形態は、本発明の原理及びその実用的な用途を最もわかりやすく説明し、それによって、当業者が、本発明及び様々な実施形態を、意図する特定の用途に適するように様々な変更を加えて最も好適に利用できるようにするために図示及び説明されたものである。本発明の範囲は、添付の特許請求の範囲及びその等価物によって画定されるものである。

［付録］
定理１．密度行列
によって記述される系の最小エントロピーは以下のとおりである。

定理１を証明するために、以下の３つの補助定理が証明される。

補助定理１．純粋状態｜ψ＞毎に、以下の式が成り立つ。
補助定理１の証明は、Ｐｒ_H＞１／２、Ｐｒ_H＜１／２及びＰｒ_V＝１／２の場合に、以下の式が成り立つことを示すことによって証明される。
最初に、｜ψ＞は純粋状態であるため、図１０を参照して上述したように、関連するストークスパラメータはポアンカレ球の表面上のある点に対応し、具体的には、パラメータＳ₁及びＳ₂は以下の式によって与えられる。
Ｓ₁及びＳ₂を右辺に代入すると、以下の式が与えられる。
Ｐｒ_H＞１／２のときは、左辺は以下のように変換され、
右辺は以下のように変換される。
Ｐｒ_H＜１／２のときは、左辺は以下のように変換され、
右辺は以下のように変換される。
最後に、自明なケース、すなわち、Ｐｒ_V＝１／２のときは、左辺及び右辺はいずれも１／２になる。

補助定理２．密度行列

によって表される２つの純粋状態｜ψ１＞及び｜ψ２＞は、密度行列

の分解である。ただし、

である。

補助定理２の証明：密度行列は、

を満たす対角行列要素を有する
の分解である純粋状態を表す。｜ψ１＞及び｜ψ２＞はいずれも純粋状態であるため、補助定理１に基づくと以下の式が成り立つ。

さらに、上記の

に関する式に基づくと、ｎ＝１の場合に、以下の式が成り立つ。

補助定理３．関数
はポアンカレ球上のストークスパラメータＳ₁、Ｓ₂、Ｓ₃の凸関数である。

補助定理３の証明：
のヘシアン行列の固有値は、領域（１／２，１）にわたって負でない。

この定理の証明：凸関数の特性によれば、
の各分解について、以下の式が成り立つ。

補助定理１の結果を代入し、上記の式

を用いると、以下の式が与えられる。

これは、
が、
の最小エントロピーの下限であることを意味する。しかし、補助定理２によれば、
の少なくとも１つの分解が存在し、それについて、

が成立する。それゆえ、
は、
の全ての分解にわたるＨ_Minの最小値に等しい。以上で証明終り。

キュービット系のブロッホ球表現を示す図である。仮想的な単一偏光ビームスプリッタを用いる量子乱数発生器を示す図である。立方体空洞を示す図である。基底ベクトルとして、２つの独立した偏光ベクトルと、正規化された波数ベクトルとを用いる３次元座標系を示す図である。図４に示される座標系における電磁放射の電界成分及び磁界成分を示す図である。量子化された電磁放射のエネルギー準位図である。光子源から出力され、検出器まで伝送される光子パルスを検出することに関連する確率分布関数を示す図である。垂直偏光基底状態のプロット図である。水平偏光基底状態のプロット図である。偏光状態のポアンカレ球表現を示す図である。４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。ストークスパラメータの幾何学的表現を示す図である。本発明の一実施形態を表す量子乱数発生器の光学ベースの概略図である。本発明の一実施形態を表す第１の量子乱数発生器の概略図である。本発明の一実施形態を表す、２進数をランダムに生成するランダムビット発生器の動作を示す図である。本発明の一実施形態を表す、システムコントロールによって記録される生カウントの仮想的な数列を示す図である。本発明の一実施形態を表す、第２の量子乱数発生器の概略図である。本発明の一実施形態を表す、第２の量子乱数発生器の概略図である。本発明の一実施形態を表す、第３の量子乱数発生器の概略図である。本発明の一実施形態を表す、生カウントの数列から２進数の乱数列を生成する様子を示す図である。敵対者が存在するシナリオ下での図１１に示される量子乱数発生器を示す図である。本発明の一実施形態を表す、最小エントロピーのプロット図である。２進数の乱数列を生成するための本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す制御フロー図である。図１８のステップ１８０８において呼び出され、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す、「生の２進数列を生成する」ルーチンのための制御フロー図である。図１８のステップ１８０６において呼び出され、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す、「トモグラフィ解析」ルーチンのための制御フロー図である。図１８のステップ１８１０において呼び出され、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す、「生の２進数列を選別（または変更）する」ルーチンのための制御フロー図である。

Claims

光学ベースの自己検証乱数発生器（１１００、１２００、１３００）であって、
コヒーレント状態にある量子系を生成するように構成された状態発生器（１１０２）と、
前記量子系を４つの異なる偏光状態のうちの１つに射影し、及び、該４つの異なる偏光状態のそれぞれを検出するように構成された偏光状態解析器（１１０４）と、
前記量子系を単一光子に変換し、及び、第１の２進数に対応する第１の偏光状態と、第２の２進数に対応する第２の偏光状態とのいずれかにある前記単一光子を検出するように構成された生ビット発生器（１１０６）と、
前記偏光状態解析器及び前記生ビット発生器から、前記偏光状態に対応する信号を受信し、及び、前記単一光子の前記第１の偏光状態及び前記第２の偏光状態に基づいて乱数を出力するように構成されたシステムコントロール（１１０８）
とを備える、自己検証乱数発生器。
前記状態発生器（１１０２）は、
レーザダイオードと、
電球と、
発光ダイオード
とのうちの１つをさらに含む、請求項１に記載のシステム。
前記量子系は電磁放射のパルスをさらに含む、請求項１に記載のシステム。
前記偏光状態解析器（１１０４）が、
前記量子系を第１の反射量子系と第１の透過量子系に分割するように構成された第１のビームスプリッタであって、前記第１の反射量子系と前記第１の透過量子系はいずれも第１の偏光状態にある、第１のビームスプリッタ（１２０２）と、
前記第１の透過量子系を第２の反射量子系と第２の透過量子系に分割するように構成された第２のビームスプリッタであって、前記第２の反射量子系と前記第２の透過量子系はいずれも前記第１の偏光状態にあり、該第２の透過量子系は前記生ビット発生器に向けて送られる、第２のビームスプリッタ（１２０４）と、
前記第１の偏光状態にある前記第１の反射量子系を受け、及び、第２の偏光状態にある前記第１の反射量子系を出力するように構成された半波長板（１２０６）と、
前記第１の偏光状態にある前記第２の反射量子系を受け、及び、第３の偏光状態にある前記第２の反射量子系を出力するように構成された４分の１波長板（１２０８）と、
前記第１の反射量子系を第１の水平偏光量子系と第１の垂直偏光量子系に分割するように構成された第１の偏光ビームスプリッタ（１２１０）と、
前記第２の反射量子系を第２の水平偏光量子系と第２の垂直偏光量子系に分割するように構成された第２の偏光ビームスプリッタ（１２１２）と、
４つのフォトダイオード検出器であって、該フォトダイオード検出器の各々が、前記水平偏光量子系と前記垂直偏光量子系のうちの一方を検出するように構成された、４つのフォトダイオード検出器（１２１４−１２１７）
とをさらに備えることからなる、請求項１に記載のシステム。
前記偏光状態解析器（１１０４）が、
前記量子系を反射量子系と透過量子系に分割するように構成されたビームスプリッタであって、前記反射量子系及び前記透過量子系はいずれも第１の偏光状態にあり、該透過量子系は前記生ビット発生器に向けて送られる、ビームスプリッタ（１３０２）と、
前記反射量子系を受け、及び、発散量子系を出力するように構成された凹レンズ（１３０４）と、
前記発散量子系を受け、及び、４つの量子系を出力するように構成された象限偏光フィルタであって、前記４つの量子系はそれぞれ４つの偏光状態のうちの１つにあることからなる、象限偏光フィルタ（１３０６）と、
前記４つの偏光状態にある前記４つの量子系のそれぞれを別個に検出するように構成された象限フォトダイオード検出器（１３０８）
とをさらに備えることからなる、請求項１に記載のシステム。
前記生ビット発生器（１１０６）が、
前記コヒーレント状態にある前記量子系を真空状態と前記単一光子とのいずれかに変換するように構成された減衰器であって、前記単一光子は直交する第１の偏光状態と第２の偏光状態との線形重ね合わせにあることからなる、減衰器（１１２０）と、
前記第１の偏光状態にある前記単一光子を透過し、及び、前記第２の偏光状態にある前記単一光子を反射するように構成された偏光ビームスプリッタ（１２２４）と、
前記偏光ビームスプリッタに接続された遅延ファイバであって、前記第２の偏光状態にある前記単一光子を伝送するように構成された遅延ファイバ（１２２６）と、
前記第１の偏光状態と前記第２の偏光状態とのいずれかにある前記単一光子を検出し、及び、対応する信号を前記システムコントロールに出力するように構成された単一光子カウントモジュール（１２３０）
とをさらに備えることからなる、請求項１に記載のシステム。
前記システムコントロール（１１０８）は、前記偏光状態解析器から出力される信号であって、それぞれが前記４つの異なる偏光状態のうちの１つの検出を表すところの信号を受信し、前記システムコントロールは、さらに、前記生ビット発生器から出力される信号であって、それぞれが前記単一光子の偏光状態を表すところの信号を受信し、トモグラフィ解析を実行して、前記生ビット発生器から出力される信号のランダム性を検証することからなる、請求項１に記載の乱数発生器。
光学ベースの自己検証乱数発生器（１４００）であって、
コヒーレント状態にある量子系を生成するように構成された状態発生器（１１０２）と、
前記量子系を、それぞれが前記コヒーレント状態にある複数の別個の量子系に分割するように構成されたビームスプリッタ（１４０２）と、
複数の偏光フィルタであって、該偏光フィルタのそれぞれは、前記複数の量子系のそれぞれを異なる偏光状態に射影するように構成されてなる、複数の偏光フィルタ（１４０４−１４０９）と、
前記複数の量子系のうちの第１の量子系を減衰させるように構成された第１の減衰器（１４１２）と、
前記複数の量子系のうちの第２の量子系を減衰させるように構成された第２の減衰器（１４１４）と、
複数のフォトダイオードであって、該フォトダイオードのそれぞれが前記複数の別個の量子系のうちの１つを検出するように構成されてなる、複数のフォトダイオード（１４１６−１４２１）と、
前記フォトダイオードのそれぞれから出力される信号であって、それぞれが前記複数の異なる偏光状態のうちの１つの検出を表すところの信号を受信し、及び、２進数の乱数を出力するように構成されたシステムコントロール（１１０８）
とを備える、自己検証乱数発生器。
前記状態発生器（１１０２）はさらにレーザダイオードを備える、請求項８に記載のシステム。
前記６つのフォトダイオード（１４１６−１４２１）は、６つの前記量子系のうちの第１の量子系と第２の量子系を検出するように構成された２つのアバランシェフォトダイオードと、４つの残りの量子系を検出するように構成された４つのＰＩＮフォトダイオードをさらに備えることからなる、請求項８に記載のシステム。