KR102302612B1 - 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법, 이를 이용한 양자암호 인증방법, 이를 위한 사용자 단말기 및 서버 - Google Patents

양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법, 이를 이용한 양자암호 인증방법, 이를 위한 사용자 단말기 및 서버 Download PDF

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Abstract

광케이블이 설치되지 않아 인공위성을 통해서 광자를 전송하는 경우, 광자의 편광이 중력으로 인해 시공간의 휨에 의해 오류를 보정함으로써 암호인증의 정확도를 향상시킬 수 있는 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법, 이를 이용한 양자암호 인증방법, 이를 위한 사용자 단말기 및 서버가 개시된다. 이러한 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법은, 전자 계산기가, 송신자로부터 편광된 광을 수신하고 수신자에게 전송하는 위성까지의 거리를 수신하는 단계와, 전자계산기가, 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하는 단계, 및 상기 전자계산기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 이용하여, 중력에 의한 공간의 휘어짐으로 인한 편광의 회전량을 계산하는 단계를 포함한다.
이때, 상기 전자계산기는,
Figure 112020072184266-pat00196

의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산할 수 있다(이 식에서, 편광의 회전량은 2Θ, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).

Description

양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법, 이를 이용한 양자암호 인증방법, 이를 위한 사용자 단말기 및 서버{METHOD OF GRAVITY-INDUCED ERROR CORRECTION IN QUANTUM CRYPTOGRAPHY SYSTEM, METHOD OF QUANTUM CRYPTOGRAPHY USING THE SAME, AND USER TERMINAL AND SERVER}
본 발명은 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법, 이를 이용한 양자암호 인증방법, 이를 위한 사용자 단말기 및 서버에 관한 것으로, 보다 상세히, 인공위성 기반의 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법, 이를 이용한 양자암호 인증방법, 이를 위한 사용자 단말기 및 서버에 관한 것이다.
아인슈타인의 "Spooky action at a distance"는 최근 중국의 묵자 위성(Micius Satellite) 발사와 함께 전세계 시공간 양자 통신으로 빠르게 발전하고 있다. 양자 이론 테스트를 위해 길이와 시간 척도를 상대적인 거리와 속도로 확장한다. 이러한 환경에서 양자와 중력 이론의 얽힘을 이해하는 것이 가장 중요하지만 그 영향이 양자 비트 오류율(QBER: Quantum Bit Error Rate)에 미치는 영향은 완전히 이해되거나 확인되지 않은 상태이다. 양자 시스템이 고전적인 곡선 시공간에서 진화하는 정권에서의 실험조차도 완전히 평가된 적이 없다. 여기, 본 발명자는 지상 관측소와 지구 궤도에있는 위성 사이의 중력장에 의해 유도 된 기하학적 위상을 관찰하기 위해 위그너 회전(Wigner Rotation)의 유니터리의 축소할 수 없는 표현으로 광자 상태를 설명한다. 위그너 회전에는 일반적인 상대론적이거나 고전적인 양자 성분이 있다는 것이 밝혀졌다. 관측자가 나선형 궤도에 있을 때, 양자 성분은 지구 궤도의 고도에 따라 10-6도에서 10-4 도로 얻어지며, 이는 측정 가능해야 한다. 중력장에 의해 생성 된이 양자 회전은 양자의 얽힘과 광자 상태에 대한 일반적인 상대성의 결과이며 양자 시스템에 대한 중력 효과를 테스트하기위한 길을 열 것이다.
양자 키 분배 (QKD: Quantum Key Distribution)는 두 당사자 (Alice와 Bob)간에 공유 임의 비밀 키를 생성하여 키 복사 시도를 감지하는 프로세스이다. 본질적으로 안전한 특성으로 인해 광섬유 기반 QKD는 여러 상용 장치에서 구현되었다. 또한, 계산 및 컴퓨팅 능력이 기하 급수적으로 증가함에 따라 글로벌 보안 키 분배에 대한 위협이 증가함에 따라 자유 공간 기반 QKD 시스템이 다양한 실행 가능한 연구에 의해 적극적으로 추구되고 시연되었다. 편광 상태 외에도 광자의 양자화 된 선형 운동량(LM) 또는 궤도 각 운동량(OAM) 상태를 이용하는 키 분포 (HD-QKD)는 자유 공간 QKD에 유리하다. 이러한 시스템은 대역폭을 유지하거나 증가시키면서 양자 채널의 충실도 요구 사항을 줄일 수 있다. 이러한 특성을 활용하여 자유 공간 OAM 기반 QKD가 210 미터 거리에서 공중에서 시연되었다.
또한, SPACEQEST 및 QEYSSAt 프로젝트와 같이 LEO 위성과 광 지상국 사이의 양자 통신에 대한 몇 가지 제안이 보고되었다. 대부분은 일반 상대론적 현상보다는 양자 광학을 주로 고려 해왔다. 그러나 중력장은 고도 변화에 따라 양자 상태의 월드 라인을 따라 양자 비트 오류율 (QBER)에 상당한 기여를한다. 이러한 정보 손실은 중력장이 소멸 양자 채널과 같은 역할을 한다는 것을 암시한다. 특히, 광자 상태의 편광 및 선형 운동량에 대한 일반적인 상대론적 효과는 궤도 위성에서의 양자 정보 처리에 중요하다. 최근에, LEO-to-ground 링크에서 마이크로 위성 기반의 양자 제한 통신 실험이 보고되었다. 분극 인코딩은 대기를 통한 안정적인 전파로 인해 자유 공간 링크를 갖는 QKD에 대한 합리적인 옵션인 반면, 타임-빈 인코딩은 파이버 네트워크에서 널리 사용되는 것으로 밝혀졌다. 이러한 종류의 시스템에서 가장 큰 과제는 LEO 위성과 광 지상국 사이의 편광 기준 프레임 동기화로 중력장에서 QKD 프로토콜을 안정적으로 구현하는 것이다. 일반적인 상대론적 관점에서 광자가 중력장을 통해 전파될 때 광자의 편광과 선형 운동량의 변화에 관한 연구가 있었지만, 일반적인 상대성 이론을 가진 양자 시스템의 연구는 주로 적절한 시간 및 시간 팽창 효과에 집중되어 있었다.
구부러진 시공간에서 움직이는 관측자(예를 들어, 위성)에 의해 관찰 된 광자 상태를 설명하려면 현대 물리학의 두 가지 핵심적인 부분인 양자 역학과 일반 상대성 이론을 모두 이해해야 한다. 양자 정보의 상대론적 처리를 위한 개념적 장벽 중 하나는 상대론적 양자 이론의 파동 장과 상태 벡터의 역할 차이이다. 비 상대적 양자 역학에서 슈뢰딩거 방정식의 파동 함수는 보존된 입자 밀도 또는 밀도 매트릭스를 정의하는 데 사용할 수 있는 확률 진폭을 제공한다. 그러나 상대론적 방정식은 유니터리 입자의 확률파에 대한 간접적인 표현일 뿐이라는 사실이 밝혀졌다. 1939 년 위그너(Wigner)는 상대론적 입자의 양자 상태가 파동 방정식을 사용하지 않고 공식화될 수 있다는 아이디어를 제안했다. 자유 입자의 상태는 포앙카레(Poincare) 그룹의 유니터리의 축소할 수 없는 표현(Uinitary irreducible representation)으로 제공된다. 위그너(Wigner)의 공식에서, 다른 관성 프레임의 상대론적 입자 상태는 위그너(Wigner) 회전이라고 불리는 포앙카레(Poincare) 그룹의 축소할 수 없는 표현에서 작은 그룹 요소와 관련이 있다.
위그너(Wigner)의 원래 제안은 특수 상대성 이론에 대한 것이었지만, 일반 상대성 이론의 영역으로 확장하려는 시도는 여러 차례 있었다. 위그너의 그룹을 곡선 시공간으로 확장하려면 모든 이벤트에서 표준 방향 (xyz)이 필요하다. 국소 좌표를 정의하기 위해 테트라드(tetrads, 프레임 필드)를 도입함으로써 곡선 공간에서의 이동 입자 상태가 위그너 회전에 의해 서로 변환되는 것으로 나타났다. 자유 공간 QKD 시스템의 경우, 지구 궤도와 지구 궤도 근처의 위성 사이에서 관찰 된 광자의 선형 편광 회전을 유도한다. 따라서 양자 이론에 대한 일반 상대론적 효과를 테스트하기위한 기본 관점뿐만 아니라 정밀 양자 계측 및 자유 공간 양자 통신에 대한 적용 관점에서도 특히 중요한 문제가 될 것이다.
본 발명자의 연구에서, 지구 지상국에서 0이 아닌 각도 운동량을 갖는 자유 낙하 관측기로 전송 된 광자에 의해 경험된 미세한 위그너 회전의 존재가 입증되었다. 본 발명자는 지구의 시공간을 쉬바르츠실트(Schwarzschild) 시공간으로 모델링하여 테트라드장(tetrads field)을 전 세계적으로 방향보존 좌표 기준으로 정의할 수 있으며, (-+ + +) 메트릭 시그니쳐를 사용한다. 또한, 시공간에 대한 양자장 이론은 주어진 편광으로 광자의 양자 상태에 사용될 스피너 구조를 수용한다고 가정한다. 양자 시스템이 고전적인 곡선 시공간에서 진화하는 체제의 실험적 평가에 대해 많은 작업이 수행되지 않았음을 고려하면, 본 발명자의 모델은 양자 시스템에 대한 중력 효과를 조사하기 위한 테스트 베드를 제공 할 수 있다.
본 발명이 해결하고자 하는 과제는, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 제공하는 것이다.
본 발명이 해결하고자 하는 다른 과제는, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 이용한 양자암호 인증방법을 제공하는 것이다.
본 발명이 해결하고자 하는 다른 과제는, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 이용한 양자암호 인증방법을 위한 사용자 단말기 및 서버를 제공하는 것이다.
이러한 과제를 해결하기 위한 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법은, 전자 계산기가, 송신자로부터 편광된 광을 수신하고 수신자에게 전송하는 위성까지의 거리를 수신하는 단계와, 전자계산기가, 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하는 단계, 및 상기 전자계산기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 이용하여, 중력에 의한 공간의 휘어짐으로 인한 편광의 회전량을 계산하는 단계를 포함한다.
이때, 상기 전자계산기는,
Figure 112020072184266-pat00001
의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산할 수 있다(이 식에서, 편광의 회전량은 2Θ, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한 양자암호 인증방법은, 서버가 임의의 비트를 생성하는 단계와, 상기 서버가 상기 임의의 비트를 전송할 전송필터를 선택하는 단계와, 상기 서버가, 전송필터에 따라 편광된 광자를 위성으로 송신하는 단계와, 사용자 단말기가, 상기 광자를 수신할 수신필터를 선택하는 단계와, 상기 사용자 단말기가, 상기 사용자 단말기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하는 단계와, 상기 사용자 단말기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 이용하여, 중력에 의한 공간의 휘어짐으로 인한 편광의 회전량을 계산하는 단계와, 상기 사용자 단말기가, 상기 편광의 회전량을 고려하여, 상기 수신필터를 회전시키는 단계와, 상기 사용자 단말기가, 상기 수신필터를 통해서 상기 위성으로부터 송신되는 광자를 수신하는 단계와, 상기 서버와 상기 수신자가, 서로 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 공유하는 단계와, 공유된 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 통해서, 상기 서버는 제1 비밀키를 생성하과 상기 수신자는 제2 비밀키를 생성하는 단계와, 상기 사용자 단말기가, 상기 제2 비밀키를 상기 서버에 전송하는 단계, 및 상기 서버가, 상기 제1 비밀키와 제2 비밀키의 일치여부를 확인하는 단계를 포함한다.
이때, 상기 사용자 단말기는,
Figure 112020072184266-pat00002
의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산할 수 있다(이 식에서, 편광의 회전량은 4Θ, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
한편, 상기 사용자 단말기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하는 단계에서, 상기 사용자 단말기는, 상기 위성 또는 상기 서버로부터 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신할 수 있다.
또한, 상기 서버와 상기 수신자가, 서로 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 공유하는 단계에서, 상기 서버와 상기 수신자는, 유선 통신망 및 무선 통신망 중 적어도 어느하나로 구성되는 통신 네트워크를 통해서, 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 공유할 수 있다.
또한, 상기 서버가 상기 임의의 비트를 전송할 전송필터를 선택하는 단계와 상기 사용자 단말기가, 상기 광자를 수신할 수신필터를 선택하는 단계 중 적어도 하나의 단계에서 이루어지는 선택은 랜덤 선택일 수 있다.
본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 수행하기 위한 서버는, 랜덤비트 생성부, 전송필터 선택부, 광 전송부, 통신부, 비밀키 생성부 및 인증부를 포함한다. 상기 랜덤비트 생성부는 랜덤비트를 생성한다. 상기 전송필터 선택부는 편광을 송신하기 위한 전송필터를 선택한다. 상기 광 전송부는 생성된 랜덤비트를, 선택된 전송필터를 통해서 편광된 광자로 변환시켜 전송한다. 상기 통신부는, 사용자 단말기로부터 수신필터 정보를 수신하고, 상기 전송필터 정보를 상기 사용자 단말기로 전송한다. 상기 비밀키 생성부는 상기 수신된 수신필터 정보에 따라서 상기 랜덤비트를 이용하여 제1 비밀키를 생성한다. 상기 인증부는 상기 사용자 단발기로부터 제2 비밀키를 수신하여 상기 제1 비밀키와 비교함으로써 사용자 인증을 수행한다.
이때, 상기 전송필터 선택부는 상기 전송필터를 랜덤하게 선택할 수 있다.
본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 수행하기 위한 사용자 단말기는, 수신필터 선택부, 수신필터 보정부, 광 수신부, 통신부 및 비밀키 생성부를 포함한다. 상기 수신필터 선택부는 서버로부터 전송되는, 편광된 광자를 수신하기 위한 수신필터를 선택한다. 상기 수신필터 보정부는 상기 수신필터의 각도를 보정한다. 상기 광 수신부는 보정된 상기 수신필터를 통해서, 위성으로부터 상기 편광된 광자를 수신한다. 상기 통신부는 서버로부터 전송필터 정보를 수신하고, 상기 서버에 상기 수신필터 정보를 송신한다. 상기 비밀키 생성부는 상기 광 수신부를 통해서 수신된 상기 편광된 광자 정보, 상기 전송필터 정보 및 상기 수신필터 정보를 이용해서 제2 비밀키를 생성한다. 이때, 상기 통신부는 상기 제2 비밀키를 상기 서버에 전송한다.
이때, 상기 수신필터 보정부는,
Figure 112020072184266-pat00003
의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산하고, 4Θ 만큼 수신필터를 회전시킬 수 있다(이 식에서, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
한편, 상기 수신필터 선택부는 상기 수신필터를 랜덤하게 선택할 수 있다.
이와 같이 본 발명에 의하면, 광케이블이 설치되지 않아 인공위성을 통해서 광자를 전송하는 경우, 광자의 편광이 중력으로 인해 시공간의 휨에 의해 오류를 보정함으로써 암호인증의 정확도를 향상시킬 수 있다.
도 1은 지구 위성 시스템의 회로도로서, 도 1-(a)는 지구 위성 시스템과 해당 좌표로서, 광자의 측지선과 편광은 각각 빨간색 선과 연한 녹색 화살표로 표시되며, 광자의 파동 벡터 및 편광은 각각의 국소 프레임 에서 측정되고(도 1-(b)), 표준 프레임 에서 비교된다(도 1-(c)).
도 2는 관측자 (위성)와 광자의 궤도의 개략도로서, 광자 이동의 측지선은 일정한 φ-평면에 있으며 관측자 측지선은 등변 평면(θ=π/2)에 놓여 있고, 그림 2-(a)에서 A, B 및 C는 방사상으로 원형 궤도에서 나선형으로 회전하는 거대한 자유 낙하 관측기의 측지선을 나타내고, 그림 2- (b)는 광자의 발사각을 도시한다.
도 3은 0이 아닌 각도 운동량을 갖는 자유 낙하 관측자의 테트라드를 해석하기위한 개념도로서, 고전 IWA의 리딩 항(leading term)은 파동 벡터의 방사형 성분에만 의존하기 때문에 무한 및 전체 고전 위그너 회전은 각각
Figure 112020072184266-pat00004
및
Figure 112020072184266-pat00005
로 나타난다.
도 4는 원형 궤도 (도 4-(a)와 (b))와 나선형 궤도 (도 4- (c) 및 (d))의 경우에, 주황색 실선의 고전적 부분, 파란색 실선의 양자 부분, 녹색 선의 전체 WRA를 도시한다.
도 5는 원형 궤도에 대해 0이 아닌 각운동량을 갖는 자유낙하 관측자의 무한 클래식 회전 및 양자 회전 대 아핀 파라미터의 관계를 도시한다.
도 6은 양자암호 인증방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 7은 본 발명에 의한 양자암호 인증방법이 수행되는 주체들 간의 관계를 도시한 다이어그램이다.
도 8은 도 6의 수신필터의 보정 전과 보정 후를 도시한 개념도이다.
도 9는 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한 서버를 도시한 블럭도이다.
도 10은 본 발명의 예시적인 일 실시에에 의한 사용자 단말기를 도시한 블럭도이다.
본 발명은 다양한 변경을 가할 수 있고 여러 가지 형태를 가질 수 있는 바, 특정 실시예들을 도면에 예시하고 본문에 상세하게 설명하고자 한다. 그러나, 이는 본 발명을 특정한 개시 형태에 대해 한정하려는 것이 아니며, 본 발명의 사상 및 기술 범위에 포함되는 모든 변경, 균등물 내지 대체물을 포함하는 것으로 이해되어야 한다. 각 도면을 설명하면서 유사한 참조 부호를 유사한 구성 요소에 대해 사용하였다. 첨부된 도면에 있어서, 구조물들의 치수는 본 발명의 명확성을 기하기 위하여 실제보다 과장하여 도시한 것일 수 있다.
제1, 제2 등의 용어는 다양한 구성 요소들을 설명하는데 사용될 수 있지만, 상기 구성 요소들은 상기 용어들에 의해 한정되어서는 안 된다. 상기 용어들은 하나의 구성 요소를 다른 구성 요소로부터 구별하는 목적으로만 사용된다. 예를 들어, 본 발명의 권리 범위를 벗어나지 않으면서 제1 구성 요소는 제2 구성 요소로 명명될 수 있고, 유사하게 제2 구성 요소도 제1 구성 요소로 명명될 수 있다.
본 출원에서 사용한 용어는 단지 특정한 실시예들을 설명하기 위해 사용된 것으로, 본 발명을 한정하려는 의도가 아니다. 단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한, 복수의 표현을 포함한다. 본 출원에서, "포함하다" 또는 "가지다" 등의 용어는 명세서에 기재된 특징, 숫자, 단계, 동작, 구성 요소, 부분품 또는 이들을 조합한 것이 존재함을 지정하려는 것이지, 하나 또는 그 이상의 다른 특징들이나 숫자, 단계, 동작, 구성 요소, 부분품 또는 이들을 조합한 것들의 존재 또는 부가 가능성을 미리 배제하지 않는 것으로 이해되어야 한다. 또한, A와 B가'연결된다', '결합된다'라는 의미는 A와 B가 직접적으로 연결되거나 결합하는 것 이외에 다른 구성요소 C가 A와 B 사이에 포함되어 A와 B가 연결되거나 결합되는 것을 포함하는 것이다.
다르게 정의되지 않는 한, 기술적이거나 과학적인 용어를 포함해서 여기서 사용되는 모든 용어들은 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 것과 동일한 의미를 가지고 있다. 일반적으로 사용되는 사전에 정의되어 있는 것과 같은 용어들은 관련 기술의 문맥상 가지는 의미와 일치하는 의미를 가지는 것으로 해석되어야 하며, 본 출원에서 명백하게 정의하지 않는 한, 이상적이거나 과도하게 형식적인 의미로 해석되지 않는다. 또한, 방법 발명에 대한 특허청구범위에서, 각 단계가 명확하게 순서에 구속되지 않는 한, 각 단계들은 그 순서가 서로 바뀔 수도 있다.
이하, 본 발명의 실시예를 보다 상세히 설명한다.
위그너(Wigner) 회전의 축소할 수 없는 표현
광자의 힐베르트 공간 벡터는 테트라드,
Figure 112020072184266-pat00006
, (
Figure 112020072184266-pat00007
및 μ = 0, 1, 2, 3)에 의해 확장있는 국소 관성 프레임에 정의되며, 이는 각각 일반 좌표계 및 국부 로렌츠 변환
Figure 112020072184266-pat00008
및
Figure 112020072184266-pat00009
하에서 만족스럽게 변환된다. x에서 x + δx 로의 무한소 변환 하에서 테트라드의 변이는 벡터의 변화없이 동일한 탄젠트 평면에서 두 벡터를 비교하기 위해 아래의 수학식 1과 같이 병렬 전송으로 기술된다.
Figure 112020072184266-pat00010
관측자의 실험실에서 광자의 파동 벡터가 측정되는 경우 파동 벡터
Figure 112020072184266-pat00011
의 국소 공변량 성분은 광자의 측지선을 따라,
Figure 112020072184266-pat00012
에서
Figure 112020072184266-pat00013
으로, 다음의 수학식 2와 같이 변경된다.
Figure 112020072184266-pat00014
휘어진 시공간에서의 광자 상태는 기하 광학 한계에서 널 측지선(null geodesic)을 따르고 테트라드의 국소 무한 변화는 비대칭적이므로, 수학식 2는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00015
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00016
이다. 다시 말해, 무한소 변환의 효과는
Figure 112020072184266-pat00017
에 의해 주어진 무한 로컬 로렌츠 변환으로 간주될 수 있다. 본 명세서에서, 모자(hat)가 씌워진 라틴어 문자 및 그리스 문자는 각각 로컬 관성계 및 일반 좌표계를 의미한다.
로렌츠 변환, Λ는 아래의 수학식 4에 의해 주어진 헬리시티(helicity), σ를 갖는 광자 상태에 대한 1 차원 표현을 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00018
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00019
는 위그너의 소그룹 요소이며
Figure 112020072184266-pat00020
로 정의된다.
Figure 112020072184266-pat00021
는 W의 축소할 수 없는 표현이다. L (k)는 L(p)k = p가되도록 Lorentz 변환이다.
따라서, 광자 상태의 변위는 Wigner 회전 각도 (WRA)라고하는 양자 위상으로 이어진다. Lorentz 변환의 축소할 수 없는 유니터리 표현의 명시적 표현을 얻으려면 적절한 Lorentz 그룹과 이중 표지(double cover)
Figure 112020072184266-pat00022
사이의 표준 그룹 동형(canonical group homomorphism)을 사용한다. 광자의 파동 벡터 k는
Figure 112020072184266-pat00023
를 통해 에르미트 행렬 K에 매핑되는데, 여기서,
Figure 112020072184266-pat00024
은 Pauli 행렬이며,
Figure 112020072184266-pat00025
은 2x2 항등 행렬이다. 로렌츠 변환은,
Figure 112020072184266-pat00026
의 원소 A 를 통해서 다음의 수학식 5와 같이 유사성 변환(similarity transformation)으로 표현된다.
Figure 112020072184266-pat00027
질량이 없는 입자의 소그룹 요소의 축소할 수 없는 유니터리 표현은 아래의 수학식 6으로 표현된다.
Figure 112020072184266-pat00028
여기서 Ψ(Λ, k)는 WRA이다. a, b, c, d, α, β, γ 및 δ에 대한 자세한 표현은 뒤에 설명될 보충 정보(SI)에 나와 있다. 따라서, 국소 무한 로렌츠 변환은 무한소 위그너 회전 (IWR: Infinitesimal Wigner Rotation)으로 이어지고 총 위그너 회전은 광자의 측지 궤적 x(ξ)에 대해 IWR의 시간 순서 적분에 의해 얻어 질 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00029
여기서,
Figure 112020072184266-pat00030
이고, T는 시간 순서 연산자이다.
Figure 112020072184266-pat00031
및
Figure 112020072184266-pat00032
은, 각각 무한소 및 전체 WRA이다. 또한, LTΛ 하에서, 편광 벡터
Figure 112020072184266-pat00033
는 표준 프레임에서 다음의 수학식 8과 같이 변환될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00034
위의 공식에서,
Figure 112020072184266-pat00035
은
Figure 112020072184266-pat00036
-축에 대한 전체 WAR 만큼 회전을 나타낸다.
모델
본 발명에서 본 발명자는 도 1에서 도시된 지구 위성 시스템을 고려한다. 도 1-(a)는 지구 위성 시스템과 해당 좌표를 보여준다. 광자는 적색선으로 표시되는 측지선과 위성의 로컬 프레임에서 측정된 연한 녹색 화살표로 표시되는 편광을 따라 전송된다. 지구 표면과 위성에서 측정된 편광을 비교하기 위해 광자의 파동 벡터가 관측자의 로컬 프레임의 세 번째 축에 정렬되는 표준 프레임을 소개한다 (도 1-(b) 및 (c)). 먼저, 고정 관측자, 방사상 자유 낙하 관측자, 원형에서 0이 아닌 각 운동량을 갖는 자유 낙하 관측자 및 나선형 궤도의 네 가지 경우를 고려한다 (도 2-(a)). 부스트 방향과 파동 벡터가 평면 또는 평면에 있는 경우 위그너 회전의 특수 상대성 관계에서 각도가 0이다. 그러나 광자가 평면에서 이동하고 평면에서 관측자가 이동하는 경우 WRA가 반드시 0 일 필요는 없다. 이에 상응하는 동등성 원칙에 따라 모든 관측자는 평면, 즉 상수 φ 평면에서 이동하는 반면 광자의 측지선은 적도 평면에 남아 있다고 가정한다 (도 2-(b)).
본 발명자는 슈바르츠실트(Schwarzschild) 메트릭을 사용하여 지구 주위의 시공간을 모델링하고 테트라드의 공간과 같은 구성 요소를 선택하여 로컬 프레임의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 축이 무한대에서 슈바르츠실트 좌표 r, θ 및 φ의 단위 벡터가 된다. 즉,
Figure 112020072184266-pat00037
이며,
Figure 112020072184266-pat00038
=1, 2 및 3은 각각 b = r, θ 및 φ에 해당한다. 회전하지 않는 로컬 프레임을 정의하기 위해 고정 및 자유 낙하 관측기에 각각 Fermi-walker 전송 및 병렬 전송 조건을 적용한다. 자세한 내용은 뒤에 설명될 보충 정보(SI)에 나와 있다. Schwarzschild 좌표를 기반으로 로컬 프레임을 설정할 때 극좌표 정의로 인한 회전을 취소해야한다. 다시 말해, 좌표
Figure 112020072184266-pat00039
의 단위 벡터가 좌표 φ가 변함에 따라 회전하기 때문에, 파동 벡터가 φ 축에 정렬 될 때 회전을 취소하기 위해 로컬 프레임의 세 번째 축으로 φ 축을 선택한다. 편광 비교. 대응하는 테트라드의 시간과 같은 성분들,
Figure 112020072184266-pat00040
은 각각의 경우에 대응하는 측지선을 따라 이동하는 거대한 입자 (예를 들어, 위성)의 4-속도 벡터로 설정되어 관측자의 국부적 프레임을 기술한다. 관측자의 4-속도 벡터 및 광자의 파동 벡터는 슈바르츠실트 시공간 (SI#)의 킬링 벡터로부터 정의 된 보존된 양의 관점에서 얻어진다. 본 발명자는 등가원리를 만족시키기 위해서, 에너지, εphoton를 주파수로 설정하고,
Figure 112020072184266-pat00041
이므로, 관측자의 단위 질량 당 에너지 εobs를 1로 설정하였다(
Figure 112020072184266-pat00042
). 자세한 내용은 보충 정보 (SI)에 나와 있다. 본 발명자는 광자의 발사각을 45도로(도 2-(b)), 관측자의 단위 질량 당 각운동량을
Figure 112020072184266-pat00043
로 선택하여 4-속도 벡터의 방사상 성분과 극좌표 성분이 슈바르츠실트 좌표에서 동일한 값을 갖도록 하였다(
Figure 112020072184266-pat00044
). 여기서 rearth는 지구의 반지름이고 rs는 Schwarzschild 반지름이다.
결과
식의 관찰에. (8) 모든 매개 변수가 실수이면 이 방정식의 결과는 항상 실수이다. 다시 말해, 수학식 8 가상의 Wigner 각도를 피하려면 단결해야한다. 따라서 모든 매개 변수가 실제이므로 첫 번째와 두 번째 경우에는 WRA가 0이다. 모든 매개 변수가 실수가 아닌 경우 무한 Winger 회전 각도 (IWA)는 아래의 수학식 9와 같이 주어진다.
Figure 112020072184266-pat00045
이것은, 각도 운동량을 갖는 자유 낙하 관측자인 마지막 두 경우에 해당한다. IWA는 세 번째 축을 중심으로 한 고전적인 회전
Figure 112020072184266-pat00046
과 Wigner의 작은 그룹 요소에 의해 유발 된 양자 회전
Figure 112020072184266-pat00047
으로 구성된다. 원형 궤도의 경우, 평행 이동은 구 좌표에 의해 유도된 회전을 보상하여 관측자가 -rθ만큼 이동할 때 테트라드의 공간적 구성 요소가 θ만큼 회전하여 작은 클래식 WRA로 이어진다. 나선 궤도의 경우, 평행 운송은 2Θ(r) 만큼 제3 축을 중심으로 테트라드를 회전시키며, 이것은 다음과 같이 기술된다.
Figure 112020072184266-pat00048
여기서 lobs는 관측자의 단위 질량 당 각 운동량을 나타낸다. 도 3에서는 나선형 궤도의 경우 기존 IWA를 해석하기위한 개념적 그림을 보여준다(고전적인 IWA의 주요 용어는 파동 벡터의 방사 성분에만 의존하기 때문에 SI를 참조). 광자의 각도 운동량을 무시함으로써 시스템을 단순화 할 수 있다. 테트라드는 중력에 의해
Figure 112020072184266-pat00049
을 중심으로 회전하며 광자가 지구에서 멀어짐에 따라 슈바르츠실트 좌표와 비대칭적으로 동일해진다. 따라서 무한 및 전체 클래식 위그너 회전은 각각
Figure 112020072184266-pat00050
및
Figure 112020072184266-pat00051
로 기술된다.
아래의 표 1은 IWA와 상이한 지구 궤도에의 테트라드의 회전각도를 비교한 것이다.
Figure 112020072184266-pat00052
위의 표 1에서, IWA (일반 상대론적 효과)의 고전적인 부분인 테트라드의 회전 각도
Figure 112020072184266-pat00053
와 양자 회전
Figure 112020072184266-pat00054
은 지구 표면에서 다양한 지구 궤도의 고도에서 원형 및 나선형 궤도와 비교되었다.
Figure 112020072184266-pat00055
은 거의 동일한 두 각도
Figure 112020072184266-pat00056
및
Figure 112020072184266-pat00057
에 의해 고전적인 회전을 나타내는 것이 확인되었다. 또한, 원형 궤도는 전술 한 바와 같이 나선형 케이스에 비해 고전 각이 훨씬 적다는 것을 알 수 있다. 도 4-(a) 및 (b)는 원형 케이스의 총 WRA를 보여준다. 고전 부분 (일반 상대론적 회전)과 양자 부분은 각각 주황색 실선과 파란색 실선으로 표시된다. 총 WRA는 도 4-(b)에 나와 있다. 도 4-(c)와 (d)는 나선형 케이스에 해당한다. 마찬가지로, 고전 및 양자 부분은 도 4 (c)에 도시되고, 도 4 (d)는 전체 WRA를 도시한다. 표준 BB84 프로토콜의 경우 이는 LEO의 경우 1.21 %, MEO의 경우 17.2 % 인 QBER(Quantum Bit Error Rate)에 해당한다. 이것은 최근의 분석과 일치하며, 근거리에서 우주에 가까운 QKD 시스템은 광자 상태의 얽힘 분포에 의존하여 시공간 곡률로 인해 QBER에 최대 0.7 %의 추가 기여가있을 수 있으며 이러한 효과는 관찰 가능함을 보여준다.
결론과 토론
본 발명에서 본 발명자는 Schwarzschild 시공간에서 광자 상태의 위그너 회전을 연구하여 편광의 회전을 연구했다. 지구의 중력장은 슈바르츠 실트 (Schwarzchild) 메트릭에 의해 설명된다. 원형 및 나선형 궤도에서의 운동량. 처음 두 경우의 경우 계산 된 Wigner 각도는 0이다. 본 발명자는 두 가지 방법으로 마지막 두 경우에 대해 0이 아닌 Wigner 각도를 계산한다. 나선형 궤도의 테트라드는 물리적인 의미를 찾기에는 너무 복잡한 형태를 가지고 있다. 두 가지 접근 방식이 동일한 결과를 최대 16 개의 유효 수치로 나타낸다. 원형 케이스는 WRA가 0이 아니지만 순서는 NEO 및 LEO이다. 나선형 사례의 경우 WRA의 양자 부분은 NEO와 무한대에 있다. 이러한 결과는 이전의 기존 추정치보다 훨씬 크다. 또한, 총 Wigner 회전 각도는 NEO 및 무한대이며 LEO 및 MEO의 경우 양자 비트 오류율에 각각 QBER 1.21 및 17.2 %를 기여할 것으로 예상된다.
보충 정보(SI)
(1)본 발명에서 사용된 아핀 파라미터를 가진 광자의 에너지
일반 상대성 이론에서, 라그랑지안 L은, 슈바르츠실트 메트릭의 선분요소로 아래의 수학식 S1의 형태로 선택될 수 있음이 잘 알려져있다.
Figure 112020072184266-pat00058
이식에서 슈바르츠실트 메르릭은 아래의 수학식 12와 같이 정의된다.
Figure 112020072184266-pat00059
라그랑지안이 특정 좌표 (
Figure 112020072184266-pat00060
)에 의존하지 않으면 운동 방정식은 일부 양의 보존을 의미한다. 구체적으로, 운동 방정식은 다음의 수학식 13과 같이 기술된다.
Figure 112020072184266-pat00061
위의 수학식으로부터, 아래의 수학식 14의 아이덴티티가 유지된다.
Figure 112020072184266-pat00062
슈바르츠실트 시공간에서, 시간 t 및 방위각 φ는 메트릭에서 순환 좌표이므로, 시간 및 방위각
Figure 112020072184266-pat00063
은 일정하다. 따라서, 수학식 14로부터, 아래 수학식 15의 2 개의 보존양 e,ㅣ을 따라 수학식 1과 같이 정의된다.
Figure 112020072184266-pat00064
여기서, 이 두 개의 보존된 양은 매우 큰 단위 정지 질량 e 당 에너지라고하며, 매우 낮은 속도에서 각각 단위 휴식 질량 당 원점 및 각 운동량으로부터의 거리이다. 간결하게하기 위해 본 발명에서는‘e’에너지와‘l’각운동량이라고 한다. 광자의 경우 슈바르츠실트 메트릭의 측지선 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00065
Figure 112020072184266-pat00066
왜냐하면, 질량이없는 입자의 모든 파동 벡터는 널(null) 벡터이기 때문이다. 즉, 명시적인 형태의 파동 벡터와 이에 대응하는 듀얼 벡터를 아래와 같이 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00067
Figure 112020072184266-pat00068
등가원리에 의해, 방사상 자유 낙하 테트라드로 정의된 국부 관성 프레임의 파동 벡터는 아래와 같이, 평평한 시공간의 파동 벡터와 동일한 형태를 가져야 한다.
Figure 112020072184266-pat00069
다시 말해서, 테트라드의 시간 성분을 가진 파동 벡터의 내적은 평평한 시공간에서의 광자의 각 주파수와 같아야 한다.
Figure 112020072184266-pat00070
따라서.
Figure 112020072184266-pat00071
에서, 광자의 에너지가에서 측정된 광자의 주파수와 같다.
(2) 위그너 회전의 파라미터 의존성
광자의 각 파동 벡터에 대응하는 에르미트 행렬은 다음과 같이 정의된다.
Figure 112020072184266-pat00072
여기서,
Figure 112020072184266-pat00073
은 2x2 단위 행렬이고,
Figure 112020072184266-pat00074
(i = 1, 2, 3)은 Pauli 행렬이다. 따라서 K는 아래의 수학식 23과 같은 형태를 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00075
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00076
이다. 그러면,
Figure 112020072184266-pat00077
SL(2,C)에는, 어떠한 로렌츠 변환에 대해서 수학식 S14와 같은 행렬 A가 존재한다.
A는 SL(2,C)의 원소이기 때문에, 다음과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00078
이 식에서, A의 행렬식(determinant)는 1이다. 즉,
Figure 112020072184266-pat00079
. 위그너의 소그룹 원소
Figure 112020072184266-pat00080
에 대해서, SL(2,C)안의 행렬 S(Λ,k)을
Figure 112020072184266-pat00081
와 아래의 수학식 S16과 같이 정의할 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00082
이 식에서, Ak는 L(k)에 대응하고,
Figure 112020072184266-pat00083
는 k로 변환되며, 여기서,
Figure 112020072184266-pat00084
이며, Ak 는 다음과 같은 형태를 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00085
만일, K'이 다음과 같은 형태를 갖도록 씌여질 수 있다면,
Figure 112020072184266-pat00086
이식에서,
Figure 112020072184266-pat00087
, 그러면 다음과 같은 수학식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00088
Figure 112020072184266-pat00089
Figure 112020072184266-pat00090
Figure 112020072184266-pat00091
그러면,
Figure 112020072184266-pat00092
는 다음과 같은 형태를 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00093
이 식에서, z는 임의의 복소수이다. 위의 수학식들로부터 다음의 수학식이 유도될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00094
더욱이, 행렬 S는 다음의 형태로 다시 기술될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00095
이러한 그룹의 어떠한 임의의 두 원소의 곱은 다음과 같이 된다.
Figure 112020072184266-pat00096
환언하면, 다음의 법칙이 구해질 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00097
따라서, 이러한 군(group)은 E(2) 그룹이다.
E (2)의 최소의 유니터리 표현에는 두 가지 클래스가 있다. 하나는 무한 치수 표현(infinitesimal representation)이고 다른 하나는 1 차원 표현이다. 그러나 전자는 본질적인 연속 자유도를 가지고 있다. 따라서, 광자에 대한 로렌츠 변환은 1 차원으로 표현되는데, 그 이유는 광자가 연속적인 자유도를 갖지 않기 때문이다. 이러한 표현은 다음의 형태로 기술된다.
Figure 112020072184266-pat00098
여기서,
Figure 112020072184266-pat00099
위그너 각이다. 그러면, 수학식 36의
Figure 112020072184266-pat00100
의 일차식까지 전개는 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00101
유한 Wigner 회전은 광자를 통해 측광 궤적 x (ξ)에 걸쳐 무한 Wigner 회전을 시간 순서대로 통합하여 구축 할 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00102
이식에서,
Figure 112020072184266-pat00103
이며, T는 시간순서 연산자이다.
만약 호모지니어스 로렌츠 변환이
Figure 112020072184266-pat00104
와 같이 기술되면, 위그너 각은
Figure 112020072184266-pat00105
에 관계된다. 이러한 점을 살펴보기 위해서, A를
Figure 112020072184266-pat00106
로 전개하면, 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00107
A의 행렬식이 1이라는 조건으로부터
Figure 112020072184266-pat00108
임을 알 수 있다. 환언하면, A는 다음과 같이 기술될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00109
앞의 수학식들과, tr(σaσb)=2δab로부터 다음의 수학식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00110
이식에서, tr(A)는 A의 트레이스이다. 위의 수학식으로부터 다음의 방정식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00111
실수 파라미터
Figure 112020072184266-pat00112
는 정의에 의해 다음의 형태를 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00113
Figure 112020072184266-pat00114
를 위의 방정식들에 대입하면, 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00115
Figure 112020072184266-pat00116
Figure 112020072184266-pat00117
이러한 과정에서,
Figure 112020072184266-pat00118
의 일차식까지만 계산하였다. 이러한 파라미터를 이용하여 다음의 수학식이 얻어진다.
Figure 112020072184266-pat00119
Figure 112020072184266-pat00120
이러한 계산들로부터 다음의 수학식을 볼 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00121
따라서, 정지상태에서 제로 각운동량을 갖는 자유낙하 관찰자는 Wigner 회전을 관측할 수 없게 된다.
복소수 파라미터
모든 파라미터들이 실수가 아닌 경우,
Figure 112020072184266-pat00122
는 다음의 형태를 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00123
이식에서, Re(
Figure 112020072184266-pat00124
)는
Figure 112020072184266-pat00125
의 실수부분이다. 위의 방정식들은 다음과 같이 다시씌여질 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00126
Figure 112020072184266-pat00127
Figure 112020072184266-pat00128
이 식에서, Im(
Figure 112020072184266-pat00129
)는
Figure 112020072184266-pat00130
의 허수부를 나타낸다. 위의 방정식들로부터, 다음의 수식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00131
또한, 다음과 같은 수학식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00132
Figure 112020072184266-pat00133
또한, 이러한 수학식들로부터 아래의 수학식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00134
정의로부터 무한소(infinitesimal) 위그너 각은 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00135
정지 관측자의 테트라드(tetrads)
테트라드
Figure 112020072184266-pat00136
는 다음을 만족한다.
Figure 112020072184266-pat00137
정지해 있는 관측자 밥(Bob)의 경우, 그의 로컬 프레림은 수학적으로 슈바르츠실트 시공간에서 다음의 테트라드에 의해 정의될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00138
이 테트라드는 모든 점들이 시간과 같은 사분면의 시간 및 공간 요소와 무관하기 때문에 각 점에서 정적 국소 관성 프레임을 나타낸다. 여기서 i = 1, 2, 3 및 공간 사분면의 시간 성분, 여기서 α = r, θ, φ는 0이다. 해당 ILLT (Infinitesimal Local Lorentz Transformation) 매트릭스는 다음과 같이 주어진다.
Figure 112020072184266-pat00139
방정식에 정의 된 모든 매개 변수를 쉽게 볼 수 있다. 위의 방정식은 이 ILLT 매트릭스에 실제이다. 따라서 정지 상태의 밥(Bob)은 0이 아닌 위그너 회전 각도를 관찰 할 수 없다.
0이 아닌 각운동량을 갖는 자유낙하 관측자의 테트라드
관찰자는 무한대의 정지상태에서 시작하여 반경 방향 안쪽으로 낙하한다. 앞의 수학식에서 정의된 관측자의 에너지와 각 운동량은 각각 1과 0이다. 따라서, 4 속도 벡터의 시간유사 성분은
Figure 112020072184266-pat00140
이고, 4 속도 벡터의 φ-방향 성분은 0이다. 관측자가, θ=π/2 평면을 따라 이동한다고 가정하기 때문에 θ-방향의 구성 요소도 0이다. t-방향의 성분을 다음 방정식으로 대체하면,
Figure 112020072184266-pat00141
r-방향의 성분을 얻을 수 있다. 이 경우, ILLT 행렬은 다음과 같이 주어진다.
Figure 112020072184266-pat00142
0이 아닌 각운동량 I를 갖는 자유낙하 관측자의 테트라드(나선궤도)
이 경우에도 e = 1 이라고 가정한다. 각운동량을 갖는 자유낙하 관측자는 다음과 같은 4 속도 벡터를 가지게 된다.
Figure 112020072184266-pat00143
이고, 이식에서, ur은 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00144
0이 아닌 각도 운동량을 갖는 자유낙하 관측자의 테트라드 세트 중 하나는 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00145
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00146
이다. 수직조건을 이용하면, 이러한 테트라드는 다음과 같이 보다 일반적으로 기술될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00147
비 회전 프레임을 얻으려면 테트라드를 평행으로 이동해야한다. 따라서 다음 조건이 유지되어야 한다.
Figure 112020072184266-pat00148
환언하면,
Figure 112020072184266-pat00149
Figure 112020072184266-pat00150
은 근사적으로
Figure 112020072184266-pat00151
와 같기 때문에, 다음의 관계를 추론할 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00152
환언하면, 이러한 테트라드는 대략적으로 다음과 같이 근사될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00153
일차항
Figure 112020072184266-pat00154
을 무시하면, 물리적인 의미는 보다 명확해진다. 테트라드는 다음과 같이 기술될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00155
따라서 회전하지 않고 각운동량이 0이 아닌 자유낙하하는 테트라드는, 3 차원 공간으로 투영될 수 있고, 관찰자의 이동 방향이
Figure 112020072184266-pat00156
회전 할 때.
Figure 112020072184266-pat00157
의 2 배만큼 회전한다는 결론을 내릴 수 있다. 각운동량
Figure 112020072184266-pat00158
및
Figure 112020072184266-pat00159
의 1 차 오더 근사에 의해 테트라드는 다음과 같이된다.
Figure 112020072184266-pat00160
상기 ILLT 행렬은 다음과 같이 주어진다.
Figure 112020072184266-pat00161
따라서, 0이 아닌 각운동량을 갖고 자유낙하하는 관측자는 다음과 같이 0이 아닌 위그너 각도를 볼 수 있게 된다.
Figure 112020072184266-pat00162
0이 아닌 각운동량 I를 갖는 자유낙하 관측자의 테트라드(원궤도)
이 경우 계산의 단순화를 위해 e = 1이라고 가정한다. e = 1 인 각도 운동량으로 자유롭게 떨어지는 관측자는 다음과 같이 4 속도 벡터를 갖는다.
Figure 112020072184266-pat00163
이식에서, ur은 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00164
또한, 4-속도 벡터의 레이디얼 성분을 0(null)으로 강제함으로써, 다음의 수학식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00165
마찬가지로, 비회전 조건을 부가하여, 다음의 수학식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00166
rs/r의 1차 오더를 무시하면, 테트라드는 다음과 같이 기술될 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00167
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00168
이다.
즉, 테트라드를 3 차원 공간으로 투영함으로써, 관측자가에 rθ 움직일 때 테트라드는 -θ 회전한다는 것을 알 수 있다. 이것은 평행 이동 조건에 의해 유도 된 회전이 구형 좌표계의 영향을 보상하기 때문에 이것은 비 상대론적 효과이다. 도 5는 원형 궤도에 대해 0이 아닌 각운동량을 갖는 자유낙하 관측자의 무한 클래식 회전 및 양자 회전 대 아핀 파라미터의 관계를 도시한다. 관찰자의 각운동량을
Figure 112020072184266-pat00169
로 세팅하였다.
위그너 각으로부터 편광의 회전각까지
Figure 112020072184266-pat00170
Figure 112020072184266-pat00171
Figure 112020072184266-pat00172
Figure 112020072184266-pat00173
Figure 112020072184266-pat00174
이 결과는 위그너 각도가 표준 프레임에서만 편광 회전 각도와 동일하다는 것을 알려준다. 그러나 본 발명자의 3-축은 파동 벡터와 평행하지 않다. 따라서 위그너 회전을 다른 회전으로 분해하여 위그너 회전에 의해 유도된 파동 벡터에 대한 회전 각도를 얻을 수 있으며, 이는 편광 회전 각도에 해당된다. 만약, 회전이
Figure 112020072184266-pat00175
로 표시되면, 회전은 축 단위 벡터
Figure 112020072184266-pat00176
및 대응하는 회전 각도
Figure 112020072184266-pat00177
을 갖는
Figure 112020072184266-pat00178
로 표시되는 3 개의 연속적인 회전으로 분해 될 수 있다. 상호 직교 축을 고려할 때, 다음 관계가 유지된다[유한 회전의 분해].
Figure 112020072184266-pat00179
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00180
이다. 여기에서는 무한소(infinitesimal) 각도가 다루어지기 때문에, 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00181
이 경우, 단위벡터
Figure 112020072184266-pat00182
는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112020072184266-pat00183
계수 bi는다음의 정의로부터 얻어질 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00184
그러면, 위의 수학식들로부터 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00185
대응하는 무산소 편광회전은 다음과 같다.
Figure 112020072184266-pat00186
노-비틀림(Torsion-free)
본 명세서에 사용된 모든 테트라드는 비틀림이 없다. 테트라드에 의해 기술 된 국부 프레임이 아래의 수학식으로 기술되는 비틀림 텐서의 성분을 국부적으로 계산함으로써 비틀림이 있는지의 여부를 쉽게 확인할 수 있다.
Figure 112020072184266-pat00187
이 식에서,
Figure 112020072184266-pat00188
,
Figure 112020072184266-pat00189
이다.
양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법
이러한 결과로부터, 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법은, 전자 계산기가, 송신자로부터 편광된 광을 수신하고 수신자에게 전송하는 위성까지의 거리를 수신하는 단계와, 전자계산기가, 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하는 단계, 및 상기 전자계산기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 이용하여, 중력에 의한 공간의 휘어짐으로 인한 편광의 회전량을 계산하는 단계를 포함한다.
이때, 상기 전자계산기는, 수학식 10과 같이,
Figure 112020072184266-pat00190
의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산할 수 있다(이 식에서, 편광의 회전량은 2Θ, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
양자암호 인증방법
양자 키 분배(Quantum Key Distribution)는 안전한 통신을 위한 암호체계이다. 1984년 C. H. Bennett과 G. Brassard가 제안하였으며, 기존에 있던 대부분의 암호체계가 대부분 수학적 복잡성에 기반하는데 비해, 양자암호는 자연현상에 기반하고 있는 특징을 띄며, 암호에 사용되는 원타임 패드를 생성하는 이상적인 방법 중 하나다. 중간에 도청자가 난입할 경우 그 존재가 드러나며, 신호가 왜곡되어 도청자도 정확한 정보를 얻을 수 없는 보안성을 띄고 있다. 가장 대표적인 양자암호(Quantum Cryptography) 체계이다.
도 6은 양자암호 인증방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 6을 참조하면, 양자암호 인증방법은, 먼저 송신자(서버)가 임의의 비트를 생성한다(1단계). 이때, 상기 임의의 비트는 랜덤하게 선택되는 것이 바람직하다. 예컨대, 선택된 임의의 비트를 도 6과 같이 [0 1 1 0 1 0 0 1]로 가정한다.
이후, 송신자(서버)는 선택된 임의의 비트를 전송할 전송필터를 선택한다(단계2). 전송필터는 +-필터와 ×-필터 중에서 어느 하나를 선택할 수 있다. 상기 +-필터와 상기 ×-필터는 모두 선형편광을 필터링 하는 것으로, +-필터는 90/270도에서 선형으로 진동하는 광 또는 0/180도에서 선형으로 진동하는 광을 필터링하고, ×-필터는 45/225도에서 선형으로 진동하는 광 또는 135/315도에서 선형으로 진동하는 광을 필터링하게 된다. 이때, 상기 송신자(서버)는 +-필터와 ×-필터 중에서 랜덤하게 선택하는 것이 바람직하다. 예컨대, [0 1 1 0 1 0 0 1]의 각각의 비트를 전송하기 위한 필터로 [+ + × + × × × +]를 선택했다고 가정한다.
한편, 송신자(서버)와 수신자(사용자 단말기)는 예컨대 다음과 같은 조건을 공유하고 있다. 즉, 0비트는 +-필터를 통과한 90/270도 선형편광 또는 ×-필터를 통과한 45/225도 선형편광에 대응하고, 1비트는 +-필터를 통과한 0/180도 선형편광 또는 ×-필터를 통과한 135/315도에서 선형편광에 대응한다.
그러면, 선택된 전송필터로 필터링되어 전송되는 광자의 편광은 도 6의 3단계에서 도시된 바와 같다.
한편, 수신자(사용자 단말기)는 편광된 광자를 수신할 수신필터를 선택한다(4단계). 이때, 수신자(사용자 단말기)는 +-필터와 ×-필터 중에서 랜덤하게 수신필터를 선택하는 것이 바람직하다. 이러한 선택은 수신이전에 미리 선택할 수도 있고, 수신과 동시에 선택이 이루어질 수도 있다. 예컨대, 수신자(사용자 단말기)는 도 6과 같이 [+ × × × + × + +] 선택했다고 가정한다.
이 상태에서, 수신자가, 선택된 수신필터를 이용하여 송신자(서버)가 전송한 광자를 측정한 결과는 도 6과 같다. 측정과정에서, 편광의 진동방향과 수신필터의 방향이 일치하지 않는 경우, 광자가 수신필터에 맞게 상태가 변화하게 된다. 예컨대, 두번째 비트 1의 경우, 송신되는 광자의 진동은 0/180도 선형편광이었으나, ×-필터를 통과하여 45/225도 선형편광으로 변화된 것을 볼 수 있다. 그러나, 135/315도에서 선형편광으로 변화될 수도 있다.
이후, 송신자(서버)와 수신자(사용자 단말기)는 전송필터와 수신필터의 자료를 공유한다(6단계). 이후, 전송필터와 수신필터가 일치하는 열의 비트를 선택하여 송신자는 제1 비밀키를, 수신자는 제2 비밀키를 생성하게 된다. 즉, [0 1 1 0 1 0 0 1]의 비트중에서 1, 3, 6, 8열의 비트[0 1 0 1]을 각각 제1 및 제2 비밀키로 생성하게 된다. 이후, 수신자(사용자 단말기)가 생성된 비밀키를 송신자(서버)에 전송하여, 송신자가 보유하고 있는 제1 비밀키와 수신자로부터 수신된 제2 비밀키를 비교함으로써, 수신자를 인증할 수 있다.
한편, 도청자가, 송신자(서버)로부터 전송되는 광자를 중간에서 가로채기 위해서, 수신필터를 임으로 선택하여 광자를 계측하게 되는 경우, 수신자와 동일한 수신필터를 선택하게 되는 경우, 문제가 없으나, 상이하게 되는 경우, 광자의 편광상태가 변화하게 되고, 수신자(사용자 단말기)가 선택한 수신필터에 의해 상태가 또 다시 변화하게 된다. 그로 인해서 송신자(서버)의 송신필터와 수신자(사용자 단말기)의 수신필터가 동일함에도 불구하고, 0 -> 1, 1 -> 0으로 변하게 되어, 도청자의 존재를 알 수 있게 된다. 따라서, 비트수가 증가하게 되면, 도청자는 수신자의 수신필터와 동일한 수신필터들을 선택해야 되므로, 도청이 실질적으로 불가능하게 되는 것이다.
도 7은 본 발명에 의한 양자암호 인증방법이 수행되는 주체들 간의 관계를 도시한 다이어그램이다.
도 7을 참조하여, 앞서 설명된 양자암호 인증방법을 수행하기 위해서, 인공위성(120)을 통해서 광자를 전송하는 경우를 설명한다.
광케이블이 연결되지 않은 경우, 서버(110)는 인공위성(120)을 통해서 광자를 사용자 단말기(130)에 전송하게 된다. 도 7에서 LC는 광통신을 N은 유선 통신망 및 무선 통신망 중 적어도 어느 하나로 구성되는 통신 네트워크를 의미한다.
즉, 광자의 전송은 자유공간을 통한 통신라인(LC)을 통해서 수행하고, 송신필터 및 수신필터에 대한 정보교환은 통신 네트워크(N)을 통해서 수행될 수 있다. 이와 다르게, 송신필터 및 수신필터에 대한 정보교환 또한 전자기파를 이용한 통신으로 인공위성(120)을 통해서 수행될 수도 있다.
이러한 위성을 통한 양자암호 인증에는 앞서 설명한 바와 같이, 중력에 의한 시공간의 휨으로 인해서 광자의 편광의 회전을 보정하는 단계가 추가될 수 있다.
즉, 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한 양자암호 인증방법에 의하면,
서버가 임의의 비트를 생성하고, 상기 서버가 상기 임의의 비트를 전송할 전송필터를 선택하고, 상기 서버가, 전송필터에 따라 편광된 광자를 위성으로 송신한다. 이러한 과정은 앞서 설명되었으므로 추가적인 상세한 설명은 생략한다.
또한, 사용자 단말기가, 상기 광자를 수신할 수신필터를 선택하고, 상기 사용자 단말기가, 상기 위성까지의 거리 및 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하고, 상기 사용자 단말기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 이용하여, 중력에 의한 공간의 휘어짐으로 인한 편광의 회전량을 계산한다.
이때, 상기 사용자 단말기는,
Figure 112020072184266-pat00191
의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산할 수 있다(이 식에서, 편광의 회전량은 4Θ, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
즉, 서버(110)가 인공위성(120)으로 광자를 전송하는 과정에서, 광자의 편광이 2Θ 만큼 회전하고, 인공위성(120)에서, 사용자 단말기(130)에 전전송하는 과정에서, 광자의 편광이 2Θ 만큼 회전하게 되어, 서버(110)와 사용자 단발기(130) 사이의 회전량은 4Θ만큼 회전하게 되는 것이다.
상기 사용자 단말기가, 상기 편광의 회전량을 고려하여, 상기 수신필터를 도 8에서 도시된 것과 같이 회전시킨다.
이후, 상기 사용자 단말기가, 상기 수신필터를 통해서 상기 위성으로부터 송신되는 광자를 수신하고, 상기 서버와 상기 수신자가, 서로 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 공유한 후, 공유된 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 통해서, 상기 서버는 제1 비밀키를 생성하과 상기 수신자는 제2 비밀키를 생성하고, 상기 사용자 단말기가, 상기 제2 비밀키를 상기 서버에 전송한 후, 상기 서버가, 상기 제1 비밀키와 제2 비밀키의 일치여부를 확인한다. 이러한 과정은 앞서 설명되었으느모, 상세한 설명은 생략한다.
한편, 상기 사용자 단말기가, 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신하는 단계에서, 상기 사용자 단말기는, 상기 위성 또는 상기 서버로부터 상기 위성까지의 거리와 상기 위성의 단위질량당 각운동량을 수신할 수 있다.
또한, 상기 서버와 상기 수신자가, 서로 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 공유하는 단계에서, 상기 서버와 상기 수신자는, 유선 통신망 및 무선 통신망 중 적어도 어느하나로 구성되는 통신 네트워크를 통해서, 상기 전송필터 및 상기 수신필터의 정보를 공유할 수 있다.
또한, 상기 서버가 상기 임의의 비트를 전송할 전송필터를 선택하는 단계와 상기 사용자 단말기가, 상기 광자를 수신할 수신필터를 선택하는 단계 중 적어도 하나의 단계에서 이루어지는 선택은 랜덤 선택일 수 있다.
도 9는 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한 서버를 도시한 블럭도이다.
도 9를 참조하면, 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 수행하기 위한 서버(110)는, 랜덤비트 생성부(111), 전송필터 선택부(112), 광 전송부(113), 통신부(114), 비밀키 생성부(115) 및 인증부(116)를 포함한다.
상기 랜덤비트 생성부(111)는 랜덤비트를 생성한다.
상기 전송필터 선택(112)부는 편광을 송신하기 위한 전송필터를 선택한다. 이때, 상기 전송필터 선택부(112)는 상기 전송필터를 랜덤하게 선택할 수 있다.
상기 광 전송부(113)는 생성된 랜덤비트를, 선택된 전송필터를 통해서 편광된 광자로 변환시켜 전송한다.
상기 통신부(114)는, 사용자 단말기로부터 수신필터 정보를 수신하고, 상기 전송필터 정보를 상기 사용자 단말로 전송한다.
상기 비밀키 생성부(115)는 상기 수신된 수신필터 정보에 따라서 상기 랜덤비트를 이용하여 제1 비밀키를 생성한다.
상기 인증부(116)는 상기 사용자 단발기로부터 제2 비밀키를 수신하여 상기 제1 비밀키와 비교함으로써 사용자 인증을 수행한다.
도 10은 본 발명의 예시적인 일 실시에에 의한 사용자 단말기를 도시한 블럭도이다.
도 10을 참조하면, 본 발명의 예시적인 일 실시예에 의한, 양자암호 시스템의 중력에 의한 오류 보정 방법을 수행하기 위한 사용자 단말기(130)는, 수신필터 선택부(131), 수신필터 보정부(132), 광 수신부(133), 통신부(135) 및 비밀키 생성부(134)를 포함한다.
상기 수신필터 선택부(131)는 서버로부터 전송되는, 편광된 광자를 수신하기 위한 수신필터를 선택한다.
상기 수신필터 보정부(132)는 상기 수신필터의 각도를 보정한다.
상기 광 수신부(133)는 보정된 상기 수신필터를 통해서, 위성으로부터 상기 편광된 광자를 수신한다.
상기 통신부(135)는 서버로부터 전송필터 정보를 수신하고, 상기 서버에 상기 수신필터 정보를 송신한다.
상기 비밀키 생성부(134)는 상기 광 수신부를 통해서 수신된 상기 편광된 광자 정보, 상기 전송필터 정보 및 상기 수신필터 정보를 이용해서 제2 비밀키를 생성한다.
이후, 상기 통신부(135)는 상기 제2 비밀키를 상기 서버에 전송한다.
이때, 상기 수신필터 보정부(132)는,
Figure 112020072184266-pat00192
의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산하고, 4Θ 만큼 수신필터를 회전시킬 수 있다(이 식에서, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
한편, 상기 수신필터 선택부는 상기 수신필터를 랜덤하게 선택할 수 있다.
이와 같이 본 발명에 의하면, 광케이블이 설치되지 않아 인공위성을 통해서 광자를 전송하는 경우, 광자의 편광이 중력으로 인해 시공간의 휨에 의해 오류를 보정함으로써 암호인증의 정확도를 향상시킬 수 있다.
앞서 설명한 본 발명의 상세한 설명에서는 본 발명의 바람직한 실시예들을 참조하여 설명하였지만, 해당 기술분야의 숙련된 당업자 또는 해당 기술분야에 통상의 지식을 갖는 자라면 후술될 특허청구범위에 기재된 본 발명의 사상 및 기술 영역으로부터 벗어나지 않는 범위 내에서 본 발명을 다양하게 수정 및 변경시킬 수 있음을 이해할 수 있을 것이다.
110: 서버
111: 랜덤비트 생성부 112: 전송필터 선택부
113: 광 전송부 114: 통신부
115: 비밀키 생성부 116: 인증부
120: 위성
130: 사용자 단말기
131: 수신필터 선택부 132: 수신필터 보정부
133: 광 수신부 134: 비밀키 생성부
135: 통신부

Claims (10)

  1. 삭제
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  6. 삭제
  7. 삭제
  8. 삭제
  9. 서버로부터 전송되는, 편광된 광자를 수신하기 위한 수신필터를 선택하는 수신필터 선택부;
    상기 수신필터의 각도를 보정하는 수신필터 보정부;
    보정된 상기 수신필터를 통해서, 위성으로부터 상기 편광된 광자를 수신하는 광 수신부;
    서버로부터 전송필터 정보를 수신하고, 상기 서버에 상기 수신필터 정보를 송신하는 통신부; 및
    상기 광 수신부를 통해서 수신된 상기 편광된 광자 정보, 상기 전송필터 정보 및 상기 수신필터 정보를 이용해서 제2 비밀키를 생성하는 비밀키 생성부;
    를 포함하고, 상기 통신부는 상기 제2 비밀키를 상기 서버에 전송하며,
    상기 수신필터 보정부는,
    Figure 112021080974128-pat00195

    의 관계식에 의해 편광의 회전량을 계산하고, 4Θ 만큼 수신필터를 회전시키는 것을 특징으로 하는 사용자 단말기(이식에서, lobs는 위성의 단위질량당 각운동량, r은 위성까지의 거리, rs는 지구의 슈바르츠실트 반지름).
  10. 삭제
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