JP7223174B2 - ロバストな振幅推定のための工学的尤度関数を用いたベイズ推論のためのハイブリッド量子古典コンピュータ - Google Patents

Description

量子コンピュータは、他の方法では解決できない、または古典的なコンピュータを使用した場合は非常に非効率的にしか対処できない、産業上の重要な問題を解決することを約束する。重要な応用分野は、化学と材料、生物科学とバイオインフォマティクス、ロジスティクス、及び金融を含む。量子コンピューティングに対する関心は、すぐに使える量子コンピュータのパフォーマンスの進歩の波に一部起因して、最近急上昇している。しかしながら、きわめて近い将来の量子デバイスは、依然としてリソースが非常に限られており、実際に関心のある問題に対する量子コンピュータの展開を妨げている。

近い将来の量子デバイスの限界に対応する最近の相次ぐ方法は、大きな注目を集めている。これらの方法は、変分量子固有値ソルバー（ＶＱＥ）、量子近似最適化アルゴリズム（ＱＡＯＡ）と変形、変分量子線形システムソルバー、変分原理を活用する他の量子アルゴリズム、及び量子機械学習アルゴリズムを含む。このようなアルゴリズムの革新にもかかわらず、これらの方式の多くは、測定数及び実行時間の点でコストが高いため、商業的に関連性のある問題に対しては実用的ではないと思われてきた。しかしながら、位相推定などの実行時間の二次的な高速化を提供する方法は、やや大きな問題例に対して、近い将来のデバイスが到達できる範囲をはるかに超えた量子リソースを要求している。

変分量子固有値ソルバー（ＶＱＥ）などのハイブリッド量子古典アルゴリズムが要求する測定数は、実際の値の多くの問題に対して法外に多い。このコストを削減する量子アルゴリズム（例えば、量子振幅及び位相推定）は、近い将来の実装には低すぎる誤り率を必要とする。本発明の実施形態は、ハイブリッド量子古典（ＨＱＣ）コンピュータ、及び利用可能な量子コヒーレンスを活用して、ノイズの多い量子デバイスでのサンプリング力を最大限に強化して、ＶＱＥに比較して測定数及び実行時間を削減するＨＱＣコンピュータによって実行される方法を含む。このような実施形態は、量子計測、位相推定、及びより最近の「アルファＶＱＥ」提案からインスピレーションを得て、誤差に対してロバストであり、アンシラキュービットを必要としない一般的な定式化に到達する。この方法の中心的な目的は、ベイズ推論を実施するために使用される、いわゆる「工学的尤度関数」（ＥＬＦ）である。本発明の実施形態は、ノイズの多い中規模の量子コンピュータのレジームから量子誤差が補正された量子コンピュータのレジームへ物理的なハードウェアが遷移するのに伴い、サンプリングでの量子の利点を強化するためにＥＬＦ形式を使用する。この技術は、化学、材料、金融を含む用途、及びそれらを超える用途で多くの量子アルゴリズムの中心的なコンポーネントを高速化する。

本発明の様々な態様及び実施形態の他の特徴及び利点は、以下の説明及び特許請求の範囲から明らかになる。

本発明の一実施形態に係る量子コンピュータの図である。 本発明の一実施形態に係る図１の量子コンピュータによって実行される方法のフローチャートである。 本発明の一実施形態に従って量子アニーリングを実行するハイブリッド量子古典コンピュータの図である。 本発明の一実施形態に係るハイブリッド量子古典コンピュータの図である。 本発明の一実施形態に従って量子振幅推定を実行するためのハイブリッド量子古典（ＨＱＣ）コンピュータである。 標準サンプリングの、及び本発明のいくつかの実施形態の量子回路を、それらの対応する尤度関数とともに示す。 フィッシャー情報量の様々な尤度関数に対する依存性を示すプロットを示す。 本発明の一実施形態に係る工学的尤度関数に対応するサンプルを生成するために使用される演算を示す。 本発明の実施形態により実装されるアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態により実行される様々なアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態により実行される様々なアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態により実行される様々なアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態により実行される様々なアルゴリズムを示す。 本発明の様々な実施形態に係る真の尤度関数と適合尤度関数のプロットである。 本発明の様々な実施形態の性能を示すプロットを示す。 本発明の様々な実施形態の性能を示すプロットを示す。 本発明の様々な実施形態の性能を示すプロットを示す。 本発明の様々な実施形態の性能を示すプロットを示す。 本発明の様々な実施形態の性能を示すプロットを示す。 本発明の様々な実施形態の

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本発明の様々な実施形態の実行時間対目標精度を示すプロットを示す。 本発明の実施形態に従って実装される量子回路を示す。 本発明の実施形態に従って実装される量子回路を示す。 本発明の実施形態に従って実装されるアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態に従って実装されるアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態に従って実装されるアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態に従って実装されるアルゴリズムを示す。 本発明の実施形態に係る真の尤度関数と適合尤度関数を示す。

本発明の実施形態は、量子振幅推定を実行するハイブリッド古典量子コンピュータ（ＨＱＣ）を対象とする。図４を参照すると、量子コンピュータ４３２と、本発明の一実施形態に従って量子振幅推定の方法を実行する古典コンピュータ４３４を含むＨＱＣ４３０のフロー図が示されている。古典コンピュータ４３４を用いて実行されるブロック４０４では、量子状態｜ｓ＞４０２に関してオブザーバブルＰ４００の期待値＜ｓ｜Ｐ｜ｓ＞を推定する統計値の精度改善率を最適化するために、複数の量子回路パラメータ値が選択される。

実施形態では、統計値は、ランダム変数からサンプリングされた複数の値から計算されたサンプル平均である。この説明では、これらのサンプリングされた値は、量子コンピュータ４３２のキュービットを測定することによって得られる。しかしながら、統計値は、代わりに、本説明の範囲から逸脱することなく、歪度、尖度、分位数、または別のタイプの統計値であってよい。統計値は、期待値＜ｓ｜Ｐ｜ｓ＞の推定量であり、バイアスであるか、不偏のどちらかであってよい。複数の値は、確率分布に従ってモデル化され得、その場合、統計値は確率分布のパラメータを表し得る。例えば、統計値は以下の第３．２項により詳細に説明するように、ガウス分布の平均を表し得る。

量子回路パラメータ値は、量子ゲートがどのようにキュービットに作用するのかを制御する実数である。この説明では、各量子回路は、量子ゲートのシーケンスとして表すことができ、シーケンスの各量子ゲートは、量子回路パラメータ値の１つによって制御される。例えば、量子回路パラメータ値の各々は、１つ以上のキュービットの状態が対応するヒルベルト空間内で回転する角度を表す場合がある。

精度改善率は、本方法実施形態の反復のたびに統計値の対応する精度がどれほど多く改善するのかを表す関数である。精度改善率は、量子回路パラメータの関数であり、かつ統計値（例えば、平均）の関数である場合がある。精度は、統計値の誤差の任意の定量的な測度である。例えば、精度は、平均平方誤差、標準偏差、分散、平均絶対誤差、または誤差の別のモーメントであってよい。代わりに、精度は、フィッシャー情報量または情報エントロピーなど、情報メトリックであってもよい。精度に分散を使用する例は、以下により詳細に説明される（例えば、方程式３６を参照）。これらの例では、精度情報率は、方程式３８で導入される分散減少係数であってよい。代わりに、精度情報率は、フィッシャー情報量であってよい（例えば、方程式４２を参照）。しかしながら、精度改善率は、本説明の範囲から逸脱することなく、精度の改善を数値化する別の関数であってもよい。

いくつかの実施形態では、複数の量子回路パラメータ値は、座標上昇法及び勾配降下法の一方を使用して選択される。これらの技術の両方とも、第４．１．１項により詳細に説明されている。

量子コンピュータ４３２を用いて実行されるブロック４０６で、交互の第１及び第２の一般化反射演算子のシーケンスが、量子コンピュータ４３２の１つ以上のキュービットに適用されて、１つ以上のキュービットを量子状態｜ｓ＞から反射量子状態に変換する。第１及び第２の一般化反射演算子の各々は、複数の量子回路パラメータ値の対応する１つに従って制御される。第３．１項に説明する演算子Ｕ（ｘ）及びＶ（ｙ）が、それぞれ第１及び第２の一般化反射演算子の例である。方程式１９で導入された演算子

は、交互の第１及びと第２の一般化反射演算子のシーケンスの一例であり、ここでベクトル

は、複数の量子回路パラメータ値を表す。第１及び第２の一般化反射演算子のシーケンス、及びオブザーバブルＰは、方程式２６に関して以下に説明する工学的尤度関数のバイアスを定義し得る。

やはり量子コンピュータ４３２を用いて実行されるブロック４０８では、反射量子状態の複数のキュービットは、測定結果のセットを取得するためにオブザーバブルＰに関して測定される。古典コンピュータ４３４で実行されるブロック４１０では、統計値は、より高い精度で＜ｓ｜Ｐ｜ｓ＞の推定値を取得するために測定結果のセットで更新される。

方法は、該更新後に統計値を出力することをさらに含み得る。代わりに、方法は、ブロック４０４、４０６、４０８、及び４１０を反復処理してもよい。いくつかの実施形態では、方法は、古典コンピュータ４３４で、及び測定結果のセットを用いて、統計値の精度推定値を更新することをさらに含む。精度推定値は、上述した精度の計算値である（例えば、分散）。これらの実施形態では、方法は、精度推定値が閾値を下回るまで、ブロック４０４、４０６、４０８、及び４１０を反復処理する。

いくつかの実施形態では、統計値は、複数の測定値で事前分布を更新して事後分布を取得し、事後分布から更新された統計値を計算することによってブロック４１０で更新される。

いくつかの実施形態では、複数の量子回路パラメータ値は、統計値及び統計値の精度推定値に基づいて選択される。複数の量子回路パラメータ値は、該適用及び測定中に発生する誤差を表す忠実度に基づいてさらに選択し得る。

１．１．序文
位相推定とベイズ視点を組み合わせることによって、限られた深さの量子回路を実現できるノイズの多い量子デバイスに、初期の提案よりもより適したベイズ位相推定技術が生まれる。上記の概念を採用すると、回路パラメータ

及び目標は、演算子Ｕの固有値ｅ^{iarccos II}で位相ＩＩを推定することである。重要な注意点は、ここでの尤度関数は、重要な留意点は、ここでは、尤度関数が、

であり、上式で、T_m及びU_mは、それぞれ第１の種類及び第２の種類のチェビシェフ多項式であり、ベイズ位相推定以外の多くの設定値で共有される。この共通性により、ハミルトニアン特徴化などのタスクに使用されるベイズ推論機構は、位相推定に関連するものになる。他の非適応サンプリング法に優るガウス事前確率によるベイズ推論の指数関数的な利点は、予想される事後分散σが推論ステップの数で急激に減衰することを示すことによって証明される。そのような指数集束は、各推論ステップで必要とされる量子コヒーレンスのＯ（１／σ）の量を犠牲にする。また、そのようなスケーリングは、ベイズ位相推定の文脈でも確認される。

ベイズ位相推定の技術及び振幅推定問題としての重複推定の視点を備えると、標準サンプリングレジームと位相推定レジームとの間を円滑に補間する演算子測定のためのベイズ推論方法を考案し得る。これは「α－ＶＱＥ」として提案され、ここでは、演算子測定を実行するための漸近的なスケーリングはＯ／（１／εα）であり、α＝２の極値は標準サンプリングレジーム（通常ＶＱＥで実現される）に対応し、α＝１は、スケーリングがハイゼンベルグ限界（通常は位相推定で実現される）に達する量子強化レジームに対応する。また、ベイズ推論のパラメータを変えることによって、１と２の間のα値を達成することもできる。αの値が低いほど、ベイズ位相推定に必要とされる量子回路は深くなる。これにより、量子コヒーレンスと測定プロセスのための漸近的な高速化とのトレードオフを達成する。

また、位相推定が、振幅推定のためにハイゼンベルグ限界に到達できる唯一のパラダイムではないことも注目に値する。以前の研究で、著者は、量子状態ｐθのパラメータθを推定するタスクを検討している。ｐθを生成するためのパラメータ化された回路のｍ個のコピーが、エンタングルされた初期状態とエンタングルベースの測定とともに使用されて、パラメータθがｍθに増幅された状態を作り出す並列戦略が提案される。また、そのような増幅により、方程式１の尤度関数に類似した尤度関数を生じさせることもできる。以前の研究では、ランダム化された量子演算とベイズ推論を用いて、ノイズが存在していても古典的なサンプリングよりも少ない反復で情報を抽出できることが示されている。量子振幅では、反復の数ｍと測定の数Ｎが変化する推定回路が検討される。特に選ばれた対（ｍ、Ｎ）のセットにより、推定される振幅を推論するために使用できる尤度関数が生じる。ハイゼンベルグ限界は、著者が示す１つの特定の尤度関数構造について実証される。両方の研究とも、パラメータ化された尤度関数の能力を浮き彫りにし、不完全なハードウェア条件下でのその性能の調査を魅力的にしている。

１．２．主な結果
本発明の実施形態は、｜Ａ＝Ａ｜０＞になるように、量子回路Ａが状態｜Ａ＞を準備できる期待値ＩＩ＝＜Ａ｜０｜Ａ＞を推定するためのシステム及び方法を含む。本発明の実施形態は量子回路のファミリーを使用し得、その結果、回路がＡのより多くの反復で深くなるにつれ、回路はこれまでより高い次数のＩＩでの多項式である尤度関数を可能にする。具体的な例を用いて次の項に説明するように、多項式の次数のこの増加の直接的な結果として推論の能力が高まり、これは各推論ステップでのフィッシャー情報量利得によって数値化できる。本発明の実施形態は、この「強化サンプリング」技術を確立した後に、量子回路にパラメータを導入し、結果として生じる尤度関数を調整可能にし得る。本開示の実施形態は、推論の各ステップ中に最大の情報利得のためにパラメータを最適化し得る。以下の洞察は、我々の努力から生まれた。

１．振幅推定におけるノイズと誤差の役割。以前の研究は、尤度関数及びハミルトニアンスペクトルの出力推定に対するノイズの影響を明らかにした。本開示は、本明細書で、本発明の実施形態が使用する振幅推定の方式について同じことを調査する。本明細書の説明は、ノイズと誤差により、特定の統計的な誤差許容範囲内にある出力を生成するために必要とされる実行時間は増加するが、ノイズと誤差が、推定アルゴリズムの出力において必ずしも体系的なバイアスをもたらさないことを明示している。推定値における体系的なバイアスは、アクティブなノイズ調整技術を使用し、ノイズの影響を較正することによって抑制することができる。

近い将来のデバイスのために現実的な誤差パラメータを使用するシミュレーションから、強化サンプリング方式が、サンプリング効率の点でＶＱＥより性能が優れ得ることが明らかになった。また、実験結果から、より高い忠実度が必ずしもより良いアルゴリズム性能につながらない量子アルゴリズム実装で誤差を許容する視点も明らかになった。本発明の特定の実施形態では、強化方式が最大量の量子高速化を生じさせる、ほぼ０．６の最適回路忠実度がある。

１．尤度関数調整可能性の役割：パラメータ化された尤度関数は、位相推定ルーチンまたは振幅推定ルーチンで使用し得る。我々が知る限り、現在の方法のすべてはチェビシェフ形式（方程式１）の尤度関数に重点を置いている。これらのチェビシェフ尤度関数（ＣＬＦ）の場合、ノイズが存在すると、ＣＬＦがＩＩの他の値よりも推論に対して大幅に効果的ではなくなるパラメータＩＩの特定の値（「デッドスポット」）がある。本発明の実施形態は、角度パラメータを調整可能にした一般化反射演算子を用いて尤度関数の形式を設計することによって、それらのデッドスポットを除去し得る。

２．誤り率が減少するのに伴う推定の実行時間モデル：以前の研究で、ＶＱＥの０（１／ε²）から位相推定の０（１／ε）の漸近的なコストスケーリングの円滑な遷移を実証している。本発明の実施形態は、ノイズの程度がλのデバイスを使用して目標精度εに対する実行時間ｔεを推定するためのモデルを開発することによって、この考え方を進めている（第６項を参照）。

３．モデルは、λの関数として０（１／ε）スケーリングと０（１／ε²）スケーリングとの間を補間する。また、そのような限界により、キュービット数及び２キュービット忠実度などのハードウェア仕様の関数として、本発明の実施形態を量子高速化について分析し、したがって現在のハードウェア及び将来のハードウェアのための現実的なパラメータを使用して実行時間を推定することが可能になる。

本開示の後続の項は、以下のように構成されている。第２項は、本発明の一実施形態に従って実装された方式の具体例を提示する。後続の項は、次に本発明の様々な実施形態に従って本方式の一般的な定式化をさらに詳しく説明する。第３項は、ＥＬＦを実現するための一般的な量子回路構造を詳細に説明し、ノイズが多い設定とノイズがない設定の両方でのＥＬＦの構造を分析する。また、量子回路方式に加えて、本発明の実施形態は、１）情報利得を最大化するために回路パラメータを調整すること、及び２）ＩＩの真値の分布についての現在の考えを更新するためのベイズ推論も含む。第４項は、両方の発見的アルゴリズムを提示する。数値結果は第５項に提示され、本発明の実施形態をＣＬＦに基づいた既存の方法と比較する。第６項は、実行時間モデルを開示し、（２）の式を導き出す。第７項は、量子コンピューティングの広い観点から開示された結果の意味を開示する。

表１．我々の方式の、文献に記載される関連する提案との比較。ここでは、特徴のリストは、方式で使用する量子回路が重複推定の状態を保持するキュービットに加えて、アンシラキュービットを必要とするのかどうか、方式がベイズ推論を使用するのかどうか、任意のノイズレジリエンスが検討されるのかどうか、初期状態が固有状態である必要があるのかどうか、及び尤度関数が、ここで提案されているＥＬＦのように完全に調整可能であるのか、それともチェビシェフ尤度関数に制限されるのかも含む。

２．第１の例
量子状態｜Ａ＞に関してなんらかの演算子Ｐの期待値＜Ａ｜Ｐ｜Ａ＞を推定するための２つの主要な戦略がある。量子振幅推定の方法は、特定の計算モデルに関して証明可能な量子高速化を提供する。しかしながら、推定値で精度εを達成するためには、この方法で必要とされる回路深度は０（１／ε）としてスケーリングし、それは近い将来の量子コンピュータにとっては実用的ではなくなる。変分量子固有値ソルバーは、振幅推論を実施するために標準サンプリングを使用する。標準サンプリングは低深度量子回路を可能にし、それを近い将来の量子コンピュータでの実装により適するようにする。しかしながら、実際には、この方法の非効率性のため、ＶＱＥは関心のある多くの問題に対して実用的ではなくなる。本項では、本発明の実施形態が使用し得る振幅推定のための強化サンプリングの方法を紹介する。この技術は、ノイズが多い量子デバイスの統計的検出力を最大限にしようと努めている。この方法は、ＶＱＥで使用されるような標準サンプリングの簡略な分析から開始するとして説明される。

ＶＱＥのエネルギー推定サブルーチンは、パウリ文字列に関して振幅を推定する。パウリ文字列Ｈ＝Σ_jμ_jＰ_jと「仮説状態」｜Ａ＞の線形結合に分解されたハミルトニアンの場合、エネルギー期待値は、パウリ期待値推定値の線形結合として推定され、

上式で、

は＜Ａ｜Ｐ_j｜Ａ＞の（振幅）推定値である。ＶＱＥは、以下の通りに要約できる、仮説状態に関してパウリ期待値推定値を構築するために標準サンプリング方法を使用する。

標準サンプリング：
１．｜Ａ＞を準備し、結果ｄ＝０，１を受け取る演算子Ｐを測定する。
２．０とラベルの付いたｋの結果及び１とラベルの付いたＭ－ｋの結果を受け取ることをＭ回繰り返す。
３．

としてＩＩ＝＜Ａ｜Ｐ｜Ａ＞を推定する。

この推定戦略の性能は、時間ｔ＝ＴＭの関数として推定量の平均平方誤差を使用して数値化し得、ここでＴは各測定の時間コストである。推定量は不偏であるため、平均平方誤差は単に推定量の分散にすぎない。

特定の平均平方誤差

の場合、平均平方誤差ε²を保証するために必要となるアルゴリズムの実行時間は、以下の通りである。

ＶＱＥでのエネルギー推定の総実行時間は、個々のパウリ期待値推定実行時間の実行時間の和である。関心のある問題の場合、特定の並列化技術を使用するにしても、この実行時間は、コストがかかりすぎる場合がある。このコストの原因は、ＩＩの小さい偏差に対する標準サンプリング推定プロセスの不感受性である。つまり、標準サンプリング測定結果データに含まれるＩＩについての予想される情報利得は低い。

一般に、フィッシャー情報量を用いた標準サンプリングのＭ回の反復の推定プロセスの情報利得を測定することができ、

上式で、Ｄ＝｛ｄ₁，ｄ₂，．．．ｄ_M｝は、標準サンプリングのＭ回の反復の結果のセットである。フィッシャー情報量は、情報利得の原因であるとして尤度関数Ｐ（Ｄ｜ＩＩ）を識別する。（不偏の）推定量の平均平方誤差の下限は、クラメール・ラオ限界で取得できる。

フィッシャー情報量がサンプル数での追加であるという事実を使用し、Ｉ_M（ＩＩ）＝ＭＩ１（ＩＩ）を得て、上式では、Ｉ₁（ＩＩ）＝１／（１－ＩＩ²）は、尤度関数

から引き出された単一のサンプルのフィッシャー情報量である。クラメール・ラオ限界を使用すると、推定プロセスの実行時間の下限は、以下として検出し得、

これは、推定アルゴリズムの実行時間を短縮するために、本発明の実施形態はフィッシャー情報量を増加させ得ることを示している。

強化サンプリングの１つの目的は、情報利得の率を加速させる尤度関数を設計することによって重複推定の実行時間を短縮することである。図５Ａ－５Ｃに示す強化サンプリングの最も単純な場合を検討する。データを生成するために、本発明の実施形態は、仮説状態｜Ａ＞を準備し、演算Ｐを適用し、仮説状態について位相フリップを適用し、次にＰを測定する。仮説状態についての位相フリップは、仮説の回路の逆数Ａ^－１を適用し、初期状態

についての位相フリップを適用し、次に仮説の回路Ａを再適用することによって達成し得る。この場合、尤度関数は以下になる。

バイアスは、ＩＩの次数－３チェビシェフ多項式である。本明細書の本開示では、このような尤度関数をチェビシェフ尤度関数（ＣＬＦ）と呼ぶ。

強化サンプリングのチェビシェフ尤度関数を標準サンプリングのチェビシェフ尤度関数と比較するために、ＩＩ＝０の場合を検討する。ここでは

であるため、フィッシャー情報量は尤度関数の傾きの平方に比例する。

図５に見られるように、ＩＩ＝０でのチェビシェフ尤度関数の傾きは、標準サンプリング尤度関数の傾きよりも急である。各々の場合の単一サンプルのフィッシャー情報量を評価した結果は、以下の通りであり、
標準：Ｉ₁（ＩＩ＝０）＝１
強化：Ｉ₁（ＩＩ＝０）＝９ （１１）
量子回路の単純な変形が、どのようにして情報利得を強化し得るのかを明示している。この例では、強化サンプリングの最も単純な場合を使用することによって、標的誤差を達成するために必要とされる測定数を、少なくとも９分の１減少させ得る。後述するように、本発明の実施形態は、Ｐを測定する前に

のＬ個の層を適用することによって、フィッシャー情報量をさらに増加させ得る。実際に、フィッシャー情報量

は、Ｌで二次式的に増加する。

まだ説明していないのは、強化サンプリング測定データを推定に変換する推定方式である。強化サンプリングがもたらす１つの複雑さは、本発明の実施形態が測定データを収集するにつれ、Ｌを変化させるオプションである。この場合、Ｌが変化する回路からの測定結果のセットを所与とすると、０及び１のカウントのサンプル平均はその意味を失う。サンプル平均を使用する代わりに、測定結果をＩＩについての情報に処理するために、本発明の実施形態はベイズ推論を使用し得る。第２項に、推定にベイズ推論を使用する特定の実施形態を説明する。

この時点で、標準サンプリングと強化サンプリングの比較が不公平であると指摘したくなる場合がある。標準サンプリングの場合にはＡに対して１つのクエリーしか使用されず、一方、強化サンプリング方式では、Ａの３つのクエリーが使用されるためである。３つの標準サンプリングステップから生じる尤度関数を検討する場合、尤度関数の三次多項式形式も生じさせる場合があると思われる。実際、結果ｘ₁，ｘ₂，ｘ₃∈｛０，１｝を生じさせる３つの独立した標準サンプリングステップを実行し、分布

からサンプリングすることによってバイナリ結果ｚ∈｛０，１｝を古典的に生じさせると仮定する。次に、尤度関数は、以下の形をとり、

上式で、各α１∈［０，１］は、分布

を変更することによって古典的に調整できるパラメータである。より具体的には、

であり、上式で、ｈ（ｘ₁ｘ₂ｘ₃）はビット文字列ｘ₁ｘ₂ｘ₃のハミング重みである。方程式９で、

が

に等しいことが所望されると仮定する。これは、α₀＝１、α₁＝－２、α₂＝３、及びα₃＝０であることを意味しており、方程式１２の尤度関数の古典的な調整能力を明らかに超えている。これは、方程式９の量子方式から生じる尤度関数が古典的平均を超えていることを示唆する証拠である。

回路層の数Ｌが増えるにつれ、サンプルあたりの時間ＴはＬで直線的に増える。回路層数のこの直線的な増加は、フィッシャー情報量の二次式的な増加とともに、予想される実行時間に対する下限につながり、

不偏推定量を用いる固定Ｌ推定戦略を想定する。実際には、量子コンピュータに実装される演算では誤差が生じやすい。幸いなことに、本発明の実施形態は、推定プロセスにそのような誤差を組み込むことができるベイズ推論を使用し得る。誤差の尤度関数の形式に対する影響が正確にモデル化される限り、そのような誤差の主要な影響は情報利得速度を減速するだけである。量子回路の誤差は、回路層Ｌの数が増加するにつれ蓄積する。結果的に、特定の数の回路層を超えると、フィッシャー情報量利得（または実行時間の短縮）に関して収穫逓減が発生する。推定アルゴリズムは、次に全体的な性能を最適化するために、これらの競合する要因のバランスをとろうと努める場合がある。

誤差が導入されると、推定の別の問題が提起される。誤差がない場合、Ｌ＝１である強化サンプリングの場合のサンプルあたりのフィッシャー情報量利得は、すべてのＩＩについて９以上である。図６に示すように、小さい程度の誤差でも導入されると、尤度関数が平坦であるＩＩの値は、フィッシャー情報量で劇的な低下を被る。本明細書では、そのような領域を推定デッドスポットと呼ぶ。この観察は、工学的尤度関数（ＥＬＦ）の概念にその統計的検出力を高める動機になる。一般化反射Ｕ（ｘ₁）＝ｅｘｐ（－ｉｘ₁Ｐ）及びＲ₀（ｙ₂）＝ｅｘｐ（－ｉｘ₂Ｒ₀）に対してＰ演算及びＲ₀演算を推進することによって、本発明の実施形態は、情報利得がそのようなデッドスポットの周りでブーストされるように回転角度を使用し得る。より深い強化サンプリング回路の場合にも、工学的尤度関数によって、本発明の実施形態は、推定デッドスポットの影響を軽減することができる。

３．工学的尤度関数
本項では、本発明の実施形態が使用し得る振幅推定のために尤度関数を設計する方法論を説明する。最初に、工学的尤度関数に対応するサンプルを引き出すための量子回路を説明し、次に、回路パラメータを調整し、結果として生じる尤度関数を用いてベイズ推論を実施するための技術を説明する。

３．１．工学的尤度関数のための量子回路
ここで、期待値を推定するためのコンピュータ（例えば、量子コンピュータまたはハイブリッド量子古典コンピュータ）で手順を設計し、実装し、実行するための技術を説明し、
ＩＩ＝ｃｏｓ（θ）＝＜Ａ｜Ｐ｜Ａ＞ （１８）
上式では｜Ａ＞＝Ａ｜０ⁿであり、Ａはｎキュービットユニタリ演算子であり、Ｐは、固有値が±１であるｎキュービットのエルミート演算子であり、θ＝ａｒｃｃｏｓ（ＩＩ）は後にベイズ推論を容易にするために導入される。本明細書に開示する推定アルゴリズムを構築する際には、本発明の実施形態は、以下のプリミティブ演算を実行することができると仮定し得る。第１に、本発明の実施形態は、計算基底状態｜０ⁿ＞を準備し、それに量子回路Ａを適用し、

を取得してよい。第２に、本発明の実施形態は、任意の角度

のためにユニタリ演算子Ｕ（ｘ）＝ｅｘｐ（－１ｘＰ）を実装する。最後に、本発明の実施形態は、それぞれの結果ラベル｛０，１｝の付いた射影値測度

としてモデル化される、Ｐの測定を実行する。また、本発明の実施形態は、ユニタリ演算子

を利用してもよく、ここではＲ₀（ｙ）＝ｅｘｐ（－ｉｙ（２｜０ⁿ＞＜０ⁿ｜－Ｉ）及び

である。慣例に従い、Ｕ（ｘ）及びＶ（ｙ）は、本明細書ではそれぞれＰの＋１固有空間及び状態｜Ａ＞についての一般化反射と呼ばれ、ｘ及びｙは、それぞれこれらの一般化反射の角度である。

本発明の実施形態は、推定される未知の量θを所与として結果ｄ∈｛０，１｝の確率分布である、工学的尤度関数（ＥＬＦ）を生成するために、図７のアンシラフリーの量子回路を使用してよい。この方式は、アンシラキュービットを包含しないため、「アンシラフリー」（ＡＦ）と呼ぶ。付録Ａでは、1つのアンシラキュービットを含む「アンシラベース」（ＡＢ）方式と呼ぶ別の方式を検討する。回路は、例えば一般化反射のシーケンスを含んでよい。具体的には、仮説状態

を準備した後、本発明の実施形態は、それに２Ｌ一般化反射Ｕ（ｘ₁）、Ｖ（ｘ₂）、．．．、Ｕ（ｘ_2L-1）、Ｖ（ｘ_2L）を適用し、各演算の回転角度ｘ_jを変えてよい。便宜上、ｊ＝１，２，．．．，Ｌの場合、Ｖ（ｘ_2j）Ｕ（ｘ_2j-1）は本明細書で回路のｊ番目の層と呼ばれる。この回路の出力状態は、以下の通りであり、

上式で、

は、調整可能なパラメータのベクトルである。最後に、本発明の実施形態は、この状態に対して射影測定

を実行し、結果ｄ∈｛０，１｝を受け取り得る。

グローバーのアルゴリズムにおいてのように、一般化反射Ｕ（ｘ_2j-1）及びＶ（ｘ_2j）は、量子状態が任意のｊについて２次元部分空間Ｓ：＝ｓｐａｎ｛｜Ａ＞，Ｐ｜Ａ＞｝にとどまることを確実にする。Ｓが２次元であることを確実にするために、ＩＩ≠±１、つまりθ≠０またはπであると仮定する。

を｜Ａ＞に直交するＳの状態（位相次第で一意）にする。つまり、

分析を支援するために、この２次元部分空間をキュービットと見なし、｜Ａ＞及び

をそれぞれ

として記述する。

をパウリ演算子とし、それぞれこの仮想キュービット上の演算子を識別させる。次に、部分空間

に重点を置き、Ｐを

として書き直し、一般化反射Ｕ（ｘ_2j-1）及びＶ（ｘ_2j）を

及び

として書き直すことができ、上式で

は調整可能なパラメータである。次に、Ｌ層回路により実装されたユニタリ演算子

は、以下になる。

この図では、

は固定されており、一方Ｐ＝Ｐ（θ）、Ｕ（ｘ）＝（θ；ｘ）、及び

は未知の量θに依存することに留意されたい。元の「物理的な」画像においてよりこの「論理的な」画像において推定アルゴリズムを設計し、分析する方がより便利であることが分かる。したがって、この画像は、本開示の残りに使用される。

工学的尤度関数（つまり、測定結果ｄ∈｛０，１｝の確率分布）は、回路の結果状態

及びオブザーバブルＰ（θ）に依存する。

正確には、それは

であり、上式で、

は、尤度関数のバイアスである（これ以降、θに関して、それぞれ

の導関数を示すために

を使用する）。特に、

の場合、

となる。つまり、この

の尤度関数のバイアスは、ＩＩの（第１の種類の）次数２Ｌ＋１のチェビシェフ多項式である。このため、この

の尤度関数は、本明細書ではチェビシェフ尤度関数（ＣＬＦ）と呼ばれる。第５項では、ＣＬＦと一般ＥＬＦとの性能ギャップを詳しく調べる。

現実には、量子デバイスは、ノイズが生じやすい。推定プロセスを誤差に対してロバストにするために、本発明の実施形態は、以下のノイズモデルを尤度関数に組み込み得る。

実際には、ノイズモデルの確立では、使用されている特定のデバイスの尤度関数を較正するための手順が活用される場合がある。ベイズ推論に関して、このモデルのパラメータは、局外パラメータとして知られている。標的パラメータは、直接的に局外パラメータに依存するのではなく、それらは、データが標的パラメータにどのように関連するのかを決定し、したがって推論プロセスに組み込まれ得る。本開示の残りでは、ノイズモデルが、モデルの誤差の影響を無視できるほど十分な精度まで較正されていると仮定する。

各回路層Ｖ（ｘ₂ｊ）Ｕ（θ；ｘ_2j-1）のノイズの多いバージョンが、同じ入力状態、つまり、

に作用する、標的演算と完全に脱分極したチャネルとの混合を実装すると仮定し、上式で、ｐは、この層の忠実度である。脱分極モデルは、各層を含むゲートが、コヒーレント誤差の体系的な蓄積を防ぐほど十分である。そのような不完全な演算の構成では、Ｌ層の回路の出力状態は以下になる。

この不完全な回路は、前に｜Ａ＞の不完全な準備が先行し、後にＰの不完全な測定が続く。ランダマイズドベンチマーキングという観点から、そのような誤差は状態準備測定（ＳＰＡＭ）誤差と呼ばれる。また、本発明の実施形態は、脱分極モデルでＳＰＡＭ誤差をモデル化し、｜Ａ＞のノイズが多い準備を

と解釈し、Ｐのノイズが多い測定値をＰＯＶＭ

であると解釈してもよい。ＳＰＡＭ誤差パラメータを

に結合すると、以下のノイズが多い尤度関数のモデルに到達し、

上式で、

は、ＥＬＦを生成するためのプロセス全体の忠実度であり、

は、方程式（２６）に定められる理想的な尤度関数のバイアスである（これ以降、本開示は、θに関して

の導関数を示すために

を使用する。）ＥＬＦに対するノイズの全体的な影響が、それがｆ倍、バイアスを再スケーリングすることであることに留意されたい。これは、予想されるように、生成プロセスに誤差が少ないほど、結果として生じるＥＬＦが急になることを意味する（つまり、それはベイズ推論にとってはより役立つ）。

ＥＬＦを用いるベイズ推論の説明に移る前に、第４項で役割を果たすので、工学的尤度関数の以下の特性に言及する価値がある。三角多重線形（ｔｒｉｇｏｎｏ－ｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒ）関数及び三角多重二次（ｔｒｉｇｏｎｏ－ｍｕｌｔｉｑｕａｄｒａｔｉｃ）関数の概念は既知である。基本的に、多変数関数

は、任意のｊ∈｛１，２，．．．，ｋ｝について、ｆ（ｘ₁，ｘ₂，．．．，ｘ_k）が、

のいくつかの（複素数値）関数Ｃ_j及びＳ_jについて

として書かれる場合、三角多重線形であり、Ｃ_j及びＳ_jはｘ_jに関してｆの余弦－正弦－分解（ＣＳＤ）係数関数と呼ばれる。同様に、多変数関数

は、任意のｊ∈｛１，２，．．．，ｋ｝について、ｆ（ｘ₁，ｘ₂，．．．，ｘ_k）が、

のいくつかの（複素数値）関数Ｃ_j、Ｓ_j、及びＢ_jについて

として書かれる場合、三角多重二次であり、Ｃ_j、Ｓ_j、及びＢ_jはｘ_jに関して、ｆの余弦－正弦－バイアス－分解（ＣＳＢＤ）係数関数と呼ばれる。また、三角多重線形性及び三角多重二次性の概念も、当然線形演算子に一般化できる。つまり、線形演算子は、（任意の基底で書かれる）この演算子の各入力が同じ変数で三角多重線形（または三角多重二次）である場合に、変数のセット内の三角多重線形（または三角多重二次）である。ここで、方程式（２２）、（２３）、及び（２４）は、

が

の三角多重線形演算子であることを意味する。次に、方程式（２６）から、

は

の三角多重二次関数であるという結果になる。さらに、任意のｘ_jに関する

のＣＳＢＤ係数関数が０（Ｌ）時に評価され得、これが回路角度

を調整するための第４．１項のアルゴリズムの構築を大幅に容易にすることが開示される。

３．２．工学的尤度関数を用いるベイズ推論
（ノイズの多い）工学的尤度関数のモデルが適所にある状態で、回路パラメータ

を調整し、振幅推定のために結果として生じる尤度関数を用いてベイズ推論を実行するための本発明の実施形態を説明する。

ＩＩ＝ｃｏｓ（θ）＝＜Ａ｜Ｐ｜Ａ＞を推定するためのアルゴリズムの実施形態の高水準の概要から始める。便宜上、そのような実施形態は、ＩＩではなくθ＝ａｒｃｃｏｓ（ＩＩ）を用いて機能し得る。本発明の実施形態は、θの知識を表すためにガウス分布を使用し、推論プロセスが進むにつれ、この分布をθの真値に徐々に収束させ得る。本発明の実施形態は（標準サンプリングまたはドメイン知識によって生成することができる）ＩＩの初期分布から開始し、それをθの初期分布に変換してよい。次に、本発明の実施形態は、収束基準が満たされるまで以下の手順を反復してよい。各期間に、本発明の実施形態は、（θの現在の知識に基づく）特定の意味で測定結果ｄから情報利得を最大限にする回路パラメータ

を見つけ得る。次に、図７の量子回路は、最適化されたパラメータ

を用いて実行され、測定結果ｄ∈｛０，１｝が得られる。最後に、本発明の実施形態は、ｄが条件とされるベイズの規則を使用することによって、θの分布を更新してよい。このループが終了すると、本発明の実施形態は、θの最終分布をＩＩの最終分布に変換し、この分布の平均をＩＩの最終推定値として設定し得る。このアルゴリズムの概念図については、図８を参照すること。

以下に、上記アルゴリズムの各構成要素をより詳細に説明する。推論プロセスを通して、本発明の実施形態は、θの値の考えを把握するためにガウス分布を使用する。つまり、各期間に、θは、いくつかの事前平均

及び事前分散

について事前分布

を有する。測定結果ｄを受け取った後、本発明の実施形態は、ベイズの規則を使用することによってθの事後分布

を計算し得、上式で、正規化係数、つまりモデル証拠は、

として定義される（ｆがＥＬＦを生成するためのプロセスの忠実度であることを思い出すこと）。真の事後分布はガウスとはならないが、本発明の実施形態は、そのようなものとしてそれに近似し得る。以前の方法論に従って、本発明の実施形態は、真の事後確
率を同じ平均及び分散のガウス分布で置き換え、それを次の期間のためのθの事前確率として設定し得る。本発明の実施形態は、θの分布が単一の値の周りに十分に集中するまで、この測定及びベイズ更新手順を繰り返してよい。
本発明の実施形態は、定義により事後分布

の平均及び分散を直接的に計算し得るが、この方式は、それが数値積分を伴うために、時間がかかる。代わりに、本発明の実施形態は、工学的尤度関数の特定の特性を利用することによってこのプロセスを加速し得る。詳細については、第４．２項を参照すること。

アルゴリズムはおもにθを用いて機能し、最終的にはＩＩに関心があるので、本発明の実施形態は、θとＩＩの推定量の間で変換を行ってよい。これは、以下の通りに行われる。期間ｔで、θの事前分布が

であり、ＩＩの事前分布が

であると仮定する（μｔ、σｔ、及び

が、時間ｔまでランダム測定結果の履歴に依存するので、ランダム変数であることに留意されたい）。この期間でのθ及びＩＩの推定量は、それぞれμｔ及び

である。θの

を所与として、本発明の実施形態は、ｃｏｓ（θ）の平均

及び分散

を計算し、

をＩＩの分布として設定し得る。このステップは、あたかもＸ～Ｎ（μ，σ²）であるかのように分析的に行われ得、その結果以下となる。

逆に、ＩＩの分布

を所与として、本発明の実施形態は、ａｒｃｃｏｓ（ＩＩ）の平均μｔ及び分散

を計算し（ＩＩを［－１．１］にクリッピングし）、

をθの分布として設定し得る。このステップは数値的に行われてよい。ガウス変数のｃｏｓ ｘまたはａｒｃｃｏｓ ｙ関数は真にガウス分布ではないとしても、本発明の実施形態は、そのようなものとしてそれに近似し、これがアルゴリズムの性能にわずかな影響を与えることを理解し得る。

回路角度

を調整するための方法は、本発明の実施形態によって以下の通りに実装されてよい。理想的には、回路角度は、θの推定量μ_tの平均平方誤差（ＭＳＥ）が、ｔが増加するにつれ、可能な限り早く減少するように注意深く選ばれ得る。しかしながら、実際には、この数量を直接的に計算することは困難であり、本発明の実施形態はその値のプロキシを用い得る。推定量のＭＳＥは、推定量の分散と推定量の平方バイアスの和である。μ_tの平方バイアスは、その分散よりも小さい、つまり

である場合があり、上式で、θ^*はθの真値である。θの分散

は、多くの場合、μ_tの分散に近い。つまり高い確率で

である。これらの事実を組み合わせると、高い確率で

であることが分かる。したがって、本発明の実施形態は、代わりにθの分散

を最小限に抑えるパラメータ

を見つけ得る。

具体的には、θが事前分布Ｎ（μ，σ²）を有すると仮定する。測定結果ｄ∈｛０，１｝を受け取ると、θの予想される事後分散は以下であり、

上式で、

であり、ここで

は方程式（２６）に定義された理想の尤度関数のバイアスであり、ｆは、尤度関数を生成するためのプロセスの忠実度である。工学的尤度関数の数量がここで導入され、本明細書では分散減少係数と呼ばれる。

その結果、以下となる。

Ｖが大きいほど、θの分散は平均して速く減少する。さらに、θの逆分散の（時間ステップあたりの）増加率を数値化するために、以下の数量を使用し得、

上式で、Ｔ（Ｌ）は推論期間の時間コストである。ＲがＶ∈（０，１）のためのＶの単調関数であることに留意されたい。したがって、回路層の数Ｌが固定されているとき、本発明の実施形態は、Ｖを最大化することによって（

に関して）Ｒを最大化し得る。また、σが小さいとき、ＲはＶにほぼ比例する。つまり、Ｒ≒Ｖ／Ｔ（Ｌ）である。本開示の残りでは、仮説の回路が全体的な回路の持続時間に最も大きく寄与すると仮定される。Ｔ（Ｌ）を、仮説が回路内で呼び出される回数に比例すると解釈し、Ｔ（Ｌ）＝２Ｌ＋１を設定し、上式で時間は仮説持続時間の単位である。

ここで、所与の

及びｆ∈［０，１］について分散減少係数

を最大化するパラメータ

を見つけるための技術が開示される。この最適化の問題は、一般に解決が困難であることが分かる。幸いなことに、実際には、本発明の実施形態は、θの事前分散σ²が小さく（例えば、せいぜい０．０１）、この場合、

は、θ＝μでの尤度関数

のフィッシャー情報量によって近似され得ると仮定してよい。つまり、

であり、上式で

は、方程式（２９）に定義される２結果尤度関数

のフィッシャー情報量である。したがって、本発明の実施形態は、分散減少係数

を直接的に最適化するのではなく、フィッシャー情報量

を最適化し得、これは、第４．１．１．項のアルゴリズムを使用して本発明の実施形態によって効率的になされ得る。さらに、ＥＬＦを生成するためのプロセスの忠実度ｆが低いとき、

となる。その結果、以下となる。

したがって、この場合、本発明の実施形態は、θ＝μで尤度関数

の傾きに比例する

を最適化し得、このタスクは、第４．１．２項のアルゴリズムを使用して本発明によって効率的に達成され得る。

最後に、本発明の実施形態は、ｔとしてのＩＩの推定量

のＭＳＥがどの程度早く増えるのかに関して予測を行い得る。回路層の数Ｌは推論プロセス中固定されると仮定する。これによりｔ→∞として

が得られる。

の逆ＭＳＥの増加率は以下の通り予測し得る。ｔ→∞となると、高い確率でμ_t→θ^*、σ_t→０、

となり、θ^*及びＩＩ＊は、それぞれθ及びＩＩの真値である。このイベントが発生するとき、ｔが大きい場合以下となる。

その結果、方程式（３５）により、ｔが大きい場合、以下となり、

上式で、

となる。

のバイアスは多くの場合、その標準偏差よりもはるかに小さく、標準偏差に

が近似できるため、ｔが大きい場合は以下が予測される。

これは、

の逆ＭＳＥの（時間ステップあたりの）漸近的な増加率が、おおよそ以下でなければならないことを意味し、

上式で、

はμ^*＝ａｒｃｃｏｓ（ＩＩ＊）に関して最適化される。この率は、第５項の

の逆ＭＳＥの経験的な増加率と比較される。

４．回路パラメータの調整及びベイズ推論のための効率的な発見的アルゴリズム
本項では、図７の回路のパラメータ

を調整するための発見的アルゴリズムの実施形態を説明し、本発明の実施形態が、結果として生じる尤度関数を用いてどのようにしてベイズ推論を効率的に実施するのかを説明する。

４．１．分散減少係数のプロキシの効率的な最大化
本発明の実施形態に従って実装された、回路角度

を調整するためのアルゴリズムは、分散減少係数Ｖの２つのプロキシ－フィッシャー情報量及び尤度関数の傾き

の最大化に基づいている。これらのアルゴリズムのすべては、ｊ＝１，２，．．．，２Ｌの場合にｘ_jに関してバイアス

及びその導関数

のＣＳＢＤ係数関数を評価するための効率的な手順を必要とする。第３．１項に、バイアス

が

で三角多重二次であることを示したことを想起する。つまり、任意のｊ∈｛１，２，．．．，２Ｌの場合、

の関数

が存在し、その結果、以下となる。

その結果、以下も、

で三角多重二次であり、

は、それぞれθに関して

の導関数である。θ及び

を所与として、

の各々を０（Ｌ）時間で計算できることが分かる。

補題１。θ及び

を所与として、

の各々を０（Ｌ）時間で計算できる。
証拠。付録Ｃを参照。

４．１．１．尤度関数のフィッシャー情報量の最大化
本発明の実施形態は、所与の点θ＝μ（つまり、θの事前平均）で尤度関数

のフィッシャー情報量を最大化するための２つのアルゴリズムのうちの１つ以上を実行し得る。目標は、以下を最大化する

を発見することであると仮定する。

第１のアルゴリズムは、勾配上昇法に基づいている。つまり、第１のアルゴリズムはランダムな初期点から開始し、収束基準が満たされるまで、現在の点での

の勾配に比例してステップを実行し続ける。具体的には、

を反復ｔでのパラメータベクトルにする。本発明の実施形態は、以下の通りにそれを更新し得、

上式で、

はステップサイズスケジュールである。最も簡単な場合、δ（ｔ）＝δは定数である。ただし、より優れた性能を達成するために、ｔ→∞としてδ（ｔ）→０を必要とする可能性がある。これは、各ｘ_jに関して

の偏導関数の計算を必要とし、これは、以下の通りに実行できる。本発明の実施形態は、最初に、補題１の手順を使用して、ｊごとに

を計算する。これにより、以下が取得される。

これらの数量を理解し、本発明の実施形態は、以下の通りにｘ_jに関して

の偏導関数を計算し得る。

本発明の実施形態は、ｊ＝１，２，．．．，２Ｌについてこの手順を繰り返してよい。次に、本発明の実施形態は、

を取得し得る。アルゴリズムの反復のたびに０（Ｌ²）時間がかかる。アルゴリズムでの反復数は、初期点、終了基準、及びステップサイズスケジュールδに依存する。詳細については、アルゴリズム６５を参照すること。

第２のアルゴリズムは、座標上昇法に基づく。勾配上昇法とは異なり、このアルゴリズムはステップサイズを必要とせず、各変数が単一のステップで劇的に変化することを可能にする。結果的に、このアルゴリズムは、以前のアルゴリズムよりも速く収束し得る。具体的には、このアルゴリズムを実装する本発明の実施形態は、ランダムな初期点から開始し、収束基準が満たされるまで、座標方向に沿って目的関数

を連続して最大化し得る。各期間のｊ番目のステップで、このアルゴリズムは、座標ｘ_jについて以下の単一変数最適化問題を解決し、

上式で、

は、補題１の手順によって０（Ｌ）時間で計算し得る。この単一変数最適化問題は、標準勾配に基づいた方法で対処され得、ｘ_jがその解であるとして設定される。ｊ＝１，２，．．．，２Ｌに対してこの手順を繰り返す。このアルゴリズムにより、シーケンス

が生成され、その結果

となる。つまり、

の値は、ｔが大きくなるにつれ単調に増加する。アルゴリズムの各期間は、０（L²）時間かかる。アルゴリズムでの期間数は、初期点及び終了基準に依存する。

４．１．２．尤度関数の傾きの最大化
本発明の実施形態は、所与の点θ＝μ（つまり、θの事前平均）で尤度関数

の傾きを最大化するための２つのアルゴリズムのうちの１つ以上を実行し得る。目標が、以下

を最大化する

を見つけることであると仮定する。

フィッシャー情報量最大化のためのアルゴリズム６５及び６５と同様に、傾き最大化のためのアルゴリズムもそれぞれ勾配上昇法及び座標上昇法に基づく。それらは両方とも、所与のμ及び

について

を評価するために補題１の手順を呼び出す。ただし、勾配上昇法に基づいたアルゴリズムは上記の数量を使用して、ｘ_jに関して

の偏導関数を計算し、一方、座標上昇法に基づいたアルゴリズムは、それらを使用してｘ_jの値を直接的に更新する。これらのアルゴリズムは、それぞれアルゴリズム１及び２に正式に説明されている。

４．２．工学的尤度関数を用いる近似的ベイズ推論
回路パラメータ

を調整するためのアルゴリズムが適所にある状態で、ここで、結果として生じる尤度関数を用いてベイズ推論を効率的に実施する方法を説明する。本発明の実施形態は、測定結果ｄを受け取った後に、θの事後平均及び分散を直接的に計算し得る。ただし、この手法は、数値積分を伴うため時間がかかる。本発明の実施形態は、工学的尤度関数の特定の特性を利用することによってこのプロセスを加速し得る。

θが事前分布Ｎ（μ，σ²）を有し、ここでσ＜＜１／Ｌであり、ＥＬＦを生成するプロセスの忠実度がｆであると仮定する。本発明の実施形態は、

を最大化するパラメータ

が、以下の特性を満たすことを理解し得る。θがμに近い、つまり

であるとき、いくつかの

について、

となる。つまり、本発明の実施形態は、θの領域でシヌソイド関数によって

に近似し得る。図１３は１つのそのような例を示す。

本発明の実施形態は、以下の最小二乗問題を解決することによって最良適合するｒ及びｂを見つけ得、

上式では、Θ＝｛θ₁，θ₂，．．．，θ_k｝⊆［μ－０（σ），μ＋０（σ）］である。この最小二乗問題は、以下の解析解を有し、

上式では、以下である。

図１３は、真の尤度関数及び適合尤度関数の例を明示する。

本発明の実施形態が最適なｒ及びｂを取得すると、それらは、解析公式を有する以下のものについて、θの事後平均及び分散に近似し得る。

具体的には、θが期間ｋで事前分布

を有すると仮定する。ｄ_kを測定結果とし、（ｒ_k，ｂ_k）をこの期間で最良適合するパラメータとする。次に、本発明の実施形態は、以下によってθの事後平均及び分散に近似し得る。

その後、本発明の実施形態は、次の期間に進み、その期間のθの事前分布として

を設定する。

図１３に示すように、θがμから離れている、つまり｜θ－μ｜＞＞σのとき、真の尤度関数と適合尤度関数の差が大きくなる可能性があることに留意されたい。ただし、事前分布

は｜θ－μ｜で急激に減衰するので、そのようなθは、θの事後平均及び分散の計算にほとんど寄与しない。したがって、方程式（７８）及び（７９）は、θの事後平均及び分散の非常に正確な推定値を示し、その誤差はアルゴリズム全体の性能に及ぼす影響はごくわずかである。

５．シミュレーション結果
本項は、振幅推定のために工学的尤度関数を用いてベイズ推論をシミュレーションした特定の結果を説明する。これらの結果は、設計されていない尤度関数に優る特定の工学的尤度関数の特定の利点、及びそれらの性能に対する回路深度と忠実度の影響を実証する。

５．１．実験の詳細
我々の実験では、U（ｘ）＝ｅｘｐ（－ｉｘＰ）を実装し、射影測定

を実行する方が、Ａを実装するよりもはるかに時間がかからないと仮定している。したがって、回路層の数がＬであるとき、推論期間の時間コストはほぼ（２Ｌ＋１）Ｔ（A）であり、ここでＴ（Ａ）はＡのコストである（Ｌ層回路が、Ａ及び

を２Ｌ＋１回利用することに留意されたい）。簡略にするために、次の説明では、Ａに単位時間がかかる（つまり、Ｔ（Ａ）＝１）と仮定する。さらに、実験では量子状態の準備及び測定で誤差がない、つまり

であると仮定する。

期待値ＩＩ＝ｃｏｓ（θ）＝＜Ａ｜Ｐ｜Ａ＞を推定することを目標とすると仮定する。

を時間ｔでのＩＩの推定量とする。

は時間ｔまでのランダム測定結果の履歴に依存するので、それ自体がランダム変数であることに留意されたい。以下

により示される

の二乗平均平方根誤差（ＲＭＳＥ）により方式の性能を測定する。

以下では、アンシラベースのチェビシェフ尤度関数（ＡＢ ＣＬＦ）、アンシラベースの工学的尤度関数（ＡＢ ＥＬＦ）、アンシラフリーのチェビシェフ尤度関数（ＡＦ ＣＬＦ）、及びアンシラフリーの工学的尤度関数（ＡＦ ＥＬＦ）を含む様々な方式について、ｔが大きくなるにつれてＲＭＳＥ_tどの程度速く減衰するのかを説明する。

一般に、

の分布を特徴付けるのは困難であり、ＲＭＳＥ_tに解析公式はない。この数量を推定するために、本発明の実施形態は、推論プロセスをＭ回実行し、

のＭ個のサンプル

を収集してよく、ここで

は、ｉ＝１，２、．．．，Ｍの場合、ｉ番目の実行の時間ｔでのＩＩの推定値である。次に、本発明の実施形態は、数量

を使用して、真のＲＭＳＥ_tに近似してよい。我々の実験では、Ｍ＝３００を設定し、これが満足の行く結果につながることを理解する。

本発明の実施形態は、座標上昇法に基づいたアルゴリズム２及び６を使用して、それぞれアンシラフリーの場合及びアンシラベースの場合に回路パラメータ

を最適化し得る。これは、アルゴリズム１及び２が等しい質の解決策を生成し、同じ記述がアルゴリズム５及び６に適用できることを示す。したがって、実験結果は、勾配上昇法に基づいたアルゴリズム１及び５を使用して、代わりに回路角度

を調整していても変化しないであろう。

ＥＬＦを用いるベイズ更新の場合、本発明の実施形態は、それぞれアンシラフリーの場合及びアンシラベースの場合にθの事後平均及び分散を計算するために、第４．２項及び付録Ａ．２の方法を使用し得る。特に、ＥＬＦのシヌソイダル適合中、本発明の実施形態は、方程式（６８）及び（１４８）にΘ＝｛μ－σ，μ－０．８σ，．．．，μ＋０．８σ，μ＋σ｝を設定してよい（つまり、Θは、［μ－σ，μ＋σ］に１１の一様に分布した点を含む）。ＥＬＦの高品質シヌソイダル適合を取得するには、これで十分であること理解する。

６．ノイズの多いアルゴリズム性能のためのモデル
本発明の実施形態は、ＩＩの推定値で標的平均平方誤差を達成するために必要とされる実行時間のためのモデルを、それがより大型のシステムのためにスケーリングされ、より良いゲート忠実度のデバイスで実行されるときに、実装し得る。このモデルは、主な２つの仮定の上に成り立ち得る。第１の仮定は、逆平均平方誤差の増加率は逆分散率式の半分によって十分に説明されるという点である（方程式（４０）を参照）。半分は、分散及び平方バイアスが平均平方誤差に等しく寄与する旨の控えめな推定による（前項のシミュレーションは、平方バイアスが分散未満である傾向があることを示している）。第２の仮定は、チェビシェフ尤度関数の数値調査によって動機付けられる分散減少係数に対する実験的な下限である。

θの推定値に関してＭＳＥの分析を実施する。次に、この推定値のＭＳＥをＩＩに関するＭＳＥの推定値に変換する。我々の戦略は、方程式（４０）の速度表現Ｒ（μ，σ；ｆ，ｍ）の上限及び下限を統合して、時間の関数として逆ＭＳＥの限度に到達することである。

分析を支援するために、代入ｍ＝Ｔ（Ｌ）＝２Ｌ＋１を行い、

になるようにλ及びαを導入することによって、ノイズがどのように組み込まれるのかを再パラメータ化（ｒｅｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｅ）する。

この速度表現に対する上限及び下限は、チェビシェフ尤度関数の研究結果に基づいており、ここでは

である。チェビシェフ尤度関数は工学的尤度関数のサブセットであるため、チェビシェフの性能に対する下限はＥＬＦ性能に対する下限を示す。憶測として、ＥＬＦの場合のこの速度に対する上限は、チェビシェフ速度に対して立証した上限の小さい倍数（例えば、１．５）であるとする。

チェビシェフの上限は、以下のように立証される。σ、λ、及びｍが固定されている場合、分散減少係数は、μ＝π／２で発生するＶｍ²ｅｘｐ（－ｍ²σ²－λｍ－α）の最大値を達成することを示す場合がある。チェビシェフ尤度関数の場合、ｓｉｎ（ｍＬμ）≠０であるときはつねに、

として分散減少係数表すことができる。次に、

は

を暗示する。

この式は、

未満であり、これは

で

の最大を達成する。したがって、係数１／（１－σ²Ｖ）は、１／（１－ｅ^-1）≒１．５８２を超えることはできない。これをすべてまとめると、σ、λ、及びｍが固定されている場合、最大速度は

として上限になる。これは、ＲがＶにおいて単調であり、Ｖがμ＝π／２で最大化されるという事実の結果から得られる。実際には、本発明の実施形態は、逆分散速度を最大限にするＬの値を使用し得る。離散Ｌによって達成される速度は、ｍの連続値を超える上記の上限を最適化するときに取得される値を超えることはできない。この最適値は、

について実現される。この最適値

でＲ（π／２，σ；λ，α，ｍ）を評価することによって

を定義し、これはチェビシェフ速度に対する上限を示す。

本発明の実施形態は、チェビシェフ尤度の性能に対する解析の下限を有さない。数値チェックに基づいて実験的な下限を確立することができる。任意のＬが固定されている場合、逆分散率は、２Ｌ＋２の点、μ∈｛０，π／（２Ｌ＋１），２π／（２Ｌ＋１），．．．，２Ｌπ／（２Ｌ＋１），π｝でゼロである。すべてのＬについて、率はこれらのエンドポイントでゼロであるため、

に対するグローバル下限はゼロである。しかしながら、これらのエンドポイントに近い逆分散率の低い性能について懸念はない。推定量を

から

に変換すると、これらのエンドポイントに近い情報利得は、実際には大きな値になる傾向がある。有用な限界を確立するために、μを範囲［０．１π，０．９π］内に制限する。数値試験では、すべてのμ∈［０．１π，０．９π］について、つねに、逆分散率が（ｅ－１）²／ｅ²≒０．４０掛ける上限を超えているＬの選択があることを理解する。Ｌ^*／３～３Ｌ^*のθ値、Ｌ値のうちの５００００の値の均一グリッド上で検索した。ここでＬ^*は、方程式８２に到達するために使用される最適化された値に対してであり、σ及びλは［１０^-1，１０^-2，．．．，１０^-5］の範囲に及ぶ。各対（σ，λ）について、（Ｌを超える）最大逆分散率が最小値であるθを見つけた。チェックした全対（σ，λ）について、この最悪の場合の率はつねに０．４と０．５の間であり、最小値はＲ＝０．４１７００３６８≧（ｅ－１）²／ｅ²であることが分かった。これらをまとめると、以下となる。

ｍを連続とすることによって、σ及びλの特定の値が、Ｌ＝（ｍ－１）／２が負である最適なｍにつながる可能性があることに留意することが重要である。したがって、これらの結果はλ≦１の場合にだけ適用し、これがｍ≧１を保証する。このモデルは、大きいノイズ領域（つまりλ≧１）では機能停止すると予想される。

今のところ、率がこれらの２つの限界の幾何学平均、つまり

を追跡すると仮定し、上限及び下限がこれから離れた小さい定数係数であることに留意する。

逆分散が、逆分散率

により取り込まれた差分係数式により与えられる率で時間内に連続的に大きくなると仮定する。Ｆ＝１／σ²にこの逆分散を示させ、上記の率方程式は、Ｆの微分方程式として計算し直すことができる。

この式により、ハイゼンベルグ制限動作とショットノイズ制限動作の両方を識別できる。Ｆ＜＜１／λ²の場合、微分方程式は次のようになり、

これは、逆平方誤差Ｆ（ｔ）～ｔ²の２次成長に統合される。これがハイゼンベルグ制限レジームの特徴である。Ｆ＞＞１／λ²の場合、率は定数に近づく。

このレジームは、ショットノイズ制限レジームを示す逆平方誤差Ｆ（ｔ）～ｔの線形成長をもたらす。

積分を扱いやすくするために、速度表現は、（以前の限度と併せて使用される）統合可能な上限及び下限の式で置換されてよい。ｘ＝λ²Ｆとすると、これらの限度は、以下として再度示される。

時間をｘの関数として処理し、以下を積分することによって、上限から、実行時間に対する下限を確立できる。

同様に、実行時間に対する上限を確立するために下限を使用できる。ここで、最悪の場合、位相推定

のＭＳＥが分散の倍である（つまり、分散はバイアスに等しい）ため、分散はＭＳＥの半分

に到達しなければならないという仮定を導入する。最善の場合、推定値のバイアスはゼロであると仮定し、

を設定する。これらの限度を方程式（８４）の上限及び下限と結合して、標的ＭＳＥの関数として推定実行時間に対する限度に到達し、

上式でθ∈［０．１π，０．９π］である。

この時点で、位相推定値

を振幅推定値

に変換し直すことができる。振幅推定値

に対するＭＳＥに、以下として位相推定値ＭＳＥの観点から近似することができ、

上式で、推定量の分布は、θについて高次の項を無視するほど十分にピークに達したと仮定した。これは、限度に対する上記式に代入できる

につながり、これはＩＩ∈［ｃｏｓ ０．９π，ｃｏｓ ０．１π］≒［－０．９５，０．９５］に対して適用できる。（添え字は定数係数に寄与するので）推定量の添え字を削除し、低ノイズ範囲及び高ノイズ範囲での実行時間スケーリングを確立することができ、

ハイゼンベルグ限界スケーリング及びショットノイズ限界スケーリングが各々回復することを観察する。

チェビシェフ尤度関数のプロパティを使用して、これらの限度に到達した。上記の項で示したように、尤度関数を設計することによって、多くの場合、推定実行時間を短縮できる。工学的尤度関数の分散減少係数の数値の研究結果（例えば、図１９を参照）によって動機付けられて、工学的尤度関数の使用により方程式（８４）の最悪の場合の逆分散率が、

に増加すると推量する。

このモデルにより多くの意味を与えるために、キュービットの数ｎ及び２キュービットゲートの忠実度ｆ_2Qの観点から、このモデルを精緻化する。状態｜Ａ＞に関してパウリ文字列Ｐの期待値を推定するタスクを検討する。

となるように、ＩＩ＝＜Ａ｜Ｐ｜Ａ＞がゼロに非常に近いと仮定する。Ｌ層の各々の２キュービットゲート深度をＤとする。層忠実度全体を

としてモデル化し、ここでは単一キュービットゲートに起因する誤差を無視する。これから

となる。これらをまとめると、実行時間式に到達する。

最後に、この式にいくつかの意味のある数値を入力し、２キュービットゲートの忠実度の関数として秒単位で必要とされる実行時間を推定する。量子の利点を達成するために、問題のインスタンスが、およそｎ＝１００論理キュービットを必要とすること、及び２キュービットゲート深度がおよそキュービットの数Ｄ＝２００であると予想する。さらに、目標精度εがおよそε＝１０^-3～１０^-5である必要があると予想する。実行時間モデルは、仮説回路持続時間の観点から時間を測定する。これを秒に変換するために、２キュービットゲートの各層がＧ＝１０^-8を要すると仮定し、これは今日の超伝導キュービットハードウェアにとっては楽観的な仮定である。図２６は、この指定された実行時間を２キュービットゲートの忠実度の関数として示す。

実行時間を実用的な領域に短縮するために必要となる２キュービットゲートの忠実度では、誤差補正が必要となる可能性が高い。量子誤差補正を実行するには、これらの実行時間を増加させるオーバヘッドが必要になる。量子誤差補正プロトコルを設計する際には、推定実行時間の増加がゲート忠実度の改善を上回らないことが必須である。提案するモデルは、このトレードオフを数値化する手段を提供する。つまり、ゲートの不正確及び（誤差補正された）ゲート時間の積は、有用な誤差補正が組み込まれるので、減少するはずである。実際には、より厳格な陳述のために考慮しなければならない多くの微妙な点がある。これらには、回路内のゲートの間でのゲート忠実度の変動、及び異なるタイプのゲートの様々な時間コストを検討することが含まれる。それにも関わらず、この単純なモデルにより可能になるコスト分析は、量子ゲート、量子チップ、誤差補正方式、及びノイズ軽減方式の設計で有用なツールとなり得る。

付録Ａ．アンシラベースの方式
本付録では、アンシラベース方式と呼ぶ代替方式を提示する。この方式では、工学的尤度関数（ＥＬＦ）は、

が調整可能なパラメータである図２７に示す量子回路によって生成される。

図２７の回路にはノイズがないと仮定すると、工学的尤度関数は、以下により示され、

上式で、

は、尤度関数のバイアスである。第３．１項の議論の大部分は、

が

で置き換えられる点を除き、アンシラベースの場合にも適用できることが分かる。したがって、特に明記しない限り、以前と同じ概念（例えば、

を使用する。特に、図２７の回路の誤差を考慮に入れると、ノイズが多い尤度関数は、以下により示され、

上式で、ｆはＥＬＦを生成するためのプロセスの忠実度である。しかしながら、

の間には差異が存在することに留意されたい。前者が

で三角多重二次であり、一方後者が

で三角多重線形であるためである。

第３．２項と同じように、回路角度

を調整し、結果として生じたＥＬＦを用いてベイズ推論を実行する。事実上、

を

で置換する必要がある点を除き、第３．２項の議論は、依然としてアンシラベースの場合にも適用できる。したがって、特に明記しない限り、以前と同じ概念を使用する。特に、方程式（３７）及び（３８）においてのように分散減少係数

も定義し、

を

で置換する。これは、以下のように示すことができる。

つまり、θ＝μでのフィッシャー情報量及び尤度関数

の傾きは、合理的な仮定の下で分散減少係数

の２つのプロキシである。Ｖの直接最適化は一般に困難であるので、代わりにこれらのプロキシを最適化することによってパラメータ

を調整する。

Ａ．１．分散減少係数のプロキシの効率的な最大化
ここで、分散減少係数Ｖの２つのプロキシ－フィッシャー情報量及び尤度関数

の傾きを最大化するための効率的な発見的アルゴリズムを提示する。これらのアルゴリズムのすべては、ｊ＝１，２、．．．，２Ｌの場合にｘ_jに関してバイアス

及びその導関数

のＣＳＤ係数関数を評価するために以下の手順を利用する。

Ａ．１．１．バイアスのＣＳＤ係数関数及びその導関数の評価

は、

で三角多重線形であるため、任意のｊ∈｛１，２，．．．，２Ｌ｝の場合、

で三角多重線形である関数

が存在し、その結果以下になる。

その結果、

も、

で三角多重線形であり、ここで、

は、それぞれθに関して

の導関数である。

我々の最適化アルゴリズムは、所与のθ及び

について

を評価するための効率的な手順を必要とする。これらのタスクが、０（Ｌ）時間で達成できることが分かっている。

補題２。θ及び

を所与として、

の各々を０（Ｌ）時間で計算できる。

証拠。便宜上、以下の表記法を導入する。ｉ＝０，１，．．．，Ｌ－１の場合、Ｗ_2i＝Ｖ（ｘ_2L－_2i）、Ｗ_2i+1＝Ｕ（θ；ｘ_2L-2i-1）とする。さらに、ｊ＝０，１，．．．，２Ｌ－１の場合、Ｗ’_j＝∂θＷ_jとする。ｊが偶数の場合、Ｗ’_j＝０となることに留意されたい。次に、０≦ａ≦ｂ≦２Ｌ－１の場合Ｐ_a,b＝Ｗ_aＷ_a+1．．．Ｗ_b、及びそれ以外の場合Ｐ_a,b＝Ｉを定義する。

この表記により、以下を示すことができる。

所与のθ及び

について

を評価するために、別々にケースｊは偶数であり、ケースｊは奇数であると考える。
・ケース１：ｊ＝２（Ｌ－ｔ）は偶数であり、ここで０≦ｔ≦Ｌ－１である。この場合、Ｗ_2t＝Ｖ（ｘ_j）である。事実を使用すると、以下である。

・以下を取得し、

・上式で、

である。
・θ及び

を所与として、最初に０（Ｌ）時間でＰ_0,2t-1及びＰ_2t+1,2L-1を計算する。次に、方程式（１０９）及び（１１０）で

を計算する。この手順は０（Ｌ）時間しかかからない。

次に、

を計算する方法を説明する。方程式（１０４）及び事実Ｐ_a,b＝Ｐ_a,2t-1Ｗ_2tＰ_2t+1,bを使用して、任意のａ≦２ｔ≦ｂについて、以下を取得する。

以下とする。

次に、式（１１１）から以下が生じ、

これは、以下につながり、

上式で、以下となる。

θ及び

を所与として、最初に、標準動的プログラミング技術によって０（Ｌ）時間の合計で以下の行列を計算する。
・ｓ＝１，２，．．．，ｔの場合、Ｐ_0,2s-2及びＰ_2s,2-1
・ｓ＝ｔ＋１，ｔ＋２，．．．，Ｌの場合、Ｐ２_t+1,2s-2及びＰ_2s,2L-1
・Ｐ_0,2t-1及びＰ_2t+1,2L-1

次に、方程式（１１３）及び（１１５）によってA_t及びＢ_tを計算する。その後、方程式（１２０）及び（１２１）によって

を計算する。概して、この手順は０（Ｌ）時間かかる。
１．ケース２：ｊ＝２（Ｌ－ｔ）－１は奇数であり、ここで０≦ｔ≦Ｌ－１である。この場合、Ｗ_2t+1＝Ｕ（θ；ｘ_j）である。事実を使用すると、以下となる。

２． 以下を取得し、

３． 上式で、以下である。

４．θ及び

を所与として、最初に０（Ｌ）時間でＰ_0,2t及びＰ_2t+2,2L-1を計算する。次に、方程式（１２６）及び（１２７）によって

を計算する。この手順には０（Ｌ）時間しかかからない。

次に、

を計算する方法を説明する。方程式（１０４）及び事実Ｐ_a,b＝Ｐ_a,2tＷ_2t+1Ｐ_2t+2,bを使用して、任意のａ≦２ｔ＋１≦ｂについて、以下を取得する。

以下とする。

次に、方程式（１２８）により以下が生じ、

これは、以下につながり、

上式では、以下である。

θ及び

を所与として、最初に、標準動的プログラミング技術によって０（Ｌ）時間の合計で以下の行列を計算する。
・ｓ＝１，２，．．．ｔの場合、Ｐ_0,2s-2及びＰ_2s、2_t
・ｓ＝ｔ＋２，ｔ＋３，．．．Ｌの場合、Ｐ_2t+2,2s-2及びＰ_2s,2L-1
・Ｐ_0,2t及びＰ_2t+2,2L-1

次に、方程式（１３０）及び（１３２）によってＡ_t及びＢ_tを計算する。その後、方程式（１３７）及び（１３８）によって

を計算する。概して、この手順は０（Ｌ）時間かかる。
Ｗ

Ａ．１．２．尤度関数のフィッシャー情報量の最大化
所与の点θ＝μ（つまり、θの事前平均）で尤度関数

のフィッシャー情報量を最大化するための２つのアルゴリズムを提案する。つまり、我々の目標は、以下

を最大化する

を見つけることである。

これらのアルゴリズムは、それらもそれぞれ勾配上昇法及び座標上昇法に基づくという意味で、アンシラフリーの場合のフィッシャー情報量最大化のためのアルゴリズム１及び２に類似している。主な違いは、ここで、所与のμ及び

について

を評価するために補題２の手順を呼び出し、次にそれらを使用して（傾斜上昇法で）、ｘ_jに関して

の偏導関数を計算するか、または（座標上昇法で）ｘ_jについて単一変数最適化問題を定義するかのどちらかである点である。これらのアルゴリズムは、アルゴリズム５及び６に正式に説明されている。

Ａ．１．３．誘導関数の傾きの最大化
また、所与の点θ＝μ（つまり、θの事前平均）で尤度関数

の傾きを最大化するための２つのアルゴリズムも提案する。つまり、我々の目標は、

を最大化する

を見つけることである。

これらのアルゴリズムは、それらもそれぞれ勾配上昇法及び座標上昇法に基づくという意味で、アンシラフリーの場合の傾き最大化のためのアルゴリズム３及び４に類似している。主な違いは、ここで、所与のμ及び

について

を評価するために補題２の手順を呼び出す点である。次に、これらの数量を使用して、（勾配上昇法で）ｘに関して

の偏導関数を計算するか、または（座標上昇法で）ｘ_jの値を直接的に更新するかのどちらかである。これらのアルゴリズムは、アルゴリズム７及び８に正式に説明されている。

Ａ．２．工学的尤度関数を用いたベイズ推論の近似
回路パラメータ

を調整するためのアルゴリズムが適所にある状態で、ここで、結果として生じる尤度関数を用いてベイズ推論を効率的に実行する方法を説明する。考え方は、アンシラフリー方式についての第４．２の考え方に類似している。
θが事前分布Ｎ（μ，σ²）を有し、ここではσ＜＜１／Ｌであり、ＥＬＦを生成するプロセスの忠実度がｆであると仮定する。

を最大化するパラメータ

が、以下の特性を満たすことを理解し得る。θがμに近い、つまりθ∈［μ－０（σ），μ＋０（σ）］であるとき、いくつかの

について

になる。以下の最小二乗問題を解決することによって、最良適合するｒ及びｂを見つけ、

上式で、Θ＝｛θ₁，θ₂，．．．，θ_k｝⊆［μ－０（σ），μ＋０（σ）］となる。この最小二乗問題は、以下の解析解を有し、

上式で、以下である。

図３４は、真の尤度関数及び適合尤度関数の例を示す。
最適なｒ及びｂを取得すると、解析公式を有する以下について、１、θの事後平均及び分散に近似し、

具体的には、θが期間ｋで事前分布

を有すると仮定する。ｄ_kを測定結果とし、（ｒ_k，ｂ_k）をこの期間で最良適合するパラメータとする。次に、以下によりθの事後平均及び分散に近似する。

その後、次の期間に進み、その期間のθの事前分布として

を設定する。方程式（１５８）及び（１５９）が被る近似誤差は小さく、アンシラフリーの場合でと同じ理由でアルゴリズム全体の性能にわずかな影響を与える。

Ｃ．補題の証明
便宜上、以下の表記法を導入する。ｉ＝０，１，．．．，Ｌ－１の場合、

Ｗ_4L-2i＝Ｕ（θ；ｘ_2i+1）、及びＷ_4L-2i-1＝Ｖ（ｘ_2i+2）、ならびにＷ_2L＝Ｐ（θ）とする。さらに、ｊ＝０，１，．．．，４Ｌの場合、Ｗ’_j＝∂θＷ_jとする。ｊが奇数の場合、Ｗ’_j＝０となることに留意されたい。次に、０≦ａ≦ｂ≦４Ｌの場合Ｐ_a,b＝Ｗ_aＷ_a+1．．．Ｗ_b、及びそれ以外の場合Ｐ_a,b＝Ｉを定義する。

この表記で、以下となる。

さらに、θに関する導関数を取ると、以下が生じ、

上式で、

は、θに関してＵ（θ；α）の導関数であり、ここで

は、θに関してＰ（θ）の導関数である。その結果、以下となる。

以下の事実が役立つ。Ａ、Ｂ、Ｃが、ヒルベルト空間

の任意の線形演算子であると仮定する。次に、直接計算により、以下を確認できる。

以下の事実も役立つ。θに関する導関数を取ると、以下が生じる。

所与のθ及び

について

を評価するために、別々にケースｊは偶数であり、ケースｊは奇数であると考える。
・ケース１：ｊ＝１（ｔ＋１）は偶数であり、ここでは０≦ｔ≦Ｌ－１である。この場合、Ｗ_2t+1＝Ｖ（－ｘ）、及びＷ_4L-2t-1＝Ｖ（ｘ_j）である。次に、以下を取得し、

・ここで、以下である。

・θ及び

を所与として、最初に０（Ｌ）時間でＰ_0,2t、Ｐ_2t+2,4L-2t-2、及びＰ_4L-2t,4Lを計算する。次に、

を計算する。この手順は０（Ｌ）時間しかかからない。

次に、

を計算する方法を示す。任意のａ≦４Ｌ－２ｔ－１≦ｂについて、上記及び事実Ｐ_a,b＝Ｐ_a,4L-2t-2Ｗ_4L-2t-1Ｐ_4L-2t,4Lを使用すると、以下を取得する。

次に、その結果、以下になり、

上式で、以下である。

一方、以下を有し、

ここで、以下となる。

上記の事実を組み合わせると、以下が生じ、

上式では、以下である。

θ及び

を所与として、最初に、標準動的プログラミング技術によって０（Ｌ）時間の合計で以下の行列を計算する。
・Ｐ_0,2t、Ｐ_2t+2,4L-2t-2，Ｐ_4L-2t,4L，Ｐ_2t+2,2L-1，Ｐ_2L+1,4L-2t-2；
・ｋ＝０，１，．．．，ｔの場合、Ｐ_{4L-2t,4L-2k-1}及びＰ_4L-2k+1,4L；
・ｋ＝ｔ＋１，ｔ＋２，．．．，Ｌ－１の場合、Ｐ_2t+2,4L-2k-1及びＰ_{4L-2k+1,4L-2t-2}

次に、

の場合、

を計算する。その後、

を計算する。概して、この手順は０（Ｌ）時間かかる。
５．ケース２：ｊ＝２ｔ＋１は奇数であり、ここでは０≦ｔ≦Ｌ－１である。この場合Ｗ_2t＝Ｕ（θ；－ｘ_j）、及びＷ_4L-2t＝Ｕ（θ；ｘ_j）である。次に、以下を取得する。

６．上式で、以下である。

７．θ及び

を所与として、最初に０（Ｌ）時間でＰ_0,2t-1、Ｐ_2t+1,4L-2t-1、及びＰ_4L-2t+1,4Lを計算する。次に、

を計算する。この手順は０（Ｌ）時間しかかからない。

次に、

を計算する方法を説明する。任意のａ≦４Ｌ－２ｔ≦ｂについて、上記及び事実Ｐ_a,b＝Ｐ_a,4L-2t-1Ｗ_4L-2tＰ_4L-2t+1,4Lを使用すると、以下を取得する。

次に、その結果、以下になり、

上式では、以下となる。

一方、以下を有し、

上式で、以下となる。

上記の事実を組み合わせると、以下が生じ、

上式で、以下となる。

θ及び

を所与として、最初に、標準動的プログラミング技術によって０（Ｌ）時間の合計で以下の行列を計算する。
・Ｐ_0,2t-1、Ｐ_2t+1,4L-2t-1、Ｐ_4L-2t+1,4L、Ｐ_2t+1,2L-1、Ｐ_2L+1,4L-2t-1；
・ｋ＝０，１，．．．ｔ－１の場合、Ｐ_{4L-2t+1,4L-2k-1}及びＰ_4L-2k+1,4L
・ｋ＝ｔ＋１，ｔ＋２，．．．，Ｌ－１の場合、Ｐ_2t+1,4L-2k-1及びＰ_{4L-2k+1,4L-2t-1}

次に、ｉ＝１，２，３，４について

を計算する。その後、

を計算する。概して、この手順は０（Ｌ）時間かかる。

本発明は特定の実施形態に関して上記で説明されてきたが、前述の実施形態は例示としてのみ提供され、本発明の範囲を限定または定義するものではないことを理解されたい。以下を含むがこれらに限定されない様々な他の実施形態もまた、特許請求の範囲内にある。例えば、本明細書に記載の要素及びコンポーネントは、追加のコンポーネントにさらに分割されるか、または一緒に結合されて、同じ機能を実行するためのより少ないコンポーネントを形成し得る。

量子コンピュータの様々な物理的実施形態は、本開示による使用に適している。一般に、量子コンピューティングの基本的なデータストレージ単位は、量子ビット、つまりキュービットである。キュービットは、古典デジタルコンピュータシステムビットの量子コンピューティングでの類似物である。古典ビットは、任意の時点で、２進数字（ビット）０または１に対応する２つの可能な状態の一方を占めると見なされる。対照的に、キュービットは、量子機械的特性を持つ物理媒体によってハードウェアに実装される。キュービットを物理的にインスタンス化するそのような媒体は、本明細書では、「キュービットの物理的インスタンス化」、「キュービットの物理的実施形態」、「キュービットを具体化する媒体」、もしくは同様の用語、または単に説明を簡単にするための「キュービット」と呼ばれる。したがって、本発明の実施形態の説明内の「キュービット」への本明細書における言及は、キュービットを具体化する物理媒体を指すことを理解されたい。

各キュービットには、無限の数の異なる潜在的な量子力学的状態がある。キュービットの状態が物理的に測定されると、測定により、キュービットの状態から解決された２つの異なる基底状態の１つが生成される。したがって、単一のキュービットは、それら２つのキュービット状態の１、０、または任意の量子重ね合わせを表すことができ、キュービットのペアは、４つの直交基底状態の任意の量子重ね合わせになり、３つのキュービットは８つの直交基底状態の任意の重ね合わせになり得る。キュービットの量子力学的状態を定義する関数は、その波動関数として知られている。波動関数は、所与の測定の結果の確率分布も指定する。次元２の量子状態を有する（つまり、２つの直交基底状態を有する）キュービットは、ｄ次元の「キューディット（ｑｕｄｉｔ）」に一般化でき、ここで、ｄは、２、３、４、またはそれ以上の任意の整数値であってよい。キューディットの一般的なケースでは、キューディットの測定により、キューディットの状態から解決されたｄ個の異なる基底状態の１つが生成される。本明細書でのキュービットへの言及は、より一般的には、任意の値のｄを有するｄ次元のキューディットを指すと理解されるべきである。

本明細書でのキュービットの特定の説明は、それらの数学的特性の観点からそのようなキュービットを説明し得るが、そのような各キュービットは、様々な異なる方法のいずれかで物理媒体に実装され得る。このような物理媒体の例には、超伝導材料、トラップされたイオン、光子、光キャビティ、量子ドット内にトラップされた個々の電子、固体の点欠陥（例えば、シリコンのリン供与体またはダイヤモンドの窒素空孔中心）、分子（例えば、アラニン、バナジウム錯体）、またはキュービット挙動を示す、すなわち、制御可能に誘導または検出することができる量子状態及びそれらの間の遷移を含む、前述のいずれかの凝集体が含まれる。

キュービットを実装する任意の媒体について、その媒体の様々な特性のいずれかを選択して、キュービットを実装することができる。例えば、電子がキュービットを実装するために選択された場合、そのスピン自由度のｘ成分は、そのようなキュービットの状態を表すそのような電子の特性として選択され得る。あるいは、スピン自由度のｙ成分またはｚ成分を、そのような電子の特性として選択して、そのようなキュービットの状態を表すことができる。これは、キュービットを実装するために選択された物理媒体の場合、０と１を表すように選択される複数の物理的自由度（例えば、電子スピンの例のｘ、ｙ、ｚ成分）が存在し得るという一般的な特徴の特定の例にすぎない。任意の特定の自由度に対して、物理媒体を制御可能に重ね合わせた状態にしてから、選択した自由度で測定を行って、キュービット値の読み出し値を取得できる。

ゲートモデル量子コンピュータと呼ばれる量子コンピュータの特定の実装は、量子ゲートを含む。古典ゲートとは対照的に、キュービットの状態ベクトルを変更する可能性のある単一キュービット量子ゲートは無数にある。キュービット状態ベクトルの状態を変更することは、通常、単一キュービット回転と呼ばれ、本明細書では、状態変更または単一キュービット量子ゲート演算と呼ばれることもある。回転、状態変更、または単一キュービット量子ゲート演算は、複素数要素を持つユニタリ２Ｘ２行列によって数学的に表すことができる。回転は、ヒルベルト空間内のキュービット状態の回転に対応し、これは、ブロッホ球の回転として概念化できる。（当業者によく知られているように、ブロッホ球は、キュービットの純粋な状態の空間の幾何学的表現である。）マルチキュービットゲートは、キュービットのセットの量子状態を変更する。例えば、２キュービットゲートは、２キュービットの４次元ヒルベルト空間での回転として２キュービットの状態を回転させます。例えば、２キュービットゲートは、２つのキュービットの４次元ヒルベルト空間での回転として２つのキュービットの状態を回転させる（当業者人にはよく知られているように、ヒルベルト空間は長さと角度の測定を可能にする内積の構造を持っている抽象的なベクトル空間である）。さらに、ヒルベルト空間は完全であり、微積分の手法を使用できるように、空間には十分な制限がある。

量子回路は、量子ゲートのシーケンスとして指定できる。以下でより詳細に説明するように、本明細書で使用される「量子ゲート」という用語は、１つ以上のキュービットにゲート制御信号（以下に定義）を適用して、それらのキュービットに特定の物理的変換を受けさせ、それによって、論理ゲート演算を実施させることを指す。量子回路を概念化するために、コンポーネントの量子ゲートに対応する行列をゲートシーケンスで指定された順序で共に乗算して、ｎキュービットで同じ全体的な状態変化を表す２「Ｘ２」複素行列を生成できる。したがって、量子回路は、単一の結果として生じる演算子として表すことができる。しかしながら、構成ゲートの観点から量子回路を設計すると、設計を標準セットのゲートに準拠させることができるため、配置がさらに容易になる。したがって、量子回路は、量子コンピュータの物理コンポーネントに対して実行されるアクションの設計に対応する。

所与の変分量子回路は、適切なデバイス固有の方法でパラメータ化することができる。より一般的には、量子回路を構成する量子ゲートは、関連する複数の調整パラメータを有し得る。例えば、光スイッチングに基づく実施形態では、調整パラメータは、個々の光学素子の角度に対応し得る。

量子回路の特定の実施形態では、量子回路は、１つ以上のゲート及び１つ以上の測定演算の両方を含む。このような量子回路を使用して実装された量子コンピュータは、本明細書では「測定フィードバック」の実装と呼ばれる。例えば、測定フィードバックを実装する量子コンピュータは、量子回路のゲートを実行し、次に量子コンピュータのキュービットのサブセット（つまり、すべてより少ない）のみを測定し、測定（複数可）の結果（複数可）に基づいて次に実行するゲート（複数可）を決定することができる。特に、測定値（複数可）は、ゲート演算（複数可）における誤差の程度を示すことができ、量子コンピュータは、誤差の程度に基づいて、次に実行するゲート（複数可）を決定することができる。次に、量子コンピュータは、決定によって示されたゲート（複数可）を実行することができる。ゲートを実行し、キュービットのサブセットを測定してから、次に実行するゲート（複数可）を決定するこのプロセスは、何度でも繰り返すことができる。測定フィードバックは、量子誤差補正を実行するのに役立てることができるが、量子誤差演算の実行での使用に限定されない。すべての量子回路について、測定フィードバックの有無にかかわらず、回路の誤差演算される実装がある。

本明細書に記載のいくつかの実施形態は、標的量子状態（例えば、ハミルトニアンの基底状態）に近似する量子状態を生成、測定、または利用する。当業者によって理解されるように、第１量子状態が第２量子状態にどれだけうまく「近似」するかを数値化する多くの方法が存在する。以下の説明では、当技術分野で知られている任意の概念または近似の定義を、本明細書の範囲から逸脱することなく使用することができる。例えば、第１量子状態と第２量子状態がそれぞれ第１ベクトルと第２ベクトルとして表される場合、第１ベクトルと第２ベクトルの間の内積（２つの量子状態の間の「忠実度」と呼ばれる）が事前定義された量（通常は∈とラベル付けされている）を超えると、第1の量子状態は第２量子状態に近似する。この例では、忠実度は、第１量子状態と第２量子状態が互いにどの程度「近い」または「類似している」かを数値化する。忠実度は、第１量子状態の測定が、測定が第２量子状態で実行された場合と同じ結果をもたらす確率を表す。また、量子状態間の近接性は、ユークリッドノルム、ハミング距離、または当技術分野で既知の別のタイプのノルムなどの距離測度を使用して数値化できる。量子状態間の近接性は、計算用語で定義することもできる。例えば、第１量子状態の多項式時間サンプリングが、それが第２量子状態と共有するいくつかの所望の情報または特性を示すとき、第１量子状態は第２量子状態を近似する。

すべての量子コンピュータがゲートモデルの量子コンピュータであるとは限らない。本発明の実施形態は、ゲートモデル量子コンピュータを使用して実装されることに限定されない。代替の実施例として、本発明の実施形態は、ゲートモデル量子コンピューティングアーキテクチャの代替である量子アニーリングアーキテクチャを使用して実装される量子コンピュータを使用して、全体的または部分的に実装され得る。より具体的には、量子アニーリング（ＱＡ）は、量子ゆらぎを使用するプロセスによって、所与の候補解（候補状態）のセットにわたって所与の目的関数のグローバル最小値を見つけるためのメタヒューリスティクスである。

図２Ｂは、量子アニーリングを実施するコンピュータシステム２５０によって通常実行される演算を示す図を示す。システム２５０は、量子コンピュータ２５２と古典コンピュータ２５４の両方を含む。破線の垂直線２５６の左側に示される演算は、通常、量子コンピュータ２５２によって実行され、一方、破線の垂直線２５６の右側に示される演算は、通常、古典コンピュータ２５４によって実行される。

量子アニーリングは、古典コンピュータ２５４が、解決すべき計算問題２５８に基づいて初期ハミルトニアン２６０及び最終ハミルトニアン２６２を生成し、量子コンピュータ２５２への入力として初期ハミルトニアン２６０、最終ハミルトニアン２６２及びアニーリングスケジュール２７０を提供することから始まる。量子コンピュータ２５２は、初期ハミルトニアン２６０に基づいて、等しい重みを有するすべての可能な状態（候補状態）の量子力学的重ね合わせなど、周知の初期状態２６６を準備する（図２Ｂ、演算２６４）。古典コンピュータ２５４は、初期ハミルトニアン２６０、最終ハミルトニアン２６２、及びアニーリングスケジュール２７０を量子コンピュータ２５２に提供する。量子コンピュータ２５２は、初期状態２６６で開始し、物理系の自然な量子力学的発展である時間依存シュレディンガー方程式（図２Ｂ、演算２６８）に従って、アニーリングスケジュール２７０によってその状態を発展させる。より具体的には、量子コンピュータ２５２の状態は、時間依存ハミルトニアンの下で時間発展を経る、これは、初期ハミルトニアン２６０から始まり、最終ハミルトニアン２６２で終わる。系ハミルトニアンの変化率が十分に遅い場合、系は瞬時ハミルトニアンの基底状態に近いままである。系ハミルトニアンの変化率が加速されると、系は一時的に基底状態を離れることがあるが、最終問題ハミルトニアン、つまり断熱量子計算の基底状態になる可能性が高くなる。時間発展の終わりに、量子アニーラ上のキュービットのセットは最終状態２７２にあり、これは元の最適化問題２５８の解に対応する古典イジングモデルの基底状態に近いと予想される。ランダム磁性体の量子アニーリングの成功の実験的実証は、最初の理論的提案の直後に報告された。

量子コンピュータ２５４の最終状態２７２が測定され、それにより、結果２７６（すなわち、測定）が生成される（図２Ｂ、演算２７４）。測定演算２７４は、例えば、図１の測定ユニット１１０に関連して本明細書に開示された方法のいずれかなど、本明細書に開示された方法のいずれかで実行され得る。古典コンピュータ２５４は、測定結果２７６に対して後処理を実行して、元の計算問題２５８の解を表す出力２８０を生成する（図２Ｂ、演算２７８）。

さらに別の代替の実施例として、本発明の実施形態は、ゲートモデル量子コンピューティングアーキテクチャの別の代替である、測定ベースの量子コンピューティングアーキテクチャとも呼ばれる一方向量子コンピューティングアーキテクチャを使用して実装される量子コンピュータを使用して、全体的または部分的に実装され得る。より具体的には、一方向または測定ベースの量子コンピュータ（ＭＢＱＣ）は、最初に、エンタングルされたリソース状態（通常はクラスタ状態またはグラフ状態）を準備し、次にそれに対して単一キュービット測定を実行する、量子コンピューティングの方法である。これは、測定によってリソースの状態が破壊されるため、「一方向」である。

各個別の測定の結果はランダムであるが、それらは計算がつねに成功するように関連付けられている。一般に、後の測定の基準の選択は、前の測定の結果に依存する必要があるため、すべての測定を同時に実行することはできない。

本明細書に開示される機能のいずれも、それらの機能を実行するための手段を使用して実装され得る。そのような手段には、以下に説明するコンピュータ関連のコンポーネントなど、本明細書に開示されるコンポーネントのいずれかが含まれるが、これらに限定されない。

図１を参照すると、本発明の一実施形態に従って実装されているシステム１００の図が示されている。図２Ａを参照すると、本発明の一実施形態に係る、図１のシステム１００によって実行される方法２００のフローチャートが示されている。システム１００は、量子コンピュータ１０２含む。量子コンピュータ１０２は、本明細書に開示される任意の方法で実装され得る複数のキュービット１０４を含む。量子コンピュータ１０４には、任意の数のキュービット１０４が存在し得る。例えば、キュービット１０４は、２キュービット以下、４キュービット、８キュービット以下、１６キュービット以下、３２キュービット以下、６４キュービット以下、１２８キュービット以下、２５６キュービット以下、５１２キュービット以下、１０２４キュービット以下、２０４８キュービット以下、４０９６キュービット以下、または８１９２キュービット以下を含み得るか、またはそれらからなり得る。これらは単なる例であり、実際には、量子コンピュータ１０２には任意の数のキュービット１０４が存在し得る。

量子回路には任意の数のゲートが存在し得る。しかしながら、いくつかの実施形態では、ゲートの数は、量子コンピュータ１０２内のキュービット１０４の数に少なくとも比例し得る。いくつかの実施形態では、ゲート深さは、量子コンピュータ１０２のキュービット１０４の数以下、または量子コンピュータ１０２のキュービット１０４の数のいくつかの線形倍数（例えば、２、３、４、５、６、または７）以下であり得る。

キュービット１０４は、任意のグラフパターンで相互接続することができる。例えば、それらは線形チェーン、２次元グリッド、全結合、それらの任意の組み合わせ、または前述のいずれかのサブグラフで接続される。

以下の説明から明らかになるように、要素１０２は、本明細書では「量子コンピュータ」と呼ばれるが、これは、量子コンピュータ１０２のすべてのコンポーネントが量子現象を活用することを意味するものではない。量子コンピュータ１０２の１つ以上のコンポーネントは、例えば、量子現象を利用しない古典コンポーネント（すなわち、非量子コンポーネント）であり得る。

量子コンピュータ１０２は、制御ユニット１０６を含み、これは、本明細書に開示される機能を実行するための様々な回路及び／または他の機械のいずれかを含み得る。制御ユニット１０６は、例えば、完全に古典コンポーネントからなり得る。制御ユニット１０６は、出力として１つ以上の制御信号１０８を生成し、キュービット１０４に提供する。制御信号１０８は、電気信号、磁気信号、光信号（例えば、レーザーパルス）、またはそれらの任意の組み合わせなどの任意の種類の電磁信号など、様々な形態のいずれかをとることができる。

例えば、以下の通りである。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが、導波路に沿って移動する光子（「量子光学」実装とも呼ばれる）として実装される実施形態では、制御ユニット１０６はビームスプリッタ（例えば、ヒーターまたはミラー）とすることができ、制御信号１０８はヒーターまたはミラーの回転を制御する信号とすることができ、測定ユニット１１０は光検出器とすることができ、測定信号１１２は光子とすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが電荷タイプキュービット（例えば、トランスモン（ｔｒａｎｓｍｏｎ）、Ｘ－モン（Ｘ－ｍｏｎ）、Ｇ－モン（Ｇ－ｍｏｎ））またはフラックスタイプキュービット（例えば、フラックスキュービット、容量シャントされたフラックスキュービット）として実装される実施形態（「回路量子電磁力学」（回路ＱＥＤ）実装とも呼ばれる）では、制御ユニット１０６はドライブによって活性化されるバス共振器とすることができ、制御信号１０８はキャビティモードとすることができ、測定ユニット１１０は第２の共振器（例えば、低Ｑ共振器）とすることができ、測定信号１１２は分散読み出し技術を使用して第２の共振器から測定された電圧とすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが超伝導回路として実装される実施形態では、制御ユニット１０６は、回路ＱＥＤ支援制御ユニットまたは直接容量結合制御ユニットまたは誘導容量結合制御ユニットとすることができ、制御信号１０８はキャビティモードとすることができ、測定ユニット１１０は第２の共振器（例えば、低Ｑ共振器）とすることができ、測定信号１１２は分散読み出し技術を使用して第２の共振器から測定された電圧とすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてがトラップされたイオン（例えば、マグネシウムイオンの電子状態）として実装される実施形態では、制御ユニット１０６はレーザーとすることができ、制御信号１０８はレーザーパルスとすることができ、測定ユニット１１０はレーザー及びＣＣＤまたは光検出器（例えば、光電子増倍管）とすることができ、測定信号１１２は光子とすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが核磁気共鳴（ＮＭＲ）を使用して実施される実施形態（この場合、キュービットは、例えば、液体または固体形態の分子であり得る）では、制御ユニット１０６は無線周波数（ＲＦ）アンテナとすることができ、制御信号１０８はＲＦアンテナによって放射されるＲＦフィールドとすることができ、測定ユニット１１０は別のＲＦアンテナとすることができ、測定信号１１２は第２のＲＦアンテナによって測定されたＲＦフィールドとすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが窒素空孔中心（ＮＶ中心）として実装される実施形態では、制御ユニット１０６は、例えば、レーザー、マイクロ波アンテナ、またはコイルとすることができ、制御信号１０８は、可視光、マイクロ波信号、または一定の電磁場とすることができ、測定ユニット１１０は光検出器とすることができ、測定信号１１２は光子とすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが「エニオン」と呼ばれる二次元準粒子として実装される実施形態（「トポロジカル量子コンピュータ」実装とも呼ばれる）では、制御ユニット１０６は、ナノワイヤとすることができ、制御信号１０８はローカル電場またはマイクロ波パルスとすることができ、測定ユニット１１０は超伝導回路とすることができ、測定信号１１２は電圧とすることができる。
・キュービット１０４のいくつかまたはすべてが半導体材料（例えば、ナノワイヤ）として実装される実施形態では、制御ユニット１０６は微細加工ゲートとすることができ、制御信号１０８はＲＦまたはマイクロ波信号とすることができ、測定ユニット１１０は微細加工ゲートとすることができ、測定信号１１２はＲＦまたはマイクロ波信号とすることができる。

図１には明示的に示されておらず、必須ではないが、測定ユニット１１０は、測定信号１１２に基づいて、１つ以上のフィードバック信号１１４を制御ユニット１０６に提供することができる。例えば、「一方向量子コンピュータ」または「測定ベースの量子コンピュータ」と呼ばれる量子コンピュータは、測定ユニット１１０から制御ユニット１０６へのそのようなフィードバック１１４を利用する。このようなフィードバック１１４は、フォールトトレラントな量子コンピューティング及び誤差補正の演算にも必要である。

制御信号１０８は、例えば、１つ以上の状態準備信号を含むことができ、状態準備信号は、キュービット１０４によって受信されると、キュービット１０４のいくつかまたはすべてにそれらの状態を変更させる。このような状態準備信号は、「仮説回路」とも呼ばれる量子回路を構成する。結果として生じるキュービット１０４の状態は、本明細書では「初期状態」または「仮説状態」と呼ばれる。キュービット１０４をそれらの初期状態にするために状態準備信号（複数可）を出力するプロセスは、本明細書では「状態準備」と呼ばれる（図２Ａ、セクション２０６）。状態準備の特別な場合は、「初期化」であり、「リセット演算」とも呼ばれ、その中で初期状態は、キュービット１０４のいくつかまたはすべてが「ゼロ」状態、すなわちデフォルトの単一キュービット状態にある状態である。より一般的には、状態準備は、状態準備信号を使用して、キュービット１０４のいくつかまたはすべてを所望の状態の任意の分布にすることを含み得る。いくつかの実施形態では、制御ユニット１０６は、最初にキュービット１０４を初期化するための第１のセットの状態準備信号を出力すること、そして次にキュービット１０４を部分的または完全に非ゼロ状態にするための第２のセットの状態準備信号を出力することによって、最初にキュービット１０４に対して初期化を実行し、次にキュービット１０４に対して準備を実行することができる。

制御ユニット１０６によって出力され、キュービット１０４によって受信され得る制御信号１０８の別の実施例は、ゲート制御信号である。制御ユニット１０６は、そのようなゲート制御信号を出力することができ、それにより、１つ以上のゲートをキュービット１０４に適用する。ゲートを１つ以上のキュービットに適用すると、キュービットのセットは、受信したゲート制御信号によって指定された対応する論理ゲート演算（例えば、単一キュービット回転、２キュービットエンタングルゲート、またはマルチキュービット演算）を具体化する物理的状態変化を受ける。これが意味するように、ゲート制御信号の受信に応答して、キュービット１０４は、測定されたとき（以下を参照）、キュービット１０４の状態が、ゲート制御信号によって指定された論理ゲート演算を実行することの結果を表すように、キュービット１０４に状態を変化させる物理的変換を受ける。本明細書で用いられる「量子ゲート」という用語は、１つ以上のキュービットにゲート制御信号を適用して、それらのキュービットに上記の物理変換を受けさせて、このことにより論理ゲート演算を実行させることを指している。

状態準備（及び対応する状態準備信号）とゲート（及び対応するゲート制御信号）の適用との間の境界線は、任意に選択できることを理解されたい。例えば、図１及び図２Ａ～図２Ｂにおいて「状態準備」の要素として示されるコンポーネント及び操作のいくつかまたはすべては、代わりに、ゲート適用の要素として特徴付けることができる。反対に、例えば、図１及び図２Ａ～図２Ｂにおいて「ゲート適用」の要素として示されるコンポーネント及び操作のいくつかまたはすべては、代わりに、状態準備の要素として特徴付けることができる。１つの特定の実施例として、図１及び図２Ａ～図２Ｂのシステム及び方法は、いかなるゲート適用も無しで、状態準備とそれに続く測定のみを実行することとして特徴付けることができ、ここでは、ゲート適用の一部として本明細書に記載される要素が代わりに状態準備の一部であると見なされる。反対に、例えば、図１及び図２Ａ～図２Ｂのシステム及び方法は、いかなる状態準備も無しで、ゲート適用とそれに続く測定のみを実行することとして特徴付けることができ、ここでは、状態準備の一部として本明細書に記載される要素が代わりにゲート適用の一部であると見なされる。

量子コンピュータ１０２はまた、キュービット１０４に対して１つ以上の測定演算を実行して、キュービット１０４から測定信号１１２（本明細書では「測定結果」とも呼ばれる）を読み取る測定ユニット１１０を含み、ここで、測定結果１１２は、キュービット１０４のいくつかまたはすべての状態を表す信号である。実際には、制御ユニット１０６及び測定ユニット１１０は、互いに完全に別個であるか、または互いに共通のいくつかのコンポーネントを含み得るか、または単一のユニットを使用して実装され得る（すなわち、単一のユニットが制御ユニット１０６及び測定ユニット１１０の両方を実装し得る）。例えば、レーザーユニットは、制御信号１０８を生成するためと、キュービット１０４に刺激（例えば、１つ以上のレーザービーム）を与えて、測定信号１１２を生成させるための両方に使用され得る。

一般に、量子コンピュータ１０２は、上記の様々な演算を何度でも実行することができる。例えば、制御ユニット１０６は、１つ以上の制御信号１０８を生成することができ、それによって、キュービット１０４に１つ以上の量子ゲート演算を実行させる。次に、測定ユニット１１０は、キュービット１０４に対して１つ以上の測定演算を実行して、１つ以上の測定信号１１２のセットを読み取ることができる。測定ユニット１１０は、制御ユニット１０６が追加の制御信号１０８を生成する前に、キュービット１０４に対してそのような測定演算を繰り返すことができ、それにより、測定ユニット１１０は、以前の測定信号１１２の読み取り前に実行されたのと同じゲート演算から生じる追加の測定信号１１２を読み取る。測定ユニット１１０は、このプロセスを任意の回数繰り返して、同じゲート演算に対応する任意の数の測定信号１１２を生成することができる。次に、量子コンピュータ１０２は、様々な方法のいずれかで、同じゲート演算のそのような複数の測定値を集約することができる。

測定ユニット１１０が１セットのゲート演算を実行した後、キュービット１０４に対して１つ以上の測定演算を実行した後に、制御ユニット１０６は、１つ以上の追加の制御信号１０８を生成することができ、これは、前の制御信号１０８とは異なる場合があり、それにより、キュービット１０４は、１つ以上の追加の量子ゲート演算を実行するようになり、これは、以前の量子ゲート演算のセットとは異なってもよい。次に、上記のプロセスを繰り返すことができ、測定ユニット１１０は、（直近で実行されたゲート演算の結果としての）新しい状態のキュービット１０４に対して１つ以上の測定演算を実行する。

一般に、システム１００は、以下のように複数の量子回路を実装することができる。複数の量子回路内の各量子回路Ｃごとに（図２Ａ、演算２０２）、システム１００は、キュービット１０４上で複数の「ショット」を実行する。ショットの意味は、以下の説明から明らかになる。複数のショットの各ショットＳごとに（図２Ａ、操作２０４）、システム１００は、キュービット１０４の状態を準備する（図２Ａ、セクション２０６）。より具体的には、量子回路Ｃの各量子ゲートＧごとに（図２Ａ、演算２１０）、システム１００は、量子ゲートＧをキュービット１０４に適用する（図２Ａ、操作２１２及び２１４）。

次に、キュービットＱ１０４の各々について（図２Ａ、演算２１６）、システム１００は、キュービットＱを測定して、キュービットＱの現在の状態を表す測定出力を生成する（図２Ａ、演算２１８及び２２０）。

上記の演算は、各ショットＳ（図２Ａ、演算２２２）及び回路Ｃ（図２Ａ、演算２２４）に対して繰り返される。上記の説明が示唆するように、単一の「ショット」は、キュービット１０４の状態を準備し、回路内のすべての量子ゲートをキュービット１０４に適用し、次にキュービット１０４の状態を測定することを含み、システム１００は、１つ以上の回路に対して複数のショットを実行することができる。

図３を参照すると、本発明の一実施形態に従って実装されているハイブリッド古典量子コンピュータ（ＨＱＣ）システム３００の図が示されている。ＨＱＣ３００は、量子コンピュータコンポーネント１０２（例えば、図１に関連して示され、説明される方法で実装され得る）及び古典コンピュータコンポーネント３０６を含む。古典コンピュータコンポーネントは、ジョン・フォン・ノイマンによって確立された一般的なコンピューティングモデルに従って実装されたマシンとすることができ、その中でプログラムは、命令の順序付けられたリストの形で作成され、古典（例えば、デジタル）メモリ３１０内に格納され、古典コンピュータの古典（例えば、デジタル）プロセッサ３０８によって実行される。メモリ３１０は、任意の時点で単一の明確なバイナリ状態を有するビットの形態でデータを記憶媒体に格納するという意味で古典的である。メモリ３１０に格納されたビットは、例えば、コンピュータプログラムを表すことができる。古典コンピュータコンポーネント３０４は、通常は、バス３１４を含む。プロセッサ３０８は、バス３１４を介してメモリ３１０からビットを読み取り、メモリ３１０にビットを書き込むことができる。例えば、プロセッサ３０８は、メモリ３１０内のコンピュータプログラムから命令を読み取ることができ、任意選択で、マウス、キーボード、または任意の他の入力デバイスなどのユーザ入力デバイスからなど、コンピュータ３０２の外部のソースから入力データ３１６を受信することができる。プロセッサ３０８は、メモリ３１０から読み取られた命令を使用して、メモリ３１０及び／または入力３１６から読み取られたデータに対して計算を実行し、それらの命令から出力を生成することができる。プロセッサ３０８は、その出力をメモリ３１０に戻して格納し、及び／またはモニタ、スピーカー、またはネットワークデバイスなどの出力デバイスを介して出力データ３１８として外部に出力を提供することができる。

量子コンピュータコンポーネント１０２は、図１に関連して上で説明したように、複数のキュービット１０４を含み得る。単一のキュービットは、それら２つのキュービット状態の１、０、または任意の量子重ね合わせを表すことができる。古典コンピュータコンポーネント３０４は、古典状態準備信号Ｙ３２を量子コンピュータ１０２に提供することができ、これに応えて、量子コンピュータ１０２は、図１及び図２Ａ～図２Ｂに関連して開示される方法のいずれかなど、本明細書に開示される方法のいずれかでキュービット１０４の状態を準備することができる。

キュービット１０４が準備されると、古典プロセッサ３０８は、古典制御信号Ｙ３４を量子コンピュータ１０２に提供することができ、これに応えて、量子コンピュータ１０２は、制御信号Ｙ３２によって指定されたゲート演算をキュービット１０４に適用することができ、その結果、キュービット１０４は最終状態に到達する。量子コンピュータ１０２の測定ユニット１１０（図１及び図２Ａ～図２Ｂに関連して上記のように実装され得る）は、キュービット１０４の状態を測定し、キュービット１０４の状態のそれらの固有状態の１つへの崩壊を表す測定出力Ｙ３８を生成することができる。結果として、測定出力Ｙ３８は、ビットを含むか、またはビットからなり、したがって、古典状態を表す。量子コンピュータ１０２は、測定出力Ｙ３８を古典プロセッサ３０８に提供する。古典プロセッサ３０８は、測定出力Ｙ３８を表すデータ及び／またはそこから導出されたデータを古典メモリ３１０に格納することができる。

上記のステップは、キュービット１０４の最終状態として上記で説明されたものが次の反復の初期状態として機能することで、任意の回数繰り返すことができる。このようにして、古典コンピュータ３０４及び量子コンピュータ１０２は、コプロセッサとして協力して、単一のコンピュータシステムとして共同計算を実行することができる。

特定の機能は、古典コンピュータによって実行されるものとして本明細書に説明することができ、他の機能は、量子コンピュータによって実行されるものとして本明細書に説明することができるが、これらは単なる例であり、本発明の制限を構成するものではない。量子コンピュータによって実行されるものとして本明細書に開示される機能のサブセットは、代わりに、古典コンピュータによって実行されてもよい。例えば、古典コンピュータは、量子コンピュータをエミュレートするための機能を実行することができ、機能がシミュレーションの指数関数的スケーリングによって制限されてはいるが、本明細書に記載の機能のサブセットを提供することができる。古典コンピュータによって実行されるものとして本明細書において開示される機能は、代わりに、量子コンピュータによって実行されてもよい。

上記の技術は、例えば、ハードウェア、１つ以上のコンピュータ可読媒体、ファームウェア、またはそれらの任意の組み合わせに具体的に格納された１つ以上のコンピュータプログラムにおいて、例えば、量子コンピュータのみ、古典コンピュータのみ、またはハイブリッド古典量子（ＨＱＣ）コンピュータに実装することができる。本明細書に開示される技術は、例えば、古典コンピュータ上にのみ実装することができ、古典コンピュータは、本明細書に開示される量子コンピュータ機能をエミュレートする。

上記の技術は、以下の、つまりプロセッサ、プロセッサによって読み取り可能及び／または書き込み可能な記憶媒体（例えば、揮発性及び不揮発性メモリ及び／または記憶素子を含む）、入力デバイス、及び出力デバイスの任意の数の任意の組み合わせを含む、プログラム可能なコンピュータ（古典コンピュータ、量子コンピュータ、またはＨＱＣなど）上で実行される（または実行可能である）１つ以上のコンピュータプログラムに実装され得る。プログラムコードは、入力デバイスを使用して入力された入力に適用され、説明された機能を実行し、出力デバイスを使用して出力を生成することができる。

本発明の実施形態は、１つ以上のコンピュータ、コンピュータプロセッサ、及び／またはコンピュータシステムの他の要素を使用して実装することのみが可能及び／または実行可能である機能を含む。このような機能は、思考的及び／または手動で実装することは不可能または非現実的である。例えば、演算子Ｐ及び状態｜ｓ＞を記述する複雑な分布からランダムなサンプルを精神的または手動で生成することは不可能であろう。

コンピュータ、プロセッサ、メモリ、または同様のコンピュータ関連要素を肯定して必要とする本明細書のあらゆる請求項は、そのような要素を必要とすることを意図しており、そのような要素がそのような請求項に存在しないか、またはそのような請求項によって要求されないかのように解釈されるべきではない。そのような請求項は、列挙されたコンピュータ関連の要素を欠く方法及び／またはシステムをカバーすることを意図しておらず、そう解釈されるべきではない。例えば、特許請求された方法がコンピュータ、プロセッサ、メモリ、及び／または同様のコンピュータ関連要素によって実行されることを記載する本明細書のいずれの方法請求項も、列挙されているコンピュータ関連の要素（複数可）によって実行される方法を包含することを意図しており、そのようにのみ解釈されるべきである。そのような方法請求項は、例えば、思考的にまたは手動で（例えば、鉛筆と紙を使用して）実行される方法を包含すると解釈されるべきではない。同様に、製品請求項がコンピュータ、プロセッサ、メモリ、及び／または同様のコンピュータ関連要素を含むことを記載する本明細書のいずれの製品請求項も、列挙されているコンピュータ関連の要素（複数可）を含む製品を包含することを意図しており、そのようにのみ解釈されるべきである。そのような製品請求項は、例えば、列挙されたコンピュータ関連要素（複数可）を含まない製品を包含すると解釈されるべきではない。

古典コンピューティングコンポーネントが、以下の特許請求の範囲内の機能の任意のサブセットを提供するコンピュータプログラムを実行する実施形態では、コンピュータプログラムは、アセンブリ言語、機械語、高水準手続き型プログラミング言語、またはオブジェクト指向プログラミング言語などの任意のプログラミング言語で実装され得る。プログラミング言語は、例えば、コンパイルされたかまたはインタープリタ型のプログラミング言語であり得る。

そのような各コンピュータプログラムは、古典プロセッサまたは量子プロセッサのいずれかであり得るコンピュータプロセッサによって実行するために、機械可読記憶装置に具体的に実施されたコンピュータプログラム製品に実装され得る。本発明の方法ステップは、入力を操作して出力を生成することによって本発明の機能を実行するために、コンピュータ可読媒体上に具体的に実施されたプログラムを実行する１つ以上のコンピュータプロセッサによって実行され得る。適切なプロセッサには、例として、汎用マイクロプロセッサと特殊目的マイクロプロセッサの両方が含まれる。一般に、プロセッサは、メモリ（読み取り専用メモリ及び／またはランダムアクセスメモリなど）から命令とデータを受信（読み取り）し、命令とデータをメモリに書き込み（格納）する。コンピュータプログラム命令及びデータを具体的に実施するために適切な記憶装置は、例えば、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、及びフラッシュメモリデバイスを含む半導体メモリデバイス、内蔵ハードディスク及び着脱可能ディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク、ならびにＣＤ－ＲＯＭなど、すべての形式の不揮発性メモリを含む。前述のいずれも、特別に設計されたＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）またはＦＰＧＡ（フィールドプログラマブルゲートアレイ）によって補完されるかまたはそれに組み込まれ得る。古典コンピュータは、一般に、内蔵ディスク（図示せず）または着脱可能ディスクなどの非一時的なコンピュータ可読記憶媒体からプログラム及びデータを受信（読み取り）し、非一時的なコンピュータ可読記憶媒体にプログラム及びデータを書き込む（格納する）こともできる。これらの要素は、従来のデスクトップまたはワークステーションコンピュータ、ならびに本明細書に記載の方法を実装するコンピュータプログラムを実行するのに適した他のコンピュータにも見られ、任意のデジタルプリントエンジンまたはマーキングエンジン、ディスプレイモニタ、または、紙、フィルム、ディスプレイ画面、もしくはその他の出力媒体上にカラーまたはグレースケールのピクセルを生成できる他のラスター出力デバイスと組み合わせて使用することができる。

本明細書に開示されるあらゆるデータは、例えば、（古典コンピュータ可読媒体、量子コンピュータ可読媒体、またはＨＱＣコンピュータ可読媒体など）非一時的なコンピュータ可読媒体に具体的に格納された１つ以上のデータ構造に実装され得る。本発明の実施形態は、そのようなデータをそのようなデータ構造（複数可）に格納し、そのようなデータ構造（複数可）からそのようなデータを読み取ることができる。

Claims (16)

1. 量子振幅推定のための方法であって、
   古典コンピュータを用いて、量子状態｜ｓ＞に関してオブザーバブルＰの期待値＜ｓ｜Ｐ｜ｓ＞を推定する統計値の精度改善率を最適化するために、複数の量子回路パラメータ値を選択することと、
   １つ以上のキュービットを、前記量子状態｜ｓ＞から反射量子状態に変換するために、量子コンピュータの前記１つ以上のキュービットに、交互の第１及び第２の一般化反射演算子のシーケンスを適用することであって、前記第１及び第２の一般化反射演算子の各々が、前記複数の量子回路パラメータ値のうちの対応する量子回路パラメータ値に従って制御される、前記適用することと、
   前記オブザーバブルＰに関して前記反射量子状態の前記複数のキュービットを測定して、測定結果のセットを取得することと、
   前記古典コンピュータで、前記測定結果のセットを用いて前記統計値を更新することと
   を含む、前記方法。
2. 前記更新することの後に、前記統計値を出力することをさらに含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記統計値が平均を含む、請求項１に記載の方法。
4. 前記精度改善率が、分散減少係数を含む、請求項１に記載の方法。
5. 前記精度改善率が、情報改善率を含む、請求項１に記載の方法。
6. 前記情報改善率が、フィッシャー情報量改善率及びエントロピー低減率の１つを含む、請求項５に記載の方法。
7. 前記第１及び第２の一般化反射演算子のシーケンス、及び前記オブザーバブルＰが、工学的尤度関数のバイアスを定義する、請求項1に記載の方法。
8. 前記選択すること、適用すること、測定すること、及び更新することを反復することをさらに含む、請求項１に記載の方法。
9. 前記古典コンピュータで、及び前記測定結果のセットを用いて、前記統計値の精度推定値を更新することと、
   前記精度推定値が閾値を超えている間に、前記選択すること、適用すること、測定すること、及び更新することを反復することと
   をさらに含む、請求項１に記載の方法。
10. 前記統計値を前記更新することが、
    事前分布を複数の測定値で更新して、事後分布を取得することと、
    前記事後分布から更新された統計値を計算することと
    を含む、請求項１に記載の方法。
11. 前記選択することが、前記統計値及び前記統計値の精度推定値に基づく、請求項１に記載の方法。
12. 前記選択することが、前記適用すること及び測定することの間に発生する誤差を表す忠実度にさらに基づく、請求項１１に記載の方法。
13. 前記選択することが、座標上昇法及び勾配降下法の１つを使用する、請求項１に記載の方法。
14. 量子振幅推定のためのコンピューティングシステムであって、
    プロセッサと、
    前記コンピューティングシステムを量子コンピュータと通信可能に結合する量子古典インタフェースと、
    前記プロセッサと通信可能に結合されたメモリであって、前記プロセッサによる実行時に、前記コンピューティングシステムに、
    （ｉ）量子状態｜ｓ＞に関してオブザーバブルＰの期待値＜ｓ｜Ｐ｜ｓ＞を推定する統計値の精度改善率を最適化するために、複数の量子回路パラメータ値を選択し、
    （ｉｉ）前記量子古典インタフェースを介して、前記量子コンピュータを、交互の第１及び第２の一般化反射演算子のシーケンスを使用して、前記量子コンピュータの１つ以上のキュービットを、前記量子状態｜ｓ＞から反射量子状態に変換するように制御し、前記第１及び第２の一般化反射演算子の各々が、前記複数の量子回路パラメータ値のうちの対応する量子回路パラメータ値に従って制御され、
    （ｉｉｉ）前記量子コンピュータを、前記量子古典インタフェースを介して、前記オブザーバブルＰに関して前記反射量子状態の前記複数のキュービットを測定して、測定結果のセットを取得するように制御し、
    （ｉｖ）前記統計値を前記測定結果のセットで更新する
    ように制御する機械可読命令を格納する、前記メモリと
    を備える、前記コンピューティングシステム。
15. 前記メモリが、前記プロセッサによる実行時に、前記コンピューティングシステムを制御して前記統計値を出力する追加の機械可読命令を格納する、請求項１４に記載のコンピューティングシステム。
16. 前記量子コンピュータをさらに備える、請求項１４に記載のコンピューティングシステム。

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