CN101473299A - 基于光的自鉴别量子随机数发生器 - Google Patents

Abstract

本发明的各种不同实施方案均系针对生成随机数的方法和系统。在一种实施方案中，量子随机数发生器(1100，1200，1300)包括：状态发生器(1102)，配置它生成相干状态的量子系统；极化状态分析器(1104)，配置它来将量子系统投射至四种不同极化态中之一种极化态并检测此四种不同极化态中的每个极化态；原始位发生器(1106)，配置它来把量子系统转换成单光子并检测此单光子是处在与第一二进制数相对应的第一极化态还是处在与第二二进制数相对应的第二极化态；以及系统控制装置(1108)，配置它接收来自极化状态和原始位发生器的信号，这些信号与极化态相对应，并根据单光子的第一和第二极化态来输出随机数。

Description

基于光的自鉴别量子随机数发生器

相关申请的交叉引用

本申请为2006年4月20日提交的美国专利申请No.11/407,513的部分后继申请。

技术领域

本发明涉及到随机数发生器，特别是使用量子光学系统的量子力学特性产生随机数序列的方法和系统。

背景技术

随机数在许多领域中都有应用，包括游戏、统计采样、求解积分方程、粒子输运计算、以及统计物理学中的计算，仅举此几例。因此，随机数发生器(“RNG”)在使用随机数的方法和系统中扮演了十分突出的角色。例如，RNG就是安全系统的关键部件并且广泛地用于生成加密技术的密钥。理想的RNG产生出事先不能预测且不能可靠复制的数。换言之，RNG在理论上可生成无偏随机数序列。但是，许多常用的RNG要么是生成形似随机数序列要么是可能易于生成偏置数序列。

已经在软件上实现了采用公式和数字法生成形似随机数序列的RNG。基于软件的RNG通常是基于分式的RNG，并且称之为“伪随机数发生器”，因为只要使用同样的初始参数，这些公式就能够预测和复制伪随机数序列。递归的莱默(Lehmer)伪随机数发生器(“LPNG”)就是常用伪随机数发生器的实例，其由下式给出：

x_n+1＝Ax_n+C(mod M)

式中

X_n是随机数序列的第n个数；及

A，C，和M为可进行调整以保证由LPNG所产生的数序列看似随机的参数。

通常指定M为所用计算机计算伪随机数序列的字长，指定X₀，即启动源，为某一质数。例如，对A，C，和M分别赋以数值21，1和32(5位)，及对X₀赋值以质数13时，LPNG产生以下伪随机整数：13，18，27，24，25，14，7，等的序列。其他可选用的方法使用每次启动伪随机数发生器时由计算机系统时钟所产生的时间来启动伪随机数发生器。不过，即使是使用由系统时钟所提供的时间也并不是绝对无误的，因为在启动伪随机数发生器时就能够确定这一时间。

此外还已经开发出基于硬件的RNG，它从由原子，分子和电系统所产生的热噪声中观测到的无序波动来产生随机数序列。例如，由流过电导体的电流来产生热噪声，这种热噪声通过使数与电压平衡波动的大小相关联可以用作为随机数序列的源。由于导体内电子的随机运动，无论是否存在有外加电压都会出现热噪声。但是，基于硬件的RNG并非总是随机数序列的可靠源，因为基于硬件的RNG所使用的系统易于受到环境变化的影响。例如，用来产生随机数序列的基于电噪声的RNG通过改变系统的温度能够偏移。此外，通常用来鉴别由基于硬件之RNG所产生的序列的随机性的方法是基于确定性软件的方法，这些方法能够用来确定序列在统计上是否性能良好，但不能用来计算序列的实际随机性。

量子随机数发生器(“QRNG”)是另一类基于硬件的RNG。QRNG是基于相量子系统的量子力学特性。通过使每个数与对量子系统进行的测量的结果相关联能够产生随机数序列。以这种方式产生的随机数是真正随机的，因为每个测量在进行测量的时候都将量子系统的状态投射到多种可能状态中的一种状态，而且根据量子力学的标准解释，测量方法和测量设备无论怎么改进都不能克服对量子系统所进行的测量的结果中的不确定性。因此，QRNG是产生随机数序列的最理想的系统。

只包括由“|0>”和“|1>”表示的两个离散状态的量子系统能够用来实现QRNG。双态量子系统的实例包括电磁场的垂直和水平极化态、原子系统的两个能态、以及电子或原子核的两个自旋态。具有两个离散态的量子系统称为“量子位系统(qubit system)”，状态|0>和|1>称为“量子位基态(qubit basis state)”，其也可以在集合表示法中表示{|0>，|1>}。量子位系统可存在于状态|0>，状态|1>，或同时包括状态|0>和|1>的无数状态中的任何状态。包括|0>和|1>的任何状态在数学上都能够表示成线性叠加状态：

|ψ>＝α|0>+β|1>

状态|Ψ>称为“量子位”，参数α和β是复数值系数，其满足条件：

|α|²+|β|²＝1

在|0>和|1>是由对处在状态|Ψ>的量子位系统进行的测量所确定的两个可能状态时，求出处在状态|0>的量子位系统的概率为|α|²，求出处在状态|1>的量子位系统的概率为|β|²。于是就说是对处在基态{|0>，|1>}的量子位系统在进行测量。

与量子位系统相关的无数个状态在几何学上可以用称为“布洛赫球(Bloch sphere)”的单位半径的三维球体表示：

$|\mathrm{\ψ}\⟩=\cos \left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)|0\⟩+e^{\mathrm{i\φ}}\sin \left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)|1\⟩$

式中

0≤θ<π，及

0≤φ<2π。

图1图示出量子位系统的布洛赫球图。如图1所示，直线101-103分别为互相垂直的x，y，和z和笛卡尔坐标(直角坐标)轴，布洛赫球106的球心在原点。布洛赫球106上有无数个点，每个点代表量子位系统的一个特有状态。例如，布洛赫球106上的点108表示量子位系统的同时包括部分的状态|0>和部分状态|1>的特有状态。但是，量子位系统的状态一旦以基态{|0>，|1>}测量时，量子位系统的状态就被投射到状态|0>110或状态|1>112。

图2图示出基于虚拟单极化分束器的QRNG200。QRNG200包括极化分束器202，两个光子检测器204和206，以及光子源208。分束器202包括夹在两个棱镜212与214之间的多层介电薄膜210。分束器202有输入通道216和两个输出通道218和220。通道216，218和220代表光纤或自由空间。分束器202反射被量直极化的电磁辐射并传输水平极化的电磁辐射。分束器202和光子源208能够用来产生随机数如下。当光子源208输出在与分束器202平面成45°被极化的电磁辐射的单个光子时，相关联的相干线性叠加状态由下式给出：

式中

|V>代表光子的垂直极化态；

|H>代表光子的水平极化态。

垂直和水平极化态|V>和|H>为在45°极化的单个光子的正交基态，观测极化态|V>和|H>可以分别为“0”和“1”关联起来。光子保持在状态|45°>直至光子要么在光子检测器D₁204要么在光子检测器D₂206被检测到为止。状态|45°>各系数的平方表示有1/2的概率在检测器D₁204检测光子|V>，有1/2概率在检测器D₂206检测光子|H>。换言之，在检测器204检测光子能够与产生二进制值“1”相关联，在检测器206检测光子能够与产生二进制值“0”相关联。因为检测哪一种极化态的概率都是1/2，产生二进制值“0”或“1”就是真随机事件。

QRNG200能够用来产生可分割成随机n位字序列的随机二进制数序列。随机n位字序列可用在各种各样的随机数应用之中。例如，QRNG200能够用来产生0-31间的随机整数序列如下。在检测器D₂206检测到光子|H>时，二进制数“0”就加到二进制数序列，而在检测器D₁204检测到光子|V>时，二进制数“1”就被加到同一二进制序列。假定接连30次产生状态|45°>产生出如下随机二进制数序列：

000110101011100101010111100100

此随机二进制数序列可以分割成5位的字给出以2为底的随机数序列00011，01010，11100，10101，01111，和00100，然后其又可转换成以10为底的随机整数分别为3，10，28，21，15，和4相应序列。

虽然QRNG200看起来是提供了产生随机数序列的简便的方法与系统，但通过修改光子源208，QRNG200可能更易于产生伪随机数。例如，获得对光子源208控制的对于能够使光子源208偏置，使得由光子源208输出的相干线性叠加的光子可用如下状态表示：

$|\mathrm{\&chi;}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{3}}|V\&rang;+\sqrt{\frac{2}{3}}|H\&rang;$

因此，QRNG200产生一个二进制数偏置序列，其中所产生的二进制数均有2/3等于“0”，所产生的二进制数约1/3等于“1”。另外，通常用来鉴别由某设备，如QRNG200，所产生之序列的随机性的方法常常是基于硬件的确定性方法，这些方法对确定二进制数序列是否是真正的随机并不可靠。物理学家、密码员、计算机科学家、以及量子信息使用者已经认识到对可用来可靠地产生随机数序列的QRNG的需求，并且使用依靠量子系统非确定性特性的方法利用QRNG还能够检测，鉴别，以及校正随机数序列中的偏置。

发明内容

本发明的各种不同实施方案都是针对产生随机数的方法和系统的。在本发明的一种实施方案中，量子随机数发生器包括：状态发生器，它被配置成产生相干态的量子系统；极化状态分析器，它被配置成将量子系统投射到四种不同极化态中之一种极化状态，并对这四种极化态中的每一种极化态进行检测；原始位发生器，它配置成将量子系统转换成单个光子并检测单个光子是处在与第一二进制数相对应的第一极化态还是处在与第二二进制数相对应的第二极化态；以及系统控制装置，配置它接收来自极化状态分析器和原始位发生器的信号，这些信号与极化状态相对应，并且根据单个光子的第一和第二极化态输出随机数。

附图说明

图1图示出量子位系统的布洛赫球图形。

图2图示出基于虚拟单极化分束器的量子随机数发生器。

图3图示出立方体共振腔。

图4图示出以两个独立极化向量和一个归一化波向量为基向量的三维坐标系。

图5图示出在图4所示坐标系中电磁辐射的电场和磁场分量图。

图6为量子化电磁辐射的能级图。

图7图示出与检测自源输出并传输至检测器的光脉冲相关的概率分布函数。

图8A-8B示出垂直和水平极化基态的曲线图。

图9A图示出极化态的波因凯尔球(Poincare sphere)图形。

图9B-9E示出四种极化态的曲线图。

图10图示出斯托克斯参数(Stokes parameters)的几何图形。

图11图示出代表本发明实施方案、基于光的量子随机数发生器的总示意图。

图12A图示出代表本发明实施方案的第一量子随机数发生器的示意图。

图12B图示出代表本发明实施方案随机地产生二进制数的原始位发生器的工作情况。

图12C图示出由代表本发明实施方案的系统控制装置所记录的原始计数的虚拟序列。

图13A-13B图示出代表本发明实施方案的第二量子随机数发生器的示意图。

图14图示出代表本发明实施方案的第三量子随机数发生器的示意图。

图15图示出代表本发明实施方案从原始计数序列产生随机二进制数序列。

图16图示出在相反情况下图11所示的量子随机数发生器。

图17为代表本发明实施方案的最小熵曲线图。

图18示出代表本发明产生随机二进制数诸多实施方案中一个实施方案的控制流程图。

图19示出在图18步骤1808中调用的例行程序“产生原始二进制数序列”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一种方案。

图20示出在图18步骤1806中调用的例程“断层分析(tomographicanalysis)”的控制流程图，其代表本发明诸多实施方案中之一种方案。

图21为在图18步骤1810中调用的例程“筛选原始二进制数序列”的控制流程图，其代表本发明诸多实施方案中之一种方案。

具体实施方式

本发明的各种不同实施方案都是针对能够用来产生随机二进制数序列、基于光的自鉴别QRNG。本发明的实施方案包括用来计算和鉴别序列的随机性并消除偏置二进制数的基于量子力学的方法。本发明的实施方案性质上是数学的，为此，以下要参照许多方程式和许多图解予以说明。尽管单单用数学表达式对那些量子光学和量子信息学领域中的普通技术人员就是以充分地说明和体现本发明实施方案的特点，但是下面讨论中涉及到的更多的图解，针对问题的实例，以及控制流程图方法却意在以种种不同的方式举例说明本发明的各种不同实施方案，以便使本发明可以为不同背景的读者所利用。此外，为了帮助读者理解本发明各种不同实施方案的说明，提供了物理学中相关课题的概述章节。在第一小节，提供了量子力学概述。第二小节中给出电磁辐射与量子光学概述。在第三小节中给出相关状态概述。在第四小节中给出极化状态和斯托克斯参数概述。最后，在第五小节中说明了本发明各种不同系统和方法的实施方案。

量子力学概述

本发明实施方案使用了量子力学中的概念。由ClandeCohen-Tannoudji，Bernard Din和Frank Laloe，Hermann著述的教科书“量子力学，第一和第二卷”(法国，巴黎，1977)是量子力学领域许多参考文献之一。在本小节中，说明了涉及本发明实施方案的量子力学中的课题。更多的细节能够从以上参考的教科书，或者从与量子力学有关的其他教科书，论文，以及杂志文章中得到。

量子力学模拟了包括光子，电子，原子，及分子等系统的所观测的性能，原子和亚原子能级。量子系统存在于以离散可测量量为特征的离散状态。量子系统的状态用右矢代表并以|Ψ>表示，这里Ψ是代表量子系统状态的标记。例如，电子具有两个固有的自旋角动量态，这两个状态对应于两个可测的自旋角动量值h/2和-h/2，其中h约为1.0546×10^-34J(焦耳)。对应于自旋角动量h/2的自旋态称为“上旋”并用|↑>表示，而对应于自旋角动量-h/2的自旋态称为“下旋”并用|↓>表示。各种不同的标记可赋予各种不同的量子状态。例如，上旋和下旋态|↑>和|↓>还可以分别用右矢|1/2>和|-1/2>表示。另外，单一标记也能用来表示完全不同的量子系统的不同状态。例如，右矢“|1>”可以代表双原子分子的第一量子化振动能级并且也能够用来代表如下面在下一小节所述的单个光子。

用于确定量子系统可测量量，如电子的自旋角动量，的测量用算符

表示，这里符号“^”表示算符。通常，算符从左面对右矢运算如下：

$\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\left(\right|\mathrm{\&Psi;}\&rang;)=\widehat{\mathrm{\&Psi;}}|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

式中

为代表所观测量子态的右矢。一般，算符

与被称为“本征态”的状态的集合相关。本征态被表示成“|Ψ_i>”，其具有如下特性：

$\widehat{\mathrm{\&Psi;}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;={\mathrm{\&psi;}}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;$

式中

i为非负整数，

Ψ_i为实值，称为“本征值”，它与量子系统处在本征态|Ψ_i>时所观测到的离散可测量量相对应。

例如，用来确定与z轴平行之电子的自旋角动量的测量用

表示，而所观测的自旋角动量数值的本征值本征态的表达式是：

${\hat{S}}_z|\&UpArrow;\&rang;=\frac{h}{2}|\&UpArrow;\&rang;,$ 和

${\hat{S}}_z|\&DownArrow;\&rang;=-\frac{h}{2}|\&DownArrow;\&rang;$

算符的本征态是跨越称为“状态空间”的复向量空间的复向量。本征态构成向量空间的某一基，如果属于状态空间的每个状态对该基都有一个特有的线性叠加的话。例如，算符

的N个本征态{|Ψ_i>}所跨越之状态空间中的状态能够写成本征态的线性叠加如下：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;$

式中C_i为称为“幅度”的复值系数。与算符相关的状态空间也称为“希尔伯特空间(Hidbert space)”。希尔伯特空间包括称为“内积”的数学运算。两种状态|Ψ>和|≡>的内积用下式表示：

<Ξ|Ψ>

式中<≡|称为“左矢”，其代表状态|≡>的复共轭和易位。内积具有如下特性：

<Ξ|Ψ>＝<Ψ|Ξ>^*

式中“*”表示复共轭。希尔伯特空间的基本征态是标准正交的，或以数学符号表示：

<ψ_i|ψ_j>＝δ_ij

式中δ_ij在i等于j时为1，否则为0。例如，单电子希尔伯特空间的本征态内积是：

<↑|↑>＝<↓|↓>＝1，和

<↑|↓>＝<↓|↑>＝0

希尔伯特空间本征态的标准正交特性能够用来确定状态|Ψ>之线性叠加的系数。取|Ψ>与<Ψ_i|的内积给出相应在的系数：

$\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{\&lang;\mathrm{\&psi;}}_j|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}=c_j$

将系数代入线性叠加中给出：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

因为|Ψ>为希尔伯特空间中的任意右矢，

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|=\hat{1}$

式中“

”是全同算符。此总和称为“完全性关系”，本征态{|Ψ_i>}称作是“完全的”。

算符的本征态可以用正交归一化的列向量表示，算符可以用方矩阵表示。例如，与算符

相关的单电子希尔伯特空间的本征态用列向量表示：

$|\&UpArrow;\&rang;B\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],$ 和 $|\&DownArrow;\&rang;B\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

式中符号“B”代表“用...表示”。本征态的易位复共轭由行向量表示：

<↑|B[1 0]，和<↓|B[0 1]

使用完全性关系时，基{|Ψ_i>}上的算符

还可以由下式表示：

$\hat{O}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j|$

式中

是矩阵元。与关于基{|Ψ_i>}的算符相应的矩阵可以表示如下：

$\hat{O}B\left[\begin{array}{cccc}{\&lang;\mathrm{\&psi;}}_1\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;& {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_1\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;& L& \&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_N\&rang;\\ {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_2\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;& {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_2\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;& & M\\ M& & O& \\ {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_N\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;& L& & {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_N\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_N\&rang;\end{array}\right]$

等于的算符

的矩阵表达式有零的非对角线矩阵元，而对角线矩阵元是本征值{Ψ_i}。例如，电子自旋z轴算符可以由下式给出：

${\hat{S}}_z=\frac{h}{2}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_z$

式中

${\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_z=|\&UpArrow;\&rang;\&lang;\&UpArrow;|-|\&DownArrow;\&rang;\&lang;\&DownArrow;|$

电子自旋转符

的矩阵表达式由下式给出：

${\hat{S}}_{z}B\left[\begin{array}{cc}\&lang;\&UpArrow;|{\hat{S}}_z|\&UpArrow;\&rang;& \&lang;\&UpArrow;|{\hat{S}}_z|\&DownArrow;\&rang;\\ \&lang;\&DownArrow;|{\hat{S}}_z|\&UpArrow;\&rang;& \&lang;\&DownArrow;|{\hat{S}}_z|\&DownArrow;\&rang;\end{array}\right]$

      $=\frac{h}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

如果

算符

则称为是“厄米特算符(Hermitian operator)”。相应的矩阵元满足条件：

在对应于算符

的测量之前，量子系统被看成是同时存在于算符的所有本征态{|Ψ_i>}，用(纯态)线性叠加状态来表示：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;{\&lang;\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

对应于算符的测量将初始时处在状态|Ψ>的量子系统投射到其中一种本征态|Ψ_i>。换言之，对量子系统的测量本质上是一种滤波过程，它把量子系统的状态放进在测量时线性叠加内本征态中的一种本征态。例如，未知自旋方向的电子在对应于算符

的测量之前以线性叠加状态表示：

|Ψ>＝c₁|↑>+c₂|↓>

自旋确定性测量

在测量时将电子的状态要么投射到状态|↑>要么投射到状态|↓>。换言之，就在自旋确定性测量之后，电子要么处在状态|↑>要么处在状态|↓>。

作为测量的结果量子系统的状态有一个相应的不可逆的变化。不可逆性仅在进行测量之前量子系统已经处在其中一种量子状态时才能够避免。因此，不能够根据单一的测量结果推断量子系统先前的状态。例如，自旋测量的结果是h/2时，不可能确定在测量的时刻系统曾经处在状态|↑>或处在自旋态|↑>和|↓>的线性叠加状态。

虽然不可能事先知道量子系统的状态将被投射到各种不同状态中的那一种状态|Ψ_i>，但是求得在测量后马上处在某一具体状态|Ψ_i>的量子系统的概率由下式给出：

Pr(ψ_i)＝|c_i|²＝|<ψ_i|Ψ>|²

式中|Ψ>是归一化的，而|C_i|²等于

并给出了结果概率。例如，在自旋基{|↑>，|↓>}中的自旋确定性测量之前，认为电子是以1/2概率被求得处在自旋态|个和1/2概率被求得处在自旋态|↓>而相干制备的。在自旋确定性测量之前与处在这种自旋态的电子相关的状态用下式表示：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}|\&UpArrow;\&rang;+\frac{1}{\sqrt{2}}|\&DownArrow;\&rang;$

对由线性叠加状态|Ψ>表示的量子系统所进行的测量的期望值在数学上由下式表示：

$\&lang;\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&rang;=\&lang;\mathrm{\&Psi;}\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

并应用完全性关系确定如下：

$\&lang;\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&lang;\mathrm{\&Psi;}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

    $=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&psi;}}_i{\left|\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;\right|}^2$

期望值表示依集合中量子系统的测量结果所期望的加权本征值的平均结果，这里量子系统的初始状态|Ψ>对集合中的每一项都是相同的。换言之，代表各量子系统的线性叠加状态在测量前是完全相同的。实际上，通过制备许多个完全处在同一状态的相同并独立的量子系统或通过反复地制备处在同一状态的单个系统就能够实现这样的集合。注意，期望值可能并不是每个测量所得到的值，因此其不应与从该测量所得到的本征值相混淆。例如，期望值

能够是本征值h/2与-h/2之间的任何实值，但是对电子的实际测量值

在每个单独测量中其总是h/2或者是-h/2。

处在状态|Ψ>的单个量子系统的期望值还可以使用由下式：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=|\mathrm{\&Psi;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&Psi;}|$

定义的密度算符来描述，这里状态|Ψ>也称为“纯态”，它与下面说明的统计混合状态不同。密度算符在{|Ψ_i>}基中用称为“密度矩阵”的一种矩阵表示，其矩阵元为：

${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}=\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;=c_i^{*}{c}_j$

密度算符体现了量子系统状态的特征。换言之，密度算符提供了能够依状态|Ψ>计算出的全部物理信息。例如，密度矩阵之对角线矩阵元的和由下式：

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left|c_i\right|}^2=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ii}}=\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\&rho;}\right)=1$

给出，式中T_r代表示矩阵的对角元的踪迹式对角元的和。例如，纯态中双态量子系统：

|Ψ>＝c₁|ψ₁>+c₂|ψ₂>

的密度矩阵由下式给出：

$\mathrm{\&rho;}=\left[\begin{array}{cc}{c}_1{c}_1^{*}& c_1{c}_2^{*}\\ c_2{c}_1^{*}& c_2{c}_2^{*}\end{array}\right]$

式中对角元为与把量子系统投射到状态|Ψ₁>或状态|Ψ₂>相关的概率，而非对角元则表示状态|Ψ₁>与状态|Ψ₂>之间的干扰作用。此外，状态|Ψ>中之量子系统的期望值可以表示成：

$\&lang;\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&rang;=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&Psi;}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;$

    $=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;$

    $=\mathrm{Tr}\left\{\widehat{\mathrm{\&rho;}}\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right\}$

但是，量子系统的信息不完整是常有的情况。例如，量子系统可以处在状态|Ψ₁>，|Ψ₂>，|Ψ₃>，...中之任一状态，而每一状态与概率p₁，p₂，p₃，...相关联，其中概率满足条件：

0≤p₁，p₂，p₃，...≤1，和

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i=1$

将此量子系统就说成是处在“统计混合状态”。统计混合状态的密度算符可确定如下。如上所述，对纯态|Ψ_i>中量子系统的可观测量

的测量产生出结果Ψ_n的概率是：

Pr_i(ψ_n)＝<Ψ_i|ψ_n><ψ_nIΨ_i>＝|<ψ_nIΨ_i>|²

不过，观测统计混合状态下Ψ_n的概率Pr_i(Ψ_n)要用Pi加权并对i进行求和而得到：

$\mathrm{Pr}\left({\mathrm{\&psi;}}_n\right)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\mathrm{Pr}}_i\left({\mathrm{\&psi;}}_n\right)$

      $=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_n|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i|{\mathrm{\&psi;}}_n\&rang;$

      $=\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_n\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_n\&rang;$

其中

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i|$

是与统计混合状态相关的密度算符。相关的密度矩阵元由下式给出：

${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{np}}=\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_n\left|\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i\left|\right|{\mathrm{\&psi;}}_p\&rang;$

    $=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_n^{\left(i\right)}{c}_p^{\left(i\right)*}$

对含混合状态：

$|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;=c_1^{\left(i\right)}|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;+c_2^{\left(i\right)}|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;$

的双态量子系统说明其密度矩阵的物理意义。相应的密度矩阵由下式给出：

$\mathrm{\&rho;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_{11}& {\mathrm{\&rho;}}_{12}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{21}& {\mathrm{\&rho;}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_1^{\left(i\right)}{c}_1^{\left(i\right)*}& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_1^{\left(i\right)}{c}_2^{\left(i\right)*}\\ \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_2^{\left(i\right)}{c}_1^{\left(i\right)*}& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_2^{\left(i\right)}{c}_2^{\left(i\right)*}\end{array}\right]$

对角线矩阵元可以理解成表示在量子系统的状态为|Ψ_i>时，对角线矩阵元ρ₁₁代表求得处在状态|Ψ₁>的量子系统的平均概率，而对角线矩阵元ρ₂₂代表求得处在状态|Ψ₂>的量子系统的平均概率。当同样的测量在相同条件下进行N次时，将会求得Nρ₁₁在状态|Ψ₁>，而Nρ₂₂在状态|Ψ₂>。非对角线矩阵元ρ₁₂和ρ₂₁表示状态|Ψ₁>与|Ψ₂>间的平均干扰作用。注意，与对角线矩阵元不同，非对角线矩阵元即使在乘积

和

中两者都不是零时它们也可以是零，这就意味着对N个测量的平均值已经消除了状态|Ψ₁>与|Ψ₂>之间的干扰作用。

张量积是将不同量子系统的希尔伯特空间组合起来形成代表组合量子系统的希尔伯特空间的一种办法。例如，H_Ψ为第一量子系统的希尔伯特空间，H_≡为第二量子系统的希尔伯特空间。用

表示的希尔伯特空间代表组合的希尔伯特空间，其中符号

表示张量积。算符

和

分别相应于希尔伯特空间H_Ψ和H_≡，每个只对相应的本征态运算如下：

$(\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&CircleTimes;\widehat{\mathrm{\&Xi;}})\left(\right|\mathrm{\&psi;}\&rang;\&CircleTimes;|\mathrm{\&xi;}\&rang;)=\left(\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|\mathrm{\&psi;}\&rang;)\&CircleTimes;\left(\widehat{\mathrm{\&Xi;}}\right|\mathrm{\&xi;}\&rang;)$

式中|Ψ>代表希尔伯特空间H_Ψ中的状态，|ξ>代表希尔伯特空间H_≡中的状态。张量积

可以缩写为|Ψ>|ξ>，|Ψ，ξ>，或|Ψξ>。例如，原子轨道上两个电子的自旋态就是组合希尔伯特空间的基态。这两个电子要么是两个都上旋，两个都下旋，第一个电子上旋而第二个电子下旋，要么是第一个电子下旋而第二个电子上旋。两个上旋电子的不同张量积表达式由下式给出：

${|\&UpArrow;\&rang;}_1\&CircleTimes;{|\&UpArrow;\&rang;}_2={|\&UpArrow;\&rang;}_1{|\&UpArrow;\&rang;}_2={|\&UpArrow;,\&UpArrow;\&rang;}_{12}={|\&UpArrow;\&UpArrow;\&rang;}_{12}$

其中下标1和2是指第一和第二个电子。

在量子力学中，还有具有连续本征值谱的可测量量。相应的希尔伯特空间的维数是无限的并且上述对离散量子系统的诸多特性可以推广到连续量子系统。连续本征值方程是：

$\widehat{\mathrm{\&zeta;}}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;=\mathrm{\&zeta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;$

式中ζ表示连续本征值，右矢|ζ>为算符

的连续本征态。例如，对于一个维度中的游离粒子，位置q和动量p分别为位置和动量算符

和

的连续本征值，可以假定其为-∞-∞间的任何实值。

连续变量ζ的特性可以概括如下：

<ζ|ζ′＝δ(ζ-ζ′)，

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&zeta;}|=1,$ 和

$\&lang;\mathrm{\&zeta;}\left|\widehat{\mathrm{\&zeta;}}\right|\mathrm{\&zeta;}\&prime;\&rang;=\mathrm{\&zeta;}\&prime;\mathrm{\&delta;}(\mathrm{\&zeta;}-\mathrm{\&zeta;}\&prime;),$

式中δ(ζ-ζ’)是三角函数，其具有诸多极限表达式，如

$\mathrm{\&delta;}(\mathrm{\&zeta;}-\mathrm{\&zeta;}\&prime;)=\underset{\mathrm{\&Delta;}\&RightArrow;0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{{2\mathrm{\&pi;\&Delta;}}^2}}\exp (-\frac{{(\mathrm{\&zeta;}-\mathrm{\&zeta;}\&prime;)}^2}{{2\mathrm{\&Delta;}}^2})$

任意物理状态的状态右矢可以按状态{|ζ>}展开如下：

$|\mathrm{\&alpha;}\&rang;={\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&zeta;}\&rang;|\mathrm{\&alpha;}$

例如，设想在粒子的路径中放置一个检测器，它在粒子处在位置q时输出该粒子的位置。进行测量之后马上将初始时处在状态|α>的系统以与进行自旋检测测量时将任意电子自旋态投射到两种自旋态中之一种自旋态的几乎相同的方式投射到以|q>表示的状态。连续变量ζ的其他特性由下式给出：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}{|\&lang;\mathrm{\&zeta;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;|}^2=1,$ 和

$\&lang;\mathrm{\&beta;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;={\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}\&lang;\mathrm{\&beta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&zeta;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;$

动量算符

还可以用微分算符

表示。因此，位置和动量算符都满足正则对易关系：

$[{\hat{q}}_i,{\hat{q}}_j]=0$

$[{\hat{p}}_i,{\hat{p}}_j]=0,$ 和

$[{\hat{q}}_i,{\hat{p}}_j]=\mathrm{ih}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}$

式中

i和j代表直角坐标，如笛卡尔的x，y，和z坐标，以及

对易子定义为[A，B]＝AB-BA。

电磁辐射和量子光学概述

本小节中，叙述了涉及本发明实施方案的电磁辐射和量子光学的简要说明。量子光学是涉及到把量子力学应用到电磁辐射的物理学领域。约束在具有全反射壁之其振腔的电磁辐射被量子化。量子化的电磁辐射能够应用到更谱通的无约束光学系统，如在自由空间或在光纤中传播的电磁辐射。

约束在共振腔的电磁辐射，由于没有自由电荷和电流，其包括电场分量

和磁场分量

这两个分量通过满足波动方程：

${\&dtri;}^2\stackrel{V}{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\&PartialD;}^2\stackrel{V}{A}}{{\&PartialD;t}^2}=0$

以及库仑非相对论计量条件：

$\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{v}{A}(\stackrel{V}{r},t)=0$

的向量电位而联系起来。其中电场和磁场分量由下式确定：

$\stackrel{V}{E}(\stackrel{V}{r},t)=-\frac{\&PartialD;\stackrel{v}{A}(\stackrel{V}{r},t)}{\&PartialD;t},$ 和

$\stackrel{v}{B}(\stackrel{V}{r},t)=\&dtri;\&times;\stackrel{v}{A}(\stackrel{V}{r},t)$

假定电磁辐射在进行传播并受由具有全反射壁之立方体或量子化共振腔所施加的周期性边界条件的支配，这里反射壁的长度为L。图3图示出立方体共振腔300。相互垂直的轴302，304，及306代表x，y，和z笛卡尔坐标轴。有限尺寸的立方体共振腔300对解波动方程施加以周期性边界条件。假如，在x，y，和z方向，向量电位波动方程的平面波解满足条件：

$\exp (i\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r})=\exp (i\stackrel{V}{k}\&CenterDot;(\stackrel{V}{r}+\stackrel{V}{L}))$

式中

为向量(L，L，L)，

称为含分量的“波向量”：

$\stackrel{V}{k}=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{L}(m_x,m_y,m_z),$ 和

m_x，m_y，和m_z为整数。

每组整数(m_x，m_y，m_z)规定了电磁辐射的标准振荡方式，波向量

的大小k等于ω_k/c，其中c代表自由空间中的光速，ω_k为角频率。注意，在实际生活中电磁场正常振荡模的频谱实际上是连续的，而由波向量

所提出的正常振荡模的离散频谱则近似于连续谱。

上述波动方程满足周期性边界条件的传播向量电位解为：

$A(r,t)=\underset{k,s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v(A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}+A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)})$

式中

是电磁辐射的复幅度；

代表两个单位长度的极化向量；及

m_x，m_y，m_z＝0，±1，±2，±3，...。

对

的和代表对整数(m_x，m_y，m_z)的和，而对s的和是对与每个

相头的两个独立极化向量的和。这两个极化向量如下式：

${\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v\&CenterDot;{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}\&prime;}^v={\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ss}\&prime;},$

所指出的并根据上面给出的计量条件：

$\stackrel{v}{k}\&CenterDot;{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v=0,$

其在两个极化方向s上是相互正交的。两个极化向量

和

组成一个右旋坐标系，其归一化波向量由下式给出：

${\stackrel{V}{e}}_{k1}^v\&times;{\stackrel{V}{e}}_{k2}^v=\frac{\stackrel{v}{k}}{\left|\stackrel{V}{k}\right|}=\stackrel{V}{\mathrm{\&kappa;}}$

图4图示出以两个独立极化向量

和一个归一化波向量

为基向量的三维右旋坐标系。在图4中，波向量

及两个极化向量

和

是坐标轴分别以直线408，410和412表示的坐标系的三个相互正交的单位长度基向量。

向量电位的传播电场和磁场分量为：

$\stackrel{V}{E}(\stackrel{V}{r},t)=i\underset{\stackrel{v}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v[A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}-A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}],$ 和

$\stackrel{V}{E}(\stackrel{V}{r},t)=\frac{i}{c}\underset{\stackrel{v}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k(\stackrel{V}{\mathrm{\&kappa;}}\&times;{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v)[A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}-A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}],$

电场

和磁场

是被称之为电场和磁场之“经典”表达式的传播波解，它们彼此相互正交，而且两者都与波向量

相垂直。

图5图示出图4中所示右旋坐标系内电磁辐射的电场和磁场分量的图象。电磁辐射沿波向量

轴取向。电场分量

和磁场分量分别沿相互正交极化向量

和

取向，并在特定时间t出现冻结。

通过计算哈密顿量(the Hamiltonian)：

$H=\frac{1}{2}\underset{V}{\&Integral;}({\mathrm{\&epsiv;}}_0\stackrel{V}{E}\&CenterDot;\stackrel{V}{E}+\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\stackrel{V}{B}\&CenterDot;\stackrel{V}{B})\mathrm{dV}$

   $={2\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V\underset{\stackrel{V}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k^2{A}_{\mathrm{ks}}^v{A}_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}},$

能够确定电磁辐射的能量，式中：

ε₀是自由空间的介电常数，

μ₀是自由空间的导磁率，

V是共振腔的体积。

介电常数ε₀表示真空空间在电场的影响下能够储存电位能量的程度，导磁率μ₀表示真空度调整磁场通量的程度。在非传导介质中，介电常数还要乘以ε，它是介质提高电位能量储存的程度，而导磁率还要乘以μ，它是介质进一步提高磁场通量的程度。

为了使电场

和磁场

的分量量子化，通过设定：

$A_{\mathrm{ks}}^v=\frac{1}{{2\mathrm{\&omega;}}_k\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V}}({\mathrm{\&omega;}}_k{q}_{\mathrm{ks}}^v+{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ks}}^v)$

将位置的正则变量

和动量正则变量

引入哈密顿量。因此，电磁辐射的哈密顿量变成为：

$H=\frac{1}{2}\underset{\stackrel{V}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}(p_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2+{\mathrm{\&omega;}}_k^2{q}_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2)$

哈密顿量中的各项是振动模为

之谐波振荡器的能量，其中项

为单位质量谐波振荡器的动能，项

为位能。通过用量子力学的位置和动量算符

和

分别代替位置和动量变量

和

使哈密顿量量子化来给出量子哈密顿算符：

$\hat{H}=\frac{1}{2}\underset{\stackrel{v}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}({\hat{p}}_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2+{\mathrm{\&omega;}}_k^2{\hat{q}}_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2)$

湮灭和产生算符由下式限定：

${\hat{a}}_{\mathrm{ks}}^v=\frac{1}{\sqrt{2h{\mathrm{\&omega;}}_k}}({\mathrm{\&omega;}}_k{\hat{q}}_{\mathrm{ks}}^v+i{\hat{p}}_{\mathrm{ks}}^v),$ 和

并且将湮灭和产生算符代入量子哈密顿算符给出：

式中称为“数字算符”，也用

表示。对位置和动量算符使用正则对易关系时，湮灭和产生算符满足由下式给出的对易关系：

和

在电磁辐射量子化时，幅度

变成算符：

${\hat{A}}_{\mathrm{ks}}^v=\sqrt{\frac{h}{{2\mathrm{\&omega;}}_k{\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V}}{\hat{a}}_{\mathrm{ks}}^v,$

可以将其代入上面的经典电场和磁场方程得到电场和磁场算符：

和

电场和磁场算符都是厄米特算符，它们代表可测的电场和磁场。

电场是造成大多数与带电物质相互作用的原因，因为磁场的大小要比电场小C倍。因此，通常只使用电场来体现电磁辐射性能特性以及与带电物质的任何相互作用，而磁场分量则可以忽略不计。

量子计算和量子信息的处理系统能够使用电磁辐射的单模

进行运算。因此，对单模电磁辐射的哈密顿算符简化成：

式中和

取代了上面哈密顿算符中的模相关算符

和。单模哈密顿算符的本征态及其相应的能量本征值为：

式中|n>称为“数字状态”，n是称为“光子数”的非负整数，E_n是能量本征值。

湮灭和产生算符对数字状态运算如下：

$\hat{a}|n\&rang;=\sqrt{n}|n-1\&rang;,$

和

$\hat{n}|n\&rang;=n|n\&rang;,$

式中

表示算符

，其称为“数字算符”。通过反复地将湮灭和产生算符应用于数字状态能够产生出数字状态。例如，重复地将湮灭算符应用于数字状态就降低了光子数：

$|0\&rang;=\frac{{\hat{a}}^n}{\sqrt{n}!}|n\&rang;,$

式中|0>称为“真空状态”，其代表电磁辐射的量低能态。从真空态开始，反复应用产生算符给出：

数字态相互正交并形成由下式表示的完全集合：

<n′|n>＝δ_n′m，和

$\underset{n=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}|n\&rang;\&lang;n|=1$

通常，与数字态|n>相关的能量本征值方程是：

$\hat{H}|n\&rang;=\mathrm{h\&omega;}(n+\frac{1}{2})|n\&rang;=E_n|n\&rang;$

将湮灭和产生算符应用于能量本征值方程给出：

$\hat{H}\left(\hat{a}\right|n\&rang;)=\mathrm{h\&omega;}(n-\frac{1}{2})|n-1\&rang;=(E_n-\mathrm{h\&omega;})|n-1\&rang;,$ 和

这表明电磁辐射的能级由量子能量hω均等地隔开。换言之，电磁辐射的激发以称为“光子”的离散量能量hω出现。光子数n是指含电子辐射的光子hω的数目。

图6为量子化电磁辐射的能级图。水平直线，如水平直线602，代表电磁辐射的能级。能级604是最低能级，它对应于真空状态|0>。真空态的能量为hω/2或单个光子能量的1/2。电磁辐射的更高的能级各自由同样的光子能量hω分开。例如，能级606代表总电磁能量为5hω/2的电磁辐射，其可以认为是两个光子的能量加上真空态能量hω/2。湮灭算符相当于从电磁辐射中取出一个光子，而产生算符则相当于给电磁辐射加上光子。例如，湮灭算符

代表从状态|n>602到更低能态|n-1>608的电磁辐射跃迁610。通过向外界释放光子达到跃迁610。相反，产生算符

代表从状态|n>602到更高能态|n+1>612的电磁辐射跃迁614。通过从外界接收光子实现跃迁614。注意，通常外界环境可能是原子，量子点，或通过偶极相互作用与场耦合的任何其他系统。光子的丢失或吸收将牵涉到外界系统的同时激发，而光子的形成或发射则涉及到外界系统的相应去激。

光子能够由光子源产生并通过自由空间或在光纤中传输。光子源可以是产生单个脉冲或一串脉冲的脉冲激光器，每个脉冲会一个或多个具有同样光学特性，如波长和方向的光子。具有同样光学特性的光子称为“相干”。不过，源，检测器，以及将源与检测器分开的介质，如光纤，并不限定光共振腔。源和检测器都是无显著反射或光能循环的连续单向流动光能的部件。通过自由空间或光纤传输的脉冲用波束描述，波速可以用由下式：

$\mathrm{\&xi;}\left(t\right)={\left(\frac{{2\mathrm{\&Delta;}}^2}{\mathrm{\&pi;}}\right)}^{1/4}\exp \{{-\mathrm{i\&omega;}}_{0}t-{\mathrm{\&Delta;}}^2{(t_0-t)}^2\},$

给出的与时间相关的高斯形(Gaussian-shaped)函数表示，式中，

ω₀是脉冲谱的中心频率，

t是时间，

t₀是波束峰处在距光源距离z₀时的时间，及

Δ²是强度频谱的色散。

时间t₀可用z₀/v确定，这里v是脉冲通过自由空间或在光纤中传播的速度。

波束ξ(t)是脉冲的幅度，|ξ(t)|²是脉冲的光检测概率密度函数，其中光检测概率密度函数|ξ(t)|²满足归一化条件：

$\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\mathrm{dt}{\left|\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right|}^2=1$

在距光子源的距离z₀处，在时间间隔(t₁，t₂)内光子的光检测概率由下式给出：

(t₁<t₂)的

图7图示出与从源702输出并在光纤704中传输至检测器706的脉冲相关的概率分布。水平直线708代表光子从源702传输至检测器706的距离z₀，水平直线710为时间轴。曲线712表示光检测概率密度函数|ξ(t)|²。在图7中，光检测概率密度函数|ξ(t)|²712的中心在时间t₀，其相应于脉冲传播过距离z₀所用的时间。曲线712下的面积表示在特定时间间隔内检测脉冲的概率。例如，用斜线标记的区域714代表在时间间隔t₁<t₀<t₂内检测光子的概率。时间间隔716称为“时间仓(time bin)”，其对应于在检测器706检测光子的时段。

可以使用与时间相关的产生算符来产生出光子波束产生算符如下：

使用此产生算符来建立代表通过自由空间或在光纤中传输之光子的连续模数字状态如下：

式中|0>为连续模真空态。连续模数字状态满足下述相同的条件：

$\hat{n}{|n}_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;=n|n_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;,$

$\&lang;n_{\mathrm{\&xi;}}^{\&prime;}|n_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;={\mathrm{\&delta;}}_{n\&prime;n},$ 和

$\underset{n_{\mathrm{\&xi;}}=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}|n_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;\&lang;n_{\mathrm{\&xi;}}|=1$

因此，用来标识连续模数字状态的下标号ξ可以省略。注意，波速建立的光子并不是任何哈密顿算符的本征态。

相干状态概述

最常见的单模状态是线性叠加数字状态。有许多可能不同的线性叠加数字状态，但是相干状态：

$|\mathrm{\&alpha;}\&rang;=\exp (-\frac{1}{2}{\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2)\underset{n=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&alpha;}}^n}{\sqrt{n!}}|n\&rang;$

是量子化电磁辐射诸多应用中使用的线性叠加数字状态。相干状态是湮灭算符的本征态：

$\widehat{\mathrm{\&alpha;}}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;=\mathrm{\&alpha;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;$

这里取复数共轭给出：

然而，共轭态|α>不是产生算符

的本征态，因为可以重新安排对α求和来

给出相干态。

数字算符的相干态期望值：

$\&lang;n\&rang;=\&lang;\mathrm{\&alpha;}\left|\hat{n}\right|\mathrm{\&alpha;}\&rang;={\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2$

表明|α|²为光子的平均数。在光子数目的测量中检测n个光子的概率为泊松分布(Poisson distribution)：

$P_n={|\&lang;n|\mathrm{\&alpha;}\&rang;|}^2=\exp (-{\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2)\frac{{\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2}{n!}$

此泊松分布在|α|²数值大时接近于高斯分布。

相干态是一种量子态，其特征最接近于类似具有稳定幅度和固定相位的经典电磁波。例如，与在z方向传播之电场相应的电场算符在去掉模的下标k和s后为：

$=\hat{X}\cos \mathrm{\&Omega;}+\hat{Y}\sin \mathrm{\&Omega;}$

其中时间t和位移z含在如下相位角内：

$\mathrm{\&Omega;}(z,t)=\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{kz}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}$

而电场则以单位，进行测量。

相干态近乎于经典状态，因为它对电场的期望值或相干信号给出了标准的正弦形式：

$\mathrm{\&Sigma;}=\&lang;\mathrm{\&alpha;}\left|\hat{E}\left(\mathrm{\&Omega;}\right)\right|\mathrm{\&alpha;}\&rang;$

$=\left|\mathrm{\&alpha;}\right|\cos (\mathrm{\&Omega;}-\mathrm{\&phi;})$

式中

α＝|α|e^iφ，

φ为模的相干态激发时的平均相位角。

极化状态和斯托克斯参数

在本小节中，讨论电磁辐射的极化状态。如上参照图5所述，电磁辐射可以看成是传播横向电磁波。每个电磁波包括电场

和磁场的分量。然而，正是电场分量可以独自用来代表电磁波，因为电场是造成大多数与带电物质相互作用的原因，而磁场的大小要比电场小c倍。如图5所示，当电磁场的振荡电场分量和相关的波向量

驻留在振动平面时，就说该场被“线极化”。通过一个或多个极化器来传输包括无数随机极化的电磁波可以形成一定的极化状态。每个极化器都是一个只传输具有与极化器极化轴相对准之电场分量的电磁波的设备。

可以使用任何两个相互正交的线极化态来限定用{|H>，|V>}表示的极化基。第一极化态|H>表示在第一方向上被极化的电磁波，其称为“水平极化”，第二极化态|V>表示在与第一方向相垂直的第二方向上被极化的电磁波，其称为“垂直极化”。极化基态满足下述条件：

<H|H>＝<V|V>＝1，和

<H|V>＝1

图8A-8B示出极化基态|H>和|V>的曲线图。在图8A-8B中，相互正交的轴，如图8A中相互正交的轴801-803，分别代表x，y，和z笛卡尔坐标轴。图8A示出了处在yz平面内的电场的垂直极化态|V>。方向箭头806代表电场朝向观测平面808传播的方向。从观测平面808，能够观测到在电磁波沿z轴传播一个波长λ时电场

通过一个全振荡周期的进程。振荡周期用双头方向箭头810表示。图8B示出了处在xz平面内的电场的水平极化态|H>。相关的水平振荡周期用观测平面808中的双头方向箭头816表示。

还可以使用极化基{|H>，|V>}来建立用|X>表示的无数个极化态。这些极化态同时包括|H>和|V>并能够在数学上表示成相干线性叠加态：

$|\mathrm{\&chi;}\&rang;=\cos \left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)|H\&rang;+e^{\mathrm{i\&phi;}}\sin \left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)|V\&rang;$

式中

0≤θ<π，和

0≤φ<2π。

电磁波的无数个极化态在几何学上可以用三维布洛赫球(Blochsphere)表示，在本情况下也称为“波因凯尔球(Poincare sphere)”。

图9A图示出极化状态的波因凯尔球图形。如图9A中所示，直线901-903分别为相互正交的坐标轴，波因凯尔球904的球心在原点。在波因凯尔球904上有无数个点，每个点代表电磁波的一个特有的纯极化态|X>。例如，波因凯尔球904上的点905代表同时包括部分状态|H>和部分状态|V>的极化态|X>。六个点906-911标识出波因凯尔球904与坐标轴901-903的交点。点906和907分别标识出极化基态|H>和|V>，点908-911分别代表相互正交的极化态：

$|R\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H\&rang;-i|V\&rang;\right),$ 和

$|L\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H\&rang;+i|V\&rang;\right),$

图9B-9E分别表示出四个极化态|45°>，|-45°>，|R>和|L>的曲线图。图9B示出处在与水平xz平面成45°倾角之振动平面912内的45°极化态|45°>。极化态|45°>的振荡周期用双头方向箭头914表示。图9C示出处在与水平xz平面成-45°倾角之振动平面916内的-45°极化态|-45°>。极化态|-45°>的振荡周期用双头方向箭头918表示。图9D示出包括图8A和8B中所示垂直和水平极化场804和812的右旋循圆极化态|R>，极化场804和812的相对相差δ为-π/2。结果是由两个相互正交的双头方向箭头920和922表示的振荡循环，而方向箭头920和922在场804和812沿z轴传输时在观测平面808内以顺时针方向旋转。图9E示出也包括垂直和水平极化场804和812但它们的相对相差为π/2时的左旋循圆极化态。左旋极化态的振荡循环由两个相互正交的双头方向箭头924和926表示，两个方向箭头924和926在观测平面808内以逆时针方向旋转。

任何极化态都可以用称为“斯托克斯参数”的四个量的线性组合来表示。斯托克斯参数是表示准单色电磁辐射极化态的便捷方法，因为电磁辐射测量结果通常只能够确定强度或光子的数目而不是极化态。斯托克斯参数都具有同样的准数，对单色波来说，斯托克斯参数由以下四个量给出：

$S_0=\&lang;a_1^2\&rang;+\&lang;a_2^2\&rang;,$

$S_1=\&lang;a_1^2\&rang;-\&lang;a_2^2\&rang;,$

S₂＝2<a₁a₂cosδ>，和

S₃＝2<a₁a₂sinδ>

式中

符号“<·>”表示平均值；

a₁和a₂是电场向量两个不同相互正交分量E_x和E_y的瞬时幅度；及

δ是分量E_x与E_y间的相位差。

对单色波只有其中三个斯托克斯参数是独立的，因为这些参数还要由以下恒等式联系起来：

$S_0^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$

注意，对部分相干的准单色波，斯托克斯参数通式以下不等式联系起来：

$S_0^2\&GreaterEqual;S_1^2+S_2^2+S_3^2$

斯托克斯参数通过以下斯托克斯关系式相互联系起来：

S₁＝S₀ cos 2χ cos 2ψ，

S₂＝S₀ cos 2χ sin 2ψ，和

S₃＝S₀ sin 2χ

式中

0≤Ψ≤π，和

$-\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\&le;\mathrm{\&chi;}\&le;\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}.$

图10图示出斯托克斯参数S₁，S₂和S₃的几何图象。如图10中所示，直线1002-1004分别为相互正交的x，y，和z笛卡尔坐标轴。半径为S₀的球体1006表示出所有不同极化态的几何图象。斯托克斯参数S₁，S₂和S₃被认为是球体1006上点P1008的笛卡尔坐标，2_x和2_Ψ为点P1008的球面角坐标。对具有已知强度S₀的每个可能极化态，在球体1006上有一个对应点，反之亦然。右旋极化由球体1006上处在赤道xy平面1010上方的点表示，而左旋极化用球体1006上处在赤道xy平面以下的点表示。对线极化的电磁辐射，相位差δ为零或者是π的整数倍，参数S₃为零。换言之，线极化电磁波用处在球体1006与xy平面1010之交会处的点表示。对循圆极化的电磁辐射，<a₁>等于<a₂>，相差δ为π/2或-π/2。因此，右旋循圆极化电磁辐射用点1012表示，左旋循环电磁辐射用点1014表示。注意，对部分相干的准单色波，用处在球体1006内的点代表状态，如由上面不等式所示。

通常，斯托克斯参数通过用参数S₀除以各参数进行归一化，这等同于使用单位强度的入射束。随机极化电磁辐射的斯托克斯参数(S₀，S₁，S₂，S₃)在归一化表示中为(1，0，0，0)，其相应于球体1006的球心。归一化的斯托克斯参数列于表I中：

表I

利用强度或光子数测量结果可以确定电磁辐射任何准单色波的斯托克斯参数，这些参数由下述关系式给出：

S₀＝I(0°，0)+I(90°，0)，

S₁＝I(0°，0)-I(90°，0)，

S₂＝I(45°，0)-I(-45°，0)，和

其中I(θ，ε)代表在y分量相对于x分量有延迟ε，电场振动与x轴成角度θ时电磁辐射的强度。例如，强度I(0°，0)和I(90°，0)代表水平和垂直极化电磁辐射的强度，I(45°，0)和I(-45°，0)能够代表45°和-45°极化电磁辐射的强度，而

和

则代表右旋和左旋循圆极化电磁辐射。

注意，参数S₀代表总强度。参数S₁等于由接收角度θ等于0°之线极化的极化器所传输的电磁辐射对接收角度θ等于90°之线极化的极化器所传输的电磁辐射在强度上的超出量。参数S₂有类似的解释。参数S₃等于由接收右旋循圆极化电磁辐射的极化器所传输的电磁辐射对接收左旋循圆极化电磁辐射的极化器所传输的电磁辐射在强度上的超出量。

本发明的实施方案

本发明的各种不同实施方案都是针对能够用来产生随机二进制数序列、基于光的自鉴别QRNG。本发明实施方案包括基于量子力学用以建立最小熵的方法，使用此最小熵来计算和鉴别随机二进制数序列。图11图示出代表本发明一种实施方案的QRNG1100的总示意图。QRNG1100包括状态发生器1102，极化状态分析器(“PSA”)1104，原始位发生器(“RBG”)1106，以及系统控制装置1108。状态发生器1102包括脉冲激光二极管和线极化器并以如下相干状态：

$|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|{\mathrm{\&alpha;}}_H\&rang;+|{\mathrm{\&alpha;}}_V\&rang;\right)$

输出电磁辐射的45°极化脉冲1110，式中

|α_H>表示水平极化相干态，

|α_v>表示垂直极化相干态。

术语“水平”是指被极化的电场分量平行于QRNG1100之平面的电磁波，而术语“垂直”是指被极化电场分量垂直于QRNG之平面的电磁波。电磁辐射的极化脉冲|α₄₅>1110被分开使得脉冲|α₄₅>1110的第一部分传输至PSA1104，而脉冲|α₄₅>1110的第二部分传输至RBG1106。对PSA1104和RBG1106的不同的设备实施方案在下方参照图12-14予以说明。对状态发生器1102所产生的每个脉冲|α₄₅>1110，PSA1104将初始状态投射到电磁辐射的四个不同极化相干状态。这四个不同极化相干状态是：(1)45°极化脉冲|α₄₅>1112，(2)-45°极化脉冲|α₄₅>1114，(3)右旋循圆极化脉冲|α_R>1116，及(4)左旋循圆极化脉冲|α_L>1118。PSA1104包括检测系统1120，其检测状态1112-1116并将检测结果传输至系统控制装置1108。RBG1106包括衰减器1120，其将脉冲|α₄₅>1110中的光子数减少如下：

式中

|H>代表包括单个光子的水平极化脉冲；

|V>代表包括单个光子的垂直极化脉冲。

RBG1106包括检测系统1122，其检测或是状态|H>或是状态|V>的单个光子的存在并将检测结果传送至系统控制装置1108。使用光子极化态|H>和|V>对二进制数编码。例如，可以使用状态|H>的检测代表二进制数“1”而用状态|V>的检测代表二进制数“0”。对QRNG1100的N个工作周期，系统控制装置1108接收由PSA1104和RBG1106所提供的检测结果并输出由向量

代表的随机二进制数序列，这里的m表示随机二进制数的数目并且m<N。针对建立随机二进制数序列

的方法实施方案在下文参照图15-21予以说明。

图12-14图示出与上述通用QRNG1100实施方案相一致的本发明之三种不同QRNG设备实施方案。为简便起见，图12-14中所示的与图11中所示通用QRNG1100部件相同的QRNG的部件均使用同样的参考数字并且其结构和功能的说明也不再重复。

图12A图示出代表本发明实施方案的第一QRNG1200的示意图。PSA1104包括脉冲状态发生器1102，第一分束器(“BS₁”)1202，第二分束器(“BS₂”)1204，半波片1206，四分之一波片1208，第一极化分束器(“PBS₁”)1210，第二极化分束器(“PBS₂”)1212，以及四个光电二极管检测器1214-1217。四个光电检测器1214-1217可以是本领域中众所周知的p-i-n光电二极管。虚线，如虚线1218，表示在PSA1104之内电磁辐射的传输路径并能表示光纤或自由空间中的传输路径。RBG1106包括衰减器1120，耦合器1220，单模纤维(“SMF”)1222，光纤极化分束器(“FPBS”)1224，延迟光纤1226，多模光纤1228，以及单光子计数模块(“SPCM”)1230。延迟光纤1226和SMF1222为可用来传输零光子或单光子电磁辐射的单模光纤。耦合器1220使衰减器1120与SMF1222相耦合，MMF1228将双模式多模电磁辐射传输至SPCH1230，SPCM1230可以是用高信号强度运行的雪崩光电二极管以便检测单光子。光电二极管检测器1214-1217和SPCM1230通过信号线，如信号线1232，连接至系统控制装置1108。BS₁1202和BS₂1204将脉冲|α₄₅>分解为图12中标识成A，B，和C的三个不同的传输路径。脉冲|α₄₅>在BS₁1202和BS₂1204之后的状态由下式给出：

$|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;\stackrel{{\mathrm{BS}}_1{\mathrm{BS}}_2}{\&RightArrow;}{c}_A{|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;}_A+c_B{|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;}_B+c_C{|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;}_C$

其中

|C_A|²+|C_B|²+|C_C|²＝1，

|α₄₅>_A代表反射进传输路径A的45°极化电磁辐射；

|α₄₅>_B代表反射进传输路径B的45°极化电磁辐射；及

|α₄₅>_C代表沿传输路径C传输的45°极化电磁辐射。

由BS₁1206反射的电磁辐射的极化态通过HWP1206改变如下：

${|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;}_A\stackrel{\mathrm{HWP}}{\&RightArrow;}\frac{1}{\sqrt{2}}({|{\mathrm{\&alpha;}}_R\&rang;}_{A\&prime;}+{|{\mathrm{\&alpha;}}_L\&rang;}_{A\&prime;})$

而由BS₂1203反射的电磁辐射的极化态通过QWP1208改变如下：

${|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;}_B\stackrel{\mathrm{HWP}}{\&RightArrow;}\frac{1}{\sqrt{2}}({|{\mathrm{\&alpha;}}_R\&rang;}_{B\&prime;}+{|{\mathrm{\&alpha;}}_L\&rang;}_{B\&prime;})$

水平极化的脉冲|α_H|由检测器1215和1216检测，垂直极化脉冲|α_V|由检测器1214和1217检测。

随机二进制数序列由RBG1106使用时间仓编码来产生。图12B图示出代表本发明实施方案的RBG1106的工作情况。衰减器1120将脉冲|α₄₅>_C1234的状态简化为真空态|0>或者是相干线性叠加状态

中的单光子。FPBS1224将水平极化的单光子|H>沿SMF1222传输至MMF1228并将垂直极化的单光子|V>反射进延迟光纤1226。因为延迟光纤1226比FPBS1224与MMF1228之间的距离长，故垂直极化光子|V>到达SPCM1230所用的时间比水平极化光子|H>到达SPCM1230所用的时间长。直线1236代表时间轴，“0”标识脉冲|α₄₅>1110从状态发生器1102输出的起始时间。双头方向箭头1238表示脉冲|α₄₅>1110最终达到在SPCM1230检测水平极化单光子|H>所用的平均时间。双头方向箭头1240表示脉冲|α₄₅>1110达到在SPCM1230检测垂直极化单光子|V>所用的时间。曲线1242和1244表示在SPCM1230光子检测事件的正态分布。可以调整延迟光纤1226的长度使得曲线1242和1244的尾部不相重叠。曲线1242和1244的宽度分别限定了不相重叠的时间仓1246和1248，它们可用来产生随机二进制数。例如，对从状态发生器1102输出的每个脉冲|α₄₅>1110，都由系统控制装置1108记录一个事件。对由系统控制装置1108所记录的事件说明如下：在时间仓1246中检测到光子时记录下二进制数“1”，而在时间仓1248中检测到光子时记录二进制数“0”。在时间仓1246或时间仓1248内均未检测到光子时，记录下“无光子”，而在时间仓1246和1248内都检测到光子时，记录下“错误”。表II表示出对从状态发生器1102输出的每个脉冲|α₄₅>1110由系统控制装置1108能够记录的四种事件：

表II

由系统控制装置1108记录的每个事件都称为“原始计数”。图12C图示出对代表本发明实施方案的状态发生器1102所产生的N个脉冲|α₄₅>1110由系统控制装置1108所记录之N个原始计数1250的假想序列。N个原始计数1250的序列包括由原始计数“无光子”1252和原始计数“错误”1254分隔开的二进制数“0”和“1”的序列。下文参照图15-21说明的本发明方法实施方案都是针对使用PSA1104所产生的数据极化状态来筛选N个原始计数序列以便得到随机二进制数序列

。注意，由PSA1104和RBG1106两者所产生的脉冲的检测是同步的。

图13A-13B图示出代表本发明实施方案的第二QRNG1300的示意图。如图13A中所示，QRNG1300包括脉冲状态发生器1102，及会与图12所示QRNG1200之相同结构部件和工作情况的RBG1106。因此，为简便起见在图13A中正为这些部件配以同样的参考数字并且其结构和工作情况的解释也不再重复。QRNG1300还包括含有分束器(“BS”)1302，凹透镜1304，象限极化滤波器1306，及象限光电二极管检测器1308的PSA1104。BS1302将电磁辐射的极化脉冲|α₄₅>分解成为反射进传输路径1310的第一脉冲|α₄₅>_A和沿传输路径1312传输的第二脉冲|α₄₅>_B。凹透镜1304使电磁辐射脉冲|α₄₅>_A在脉冲到达象限极化滤波器1306时发散。

图13B图示出象限极化滤波器1306和象限光电二极管检测器1308的透视图。凹透镜1304使第一脉冲|α₄₅>_A1310中的电磁辐射发散，如放大的方向箭头1313所示。象限极化滤波器1306分成为四个极化扇形区，每个极化扇形区输出四种极化中的一种极化。例如，象限极化滤波器1306包括以下极化扇形区：(1)第一极化扇形区1314，其输出45°极化脉冲|α₄₅>，(2)第二极化扇形区1315，其输出-45°极化脉冲|α_-45>，(3)第三极化扇形区1316，其输出右旋循圆极化脉冲|α_R>，及(4)第四极化扇形区1317，其输出左旋循圆极化脉冲|α_L>。象限光电二极管检测器1308分成为四个检测区1320-1322，每个检测区对准象限极化滤波器1306的一个极化扇形区，并且每个检测能够独立的检测从所对准的相应极化扇形区输出的脉冲。例如，检测区1320-1322分别对准极化扇形区1314-1317以检测从所对准之极化扇形区1314-1317输出的脉冲。象限光电二极管检测器1308将每个检测事件传输至系统控制装置1108。

图14图示出代表本发明实施方案的第三QRNG1400的示意图。QRNG1400包括连续电磁波状态发生器1102，1：6BS1402，极化滤波器1404-1409，衰减器1412和1414，p-i-n光电二极管1416-1419，以及SPCM1420和1421。SPCM1420和1421可以是雪崩光电二极管。QRNG1400还包括上面参照图12和13所说明的状态发生器1102和系统控制装置1108。1：6BS 1402是有栅格的分束器，它把处在相干状态|α>的单个连续波电磁辐射输入分解成沿标记有A-F传输路径传输的六个分开的波束如下：

$|\mathrm{\&alpha;}\&rang;\stackrel{1:6\mathrm{BS}}{\&RightArrow;}\frac{1}{\sqrt{6}}({|\mathrm{\&alpha;}\&rang;}_A+{|\mathrm{\&alpha;}\&rang;}_B+{|\mathrm{\&alpha;}\&rang;}_C+{|\mathrm{\&alpha;}\&rang;}_D+{|\mathrm{\&alpha;}\&rang;}_E+{|\mathrm{\&alpha;}\&rang;}_F)$

极化滤波器1404-1409要进行取向使得在传输路径A-F中传输的各个波束输出如下六个不同极化相干状态：

|α>_A→|α_H>_A，

Iα>_B→|α_V>_B，

|α>_C→|α_R>_C，

|α>_D→|α_L>_D，

|α>_E→|α-₄₅>_E，和

|α>_F→|α₄₅>_F

中的一种相干状态。衰减器1412和1414把包括连续波|α_H>_A和|α_V>_B的光子数目分别简化为真空状态(基态)|0>_A和|0>_B，或者是分别简化为处在状态|H>_A和|V>_B的单个光子。单光子状态用雪崩光电二极管1420和1421检测。检测器1416-1421将检测事件传输至系统控制装置1108。这些检测事件最终形成了如上面参照图12所说明的原始计数序列。注意，处理用以产生随机二进制数序列

的检测事件并非以p-i-n光电二极管1416-1419与雪崩光电二极管1420和1421之间的同步检测为必要条件。

图15图示出从原始计数序列来产生随机二进制数假想序列的情况，其中原始计数已经通过使上面参照图11-14所说明的QRNG中任意一个代表本发明实施方案的QRNG运行N次而产生出来。使QRNG1100运行N次产生出有N个原始计数的序列1250，如图12C中所示。把与“无光子”和“错误”检测事件，如“无光子”1252和“错误”1254，相对应的原始计数从原始计数序列中去除就产生出n个原始二进制数的序列，这n个原始二进制数再组合成用表示的列向量1502，这里n<N。原始序列1502包括多个假想偏置的二进制数，如假想偏置二进制数1504-1506。使用本发明基于量子力学的方法来建立m×n托普里茨矩阵(Toeplitz matrix)T_n×m，使用此矩阵筛选出原始序列

中的偏置二进制数来产生出m个随机二进制数的序列

如下：

${\stackrel{V}{s}}_m=T_{n\&times;m}{\stackrel{V}{r}}_n$

其中m<n<N。随机二进制数序列

用列向量1508表示。

Barak等在由C.D.Walrer等编著的书名为“加密硬件与嵌入系统CHES2003”(Springer-Verlag.2003)的题目是“变化环境中的实随机数发生器安全”一章中(pp.166-180)给出了托普里茨矩阵的数学定义。下面的讨论提供了根据Barak等的参考文献来建立托普里茨矩阵所需的见解。

为了强调本发明的方法能够用来产生实随机数序列而不管从状态发生器1102所输出状态中的偏置，下面参照使用对手方案产生随机二进制数序列

对本发明基于量子力学的方法实施方案予以说明。图16图示出上面参照图11所说明的、在对手方案下的QRNG1100。在对手方案中，状态发生器1102受到被称为“Eve”1602的对手的控制，而QRNG1100的其余部件受到称为“Alice”1604用户的控制。Eve要产生出对Alice1604看似随机并且部分地为Eve所知的二进制数序列。因为Alice只使用状态|H>和|V>产生随机二进制数，下面的分析限制在由基{|H>，|V>}所跨越的子空间。因此，假设Eve产生的相干状态的形式为：

|ψ>＝c|H>+d|V>

其中

|c|²+|d|²＝1，

0≤|c|²≤1，和

0≤|d|²≤1。

假设Eve不知道Alice应用到状态|Ψ>中之光子的测量结果。在Eve制备脉冲时，所有脉冲都处在同一纯态|Ψ>，Alice能够对每个脉冲进行测量并得到密度矩阵：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{cc}{\left|c\right|}^2& {\mathrm{cd}}^{*}\\ c^{*}d& {\left|d\right|}^2\end{array}\right]$

密度矩阵代表Alice能够获得的有关Eve提供给Alice的脉冲状态的最大的信息总量。Alice通过对Eve所提供脉冲进行断层分析能够确定密度矩阵

的矩阵元。断层分析用来估算随机二进制数序列的随机性，其还称之为“自鉴别”。量子状态的断层分析在本领域中是众所周知的并且在例如James等的“量子位测量”(‘物理学评论A’，第64卷，052312)参考文献中作了说明。使用断层分析来识别由Eve制备的状态|Ψ>。如James等的参考文献中所述，对6位系统的断层分析通常需要(4^b-1)个不同的期望值为确定密度矩阵

。因此，对期望值的测量需要许多份相同状态。(4^b-1)个不同的期望值和对状态的归一化要求在理论上对一般b量子位系统的2^b个复系数产生出4^b个独立的限制，从而使得能够对密度矩阵

有分析解以及限定被测状态的2^b个复系数。

Eve可能还试图通过传输处在统计混合状态|Ψ_i>(＝c_i|H>+d_i|H>)的脉冲以对Alice所知道但对其看似随机的方式使序列偏置，每个脉冲的状态具有相关概率P_i。Alice进行断层分析来确定密度矩阵算符：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|$

以及相关的密度矩阵：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{cc}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|c_i\right|}^2& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_i{d}_i^{*}\\ \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_i^{*}{d}_i& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|d_i\right|}^2\end{array}\right]$

式中

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|c_i\right|}^2={\mathrm{Pr}}_H$ 是测量状态|H>的概率；

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|d_i\right|}^2={\mathrm{Pr}}_V$ 是测量状态|V>的概率。

密度矩阵算符和密度矩阵是纯态密度矩阵算符和相关密度矩阵的组合。注意，虽然Eve制备并知道Alice每次正在进行测量的每个脉冲的状态|Ψ_i>，但是Eve却不能控制Alice对状态|Ψ_i>的测量结果，因为Alice所进行的每个测量的结果是由量子力学定律决定的。

Alice进行断层分析来确定密度矩阵

并评估随机性源的质量。使用如下限定的最小熵(“最小熵”)函数：

$H_{\mathrm{Min}}\left(X\right)\&equiv;{-\log }_2\left(\underset{x\&Element;X}{\max }\mathrm{Pr}\left(x\right)\right)$

可以严格地计算随机性源的质量，式中

X为随机变量；

Pr(x)是事件x的概率；及

表示对x中每个事件x的最大概率Pr(x)。

换言之，最小熵可以看成是概率分布中随机性总量的一种量度。图17为代表本发明实施方案的最小熵的曲线图。在图17中，水平轴1702相应于事件x的概率Pr(x)，垂直轴1704代表最小熵的数值，曲线1706表示最小熵H_Mim(X)。当事件x出现的最大概率Pr(x)为“1”1708时，最小熵是“0”1710。换言之，最小熵为零表示事件x肯定出现并且是完全确定的。当事件x出现的最大概率Pr(x)为“1/2”1712时，最小熵是“1”1714。换言之，最小熵为“1”1714意味着事件x无偏置地出现，其相应于一个实随机事件。当事件x出现的最大概率大于1/2时，最小熵在“0”与“1”之间并且说它是偏置事件，如点1716，此点与点1718相对应。

为了举例说明最小熵的使用，下述讨论说明了密度矩阵的矩阵元如何用在Eve所产生的三种不同组合状态的最小熵定义中。当Alice对由Eve所提供的纯态|Ψ>的单脉冲进行断层分析时，随机变量X被分布在集合{0，1}上，最小熵是：

H_Min(|ψ><ψ|)＝-log₂(max(Pr_H(|ψ>)，Pr_V(|ψ>)))

式中

Pr_H(|ψ>)＝|c|²＝|<H|ψ>|²，和

Pr_V(|ψ>)＝|d|²＝|<V|ψ>|²

最小熵可以拓展到在Alice对由Eve所提供的全部都处在相同纯态|Ψ>的n个脉冲进行断层分析时的情况。随机变量X分布在集合{0，1}ⁿ上，最小熵是：

H_Min((|ψ><ψ|)ⁿ)＝-nlog₂(max(Pr_H(|ψ>)，Pr_V(|ψ>)))

最后，当Alice对由Eve所提供的处在统计混合纯态|Ψ_i>的n个脉冲进行断层分析时，最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)}^n\right)=-n\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\log }_2\left(\max ({\mathrm{Pr}}_H\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;),{\mathrm{Pr}}_V\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;))\right)$

式中

${\mathrm{Pr}}_H\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|c_i\right|}^2,$ 和

${\mathrm{Pr}}_V\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|d_i\right|}^2$

Alice不知道Eve正在提供的脉冲状态的分解。Alice只利用她在断层分析时产生的密度矩阵

。为了达到将最小熵拓展到任意状态，与脉冲相关的最小熵定义为对密度矩阵

所有可能分解的最小最小熵。使用这种最小最小熵的定义设置了Eve能够得到的关于Alice序列信息总量的上限。

注意，只要最小熵H_Min不等于零，Eve就没有对上述QRNG所产生之二进制数序列的完全控制。换言之，只要最小熵大于零，在QRNG所产生的n个二进制数的序列之内就存在数量为m的随机二进制数，这里m<n。

为了便于断层分析，将最小熵H_Min

再次称作斯托克斯参数的函数。首先，可以将与上面统计混合状态|Ψ_i>相关的2×2密度矩阵

按照斯托克斯参数(S₀，S₁，S₂，S₃)改写如下：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{S_i}{S_0}{\mathrm{\&sigma;}}_i$

$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_1& S_2+{\mathrm{iS}}_3\\ S_2-{\mathrm{iS}}_3& 1-S_1\end{array}\right]$

式中

下标“S”标识按照斯托克斯参数改写的密度矩阵；

斯托克斯参数S₀归一化到“1”；及

δ₁，δ₂和δ₃为著名的泡利矩阵(Pauli matrix)基{|R>，|L>}。

密度矩阵

的斯托克斯参数可根据检测事件确定如下。在以上参照图11-14所说明的本发明的设备实施方案中，Alice使用示于图12-14中的SPCM1230，1420，和1421来检测单个光子。系统控制装置1108接收来自SPCM与各检测事件相应的信号并计算出水平极化光子的平均数<H>以及垂直极化光子的平均数<V>。Alice使用光电二极管1214-1217和1416-1419以及象限二极管1308来检测电磁辐射的强度I(α₄₅)，I(α_-45)，I(α_R)及I(α_L)。系统控制装置1108接收与这些强度相应的信号并计算出相应的平均强度<α₄₅>，<α_-45>，<α_R>及<α_L>。然后可以用下式确定归一化斯托克斯参数：

$S_1=\frac{\&lang;H\&rang;-\&lang;V\&rang;}{\&lang;H\&rang;+\&lang;V\&rang;},$

$S_2=\frac{\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;-\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_{-45}\&rang;}{\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_{45}\&rang;+\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_{-45}\&rang;},$ 和

$S_3=\frac{\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_R\&rang;-\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_L\&rang;}{\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_R\&rang;+\&lang;{\mathrm{\&alpha;}}_L\&rang;}$

通过对所有密度矩阵

确定以下实值函数：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)={-\log }_2\left(\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+{\mathrm{iS}}_2|}^2}}{2}\right)$

可以表述如下定理：

定理1。用密度矩阵

描述的系统的最小熵是

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

定理1的证明在下文附录中给出。定理1表明用来产生二进制数序列的状态密度矩阵的测量对对手，如Eve能够得到的信息总量有一个上限。Barak等的参考文献表明，已知最小熵为H_Min的n个二进制数的序列，就能够从原始二进制数序列中抽取出m个随机二进制数，这里m<n。这m个随机二进制数根据可任意接近于二进制数均匀分布的某一分布进行分布。

图18示出代表本发明产生出随机二进制数序列的诸多实施方案中之一个实施方案的控制流程图。在步骤1802，将上述的QRNG1100，1200，1300，1400使用N次来滤选出极化分量|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>和|α_L>并产生和滤选出处在极化态|H>和|V>的单个光子。在步骤1804，根据在步骤1802中得到的检测结果，系统控制装置1108计算出平均强度<α₄₅>，<α_-45>，<α_R>和<α_L>，如上所述，再用这些平均强度来确定斯托克斯参数S₂和S₃。在步骤1806，调用例行程序“产生原始二进制数序列”，该例程从N个原始计数的序列产生出具有n个原始随机二进制数的序列

如上面参照图15所述。在步骤1808，调用例程“断层分析”。如上所述，例程断层分析是用来确定密度矩阵和最小熵H_Mim

的一种方法。在步骤1810，调用例程“筛选原始二进制数序列”，此例程利用最小熵H_Min从序列

中消除偏置并产生出具有m个随机二进制数的较小序列

在步骤1812，输出随机二进制数序列

图19示出在图18步骤1808中调用的例程“产生原始二进制数序列”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。在步骤1902，如上面参照图12C所述，采集M个原始计数。在步骤1904，如上面参照图15所述，通过舍弃与“无光子”或“错误”相应的原始计数对原始计数进行筛选而留下具有n个原始随机二进制数的序列。在步骤1906，如上所述，系统控制装置1108对相应于状态|H>和|V>的原始计数加以平均以便确定平均值<H>和<V>，再使用这两个平均值来确定斯托克斯参照S₁。

图20示出图18步骤1806中调用的例程“断层分析”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。在步骤2002，求出在图18步骤1804中得到的平均值<α₄₅>，<α_-45>，<α_R>，<α_L>，以及在图19步骤1904中得到的平均值<H>和<V>。在步骤2004，如上所述建立密度矩阵在步骤2006，使用密度矩阵

建立最小熵H_Mim

图21为在图18步骤1810中调用的例程“筛选原始二进制数序列”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。在步骤2102，输入由图20中例程“产生原始序列”所产生的原始随机二进制数序列

在步骤2104，输入在图20的例程“断层分析”中所产生的最小熵H_Mim

在步骤2106，如在Barak等的参考文献中所述，建立托普里茨矩阵T_nxm。在步骤2108，如上面参照图15所述，同步地确定并输出序列

根据Barak等的参考文献，能够从具有n个原始随机二进制数的序列抽取出二进制数的最大数目是：

$m=\mathrm{kn}-4{\log }_2\left(\frac{1}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)-2$

式中ε是m个二进制数的分布与均匀分布之间的统计距离。统计距离在数学上定义为：

$\mathrm{\&epsiv;}=\frac{1}{2}\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}|\mathrm{Pr}(X=a)-\mathrm{Pr}(W=a)|$

式中X和W表示不同的分布。产额Y是能够从原始随机二进制数序列得到的随机二进制数的比值m/n。为检验抽取随机二进制数序列

的方法，使用统计距离ε＝2^-35和最小熵0.38曾产生出由QRNG所产生的具有n＝3200个原始二进制数的序列。得到的产额为0.33。利用QRNG1100算符能够改变原始二进制数的统计距离和数量来适应不同的安全性需要和计算资源。

尽管借助具体的实施方案已经对本发明作了说明，但这并不意味着本发明被限制于这些实施方案。对本领域中熟练的技术人员，本发明构思内的修正改进将会是显而易见的。在本发明可供选择的实施方案中，本领域中的熟练技术人员会认识到用来实现图12-14中所示PSA1104的其他光量子系统、光纤可以用光纤来代替。在本发明可供选择的一些实施方案中，本领域中的熟练技术人员会认识到图11-14中所示的QRNG实施方案在更大规模的电子计算设备中，如在电子和量子计算设备中，能够整合成随机数发生器。在本发明可供选择的实施方案中，除了相干态以外的状态，如热状态，也可以使用。例如，状态发生器1102可以是发光管或发光二极管。在本发明可供选择的实施方案中，涂极化态|H>，|V>，|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>及|α_L>以外的极化状态也可以使用，如在James等参考文献中所说明的极化状态。

为解释起见，上述说明使用了专门术语以提供对本发明的透彻了解。不过，对本领域普通技术人员显然不需要这些特别的细节来实践本发明。给出本发明具体实施方案的上述说明其目的在于进行解释和说明。它们并非是要详尽无遗地说明本发明或把本发明限制在所公开的确切形式上。显然，由上面讲授内容看来许多修正和变动都是可能的。给出并说明这些实施方案为的是最好地解释本发明的原理及其实际应用，从而使本领域中的其他技术人员能够最好地利用本发明以及具有适合于预期特定应用的各种改进的不同实施方案。其意图是由下述的权利要求及其同等要求来限定本发明的范围。

附录

定理1。用密度矩阵所描述的系统的最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

为了举例说明定理1的证明，举例说明以下三个助定理的证明。

助定理1。对每个纯态|Ψ>存在：

H_Min(|ψ><ψ|)＝f(|ψ><ψ|)

通过对Pr_n>1/2，Pr_n<1/2，及Pr_n＝1/2等情况示出下式：

$\max ({\mathrm{Pr}}_H.{\mathrm{Pr}}_V)=\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+{\mathrm{iS}}_2|}^2}}{2}$

来说明助定理1的证明。第一，因为|Ψ>为纯态，如上面参照图10所说明的相关的斯托克斯参数，与波因凯尔球表面上某一点相对应，特别是参考S₁和S₂由下式给出：

$S_1=\sqrt{{4P}_H(1-P_H)}\cos 2\mathrm{\&psi;}$

$S_2=\sqrt{{4P}_H(1-P_H)}\sin 2\mathrm{\&psi;}$

将S₁和S₂代入右侧给出：

$\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+{\mathrm{iS}}_2|}^2}}{2}=\frac{1+\sqrt{1-{4\mathrm{Pr}}_H(1-{\mathrm{Pr}}_H)}}{2}$

$=\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_H|$

当Pr_H>1/2时，左侧简化成

max(Pr_H，1-Pr_H)＝Pr_H，

而右侧简化成：

$\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_H|=\frac{1}{2}+{\mathrm{Pr}}_H-\frac{1}{2}={\mathrm{Pr}}_H$

当Pr_H<1/2时，左侧简化成

max(Pr_H，1-Pr_H)＝1-Pr_H

而右侧简化成

$\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_H|=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_H=1-{\mathrm{Pr}}_H$

最后，对无数的情况，当Pr_HV＝1/2时，左侧和右侧都简化为1/2。

助定理2。用密度矩阵：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3^{\&prime;}& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3^{\&prime;}\end{array}\right],$ 和

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1-S_3^{\&prime;}& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1+S_3^{\&prime;}\end{array}\right]$

表示而其中 $S_3^{\&prime;}=\sqrt{1-S_1^2-S_2^2}$ 的两个纯态|Ψ₁>和|Ψ₂>是密度矩阵

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3\end{array}\right]$

的分解。

助定理2的证明：密度矩阵表示的纯态是

的分解，其对角线矩阵元满足：

p₁+p₂＝1，和

$p_1-p_2=\frac{S_3}{S_3^{\&prime;}}$

根据助定理1，由于|Ψ₁>和|Ψ₂>均为纯态，故

$H_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=H_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

此外，根据以上对 $H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)}^n\right)$ 的方程，在n＝1时：

$H_{\mathrm{Min}}\left(p_1\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1|+p_2|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

$=p_1{H}_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\right)+p_2{H}_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

       $=(p_1+p_2)f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

       $=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

助定理3。函数f

为波因凯尔球上斯托克斯参数S₁，S₂，S₃的收敛函数。

助定理3的证明：函数f

的海斯矩阵(Hessian matrix)的本征值为域(1/2，1)范围内的非负值。

定理1的证明。根据收敛函数的特性，对

的每个分解都存在：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&le;\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_{i}f\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)$

将助定理1的结果代入并使用以上方程给出：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&le;H_{\mathrm{Min}}\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)$

这表明f

为

的最小熵的下限。但是，根据助定理2，至少有一个分解其

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

因此，f

等于对所有分解的H_Min的最小值。证毕。

Claims (10)

1.基于光的自鉴别随机数发生器(1100，1200，1300)，其包括：

- 状态发生器(1102)，所述状态发生器(1102)被配置用来产生相干状态的量子系统；

- 极化状态分析器(1104)，所述极化状态分析器(1104)被配置成将量子系统投射到四个不同极化状态中的一个极化态，以及检测四个不同极化态中的每个极化态；

- 原始位发生器(1106)，所述原始位发生器(1106)被配置成将量子系统转换成单个光子并且检测此单光子是处在与第一二进制数相应的第一极化态还是处在与第二二进制数相应的第二极化态；以及

- 系统控制装置(1108)，所述系统控制装置(1108)被配置成接收来自极化状态分析器和原始位发生器的信号，这些信号与极化态相对应，以及根据单光子的第一和第二极化态输出随机数。

2.根据权利要求1所述的系统，其中状态发生器(1102)还包括下列各项中的一项：

激光二极管、发光管、及发光二极管。

3.根据权利要求1所述的系统，其中所述量子系统还包括电磁辐射脉冲。

4.根据权利要求1所述的系统，其中所述极化状态分析器(1104)还包括：

第一分束器(1202)，该第一分束器(1202)被配置成将量子系统分离成第一反射量子系统和第一传输量子系统，第一反射的和第一传输的量子系统两者都处在第一极化态；

第二分束器(1204)，该第二分束器(1204)被配置成将第一传输量子系统分离成第二反射量子系统和第二传输量子系统，第二反射的和第二传输的量子系统两者都处在第一极化态并且第二传输量子系统是针对原始位发生器；

半波片(1206)，该半波片(1206)被配置成接收处在第一极化态的第一反射量子系统并输出处在第二极化态的第一反射量子系统；

四分之一波片(1208)，该四分之一波片(1208)被配置成接收第一极化态的第二反射量子系统并输出第三极化态的第二反射量子系统；

第一极化分束器(1210)，该第一极化分束器(1210)被配置成将第一反射量子系统分离为第一水平极化的量子系统和第一垂直极化的量子系统；

第二极化分束器(1212)，该第二极化分束器(1212)被配置成将第二反射量子系统分离为第二水平极化的量子系统和第二垂直极化的量子系统；及

四个光电二极管检测器(1214-1217)，每个光电二极管检测器被配置成用来检测水平和垂直极化量子系统中的一个极化量子系统。

5.根据权利要求1所述的系统，其中所述极化状态分析器(1104)还包括：

分束器(1302)，该分束器(1302)被配置成将量子系统分离成反射的量子系统和传输的量子系统，该反射的和传输的量子系统两者都处在第一极化态并且传输量子系统是针对原始位发生器；

凹透镜(1304)，该凹透镜(1304)被配置成接收反射的量子系统并输出发散的量子系统；

象限极化滤波器(1306)，该象限极化滤波器(1306)被配置成接收发散的量子系统并输出四个量子系统，这四个量子系统中的每个量子系统处在四个极化态中的一个极化态；以及

象限光电二极管检测器(1308)，该象限光电二极管检测器(1308)被配置成分别检测处在四个极化态的四个量子系统中的每个量子系统。

6.根据权利要求1所述的系统，其中该原始位发生器(1106)还包括：

衰减器(1120)，该衰减器(1120)被配置成将处在相干态的量子系统转换成真空态或单个光子，此单个光子处在相互正交的第一和第二极化态的线性叠加状态；

极化分束器(1224)，该极化分束器(1224)被配置成传输第一极化态的单个光子并反射第二极化态的单个光子；

延迟光纤(1226)，其与极化分束器相连接并配置成传输第二极化态的单个光子；以及

单光子计数模块(1230)，该单光子计数模块(1230)被配置成检测处在第一极化态或第二极化态的单个光子并向系统控制装置输出相应的信号。

7.根据权利要求1所述的随机数发生器，其中该系统控制装置(1108)接收从极化状态分析器输出的信号，每个信号代表检测四个不同极化状态中的一个极化态，接收从原始位发生器输出的信号，每个信号代表单个光子的极化态，以及进行断层分析来鉴别从原始发生器输出的信号的随机性。

8.基于光的自鉴别随机数发生器(1400)，其包括：

状态发生器(1102)，该状态发生器(1102)被配置成产生相干态的量子系统；

分束器(1402)，该分束器(1402)被配置成将量子系统分离成多个独立的量子系统，这些独立量子系统中的每个量子系统都处在相干状态；

极化滤波器(1404-1409)，每个极化滤波器被配置成将这多个量子系统中的每个量子系统都投射到不同的极化态；

第一衰减器(1412)，该第一衰减器(1412)被配置成衰减这多个量子系统中的第一个量子系统，第二衰减器(1414)，该第二衰减器(1414)被配置成衰减所述多个量子系统中的第二个量子系统；

光电二极管(1416-1421)，每个光电二极管配置成检测这些独立量子系统中的一个量子系统；以及

系统控制装置(1108)，该系统控制装置(1108)被配置成接收从其中每个光电二极管输出的信号，每个信号代表检测这些不同极化态中的一个极化态，并输出随机二进制数。

9.根据权利要求8所述的系统，其中状态发生器(1102)还包括激光二极管。

10.根据权利要求8所述的系统，其中六个光电二极管(1416-1421)还包括两个雪崩光电二极管和四个PIN光电二极，所述两个雪崩光电二极管被配置成检测六个量子系统中的第一和第二量子系统，所述四个PIN光电二极管被配置成检测四个余下的量子系统。

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