CN107683460A - 在传统处理器上模拟量子样计算的quanton表示 - Google Patents

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Abstract

Quanton虚拟机在多项式时间中逼近阶乘空间中的NP‑困难问题的解。数据表示和方法在传统硬件上模拟量子计算，但是如果在量子硬件上运行时，也实施量子计算。Quanton使用由莱默代码进行索引的置换和置换运算符来表示量子门和运算。生成函数将索引嵌入至几何对象中以便进行高效的压缩表示。将非线性定向概率分布嵌入至流形，并且在每个索引点的切线空间处也是线性概率分布。对于分布的简单向量运算对应于量子门运算。Quanton提供量子计算的特征：叠加、量子化和纠缠替代。Quanton群体作为对问题求解的局部进化门运算或作为分布估计算法中的候选解来进化。Quanton使用置换的模算术，因此在任何硬件上都是完全并行的。

Description

在传统处理器上模拟量子样计算的QUANTON表示
相关申请的交叉引用
本申请基于并且要求2015年5月5日提交的美国临时申请号62/156,955的优先权的权益，所述申请的整个内容以引用的方式并入本文。
技术领域
本公开涉及模拟量子样(quantum-like)计算并且执行若干实际数据处理功能的概率多项式图灵机计算模型，并且更具体地涉及在传统计算机上的经典概率和量子计算或量子模拟中的表示系统和计算方法，其通过置换来重新制定函数的计算并且将这些置换嵌入概率空间中，并且并入拓扑量子计算方法。
背景技术
通用计算模型可被称为虚拟机，传统上称为图灵机，并且根据丘奇-图灵论点，虚拟机建立在作为函数求值的计算的基础上，其原型是λ-演算。存在设计图灵机的许多其他方法，例如像使用π-演算作为基础，或使用概率理论模型来建立概率图灵机或使用量子理论来建立量子图灵机。
许多类别的人工智能技术经常从哲学、数学、物理、生物和经济学中得到启发；然而，虽然将这些不同学科的部分加以组合的创新可为本领域技术人员的常识，但是在将它们整合在一起时，却不是显而易见的。因此，对于在面临相冲突的需求时如何做出好的选择，以及做出哪些学科的哪些选择(例如，生物学启发或经济学启发模型等)的研究是所有数据分析中的基本问题：这正是我们的技术进行应用的地方。
选择良好数据是如何作出好的决策的问题的基础；另外，存在处置相冲突的数据、弱信号或非常高组合复杂度的问题。相冲突的数据仅意味着数据指示不一致的逻辑推测结果。弱信号是很难与噪声或掩盖弱信号的迷惑性地强信号区分开来的信号。经典方法，诸如频率统计分析，对于强信号或简单复杂度类别起作用从而使得在发现结果时，就确保它是最佳解。然而，在弱信号或较高复杂度类别的情况下，通常必须实现折衷的平衡，因为将使用某种程度的逼近来代替确切的答案。在这些情况下，数据特征不是它是弱或强，而是它非常复杂。复杂度由于定义计算复杂度类别的基本算法结构，或描述数据的数据量或大小、数据的高维度、动态性或与其他数据的错综复杂的关系而产生。总之，这些问题使得将数据分离成不同类别并且加以分析变得非常复杂。
许多时候，在没有训练数据用于合成创造性问题(诸如合成新药物或材料设计)的新解决方案时，假定存在训练数据样本。在经典方法中，相同的基本分布从与问题解数据相同的集合中得到训练样本；然而，归因于数据收集的稀疏性和噪声以及有时输入的较大变化，不能作出关于训练与解数据之间的一致性的假设，或必须创建以前不存在的新模型。
在需要作出基于成层数据(诸如本体和分类或其他层次中的数据)的决策的背景下，可预期由于数据所属的层次会导致对于响应产生影响。在模型框架中，在给出特定集合的协变量和数据的情况下，由于层次成员关系所导致的移位可显著影响一些结果的分布的估计。特定层次内的成员关系可影响所关注的分布的值。然而，在许多情况下，不希望明确估计这些层次级别的效应：反之，试图估计所关注的其他参数，诸如与跨层次所观察到并且导致估计值中的任何非线性的其他特征相关联的线性系数。在具体示例中，考虑经典条件似然性模型方法的情况，其中对于所述层次中的观察结果的直方图进行条件限制。这种条件似然性不随着任何层次级别的线性效应而变化，因而在本文描述的模型中，将这些效应作为(似然性中的)贡献因子加以移除。然后，可继续使用具有最大似然性估计的模型来恢复所关注的其余参数。举例来说，在病例-对照研究中，诸如在临床心理试验的分析中，通过对于响应的直方图进行条件限制，层次相当于考虑响应向量的所有置换。这导致对组合性地、并因此阶乘性地增长的数目的项进行求和。在此经典方法中，计算变得不可行。
然而，难以在数据中发现的模式一定具有一些相关特征，另外需要处理纯噪声。这些模式难以识别，因为它们经常与其他模式混淆；它们可能看起来由于噪声而失真，但是尽管有噪声，一旦被识别，就可被恢复并且分类。在以前没有模式模型存在时，有时需要通过推测性假设模式模型结构，然后相对于此结构来测试数据中的模式的存在，从而学习模式。
在二十世纪九十年代后期，引入“分布估计算法”(EDA)并且在文献中以若干其他术语来命名，诸如“概率模型建立的遗传算法”，或“迭代密度估计算法”。由于其新颖功能，它在基于通过进化的概率模型学习的进化算法、生物学启发计算中成为主要工具，在精神上类似于遗传算法。
EDA估计与训练示例集合相关联的联合概率分布，所述概率分布经由这些示例的概率分布来表达问题的不同变量之间的相互关系。因此，EDA理想地适合于迭代概率机器学习技术。在EDA估计循环中，对在前代中学习的概率模型进行取样产生解的新的群体。在满足一定停止标准，诸如世代/求值的最大数目、同源群体或解没有改善时，算法停止迭代并且返回跨代发现的最佳解。
NP-困难问题的大多数方法(诸如在阶乘性大数据空间中的推测、复杂数据集中的对象排序和数据配准)依赖于凸优化、整数规划、弛张和相关经典逼近技术以便获得不精确的但是接近地代表决策解的解。另外，解决这类问题的标准方法假设线性目标函数。然而，通常这只是实际问题的近似法，它可为非线性的并且允许非线性函数产生宽得多的表现力。然而，在同一模型中将线性和非线性结构组合的方法很大程度上是临时的(ad-hoc)。
在需要考虑到数据之间的相关性时，概率推测变得笨拙和复杂，这与在例如贝叶斯推论中通常使用的数据独立性的假定形成对照。在复杂关联网络中推测的方法经常依赖于模拟拼接和各种逼近，同时强制执行对依序处理数据的要求并且在零假设的情况下。诸如马尔可夫随机场、马尔可夫逻辑、贝叶斯信念网络的方法和其他类似结构属于刚刚提供的处理模型。
机器学习应用经常涉及从本质上内在地定向的数据或相关联、或成层或潜在序列化的数据学习深层模式，并且最经常地在真实世界情况中，数据是序列化、成层、定向并且相关联的，而没有集群大小的任何先验知识。谱聚类技术传统上用于生成嵌入，这些嵌入构成定向数据分析的原型，但是可产生超球面上的不同形状(取决于原始结构)，从而导致解释困难。这类定向数据的示例包括文字、医疗信息学、保险索赔分析和包括定向向量场的大多数科学的一些领域(风、天气、物理现象)。基于例如在图模型中的期望最大化(EM)策略或最大后验(MAP)推测，定向数据的各种概率密度存在一些优势和缺点。主要困难是学习后验概率，由于不完全知识(或缺失数据)或问题的复杂度，后验概率通常不是直接可获得的，所以必须使用逼近。学习的输出是某种原型。
从给定或观察的对象的集合中学习原型是机器学习中的核心问题，在图像理解、认知视觉、模式识别、数据挖掘和生物信息学中具有大量应用。通常的方法是获得一些数据(经常是来自相对很少的充分理解的真实世界示例的稀疏输入)并且学习模式，所述模式被称为原型。原型使所识别的输入对象之间的总体差异(当差异存在时)最小化。这些计算出的原型可用于对于非常大量的结构数据进行推测、分类或索引，以使得可通过只考虑这些原型的性质来高效地答复查询。另一个重要应用是原型可用于只从少许部分观察结果来重建对象，作为对压缩的知识或感知的一种形式。原型可用于识别不同数据项的集合中的一般(即使隐藏)的模式，由此以不明显的方式将数据项产生联系。用于原型学习和表示的软件数据结构可用于例如对于一组点进行结构匹配，所述点的成对距离在刚性变换下保持不变。
许多原型学习算法将数据嵌入低维度流形(manifold)中，由此产生低粒度表示，所述低粒度表示通常是(但不总是)局部线性的，并且有希望以一定方式来捕获显著性质，所述方式可能在计算上适用于所探讨的问题，而不产生假阴性和阳性。缺失数据或推断数据缺失是许多流形嵌入技术的主要问题，因为数据的结构性组成在嵌入过程期间丢失，所以，作为其运算的一部分，流形无法利用缺失结构或恢复缺失结构。
本文提供的“背景”描述是用于总体上呈现本公开的情境的目的。在这个背景部分中描述的范围中的目前被指名的发明人的工作，以及本说明书的一些方面可能另外没有资格在提交时充当现有技术，这些研究和方面都不明确或隐含地承认是相对于本公开的现有技术。
发明内容
Quanton虚拟机在多项式时间中逼近阶乘空间中的NP-困难问题的解。数据表示和方法在传统硬件上模拟量子计算，但是如果在量子硬件上运行时，也实施量子计算。Quanton使用由莱默(Lehmer)代码进行索引的置换和置换运算符来表示量子门和运算。生成函数将索引嵌入至几何对象中以便进行高效的压缩表示。将非线性定向概率分布嵌入流形，并且在每个索引点的切线空间处也是线性概率分布。对于分布的简单向量运算对应于量子门运算。Quanton提供量子计算的特征：叠加、量子化和纠缠替代。Quanton群体作为对问题求解的局部进化门运算或作为分布估计算法中的候选解来进化。Quanton使用置换的模算术，因此在任何硬件上都是完全并行的。
前述段落通过一般介绍而提供，并且不意欲限制以下权利要求的范围。可以通过结合附图参考以下详细描述来最佳地理解所描述实施方案和其它优点。
附图说明
当结合附图一起考虑时，通过参考以下详细描述，将更容易获得对本发明及其多个附加优点的更加完整的理解，从而更好地理解本发明及其多个附加优点，其中：
图1示出系统的概览的示例性流程图；图2示出多胞形顶点(置换阵)处的置换序列的示例性表示；
图3示出用于生成多胞形上的顶点的示例性斐波纳契晶格；
图4示出超球面的表面上的特定概率密度分布的示例性几何形状；
图5示出超球面的切线空间上的分布的示例性混合；
图6示出Quanton的球面斐波纳契晶格上的特定切点和切线空间；
图7示出Quanton的分布估计算法的迭代反馈数据处理的模式；
图8示出Quanton的概率路径密度与将量子位映射至经典位的查找表；
图9示出Quanton的拓扑结构和嵌入置换状态空间作为球面上的轨道形的示例；
图10示出Quanton的分布估计算法的运算模型；
图11示出Quanton构造的示例性校准运算和分解；
图12示出Quanton校准构造处理的示例性细节；
图13A示出4-置换轨道形的空间的示例性拓扑结构；
图13B示出5-置换轨道形的空间的示例性拓扑结构；
图14示出描述递归进化和估计的流程图；
图15示出少许辫群和置换轨道形(区带形)的空间的多面体结构；
图16示出展示量子化多面体概率密度分布的多面体结构；
图17示出展示单一量子化多面体概率密度的投影的多面体结构；
图18A示出量子门(量子电路)的示例；
图18B示出置换表示与量子电路之间的等效性；
图19示出经典不可逆的全加器电路和可逆(量子)全加器电路的示例；
图20A示出计算的置换模型的流程图；
图20B示出计算的置换模型的另一个流程图；
图20C示出计算的置换模型的另一个流程图；
图20D示出计算的置换模型的另一个流程图；
图21示出双调排序网络多项式约束和相应实施方案的示例；
图22示出双调排序网络运算和设计的示例；
图23示出作为多胞形设计的双调排序网络运算；
图24示出充当排序网络的编辨的示例；
图25示出置换矩阵和置换正负号倒转矩阵的示例；
图26示出置换矩阵和置换模式矩阵的示例；
图27示出点与相对于角参数的点处的切线之间的关系；
图28示出球面(或超球面)上的特定概率密度分布的几何形状；
图29示出将置换嵌入至具有概率密度的轨道形上的示例；
图30示出超球面的Quanton数据结构构造的流程图；
图31示出作为组合模式的置换矩阵区带形的顶点的重新解释；
图32示出3-置换轨道形模式的示例性枚举；
图33示出以使用莱默索引的排序索引来编码3-置换轨道形模式；
图34示出通过基于模式的取样来将信号数字化和展示数字编码；
图35示出映射至球面的模式；
图36示出球面的中心处的模式是混合态，同时表面是纯态；
图37示出映射至Quanton的模式的示例；
图38示出具有嵌套Quanton的Quanton的层次结构；
图39示出分布估计算法中的Quanton的示例性流程图图解；
图40示出片上系统(SOC)中的Quanton的示例性硬件设计；
图41示出Quanton PMBGA共同输出的总体主流程图；以及
图42示出根据一个实施例的计算机的示例性图示。
具体实施方式
通过处理代表模型状态的置换来执行对量子计算的逼近提供通过迭代来同时计算所有状态的解释。将分布作为逼近密度泛函来处理，评估分布，将这些分布与通过置换来表示的状态空间相耦合，基于这些分布来计算，使用对于对称群的这些分布来推测和使用本发明Quanton模型来进行结构学习是本公开的实施例所描述的中心思想。
n个项目的置换问题中的解的搜索空间是n阶乘。就n大小的对称群而论，搜索空间通常指示为Sn。通常，在n高于相对较小数字时，置换问题被称为非常困难问题，并且其计算复杂度表明许多典型置换问题是NP-困难的。考虑到其复杂度，计算最优解通常是难处理的。出于这个原因，发明Quanton以便实施一种数据结构，所述数据结构被设计为在搜索空间的阶乘规模下起作用，在最坏情况下近似地起作用，并且在最好情况下在某些特殊情形中精确地起作用。
此外，应指出量子计算在解的可能性、Quanton数据结构和方法方面也具有极大空间，使用在本公开中描述的建立在置换即计算(又称置换量子计算)思想上的独特、高效和可计算的模型，Quanton在本文中被设计来作为虚拟机来模拟量子计算。
现在，参看图1，其提供Quanton概览，整个程序存在两个部分：首先，存在创建在模拟局部(局限于Quanton)计算运算中使用的Quanton的局部程序，并且然后存在对Quanton或Quanton群体进行进化以便学习输入数据问题的全局程序。执行上述过程以基于分布估计(EDA)算法程序来产生最优解，所述分布估计算法也称为概率模型建立遗传算法(PMBGA)。
Quanton以特殊方式来使用嵌入置换，所述方式允许置换分别在连续概率空间中(通过使用晶格)具有唯一索引。这为运算产生唯一编码，使得它能够模拟量子门。所以，量子门被嵌入连续概率向量空间中，其中快速向量计算执行复杂量子门运算的等效运算、将输入变换成输出或等效地，计算各个状态之间的量子跃迁。鉴于如在Quanton上进行索引，所有置换同时可获得，因此，每一个连续向量空间运算同时更新所有置换，因为执行更新的是概率密度分布。在这个意义上，Quanton代表所有潜在解的叠加。由于Quanton的晶格，因此它代表量子化离散结构，并且纠缠通过变量之间的相关性来表示，所述变量由于进化过程而出现，作为输入查询状态(即，将要学习或求解的数据)的解集合，所述演化过程呈现纠缠状态。
步骤-1：使用Quanton来计算的主要程序是初始化和设置，不论个体Quanton得以实例化，或Quanton群体得以实例化，项目1。问题大小是已知或未知的，项目1。如果问题大小已知，或通过外部源来估计，那么此数字用于设定Quanton的大小。问题大小经常在某种程度上与问题复杂度相关，并且如果这种大小是已知的，那么可设定作为Quanton群体的群体大小。如果这大小是未知的，那么设定随机群体大小。
对应于至少图2和表4的本公开的部分提供设计Quanton的进一步细节以便实例化。
步骤-2：作为设计局部和全局结构的一部分，下一个程序分配局部结构和全局分布式群体结构。局部Quanton结构使用朗道数(Landau number)来生成适合问题大小的最大置换群的大小，同时Quanton群体的全局结构通过选择分布函数来设定。创建置换的朗道过程在对应于图20A的本公开的部分中详述。
步骤-3：在局部和全局水平，存在“导览信息几何形状”空间的深层和基本概念。在个体Quanton的局部情况下，这相当于选择如何将规则网格或晶格嵌入成形几何形状中。选择晶格和几何形状的细节在本公开的表1中的本公开的部分中给出。在全局情况下，信息几何形状是探索群体的搜索空间的取样程序，或换句话说，取样函数进入Quanton群体的几何形状中以便在探索空间时选择候选解。
步骤-4：在Quanton的局部模型中，根据本公开的表5的非线性定向概率密度函数分配至Quanton，导致嵌入在每个晶格点处的每个置换具有到达下一个置换的跃迁概率，或根据用户的判断，概率也可代表置换观察结果的似然性。这使得能够在Quanton的运算中使用L2范数。举例来说，对于如超球面的流形的一般贝叶斯推论和概率密度再分布方法被称为贝叶斯过滤并且可使用分布诸如肯特(Kent)或冯·米塞斯费希尔(von Mises Fisher)分布和其更简单型式，卡尔曼(Kalman)过滤以便更新分布直到达到某个收敛或固定点为止。
步骤-5：通过将流形的每个晶格点处的切线空间关联，从而允许在Quanton的运算中使用L1范数，线性概率密度也与Quanton相关联。所以，Quanton将与每个置换相关联的线性和非线性部件加以组合。基于不同切线空间中的高斯分布的狄利克雷(Dirichlet)过程混合模型、通过使用传统和弹性混合模型来进行Quanton的更新，以便处置未知数目的部件并且可容易地扩展至高维数据以便在其线性空间中执行Quanton概率更新。
步骤-6：本公开的最独特部分是通过使用朗道编号来建立Quanton以便生成置换，直接等同于量子门或量子电路的置换门运算符与置换相关联以使得Quanton上的置换关系对应于量子运算的操作。此映射的进一步细节在至少对应于图19的本公开中提供。
步骤-7：Quanton可直接用作量子模拟器(即，量子虚拟机)或它可然后用于Quanton群体中，其中量子门运算符替换传统计算的通常位串的交叉和变异运算的常规概念：在这个意义上，Quanton提供量子电路的进化途径，从而产生使用PMBGA来解决问题的量子电路，如在对应于本公开的图39的部分中进一步详述。这是非常重要的，因为本公开的运算全部在低多项式成本下、以非常高的效率发生，并且因此，这种系统可看作是使用量子计算的新范式来解决问题的超快速、可扩展量子模拟器。如果Quanton用于解决困难问题，那么它充当近似图灵机模型以便逼近NP-困难问题的解，这种逼近是通过识别候选解的迭代群体分布估计算法中的概率多项式计算步骤来实现的。
步骤-8：在群体内产生新个体的进化步骤是主要过程。如在至少对应于图18A的本公开的部分的进一步细节中解释，所述进化通过应用量子门运算符来进行，所述门运算符对于由置换来表示的Quanton的门状态起作用，如本公开的实施例所描述。因为本公开具有建立和执行量子门的极快速运算的系统和方法，所以通过使用置换形式的量子门运算符，可高效地将此量子应用和方法在像PMBGA这样的经典架构中组合以便在充当问题求解器的群体内进化量子计算电路。
步骤-9：一旦选择了量子门运算符，如在步骤-8中，将Quanton的量子电路更新并且分布估计得以更新。
步骤-10：置换距离函数用于测量量子门解。如果距离较小，那么解接近。如果距离较远，那么解仍然有待发现。因此，Quanton的关键部分是选择置换距离函数。存在距离函数的多种选择，诸如门操作的输出位串之间的海明距离或作为门操作的位串之间的编辑距离的莱文施泰因距离。然而，本公开使用与量子系统的概率性质更密切匹配的置换距离：对于置换的距离测量基于广义马洛斯(Mallows)模型，所述模型遵循J Ceberio,E Irurozki,AMendiburu,JA Lozano,“对Mallows和广义Mallows分布估计算法的距离的综述(A reviewof distances for the Mallows and Generalized Mallows estimation ofdistribution algorithms)”,计算优化和应用(Computational Optimization andApplications)62(2),545-564的教导并且以其全部并入本文。
距离度量类似于位串之间的莱文施泰因编辑(Levenstein Edit)距离度量，除了在此情况下使用Mallows模型以外，所述Mallows模型是基于距离的指数模型，它与莱文施泰因度量类似地使用肯德尔τ(Kendall tau)距离：在给出两个置换σ1和σ2的情况下，所述度量对σ1与σ2之间的成对不一致性的总数进行计数，这相当于将σ1转换成σ2的相邻互换的最小数。如对应于图39的本公开的部分中提及，这实际上相当于本公开提供的量子置换计算方法中的量子门运算符。因此，使用此距离度量的进化寻求执行问题解决的最优量子电路。
步骤-11：基于测量适合度的距离函数，产生解的那些Quanton通过计算呈位串形式的输出解状态或在群体注射回到群体中时计算解状态来针对适合度进行评估。如果适合度相对于阈限是次最优的，那么将群体注射回来并且将亲代删除，将更适合的子代Quanton保留在适当位置。如果系统超过迭代次数的用户定义阈限，或Quanton获得需要适合度水平，那么其作为将要利用的解来返回。
概率模型根据当前Quanton群体中的最佳解的分布来建立。因此，来自Quanton群体模型的取样解应落于具有高概率的有希望的区域或接近全局最优值。
总体上，采用Quanton计算模型的Quanton虚拟机具有基于原始图灵机的计算模型所需要的所有性质。另外，Quanton计算模型使用高维表面(例如，超球面或n-环面)上的晶格点处的概率分布函数来表示各种计算问题，所述晶格点通过置换来表示。由Quanton计算模型提供的特征的独特组合克服更常规计算和机器学习模型的许多以上所识别的挑战。
举例来说，如以上识别，在不能作出关于训练与解数据之间的一致性的假设或必须创建以前不存在的新模型时，机器学习的常规模型可失去效力。在这些情况下，Quanton计算模型可有利地减轻常规方法的这些限制，因为在本发明中，在不忽略传统方法的合宜线性性质的情况下，输入数据空间中的局部特征和内在几何结构呈现用于分类的更大辨别能力，同时因为也考虑到非线性，所以不过度地适合一致性假设。
另外，虽然EDA模型具有许多有益性质，如上所述，Quanton计算模型可对于这些性质加以改进。Quanton模型相对于标准EDA模型的唯一差异是Quanton模型将基于置换晶格(状态空间)的结构表示中的定向(不可交换的、几何的并且通常复杂的)概率密度函数与局部线性切线空间上的概率密度加以组合。置换可将任何其他模型或模式结构进行索引或予以直接表示，如本公开将示出。有向概率密度代表数据的非线性部件并且切线空间表示线性部件。因此，Quanton模型在定向或复杂概率密度和结构之间进行区分，而常规EDA模型只使用各向同性概率并且没有任何种类的状态空间结构或晶格。
如稍后详细描述，置换得以生成并且嵌入晶格中，所述晶格对流形进行细分：这种晶格的示例是斐波纳契晶格并且将置换相应地分配至晶格点的示例是置换面体(permutohedron)，或优选地，它更优地表示为置换矩阵的伯克霍夫(Birkhoff)多胞形。结构的进一步细节在本公开的多个实施例中提供；然而，重要的是应注意，在Quanton中，每一个离散结构具有唯一非线性概率密度函数空间以及与它相关联的线性概率密度函数空间。
Quanton的最近相关概念是概率单纯形，其已用于例如针对主题分析的自然语言处理中。概率单纯形中的点表示主题分布。两个概率分布之间的差异产生主题相似性。距离量度不适合于概率单纯形，因为对概率分布差异进行比较，并且基于分散度的测量基于信息理论相似性，诸如所使用的Kullback-Leibler和Jensen-Shannon分散度和Hellinger距离不符合三角形不等式。然而，K个项目诸如主题内的概率分布仅仅是位于概率单纯形中的向量，单一概率分布分配给所述概率单纯形。因此，大的数据集通过单纯形中的点(即，向量)来表示文档：这些数据集不能使用通常的最近邻方法或基于潜在语义索引的方法来解决。在文档通过单纯形来表示时不能执行快速文档相似性计算限制这些拓扑表示在非常大规模下的探索和潜力。
为了进一步示出和强调Quanton模型与EDA模型之间的差异，利用简单欧几里得球面作为示例，强调这只是如本公开定义的更一般超曲面的特殊情况。首先，存在可分配给本身是非线性空间的球面的表面的定向概率密度；并且其次，在球面的表面上的任何点处，可定义切点处的切线空间，所述切线空间是也可含有其自身概率密度函数的线性子空间。因此，Quanton将相对于数据结构的线性(在切线空间中)和非线性部件(在球面空间中)概率密度函数加以组合。数据结构本身通过置换来进行索引或表示。
此外，Quanton模型是概率单纯形思想和EDA方法的杂交，其具有新的快速编码以使得计算可在低多项式时间内实现。编码依赖于使用几何代数来表示Quanton并且在进一步需要时，通过在共形空间中重新表示Quanton来简化计算：事实上最近邻和比较搜索通过距离敏感哈希函数来表示，所述哈希函数将相关文档或主题在Quanton的非线性底空间的线性子空间中加以编码。
几何代数(GA)是基于几何对称性的无坐标代数。在GA中，几何对象和对于这些对象的运算符在单一代数中处理。GA的特殊特性是其几何直观。球面和圆形都是具有几何意义的代数对象。分布式方法基于简单假设：对象的意义可从其用法来推断。将这种思想应用于向量空间模型使得可构造情境空间，其中对象通过几何子空间中的数学点来表示。相似对象在此空间中表示为接近的并且“用法”的定义取决于用于建立空间的情境的定义。举例来说，在词语的情况下，使用词语作为对象，情境空间可为整个文档、词语出现的句子、词语的固定窗口，或特定语法情境。然而，虽然在许多认知任务中，分布式表示可模拟人为表现(例如，LSA模型)，但是它们不代表对象-关系-对象三联体(或命题)，所述三联体在理解的认知理论中被认为是思想的原子单位：在Quanton模型中，数据作为置换向量来处理。因此，在语言学的情况下，通常来说，词语仅仅是对于短语的置换，所述短语是句子的置换，所述句子本身是段落和文本的置换。在图像数据的情况下，置换基于像素来产生纹理元素，并且纹理元素的置换产生图像。
如上所述，常规计算模型可处于不利地位，因为它们使用经典逼近技术来获得解，所述解是不精确的但是接近地代表决策解。这种类型的逼近的挑战是真实问题可能是非线性的并且允许非线性函数产生宽得多的表现力。然而，在同一模型中将线性和非线性结构进行组合的常规方法很大程度上是临时的。Quanton模型提供将两种表示加以组合的同源方法，因此使用概率学习或推测的简单程序。进一步地，如上所述，学习方法诸如期望最大化(EM)策略或最大后验(MAP)推测可各自具有其自己的一组挑战。
Quanton模型还使用嵌入方法，同时利用较高粒度能够处置较高维度、减少假阳性或阴性和处理缺失数据的益处。在给出取样点的适当选择的情况下，噪声部分数据可在O(dNK)时间内重构，其中d是过滤运算的空间的维度，而K是不依赖于N和d的值。
举例来说，关于加速高维高斯滤波器的最近研究集中于使用样本的规则网格来明确表示具有点样本的高维空间。当空间以这种方式来明确表示时，通过将输入数据重新取样至高维样本上、对样本执行高维高斯模糊，然后重新取样回到输入空间中来实施过滤。这个过程通常在文献中定义为泼溅、模糊和切片的三个阶段。此外，不同于其他系统，本系统可用于机器学习以便基于训练数据输入来诱导过滤响应。代替只使用样本的规则网格，可增强所述方法并且使用置换多面体晶格，所述多面体晶格使用均匀单纯形对高维空间进行细分。此外，在机器学习阶段，可向此细分应用概率密度量度以便用先验来配置晶格以便推测。置换面体的细分单纯形是高维四面体，因此任何给定点的封闭单纯形可通过简单舍入算法(基于量子化分解)来发现。对于在d个维度中具有n个值的高维数据，使用置换多面体晶格具有O(d^2n)的时间复杂度，和O(dn)的空间复杂度，但是使用本发明的编码作为排序轨道形(orbitope)，这种复杂度减少至k.log(d)。
一旦机器学习阶段完成，并且应用开始使用习得模式，重要的是在大规模在线实时知识处理的目标下，这些习得模式对于噪声是稳定的和有弹性的，并且能够在高速率、高数据吞吐量下运行。关键学习问题是结构识别的问题，即发现代表观察到的数据的集合的最佳结构。虽然所述问题通常是NP-困难的，但是在本公开中提供的数据表示技术提供快速逼近获得解的手段。
Quanton可应用于预测性计算，并且尤其用于将情境的貌似合理的因果状态加以外展，或预测潜在可能意外结果。Quanton可用于计算习得轨迹在其流形上所定义的可达成状态的集合：如果此集合不与假想(即，可能反事实)状态的指定集合相交，Quanton将不预测可能意外结果——然而，如果集合确实相交，那么结果是貌似合理的并且可构成意外，所述意外由轨迹给出。
通常，量子计算、机器学习和人工智能以及经典概率计算可受益于可逆电路和高速、高效率、紧凑计算表示和算法，所述表示和算法可扩展至超指数(即，超过百亿亿次)推测和数据空间大小。对于软件和硬件设计来说，与当前技术相比，可逆性导致大致上改进的较低功率消耗。可逆逻辑电路的表示和合成是量子计算的关键步骤：它在新类型加密和计算中也是受关注的。合成执行一般计算、机器学习和推测的一般类型的概率可逆电路的主要挑战是随着输入数目增加，状态空间呈指数倍变大。本公开的实施例描述在传统计算机上的经典概率和量子计算或量子模拟中的表示系统和计算方法，它们是快速、高效的并且使用高度紧凑的表示。任何可计算函数可被嵌入至可逆函数中：这意味着它可表示为置换。本公开的方面通过置换来重新制定函数的计算并且将这些置换嵌入概率空间中以便实现概率多项式图灵机计算模型，所述计算模型模拟量子样计算并且执行若干实际数据处理功能。
本公开提供以下技术：可逆地将离散或符号数据表示映射至在特殊概率配置空间中嵌入的置换表示以使得模拟各种决策或逻辑门过程的计算步骤可通过将任意复杂运算序列简化成一种运算来计算。空间得以量子化并且每个量子化提供索引，使得能够高效地计算可逆映射。量子化通过建立晶格的构造来执行。量子化空间和可逆的离散至空间嵌入操作提供用于近似机器学习和近似计算的数据结构。计算可为精确或近似的。在近似的情况下，量子化可变得足够精细以使得理想分析结果与其近似值之间的差异可变得可忽略。数据结构和算法共同地定义虚拟机，其在本文中称为Quanton或Quanton虚拟机(QVM)。
以下提供QVM作为量子启发数据表示、计算模型和算法的描述，其用于在很高维度和组合复杂领域中执行索引、聚类和推测。Quanton以一定方式来编码数据，所述方式使得如在本文中指定的算法对于任意数据来执行高效量子样计算：必须认识到在本文中使用术语量子样，这是因为Quanton的行为对于Quanton虚拟机运算的单一虚拟时钟循环内的所有可能解路径起作用，如本公开的方面所定义。
Quanton通过将高维并行计算编码至单一计算步骤中来模拟量子样计算。Quanton提供在使用稀疏的训练样本的同时，高效地执行高质量、高维、推测、缺失数据插值、合成和过滤的新方法。Quanton避免在主流技术中发现的缺点。Quanton可在当前软件以及硬件芯片技术(例如，现场可编程门阵列(FPGA)、超大规模集成(VLSI)电路)上制造并且针对Quanton的本公开包括软件的优选实施例以及其硬件规范。
在以下列出的下列示例性应用中，Quanton模型提供任何程度的用户定义准确度的高效逼近。
1.学习和排序偏好；
2.认知图像理解；
3.计算机音乐(例如，自动伴奏或乐句合成)；较大复杂空中交通控制；
4.自动目标识别和目标跟踪；
5.高维阶乘大数据推测、雷达和其他信号跟踪身份指派；
6.计算机图形和视频分析；
7.紧密编码点集配准(像素、立体像素或量子晶格结构)；
8.机器人学、生物测定学、机器学习(诸如聚类)、实验设计、传感器安置、图形模型结构学习、子集选择、数据压缩、资源分配、对象或目标跟踪和具有阶乘性较大(状态)空间的其他问题、刚性物体的对准问题和检测多维点集之间的相似性。
9.语义或文本应用，诸如在共有类似主题的不同文档之间发现变换措辞的段落和；
10.密码学(即，在隐藏代码中发现模式)。
Quanton模型可处理线性和非线性相关性以便从数据中评估一些结果的分布(即，概率度量)，所述数据在条件似然性下、在给出一组相关变数的情况下自然地被观察为分组或层次。举例来说，在病例-对照临床研究中，对于层次中的观察结果的直方图进行条件限制，所述层次相当于考虑病例-对照响应向量的独特元素的所有置换：这产生在计算上对于阶乘性增长数目的项执行求和的需要，这在传统计算机上是不可行的。Quanton通过几何逼近来解决这些问题：它可执行将此成层条件似然性嵌入置换轨道形、超球面或超环面上，最终将杂乱和冗长的组合和用单一简单向量项来替换，从而在(n)log(n)个步骤(而不是阶乘n)中产生解。
Quanton不是如通常定义的量子计算的纯技术意义上的量子计算机——“使用亚原子粒子的量子状态来存储信息的计算机”(牛津英语字典)，而是由量子系统的性质和概念启发。本公开在概率(几何)图灵机方面、基于使用置换来编码的离散状态表示来定义Quanton，所述置换具有使用真实或复杂分布估计算法(EDA)的连续表示。Quanton模型代表量子样计算的逼近模型以便模拟可在拓扑量子计算机(TQC)上实现的各种结果。在TQC模型中，任何计算可仅通过置换(即，置换仅定义基于Quanton的虚拟机上的计算)来定义，如Stephen P.Jordan.在“置换量子计算(Permutational quantum computing)”，量子信息技术计算(Quantum Info.Comput)10，5(2010年5月)，470-497所描述，其全部以引用方式并入本文。
Quanton虚拟机使得传统计算机能够逼近问题的解，这种逼近对于除了真实量子计算(即，使用亚原子粒子的状态)以外的任何其他方法是不可行的或毫无疑问非常不明显的。Quanton最佳描述为逼近图灵机，其中任何状态表示被映射到通过置换来表示的状态：每个计算步骤由置换跃迁模型来表示，其中跃迁是从一个置换到另一个置换的有向概率，相当于一个状态表示(或状态空间)与另一个状态表示之间的跃迁。
Quanton的连续模型通过将置换嵌入概率密度分布中来创建，或通过概率密度的混合模型经由使用数字诸如斐波纳契数字或从其他序列诸如Champernowne数字来取样，或使用技术来建立准晶体(准晶格)来创建，所述技术如T.N.Palmer在于2004年4月8日出版的“基于粒状置换的复杂数目和四元数的表示：可能的现实量子理论的元素(A granularpermutation-based representation of complex numbers and quaternions:elementsof a possible realistic quantum theory),Proc.R.Soc.Lond.A 2004 460 1039-1055；DOI:10.1098/rspa.2003.1189”所描述，其全部内容以引用方式并入本文。
一般想法是将从编号模型，诸如序列(诸如斐波纳契或Champernowne)得到的数字(置换)相关联以便创建准晶体晶格，所述准晶体晶格嵌入量子化(或粒状)型式的几何对象(诸如黎曼球面)，并且可向所述晶格指派概率密度。更具体地说，晶格点与表示某种类型的状态或数据结构的置换相关联，如将在本文中解释。此外，概率密度可嵌入至几何对象诸如n-球面中，所述几何对象可为复杂的，但是其真实输出是对象的流形上的定向概率分布，表示作为置换的函数的可能状态的模式。
置换表示状态模型。尤其重要的是置换运算的类型(即，元素的置换如何在算法上执行)，因为置换运算的选择定义Quanton最佳适用的模型的类别。球面上的特定位置值定义状态，所述状态表示量子粒子状态的替代。因此，几何对象(例如n-球面)的流形上的路径的可数集合的所有值的总体是Hilbert(希尔伯特)-空间量子波函数的替代。
通过一个实施例，Quanton是可使用置换表示、辅以嵌入概率密度空间(流形)中来表示任何数据结构的软件元素，其中算法如本公开的方面所指定。Quanton形成在传统处理器上近似量子样计算的替代模型，并且在未来量子处理器中，Quanton是在高维空间中进行复杂推测的精确模型。
传统处理器上的Quanton在最小迭代的情况下产生极快速结果，其中在许多情况下，机器学习数据循环中的迭代(即，群体进化的世代和概率流形中的Kalman-样迭代步骤)可单程执行。Quanton数据表示能够实现极端高度复杂数据的空间和时间高效表示：它还使得本文提供的算法能够基于遗传算法，最显著地，分布估计算法(EDA)，也称为概率模型建立遗传算法(PMBGA)，来减少量子模拟的计算空间和时间。
通过一个实施例，Quanton使用以下独特嵌入：置换或关联轨道形、具有概率密度函数的非线性流形、与轨道形的点对应的流形的索引点的晶格、和表示线性子空间的索引点处的切线空间。作为Quanton的特定实例的一个示例，考虑使用球面斐波纳契晶格来建立的Quanton。斐波纳契晶格定义经索引的点，其对应于置换面体的点。这些点内接在超球面的连续流形中。超球面的流形与几何定向概率密度函数，诸如von-Mises Fisher函数相关联。晶格点处的切线空间还与其线性子空间和概率分布诸如高斯分布相关联。
Quanton可通过将Quanton嵌入Quanton中或形成Quanton网络来分层地组装：在网络的情况下，Quanton提供路径-预测-进化(PAE)，其中当数据进入网络时，预测连接性，因为“习得”Quanton的概率密度和置换函数提供结构预测能力。如在即时跟踪和碰撞避免中使用的路径预测的示例由J.Park,S.Kang,N.Ahmad和G.Kang在“通过路径预测在非结构化环境中监测碰撞(Detecting collisions in an unstructured environment throughpath anticipation),”2006年混合信息技术国际会议(2006International Conferenceon Hybrid Information Technology)，济州岛,2006,pp.115-119中提供，其全部内容以引用方式并入本文。
发展Quanton以便在多媒体或多感官数据中的超海量高维复杂领域中，以及数据空间在输入规模上可为阶乘式的困难组合优化问题中处置推测。因为这些数据的巨大数目和其高维度，所以即使使用现代超级计算能力，常规经典索引或搜索方法以及传统推测程序的效率远远地太低而无法使用。对于这些种类的问题包括但不限于优化问题，提出量子计算以及各种其他启发式逼近模型，诸如EDA模型。
两种型式的EDA模型是用于优化问题的粒子群和蚁群。然而，这些各种不同方法中没有一个整合除了位向量以外的鲁棒、弹性的软件数据表示作为基本数据结构，概率、变异、交叉和其他进化运算符在所述数据结构中起作用。
Quanton由连续定向概率分布组成，其离散子结构由轨道形的顶点组成。这种几何形状可内接在超球面(流形)内，并且其相关联的局部线性切线空间是有向概率空间上的非定向概率空间的替代。这些状态形成对应量子状态的结果的替代。此类结果的示例包括数据聚类、分析和推论应用中的结果、推测或配置作为概率密度的混合。
本系统的数据表示和方法还理想地适合于作为传统计算机架构(即，冯·诺依曼模型)上的实行方案到模拟计算机、混合模拟-数字和完全量子计算机模型的桥梁。
一个关键想法是将可通过将轨道形(即，组合多面体)诸如置换面体和相关联区带面嵌入超球面或超环面或其他几何对象的表面中来进行编译的方法与概率分布加以联系，所述概率分布以表示数据行为的方式来取向，同时提供高效索引方法(如通过本公开的晶格来提供)。
通过一个实施例，本公开的Quanton将五个关键想法加以组合：(i)组合多面体，(ii)流形嵌入，和(iii)定向概率密度(iv)晶格；和(v)切线空间。Quanton例如通过将本文中的置换结构与如本公开先前提到的Palmer的教导进行组合来提供量子替代数据表示，其中新颖和不明显的结果是多种(非参数)推测过程可作为替代量子计算近似器来应用。这些近似器提供产生逼近度的结果，所述结果接近于但是并非完美匹配真实量子计算机的逼真度，但是容易地适合于人工智能量子计算机(在本领域中也被称为量子人工智能)。
出于简化本公开的目的，使用n-球面(即，超球面)作为几何对象以便示出、公开和解释本公开的核心工作算法和方法。然而，必须认识到其他几何对象(例如，超环面)同样可适用。
使用这些大的数据对象的集合来进行选择、排序和推测产生规则结构，其中数据对象的置换，以及由此导致的规则或可能推测链的数目在实体数目上变为阶乘式的(n！)。
对于给定数目的对象(实体)来说，Quanton数据表示和算法使得任何对象集合的所有n！置换得以嵌入组合超球面的表面上，所述组合超球面在R(n+1)中的空间的R(n-1)中定义。Quanton提供组合超球面表示、量子计算替代数据表示之间的n(log(n))时间算法，在最坏情况下为kn(log(n))，并且n！-元素组合时间和空间复杂度减少至为推测所需要的简单多项式。本公开的方面提供使用可与定向概率密度相关联的连续Morton码的方法和在任意状态或结构上建立概率密度的其他方法，所述任意状态或结构可使用本文所述算法来表示为置换。
本方法可处置大量对象，模拟传统概率数据关联算法结果，在高噪声的条件下区分弱信号，处置手征性并且可扩展至通过本领域技术人员已知的技术现状主流推测方法无法处置的数据大小。Quanton理想地适合于在量子和传统计算机上进行实施。
现在参看附图，其中相同参考数字指示遍及若干视图的相同或对应部分。在详细地描述实施方案中，使用在前述定义的一些常规标记法。
n是置换的长度。
是恒等置换。
Pn是长度n的所有置换向量的集合。
π∈Pn是任何置换。
pi是置换向量p的第i个索引元素。
π1(n)是长度n的向量，其条目全部设定为1。
PM是含有一和零的n×n置换矩阵的集合，其中单一置换矩阵在每个行和列中。
n×n置换矩阵的集合的凸包是Birkhoff多胞形，其被称为所有双重随机n×n矩阵的集合是：
置换面体是置换Pn的凸包，具有2n-2端面并且定义如下：
置换面体是Birkhoff多胞形从到的投影
使vn＝(v1，v2，v3...，vn)和un＝(u1，u2，u3...，un)是指向置换面体中的顶点的两个向量并且使u与v之间的距离是d(u,v)。
此外，将u的ε-邻域定义为：
N(u,ε)＝{v∈置换面体|d(u，v)＜ε}
例如：
对于ε-邻域N(1324，ε)＝{1324}，并且
对于ε-邻域N(1324，ε)＝{1324，1234，2314，1423}。
当顶点相邻时，那么并且对于置换面体的每个点，存在(n-1)个相邻顶点。
此外，使一组实数给定为：X＝{x1，x2，x3，...，xn}。置换定义为：
1≤i≤n。
置换面体是子模块多面体。置换面体是简单区带形。区带形理论相当于向量配置理论：可实现的取向拟阵和超平面布置。每个维度v的超平面由以下给出：
置换面体的点在n-维空间中的(n-1)-球面(超球面)上并且由以下给出：
在Birkhoff多胞形中，两个相邻顶点的不同之处是以下符号的单一转置：v；∞；×n；Ω；Ωd。
引入罚分也有助于强制解x下的概率分布的连续空间中的结果更接近于置换，即置换面体的顶点。为此目的，以下是由下列规则定义的基于向量的正则化方案：
规则1：使并且集合X由v的所有置换的凸包组成。将具有最高lp范数的X中的点定义为v的置换，其中1<p<∞。
规则2：中的所有n×n置换矩阵是凸起(n-1)2维多胞形的极值点，所述多胞形是所有双随机矩阵的凸包。
规则3：将n！个元素嵌入(n-1)2维超球面的表面。
规则4：将Birkhoff多胞形的极值点和任何双随机矩阵的置换矩阵设定在围绕所有n！置换的质心来聚类的半径为的超球面的表面上；所有置换处于中。
使置换矩阵被指示为并且特定置换矩阵为并且矩阵中的晶胞处的特定元素为
规则5：根据2n-1超平面与法线的相交点，将中的(n-1)2-维仿射子空间设定为含有所有置换以及规则4的超球面。
Sd是中的d-维超球面，其中维度：d＝(n-1)2-1
使用前述规则，将n个对象上的所有置换矩阵设定为在中的半径的超球面Sd的表面上。因此，例如，3置换在4-维空间中。在共形模型中，3置换在5-维空间中，因为共形模型添加无穷远点。
规则6：定义以原点为中心的Sd。需要进行基于的空间与的空间之间的变换。
定义Sd上的概率密度函数并且使用它来参考离散n！置换空间。这个特征适用于本公开，因为它描述将一个空间，即概率的连续空间的元素高效地变换到另一个空间，即量子化离散状态空间中的方法，所述离散状态空间的结构由置换来表示。
规则7：定义离散n！置换空间和在极坐标中的半径的以原点为中心的凸起(n-1)2维超球面的表面之间的变换，并且超球面的半径归一化为一。
规则8：使用莱默代码作为置换的索引来指代所有置换并且将规则原点设定在莱默代码之间的超球面的坐标和极角中的坐标。
规则9：将第n个莱默代码定义为从维度d>2中的原点的斐波纳契螺旋晶格(分别为球面和超球面)上的第n个斐波纳契点。因此，每一个置换是晶格上的点并且通过规则6，也是概率密度的有界区域(由在连续流形上诱导的量子化晶格来界定)。
规则10：将对应于第n个莱默代码的第n个斐波纳契球面晶格点S处的切线空间定义为S处的线性子空间T。
规则11：可代替所述晶格使用多胞形诸如置换面体、卡拉比-丘(Calabi-Yau)多胞形或任何准晶体生成函数的倒易晶格以便量子化给定流形诸如(超)球面或环面或其他连续流形结构诸如Calabi-Yau流形的连续体。
规则12：将切线空间定义为与ε不确定性内的倒易晶格线性相关，对应于选择相切空间的正确最近晶格点的不确定性。
维度-d的单位向量x被认为具有多变量沃森分布，只要其概率密度函数给定为：
其中是汇合超几何函数，也称为Kummer函数。
定义1：携带信息的自由度在本文中称为可观察量，指示为o并且系统中的可携带隐藏的虚拟信息的其他自由度指示为h。从量子状态断层摄影程序产生的状态的描述通过密度矩阵D来给出。
关键方法是将状态明确地分离成可观察量和隐藏部分并且使用整个状态的量子统计需求来计算可观察部分和其约束条件。
定义2：实际可观察置换包括特定顺序的符号序列(称之为置换体(permutant))和另一个隐藏符号序列(可能充当固定约束条件)(称之为置换子(permuton))。将置换子施加到置换体的运算产生置换阵(permutrix)。
定义3：概率度量是晶格(例如，斐波纳契晶格)的顶点处的可观察量并且由晶格点界定的子空间内的点是未定义的：换句话说，所述空间应类似于量子Ψ-认识理论来解释，其中晶格点提供可观察量，同时插入区域是跃迁空间，仍然是未定义的。
定义4：Quanton
Quanton包含以下数据元素：
(1)对称并且呈连续流形形式的几何形状；
(2)将流形的对称群进行分区的晶格(和由此产生的拓扑结构)，和晶格点处的任选切平面，其提供嵌入流形中的线性子空间；
(3)晶格点的索引，其将整数的置换各自相关联；
(4)在晶格点之间从一个置换跃迁到另一个置换的规则；和
(5)将晶格点之间的跃迁概率相关联的概率密度函数。
在给出Quanton的元素的情况下，可识别QVM运算以执行其函数的特定运算规则。出于简单和清晰地展示本公开的方法的目的，通篇使用呈n-球面形式的球面几何形状来示出精确算法和过程，应指出这些算法和过程应明显地适用于其他几何形状。
定义5：Quanton语言在本文中定义为对应于置换之间的移动的可逆的运算语言并且这些移动在晶格点之间是可逆的。
n-球面是Quanton数据结构的示例性几何形状和拓扑结构。也可使用其他几何形状诸如n-环面或其他流形结构诸如Calabi-Yau。Quanton是由多胞形组成的对象，其相吻顶点内接超球面以使得相吻顶点对应于斐波纳契球面晶格上的点以及置换。
Quanton的表面通常具有概率分布或与其相关联的概率密度函数(PDF)诸如vonMises Fisher、沃森、高斯或混合分布，以及复杂n-球面上的复杂型式的这些概率密度函数诸如复杂Bingham或复杂沃森分布。因此，通过一个实施例，Quanton是至少由以下组成的软件数据结构：PDF、离散晶格和如本文提供的用于计算或学习复杂数据中的深层模式的某些算法。
Quanton可为由多胞形组成的对象，其相吻顶点内接超球面以使得相吻顶点对应于斐波纳契球面晶格上的点以及置换。Quanton的表面将通常具有与其相关联的概率分布诸如von Mises Fisher、沃森、高斯或混合分布，以及复杂型式的这些概率密度函数，本公开将这些函数定义为软件数据结构和相关联量子启发算法，它们用于学习复杂数据中的深层模式。一个示例是顶点之一的切平面、所述点处的法向量和围绕切线空间上的点的概率分布，不限于例如高斯分布。这种结构能够实现在所述表面上和在所述表面上的点的切线空间上的混合概率分布以表示多种混合分布。
斐波纳契螺旋晶格允许点分布的完全分析解呈现为超球面的表面上的坐标并且这些点的数目达到与置换序列相同的数量。如本公开解释的置换序列斐波纳契晶格之间的关系使得置换多胞形的顶点与斐波纳契晶格相交以使得从超表面上的所有点到置换和从置换到超表面上的所有点都是斐波纳契晶格的索引，与空间填充曲线索引，诸如Hilbert曲线类似。顶点的布置也是重要的，因此顶点与顶点的关系不是随机的：例如，给定四个整数的集合(1,2,3,4)，存在4！＝24种安排它们的方法，然而，这些24个数字可写下的几何形状，也就是说其排序，本身是24！。因此，Quanton需要使用排序规则的某种有规则的排序。这些规则在图13A和13B中、在针对表征Quanton的轨道形的示例性拓扑结构的实施例来进一步规定。
表1示出可用于设计Quanton的几何对象的类型：
图2示出在顶点12处的置换序列16(称为置换阵15)的独特方法和表示。置换阵15由以下置换模式组成：置换体13，它是置换模式的可见部分；和称为置换子14的其他条目，其用途是充当置换模式的不可见部分。置换子14可通过使其位置相对于其他元素(即置换体13)的置换不变而充当约束系统。一个类比是在一些游戏中，将置换体视为允许移动并且将置换子视为阻止(不允许)移动：作为许多示例中的一个示例，在2-维中，游戏可为国际象棋。
如先前描述用于Quanton的置换阵还可针对n-置换体和d-置换子(n+d)！来产生((n+d)！)！几何顺序的布置的顺序数目。这一点是重要的，因为排序确定任何索引的起始序列，并且顺序本身确定控制索引起作用方式的关系。鉴于d-置换子可(作为许多规则中的一个可能规则)充当“哑”变量并且如果被删除，会导致重复的一些序列。置换子的作用在前文中变得明确，但是置换子也可发挥虚拟粒子的作用，使得其他运算和关系能够控制置换体和取决于置换体关系的因子。作为一个具体示例，置换体可通过自然整数(1,2,3…N)进行索引，同时置换子可通过虚数值自然整数(i1,i2,i3…iN)进行索引以使得其他运算可通过将置换体和置换子以一定方式(例如，复共轭)进行组合来产生输出索引。重要的是，根据Steinhaus-Johnson-Trotter算法，倒置数字差异为一的连续置换形成基于莱默代码(阶乘基数)的葛莱码。因此，使用莱默代码，第n个倒置确定性地是可计算的。
任何种类的任何数据结构可通过置换来表示并且置换可表示序列、集合和多重集：因此，通过以下表示的方法和算法，可使用置换作为数据表示和计算的最基本结构块。
阶乘基数数字系统将乘以基底n的幂的数字用乘n的阶乘的连续值的数字来替换。作为阶乘基数的序列的莱默代码唯一地代表置换，并且还可使用自然数来表示。自然数通过首先计算大于零的大小的置换的秩来计算，方法是首先计算其莱默代码，然后通过将它从其阶乘基数表示转换到十进制来将唯一自然数与它相关联。以这种方式，容易从其莱默代码来重构任何置换，所述莱默代码进而从置换的阶乘基数表示来计算。
因此，在给出前述内容的情况下，任意列表、序列、集合和多重集与置换之间进行转换的程序表示为索引数字(即，自然数，置换和随后源数据结构诸如多重集可在没有损失的情况下从其中加以恢复)。在数据结构、置换和简洁整数表示之间编码和解码的程序涵盖所有其他情况(序列、集合和列表)并且通过以下一组变换规则来给出：
如克努特所描述的阶乘基数数字系统将乘以基底n的幂的数字用乘n的阶乘的连续值的数字来替换。在递增次序变量fr中，第一个数字d0是0，第二个是d1∈{0,1}，并且第n个是dn∈[0..n]。例如，fr(42)→[0,0,0,3,1]→0*0！+0*1！+0*2！+3*3！+1*4！。
从左到右、递减次序变量fl通过逆转fr的数字来获得。例如，fr(42)＝[0,0,0,3,1]，因此，fl(42)＝[1,3,0,0,0]。将阶乘基数变换成数字列表的程序fr的逆转被指示为rf，其将数字列表变换回到阶乘基数。类似地，fl的逆转是lf。
示例：
fr:42→[0,0,0,3,1]；
rf:[0,0,0,3,1]→42；
fl:42→[1,3,0,0,0]；和
lf:[1,3,0,0,0]→42
置换的秩和解除排序使用莱默代码和其阶乘基数来执行。函数perm2nth生成给定大小的第n个置换，因此，自然地代表大于零的大小的置换的秩。它通过首先使用perm2莱默来计算其莱默代码Lh来开始。然后通过使用函数lf将Lh从阶乘基数转换到十进制来将唯一自然数n与它相关联。对于本公开来说，应特别注意莱默代码Lh作为阶乘基数表示中的数字列表来使用。
函数nth2perm是perm2nth的逆转并且提供匹配的解除排序，其将置换与给定大小(大于零)和自然数N相关联。因此，置换可从其莱默代码来重构，所述莱默代码进而可从作为阶乘基数的置换的表示来计算。
双射映射的示例如下：
nth2perm(5,42)→[1,4,0,2,3]
perm2nth[1,4,0,2,3]→(5,42)
nth2perm(8,2008)→[0,3,6,5,4,7,1,2]
perm2nth[0,3,6,5,4,7,1,2]→(8,2008)
给出相对于莱默代码和阶乘基数来编码置换和数字的前述过程和方法应用，本公开使用这些事实来建立数据结构诸如自然数列表、任意列表、集合和多重集的简洁整数表示。
程序-1：编码自然数的列表
(1)对于任何输入多重集，首先将多重集按原样来排序，然后计算连续元素之间的差异，即[x0…xi i+1…]→[x0…xi+1－xi…]。举例来说：给定多重集[4,4,1,3,3,3]，排序成[1,3,3,3,4,4]并且将成对差异列表计算为[1,2,0,0,1,0]。
(2)给出步骤(1)的结果，通过将增量序列中的元素用其前趋来替换来重新编码差异列表；因此，序列中的数字的后继增量总和的前趋返回排序形式的原始集合。举例来说，[1,2,0,0,1,0]的第一元素是数字1并且随后是其作为列表[2,0,0,1,0]的后继。序列中的数字的前置总和返回排序形式的原始集合。举另一个更明显的例子来说，给定[1,2,3,4,5]，所得差异列表是[1,1,1,1,1]。
(3)给出自然数的任何集合，诸如{7,1,4,3}，应用前述前两个运算产生排序{1,3,4,7}，然后计算连续元素之间的差异给出[1,2,1,3]，其中在第一元素1之后是增量[2,1,3]，将它转换成双射，包括0作为序列的可能成员，使用增量序列中的元素并且用其前趋来替换以便产生[1,1,0,2]以使得这可使用莱默或阶乘基数来编码成自然数。
(4)使用(3)的输出，此类序列中的数字的后继的增量总和的前趋返回排序形式的原始集合。
任何自然数的(高位优先)二进制表示可写作以下形式的二进制数的级联
其中bi∈{0,1},bi≠bi+1并且最高数字bm＝1。
因此，通过一个实施例，定义过程，其中：
形式0ij的偶数对应于运算2ij，并且形式1ij的奇数对应于运算2i(j+1)－1。因此，以下方程适用：
fi(j)＝2i(j+1)-1 (2)
因此，在表示(1)中示出为1ij的n中的每个块1i对应于将f迭代应用i次，n＝fi(j)。
由这个事实认识到最高数字(因此，高位优先表示的最后一个块)是1并且块的奇偶性交替，以致于当且仅当数字n含有方程(1)中的形式的偶数个块时，它是偶数。当且仅当数字n含有方程(1)中的形式的奇数个块时，它是奇数。
在给出如下两个单独输入自然数的情况下，定义输出单一自然数N的程序组成(i，j，N)：
组成(i，j)＝2i+1j iffj是奇数并且2i+1(j+1)-1 iffj是偶数
因此，通常，定义程序：
组成(i，j，N)＝i≥0，j≥0，D＝mod(j+1，2)，N＝(2i+1(j+D))-D
具体地说，在本文中定义指数是i+1而不是i，因为计数在本文中定义为从0开始。还注意当j是奇数时，组成(i，j)将是偶数的，并且当j是偶数时，组成(i，j)将是奇数。运算组成(i，j)是可逆的并且可用于迭代地将数字列表转换成单一数字或可从单一数字逆转回到数字的原始列表。
定义程序分解(N)＝[i，j]，其接受单一自然数作为输入，并且输出组成它的两个数字i和j。分解的定义是组成的逆转并且利用辅助子例程，divine(N，i，j)来识别N除以2的最大指数。它计算如下，应指出符号“//”意指整数除法。
divine(N，i，j)→i＝lsb(N)，j＝N//2i
因此，通常，定义程序来将自然数可逆地分解成两个其他自然数：
分解(N，i，j)→i
≥0，j≥0，B＝mod(N，2)，X＝N+B，divine(X，p，q)，i＝max(0，p-1)，j
＝q-B
前述程序用于定义规则并且在表3中进行总结。只要数字是指结构，诸如图或片段或具有任何其他映射，如其他对象的散列，那么这些结构可使用表3的方法来编码、解码和表示。这个特征在映射Quanton中的结构方面是重要的。
程序-2：Quanton组合设计
Quanton的组合设计建立在如在数据结构与置换之间建立的关系上以便提供置换之间的跃迁模型，从而产生所得置换作为输出。在组合设计中存在若干元素：
(i)在选择将置换与后继和前趋相关联的整数序列方面来设计Quanton的置换；
(ii)在由前述步骤(i)产生的设计中，设计置换之间的置换跃迁运算符；和
(iii)将来自步骤(ii)的置换跃迁运算符与运算语义相关联。
首先，Quanton的结构、排序和大小的设计基于用户定义的计算大小、运算类型和所需数据表示的需求。举例来说，与传统CPU类似，4-元素Quanton可表示24位，并且10-元素Quanton可表示221位(例如，10！)。问题是在提供最优性的Sn的对称群的适当设计方面，具有选择置换的正确大小和设计的方法。应答通过在置换方面确定朗道数来给出：对于设计置换运算符设计来说，这些措施保证变换置换的运算语义是双射的并且是可逆的，如本公开的稍后部分将示出。
整数序列的选择是不明显的并且遵循如最初由Gian-Carlo Rote定义并且在以下参考文献中解释的十二倍方法：Richard P.Stanley(1997).枚举组合(EnumerativeCombinatorics)，第一卷，剑桥大学出版社.ISBN 0-521-66351-2.p.41，其全部内容以引用方式并入本文。Quanton的组合设计的优选序列在表4示出。然而，必须认识到，可分解成某种数列、或运算集合的规则模式的任何置换可用于建立置换晶格。例如，模式运算符可为Catalan自同构、签名置换等。
基于朗道数的朗道序列提供置换可在Sn的循环子群中以自然排序来自然地组织的最大循环：在此情况下，例如，常用算术加法运算正好变成置换的应用，如将示出。这是重要的，因为Quanton依赖于置换的设计以便能够使用晶格点之间的跃迁(即，移动)来进行表示和计算，置换通过所述晶格点来索引。
用于将多胞形的顶点分布在超球面的表面上的主要工具在图3：斐波纳契晶格中示出。斐波纳契晶格和费马晶格(也是螺旋)是分析性的并且实现具有可变几何形状的点的快速生成。也可使用其他晶格。举例来说，图3项目17示出通过斐波纳契晶格来生成的均匀分布的几何形状，而图3项目18示出如何调节了晶格生成器以便增加在赤道上生成的点的密度。
任意维度的斐波纳契晶格的表示以角参数形式来给出，n-维表面上的每个点具有一个角方向。由于使用以π弧度为周期的角度的旋转操作的对称性，因此使用角参数是优选的。在给出此表示的情况下，在超球面坐标中，然后从一个置换到另一个置换的任何移动简单地并且分析性地通过沿着斐波纳契超螺旋或在斐波纳契超螺旋的绕组之间的移动来给出。
在生成置换顶点的情况下，第n个置换通过莱默代码来给出并且第n个斐波纳契数通过比内(Binet)公式来给出。因此，在斐波纳契晶格上的置换与斐波纳契坐标之间存在分析对应性。关于这些置换如何可进一步分布在点上的示例性选项在图13A和13B中进一步阐述。对于2-球面，球面斐波纳契点集合直接使用角度来定义(并且通过简单替换，这些角度可推广至n-球面，如先前关于超球面坐标所述)：
Fm是第m个斐波纳契数
对于每个底角θ，点分布在垂直(z轴)上：
z＝cos(θ)＝1-2j/Fm
并且旋转角通过斐波纳契比率来给出：
斐波纳契反比的限制是在m增加时的黄金比率。通过向z坐标添加1/N，获得两极处的均匀性并且由此：
N是球面点的数目
必须从先前描述中认识到圆形可均匀地划分成点，所述点对应于表示单一置换的点的数目，或也可使用二维斐波纳契螺旋或欧拉螺旋。举例来说，对于三个置换，圆形上将存在六个点，对应于六边形。对于使用集合{1,2,3}来索引的3个对象的置换，并且将整数作为向量空间中的坐标来处理，然后，六个向量是(1,2,3)、(2,1,3)、…(3,2,1)，它们是3-空间中的坐标。然而，对此必须指出可使用从高维坐标系统映射到低维坐标系统的各种方法而不损失信息，诸如Z-阶(Morton代码)，其用于双射地从高维转换到一维编号。因此，例如，针对4-对象，{1,2,3,4}的置换的置换坐标将产生4-维空间，但是这些坐标可使用Morton代码作为索引来投射到斐波纳契螺旋上并分布到3-球面上。全部内容以引用方式并入本文的Benjamin Keinert,Matthias Innmann,Michael和Marc Stamminger在“球面斐波纳契映射(Spherical Fibonacci mapping)”,ACM图形事务(ACM Trans.Graph).34,6,论文193(2015年10月)的教导描述使用斐波纳契数列来将点映射至球面作为将置换以点形式与各种所需流形包括球面加以关联的手段。
如果选择是置换表示空间中的坐标，那么，这些离散坐标表示区带形：多胞形或超立方形。在3个点的情况下，这些点将形成六边形的顶点，即三维中的球面的表面的相吻顶点。通常，因此，置换的任何子集可用一定维度来表示，所述维度低于在置换元素各自作为一个维度来采用时所需要的维度。
在生成置换本身时，并且尤其，在提供产生呈序列形式的置换的生成器时，所述置换可从0开始(没有置换)或从1开始(第一置换)直到N(第N个置换，不论选择0或1)来进行索引，最简单的生成器是使用整数的加法置换生成器，如以下教导：John R.Howel,“通过加法生成置换(Generation Of Permutations By Addition)”，计算数学(Mathematics ofComputation，第16卷78期-1962-p.243，其全部内容以引用方式并入本文；K！置换可通过添加常数C到置换生成运算符来生成。整数{0，1，2，..，(K—1)}或{1,2,3，…K}可进行级联以形成基底K整数的“数字”。使用基底K整数，重复添加1将生成整数，其“数字”表示长度K的置换。
这个过程还将产生不是置换的数字。添加至此整数的大于1的正确数字C是C＝(K—1)基数K的倍数。由相互不同数字组成的整数与由相同数字的置换组成的另一个整数之间的算术差基数K是(K—1)的倍数。这种算法将生成字典顺序的所有K！置换或也可直接计算两个给定置换“之间”的任何置换。举例来说，对于K＝4的4！置换，使用数字集合，D＝{0,1,2,3}，然后C＝3基数4。首先将D级联以获得数字“0123”。其次添加C获得“0132”，它是“0123”的第一置换。这一过程可重复直到置换循环回到“0123”为止。
必须指出对于依序生成的每个置换，它可与晶格生成函数(即，斐波纳契序列)的索引(0,1,2,3…N)相关联。以这种方式，置换可与晶格上的任何点相关联。
在图4中，项目19和20分别示出来自样本定向数据集的von Mises Fisher圆形定向统计和多变量沃森分布的混合模型，然而也可描绘其他分布诸如高斯或广义马洛斯(Mallows)分布。
图4描绘没有内接相关多胞形(例如，置换面体、关联面体)的顶点的球面，但是用来强调软件Quanton的基本基本实行方案和设计是以使用n-球面或n-环面上的概率密度函数(PDF)为中心。在形式上，描述代表数据分布的混合模型，所述模型呈现为项目19上的圆形，和项目20上的轨迹，其建模为生成数据的个体概率分布的加权和。
换句话说，观察到的数据是概率分布的数目M的混合，并且由下式来定义：
其中v是d-维向量(数据)并且M是混合部件的数目，并且相应地，w是证据(权重)并且ρ是第k个部件的概率密度。
Quanton也可建立在复杂空间上，因此，例如，Quanton在与作为对象置换的离散结构相耦合的黎曼流形上。位于已知黎曼流形上的潜在较大数据集的概率密度函数(PDF)通过本公开的方法来逼近。由此构造的Quanton数据提供完全数据驱动表示并且能够实现数据驱动算法，产生专门在流形上定义的PDF。
现在，转向图5，描述切线空间、非线性流形空间21、概率之间的关系，稍后，其与置换的关系，并且最后，在图灵机意义上使用置换来在状态空间22到状态空间23跃迁的计算中定义Quanton。
图5具体示出在内接斐波纳契球面晶格的顶点处的切线空间，所述晶格的点表示内接轨道形的顶点。附图是重要的，因为它示出关于Quanton的关键点，Quanton代表非线性流形PDF以及驻留在流形上的点处的切线空间中的线性PDF。替代表示法使用定位在短程线平均值处的单一切线空间，在输入数据在流形上广泛地展开时可导致这些替代表示法具有显著准确度误差，或在数据大小非常大时，例如使用高斯过程的相关联算法复杂度使得这些替代表示法对于较大数据集是不可行的。
通过本公开的一个实施例，对数映射用于使用无监督算法来投射多个输入数据点，所述算法自动地计算模型部件的数目，从而最大限度地减少在线性欧几里得切线空间中的消息长度成本。数据输入通过对应平均点处的切线空间上的分布来表示，所述平均点量子化至最近的顶点(这产生具有较小误差的近似值)。相比于多重切线空间，使用单一切线空间所产生的准确度损失胜过流形上的顶点处的量子化误差成本。然而，量子化误差其自身在本文中作为独立项来解决，它是非线性校正部件，也是流形表面的PDF。这个PDF本身进行逼近，因为它发挥Quanton的总模型的后验的非线性部分的作用。
切线空间统计资料使用指数映射来计算并且投射回到流形。这个过程迭代直到统计资料收敛为止。与复杂度随着训练集大小而增长的现有非参数方法相比，Quanton可处置任意大数目的样本。Quanton流形混合模型处置非线性数据建模以及回归以便在没有任何特定训练(即，缺失数据间隙识别解决方案)的情况下推断缺失部件的子集。换句话说，Quanton可总是根据需要来产生假设。
在使用切线空间来逼近高斯PDF方面，使用最小消息长度(MML)原理对于具有完全协方差矩阵的多变量高斯分布的参数进行分析估计是优选的。N个点的黎曼质心，xi，有时也称为流形上的“Karcher平均值”为：
对此进行迭代直到：
||u(t+1)-u(t)||＜ε
值ε是阈限并且值δ是用于构造流形的斐波纳契晶格(或其他准晶体结构)的量子化(分解或步长)。本质上，定向PDF定义Rn上的向量场，并且这可被解释为相对于质量点p对来自任意点的向量x∈Rn进行平均。
因此，围绕点p的切线空间中的单一零平均高斯提供针对p的集群内偏离的有效模型，只要p是这个集群的黎曼质心。
推断d-维球面上的任何d-维vMF分布的浓度参数k和均值向量u的表达式给出为：
最小消息长度(MML)需要先验分布或如果先验无法容易地获得，至少需要近似值。可作为假设来使用的最容易先验是均匀的并且不依赖于k，其简单写为：
MML估计是(α，β，κ)的值，最大限度地减少3-维von Mises Fisher分布的消息长度表达(MLE)，并且D代表数据而h代表假设：
其中C是常数
表达det(F(α，β，κ)是预期费歇尔信息矩阵的行列式，而
表达hα，β，κ(α，β，κ)是3-维中的先验：
最后，表达f3(D|α，β，κ)在3-维中、在vMF分布之后从下式给出：
因此，对于n个数据元素D，具有：
使用推断最优数目的混合部件和其解释观察到的数据的对应参数的最小消息长度的广义启发式搜索并且基于搜索、作为Quanton的优选实施例用于各种型式的‘Snob’分类程序中。
图5中示出的情况：超球面的切线空间上的混合分布提供Quanton混合模型，能够表示使用提供完全协方差矩阵的球面的线性切线空间以及与图4的球面von-Mises-Fisher(vMF)分布相关联的各向同性协方差。
最终结果是在本公开的推测过程中，在分布的估计器的情境中与作为粒子和作为模型的Quanton有关的Quanton模型可并行地处置各向同性以及具有观察结果的适应性模型复杂度的各向异性分布。如将示出，每个切点是建立在置换上的相关多胞形的顶点。这个空间指示为并且是线性子空间，它最佳地逼近点p的邻域中的球面的区域并且可被认为是方向导数。此空间中的向量称为p处的切线向量。
使用如下黎曼变换，切点处的球面上的每个切点被定义为映射至其线性切线空间：
使是球面上的点并且是球面上的切点，并且p是任何切点，其中球面在维度D-1中。因此：切点在中；并且
并且：
从球面上的点到切线空间的映射是黎曼对数映射：
其中是任何点与所关注的点之间的短程线距离。
反变换在本文中定义为：
其中范数是的黎曼范数它是与p(切点)之间的短程线距离。在此表示中，每个概率混合部件在其自身唯一切线空间中。
短程线距离变换是：dg(p，q)→arccos(p，q)。
图6描绘Quanton球面斐波纳契晶格上的具体切点和切线空间——此图示出由项目25指示的切点的由项目24指示的邻域，以及由项目26指示的其线性子空间。线性空间上的点在项目26上指示为σ(1)、σ(2)、σ(3)和σ(4)，并且其在球面的流形上的对应点为和这些σ点形成作为协方差的椭圆形，这意味着在嵌入非线性的n-球面上时，关于切线空间的统计资料是线性的。在本公开中特别利用线性与非线性之间的这种联系以便降低计算负担并且在给定某个数据集的情况下，为估计器带来速度以及精确度。
使用先前图表的总体模型通过图7：分布估计算法的迭代反馈数据处理的Quanton模式中描绘的总体模式来概述。在图7的项目27中，假设对一些观察数据进行建模，并且表示为P(λ|x)，其中λ代表假设并且x代表可观察数据。在项目28中，数据x映射至Quanton。这可对于若干或各种P(λ|x)的混合来进行。
几个关键点依序予以描述。首先，基本方法由以下组成：保持相对于一阶边缘的信息，所述一阶边缘表示数据x的置换σ中的某个位置n处的某个项目e的概率。在Quanton的情况下，项目29示出为在切点处连接的Ω1和Ω2，提供在一起形成置换阵的置换体和置换子的概念，因此，Quanton延伸部分由置换阵Π上的高阶边缘组成，图7中的项目30，对应于特定位置(σ1,σ2,...,σk)处的置换阵(e1,e2,...,ek)中的一组特定项目的概率。
因此，使用置换阵，Quanton可在不指定精确位置的情况下保持处在另一个元素之后的位置处的元素的概率，因此没有绝对信息的相对信息得以捕获。因此，置换阵代表在Quanton中的x个数据项目。在执行计算模型之后，Quanton的输出，图7的项目31，是置换阵Π的模型，以及相配的假设和数据，P(Π|λ,x)。换句话说，原始数据和其基本模型和结果经过概率诱导作为输出。
为了表示较大x上的任意分布，鉴于x在大小上是阶乘式的，x的置换通过斐波纳契球面晶格上的索引和表示这个晶格点处的第n个索引置换的莱默代码给出的分析关系来引用而不存储。以这种方式，对于x的任何大小，可表示x个数据项目上的均匀分布，其中σ是置换并且U(σ)是σ上的均匀分布：
相对于某些原始运算诸如但不限于交换运算或加法运算，Quanton的结构编码置换和其彼此的关系。每个置换通过晶格来索引，所述晶格细分基本流形，所述流形与概率分布相关联，所述概率分布因此隐含地是置换上的分布。
分布可为复杂定向统计资料并且可充当密度泛函的代理，所述密度泛函本身在本公开中用作量子波函数的近似替代，在此情况下每个置换代表状态空间配置。
这个情况在图8：Quanton概率路径密度，与将量子位映射至传统位的查找表中示出。在图8，项目32中，示出Poincare-Bloch球面并且按照具有空心和实心端点的线段，针对基于α和β：线段的叠加组成中的每一个来使用特殊表示。在图8的项目33中，按照角参数来描绘常用量子位模型。注意，作为球面上的切点的置换阵指定线性切线超平面，可从其中选择样本，并且逼近其邻域的相邻随机轴对准超平面。
图8的项目34示出切点，和取向节段，其代表相对于θ与另一个点的短程线距离并且展示点的间隔在0与1之间的某处，并且取向由端点处的填充和未填充圆圈来给出。最后，项目35示出所定义的规则，藉以确定是否基于θ将线段视为映射至传统位0或1。线段被绘制来表示叠加的子空间并且强调Quanton的几何规范和其与量子位的关系。
换句话说，正如量子位代表概率密度，Quanton也代表概率密度。Quanton的几何形状是超球面，然而出于说明性目的，球面和圆形被绘制来描绘低维情况。然而，Quanton，不同于量子位但是类似于Qudit，代表一组子空间，其中每个置换阵是一组独立、相互正交、k-维子空间，所述子空间出于效率用与坐标轴对准的整数来标记：在最简单的情况下，k-维子空间是1，但是在更复杂情况下，Quanton代表大于1的子空间。在置换阵代表二进制空间[0,1]的子空间中，则空间与维数的二进制指数成比例，如通常解释。
为了使这清楚，并且为了示出Quanton是独特设计的复杂数据对象，“图9：Quanton的拓扑结构和嵌入置换状态空间作为球面上的轨道形”示出子空间和映射。在图9，36中，示出4个量子位的单一序列，其中图8，33的圆圈图表示状态。量子置换寄存器的结构通过采用多组量子位来定义和构造，并且在图9的37中示出具有4对量子位的四级Qudit寄存器中有时具有成对2个量子位的寄存器的示例，以及其相应向量子空间。最后，对于四个对(即，4个Qudit)的集合，存在4-阶乘可能序列(4！＝24)，以及置换的24-阶乘可能顺序。
置换由表示子空间的整数来表示并且整数被映射至坐标，所述坐标定义如38中示出的置换面体，置换区带形。然而，如本公开的实施例所描述，置换多胞形可扩展性地紧凑地表示为排序轨道形，所述排序轨道形从Birkhoff多胞形得到，所述Birkhoff多胞形是置换面体的等效表示，但是Birkhoff多胞形进一步被扩展至排序轨道形，与Birkhoff多胞形的n2复杂度相比，所述排序轨道形提供n(log(n))计算复杂度。Quanton的最终轨道形示意性地示出为图9的39中的输出，其中其构造的细节稍后将在本公开中解释。
运算模型在图10：分布估计算法的Quanton运算模型中完全示出，其中具有一组参数40，所述参数确定Quanton的结构，尤其是作为置换大小的置换阵的大小，所述参数可或可不来源于训练数据41，维度数，斐波纳契球面网格和选择概率密度模型42所需要的控制参数的选择：概率分布的选择不限于但是优选包括von MisesFisher、沃森、Mallows和高斯分布，然而可根据需要选择其他分布和其任何混合。
概率模型43的选择包括贝叶斯模型、Kalman模型和量子模型，优选使用时间依赖性密度泛函(TDDF)或方向依赖性密度泛函(DDDF)，这些泛函使用伪势代替正式量子波函数。虽然TDDF可为本领域技术人员已知的，但是DDDF是未知的，因为它涉及使用定向统计资料来提供跃迁的向量方向，而在TDDF中，时间提供方向性。
Quanton数据映射44将取决于选定概率模型43并且表5示出优选映射模型。
为量子计算所开发的一个模型在拓扑模型方面定义量子电路：在一个实例中，这些拓扑量子计算模型在称为“编辨(braiding)”的操运算使用置换以便执行计算。辫操作可通过称为生成器的矩阵来表示，所述矩阵作用于量子位空间来执行量子门的逻辑运算。辫可表示编码个体辫操作的生成器的产物。
因此，使用Quanton的置换表示，编辨运算是通过置换空间的路径，所述路径通过使用概率分布的估计的进化来学习可推进到解路径。细节在上文提供。
图10，46接收噪声部分数据，其可包括图像数据、定向数据、概率相关联数据、部分图数据、时间序列和状态表示数据。对于构造为45并且在图11中进一步解释的Quanton数据结构的计算产生呈估计分布形式的数据关系47的断层摄影的解，以及来自所寻求结果的断层摄影的输出，项目48。因此，主要部件是密度模型，其具有一组参数，和有效观察结果的数据库，然而如果数据库不可获得，系统将被示为收敛至近似解。
在先前图10中，提供参照图10，45处的Quanton的高阶模型描述，现在在“图11：Quanton数据结构构造的流程图”中，以精细粒度来提供构造Quanton的操作步骤和流程图的描述。
现在参看图11，训练数据，项目49，通过本公开的表3的方法来表示为置换，并且将这些所得置换模式分解至其在Quanton上的索引位置，如例如斐波纳契数列的第k个索引，即表示置换(模式)的第k个莱默代码，项目50。轨道形，项目51，按照本公开的表1的方法来构造，并且最优地，构造为排序多胞形，如稍后在图23的描述中示出。概率密度，项目52，使用表5的方法和编译步骤来选择，所述编译步骤包括写入Binnet式和其在基本数据结构中的索引的列表，项目53，诸如关系述词的集合或使用索引作为主键的标准关系数据库系统，以及训练集的最大后验(MAP)概率分布的估计(例如使用贝叶斯递归过滤过程)，项目61。一旦这按照图5的方法到达固定点，则返回校准Quanton。
现在，在使用噪声部分数据进行为泛化Quanton的分解来产生结果时，噪声数据，项目56，还通过本公开的表3的方法来表示为置换；然而，在此情况下，可使用多种用户选定方法来应用过滤过程以便舍弃数据，从而减少提供给Quanton的数据，项目57。估计函数，项目58，诸如递归贝叶斯过滤过程产生可减少的输出，使用高斯例如作为卡尔曼滤波器，如果球面几何被选定为嵌入几何形状，项目60，将噪声数据的分布通过投射到球面上来分配至Quanton。估计值可被更新，然后晶格上的最近的量化点作为候选解来返回，并且通过表3的方法从其置换表示来转换回到数据。
这个一般过程用于相对于训练数据集来局部更新Quanton概率分布，并且对于概率方法和MAP计算的机器学习领域的技术人员来说，通常是很好理解的惯用语。
超球面的构造可描述如下：
将嵌入维度＝d＝n2-2n+1＝(n-1)2；
超球面通过n-维中的一组超球面极坐标来表示如下：
使成为n-维中的笛卡尔坐标
由此导致：
在给出变换的情况下，并且为了解释起见，n＝3仅出于符号方便而使用，并且直接泛化至n维的所有超球面。
另外，为了简化前述过程，单位超球面的半径假定为一，而没有较高维情况的泛化的任何损失。
现在，弧段(对于n＝3维)通过以下给出：
ds2＝Sin2(θ).dθ2+dθ2
由此导致：
球面上的螺旋曲线的斜率定义为常数，其给定为：
由此导致，φ＝kθ
嵌入超球面的表面的置换：
维度d：d＝(n-1)2-1＝n2-2n+1-1＝n2-2n
空间：
嵌入以下维度的超球面的置换：(n-1)2
超球面的半径：
n个对象上的所有置换矩阵属于中的超球面上的半径的表面
置换空间：
所有置换向量的质心：
使索引作为q,r，因此如果位置q具有值，它是r。举例来说，意味着置换向量中的第一位置设定为值1。
因此，对于n个向量，存在具有(1,1)置换的(n-1)个向量。
由此导致，
超球面的半径是：|
第n个斐波纳契数通过比内公式来给出：
从任意维度的数据的概率密度估计器的设计，更一般来说从源编码得到动机。以下程序定义将(n-1)-维样本映射到上的PDF估计模型。在新领域中、使用核密度衍生估计技术来执行PDF估计。平滑核函数代表其位置处的每个样本并且将其贡献求和。
这相当于内核与数据之间的卷积；因此，所得到的卷积结果代表估计。注意卷积只用于计算估计值，而不处置相关性。在vMF跃迁模型中，边缘化可使用以下事实来执行：vMF可通过角高斯来逼近并且执行角高斯的分析卷积，随后投射回到vMF空间(Mardia&Jupp)。
在相关研究中，S.M.Plis,T.Lane和V.D.Calhoun的“置换作为角数据：阶乘空间中的高效推测(Permutations as Angular Data:Efficient Inference in FactorialSpaces),”2010IEEE数据挖掘国际会议(2010IEEE International Conference on DataMining)，悉尼，新南威尔士州，2010,pp.403-410的教导的全部内容以引用方式并入本文。然而，虽然Plis等人教导示出将离散置换结构嵌入n-球面中的方法，但是其未示出如何使用索引的准晶晶格，诸如本发明的方法来使得所述过程高效和通用。本公开提供若干方法中的一种方法，但是总体上全部使用数列，诸如斐波纳契数列，来建立流形上的索引嵌入空间，其可推广到其他种类的几何形状，诸如n-环面，而不仅是n-球面。
从置换多胞形到超球面的算法：
从多胞形的顶点映射到球面的表面的通用算法通过以下三个简单一般步骤来给出：
1.给定多胞形相对于原点来变换整数坐标。
2.通过将向量变换到中的球面坐标来改变基。
3.通过半径来重新缩放以便获得单位向量。
现在，以下提供的此通用程序的优选实施例避免重新缩放和如另外由Plis等人示出的许多其他计算：
1.将置换多胞形变换成莱默代码索引，因此来自0..n的任何代码提供置换，第P个索引：
2.将每个莱默代码与从1到N的唯一索引相关联。
3.使此第p个索引成为超球面的超曲面上的Fibonnaci超曲线上的点。使用比内公式来计算此第P个整数。
4.将von Mises Fisher或其他(Mallows，沃森)概率模型应用至超曲面，超曲线嵌入所述超曲面上。
5.因此，如在这个点处的斐波纳契数给出的超球面上的每个索引代表相应置换，因此，也是具有通过点周围的斑块区域进行索引的索引定向分布的场所。
6.使用中的单位球面坐标。
7.将索引与斐波纳契球面映射的索引项相关联。
从超球面回到置换多胞形的算法：
给出在上的任意点(在超球面的表面处或附近)，发现是置换的最接近点。按照Plis等人的教导，通过使用最小加权双向匹配算法，超球面上的任意点可与最近置换点匹配，其中输入点与其最近邻之间的成本矩阵得以最小化以便产生最佳最近邻选择。
然而，在本公开中，情况更简单，因为Quanton生成器是分析性的并且斐波纳契晶格以有规则的索引来细分(即，量化)空间以使得任何准晶胞处的任何任意点容易识别并且计算距离以便选择最佳晶格(即，置换)点。换句话说，斐波纳契晶格多胞形的索引点将空间量化，并且因此，斐波纳契曲线上的到任意点的最近点使用沿着曲线到任意点的最小距离来发现。如果任意点是完美中点平分(例如，在两个晶格点之间)，那么随机选择最近邻晶格点。对到曲线的距离求解的程序如下：
(1)斐波纳契曲线沿着球面螺旋式地从北极向下延伸到南极。对于z(在南极处为-1至在北极处为+1)来说，它保持与相邻绕组的不变距离：
n＝定义给定螺旋的常数
θ＝k.Arcsin(z)
x＝r.Cos(θ)
y＝r.Sin(θ)
它围绕球面产生k/2周数，其中每个绕组距离相邻绕组同时斜率dz/d(x,y)是1/k。
(2)设定k以使得绕组间距离覆盖球面上的最大图块。
(3)对于主集合中的每个点，计算曲线上的最近点的θ，并且通过那些数字来将点的列表进行索引。对于给定测试点，计算它在曲线上的最近点的θ，即最近邻距离极限，并且发现索引中的这个点。
(4)使用线性扫描，从那里(即，索引)向外(在两个方向上)搜索，直到与当前最近邻一样远的θ值。在到达极限之后，如果与这个近邻的距离小于从测试点到下一个相邻绕组的距离，得到最近邻。否则，通过2π来跳过θ值并且以相同方式搜索这个绕组。
(5)然后，n-球面上的弧长s如下计算：
(6)使用最近晶格点的索引产生这个点处的置换的莱默代码的关系，从超球面的表面上的点变换到最近晶格点以便回到最近置换；然而，
(7)在表面上的点与多个晶格点等距离的情况下，随机选择最近点并返回这个点处的置换。
Quanton实时校准算法。现在，参看图12：Quanton校准构造处理的细节，64，从定义如何生成置换的结构模型开始。在置换的类型和它如何表示给定问题或它如何表示一些数据以及一个置换如何产生下一个置换方面来定义置换结构。元素65，状态跃迁模型，指定置换之间的概率跃迁的类型并且可从数据学习或先验地提供：事实上，模型描述跃迁状态向量。时间模型66指定函数，所述函数确定置换或其在流形上的分配如何随着时间的推移而变化。测量模型，67，提供加权或缩放因子以及测量置换之间的距离的函数：事实上，与状态向量处的观察结果相比，它提供较低维度的测量向量。举例来说，可使用海明距离。
算法参数，68，含有任何常数或启发式或浓度或概率模型需要的其他参数，如通过概率密度函数69的选择来给出。
概率模型由与例如贝叶斯推论领域的技术人员的标准定义一致的观察结果、跃迁和后验70概率组成。
现在，在图12中称为71、72、73、74和75的项目共同地构成校准过程，也称为机器学习。Quanton使用一些已知参考数据作为观察结果来校准：校准基于流形上的置换之间的概率密度分布的迭代估计直到其对应于接受阈限为止，在所述接受阈限下，所观察到的训练数据得以满足。边缘化步骤，项目71产生新分布并且与在传统情况中一样，这用于更新估计过程，项目73，所述过程是递归的(如同递归贝叶斯估计)直到数据得以学习，项目72和校准得以完成，74，75为止。
现在，参看图13A：4-置换轨道形的空间的拓扑结构。注意作为定义置换的数字的移动，置换的结构形成一定配置。在本文中示出的一个示例中，四个置换可在76处开始并且在77处获得结果。
图13B示出5-变换轨道形的空间的拓扑结构。在一个示例中，五个置换可在78处开始并且在79处结束。
图14描绘递归进化和估计流程图。
模型具有两个主要部分:
·prob(ht|ht-1)；描述隐藏置换的随机进化
·prob(ot|xt)；其中ot是隐藏置换的噪声观察结果
prob(ht|ot-1)＝∫p(ht|ot-1)p(ht-1|ot-1)dot-1
此方程的边缘化可通过用角高斯来逼近vMF、分析性卷积、并且投射回到vMF空间来计算。
所有推测步骤只对于置换的Sd表示来运作，避免不必要的变换开销。
跃迁模型通过置换h(σ(t)|σ(t-1))上的可能混合条件概率分布来定义，并且可能属于两个不同数据的元素通过混合事件以某种概率来互换。观察模型通过分布P(h(t)|σ(t))来定义，其可例如捕获对每个数据元素可观察到的特定数据特征上的分布。
在给出分布h(σ(t)|z(1),…,z(t))的情况下，在时间t+1、h(σ(t+1)|z(1)、…、z(t+1))处递归地计算后验，这分为两个步骤：预测/卷起步骤和调节步骤。总之，这两个步骤形成正向算法。预测(诱导)/卷起步骤将分布乘以跃迁模型并且边缘化先前时间步骤：
与不太相关的置换相比，密切相关置换具有更多共同信息并且由此是更可压缩的。这个信息理论框架可通过容纳关于那些环设置中的排序的先验知识来针对个体情境进行适应。可产生的特定类型的测量是：
(1)两个置换阵中的非重叠范围的测量；
(2)其在置换阵中的重叠元素的无序性的测量；
(3)置换体中的这些元素的位置(排序)的位移；和，
(4)纠缠的替代，其基于置换子的大小和其子序列避免模式或其子序列同构之间的对准。
连续参数(n-球面上的投射)可只需要仅声明为有限的精确度(归因于斐波纳契晶格结构和置换)。MML通过确定参数定位在其中的不确定性区域来将此并入框架中：值：
给出参数Θ得以居中的不确定性区域的体积的度量。
当Θ乘以概率密度时，h(Θ)给出特定Θ的概率并且与下式成比例：
这个概率用于计算与编码连续值参数(以有限的精确度)相关联的消息长度。
给定数据D的任何分布的参数Θ的向量。选择假设h(Θ)的先验(例如，高斯)。为了评估对数-似然性函数：的预期二阶部分导数的还需要费歇尔信息矩阵的行列式。
注意p是模型中的自由参数的数目。
置换问题的凸松驰
给出：关于n变量的成对相似性信息Aij。
使π成为序列化置换排序(偏序集)；然后，
Aπ(i)π(j)随着|i-j|(又称R-矩阵)而减少。
将A的拉普拉斯算符定义为L(A)＝diag(A1)-A
A的Fiedler向量是：f(A)＝argmin xTL(A)x；1Tx＝0；||x||2＝1
在中，当且仅当以降序来将x的坐标态值排序所获得的点z满足以下方程：
vMF的示例：
prob(ht|ht-1)＝vMF(ht；ht-1，κtransition)(见元素81)
prob(ot|ht)＝vMF(ot；ht，κobserved)(见元素81)
prob(ht|ot)＝vMF(ht；ut，κt)；后验模型(见元素82)
使用新的观察结果来通过观察模型更新估计值(见元素86)：
prob(ht|ot)∝p(ot|ht)p(ht|ot-1)
使用跃迁、观察和后验模型的概率分布。
当o对象的部分观察结果变得可用时，所观察到的置换矩阵O的未知部分的维度从n减少到(n-o)。
因此，算法提供从其噪声部分可观察量进行的隐藏置换的诱导(推测)。
图14示出方法1400Quanton模型摸拟的一个实行方案的流程图。
在方法1400的步骤80中，将各输入参数初始化。举例来说，初始化的参数可包括最大停止标准(例如，最大迭代次数)，结构维度模型，状态跃迁模型，定向概率密度函数(例如，高斯分布的平均值和方差，和von Mises-Fisher分布平均和κ值)。虽然可使用许多定向概率密度函数，但是方法1400在本文中将使用von Mises-Fisher分布来例示。此外，初始化的参数可包括隐藏置换的相对百分比。Quanton可表示为Birkhoff多胞形和/或超球面。
在方法1400的步骤81中，定义观察和跃迁模式。跃迁模型通过置换h(σ(t)|σ(t-1))上的可能混合条件概率分布来定义，并且可能属于两个不同数据的元素通过混合事件以某种概率来互换。观察模型通过分布P(h(t)|σ(t))来定义，其可例如捕获对于每个数据元素可观察到的特定数据特征上的分布。
在给出分布h(σ(t)|z(1)、…、z(t))的情况下，在时间t+1、h(σ(t+1)|z(1)、…、z(t+1))处递归地计算后验，这分为两个步骤：预测/卷起步骤和调节步骤。总之，这两个步骤形成正向算法。预测(诱导)/卷起步骤将分布乘以跃迁模型并且边缘化先前时间步骤：
在方法1400的步骤82中，生成状态的后验。
在方法1400的步骤83中，计算隐藏置换的随机进化的边缘化。对于von Mises-Fisher分布，这可使用两个von Mises-Fisher分布之间的卷积表示边缘化的近似法来计算。
在方法1400的步骤84中，生成观察结果。观察结果可通过首先将置换转换成其矩阵算符表示来生成。接着，矩阵运算符表示可用于将矩阵算符表示投射到子空间中的超球面的表面上以便生成分布的均值向量，表示Birkhoff多胞形的子空间的正交基向量跨越所述子空间。
在步骤84的某些实行方案中，分布的均值向量用于从vonMises-Fisher分布来生成随机抽选，以便生成统计样本，从而生成Birkhoff多胞形上的修改的置换分布。
在步骤84的某些其他实行方案中，分布的均值向量用于针对各种对象位置来计算翻转概率矩阵。然后，翻转概率矩阵用作概率模型以便确定在超球面上表示的置换的变化，从而生成修改的置换。然后，可将修改置换转换成Birkhoff多胞形上的修改的置换分布。
然后，使用表示Birkhoff多胞形的子空间的正交基向量的逆转，可将Birkhoff多胞形上的修改的置换分布映射到超球面的最近顶点上以便求解置换矩阵的最近顶点，其中最近顶点使用欧氏距离来确定。
在方法1400的步骤85中，执行部分观察来生成新的观察结果。
在方法1400的步骤86中，新的观察结果用于通过观察模型来更新估计值：
prob(ht|ot)∝p(ot|ht)p(ht|ot-1).
在方法1400的步骤87中，执行是否达到停止标准的查询。如果未达到停止标准，方法1400从步骤87进行至步骤83。否则，方法1400完成。
中的任意点对应于超球面上的点，因此对应于置换。使Ts成为中的任何点，因此这个点必须对应于Sd，也就是说，上的点
根据置换上的PDF，vMF建立基于距离的模型，其中距离在Sd上是短程线的。然而，虽然VMF对于各向同性分布起作用，但是缺乏vMF分布中的浓度参数的闭型共轭先验使后验推测复杂化，并且浓度参数通常是任意固定的并且不从数据推断。
添加切线空间模型允许各向异性分布并且可充当对球面上的其他分布的校正，同时将模型复杂度适应于数据，如通过数据来驱动。在利用球面几何和斐波纳契晶格时，推测算法是可并行的。
在本公开中，在切线空间模型中，每个混合部件存在于其自身切线空间中，并且每个切线空间是唯一的。
现在，参看图15：几个辫群和置换轨道形(区带形)的空间的多面体结构，示出不同置换布局，其识别从一个置换跃迁到另一个置换中的路径或关系。图15的目的是引起对于相对于置换排序的几何结构的注意。这是重要的，因为Quanton模型中的置换排序提供状态空间之间的跃迁排序。举例来说，在88中，标签a坐落在置换的“正方形”布置处并且与置换的六边形布置相邻。然而，在89中，标签a坐落在置换的“正方形”布置处并且与标签b处的置换的八边形布置相邻。在90中，示出若干不同多边形区域，其平铺Quanton的表面。
现在，参看图16：示出量子化多面体概率密度分布的多面体结构，可发现相等概率密度91的较浅色斑块被解释为意味着所涵盖的所有置换将作为可观察量的外部语义与作为置换的状态空间相关联。如本公开示出，这可通过Quanton使用贝叶斯样方法来学习。
图17：示出单一量子化多面体概率密度的投影的多面体结构。在学习的状态表示Quanton 92上的因果状态的轨迹或序列的情况下，这些状态可在序列中展开93并且状态和其跃迁的集合构成如基于标准概率的学习方法所学习的因果关系模型。
图13、14、15和16示出以下一般想法：根据置换模式序列将置换嵌入模式中并且这与通过准晶格生成程序来给出的几何形状和拓扑结构相关联。在此点，现在示出任何量子门和电路可如何通过置换模式来表示并且任何量子门过程(即一组复杂量子门的运算)可如何通过Quanton中的路径进行直接模拟。具体地说，针对以下事实：不可计算的数字和可计算的数字都产生诱导假设和演绎计算，同时调整概率跃迁的机器学习产生归纳学习。
以下文献的教导的全部内容以引用方式包含在本文中：MichaelA.Nielsen和Isaac L.Chuang.2011.量子计算和量子信息：10周年版本，剑桥大学出版社，纽约，美国(Quantum Computation and Quantum Information:10th Anniversary Edition(10thed.).Cambridge University Press,New York,NY,USA)。
必须认识到在给定时间，n位的一组(寄存器)可含有2n个不同数字中的仅一个数字，并且另外对于任何常数(k>1)，和任何自然数n，以下情况成立：kn≤n！≤nn。因此，例如，考虑如在置换中包含的含有24＝16种可能性的4量子位状态，4！＝24种可能性状态。因此，明确发现与传统量子位相比，置换的状态空间惊人快速地缩放并且最后，量子位比简单位(或甚至概率位，诸如本领域技术人员已知的pbit)的状态空间更快速地缩放。
正如实数可以看作是复数的子集，可根据实数真实位来将量子位重写为在计算基础中具有实数条目的密度矩阵的量子状态的量子位的子集。基于Rudolph,T和Grover,L,“针对量子计算的通用2真实位门(A 2rebit gate universal for quantum computing)”的教导，可阐明n+1真实位(实数位)具有实数和虚数部分的额外编码和n-量子位状态的初始状态，其可表示任何状态：
在对应编码状态中，|R>＝|0＞和|I>＝|1>只是使得编码中的实数和虚数部分变得明显的标记法：
通过全局相来改变量子位状态通过编码相同量子位状态的无限多真实位状态的存在来反映。简单来说，所得式类似于复数情况，除了总体绝对值符号缺失以外。因此，在Rudolph和Shor模型中，两个量子位状态可被重写为三个真实位状态。这是重要的，因为Quanton是量子论的真实-振幅变体中的量子系统的逼近模型。
任何给定量子模型状态可被变换成唯一Quanton，其充当量子状态的正规形式。正规形式取决于代数独立随机局部运算和经典通信(SLOCC)，在Quanton上的概率下是等价群。因此，这些不变量构成通过这些概率来参数化的轨道家族。通过一个实施例，此想法被解释成通过等价群共享的模型来设定纠缠表示阶段以使得例如，鉴于必须共享的至少一个群(即轨道)，也称为所共享的模式避免序列或共享模式符合序列，N-量子位纠缠状态被定义为(N-1)！个纠缠家族。所以对于N＝4来说，存在3！＝6个家族并且对于N＝3来说，存在2个家族(即，两个非同构模式)。
将量子逻辑电路映射到置换表示的程序：
遵循如先前叙述并且并入本文的Nielsen和Chuang的教导，量子电路可以看作为n-位可逆逻辑门。这些逻辑门可形成复杂功能电路，然而，它们都相当于置换作用于穿过这些门的位的2n个可能状态。因此，指定可逆逻辑门被定义为指定它在置换方面执行的映射。在量子计算中，这些计算状态通过量子力学状态来表示。
定义具有作为较好定义量子力学状态的n-元素的有限集合S；因此，任何可逆逻辑通过引入置换运算符σ∈Sn来表示，其中σ是S本身的一一对应映射(即，置换)。
使位的集合通过小写字母被如下表示：a，b∈(1，0)；并且使集合的集合通过i(以使得i＝0、1、2、3)来表示，其解释为通过测量门的两个输入位来表示的四个计算状态。因此，可将逻辑规范如下写出：
这个表示在本公开中解释为置换群S4的元素。现在，重要想法是任何通用门，诸如受控非(C-NOT)门可表示为S4中的一一对应映射以使得以上表可现在仅通过置换来表示。S4含有4！个置换，隐含着对于4-状态系统，存在24个不同逻辑门。如本公开先前提及，任何N-水平量子系统可在N！个计算上不同的逻辑集合中被置换：度为N的这些置换在置换的复合运算下形成一组次序N！。
因此，以下示出本公开如何通过(概率)置换(又称置换计算)来表示量子计算的虚拟机。
任何置换群Sn是间隔S＝{1，2，3...N}的置换集合的所有双射映射的集合，并且组成物将以群运算形式来映射在σ上。
注意转置是长度2的循环，所以，任何置换可写为转置的积，并且因此任何置换可写为不相交循环的积，足以将每个循环写为转置的积：
(n1，n2，...，nk)＝(n1，nk)(n1，nk-1)...(n1，n2)
注意存在将给定置换写为转置的积的若干方法。例如，使P＝(3,5,4)(1,2,3,4)。然后将以上式[00183]应用于循环(3,5,4)和(1,2,3,4)中的每一个，获得P＝(3,4)(3,5)(1,4)(1,3)(1,2)，因此P是5次转置的积。另一方面，可首先将P写为不相交循环的积(在此示例中将仅有一个循环)，然后使用(T)。这给出P＝(3,5,4)(1,2,3,4)＝(1,2,5,4)＝(1,4)(1,5)(1,2)，因此现在P是3次转置的积。
C-NOT门94是通用量子门，如Nielsen和Chuang所解释。图18A示出将C-NOT电路映射至以置换循环标记法来写出的置换。置换的循环的积相当于可逆逻辑。n-位CNOT门(即，受控-NOT或C-NOT)对于n中的任何一个位起作用，同时控制位是其他(n–1)位或(n–2)，依此类推。对于n＝3，存在9个可能C-NOT门100，如图18B示出，其中输入与输出之间的每个置换运算通过唯一转置的积来实现。
对于量子计算，需要通用可逆门。此类门中的一个是托佛利(Toffoli)门95，具有3个输入(a，b，c)和对应输出(a'，b'，c')的3-位门。输入与输出之间的关系如下
a'＝a
b'＝b
在这里表示互斥或(即，加法模2)并且·表示和函数。变量a和b是控制位，其中c称为目标位。如从逻辑所见，控制位在穿过门时没有变化。然而，如果两个控制位是逻辑1，那么目标位翻转。对应于托佛利门的置换是
二进制的转置表示是(110，111)，以十进制表示为(6,7)。
佩雷斯(Peres)门96是托佛利与C-NOT门的行为的组合，如在图18A中示出，将97添加至98产生99；因此，它可实现更复杂逻辑诸如加法、减法等。Peres门是3-位门，如下保持输入与输出之间的关系：
a'＝a
对应于此门的置换是
在十进制中，对应循环具有4的长度并且可被分解成3次转置：σPERES＝(4,6,5,7)＝(4,7)(4,5)(4,6)。
任何可逆逻辑可根据置换群来重写；因此，使用置换循环的概念来运作可逆门的结构块。对于每个n-位可逆逻辑，存在度为2n的唯一置换。因此，对于置换群的所有性质和运算，应用或实施可逆逻辑运算。因此，所有门可由置换来定义，诸如其他有用的门诸如弗雷德金(Fredkin)门(也称为受控置换门)。此外，所有门是通用的，其可表示n-位运算，诸如n-位托佛利门也称为多重控制托佛利(MCT)门，即具有n个输入和n个输出的可逆门。
由于置换模拟可逆逻辑，因此，置换的组成物用于定义由可逆门执行的运算或由可逆门组成的量子电路，鉴于任何可逆门可通过对应置换来表达，因此任何量子电路仅为不相交循环的积并且一定为转置的积。在本公开中，展示对于全加器量子电路的原始运算，需要某些专门技能以便通过对应于电路的置换运算符来建立量子电路。简单构成转置的积的朴素方法是在Quanton上建立通用高效和简单计算运算符的基础。
任何不可逆函数仅通过添加常数输入和无用输出来映射至可逆函数。然而，常数输入必须具有某些值以便在输出中实现功能性并且无用输出必须对于最终计算没有影响。将不可逆函数转换成可逆函数所需要的无用输出的最小数目是log2(Q)，其中Q是输出位模式在表示不可逆函数的真值表中重复的次数。在全加器101的情况下，如图19示出，本领域技术人员明白输出位模式01和10重复三次并且具有最高的出现次数。因此，对于Q＝3,需要至少log2(3)＝2个无用输出和一个常数输入使得全加器函数可逆，如图19示出。在置换表示中进行计算的程序：
提供在置换表示中进行计算的Quanton设计和程序，其包括并且扩展Deléglise,Marc,Nicolas,Jean-Louis和Zimmermann,Paul.“针对一百万亿的朗道函数(Landau’sfunction for one million billions).”波尔多数理论杂志(Journal de Théorie desNombres de Bordeaux)20.3(2008):625-671的教导。US 6256656B1引用的Carroll PhilipGossett,Nancy Cam Winget在其专利“用于扩展具有模块化算术处理单元的计算机系统的计算精确度的装置和方法(Apparatus and method for extending computationalprecision of a computer system having a modular arithmetic processing unit)”的教导中的现有技术示出模整数表示可被如何有成效地用于增强计算基本不可逆的计算机运算。在本公开中使用模整数表示的类似概念之间的差异是使用朗道函数来创建针对置换运算的编号序列，并且通过这些置换运算来增强计算基本完全可逆的计算机运算，所述运算也是完全可并行的，如图19的102中所见。此外，通过置换运算的这些可逆计算实现量子计算电路的高速模拟，并且在与概率模型组合时，实现极快速近似量子样计算作为一般近似概率图灵机模型。
图20A示出选择提供最优性的Sn的对称群的置换的大小和设计的方法的流程图。所有步骤是完全可并行的。所述方法使用朗道数，在与置换运算符设计的对应设计组合在一起时，提供变换置换的运算语义以便确保变换置换是双射和可逆的。举例来说，通过使用朗道编号来设计置换，加法运算符可作为置换之间的运算来写出，其中数字必须符合朗道编号。结果是在设计中的移动和运算方面，Quanton可执行所有传统指令，诸如加法和减法。使用此设计，Quanton提供指令的计算模型，其可表示最小图灵计算模型。
在方法的步骤103中，确定对称群Sn的维度n的分区。分区被确定为正自然数的和。这个步骤和方法的其余步骤在以下使用以Haskell代码写出的函数来例示。如图20A示出的方法使得可使用对称群Sn中的置换的子集来执行算术。为了实现此目的，朗道数可用于获得Sn的最大循环子群的顺序的理想候选。与此相关并且如图20B示出的方法所描述，循环群与可作为子群产物来分解的Zn是同构的。子群的这些产物各自具有顺序其中p是n的质因子；并且子群可用于使用模算术来模拟具有这些置换的运算以便并行并且快速执行这些计算。
为了初始化图20A的方法，可设定最大整数大小(例如，最大整数可被设定为100)。
在步骤103中，朗道数使用所确定的分区来计算。朗道数可使用作为正自然数的和的n的分区来计算。朗道数可使用分区的元素的最小公倍数(LCM)来确定。在这里，可通过LCM(a，b)来指示的两个整数a和b的最小公倍数是可被a和b除的最小正整数。
在一个示例中，步骤103和104中的分区和朗道数可在Haskall代码中进行定义。也可使用任何其他程序设计语言。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
landau 19
(420,[3,4,5,7])
landau 42
(32760,[5,7,8,9,13])
在图20A的方法的步骤103中，使用具有大于n的朗道数的第一分区，定义由朗道数给出的顺序的循环群的生成器和模板。生成器使用朗道数高于n的第一分区。如下所示，步骤1230中的生成器和模板可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
“landau function”42
(60,[3,4,5])
“landau function”100
(105,[3,5,7])
lGenerator 100
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14]]
在步骤106中，确定循环形式的置换的后继和前趋运算符。循环形式的置换的后继运算符可表示为右旋转。类似地，循环形式的置换的前趋运算符可表示为左旋转。
在步骤107中，自然数与置换之间的变换以循环形式来确定。
如下所示，步骤106中的后继和前趋运算符以及步骤107中的自然数与置换之间的变换可例如在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
generator
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
“right operator”generator
[[1,2,0],[4,5,6,7,3],[9,10,11,12,13,14,15,8]]
“left operator”it
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
“Quatnton Add”(“number to permutation cycle”10)(“number topermutation cycle”20)
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[14,15,8,9,10,11,12,13]]
“permutation cycle to number”it
30
后继算术的定义也包括在以上Haskell代码中。
在步骤108中，循环形式的置换的轨道使用后继运算符来计算。如下所示，步骤108中的轨道可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
mapM_print“Landau Orbit function”
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
[[1,2,0],[4,5,6,7,3],[9,10,11,12,13,14,15,8]]
...
[[1,2,0],[6,7,3,4,5],[14,15,8,9,10,11,12,13]]
[[2,0,1],[7,3,4,5,6],[15,8,9,10,11,12,13,14]]
最后，在步骤109中，使用经典计算和模算术或使用量子或可逆计算框架上的置换运算，执行对称群Sn的循环子群中的计算。
图20B示出使用Sn的对称群的模拟来选择置换的大小和设计的方法的流程图。如图20B示出的方法执行与图20A的方法相似的功能，除了方法(图20B)更快速并且可并行以外，因为在Zn是积的每个子群中模算术独立地发生。
在如图20B中描绘的方法的步骤110中，对称群Sn的维度n的分区使用素数阶乘的因子来模拟。这个模拟基于Sn的循环子群与Zn的同构性。如上所述，循环群与可作为子群的积来分解的Zn是同构的。子群的这些积各自具有阶其中p是n的质因子；并且子群可用于使用模算术来模拟具有这些置换的运算以便并行并且加速执行这些计算。
步骤110中的分区和素数阶乘可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
“partition function”42
(60,[3,4,5])
“partition function”100
(120,[3,5,8])
函数“分区函数”返回第一分区以使得素数阶乘乘以2k高于n。
此外，在步骤111中，定义用于循环群的模拟的生成器和模板。生成器和模板用于由大于n的积给出的阶的循环群，积是素数阶乘乘以2k。如下所示，步骤111中的生成器和模板可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
“primorial Generator”100
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
在步骤112中，确定用于模拟循环形式的置换的后继(z)和前趋(z’)运算符。举例来说，在这些子群中，置换的循环的每个旋转可通过1来映射至对应模加法。在以下Haskell代码中，函数z执行后继而函数z'执行前趋。
在步骤113中，自然数与置换的模拟之间的变换以循环形式来确定。
如下所示，步骤112中的后继和前趋运算符和步骤113中的自然数与置换的模拟之间的变换可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
z[0,0,0]
[1,1,1]
z it
[2,2,2]
z it
[0,3,3]
z'it
[2,2,2]
z'it
[1,1,1]
z'it
[0,0,0]
mapM_print(map n2zs[0..7])
[0,0,0]
[1,1,1]
[2,2,2]
[0,3,3]
[1,4,4]
[2,0,5]
[0,1,6]
[1,2,7]
map(zs2n.n2zs)[0..7]
[0,1,2,3,4,5,6,7]
在步骤114中，使用后继运算符来计算循环形式的置换的轨道。如下所示，步骤108(图20A)中的轨道可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
“Primorial Orbit”
[[0,0,0],[1,1,1],...,[1,3,6],[2,4,7]]
最后，在步骤115中，使用基于素数阶乘的近似法作为模算术来执行对称群Sn的循环子群中的计算。
上述确定置换的方法各自执行确定变换置换的运算语义的函数以便确保变换置换是双射和可逆的。然而，存在关于是否可实现更快速转换机制的待解决的问题，而非依赖于后继和前趋函数的上述方法。应答是肯定的，并且更快速转换机制可使用中国剩余定理来实现，其允许高效地从留数中恢复数字，如图20C的方法示出。因此，向模余数列表的快速转换可通过从留数中恢复自然数来实现。
参看图20C，在步骤116A中，使用中国剩余定理从留数中恢复自然数。如下所示，快速转换函数可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。注意，通过仅向素数阶乘因子(或朗道数等效物)的元素中的每一个应用mod函数，逆转n2zs’发现留数列表。
示例：
mapM_print(map“number to primorial based permutation”[0..7])
[0,0,0]
[1,1,1]
[2,2,2]
[0,3,3]
[1,4,4]
[2,0,5]
[0,1,6]
[1,2,7]
map(“primorial based permutation to number”.“number to primorialbased permutation”)[0..7]
[0,1,2,3,4,5,6,7]
另外，中国剩余定理的基于扩展gcd的算法可在代码中进行表示。
在步骤116B中，通过将留数映射以便旋转每个循环，定义留数列表与置换之间的双射。上述函数的双射映射可扩展至循环形式的实际置换。为了达到此目的，通过将留数映射以便旋转每个循环，定义留数列表与置换之间的双射。如下所示，这可在代码中进行定义，其中函数zs2cp生成对应于留数列表的循环置换，并且逆函数zs2cp生成对应于循环置换的留数列表。注意作出以下假设：置换呈具有循环的典型形式，每个循环表示为薄片的旋转[从..到]。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
map(“primorial based permutation to number”.“number to primorialbased permutation”)[0..7]
[0,1,2,3,4,5,6,7]
zs2cp[0,0,0]
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
s it
[[1,2,0],[4,5,6,7,3],[9,10,11,12,13,14,15,8]]
cp2zs it
[1,1,1]
z it
[2,2,2]
zs2cp it
[[2,0,1],[5,6,7,3,4],[10,11,12,13,14,15,8,9]]
在步骤116C中，定义双射。已经作出上述定义，现在可表达自然数与循环形式的置换之间的双射。如下所示，自然数与循环形式的置换之间的双射可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
“number to permutation in cycle form”0
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
“permutation in cycle form to number”it
0
“number to permutation in cycle form”42
[[0,1,2],[5,6,7,3,4],[10,11,12,13,14,15,8,9]]
“permutation in cycle form to number”it
42
在步骤116D中，应用如上所述的更快速双射以便定义各种算术运算。使用自然数与循环形式的置换之间的更快速双射，可对各种算术运算进行定义并且对于循环形式的置换来高效地执行所述各种算术运算。这些算术运算可包括例如加法和乘法运算。如下所示，这些算术运算可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。首先，可定义较高阶函数zsOp。然后，较高阶函数可专用于每个算术运算。举例来说，加法和乘法运算可在Haskell代码中进行定义。
示例：
“number to permutation based primorials”42
[0,2,2]
“number to permutation based primorials”8
[2,3,0]
zsAdd[0,2,2][2,3,0]
[2,0,2]
“permutation based primorials to number”it
50
然后，可从同构留数列表来应用这些运算，以便对于如Haskell代码示出的循环形式的置换起作用。
示例：
“number to permutation in cycle form”11
[[2,0,1],[4,5,6,7,3],[11,12,13,14,15,8,9,10]]
n2cp 7
[[1,2,0],[5,6,7,3,4],[15,8,9,10,11,12,13,14]]
cpMul[[2,0,1],[4,5,6,7,3],[11,12,13,14,15,8,9,10]]
[[1,2,0],[5,6,7,3,4],[15,8,9,10,11,12,13,14]]
[[2,0,1],[5,6,7,3,4],[13,14,15,8,9,10,11,12]]
“permutation in cycle form to number”it
77
作为自然数与循环形式的置换之间的双射映射的上述方法的替代方案，可使用产生字典顺序排序表示的另一种方法。举例来说，可定义产生字典顺序排序表示的转换器，以使得转换器以逆字典顺序来枚举留数，如图20D的方法示出。
在步骤116E中，为了获得方法的结果，定义从数字n中提取一个双射基底-b数位的函数。因此，通过选择在0与b-1之间的数字所消耗的信息，“获得基底数数字”函数实现减少存储在n中的信息的有效结果。与此相关，步骤116E还定义“放置基底数数字”函数，以便实现将存储在0到b-1的数字b中的信息添加到m的结果。如下所示，步骤1410的函数可在代码中进行定义。
在步骤116F中，定义基列表函数，通过使用基列表bs而不是单一基b，从n中迭代提取数字。基列表函数还使用短于最后一个数字的数字列表的数字跳过来递增n，以确保恰好提取长度匹配bs的长度的“向量”。另外在步骤116F中，定义基列表的余函数。这个函数可被称为来自基列表，并且来自基列表的函数通过将所有假定由bs中的基来界定的数位列表“数字列表”转换成单一自然数n来逆转上述过程。
对于给定基列表，步骤116F的两个函数定义与列表相同长度的元组的双射，其中0与bi-1之间的元素用于基列表的每个元素bi。此外，这些函数以字典顺序来枚举元素元组(其中最右位是最重要的)，并且这不同于通过重复地应用后继所诱导的顺序，另一方面，这匹配由中国剩余定理所提供的快速转换。
如下所示，步骤116F的函数可在代码中进行定义。以下还示出函数调用和通过函数调用来生成的输出的示例。
示例：
mapM_print(map(to Base List(snd“cyclal permutation Template”))[0..7])
[0,0,0]
[1,0,0]
[2,0,0]
[0,1,0]
[1,1,0]
[2,1,0]
[0,2,0]
[1,2,0]
将置换嵌入Quanton中作为最小轨道形的程序
对于大小n的数据来说，根据表6(见前文)的置换之间的跃迁关系的置换轨道形需要n大小的阶乘的多个数据点。为了改进内存需求效率，可使用Birkhoff多胞形，将数据点的数目减少至n2变量和约束条件，但是仍然可使用显著超过n个变量来表示在本公开中示出的呈向量或循环形式的置换。
然而，通过组合Michel X.Goemans的“针对置换的最小紧凑制定(Smallestcompact formulation for the permutahedron)”,数学编程(MathematicalProgramming)，2015年10月第153卷，第1期，pp5-11，施普林格出版社的最近教导，将斐波纳契晶格的使用与基于Goemans在C.H.Lim和S.Wright的在神经信息处理系统的进展(Advances in Neural Information Processing Systems)第27卷(麻省理工大学出版社，剑桥，马萨诸塞州，2014，pp.2168–2176)中的超越Birkhoff多胞形：“针对向量置换问题的凸松弛”(Beyond the Birkhoff polytope:“Convex relaxations for vectorpermutation problems”)的教导组合，以便产生约化表示。本公开的表示进一步通过使用斐波纳契晶格与其表示置换的莱默代码的索引之间的映射进行约化和压缩以使得其中仅n.log(n)置换向量表示Goemans和Lim等人的研究中的置换面体，并且需要n个点上的嵌入。相应地，这形成作为Quanton的置换的嵌入的最小表示。这是以斐波纳契晶格和其作为优选实施例的置换面体的等效物中的索引来表示置换的显著更高效和约化存储表示。然而，在给出斐波纳契映射的情况下，基于排序网络，少许检查点是适宜的，因为其与置换的联系和由此其用于表示数据和可逆电路模拟可能是不直接明显的。
图21：双调排序网络多项式约束条件和实行方案
按照Goeman，任何排序网络，项目117，给予n个输入与m个比较器，并且基于项目118，表示具有O(m)变量和约束条件的复杂度的置换面体，对于每个比较器k＝1，2，3..m，使用一组约束条件来指示每个比较器的两个输入与两个输出之间的关系，其中运算在项目119中示出。
图22：双调排序网络操作和设计
一般关系可看作输入与输出之间的置换，如项目120所示，并且在一般情况下，当比较器方向可本身进行置换时，这些置换可表示直接排序网络或输入与输出之间的任何一般置换，在项目121中示出。
图23：作为多胞形设计的双调排序网络操作
从比较器观点进一步泛化并且采用任意维度的观点，所述概念被扩展到项目122中示出的SN中的排序轨道形。此类比较器运算符可以可逆地实施，如P.S.Phaneendra,C.Vudadha,V.Sreehari和M.B.Srinivas的“可逆量子比较器的优化设计(An OptimizedDesign of Reversible Quantum Comparator)，”2014，第27届VLSI设计国际会议以及2014，第13届嵌入式系统国际会议，孟买，2014，pp.557-562的教导所指示。
图24示出经由双调排序网络所见的编辨。根据一个实施例，如本公开先前提及的Stephen Jordan的教导所指示，置换量子计算之间的关系在编辨运算方面来示出(项目123)，其相当于置换操作，项目124。因此，这些置换操作直接相当于图22项目122的排序轨道形设计，其可逆计算已经在本文中提供。
图25：置换矩阵和置换正负号倒转矩阵
Quanton的额外性质是值可在负到正范围内变化并且置换循环表示可在其作为置换矩阵的表示方面来观察(项目125)，并且Quanton上的置换具有以下额外性质：其可改变其操作的输入的正负号，在项目126中示出。
图26：置换矩阵和置换模式矩阵
如先前所述，引入置换子和置换阵的概念并且项目127和128的用途是示出以下概念，其中矩阵中的两个不同模式是置换子和置换阵的复合物以使得模式避免或模式保持。由项目130指示的块示出也可如何表示任意模式置换运算。
图27：点与相对于角参数的点处的切线之间的关系
这个图示出Quanton数据结构130和131的示例性几何形状和拓扑结构。元素134是顶点133中的一个的切平面。元素132示出围绕切线空间上的点的概率分布。
图28：概率密度分布的类别的几何形状
将可逆量子电路表示为置换电路的规则模式在项目135中示出，而对于移动的任意模式，136中示出的路径通过迭代过程使用分布估计算法(EDA)从输入数据学习。在Quanton的情况下，记录学习路径使用n-维中的一组曲线(示例，样条或贝塞尔曲线)来执行，其控制点存储在其对应于斐波纳契晶格上的点的位置处。
现在参看图29：将置换嵌入到具有概率密度的轨道形上，两种所定义电路的组合，项目137或学习路径138，可组合为混合概率密度路径140。通过嵌入斐波纳契晶格139，则概率可被量子化并且对应于置换(即，晶格点处的状态空间)141以便产生最终Quanton结构142。
在建立图29项目142的Quanton结构中，使用图30的流程图：Quanton数据结构构造的流程图。通常，并且遵循如前文所指示的表6，在优选实施例中、使用本文先前详述的程序、在置换面体的约化表示中表示超立方体和一般关联面体。因此，选择项目143或144或145中的一个，项目146中的置换面体的表示被约化为147的多胞形并从其在项目148中使用Goemans的方法生成排序轨道形。最后，在项目149中执行使用斐波纳契晶格嵌入超球面中，产生所得Quanton结构157。如先前详述，训练数据在项目150中提供并且按照项目151将此数据过滤，并且遵循稍后在图32、36和37中呈现的细节，量化成按照项目152的模式。概率密度函数153根据如先前定义的表5来选择，并且通过先前在图14中示出的过程，将此映射至Quanton。在此时，Quanton已经习得分布并且可使用过滤155和投影算法156来执行使用噪声数据的演绎推测(项目154)，如果需要，可引出缺失数据(如果提供部分噪声数据)。
为了阐明作为置换的模式的规范，图31：将置换矩阵区带形的顶点重新解释为组合模式的示出在二进制矩阵的情况下如何可将模式数字化。较高维度的等效物是张量，而不是矩阵。然而，出于本发明目的，矩阵将示出本公开的基本方法。举例来说，矩阵模式，项目158，对应于二进制模式，项目159，其可为例如图像平面的黑白像素的3×3集合。
图32：枚举3-置换轨道形模式中示出所有模式的完全集。对于这个模式集合，每个模式与置换向量相关联，所述置换向量简单地被示为整数。因此例如，164示出用于置换的矩阵，其中对应整数312表示置换P＝(3,1,2)。元素160、161、162、163和165示出其他示例。
使用阶乘基数编号系统，将图33：使用莱默索引对排序索引中的3-置换轨道形模式进行编码的每个模式，项目166，转换成莱默代码167。本领域技术人员非常熟悉这导致通过莱默代码作为索引的模式的顺序。
因此，在选定置换的解析度下(即，在此情况下，6个模式的3-元素置换矩阵)对任何输入取样时，任何信号可相对于某个时钟，或逻辑兰波特时钟来进行取样以便产生一系列排序的模式索引，如在图34：通过基于模式的取样来将信号数字化和展示数字编码中示出。图34的重要部分是注意如在信号流中示出的项目168、169、170和171中，当模式产生时，这些模式表示矩阵模式172的索引并且由此最佳逼近输入的每个模式的代码173得以写出。因此，根据置换大小和取样率，通过模式的数目对输入信号进行压缩是成比例压缩的。注意模式的序列可表示如在CPU中的二进制计算机寄存器的跃迁序列，而不是如在视频中的随着时间的推移而变化的黑白屏幕中的像素。
本公开的方面提供噪声函数，在图35：映射至球面的模式中的示例性球面中的流形的表面上，所述噪声函数是表面处的零噪声，但是在Quanton 178的质心处是非零和纯噪声。这意味着其值不恰好落在Quanton的表面上的测量可在噪声阈限内外推至表面上的最近候选点。在此情况下，Quanton在噪声数据环境中运作以便产生真解的最佳最近假设。各种噪声函数可被使用并且最好保持作为用户定义的选择，其中使用将噪声的加权从表面处的零改变至中心处的1的简单谢泼德插值函数。以这种方式，可模拟具有噪声相似性的噪声图像或噪声电路的模式并且可生成快速候选物以便产生应答：在统计上，对应答进行迭代，通过简单观察k-试验中的成功频率，预期弱信号偏置来选择最佳候选。最后，如本公开稍后示出，作为Quanton机器学习过程的整体部分，可通过使用分布估计算法来考虑噪声。
对于量子电路来说，图36：球面的中心处的模式是混合态，同时表面是纯态旨在将在表面179处为零的噪声与更接近于中心180时的纯态产生联系，所述状态是类似噪声的完全混合态：在此情况下，使用从关于数据的不确定性测量注入的一些高斯噪声来在置换上生成噪声函数。选择噪声的程序是选择统计矩(诸如方差)并且添加至例如扰码Sobol序列，所述序列通过按照以下的教导的置换来生成：Michael Mascagni和Haohai Yu,“通过置换的扰码Sobol序列(Scrambled SoboíSequences via Permutation)”，蒙特卡罗方法和应用(Monte Carlo Methods and Applications)，第15卷，第4期，311-332页，ISSN(在线)1569-3961,ISSN(印刷)0929-9629，DOI:10.1515/MCMA.2009.017，2010年1月。
总体情况在图37：映射至Quanton的模式中示出，其中元素181表示映射至表面的模式与为Quanton的概率分布和噪声182。
应指出较大置换含有较小置换的模式并且在将模式分离成嵌套结构以便在每个嵌套水平下在选择概率度量中提供变化性时，模式得以更好地相关联。嵌套在图38：具有嵌套Quanton的Quanton的层次结构中示出，其中虽然为了便于说明，使用超球面，但是情况也适用于规则流形(诸如超环面)的任何其他选择。创建Quanton 183和184的层次或群体的深刻见解和原因是使用分布估计来进化生成最佳解的Quanton。最低水平Quanton对应于耦合至状态跃迁函数的Quanton，因此，与那些较高水平相比，概率密度函数可不同。世代t处的Quanton Q称为Qn(t)并且对应于具有λ置换状态上的定向概率密度的轨道形，所述置换状态表示量子位(相应地实数位)。因此，每个Quanton可视为长度λ的位串的分布，其表示为具有概率密度函数分布的置换。在作为遗传进化类型模型的此模型中，Quanton是根据概率密度来表达主要表现型，置换的基因型。因此，每个Quanton最后产生二进制串，其表示给定输入数据问题的解。
图39：基于针对量子样计算的Quanton的分布估计算法。在给出Quanton的先前模型的情况下，则应用作为分布估计算法的变体的概率密度分布估计，以便在给定输入数据的情况下调整机器学习过程中的Quanton。
Quanton群体和层级对应于量子多重集。Quanton群体被划分成m个子集，项目185，每个组含有n个Quanton，项目186，并且具有对其状态跃迁函数进行同步化(即，通过仅使用精确相同函数和参数)的能力。在步骤187和188中，Quanton分布估计在以下双重偶合方式中进化，其首先给出在项目185至191中列出的群体进化步骤，称为部分-A，并且其次，在个体Quanton的水平上，项目192至198的中步骤称为部分-B：此耦合进化的独特方面是局部Quanton的状态可变得纠缠或与全局状态相关联。EDA算法如下进行，其中部分-A和部分-B以串联方式进化。
参看项目185至191，作为部分-A：
(1)将第一初始化世代迭代至第二代；其中，
(2)使用先前呈现的置换表示方法，将每个Quanton Qn与数据输入串An相关联；并且，
(3)这个数据集用于建立初始概率分布，项目187；然后，
(4)将概率分布取样，项目188；并且，
(5)将An与Qn之间的位串的值针对适合度来比较189；
(6)如果An比前代更好，并且如果其位值不同，那么使用以前描述的置换方法，对于Qn的对应量子位应用量子门运算符；
(7)因此，在门运算之后，分布Qn朝向总解空间的给定解An稍微移动，项目190；并且，
(8)将来自项目186的步骤重复直到达到迭代次数或适合度的阈限时终止，项目191。
Quanton的初始设置是X＝(X1,…,Xn)表示向量离散随机变量，其中X＝(X1,…,Xn)表示长度n的置换(相应地辫)。使用(小写字母)x＝(x1,…，xn)指示将值分配至变量。最后，定义K表示作为置换的{1,…，n}中的一组索引，并且Xk(相应地xk)是由K中的索引确定的X(相应地x)变量的子集。因此，对于每个X，它取{0,1,…,2g-1}中的值，其中g是值的生成器的数目(并且这些值可来源于训练数据)。
玻耳兹曼概率分布用于统计物理学中以便根据其能量将概率与系统状态相关联：此过程可用于驱动计算或作为Quanton的分布估计的替代。在驱动计算中，能量携带信息并且所述设计使得置换子充当信息接收器的作用，同时置换体成为信息源。因此，Quanton结构在其计算进化模式中使用玻耳兹曼分布，pB(x)，其模拟编辨(相应地置换门)运算符并且向辫指定较高概率，从而给予目标门的更准确逼近，因而模拟量子门本身。
针对Quanton的玻耳兹曼分布pB(x)定义为：
在这里，g(x)是目标函数并且T是使概率平滑的系统温度。
来自分布估计算法的具有最高概率的Quanton对应于最大化目标函数的辫。Quanton对发现表示目标门的辫的生成器矩阵的积的问题求解，并且使用辫长度的目标函数如下：
l是辫长度；λ是控制参数
现在参看项目192至198，作为部分-B：
(1)使用先前在本公开中描述的方法，建立随机Quanton群体，项目192，其具有不同大小的置换；并且，
(2)将表示置换的轨道形实例化，项目193，以表示作为Quanton群体的部分的个体Quanton；并且，
(3)使用通常小于置换空间的大小的选定维度，将置换向量嵌入流形中，项目194(例如，超球面或表1中的任何几何形状)。举例来说，对于3-元素，{1,2,3}的置换向量产生常用欧几里得3-空间中的点。但是4-元素，{1，2，3，4}的置换产生置换面体的较高维度点。因此，如果例如圆形被选择为嵌入空间，那么对于3-元素来说，将存在六个划分，或对于4-元素来说，存在圆形的24个划分并且邻接关系可为例如置换中的相邻元素的转置。因此，嵌入空间不一定与置换空间本身具有相同大小；并且，
(4)混合模型195可通过先前描述的方法来进化和调整；并且，
(5)概率模型通过量子门运算符的作用来调整，在项目196中改变置换(作为门运算)之间的概率跃迁。在经典进化算法中，运算符诸如位串交叉或变异用于探索搜索空间，同时这些运算符的Quanton量子样类似物是量子门；然后，
(6)评估适合度197。效果是局部Quanton将进化以使得其变得从局部到全局状态同步化并且共同地移动更接近于解；直到，
(7)获得适合度或迭代次数方面的解阈限，项目198。
在每个世代，将最佳适合状态跃迁函数加以存储并且在表示局部同步化的不连续间隔下分布至组函数。对于Quanton组的所有群体的集合，也就是说，总计n×m个Quanton，则每个世代存储所有Quanton多重集之中的最佳适合跃迁函数并且也定期分布至组函数。这事实上是全局同步化阶段。所有Quanton在初始群体中开始以使得其概率分布对应于|α|2＝|β|2＝1/2以使得在二进制值观察逻辑的情况下，两个状态“0”和“1”是等概率的。
Quanton模型将两个量子位状态模型推广至任何有限数目的状态。最小信息单元现在是Quanton，其由大小n的元组来定义，为n！，是不同可能S状态的总数目，所述S状态相对于一组概率位的排序来定义，所述概率位的值类似于量子位。
使状态S＝{s1，s2，s3，s4}，以使得如果sk∈{0，1}，那么存在24种模式，但是如果S是Quanton，那么存在所表示的(4)3＝64个组合解集合，其中置换之间的路径可返回至其各种来源(即，置换可具有回到本身的路径)。这种混合态概率分布具有标记为纯状态的个体状态αi。
对于每个状态的每个概率来说，Quanton服从总概率守恒方程如下：
P＝∑pi|αi＞＝1
在个体Quanton上的路径方面以及在Quanton群体方面，Quanton群体在概率上表示状态的线性叠加概念。因此，在学习状态分布中，优选实施例中的算法是分布估计算法(EDA)，其也不同地在文献中称为概率模型建立遗传算法(PMBGA)。两个术语在本公开中无差别地可互换使用。
Quanton通过置换上的分布和置换之间的概率跃迁路径来表示。这些分布对应于量子位的串，或如先前提及的实数位，以使得任何量子位(相应地实数位)也可表示解的线性叠加，因为所有置换(即，状态)都在单一Quanton中可获得。如果可观察量的真值是二进制的，那么解是二进制集合的叠加，另外，如果使用另一个逻辑，那么叠加是逻辑的顺序的解(例如，3-值逻辑)。
基于位串的传统遗传算法，其中位只具有两个可能状态(0或1)中的一个，在很高规模下具有显著和严重缺点，诸如维度的大量增加、长收敛时间、弱信号干扰、数值不严密和复杂代码。相比之下，Quanton作为个体以及作为群体表示所有组合解的叠加：这通过使用Quanton的遗传算法来提供实质性效率和组合优化的性能的增强，同时是Quanton/量子表示模型的自然部分。
现在，参看图39：分布估计算法中的Quanton的流程图概要，对于本公开特别重要的少许澄清说明是适宜的。首先，本领域技术人员普遍地已知分布估计算法(EDA)是基于评估问题空间的较好候选解的概率分布的一种进化模型。如先前所示，Quanton使用局部(在Quanton水平下)和全局(在Quanton群体水平下)进化的串联模型；因此，基于Quanton的PMBGA的主要步骤显著地不同于典型PMBGA(相应地EDA)如下：
(i)Quanton的原始群体随机地生成，其中每个Quanton可本身具有其自身局部概率密度函数与不同的全局概率密度函数或混合物；
(ii)从所有可采纳解的均匀分布所生成的群体开始，个体的局部纠缠亚群可通过设定置换模式避免约束条件和其他困难相关关系来创建以便确保具有差异性的同步；
(iii)个体以及其群体的Quanton使用具有基于给予群体中的每个个体的数字排序的适合度函数的方法的模型来评分，其中数字越高越好。从此排序群体，通过选择运算符来选择最有希望解的子集。
(iv)然后，所述算法构造概率模型，其试图估计选定解的概率分布。新的解(后代)通过对由此模型来编码的分布进行取样来生成。这些新解然后并入回到旧的群体，可能将其完全替换。最后，这些步骤的迭代在连续循环中重复直到达到预期或预定准则为止：此模型偏离常用进化模型来模拟量子样计算，因为使用量子门运算，将个体的随机选择相对于输入数据进行测试并且与随机过程相反，个体可从机器学习过程中产生。
(v)最后，大多数实行方案基于概率向量，主要由于所有问题变量是独立的假设，所述概率向量提供快速和高效模型：Quanton可处置此情况以及以下情况：变量不独立(即，以某种方式纠缠)并且在传统情况中通过一些未预见到的隐藏变量(即，置换子和置换阵相关性)而相关。
估计概率模型从选择当前最佳解来建立并且这用于产生样本以便引导搜索过程并且更新诱导模型。Quanton求解的主要过程是在高度复杂数据空间中，捕获变量之间的联合概率。因此，主要薄弱环节是在评估与数据相关联的联合概率分布中。
Quanton模型使用以下一组启发式规则来减轻薄弱环节：
(a)独立分布启发式：假设在问题的变量之间没有依赖性。联合概率分布因式分解为n个独立单变量概率分布并且使用H.Mühlenbein的“对选择的响应的方程及其对预测的使用(The equation for response to selection and its use for prediction)”，进化计算(Evolutionary Computation)，1997的教导，使用单变量边缘分布算法(UMDA)。具有相同启发式的其他选择包括基于群体的增量学习(PBIL)和紧凑遗传算法(cGA)，如在本领域技术人员的文献中提到，例如，M.Pelikan和H.Mühlenbein在遗传算法国际会议论文集(Proceedings of the International Conference on Genetic Algorithms Mendel)中的“进化算法中的边缘分布(Marginal distributions in evolutionary algorithms)”，1998。
(b)成对依赖性启发式：假设成对变量之间的依赖性。因此，在给出变量之间的置换的情况下，变量的联合概率分布因式分解为单变量密度函数和(n-1)成对条件密度函数的积。举例来说，双变量边缘分布算法(BMDA)如M.Pelikan和H.Mühlenbein在软计算的进展：工程设计和制造(Advances in Soft Computing:Engineering Design andManufacturing)中的“双变量边缘分布算法(The Bivariate Marginal DistributionAlgorithm)”，521–535页，施普林格，1999中叙述，和输入集群的交互信息最大化(MIMIC)如Romero,Leoncio A.等人的“作为用于最小化环境智能中的循环不稳定的策略的启发式解法的比较(A Comparison between Metaheuristics as Strategies for MinimizingCyclic Instability in Ambient Intelligence.)”传感器(巴塞尔，瑞士)12.8(2012):10990–11012.PMC.Web.，2016年5月5日中提及，或优化器与相互信息树结合(COMIT)算法，如按照S.Baluja和S.Davies.在将优化运行与最优依赖性树结合(Combining multipleoptimization runs with optimal dependency trees)，技术报告(Technical Report)CMU-CS-97-157的教导。
(c)多重依赖性：假设多个变量之间的依赖性(强相关或纠缠)。在此情况下，按照本公开的局部和全局Quanton进化和群体进化是优选实施例中的一个。
在多重依赖性的情况下，Quanton具有优于其他方法的特殊优势和多项式效率。Quanton的基础是量子系统的观念，其通常由作用于希尔伯特空间上的查询寄存器，|q>，和应答寄存器，|a>组成：
在Quanton中，查询寄存器和应答寄存器都是n-量子位寄存器，其中特定问题实例的变量的可能值存在于将值分配给变量的置换的空间中。举例来说，已知NP-完整的SAT问题通常具有多重依赖性。优于简单传统计算的Quanton量子效率在于通过向初始化n-量子位状态|0＞应用Hadamard变换总共n次，将|q>置于计算的均匀叠加中，即
这创建指数数目的状态的叠加，每一个表示Quanton中的可能路径，但是，归因于Quanton置换表示，只使用多项式数目的门。单一量子位被初始化至状态|0＞并且这是应答寄存器。系统的状态是：
|q>|a>
由此可获得查询和应答表达如下：
并且其中将纠缠表示为：
给出定义为的密度矩阵，其中ρs是每个纯状态|ψs>中的整体的部分：
简单写为：
并且应答是
因此，使k指示解的总数目，那么采取以下表达式中示出的形式：
总体状态只在k＝0，即没有解存在时是可分离的，或在k＝2n，属于[0，2n-1]的每个值是解。否则，系统得以纠缠。因此，确定问题的解是否存在的问题可约化为确定状态是可分离还是纠缠的问题。为了确定状态是否纠缠，使用以下决策方程：
其使用辅助函数
这个过程使量子寄存器纠缠并且使用辅助函数，可在给定范围的解状态的存在下检查纠缠。相比之下，不存在解意味着特定范围从搜索程序中删除。
图40：片上系统(SOC)中的Quanton的硬件设计
在给出先前信息的情况下，Quanton还适合于在无论何时量子硬件变得可获得的时候，在传统或量子硬件中实施。在一个实施例中，在传统硬件中，数据取样器，项目199，馈送至使用概率分布的处理器，项目G。处理器使用GPU(图形处理单元协同处理器)或DSP(数字信号处理)单元来计算后验分布，项目200。这与呈莱默代码“校订器”形式的量子门的置换表示相组合，项目201，所述校订器作为加法器和缓冲器来运作以便使用先前对于信号编码所描述的压缩编码来产生最终输出代码，项目202。
图41：Quanton PMBGA共同输出的总体主流程图
Quanton群体，项目204至211可根据不同进化机制来进化并且这些Quanton可充当用于学习亲代Quanton，项目203的概率密度分布的分布元启发式估计器：以这种方式，非常复杂模式，或时序事件，可在单一主Quanton中学习并且存储以便准备好取回和在给定领域中用于问题解决，或类似于在其他领域中求解，作为共同概率(即，混合模型)，项目212。
此外，上述讨论仅公开和描述本发明的示例性实施例。然而，如所属领域的技术人员将理解，在不背离本发明的精神或本质特征的情况下，本发明可以采用其它特定形式来体现。因此，本发明的公开内容旨在为说明性的，但是不对于本发明范围，以及其他权利要求的范围进行限制。本公开，包括本文教导的任何容易辨别的变体，部分地定义前述权利要求术语的范围以使得没有发明主题专用于公共目的。
本公开的特征可使用某种形式的计算机处理器来实施。如先前所述，上述实施例的每个功能可通过一个或多个处理电路来实施。处理电路包括编程处理器(例如，图42中的处理器1004)，因为处理器包括电路。处理电路还包括设备诸如专用集成电路(ASIC)和常规电路部件，其被安排为执行所述功能。电路可被特别地设计或编程以便实施以上描述的功能和特征，所述功能和特征改进电路的处理并且允许以一定方式来处理数据，这些方式是人或甚至缺少本发明实施例的特征的通用计算机不可能实现的。
这些实施例可在具有电路的数字计算设备上模拟量子计算或可在量子计算机等上实施。
如本领域普通技术人员将认识到，计算机处理器可实施为离散逻辑门，如专用集成电路(ASIC)、现场可编程门阵列(FPGA)或其他复杂可编程逻辑设备(CPLD)。FPGA或CPLD实行方案可以用VHDL、Verilog或任何其他硬件描述语言进行编码并且代码可存储在直接在FPGA或CPLD内的电子存储器中，或作为单独电子存储器。此外，电子存储器可为非易失性，诸如ROM、EPROM、EEPROM或闪速存储器。电子存储器还可为易失性，诸如静态或动态RAM，并且可提供处理器，诸如微控制器或微处理器，来管理电子存储器以及FPGA或CPLD与电子存储器之间的交互。
或者，计算机处理器可执行计算机程序，其包括执行本文所述功能的计算机可读指令的集合，所述程序存储在任何上述非暂态电子存储器和/或硬盘驱动器、CD、DVD、闪速驱动器或任何其他已知存储介质中。此外，计算机可读指令可被提供为实用程序、后台守护程序或操作系统的部件，或其组合，结合处理器，诸如来自美国英特尔(Intel)的Xenon处理器或来自美国AMD的Opteron处理器和操作系统，诸如微软(Microsoft))VISTA、UNIX、Solaris、LINUX、Apple、MAC-OSX和本领域技术人员已知的其他操作系统来执行。即使在ONECPU机器上，由于置换编码其“并行”行动。
另外，本发明可使用图42中示出的基于计算机的系统1000来实施。计算机1000包括总线B或其他用于传达信息的通信机制，和与总线B耦接的用于处理信息的处理器/CPU1004。计算机1000还包括主存储器/存储单元1003，诸如随机存取存储器(RAM)或其他动态存储设备(例如，动态RAM(DRAM)、静态RAM(SRAM)和同步DRAM(SDRAM))，其耦接至总线B以便存储有待由处理器/CPU1004执行的信息和指令。另外，存储单元1003可以被用于在CPU1004执行指令期间存储临时变量或其他中间信息。计算机1000还可进一步包括只读存储器(ROM)或其他静态存储设备(例如，可编程ROM(PROM)、可擦除PROM(EPROM)和电可擦除PROM(EEPROM))，其耦接至总线B以便存储用于CPU 1004的静态信息和指令。
计算机1000还可包括耦接至总线B的磁盘控制器以便控制用于存储信息和指令的一个或多个存储设备，诸如大容量存储器1002，和驱动设备1006(例如，软盘驱动器、只读光盘驱动器、读/写光盘驱动器、光盘库、磁带驱动器和可移除磁光驱动器)。存储设备可使用适当设备接口(例如，小型计算机系统接口(SCSI)、集成电路设备(IDE)、增强-IDE(E-IDE)、直接存储器存取(DMA)或超-DMA)来添加至计算机1000。
计算机1000还可包括专用逻辑设备(例如，专用集成电路(ASIC))或可配置逻辑设备(例如，简单可编程逻辑设备(SPLD)、复杂可编程逻辑设备(CPLD)和现场可编程门阵列(FPGA))。
计算机1000还可包括耦接至总线B以便控制显示器，诸如阴极射线管(CRT)的显示控制器，所述显示器向计算机用户显示信息。计算机系统包括输入设备，诸如键盘和指示设备，用于与计算机用户进行交互并且向处理器提供信息。指示设备例如可为鼠标、轨迹球或指示棍，用于向处理器传达方向信息和命令选择以及用于控制显示器上的光标移动。另外，打印机可提供由计算机系统存储和/或生成的打印数据列表。
响应于CPU 1004执行包含在存储器，诸如存储单元1003中的一个或多个指令的一个或多个序列，计算机1000执行本发明的处理步骤的至少一部分。此类指令可从另一个计算机可读介质，诸如大容量存储器1002或可移除介质1001来读取到存储单元中。也可采用多处理安排中的一个或多个处理器来执行存储单元1003中所含有的指令序列。在替代性实施例中，硬接线电路可代替软件指令或与软件指令组合使用。因此，实施例不限于硬件电路和软件的任何特定组合。
如上所述，计算机1000包括至少一个计算机可读介质1001或存储器用于保持根据本发明的教导来编程的指令并且含有本文描述的数据结构、表格、记录或其他数据。计算机可读介质的示例是光盘、硬盘、软盘、磁带、磁光盘、PROM(EPROM、EEPROM、闪速EPROM)、DRAM、SRAM、SDRAM、或任何其他磁介质、光盘(例如，CD-ROM)，或计算机可读取的任何其他介质。
本发明包括存储在计算机可读介质中的任何一个或组合上的软件，所述软件用于控制主处理单元，以驱动实施本发明的一个或多个设备，并且使得主处理单元能够与人用户进行交互。这类软件可包括但不限于设备驱动器、操作系统、开发工具和应用软件。这类计算机可读介质进一步包括本发明的计算机程序产品，其用于执行在实施本发明中所执行的处理的全部或一部分(如果处理是分布式的)。
本发明的介质上的计算机代码元素可为任何可解释或可执行代码机制，包括但不限于脚本、可解释的程序、动态链接库(DLL)、Java类和完整可执行程序。此外，本发明的处理的部分可为分布式的以便实现更好性能、可靠性和/或成本。
如本文所使用的术语“计算机可读介质”是指参与向CPU 1004提供用于执行的指令的任何介质。计算机可读介质可采取许多形式，包括但不限于非易失性介质和易失性介质。非易失性介质包括例如光盘、磁盘和磁光盘，诸如大容量存储器1002或可移除介质1001。易失性介质包括动态存储器，如存储单元1003。
各种形式的计算机可读介质可涉及将一个或多个指令的一个或多个序列送至CPU1004以执行。例如，起初可将指令载于远程计算机的磁盘上。耦接至总线B的输入端可接收数据并且将数据放置在总线B上。总线B将数据送至存储单元1003，CPU 1004从中检索并执行指令。存储单元1003接收的指令可任选地在由CPU 1004执行之前或之后存储在大容量存储器1002上。
计算机1000还包括耦接至总线B的通信接口1005。通信接口1004提供耦合至网络的双向数据通信，所述网络连接至例如局域网(LAN)或另一个通信网络诸如互联网。举例来说，通信接口1005可为附接至任何分组交换LAN的网络接口卡。作为另一个示例，通信接口1005可为非对称数字用户线(ADSL)卡、综合服务数字网(ISDN)卡或调制解调器以便向对应类型的通信线路提供数据通信连接。还可实施无线链接。在任何此类实行方案中，通信接口1005发送并接收载有表示各类信息的数字数据流的电信号、电磁信号或光信号。
网络通常通过到其他数据设备的一个或多个网络来提供数据通信。举例来说，网络可通过局部网络(例如，LAN)或通过服务提供商运营的设备来提供至另一个计算机的连接，所述服务提供商通过通信网络来提供通信服务。局部网络和通信网络使用例如电信号、电磁信号或光信号，其载有数字数据流，和相关联物理层(例如，CAT5电缆、同轴电缆、光纤等)。此外，网络可提供至移动设备诸如个人数字助理(PDA)、膝上型计算机或蜂窝电话的连接并且计算机1000可为所述移动设备。
总之，量子方法和装置使用称为Quanton的量子启发计算数据表示和算法。Quanton是在Quanton上操作来执行学习或推测以便产生结果的混合态表示和算法的替代。Quanton可用作具有某些性质的假想、虚拟(例如，声子)或真实(例如，原子)物理粒子的编码，通过选择概率密度函数、将连续空间量子化的晶格和表示每个晶格索引处的状态空间的置换编码，所述性质可在传统样与量子样类似行为之间分级。
Quanton可通过自相似置换运算符的任何集合来定义，所述置换运算符作用于任何数字的数位和位置，如例如像以上提及的Palmer所提出的通过Borel正常实数的真实二进制扩展来表示量子复杂空间的置换模型。
出于解释实施例的目的，将使用斐波纳契晶格和简单转置置换运算符来生成置换。将使用简单概率密度函数、Von Mises Bingham分布并且分配至斐波纳契晶格。与置换相关联的斐波纳契晶格的点共同表示置换多胞形。将此多胞形嵌入超球面中，因此，其发挥黎曼球面的作用，所述黎曼球面通过晶格和其嵌入置换来量子化。
由于其粒度(即，量子化)，概率密度分布的值被定义为在嵌入超球面或球面中的多胞形的顶点的可数集合上是仅唯一地可定义的(在低维置换的情况下)。置换运算符描述置换-运算符表示，由此在球面的旋转下的概率密度值的变换可得以定义，或相反地，表示概率密度的向量空间中的操作产生置换结果，应指出置换可编码如本公开进一步描述的任意数据结构和模型。使用置换运算符表示和通过作为自然数的置换编码来表示任意数据，建设性量子样概率虚拟机得以定义。
类似于标准量子论，Quanton置换运算符也可用于编码标准量子理论波函数中的复杂相函数的随机性：例如，在S2中，四元置换可编码波函数中的空间纠缠关系，如Palmer提及。在较高维度下，转子的一般几何代数学扩展这个形式体系。Quanton提供顶点上的概率密度的值的有限样本，并且如果使用Palmer的模型，顶点集合也可用于定义与量子理论概率和相关性一致的概率度量((参考[])。
Quanton在其基于顶点的概率密度方面的量子化导致不需要满足Bell不等式的Quanton虚拟机，因此与真实量子虚拟机相比，使得Quanton成为“量子启发”近似概率虚拟机。然而，标准量子现象通过Quanton来模拟。在此方面，Quanton的两个关键性质是量子样状态制备对应于概率密度(或混合模型)的选择并且置换运算符用来定义观察状态空间(即，模型状态空间)的粒度，由此测量概率和相关性可通过频率论或贝叶斯认识论来得到(如经由机器学习EDA或通过直接制备来编码)。
时间和空间域可经由使用时间域密度泛函理论(TDDFT)来组合，在数据集需要时间作为参数时，所述泛函理论用作编码动态学的量子启发方法。TDDFT可用于在传统计算机上近似地模拟量子算法并且对于Quanton模型，这也可用于随着时间进行的聚类或推测。将存在将很难使用近似泛函来模拟的系统，诸如在复杂度类别QMA(量子梅林亚瑟)协议中并且甚至对于真实量子计算机可需要按指数律地缩放资源的系统[http://arxiv.org/abs/0712.0483]。
发现执行复杂量子计算任务的泛函是极其困难的并且本公开通过基于分布估计算法(EDA)将许多不同元素以非常独特方式组合来提供逼近量子样计算的经典逼近，以便产生在问题的指定范围内在计算上适用的泛函。问题范围意味着其规模，或大小，或复杂度并约束于应用领域内(即，代替通用计算，意味着专用计算)。
指定规模通过由Quanton表示的置换大小或结构深度来确定。因此，在规模内，Quanton将以高速来计算，但是，如果置换规模太小，那么计算简并回到指数或阶乘大小。因此，评估所需要的Quanton大小相当于作为球面斐波纳契晶格的相邻晶格点之间的距离的函数评估Quanton本身的量子化限度，所述斐波纳契晶格充当置换多胞形的顶点的球面分布的基础。
例如，在传统和量子分布估计和粒子群算法以及许多其他根本困难优化问题中，有效数据结构编码是能够实现算法加速的主要原因。不佳数据结构暗示着解将需要技巧和变通来实施。
Quanton使用一连串嵌入。换句话说，它部分地评估并且由此编译出组合复杂度，而不会在阶乘较大数据空间与n-维流形之间用空间换取速度(如通常进行)，所述流形被预编译成充当数据表示的概率粒子。
Quanton数据编码使用纠缠和叠加的概念来表示叠加状态上的整个联合概率密度，并且同时逼近所有推测轨迹(例如，马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC))，这是使用任何当前纯经典数据编码模型不可能实现的功绩。作为单一粒子的单一Quanton数据编码可编码海量信息并且多个此类Quanton编码形成量子粒子总体用于更复杂的表示数据替代。
作为更复杂的数据表示替代的示例，例如，在基于案例的推测(CBR)中，动态案例存储是推测过程的关键，其中机器学习也是案例匹配以及案例适配过程的内在部分。在真实世界应用中，大数据作为高维案例向量的非结构化集合而出现，要求基于存储或基于实例的推测和学习，即使情况由案例的有限知识浅薄集合组成，诸如困难语音到语音机器翻译问题。在使用Quanton数据编码的方法中，案例索引问题在建模水平上解决，其中可通过表示案例的置换上的概率密度的分布来使用内置的量子启发并行计算来高效地执行匹配。
Quanton使得可实施推测程序的量子替代，与最佳经典方法相比，所述替代能够在很高速度下，以二次、指数和阶乘加速来执行，因为它提供所谓“后门”。Quanton后门是一种联系，这种联系在连续流形中的嵌入与其嵌入概率密度之间形成，所述概率密度在流形与相同流形的切线空间概率之间：这些联系是相对于总问题空间的稀疏数目的点。后门是稀疏数目的参数，其可显著地影响很高维数据空间并且使其降至可管理水平，因为其充当通过高组合复杂度的捷径。因此，使用Quanton数据结构的典型目标是在解决NP-困难问题中，因为通过在连续概率密度泛函与结构之间提供后门，Quanton实现通过P来逼近NP的通用方法。
一个示例是在(贝叶斯)图形模型中的NP-困难最大先验(MAP)推测以及对于置换的推测，计算矩阵积和式和序列化(serateion)问题。使用数据结构来提供的算法可迅速发现优于经典的具有二次加速的逼近-MAP配置，可发现对于置换的推测的逼近推测，计算近似接近积和式并且快速地逼近噪声序列化问题的解以使得对于这些NP-困难问题中的每一个，经典方法可从逼近候选中选择精确解。
用于定向数据的复杂正态分布、Kent、高斯、Bingham、沃森、狄利克雷(Dirichlet)过程混合模型或von Mises-Fisher分布，或其多变量型式中的任何一个或混合物提供易控制形式并且具有Quanton所需要的所有建模能力。
本发明使用超球面上的混合分布的生成模型，从而在期望最大化(EM)环境中提供参数的数字近似值。本实施例还允许提供选择用于谱聚类的正确嵌入维度以及从分布视角来选择正确嵌入维度的解释。然而，在文本分析中，并且为了表示相关文档之间的语义(内容结构)，出于聚类目的，主题可表示为对于概念的置换。为了学习对于置换的分布，一般化Mallows模型(GMM)将关于置换的概率质量集中以便接近于典型置换，因此，来自此分布的置换可能是类似的，因而将类似文档加以聚类。在GMM模型中，参数的数目随着概念的数目线性地增长，因而回避通常与置换的较大离散空间相关联的易处理性问题。
尽管已经描述某些实施例，但是这些实施例仅仅通过示例呈现，且并非意图限制本发明的范围。实际上，本文所述的新颖方法和系统可以多种其他形式体现；此外，在不脱离本发明的精神的情况下，可以对本文所述的方法和系统做出各种省略、替代和形式变化。所附权利要求书和其等效物意图涵盖将会落在本公开的范围和精神内的此类形式或修改。

Claims (1)

1.一种模拟量子样机器的方法，所述方法通过电路来执行，所述方法包括：
基于朗道数来确定适合问题大小的最大置换群的大小；
在高维空间中生成闭合几何表面，所述闭合几何表面对应于所述最大置换群的大小；
将顶点的晶格嵌入所述闭合几何表面中；
将相应置换分配至所述晶格的对应顶点；
将线性切线空间与所述晶格的接纳顶点相关联；
将所述晶格的顶点的相应置换之间的跃迁运算符相关联，以与量子门运算相一致；
将置换作为计算的替代来加以关联；
将非线性定向概率分布函数在所述闭合几何表面上分布，所述非线性定向概率分布函数表示所述对应跃迁运算符的相应似然性；以及
更新所述非线性定向概率分布函数以便修改所述跃迁运算符的似然性，从而生成对量子门的模拟。
CN201680034976.8A 2015-05-05 2016-05-05 在传统处理器上模拟量子样计算的quanton表示 Active CN107683460B (zh)

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